XI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot akár jobbról, akár balról szorozva, amennyiben a mátrixszal összeszorozható, a szóbanforgó másik mátrix adódik 11 Definíció Legyen A n-edrendű T feletti mátrix Az A mátrix inverzén értjük azt az A 1 -gyel jelölt n-edrendű T feletti mátrixot, amely a következőt teljesíti: (1) AA 1 = A 1 A = E n Kérdés, hogy melyek azok a mátrixok, amelyeknek van inverzük 1

12 Definíció Legyen A n-edrendű (T feletti) mátrix Az A mátrix elemeiből (az elemeknek a sorokban, oszlopokban való elrendezését megtartva) determináns is képezhető Az ily módon létrehozott determinánst az A mátrix determinánsának nevezzük, és A -val jelöljük 13 Tétel (Determinánsok szorzástétele) Legyenek A, B n n-es (T feletti) mátrixok Érvényes a következő: (2) AB = A B Bizonyítás Az A mátrix álljon az a ij ; a B mátrix a b ij elemekből (i = 1, 2,,n; j = 1, 2,,n) A bizonyítás céljából alkossuk meg a következő D determinánst a 11 a 12 a 1n 0 0 0 a 21 a 22 a 2n 0 0 0 D = a n1 a n2 a nn 0 0 0 1 0 0 b 11 b 12 b 1n 0 1 0 b 21 b 22 b 2n 0 0 1 b n1 b n2 b nn 2

Alkalmazzuk a D determinánsra Laplace tételét Fejtsük ki D-t az első n sora szerint Kapjuk, hogy D = A B Végezzünk olyan átalakításokat D-n, amelyek nem változtatják meg a determináns értékét Elsőként az n + 1-edik oszlopát alakítjuk át a determinánsnak Az n + 1-edik oszlophoz hozzáadjuk az első oszlop b 11 -szeresét, a második oszlop b 21 - szeresét, és így tovább, végül az n-edik oszlop b n1 - szeresét Az átalakítás eredményeként az n + 1-edik oszlop utolsó n eleme 0 lett D az átalakítás után a következő: n a 11 a 12 a 1n t=1 a 1tb t1 0 0 0 a 21 a 22 a n 2n t=1 a 2tb t1 0 0 0 a n1 a n2 a n nn t=1 a ntb t1 0 0 0 1 0 0 0 b 11 b 12 b 1n 0 1 0 0 b 21 b 22 b 2n 0 0 1 0 b n1 b n2 b nn Vegyük észre, hogy az n+1-edik oszlop első n eleme éppen az AB szorzatmátrix első oszlopának elemeiből áll Jelöljük az AB mátrixot C-vel és elemei 3

is legyenek c ij, i = 1, 2,,n; j = 1, 2,,n A jelölés bevezetésével : c 11 = n a 1t b t1, c 21 = n a 2t b t1,, c 1n = n a nt b t1 t=1 t=1 t=1 A D determinánson megkezdett átalakítássorozatot folytathatjuk a determináns n + 2 oszlopának átalakításával: az n+2-edik oszlophoz hozzáadjuk az első oszlop b 12 -szeresét, a második oszlop b 22 -szeresét, és így tovább, végül az n-edik oszlop b n2 -szeresét Az n + 2 oszlop első n eleme a szorzatmátrix második oszlopa (c 21, c 22,,c n2 ) lett, míg a további elemek 0-k Hasonlóan járunk el az n + 3 oszlop esetében, és folytatva az eljárást végül a 2n-edik oszlopra végezzük el az átalakítást A D determináns utolsó n oszlopának felső n sorában a szorzatmátrix elemei állnak, az alsó n sora viszont 0 Részletesen leírva a következőhöz jutottunk: 4

a 11 a 12 a 1n c 11 c 12 c 1n a 21 a 22 a 2n c 21 c 22 c 2n a = n1 a n2 a nn c n1 c n2 c nn 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Fejtsük ki az utóbbi determinánst Laplace tétel szerint, kiválasztva n oszlopot mégpedig az n + 1- ediktől a 2n-edikig terjedő oszlopokat Ezekből az oszlopokból kiválasztható n-edrendű determinánsok közül a C -n kívül mindegyikről tudjuk, hogy 0 Így C -t kell megszorozni az adjungáltjával A C komplementere ( 1) n, és az adjungált előjelét pedig az határozza meg, hogy mit kapunk ha ( 1)-t a C sor és oszlopindexeinek összegére emeljük C sor és oszlopindexeinek összege: 1+2+ +n+(n+1)+ +2n = 2n 1 + 2n 2 = n+2n 2 Az adjungált előjele ( 1) n+2n2, ezt még megszorozva C komplementerével ( 1) n -nel ( 1) 2n+2n2-5

tet kapunk, ami 1-el egyenlő Így D = C = AB vel A bizonyítás kezdetén megállapítottuk, hogy D = A B Tehát AB = A B 2 Az inverzmátrix létezésének feltétele 21 Tétel Az A n n-es (T feletti) mátrixnak csakis akkor létezhet inverze, ha A 0 Bizonyítás Tegyük fel, hogy létezik olyan A 1 mátrix, amelyik teljesíti az (1) feltételt Tekintsük az (1)-ben szereplő két egyenlőség közül csak az egyiket, például az (3) A A 1 = E n egyenlőséget Vegyük az egyenlőség mind a két oldalának determinánsát (4) AA 1 = E n = 1 Az utóbbi egyenlőség bal oldalán AA 1 = A A 1 írható a determinánsok szorzástételének felhasználásával Tulajdonképpen a determinánsok szorzástételének ebben a fejezetben való tárgyalására azért volt 6

szükség, hogy ezt a lépést megtehessük Most már (4) így írható: (5) A A 1 = 1 Legyen A = 0 Nincs olyan A 1 T szám, melyre 0 A 1 = 1 lenne, tehát A 1 nem létezhet 22 Definíció Az A mátrix n n-es mátrixot nemelfajuló mátrixnak nevezzük, ha A 0 és elfajulónak, ha A = 0 A 21 Tétel az utóbbi definíció alapján úgy is fogalmazható, hogy egy mátrixnak csakis akkor lehet inverze, ha nemelfajuló 3 A nemelfajuló mátrix inverzének létezése 31 Tétel Az A nemelfajuló mátrixnak van egyértelműen meghatározott inverze A bizonyítás során szükségünk lesz a következő tételre 32 Tétel Legyenek A és B olyan T feletti mátrixok, amelyekre az AB szorzat létezik Ekkor (AB) T = B T A T 7

ahol T a transzponálás jele A tétel bizonyítása közvetlen számolással elvégezhető Bizonyítás (A 31 Tételé) A bizonyítás konstruktív jellegű Eljárást adunk az inverz meghatározására Az (1) feltételnek eleget tevő A 1 megalkotását részfeladatokra bontjuk Először az adott n-edrendű A mátrixhoz keresünk olyan n-edrendű X mátrixot, amelyre (6) AX = E n, majd olyan n-edrendű Y mátrixot, amelyre (7) Y A = E n és végül bizonyítjuk, hogy X = Y a) A bizonyítás első része a (6) feltételnek eleget tevő X mátrix megtalálása Tulajdonképpen egy speciális mátrixegyenlet megoldásáról van szó A (6) egyenlet a mátrixok elemeit is részletesen leírva a következő: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 8 x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n x n1 x n2 x nn =

(8) 1 0 0 0 1 0 =, 0 0 1 Jelöljük az X mátrix oszlopvektorait x 1, x 2,,x n - nel, azaz x 1 = x 11 x 21 x n1 x 2 = x 12 x 22 x n2,, x n = x 1n x 2n x nn és E n -net is írjuk (e 1, e 2,,e n ) mátrixként ahol e i az i-edik egységvektor A most bevezetett jelölésekkel (6) a következő alakú: (9) A(x 1 x 2 x n ) = (e 1 e 2 e n ) Ez a mátrixegyenlet ekvivalens a következő n egyenletrendszerrel: (10) Ax i = e i i = 1, 2,,n Mindegyik egyenletrendszer megoldása az X mátrix egy-egy oszlopát adja Lényeges körülmény, hogy 9

valamennyi egyenletrendszernek ugyanaz a mátrixa Állítjuk, hogy valamennyi egyenletrendszer az A 0 feltétel következményeként megoldható és egyetlen megoldása van Az utóbbi állítást kétféle módon ((α) illetve (β)) is megmutatjuk (α) (10)-nek valamennyi egyenletrendszere eleget tesz a Cramer-szabály követelményeinek az egyenletrendszer ugyanannyi egyenletből áll, mint amennyi az ismeretleneinek a száma, és az egyenletrendszer determinánsa nem 0 A Cramer-szabály szerint az egyenletrendszerek mindegyike megoldható és egyetlen megoldása van (β) Az A mátrix n vektorból álló oszlopvektorrendszere lineárisan független, hiszen az A rangja a rang definíciója szerint n Az n komponensű T feletti vektorok terének dimenziója n (Ennek a vektortérnek egyik bázisa az e 1, e 2,,e n egységvektorokból álló vektorrendszer) A-nak oszlopvektorai a T feletti n-komponensű vektorok terében bázist alkotnak Bármely bázis elemeinek lineáris kombinációjaként az n komponensű T feletti vektorok terének bármely vektora előáll, méghozzá egyértelmű módon Így az A oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként megkapjuk e 1 -gyet, e 2 -őt,, e n -et Az e vektor lineáris kombinációként való előállításának egyértelműen meghatározott konstansai az x i kom- 10

ponensei mindegyik i = 1, 2,,n-re b) Térjünk rá az Y A = E n mátrixegyenlet megoldására A probléma visszavezethető az AX = E n megoldott típusra, a 32 Tétel alkalmazásával Az Y A = E n mátrixegyenlőségnek mind a két oldalát transzponálva az (Y A) T = E n egyenlőséghez, majd 32 Tétel szerint az A T Y T = E mátrix egyenlethez jutunk A bizonyítás a) része alapján Y T -re egyértelmű megoldás adható, transzponálással Y is megkapható c) Bizonyítjuk, hogy X = Y A bizonyítást a következő gondolatmenet adja: X = E n X = (Y A)X = Y (AX) = Y E n = Y Vegyük észre, hogy a bizonyítás azon múlik, hogy a mátrixszorzás asszociatív 4 Az inverzmátrix gyakorlati kiszámítása A 31 Tétel bizonyítása során az is látható, hogy az A mátrix inverzének meghatározásához elegendő a (6) mátrixegyenletet, vagy a vele ekvivalens (10) egyenletrendszereket megoldani Az Ax i = e i i = 1, 2,,n ugyan n egyenletrendszert jelent, de az egyenletrendszereket nem kell külön-külön megoldani mivel mindegyik egyenletrendszer mátrixa 11

ugyanaz, mégpedig az A mátrix Kiindulási táblázat a következő: a 1 a 2 a n e 1 e 2 e n (11) e 1 a 11 a 12 a 1n 1 0 0 e 2 a 21 a 22 a 2n 0 1 0 e n a n1 a n2 a nn 0 0 1 Az egyenletrendszerek megoldása elemi bázistranszformációk végrehajtásával jár Mivel az inverz létezésének feltétele az, hogy A 0 legyen, ami azt jelenti, hogy A rangja és így oszloprangja is n kell hogy legyen, ezért az A mátrix valamennyi oszlopvektora be kell hogy kerüljön a bázisba Ha ez nem teljesíthető, akkor A = 0, és nincs A-nak inverze Ezért az inverzmátrix meghatározásának megkezdése előtt nem szükséges az A 0, feltételt külön ellenőrízni, amint látható ennek teljesülése, vagy nem teljesülése menet közben úgyis kiderül Tegyük fel, hogy sikerült az A mátrix valamennyi oszlopvektorát a bázisba vinni Ezt az jelzi, hogy a táblázat baloldalán az e 1, e 2,,e n jeleket felváltották az a 1, a 2,,a n jelek Ekkor az e 1 oszlopában az Ax 1 = e 1 egyenletrendszer, e 2 oszlopában 12

Ax 2 = e 2 egyenletrendszer,, e n oszlopában pedig az Ax n = e n egyenletrendszer megoldása áll Ha a számolás úgy történt, hogy az egységvektorok helyére rendre az a 1, a 2,,a n vektorokat vontuk be, akkor azon a helyen, ahol (11)-ben az egységmátrix állt, a számítás befejezésekor az inverzmátrixot kapjuk Általában ez a számolás egyszerűbbé tétele miatt nem sikerül Ezért sorcseréket kell végezni A táblázatban az a 1 jellel egy sorban lévő elemek az inverzmátrix első sorát, az a 2 -vel egy sorban lévők a második sorát,, a n -nel egy sorban lévők az n-edik sorát adják 5 Mátrixegyenletek megoldása A 4 alfejezetben vázolt módszer alkalmas az (14) AX = B valamint az (15) Y A = B típusú mátrixegyenletek megoldására is A (14) mátrixegyenletet n egyenletrendszerre bontjuk Legyenek az X mátrix oszlopvektorai x 1, x 2,,x n a B 13

