Henger és kúp metsződő tengelyekkel Ebben a dolgozatban egy forgáshenger és egy forgáskúp áthatását tanulmányozzuk abban az egyszerűbb esetben, amikor a két test tengelye egyazon síkban fekszik, vagyis a tengelyek nem kitérő helyzetűek: metsződnek. A feladatot számítással oldjuk meg, melynek során vektoralgebrai ismereteket is alkalmazunk. Az alaphelyzet az 1. ábra szerinti. A feladat 1. ábra Adott: R, k, a; β, κ. Keresett: az áthatási görbe / görbék paraméteres egyenletrendszere.
A megoldás Jelölések: R: a henger sugara; k: a kúp K csúcsa és a tengelyek A metszéspontja közötti távolság; a: elhelyezési paraméter; β: a henger és a kúp tengelyének közbezárt szöge; κ: a kúp fél nyílásszöge. A hengerrel kapcsolatos számítások során alkalmazott koordináta - rendszer, ill. felvétel a. ábrán látható.. ábra A henger palástján fekvő H pontba mutató, ( O X Y Z ) koordináta - rendszerbeli V H vektor kifejezése: V X i Y j Z k, ( 1 ) H ahol H H H XH R cos ; YH R sin ; ZH Z H. A ( ) - ben szereplő φ szögre fennáll, hogy 0 360. ( ) ( / 1 )
3 A ( ) képletek szerint itt henger - koordinátákat alkalmazunk ld.: [ 1 ]! A kúppal kapcsolatos számítások során alkalmazott koordináta - rendszer, ill. felvétel a 3. ábrán látható. 3. ábra A kúp palástján fekvő Q pontba mutató, ( K x y z ) koordináta - rendszerbeli v Q vektor kifejezése: v x e y e z e, ( 3 ) Q Q x Q y Q z ahol xq r(z) cos zq tgcos ; yq r(z) sin zq tgsin ; zq z Q. ( 4 ) A ( 4 ) - ben szereplő és κ szögre fennáll, hogy 0 360 ; ( 4 / 1 ) 0 90. A ( 4 ) - ben szereplő z Q - ra fennáll, hogy zq 0. ( 4 / ) A ( 4 ) képletek érvényessége a 4. ábra segítségével könnyen belátható.
4 4. ábra Most kapcsolatot kell teremteni az ( O X Y Z ) és a ( K x y z ) koordináta - rendszerbeli mennyiségek között. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! A tér egy tetszőleges pontjára: V V v, ( 5 ) K ahol az 1., ill. a 3. ábra szerint is: X K = kcos ; Y K = 0; Z K = a + ksin ; = 90. Most ( 5 ) - ből: v V V. ( 7 ) K Részletezve: v X i Y j Z k, ( 8 ) majd ( 7 ) - tel is: ( 6 )
5 5. ábra v X X i Y Y j Z Z k. ( 9 ) K K K Ezután ( 8 ) és ( 9 ) összevetéséből: X X X K; Y Y Y K; ( 10 ) Z Z Z K. A ( 10 ) képlet egy az eredeti ( O X Y Z ) koordináta - rendszer tengelyeivel egyállású, ahhoz képest eltolt helyzetű ( K X Y Z ) vonatkoztatási rendszerben írja le - t. Annak érdekében, hogy végül az áthatási görbepont koordinátáit az eredeti ( O X Y Z ) rendszerben nyerjük, el kell végezni még egy forgatási transzformációt is. Ehhez felírjuk az egységvektorok közti összefüggéseket, az 5. ábra alapján. e ; x j e sin cos ; y i k ( 11 ) ez cosi sin k.
6 Most ( 3 ) - ból, az áthatási görbére vonatkozó Q indoklással és ( 11 ) - gyel is: v x e y e z e x e y e z e = x y z Q x Q y Q z j i k i k x + y sin cos z cos sin Q Q Q Q Q Q Q Q i sin y cos z j x k cos y sin z ; Q Q ( 1 ) majd ( 10 ) és ( 1 ) - vel: X sin yq cosz Q; Y x Q; ( 13 ) Z cos y sinz. ( 13 ) - at ( 10 ) szerint átírva: X XK sin yq cosz Q; Y YK x Q; ( 14 ) Z ZK cos yq sin z Q. ( 14 ) - et átrendezve: X XK sin yq cos z Q; Y YK x Q; ( 15 ) Z ZK cos yq sin z Q. Ezután ( 4 ) és ( 15 ) - tel: X X sin z tgsin cos z ; K Q Q Y Y z tgcos ; K Q Z Z cos z tgsin sinz. K Q Q Most ( 6 ) és ( 16 ) - tal: X kcos sinzq tgsin cosz Q; Y z tg cos ; Q Z a + ksin cos zq tgsin sin z Q. ( 17 ) - et rendezve, a Q indexet most már elhagyva: X kcos sintgsin cosz; Y tgcos z; Z a + ksin cos tgsin sinz. ( 16 ) ( 17 ) ( 18 )
7 A ( 18 ) egyenletekben szerepel mellett a z változó is; ennek kiküszöbölésére ( ) - vel és az áthatási görbére vonatkozó H hivatkozással is: X Y R cos R sin R cos sin R, tehát X Y R. ( 19 ) Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: R k cos sin tg sin cos z tgcos z ; ( 0 ) ( 0 ) - at kifejtve: R kcos kcos sintgsin cos z ( 1 ) sin tgsin cos z tgcos z ; ( 1 ) - et rendezve: 0 sin tg sin cos tg cos z k cos sin tg sin cos z ( ) k cos R. Bevezetjük az A sin tgsin cos tgcos, B kcossin tgsin cos, ( 3 ) C kcos R rövidítő jelöléseket. ( ) és ( 3 ) szerint az A z B z C 0 ( 4 ) másodfokú egyenletet kapjuk a z z( ) függvény meghatározására. A megoldóképlettel ld. pl.: [ 1 ]! : B B 4AC z 1,. A Majd ( 18 ) és ( 5 ) - tel: X1, kcos sin tgsin cosz 1,; Y1, tgcos z 1,; Z 1, a + ksin cos tgsin sinz 1,. ( 5 ) ( 6 ) A ( 6 ) egyenletek az áthatási térgörbe / térgörbék paraméteres egyenletrendszere.
8 Most ( 3 ) és ( 5 ) segítségével írjuk fel részletesen z 1, - t! Átalakítások után: kcossin tgsin cos tgcos R z 1,( ) 1 1 1 1. sin tg sin cos tg cos sin tg sin cos kcos ( 7 ) A ( 6 ) és ( 7 ) képletekkel már konkrétan megoldható a 1, áthatási görbe - pontok koordinátáinak meghatározása, a görbék, ill. vetületeik ábrázolása, stb. Megjegyzések: M1. A ( 6 ), ( 7 ) eredmények kézi számításhoz elég bonyolultak, így célszerű lehet a velük kapcsolatos feladatokhoz számítógépi programokat készíteni. Megemlítjük, hogy [ ] - ben ahol a részletes levezetés nincs meg! az ilyen típusú feladatok megoldására a számolás táblázatos formáját javasolják. Ez ma is működő, bár nem túl korszerű eljárás. M. Igen valószínű, hogy most többen felteszik a kérdést: K.: Minek ez a sok számolás, ha a szerkesztés sem túl bonyolult, és még szemléletes is? V.: Azért, mert ~ sokan nem elég képzettek ábrázoló geometriából, esetleg nem rajzolnak elég jól, ám jól számolnak; ~ az automatizált gyártás során a robotok / megmunkáló gépek irányítása programmal, ennek megírása képletekkel történik; ~ a számítógépi rajzoló / ábrázoló programok is képletek alapján készülnek. M3. Korábban az itteninél egyszerűbb ábrázolási feladatainkat a Graph függvényábrázoló program felhasználásával oldottuk meg. Ezt itt nem erőltetjük. M4. Az áthatási görbe tényleges kidolgozása válhat szükségessé lemezmunkáknál, például henger- és kúphéj alakú testek összehegesztésénél. A kivitelezési munka úgy történhet, hogy az alkotója mentén felvágottnak és síkba terítettnek képzelt kúp -, ill. csonkakúp - héj síkidomát ( körcikk, ill. körgyűrűcikk ) az áthatási görbe síkba terített képének megfelelően átdolgozzák, majd az eredményt a felvágási alkotó mentén összehajlítják és összehegesztik. ( Ez az eljárás azért lehetséges, mert a kúp síkba fejthető felület. ) Ezután az áthatási térgörbe mentén a kúp végét a hengeren körberajzolják, majd a hengert e vonal mentén kivágják, a kúpvéget hozzáillesztik és ráhegesztik. M5. A ( 19 ) képlet szerint is az áthatási görbe / görbék vetülete az OXY síkra: körív(ek). M6. A ( 5 ) és ( 6 ) képletek szerinti két megoldás közül az egyik térgörbe a henger
9 jobb oldalán, a másik a henger bal oldalán rajzolódik ki, hiszen a kúppal a hengert gondolatban mintegy átszúrjuk. M7. A gyakorlati feladatok megoldásánál jól jöhet a K alkotó hosszának ismerete. Ez a fentiek alapján: z 1,( ) K v l 1, ( ). ( 8 ) cos Számpélda ld.: [ ]!: Adott: R = 1005 mm; k = 5000 mm ; β = 60 ; κ = 10. Keresett: a 3. és a 4. ábra szerinti elrendezésnek megfelelően a 30 - hoz tartozó alkotó hossza. Megoldás: ( 6 ) - tal: 90 60 30. ( 7 ) - tel: z 1(30 ) 3863,9 mm; ( 8 ) - cal: 3863,9 mm l 1(30 ) 393,5 mm, tehát cos10 l (30 ) 393,5 mm. 1 ( a ) ( b ) ( c ) Tehát a keresett alkotó hossza: 393,5 mm v. ö.: [ ]! Irodalom: [ 1 ] I. N: Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ ] Szerk.: N.. Melnyikov: Sztalnüje konsztrukcii Szpravocsnyik konsztruktora Izdatyelsztvo lityeraturü po sztroityelsztvu, Moszkva, 197. Sződliget, 009. július 8. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár