A ajlított fagerenda törőoatékának száításáról II. rész Bevezetés Az I. részben egbeszéltük a úzásra ideálisan rugalas, oásra ideálisan rugalas - tökéletesen képléke aag - odell alapján álló törőoaték - száítást arra az esetre, aikor a σ - ε diagra ferde egyeneseinek eredeksége egyező. Most azt az esetet vesszük alaposabban szeügyre, aikor a két ferde egyenes eredeksége eltérő. Erre az I. rész 4. ábrája ad jó okot. A továbbiakban kifejtésre kerülő odellt ódosított odellnek nevezzük. Száítása nagyon asonlóan történik, int az előzőé. A tiszta ajlításra igébe vett fagerenda törőoatékának száítása a ódosított odell alapján A ódosított odell idealizált σ - ε diagraja az. ábra szerinti.. ábra Az. ábra alapján:, n. ( ) n Ezzel n definíciója: n. ( ) Szintén az. ábra alapján:
E. ( 3 ) - ból, ajd ( ) - vel is: n., ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) A korábbiakoz asonlóan itt is: <.,B ( 6 ) Itt is érvéesnek tekintjük a sík keresztetszetek és a éretek változatlanságának elvét. A feladat: b, ;,,. Adott:,B Keresett: M törő. A b x éretű, téglalap keresztetszetű gerenda törőoatékának száításáoz tekintsük a. ábrát! A úzófeszültségek eredője:. ábra
3 H b;,b 3 ( 7 ) a oófeszültségek eredője: N b b b. egyensúly esetén: H N. ( 9 ) Most ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel:,b 3 b b. ( 0 ) Rendezve ( 0 ) - et:. 3,B ( 8 ) ( ) Majd ( 6 ) és ( ) - gyel: 3. ( ) A ( ) egyenletben áro iseretlen van, ezért ég két ásik egyenletre van szükség, ogy dolgozni tudjunk vele. Az első segédegyenlet a. ábra szerint:. ( 3 ) 3 Rendezve ( 3 ) - at: 3. Bevezetve a ( 4 ) ( 5 ) rövidítő jelölést, ( 4 ) és ( 5 ) - tel: 3. ( 6 ) Most ( ) és ( 6 ) szerint: ; ; ;. A ásodik segédegyenlet a. ábra szerint: ( 7 )
4 3. ( 8 ) Most a ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) egyenletekkel: ; ; ; innen. ( 9 ) Majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel:. ( 0 ) Végül ( 6 ) és ( 9 ) - cel: 3. ( ) A seleges tengely eltolódása: e 3; ( ) ost ( ) és ( ) - vel: e, teát
5 e. Most egint a. ábrával: 3 3 innen 3 3 3 ; ; ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ajd ( ) és ( 5 ) - tel kapjuk, ogy, teát. ( 6 ) Most ( 5 ) - ből:, ajd ( 7 ) és ( ) - gyel: n, n ezután ( 6 ) és ( 8 ) - cal:, n ( 7 ) ( 8 ) innen
6 n. ( 9 ) Majd ( 9 ) - ből: n. ( 30 ) Ezután írjuk át a ( 9 ), ( 0 ), ( ) és ( 3 ) képleteinket ( 9 ) és ( 30 ) - cal! Először ( 0 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: n ; n n ásodszor ( 9 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: ; n n aradszor ( ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: n 3 ; n n negyedszer ( 3 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: n n e. n n Hasonlóképpen ( 6 ), ( 9 ), ( 30 ) - cal: n. n ( 3 ) ( 3 ) ( 33 ) ( 34 ) ( 35 ) Most rátérünk a törőoaték nagyságának száítására. A. ábra szerint is: M H t t. ( 36 ) Az erőkarok: t 3. ( 37 ) 3 A oóerő atásvonalának távolsága a seleges tengelytől, oatéki egyenlettel: t N b b ; ( 38 ) 3
7 ost ( 8 ) és ( 38 ) - cal: t b b ; 3 innen 3 3 3 t, 3 teát 3 t. 3 Most ( 38 ) és ( 39 ) - cel: 3 t t 3. 3 3 ( 39 ) ( 40 ) Most írjuk fel ( 40 ) jobb oldalát ( 3 ), ( 3 ), ( 33 ) - al! n 3 ; 3 3 n n n n n n n n n n n ; n n n 3 3 ; n n n n 3 3 n n n n 3 n ; n n ; n n n n
3 3 n 3 n ; n n n n n n n n ; n n n n n n 3n 3 ; n n 3 3 3 3 8 3 n 3 n n 3 n n 3 n n n n n 3 n n n 3 n 3n n 3 n n n n n n Most a ( 7 ) és ( 33 ) képletekkel: n H,B b 3,B b. n n Majd a ( 36 ), ( 4 ), ( 4 ) képletekkel: 3n n n 3n n M,B b n n n n n 3 teát 3n n b,b 6 n n n n b,b, 6 n n ; 3 ( 4 ) ( 4 )
9 3n n b M,B. 6 n n ( 43 ) Majd ( 6 ) és ( 43 ) - al: 3n n b M. 6 n n ( 44 ) Most vizsgáljunk eg néá speciális esetet! S. E = E esete Az. ábra alapján:,b E,B, E ( 45 ) aol felasználtuk a ( 6 ) és ( 5 ) képleteket is. Ha S. fennáll, akkor ( 45 ) - ből:, ( 46 ) vagy ( 30 ) - cal is: n. ( 47 ) Most ( 44 ) végét átalakítjuk; ( 47 ) - ből: n ; 3 3 n 3 4 4 3 4 4 36 4 ; 4
0 3 6 38 6 4 4 4 4 3n n ; 4 4 4 n n, 4 n n ; 4 4 ezekkel ( 45 ): 4 38 6 b 3n n b 4 M 4 4 6 n n 6 4 4 b 3, 3 4 b 38 6 b 4 4 6 6 6 teát 3 b 3 M (S,), 6 ( 48 ) egyezésben az ( I 33 ) képlettel. Ha ég további = ( 49 ) specializációval élünk, akkor ( 48 ) és ( 49 ) - cel: M (S,) b 6 ( 50 ) isert eredé adódik. A specializációk atását a σ - ε diagrara a 3. ábra szelélteti.
3. ábra A 3. / bal ábrarész A 3. / középső ábrarész A 3. / jobb ábrarész jellezői: ( S, ) jellezői: ( S, ) jellezői: <, <,,B,B,,B n, n, n, n... S. ε = ε esete Ekkor ( ) szerint n. ( 5 ) Most ( 44 ) és ( 5 ) - gyel: b b b M, 6 6 6 teát b M (S,). 6 Ha ég a ( 49 ) specializációval is élünk, akkor ( 49 ) és ( 5 ) szerint: ( 5 )
b M. 6 (S,) ( 53 ) isert eredé adódik. A specializációk atását a σ - ε diagrara a 4. ábra szelélteti. 4. ábra A 4. / bal ábrarész A 4. / középső ábrarész A 4. / jobb ábrarész jellezői ( S, ) jellezői ( S, ) jellezői,b <, n, n.,b n,,.,b, n,. S3. σ,b = σ esete Ekkor ( 6 ) szerint fennáll ( 49 ). Most ( 44 ) és ( 49 ) - cel: 3n n b M (S3,). 6 3n ( 54 )
3 Ha ég az ( 5 ) specializációval is élünk, akkor az M (S3,) b 6 ( 55 ) isert eredé adódik. A specializációk atását a σ - ε diagrara az 5. ábra szelélteti. 5. ábra Az 5. / bal ábrarész Az 5. / középső ábrarész Az 5. / jobb ábrarész jellezői ( S 3, ) jellezői ( S 3, ) jellezői,b <, n, n.,b, n, n.,b, n,. Megjegyzések: M. Az egész dolgozatban asználjuk az,b típusú jelöléseket, iközben tudjuk, ogy a tört szálálója és nevezője ellentétes előjelű, így áadosuk negatív szá. Ezt az ellentondást úgy oldjuk fel, ogy a szálálót is és a nevezőt is egy - egy olyan szakasz osszának tekintjük, ely szakaszokat a σ - ε diagraról vettünk le.
4 M. Az ( 54 ) képlet ég valaelyest bár ne léegesen szépítető. 3 n n 3 n 4 n 4 n 3 n 8 n 8 n n 8 n ; 3n 9n 6n ; 9n 6n n n 3n n n 8n 3n 9n 6n 9n 6n n n, 3 n azaz ( 54 ) így alakul: b nn M(S3,). 6 3n ( 54 / ) Önállóan egoldandó feladat Határozza eg a seleges tengely távolságát a oott szélső szálaktól! Összegzés Dolgozatunk ásodik részében egy a szakirodaloban ne, vagy csak alig fellelető eset vizsgálatát végeztük el. Bár a cíben fagerendáról van szó, azért ás aagú gerendákra is alkalazató leet ez a odell. A σ - feszültségek száításával külön részletesebben ne foglalkoztunk, ert az integy agától adódik, a fentiek alapján. Sződliget, 009. október 8. Összeállította: Galgóczi Gyula érnöktanár