1 A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról Sok korábbi dolgozatunkban foglalkoztunk kötélstatikai feladatokkal. Ez a mostani azon - ban még nem került szóba. A feladat: az egyenes körhengerre feltekert, állandó menetemelkedésű súrlódó kötélben ébredő kötélerő kifejezése. Az ismert Euler ~ formula v.ö.: [ 1 ]! egy viszonylag egy - szerű általánosításáról van szó. De hogyan került ez most elő? Ez egy érdekes történet. Az történt, hogy sok évvel ezelőtt levezettem a szóban forgó képletet, és már majdnem feledésbe is merült. Ám most találtam az interneten egy dolgozatot [ 2 ], ahol ugyan - azt a képletet vezetik le, kicsit más alakban, mint amit én kaptam régen. Először jöjjenek az emlékek 1. ábra! 1. ábra Itt az a levezetés - vázlat található, amit csak akkori levelező -, mai honlaptársamnak mutattam meg. ( Akkor még levélpostai küldeményben juttatva célba. ) Minthogy úgy tűnik nem érdektelen a téma, ezért most közzéteszem. A hozzáértő számára az 1. ábra is elegendő a megértéshez: a csavarvonal tengelyvonalú kötélben ébredő erő nagyságát megadó képlet alakilag ugyanolyan, mint az Euler - féle, csak a súrlódási tényezőnek a menetemelkedési szög koszinuszával szorzott értéke veendő számításba.
2 Most lássuk a mai, [ 2 ] - höz illeszkedő levezetést is! 2. ábra forrása: [ 3 ] A 2. ábrán egy egyenes körhengerre írt csavarvonalat ábrázoltak, axonometrikusan. A csavarvonal vektor - egyenlete: ( 1 / 1 ) az ennek megfelelő paraméteres egyenletrendszer: ( 1 / 2 ) A csavarvonal görbülete [ 3 ], [ 4 ] : vagyis a csavarvonal görbülete állandó. Itt ρ a görbületi sugár. ( 2 ) Most fejtük ki a síkba a 2. ábra csavarvonalának egy menetét ld. 3. ábra! 3. ábra
3 Ennek magyarázatához ( 1 / 2 ) - vel: ha t = 2π, akkor z = h ; ezzel: A 3. ábra nagy derékszögű háromszögéből: ( 3 ) ( 4 ) Most ( 4 ) - ből: innen ( 2 ) - vel : ( 5 ) A 3. ábrából is: ugyaninnen: majd ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ) szerint: ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Majd a kötélsúrlódás ismert differenciálegyenlete szerint: ahol μ a kötél és a henger közti súrlódási tényező, T a kötélben ébredő húzóerő nagysága. ( 9 ) Ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel: integrálva, figyelembe véve, hogy : innen: ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) Ha bevezetjük a ( 13 )
4 rövidítő jelölést, akkor ( 12 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 ) A ( 14 ) egyenlet ugyanolyan alakú, mint a fizikai / mechanikai szakirodalomból ismert Euler - féle kötélsúrlódási képlet. Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. A ( 9 ) ~ ( 12 ) egyenletekhez lásd egy korábbi dolgozatunkat is, melynek címe: Hajlékony kötelek! M2. Most még egy átalakítást végzünk, hogy eljussunk a [ 2 ] - ben talált képlet - alakhoz. ( 4 ) - ből: ( 15 ) majd ( 12 ) - t átírva, ( 15 ) - tel is: ( 16 ) A [ 2 ] munkában éppen a ( 16 ) egyenlet köszön vissza. M3. A ( 12 ) képletnél adja magát két speciális eset. S1.: a csavarvonal a henger alapkörbe megy át; ekkor ( Euler - képlet. ) ( 17 ) S2.: a csavarvonal a henger alkotójába megy át; ekkor: ( 18 ) Ezek az eredmények megfelelnek a szemléletnek. M4. A [ 2 ] dolgozatban még más, igencsak érdekes dolgokra bukkanhat az érdeklődő Olvasó. Itt ezekre már nem térünk ki.
5 Irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Statika 8. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964. [ 2 ] Ed.: Taher Ghrib: New Tribological Ways, Chapter 12 Keiji Imado: Frictional Property of Flexible Element Published by InTech Janeza Trdine 9, 51000 Rijeka, Croatia, 2011. vagy: http://www.intechopen.com/books/new-tribological-ways/frictional-property-of-flexibleelement [ 3 ] Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok B. I - II - III. Vektoranalízis, 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. Sződliget, 2015. 03. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár