ismrd mg! A kicsi... a nagyoz,... a nagy az gészz Hol bujkál az aranymtszés az iskolában? I. rész Az iskolában tanult matmatika lgtöbbször száraz, a zsúfolt iskolai tantrv, a rndlkzésr álló idő rövidség nm ad alkalmat a tananyag érdksn tanítására. A diákok mgtanulják szabályokat, a képltkt, d zk alkalmazására gyakorlati asznuk flismrésér már nm krül sor. A sokszor igazságtalanul idgnk és ridgnk titulált matmatika tulajdonképpn a tudományos alkotás nylv, amly intuíciót, krativitást fltétlz. Nap mint nap amikor rátkintünk gy képr, gy épültr szépnk találjuk, allgatunk znét és örömünkt lljük bnn, d a szépség, a armónia rdtét már nm kutatjuk.... A matmatikus is, a muzsikus is, végső fokon mindn igaz művész, a dolgok blső absztrakt szépségét, armóniáját, összfüggésit igykszik kifjzni. Mindgyik a maga nylvén. írja Alxits György. Mgatározás Az aranymtszés a matmatika azon lmi közé tartozik, amly érintőlgsn kapcsolódik a tananyagoz, összláncolja a matmatikát, a trmészttudományokat, az mbri kultúra által létrozott művészi alkotásokat. Lgtöbbször tudomást sm vszünk róla, olott magunkban ordozzuk tstünk flépítésébn, ott van a rétn a virágban, látjuk a rklámokon. Az aranymtszés vagy arany arány nm gy új találmány, az ókori görögök a létzés gyik alaptörvényét vélték flfdzni bnn. Filozofikus mgatározás szrint, gy olyan arányosság, amly a trmésztbn és művésztbn is gyakran mgjlnik, trmészts gynsúlyt trmtv a szimmtria és az aszimmtria között [Wikipdia]. Matmatikai mgközlítés Az arány két, azonos mértékgységbn kifjztt mnnyiség közötti viszony, azaz a két szám ányadosát jlnti. Mivl az osztás rdmény gy számérték, nnk mgfllőn az arány is gy szám. Az így kapott számot aránymutatónak nvzzük. Az arány érték mérés útján történő összasonlításból állapítató mg. Ha két, azonos mértékgységbn mért értékt összasonlítunk, mgállapítatjuk, ogy a két mnnyiség mnnyivl különbözik gymástól, vagy, ogy az gyik ányszorosa a másiknak. 9-1/5 179
Az arany arány gy olyan állandó, amlyt két érték összasonlítása során a kicsi úgy aránylik a nagyoz, mint a nagy az gészz szabály alkalmazásával kapunk. Ezt a fajta flosztást aranymtszésnk nvzzük. Matmatikailag: a b aaaaaaaaaaaaaaaaa a b a b Képlttl flírva:. b a b A bltagok és kültagok szorzata gynlő. Alkalmazva a szabályt gy másodfokú gynltz jutunk, a + a b b =. Ha mgoldjuk az gynltt, 5 1 a b, 618 b rdményt kapjuk, amlyből csak pozitív mgoldást fltétlzv, a b b a krstt arányszám, 618 vagy 1, 618 b a b a Az aranymtszés jlölésér, a Φ (görög nagy fí) btűt asználják, amly Pidiász görög szobrász nvéből származik, aki gyakran alkalmazta munkájában. Az arany arány mindnol jlntkzik A görögök, az ókorban élt lgtöbb népz asonlóan, a mérést lsősorban a távolságmérész asználták, bből kifolyólag az aránnyal kapcsolatos kérdésk is gomtriai formában jlntkztk. Ezt igazolja maga a gomtria szó jlntés földi is. A Φ gy kicsit különlgs, kicsit misztikus, mágikus rj ismrtln, d tudjuk, ogy mbrmlékzt óta jln van az mbri alkotásokban. Flfdzéskor azt gondolták, ő adja a világ trmtésénk alapját, zért istni arány -nak is nvzték. A görög matmatikusok az arany téglalapot tartották a lgsztétikusabbnak. Estükbn az aranymtszés az oldalak osszában valósul mg. Az arany szög, az arany áromszög, az ötszög (pntagram) számunkra csak érdks mértani lmk, d különlgs jlntéssl bírtak az idők folyamán, mivl magukba foglalják a idálisnak és tökéltsnk tartott arányt. Az aranymtszést a tipográfiában már a kzdtktől alkalmazták, a képfldolgozás lngdttln szköz, a wboldalak szrksztésénél btartandó szmpont, a rklámgrafika alaplm, mgmutatja magát a fraktálok csodálatos világában. Az mbr létzésétől fogva törkszik a tökélts armónia mgtrmtésér. Az ókori görög építészt számos bámulatba jtő építményén, mint például az Partnon, az aranymtszésnk mgfllő arányok fdztők fl. Ha térbn és időbn másol is lyzkdik l a gízai Nagy Piramis, vagy a párizsi Notr Dam, a Sznt Pétr Bazilika, az ENSZ székáza, szépségükt, szrkzti összangjukat az istni aránynak köszöntik. Az ókori Egyiptomban valószínűlg még nm tudatosan alkalmazták a módszrt, a görögök viszont már szilárd matmatikai ismrtkt birtokoltak. Ugyanzk az arányok szolgáltattak irányvonalat, az építészt mlltt a szobrászat, fstészt középkori és a rnszánsz nagy mstrink, mint Lonardo da Vinci, Miclanglo és mások. A matmatika mindn tudományok kapuja és kulcsa. (ogr Bacon). A zntudomány és a matmatika az idők során többször is összfonódott. Az gyik nagy találkozást az 18 9-1/5
aranymtszés trmttt mg, szabályát figylmb vév a ritmus, ütm, dallam flosztásnál, a armónia érdkébn. A csodálatos Φ átatja az élővilágot. Érték értékét az adja, ogy ő trmti mg a rndt, ő a biztos pont a rndztlnség közpén. Ő tszi utánozatatlanná a létzés fő művét, az mbri tstt. Az aranymtszés arányait kövtik gys csigafajták görbülti, bizonyos növényk és fák lvli, az ő szabályait kövti számos virág szirmainak llyzkdés. Fibonacci, a fladat és a mgoldás Fibonacci gy a nyulak szaporodásával kapcsolatos lmélti jllgű probléma kapcsán írta l a számokat Libr Abaci (Könyv az abakuszról) című munkájában 1-bn. A fladat rövidn így szólt: Egy mzőn él gy újszülött nyúl pár, gy ím és gy nőstény. A nyulak gy ónapos korukra lsznk ivarérttk, így a második ónap végén már mgszülttnk az lső kicsinyk. Tgyük fl, ogy a nyulak soa nm alnak mg, és ogy a nőstényk mindig új párt llnk - 1 ímt és 1 nőstényt - mindn ónapban, a második ónaptól kzdv. Kérdés: ány pár nyúl lsz összsn 1 évn blül? A fladat mgoldása a kövtkzőképpn szmléltttő: 1. Az lső ónap végén még csak 1 pár van.. A második ónap végén szültik 1 új pár, így most már pár van. 3. A armadik ónap végén az rdti nősténynk szültik a második pár nyula, így már 3 pár lsz. 4. A ngydik ónap végén az rdti nősténynk lsz újabb kicsiny, a második ónapban szülttt nőstény most lli az lső kicsinyit, így összsn már 5 pár nyúl van. Így mindn ónap ljén a nyúlpárok száma:, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 61, 987,... stb. Ezt a sorozatot nvzzük Fibonacci-sorozatnak. A sorozat gy tagjának az értékét az lőző két tag összgként kapjuk. A Fibonacci-sorozat tagjait flfdztjük a virágszirmok számában: a liliomnak, a nősziromnak 3, a aranglábnak, a boglárkának, a vadrózsának 5; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak 8; a amvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 1; a fodroslvlű margitvirágnak, az útilapunak és gys százszorszépknk 34; más százszorszép-fajoknak pdig 55 vagy 89 szirma van. A Fibonacci-sorozat néány számítástcnikában is asznált tulajdonsága 1. Fibonacci-sorozat értékit kapjuk akkor is a a Pascal-áromszögbn bizonyos átlók mntén összgzzük a számokat 9-1/5 181
. Egy n osszúságú szakaszt F n + 1 -félképpn lt kirakni 1 és osszúságú szakaszokból. 3. Egy n-s sakktáblát 1-s dominókkal F n + 1 -félképpn lt lfdni 4. Az 1,, n számokból F n + -félképpn lt kiválasztani gy részalmazt úgy, ogy n krüljnk bl szomszédos számok (1-t és n-t is szomszédosnak tkintv). 5. Azoknak a bitsorozatoknak a száma, amikbn nincs két gymást kövtő, F n + ; 6. Annak az sély, ogy n gymást kövtő pénzfldobás során nm kapunk kétszr gymás után fjt, F n + / n. 7. Mindn pozitív gész szám flírató különböző Fibonacci-számok összgként. A Fibonacci-sorozat és az aranymtszés A Fibonacci-számok gyik gydi tulajdonsága a -vl kapcsolatos, az gymást kövtő tagoknak a ányadosaiból képztt sorozat atárérték az aranymtszés arány = 1,6183. Mivl a sorozat (n+1)-dik tagja (a armadik lmtől) az alábbi képlt alapján állítató lő: a n+1 = a n +a n-1, mindkét oldalt losztva a n -l a kövtkző gynltz jutunk: a n+1 /a n = 1+a n-1 /a n. A kapott összfüggés alkalmas a kövtkző sorozat lőállítására: 1/1 + 1 = /1 1/ + 1 = 3/ /3 + 1 = 5/8 5/8 + 1 = 13/8...és folytatatjuk. a sorozat az aranyszámoz közlít, aogy az alábbi ábrán is látatjuk. 18 9-1/5
Azokat a négyztkt, amlyk oldalainak osszai a Fibonacci-sorozat lmi, Fibonacci-négyztknk nvzik. Az lső n négyzt gymásoz illsztésévl olyan téglalapokat kapunk, amlyk oldalosszai mggyznk az n-dik és (n+1)-dik négyzt oldalának osszával. Lrajzolunk két gységnyi oldalosszúságú négyztt és fölé lyzzük l a gységnyi oldalosszúságú négyztt. Az így kapott alakzatoz illsszünk olyan négyztt, amlynk oldalossza mggyzik az lőző két négyzt oldalának összgévl. Az így kapott téglalap fölé illsszük az 5 oldalosszúságút, majd zkz ismét jobbról a 8-as négyztt, és így tovább. Az lső két négyzt olyan téglalapot atároz mg, amlybn az oldalak osszúsága 1 és, vagyis amnnyi az lőző két négyzt oldalainak ossza. Az lső árom négyzt trültösszg, olyan téglalapot atároz mg, amlynk oldalai és 3. Fibonacci-spirálba rndződnk a fnyőtoboz és az ananász pikklyi, a napraforgó magjai, a málna szmi, a karfiol rózsái és gys kaktuszok tüskéi. Aranymtszés a számítástcnikában aranymtszés a szövgszrksztésbn Középkori manuszkriptumokban fllltő az arányok alkalmazása, mlybn a lap aránya :3, a szélk aránya 1:1::3, a szövg által lfoglalt ly kapcsolódik az aranyarányoz. A szövgk külső, alsó rész gy átlóval van rögzítv. A szdéstükör és a margók aránya a kiadványon blül mindig állandó. A szdéstükör kialakításánál ign ltrjdt sztétikai mankó az aranymtszés. A szdéstükör szélsség = papírszélsség,618; (papírszélsség szdéstükör szélsség)/8 = 1 rész; a margó kötésbn 3 rész, fjbn 5 rész, kívül 5 rész, lábban 8 rész. Néány javaslat a szövg szrksztésénk, sztétikájának javítására: a sormagasság a karaktrmért 1,6-szrs lgyn a két részr kll osztanunk a szövgt, vagy a szövg mllé képt szrtnénk illsztni a 6%-38% szélsség flosztás tűnik a lgalkalmasabbnak a címsor mért a paragrafus karaktrmérténk az 1,6-szrs lgyn Aranymtszés a fényképzésbn, képfldolgozásban A képszrksztésbn is alkalmazzák az aranymtszést, amly az irányvonalak, iránypontok mgatározására szolgál. Az aranymtszés szabályai a trmészts arányosságra irányuló törkvéskt fjzik ki, mlynk lys alkalmazása során armonikus lsz az összkép. 9-1/5 183
Az arány szrpz jut a képalkotás során a kép alakjainak, tárgyainak gymásoz és a környztz való viszonyában, továbbá magának a kép mértink mgválasztásában, annak a külső térrl való kapcsolatában is. A kép mértébn lltjük fl lsősorban az arany arányt, d ugyancsak fontos szrpt tölt b a téma llyzésébn. Ha gy téglalap mindn oldalát az aranymtszés szabályai alapján flosztjuk, a kisbb rész úgy aránylik a nagyobboz, mint a nagyobb az gészz. Négy szakasz sgítségévl 9 különböző mértű téglalapot kapunk, a szakaszok mtszéspontjait aranypontoknak nvzik. Az aranypontokban llyztt képlmk jobban flívják a figylmt, növlv a kép sztétikai értékét. Az aranyáromszög alapján gy kép (téglalap) árom áromszögr osztató. Mindn áromszögbn llyztünk gy fontosabb alakzatot. A spirál sgítségévl a szmlélő tkintt a kompozíció központi lméz vzérltő. A kész képinkt is javítgatjuk, a flasználunk gy sgédprogramot, amivl mgatározatjuk, ogyan kll kivágnunk a képből, aoz, ogy a fő témánk mgfllőn lgyn llyzv. Ilyn programok a Goldn atio vagy az Artis Goldn Sction. Érdms vlük kísérltzni. Aranymtszés a wblaptrvzésbn A wblapok trvzésénél azontúl, ogy szrtnénk, ogy kinéztr szépnk találják lapunkat a látogatók, fontos, ogy a böngészőr kllmsn asson a látvány, ogy szívsn időzzön a tartalmat lolvasva, stlg akarjon visszatérni és újra mgnézni a lapot. Ha sztétikai élményt szrtnénk nyújtani, akkor sgítségünkr lt az aranymtszés. A wboldal flosztásában is sikrsn asználató az aranyarány, a vízszintsn két részr szrtnénk osztani akkor a 6%, 38% flosztás a lgalkalmasobb, z közlíti mg a lgjobban az aranyarányt, z 96 pixl stén 593 és 367 pixls flosztást jlnt. 184 9-1/5
Amnnyibn további lmkt szrtnénk llyzni, gy kisbb téglalapra is alkalmazatjuk az aranyarányt. A Fibonacci-négyztk alapján is flosztató a lap, a spirál sgítségévl a szmlélő figylm a spirál kiindulópontjába vzérltő, a rklámokat id alkalmas llyzni. Aranymtszés a fraktálokban Mindn mbr látott már éltébn fraktálokat, például a falvlk rztébn, óplykbn, faágakban. A fraktálgomtria a matmatika és az informatika lgszmléltsbb érintkzés, számítógéps grafikában gyakran találkozatunk örvénylő alakzatokkal. Fraktálok sgítségévl számos trmészttudományi jlnség modllztő. Mind a trmésztbn mind a számítástcnikában lőforduló fraktálokban flfdztők a Fibonacci-sorozat lmi és az aranymtszés aránya. Mivl a fraktálok könnyn modllztők számítógépn, számítógéps grafikákban gyakran alkalmazzák. A fraktálok önasonló, végtlnül komplx matmatikai alakzatok, amlyk formáiban lgalább gy matmatikai szközökkl lírató ismétlődés tapasztalató. Az önasonlóság azt jlnti, ogy gy kisbb rész flnagyítva ugyanolyan formát mutat, mint gy nagyobb rész. A matmatikában a Mandlbrot-almaz azon c komplx számokból áll, amlykr az alábbi x n rkurzív sorozat: nm a végtlnb tart. 9-1/5 185
A Mandlbrot-almaz grafikus mgjlnítés úgy történik, ogy az ilyn tulajdonságú c pontokat a komplx számsíkon ábrázolják. Hogyan is lltő fl aranyarány vagy a Fibonacci-sorozat lmi a Mandlbrotalmazban? Ha a fő buborék 1-s priódussal rndlkzik, a második -ssl, mértbn a -s és a 3-as priódusú buborék közötti lgnagyobb buborék az 5-ös priódusú, az 5- ös és a 8-as priódussal rndlkzők között a lgnagyobb buborék 13-as priódusú. Ha a priódus lytt a buborékon llyzkdő küllők számát tkintjük, a számok a Fibonacci-sorozat számai. A lőző képn látató, amint mgjlöltük a lgnagyobb buborékot a ktts és a 3-as priódusú buborék között, majd zt kinagyítva az alábbi képt kapjuk, aol a küllők száma 5, mlltt a 8-as is látató. Folytatva a nagyításokat mgkapatjuk a 13 illtv 1 küllős buborékokat. A Fibonacci-spirált mgtaláljuk a lgtöbb szmt gyönyörködttő fraktálban: Aranymtszés a rklámgrafikában Mindn trültn fontos az sztétika és az arányosság, d talán a rklámgrafika az, aol a lgatásosabban kll érvénysítni. Sokszor rklám alapján döntünk, lgalábbis a rklámozók zt szrtnék lérni. Valamivl mg kll fogni a tkinttt, rr asználató az aranyarány is. Tulajdonképpn lgtöbb rklámban mgtaláljuk. Az alábbiakban két ismrt lógót krtztünk b aranytéglalapokkal: A alábbi kép gy ismrt rklám. Észrvtő, ogy a téma llyzésébn az aranymtszést kövtték. A lgtöbb filmplakáton is mgtaláljuk az aranymtszést. 186 9-1/5
