6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei

Hasonló dokumentumok
Fázisportrék. A Dinamikai rendszerek órákon bemutatott példarendszerek fázisportréi. Lineáris oszcillátor. v = ax bv

3. előadás Stabilitás

Mátrixok 2017 Mátrixok

Nemlineáris rendszerek

8. DINAMIKAI RENDSZEREK

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban

7. DINAMIKAI RENDSZEREK

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

7. gyakorlat megoldásai

8. DINAMIKAI RENDSZEREK

Bevezetés az algebrába 2

1. zárthelyi,

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003)


1. Bázistranszformáció

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika (mesterképzés)

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

Matematika III. harmadik előadás

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/2, elemző szakirány

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

1. feladatsor Komplex számok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Lotka Volterra-féle populációdinamikai modellek vizsgálata

Numerikus matematika vizsga

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

Lineáris algebra gyakorlat

Kvadratikus alakok gyakorlás.

Szélsőérték-számítás

1. Sajátérték és sajátvektor

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Geometria II gyakorlatok

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

92 MAM143A előadásjegyzet, 2008/2009. x = f(t,x). x = f(x), (6.1)

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

λx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

3. Lineáris differenciálegyenletek

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

Matematika A2b. 1. Előadás. Lineáris Algebra. 2 - és 3 változós lineáris egyenletrendszerek

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Differenciálegyenletek

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

11. gyakorlat megoldásai

3. Fékezett ingamozgás

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Problémás regressziók

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

i=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i

Differenciálegyenletek gyakorlat Matematika BSc II/2, elemző szakirány

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

11. gyakorlat megoldásai

Geometria II gyakorlatok

1. Transzformációk mátrixa

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Matematika III előadás

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika elméleti összefoglaló

Az előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Gauss elimináció, LU felbontás

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok

differenciálegyenletek

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

Matematikai geodéziai számítások 10.

Ha ismert (A,b,c T ), akkor

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

Átírás:

6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei A fáziskép meghatározása az együtthatómátrix nyoma és determinánsa segítségével a következőképpen lehetséges. Az x'ax egyenletben ahol A a b az együtthatómátrix karakterisztikus egyenlete: c d Λ adλadbc. Az A mátrix nyoma és determinánsa: T :TrAad D:detAadbc A sajátértékek: Λ T T 4D. Tegyük fel hogy T 4D. Ekkor. T 4D T azorigóstabilfókusz (negatív valós részű komplex sajátértékek). T 4D T azorigóinstabilfókusz (pozitív valós részű komplex sajátértékek). T 4D T azorigócentrum (nulla valós részű komplex sajétértékek) 4. T 4D D azorigónyereg (egy pozitív és egy negatív valós sajátérték) 5. T 4D D T azorigóinstabilcsomó (két különböző pozitív valós sajátérték) 5. T 4D D T azorigóstabilcsomó (két különböző negatív valós sajátérték) D stabil fókusz instabil fókusz centrum stabil csomó instabil csomó nyereg T

transzport-gy6.nb Feladatok. Vázolja az alábbi rendszerek fázisportréit. Oldjuk meg a feladatot kétféleképpen a sajátértékek kiszámításával illetve az együtthatómátrix nyoma és determinánsa segítségével is.. a) x'xy y'xy b) x'xy y'xy c) x'x y'xy d) x'xy y'6x5y e) x'4x y y'x4y f) x'x5y y'xy g) x'xy y'y h) x'xy y'xy Vázolja az x'ax rendszer fázisportréit a paraméter lényegesen különböző értékeire. A paraméter mely értékeinél lép fel bifurkáció? a) A a b) A p c) A p p p HF: d) A p p e) A p Megoldások. feladat. a) x'xy y'xy A ; EigensystemA StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4

transzport-gy6.nb. b) x'xy y'xy az origó nyereg A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. c) x'x y'xy az origó instabil csomó A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 4 4 StreamPlotx xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. d) x'xy y'6x5y az origó stabil fókusz A 6 5; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 4 6

4 transzport-gy6.nb StreamPlotxy 6x5y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. e) x'4x y y'x4y az origó stabil csomó A 4 4; EigensystemA 5 TrA DetA TrA 4DetA 8 5 4 StreamPlot4x y x4y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. f) x'x5y y'xy az origó centrum A 5 ; EigensystemA 6 6 6 6 TrA DetA TrA 4DetA 6 4

transzport-gy6.nb 5 StreamPlotx5y xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. g) x'xy y'y az origó instabil elfajult csomó A ; EigensystemA StreamPlotxy y x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4. h) x'xy y'xy az origó instabil fókusz A ; EigensystemA TrA DetA TrA 4DetA 5 6

6 transzport-gy6.nb StreamPlotxy xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 Megoldások. feladat. a) első megoldás Az A a mátrix sajátértékei: Eigensystem a a a a a ) Ha a akkor A-nak két negatív valós részű komplex sajátértéke van az origó stabil fókusz ) Ha a akkor A mindkét sajátértéke az origó stabil elfajult csomó ) Ha a akkor A-nak különböző valós sajátértékei vannak: Λ 4a és Λ 4a. Látható hogy Λ mindig negatív de Λ lehet pozitív nulla és negatív. a) Ha a.5 akkor Λ Λ elfajult eset a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll b) Ha a.5 akkor Λ Λ az origó stabil csomó c) Ha a.5 akkor Λ Λ az origó nyereg A rendszernek bifurkációja van a -nél és a.5-nél. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: a4.8.5.

transzport-gy6.nb 7 plota : StreamPlotxay xy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot4 plot plot.8 plot.5 plot plot. a) második megoldás Az A a mátrix nyoma és determinánsa: T Da T 4D44a68a Az alábbi hat (nemelfajuló) esetet vizsgáljuk:. T 4D T 68a a az origó stabil fókusz. T 4D T : nemlehet. T 4D T : nemlehet 4. T 4D D 68aés a a.5 az origó nyereg 5. T 4D D T : nemlehet 5. T 4D D T 68aés a a.5 az origó stabil csomó A rendszernek bifurkációja van a -nél és a.5-nél (elfajult esetek).. b)

8 transzport-gy6.nb Az A p mátrix sajátértékei: Eigenvalues p 4p 4p ) Ha p 4 akkor A-nak két pozitív valós részű komplex sajátértéke van az origó instabil fókusz ) Ha p4 akkor A mindkét sajátértéke az origó instabil elfajult csomó ) Ha p4 akkor A-nak különböző valós sajátértékei vannak: Λ 4p és Λ 4p. Látható hogy Λ mindig pozitív de Λ lehet pozitív nulla és negatív. a) Ha p akkor Λ Λ elfajult eset a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll b) Ha 4 p akkor Λ Λ az origó instabil csomó c) Ha p akkor Λ Λ az origó nyereg A rendszernek bifurkációja van p 4-nél és p -nál. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: p8 4.5. plota : StreamPlotxy axy x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot8 plot4 plot.5 plot plot plot. c) Az A a a a mátrix sajátértékei: Eigenvaluesa a a a a Látható hogy a Λ a és Λ a sajátértékek mindig valósak. Elfajult esetek: ha a akkor Λ 6 Λ a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll

transzport-gy6.nb 9 ha a akkor Λ Λ 6 a fáziskép párhuzamos egyenesekből áll Nemelfajult esetek:. Λ és Λ pontosanakkor ha a az origó instabil csomó. Λ és Λ különböző előjelű pontosan akkor ha a az origó nyereg. Λ és Λ pontosanakkor ha a az origó stabil csomó A rendszernek bifurkációja van a -nél és a -nál. Néhány ábra a következő paraméterértékekre: a5 5. plota : StreamPlotaxay ax x y ImageSize StreamStyle Arrowheads.4 plot5 plot plot plot plot plot5