Az egyenlet- mátrix oszlopvektorai b 1, b 2,,b n rendszerek (16) Ax i = b i (i = 1, 2,,n) Ezek megoldása egyszerre történik a következő kiindulási táblázattal: a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n e 1 a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n e 2 a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 1n e n a n1 a n2 a nn b n1 b n2 b nn Ha figyelembevesszük, hogy itt (16)-nak megfelelően n egyenletrendszer megoldásáról van szó, akkor a megoldhatóság eldöntése és a megoldás megtalálása az egyenletrendszerek megoldásával kapcsolatos ismeretek alapján megvalósítható A (15) típusú mátrixegyenlet a (14) típusúra vezethető vissza transzponálással: A T Y T = B T 14

51 Megjegyzés Természetesen a (14), illetve a (15) mátrixegyenletek nemcsak az elemi bázistranszformáció módszerét alkalmazva, hanem bármely az egyenletrendszerek megoldására alkalmas eljárással megoldhatók, így Gauss-kiküszöböléssel is 6 Alkalmazás Általános bázistranszformáció Legyen adva a V (T test feletti) vektortér Legyen e 1, e 2, e n ; valamint e 1, e 2,,e n két bázisa Mindegyik bázis kifejezhető a másik bázis elemeivel: e 1 = ρ 11 e 1 + + ρ 1n e n (17) e 2 = ρ 21 e 1 + + ρ 2n e n e n = ρ n1 e 1 + + ρ nn e n 61 Definíció Legyen V vektortér (T felett) és e 1,,e n valamint e 1, e n V két bázisa (17) szerint e 1, e n bázis elemei kifejezhetők az e 1, e n bázis elemeinek lineáris kombinációjaként Ebben 15

az előállításban szerepet játszó ρ 11 ρ 12 ρ 1n ρ R = 21 ρ 22 ρ 2n ρ n1 ρ n2 ρ nn mátrixot az e 1, e 2,,e n bázisról az e 1, e 2,,e n bázisra való átmenetmátrixnak nevezzük e 1 Ha bevezetjük az e e = 2 valamint az e n e = e 1 e 2 e n jelölést, akkor (17) a következő tömörebb formában is írható: e = Re Alkalmas R mátrixszal érvényes az e = R e összefüggés is R az e bázisról az e-re való átmenet mátrixa Az utóbbi két egyenlőségből behelyettesítéssel e = RR e valamint e = R Re következik Mivel a báziselőállítás egyértelmű, RR = E n, R R = E n ahonnan R = R 1 Innen egy igen fontos megállapítás vonható le: 16

62 Tétel Egy vektortér egyik bázisáról egy másikra való átmenetmátrix csakis nemelfajuló mátrix lehet 7 Gazdasági alkalmazás: Az ágazati kapcsolatok mérlegéről Tegyük fel, hogy egy ország gazdaságát, egy nagyvállalat termelését n szektorra bontották Az egyes szektorok által a kibocsátott termék értéke forintban x = (x 1, x 2,,x n ) Ez a bruttó kibocsátás vektora Az i-edik szektor a j-ediknek x ij értéket ad át, amely felhasználásra kerül a j-edik termelésében Az M mátrix elemei ezek az x ij számok x 11 x 12 x 1n M = x n1 x n2 x nn Ha M sorait összeadjuk, azaz az M 1 vektort képezzük, akkor megkapjuk az úgy nevezett termelő fogyasztást (Az 1 vektor definíciója: olyan oszlopvektor, amelynek mindegyik komponense 1) A valóságban mindig x > M1 A különbségvektor, azaz y = x M1 17

a nettó kibocsátás vektora Használni fogjuk az X mátrixot is, amelynek főátlójában az x 1, x 2,,x n számok állnak, a többi eleme 0 A következőképpen kapjuk meg az úgy nevezett technológiai mátrixot, amelyet A-val jelölünk: A = MX 1 Természetesen M = AX A bruttó és a nettó kibocsátások vektorai közötti kapcsolat: amelyből x = Ax + y, y = (E A)x és x = (E A) 1 y Az utóbbiak az ágazati kapcsolatok mérlegének alapvető összefüggései 8 Példa Számítsuk ki a következő mátrix inverzét A = 2 5 6 1 2 5 1 3 2 18

a 1 a 2 a 3 e 1 e 2 e 3 e 1 2 5 6 1 0 0 e 2 1 2 5 0 1 0 e 3 1 3 2 0 0 1 a 1 a 3 e 1 e 2 e 3 e 1 1 4 1 2 0 a 1 2 5 0 1 0 e 3 1 3 0 1 1 a 3 e 1 e 2 e 3 a 2 4 1 2 0 a 1 13 2 5 0 e 3 1 1 1 1 e 1 e 2 e 3 a 2 3 2 4 a 1 11 8 13 a 3 1 1 1 Az A mátrix inverze: A 1 = 11 8 13 3 2 4 1 1 1 19