Jakab Irma Tünd és Ignát Judit Anna Bolyai Farkas Elmélti Lícum, Marosvásárly Ki volt a Hvsy György Kémiavrsny névadója, mit tudunk tudományos tvéknységéről? A XX. sz. gyik lgtrméknybb, nmztközilg lismrt vgyész volt Hvsy György, aki 1885. augusztus 1-jén szülttt Budapstn jómódú családban. Apja, Biscitz Lajos gy psti krskdő fia volt, családja az Estrázyak gyik birtokát bérlt. Anyja, Scossbrgr bárónő szintén jómódú családból származott, amly olaj- és doánykrskdlmml foglalkozott és több észak-magyarországi bányát birtokolt, aol Hvsy apja igazgató és a flügylőbizottsági tag volt. A Biscitz család 1895-bn nmsi rangot kapott, és tagjai kkor vtték fl a Hvsy nvt. Hvsy György idősbb fiútstvériz asonlóan a psti Piarista Gimnáziumban tanult, majd a Budapsti Tudománygytmn. Szüli mindnbn támogatták, tanulmányainak minél sikrsbb lvégzésér. A továbbképzésér Brlinb, majd Friburgba mnt. Fő érdklődési trült a fizika és a kémia volt, d allgatott filozófia és biológia lőadásokat is. Gorg Myr fizikokémikus vztésévl kzdtt l dolgozni 196-ban a doktori dolgozatán, a féms nátrium és az olvadt nátriumidroxid kölcsönatását vizsgálva. A disszrtációját 198-ban védt mg, miután Európa írs tudósai mlltt kzdtt dolgozni (Fritz Habr Némtországban, icard Lornz Svájcban és Ernst utrford Angliában voltak irányítói) mgalapozva szakmai írnvét. Ez idő alatt már jlntős tudományos rdménykt mutatott fl. Sikrült tisztáznia, ogy az urán és a tórium bomlásából kltkztt radiolmk gy rész nm új, anm a már ismrt lmk izotópjai. A XIX. sz. végén, amikor az atom blső szrkzt még nm volt ismrt, számos ritkaföldfémt fdztk fl, s a lantánoz való kémiai nagy asonlóságuk alapján azt javasolták, ogy azzal gy kockába lyzzék a priódusos táblázatba, amink az alján külön sorolják fl őkt (Braunr cs kémikus javaslatára). A ritkaföldfémk atomszrkztét nm ismrv, nm tudták, ogy ány lm képzti csoportjukat. Az ismrt ritkafém vgyültknk optikai spktrumvonalait vizsgálva G. Urbain francia vgyész arra 9-1/5 187
kövtkztttt, ogy az általa talált új vonalak a 7-s rndszámú lmtől származnak. Ezt az lmt cltiumnak nvzt l, és ritkaföldfémnk tkinttt (1911). Ebbn az időbn kzdt röntgnspktroszkópiai vizsgálatait Mosly, őt kérték fl, ogy rősíts mg vizsgálataival Urbain flfdzését, d z az adott mintából nm volt gyértlmű. Mosly s rősítni, sm cáfolni nm tudta Urbain fltétlzését. 1913-ban N. Bor, Hvsy barátja publikálta atommodlljét, amivl akkor csak a idrogén, élium és lítium szrkztét magyarázta mg. Továbbfjlszttt lméltét, és 19 januárjában Hvsyvl azt közölt, ogy azt az gész priódusos rndszrr kitrjszttt, és zzl magyarázni tudja a ritkaföldk llyzkdését is a priódusos rndszrbn. Elmélt szrint zk száma csak tiznnégy lt, tát az ismrtln 7. számú lm nm lt ritkaföldfém, anm titán omológ. A korabli kémikus társadalom Urbain tkintély alapján bírálta Bor lméltét. Hvsy bízott Bor lméltébn, s azzal vigasztalta barátját, ogy: komoly kémikus nm isz néány bizonytalan spktrumvonalnak, lő kll állítani az lmt tiszta állapotban, s annak vizsgálata fogja ldöntni a vitát. Hvsy 19 nyarán Magyarországon gokémiai munkákat tanulmányozva a Bor lmélt szllmébn úgy érzt, ogy cirkónium ásványban kll krsni a 7. számú lmt. Vizsgálatait Koppnágában a olland Costr sgítségévl kzdt, aki a röntgnspktroszkópiai lmzésbn sgíttt Hvsynk. A cirkónium ásvány tisztítása után, a könnyn oldódó komponnsk lkülönítését kövtőn azonosítani tudták a 7. rndszámú lmt a jllmző spktrumvonalai alapján. El is nvzték afniumnak, Koppnága latin nvéről. Az lm flfdzésénk bjlntés tudománytörténti érdksség: aznap st, amikor Bor Stockolmban átvtt az 19. évi fizikai Nobl-díjat, D. Costr tlfonon értsíttt őt kísérltik sikrsségéről, s Hvsy utazott is, ogy másnap déllőtt jln lssn a Svéd Akadémián, amikor lőadása során Bor bjlntti a afnium flfdzését. A nvs urópai vgyészk nm akartak itlt adni Hvsyék flfdzésénk (z Hvsynk Ortvay udolfoz írt lvliből tudott). Ezért Hvsy nkifogott a afnium kémiájának részlts fldolgozásáoz. Előállította tiszta állapotban, atomsúlyát mgatározta, mgállapította a jllmző rakcióit. Bbizonyította, ogy llnzői nm rndlkztk afnium tartalmú mintával, azok ritkaföldfém vgyültk kvréki voltak. 197-bn monográfiát közölt a afnium kémiájáról. Mindz nm volt lég aoz, ogy Nobl-díjat kapjon a afnium flfdzéséért, annak llnér ogy osszú évk során étszr (194-bn, 197-bn, 199-bn, 1933-ban, 1934-bn, 1935-bn és 1936-ban) javasolták különböző tudósok a díj lnyrésér. Hvsy a afnium flfdzésévl és a radioaktivitás trén lért rdményivl vált írssé. Európa több gytmér ívták. 195-bn lfogadta a Friburgi Egytm mgívását, aol az lmk gyakoriságát vizsgálta, mivl összfüggést sjttt a gyakoriság és az atommag stabilitása között. Mgatározta az ólom átlagos koncntrációját uránásványokban, nnk sgítségévl lsőként számította ki a Föld éltkorának nagyságrndjét. Jlntős mgállapításokat ttt szilárdtstfizikai kutatásai során. A 1 Pb sgítségévl flfdzt a fémk öndiffúzióját ttségs allgatóival, akik közül többn munkatársai, majd nvs kutatók lttk (J. Bömt, W. Sit, G. inäckr,. K. Würstlin, E. Alxandr, M. Blitzcl, J. A Calvt, A. Güntr, E. Crmr, A. O. Wagnr, H. Hobbi, M. Pal stb.). Friburgban a tudomány számára gy nagyon trmékny korszakot töltött. Ekkor indította l a ritkaföldfémk gokémiájának szisztmatikus vizsgálatát. öntgnfluorszcns analízis sgítségévl foglalkozott a afnium kémiájával, a ritkaföldfémk radioaktivitásával, a diffúzió lktrokémiájával, flfdzt a szamárium radioaktivitását, a kőztk ólomtartalmának vizsgálatával mgalapozta az izotópígításos analí- 188 9-1/5
zist, lőször alkalmazott stabil izotópot indikátorként nézvizt asználva az élőlényk vízáztartásának vizsgálatára. Bizonyította, ogy a kálium két ismrt izotópja közül a 4 K radioaktív. Némtországból Dániába kényszrült migrálni, aol barátjánál, Nils Bornál talált mndékt. Koppnágában Hild Lvivl folytatta a kálium radioaktív izotópjával kapcsolatos kutatásait. A nutron flfdzés után Lis Mitnrrl rádium-brillium nutronforrást készíttt, amllyl számos kísérltt végztk. Aur von Wlsbac, aki átkristályosítással különválasztotta a ritkaföldfémkt, szintén Hvsy barátja volt, tiszta anyagokat adott Hvsynk, amlykt nutronokkal való bsugárzás után vizsgáltak. Ennk során flfdzték a nutronaktivációs analízist. Dánia némt mgszállása miatt Svédországba klltt mnkülni, aol a svéd államporságot annak köszöntőn kapta mg, ogy 1944 tavaszán nki ítélték az 1943-as kémiai Nobl-díjat a radioaktív izotópok analitikai kémiában való alkalmazásáért. Svédországban biokémiai kutatásokat végztt. adioaktív izotópok sgítségévl tanulmányozva az anyagcsr folyamatokat (pl. vasanyagcsr). Tanulmányozta az ionizáló sugárzásoknak a DNS-r és a rákos sjtkr kifjttt atását is. A áború után flújította kapcsolatait Némtországgal, lsősorban a Friburgi Egytmml, állandó kapcsolatot tartott fnn a lgkülönbözőbb szaktrültkn dolgozó kollégáival; rndszrsn részt vtt a Nobl-díjasok Lindauban tartott találkozóin. Tudományos tvéknységénk lismrtségét igazolja az a számos tudományos cím (13 gytm díszdoktora, 3 tudományos társaság és Akadémia tagja), mlyk közül a lgértéksbbnk (a Nobl-díjáoz viszonyítva is) a oyal Socity Coply érmét tkinttt, amit N. Born-on kívül csak ő kapott mg külső tagként a világon. 1966. július 5-én unyt l Friburgban. A kémiát tanuló és kdvlő gyrmkk büszkék ltnk, ogy a Hvsy György nvét vislő, immár nmztközi vtélkdőn mértik l flkészülésük sikrsségét. Forrásanyag: Fizikai szml, 1/5-6 : Palló Gábor és Nis Sigfrid cikki Balázs Loránt: A kémia történt, Nmzti Tankönyvkiadó, Bp.1996 Máté Enikő tudod-? Tényk, érdksségk az informatika világából Viccs számítógéps valóságok A Microsoft Word lysírás javaslatai: agyalott agyallott buszozgatás buszizgatás mbrbarátabb mbrbarátbab mlőbrndzés mlőbrndzés 9-1/5 189
fagyizik fagyozik fnygtőlg fnygtőlég ótánc ódtánc kakaspörkölt kakapörkölt, kakáspörkölt kétismrtlns étismrtlns, létismrtlns, kézismrtlns nagykrára nagykrára országimázs országimás, országimáz, országimázd, országimáza őszülőfélbn őszülődélbn, őszülőfékbn pizzásdobozba izzásdobozba pofonvágjuk pofonvágyuk profiboksz pofiboksz, profboksz sötétbordó sötétordó, sötétborsó szkciólőadások szkcióladások százszám szászszám, szűzszám távolklti távolklti, távolklti, távolllti, távolklzi vgyállóság gyállóság, bgyállóság Furcsa ibaüzntk: Windows 98: A vidosorrndnk a kövtkzőig tartó rögzítéséz nyomja mg az OK gombot. Windows Médialjátszó: A művlt valószínűlg álózati problémák kövtkztébn időtúllépést ajtott végr. Súgó: A sgítő dokumntáció nincs Hungarian-ra fordítva, zért csak angolul lapozató. WinDVD: A kétórás filmt gy óra alatt mgnéztjük, a könyvjlzőkről miniatűr lőnéztkt készíttünk. Prl: Függtlnül attól, ogy milyn rndszrbn dolgozunk (Unix-, Windows-, és Mac-flasználók gyaránt), a Prlt ltöröltjük a Prl Wb oldalról. Windows 98 Lmztördzttség-mntsítő: C: mgajtót sikrült összfüggővé tnni. Olyan fogalmak, amlykt tljsn másra asználtunk a számítógépk kora lőtt: Az alkalmazás a munkaviszonnyal volt összfüggésbn. A program gy lőadás vagy TV-műsor mntét szabályozta. Az ablak az a valami volt, amit utáltál tisztítani. A billntyűzt a zongoráoz tartozott. A mmória csak az évk múltával romlott l. Tömörítni csak a falvlkt és a szmtt klltt. A könyvtárban akkor tartózkodtál, a olvasni akartál. A mappában papírokat vittél rajzórára. Bjlntkzni csak a laklyr klltt. Egy mrv lmz vagy gy ajlékony lmz csak lakatosokat érdklt. Az gér gy kis szürk (néa fér) állat volt. Az gérpadon kis szürk állatkák üldögéltk. Kivágni ollóval klltt. Billsztész lngdttln volt a ragasztó. 19 9-1/5
Az állomány valamilyn gységb tartozó gydk összsségét jlnttt, például a trmlő szövtkzt szarvasmara-állománya. A álóval csak a alászok mg a pókok törődtk. Egy vírus csak ágyba döntött, a könyvtáradat és a lmzgyűjtménydt békén agyta. A Wincstr gy puska volt (később gy cigartta). K. L. A krékpározás fizikája III. rész 3. Kanyarodó jármű Kanyarodó jármű stébn az rőviszonyok a kövtkzők. A tstr at a G súlyrő az O súlypontban, továbbá a flült N támasztórj és az F t tapadó súrlódási rő (3.1. ábra). E árom rő szolgáltatja a körpályán mozgásoz szükségs F c cntriptális rőt (3.. ábra). Az N F t rdő rő atásvonala a tst O súlypontján alad át, llnkző stbn vízszints tngly körüli forgómozgás jönn létr. Mgfigyltjük, ogy a krékpáros minél nagyobb v sbsséggl alad, annál jobban bdől az r sugarú kanyarban: m v Fc v tgα. G m g g Ha a krkk tapadó súrlódása a flültz kicsi (pl. az út vizs vagy jgs), a jármű jóval kisbb sbsséggl kanyarodat a mgcsúszás, flborulás vszély nélkül. A jármű mindaddig nm csúszik mg, amíg a cntriptális rő érték l nm éri a tapadó súrlódási rő lgnagyobb értékét, vagyis m v mg. r 3.1. ábra 3.. ábra Innn a sbsség lgnagyobb érték, amllyl a kanyar mgcsúszás nélkül bvtő : 9-1/5 191
vmax g r. 4. A krékpár fékzés Vizsgálatainkat korlátozzuk a kéziféks gépkr, amlykn a fékpofákat bowdn sgítségévl szorítatjuk a krkk flniéz. Foglalkozzunk azzal az sttl, amikor a fékrőt oly módon sikrül szabályozni, ogy mind a két krékn a súrlódási rő maximálisan ltségs érték lép fl. Ez a szabályozási fladat nm gyszrű, mrt más fékrőt kll alkalmazni az lső és a átsó krékn. Ennk az az oka, ogy a krékpár fékzés közbn lőrbukik, és az lső kréknél rősbbn nyomja a talajt, mint a átsónál. Mivl bbn az stbn a krkk forognak, célszrű az gynltkt a krkkr és a krékpár krkk nélküli részér (blértv bb a krékpárost is) külön-külön is flírni. Tkintsük az lső és átsó krkkt azonos m tömgűnk és azonos I tttlnségi nyomatékúnak! A 4.1. ábra jlölésit asználva a krkk mozgását líró gynltk: 4.1. ábra K S S m a N T m g S S ρ I ε f f és K S S N T m g S S f f m a ρ I ε, a aol ε a krkk szöggyorsulása és Sf f P (P a fékpofák szorítórj, f pdig a fékpofák és a flni közötti csúszósurlódási gyüttató). A krékpár krkk nélküli M tömgű részér vonatkozó gynltk a 4.. ábra jlölésit alkalmazva: 19 9-1/5
9-1/5 193 4.. ábra z T ) (T ρ) ( ) S (S ) ( ) K (K g M T T a M K K S S f f f f, aol fltétlztük, ogy az M tömgű rndszr atásvonala flzi a krkk közötti z távolságot. A vizsgált atárstbn N S és N S. Kövtkzésképp az alábbi kilnc gynltből álló, kilnc ismrtlns gynltrndszrt kll mgoldanunk: a m P N K a I P N g m T N a m P N K f f f z T ) (T ρ) ( ) P (P ) ( K K g M T T a M K K P P a I ρ P N g m T N f f f f. Egy kis türlmml az gynltrndszr mgoldató. Gyorsulásként g a értékt kapunk, így a fékút a Galili-gynlt alapján:
194 9-1/5 g v d f lsz, aol v a jármű fékzés lőtti sbsség. Az lső és átsó krkknél a fékpofák által kifjttt szorítórők: g I M m z ρ 1 g I M m ρ 1 P f f, g I M m z ρ 1 g I M m ρ 1 P f f. Ez azt jlnti, ogy az optimális tiszta gördüléssl végbmnő fékzésnél az lső és átsó krkk között g I M m z ρ 1 P P ΔP f szorítórő különbségt kll biztosítani. Az úttstr ső trlés az lső és a átsó krék által: g M I m z g M) (m N, g M I m z g M) (m N. Látató, ogy az N zéró értékűvé válat, ami a kormányon való átrpülés vszélyénk a fnnállását jlnti. Ez részbn annak tulajdonítató, ogy a krékpárok súlypontja (a jármű és a biciklista közös súlypontja) lég magasan van, különösn akkor, a jól mgpakolt átizsák is van a krékpáros átán. Ajánlatos tát, ogy csomagjainkat a átsó krék fölötti csomagtartóba lyzzük (zzl a értékét csökkntjük). 5. A krékpározás sbsségénk flső atára Végzzünk gy gyszrű bcslést arra vonatkozóan, ogy mnnyi lt a krékpározás sbsségénk flső atára osszabb távon. Gondolatmntünkt arra alapozzuk, ogy a nagy sbsségű mozgás miatt a krékpáros tljsítmény a légllnállás lln végztt munkára fordítódik. A sprintrk rövid idő (kb. 1 másodprc) alatt érik l maximális sbsségükt. Fltétlzzük, ogy a sportoló tljsítmény z idő alatt tljs mértékbn a mozgási nrgia növlésér fordítódik. A vrsnyző maximális tljsítmény kkor v m Δt 1 P t v, aol Δt a gyorsítás idj, m t a mozgó rndszr tömg és v az lért sbsség. Térjünk át most a légllnállás tljsítményénk a mgatározására! A légllnállási rő a sbsség négyztévl arányos, és az a a v A ρ C F alakban írató. Így a légllnállás tljsítmény a sbsség köbévl arányos, 3 a a a v ρ A C v F P
képltből számítató ki. A két tljsítményt gynlővé tév kapjuk a krstt sbsségt: m v t C A ρa Δt. Számértékkkl (m t =1 kg, C=,6, A=,5 m, ρ a =1,3 kg.m -3 és Δt=1 s) a krékpározás sbsségénk flső atáraként m km v 1,8 46,15 s adódik. Mivl gyakran durva mgközlítéskt alkalmaztunk, zért a közölt számításoknak csak a gondolatmntét érdms komolyan vnni. Irodalom 1] Dr. tcn. Bartal Sándor: Vontatási mcanika, Műszaki Könyvkiadó, Budapst, 1993. ] Horvát Gábor, Juász András, Tasnádi Pétr: Mindnnapok fizikája, ELTE TTK Továbbképzési Csoportjának kiadványa, Budapst, 1989. 3] Dr. Szalai Béla: Fizika, Műszaki Könyvkiadó, Budapst, 198. 4] u. Wikipdia. Org/wiki/Krékpár Frnczi János Egyszrű programok kzdőknk III. rész GPS-koordináták konvrtálása A Föld flszínén mindn pont ly gyértlműn mgatározató a földrajzi koordináta-rndszr két koordinátájával. A földrajzban gy spciális gömbi koordinátarndszrt asználnak, amlynk alapja az ókori babilóniaiaktól származó, majd a Ptolmaiosz (Kr. u. I. század vég Kr. u. 161 18 körül) által kitrjszttt lképzlés, ogy a tljs kört 36 fokra (36 ) kll flosztani. A földrajzi koordináta-rndszr két koordinátája a földrajzi szélsség (φ) és a földrajzi osszúság (λ). Egy pont szélsségét úgy kapjuk, ogy összkötjük a Föld középpontjával, és az így kapott gyns és az Egynlítő síkja által bzárt szög adja a szélsségt. Mgállapodás alapján északi irányba pozitív, déli irányba ngatív az érték lőjl. Az azonos szélsségű pontok alkotta vonal a szélsségi kör. Az Egynlítő (φ = ) a lgosszabb szélsségi kör, a szélsségi körök a pólusok flé rövidülnk. A szélsségi körök síkjai páruzamosak gymással és az Egynlítővl. Az Északi-sark a +9, a Déli-sark a -9 -nál találató. A földrajzi osszúság gy pont mridiánsíkjának a kzdőmridián síkjával bzárt szög. Mgállapodás szrint klti irányban pozitív, nyugati irányban ngatív. A pont mridiánsíkja az a sík, ami tartalmazza a két pólust és a pontot. Az azonos osszúságú pontok alkotta görb a mridián, vagy más névn a osszúsági kör. Mivl a szélsségi körökkl llntétbn a mridiánok azonos osszúságúak és nm páruzamosak, mindgyik 9-1/5 195
átalad az északi és a déli póluson, konvncionálisan klltt kijlölni a kzdő mridiánt. A kzdő mridián (λ = ), gy a Föld flszínén mggyzés szrint kijlölt ponton, a grnwici obszrvatóriumon (oyal Obsrvatory) alad krsztül. E két szög mgadásával a Földön bármly ly orizontális pozíciója lírató. A szögk pozitív és ngatív irányait gyakran jlölik az angol égtájak kzdőbtűivl is: N (+), S ( ), E (+), W ( ). A GPS (Global Positioning Systm) globális lymgatározó rndszr, az Amrikai Egysült Államok Védlmi Minisztériuma (Dpartmnt of Dfns) által (lsődlgsn katonai célokra) kifjlszttt és üzmltttt a Föld bármly pontján, a nap 4 órájában működő műoldas lymgatározó rndszr. A mai GPS rndszr alapjait 1973-ban fkttték l, 4 Navstar műold sgítségévl, amlyk mindgyik naponta kétszr krüli mg a Földt, a Föld flszín fölött km-s magasságban. Ellyzkdésük olyan, ogy mindn pillanatban a Föld mindn pontjáról lgalább négy látszódjon gyszrr. A 4 műold at csoportba van osztva, a Föld körül kringv gymástól 6 -os klt-nyugati ltérésű pályán mozognak. Az égbolton sík trpről gyszrr 7 1 műold látató, mlyből a lymgatározásoz 3, a tngrszint fltti magasság mgatározásáoz pdig további gy old szükségs. A GPS műoldak két frkvncián sugároznak, zkt L1-nk (1575,4 MHz) és L- nk (17,6 MHz) nvzik. Mindn műoldon két rubídium- vagy cézium-atomóra van llyzv. A műoldas lymgatározó rndszr időmérésr visszavzttt távolságmérésn alapul. Mivl ismrjük a rádióullámok trjdési sbsségét, és ismrjük a rádióullám kibocsátásának és bérkzésénk idjét, zk alapján mgatározatjuk a forrás távolságát. A áromdimnziós térbn árom ismrt lyztű ponttól mért távolság pontos ismrtébn már mg tudjuk atározni a pozíciót. A további műoldakra mért távolságokkal pontosítani tudjuk zt az értékt. Hagyományosan a szögk flosztatók fokokra ( ), prckr (') és másodprckr ("). Azonban a szögknk létzik számos más mgadási formátuma is: DM (Dgr:Minut) Fok:Prc DMS (Dgr:Minut:Scond) Fok:Prc:Másodprc DD (Dcimal Dgr) Tizds fok, általában 4 tizds jgyig Az is lőfordul, ogy gys GPS készülékk DMS, mások DD rndszrt asználnak, vagy a térképkn általában DMS rndszrbn, a számítógéps világban pdig inkább DD rndszrbn adják mg az értékkt. Hasznos tát gy átalakító alkalmazást írni a DMS, valamint DD rndszrk között. Vizsgáljuk mg, ogyan valósítató mg matmatikailag az átalakítás, valamint lépésről-lépésr írjuk mg az alkalmazást Borland Dlpibn! A DMS DD átalakítás matmatikai mnt a kövtkző: Adott gy DMS koordináta, például N 45 33'7". Figyljünk a N, E, W, S, +, lőjlkr, valamint arra, ogy az adatok a mgfllő intrvallumokban mozogjanak (pl. a prc, másodprc érték nm lt nagyobb, mint 59). A '"-nk nincs lőjl! Számítsuk ki a másodprck tljs számát: 33'7" = 33 6 + 7 = 7 másodprc. 196 9-1/5
A tizds rész a másodprck tljs száma losztva 36-zal, négy tizdsr flkrkítv: 7 / 36 =,5575. Adjuk ozzá a tizds részt az gész részz:,5575 + 45 = 45,5575. A véglgs rdmény tát: N 45,5575. A DD DMS átalakítás matmatikai mnt a kövtkző: Adott gy DD koordináta, például N 45,5575. Figyljünk a N, E, W, S, +, lőjlkr. Vgyük a koordináta gész részét: 45 z lsz a fok. A koordináta tört részét szorozzuk mg 6-nal. Az rdmény gész rész lsz a prc:,5575 6 = 33,45, vagyis 33'. Az lőbbi szorzás rdményénk a tört részét szorozzuk mg ismét 6-nal, és zt krkítsük fl, z lsz a másodprc:,45 6 = 7". Borland Dlpibn így járunk l: Állítsuk b az űrlap címét (Caption) DMS-DD átalakító-ra, a krtstílusát (BordrStyl) bssingl-r, a krtikonokat (BordrIcons) [bisystmmnu, biminimiz]-ra, és mntsük l az űrlapot (umain) valamint a projktt (DMS). Az űrlap nv lgyn frmmain. Hlyzzünk fl az űrlapra gy panlt (TPanl), rá árom szövgdobozt (TEdit), két gombot (TButton) és négy címkét (TLabl) a mlléklt ábra alapján: Lássuk l a szövgdobozokat a mgfllő nvkkl: dfok, dprc, dmprc, valamint dtizds. A gombok nvi lgynk: btnoda, btnvissza. A fntik alapján a két gomb sménykzlőj, s így a két átalakító kód a kövtkző: procdur TfrmMain.btnOdaClick(Sndr: TObjct); var prc, masodprc: word; tizds: xtndd; bgin dtizds.txt := dfok.txt; prc := StrToInt(dPrc.Txt); masodprc := StrToInt(dMPrc.Txt); masodprc := prc * 6 + masodprc; tizds := masodprc / 36; dtizds.txt := dtizds.txt + FormatFloat('#.', tizds); nd; procdur TfrmMain.btnVisszaClick(Sndr: TObjct); var tizds: xtndd; bgin dfok.txt := Copy(dTizds.Txt, 1, Pos('.', dtizds.txt)-1); tizds := StrToFloat('.' + Copy(dTizds.Txt, Pos('.', dtizds.txt)+1, 9-1/5 197
Lngt(dTizds.Txt))); tizds := tizds * 6; dprc.txt := IntToStr(ound(Int(tizds))); tizds := Frac(tizds) * 6; dmprc.txt := IntToStr(ound(tizds)); nd; Ezzl mg is oldottuk a fladatot, a mgoldás azonban nm tljs. Házi fladatként gészítsük ki a kódot úgy, ogy llnőrizzük l azt, ogy az adatok a mgfllő intrvallumban vannak- vagy sm, és csak akkor végzzük l az átalakítást, a mindn adat lys, különbn írjunk ki ibaüzntt! Kovács Ll István Pc-parti vízszml A nagyváradi Ady Endr Lícumban működő szakkör tanulóival célul tűztük ki a Nagyváradon átfolyó Pc-patak állapotának vizsgálatát. Célunk mgvalósításáért tanulmányoztuk a patak rdési lyét, múltját, vizénk minőségét, a környztévl való kölcsönatásokat. Két évn krsztül (6-8) rndszrsn, avonta négy vizsgálati lyn mgfigyléskt végztünk, s a bgyűjtött vízmintákat az iskola laborátóriumában lmztük. A Pc-patak rdési ly Püspökfürdő, ivatalos nvén Május 1 Fürdő, ami Nagyváradtól 9 km-r, délklti irányban lyzkdik l. A Fürdő trmálvizű tavacskájának közp állandóan bugyog, mivl itt törnk fl a tavat tápláló őforrások. Ezért pliocénkori (kb. 3 millió évs) tavat Bugyogónak nvzték l (román nv Ociul Mar). A Bugyogó flszín jlnlg 6 m, mélység 4-6 cm. Fltétlzik, ogy gykor sokkal nagyobb kitrjdésű volt és kapcsolatban állt két másik trmálvizű tóval, amlyk mdrét ma már nád és sás borítja. A Bugyogó-tó Pc patak folyásának nagyváradi szakasza 198 9-1/5