Statztka alameetek amt feltétlenül tudn kell Sokaág é mnta fogalma Statztka (mnta jellemzője) é aaméte fogalma Váható éték é vaanca jellemző Sűűégfüggvén é elozláfüggvén Standad nomál -, t- é F-elozlá Hotézvzgálat (tatztka óba) alaelve é menete Előfajú é máodfajú hba Póba eeje Kétmntá t-óba é F-óba Konfdenca-ntevallum KISTERV_ANOVA_
Emlékeztető: kétmntá t-óba Két független mnta:, ;, ;, x x n n Feltételezzük a két okaág vaancájának egenlőégét: 0 : H Póbatatztka: KISTERV_ANOVA_ 0 n n x x t - n +n n n n n Nullhotéz:
KISTERV_ANOVA_ 3 3
VARIANCIAANALÍZIS (ANOVA) Nevével ellentétben nem vaancák, hanem a váható étékek özehaonlítááa zolgál. KISTERV_ANOVA_ 4 4
Eg fakto zent ANOVA Több független mntánk van - elemzámuk: - cootátlagok:,,,, 3,,,, 3 - cooton belül zóánégzetek:,, 3,, H 0 : 3 KISTERV_ANOVA_ 5 5
. élda (vealv.ta) Véalvadá dő (ec) négféle déta eetén (Box-Hunte-Hunte: Stattc fo Exemente, J. Wle, 978,. 65) Déta A B C D 6 63 68 56 60 67 66 6 63 7 7 60 59 64 67 6 65 68 63 66 68 64 63 59 H 0 : 3 4 KISTERV_ANOVA_ 6 6
Adatok ábázoláa: Box-lot (dobozo ába) 7 70 68 66 CTIME 64 6 60 58 56 54 A B C D DIET Medan 5%-75% Non-Outle Range Outle Exteme KISTERV_ANOVA_ 7 7
- cootok záma: - cooton belül métléek záma: Jelöléek j tt =4 tt l. =4 - eged méé adat: j - cootátlag: - öze méé átlaga: j j j j Déta A B C D 6 63 68 56 60 67 66 6 63 7 7 60 59 64 67 6 65 68 63 66 68 64 63 59 KISTERV_ANOVA_ 8 8
Szemléltető ába az ANOVA alagondolatához KISTERV_ANOVA_ 9 9
Az -edk cooton belül ngadozá vaancájának beclée: (a coot-átlagtól való eltééek) ˆ j j R j j Az egeített cootokon belül zóánégzet (ha kontan): KISTERV_ANOVA_ 0 0 Az ANOVA alaelve Cooton belül ngadozá vaancája
Az ANOVA alaelve Ha nnc különbég a cootok között, a cootátlagok cak a véletlen ngadozá matt tének el egmától. A cootátlagok vaancája tehát kétfélekéen becülhető: - cootokon belül métléekből - a cootátlagokból KISTERV_ANOVA_
ˆ - az átlagokból becülve (ha =kont): - métléekből becülve: ˆ A A általánoan (ha kont) KISTERV_ANOVA_ Az ANOVA alaelve A cootátlagok vaancája
Az ANOVA alaelve - ha H 0 gaz, akko A é R köül ngadozk F 0 A R A R j j (between) (wthn) - ha a valóágban van különbég (H ) F 0 A F R egoldal óba! f(f) KISTERV_ANOVA_ 3 F F
ANOVA táblázat Az eltéé foáa eltéé-négzetözeg zabadág fokzám A hatáa (cootok S A között) Imétléek (cootokon S R j belül) S Telje 0 j j j zóá-négzet S A - A S R R F A R A fakto hatáa jelentő (elutaítjuk a H 0 hotézt), ha: / F A R kt KISTERV_ANOVA_ 4 4
Kegenúlozott tev: = =...= = Az eltéé foáa A hatáa (cootok között) Imétléek (cootokon belül) eltéé- -négzetözeg S A S R j S 0 Telje j j zabadág fok - (-) - j zóánégzet R A F S A S R A R KISTERV_ANOVA_ 5 5
. élda eedméntáblázata STATISTICA ogammal / Summa fülön: Dectve cell tattc Effect Total DIET DIET DIET DIET Dectve Stattc (Vealv) Level of N CTIME CTIME CTIME Facto Mean Std.Dev. Std.E 4 64.00000 3.84486 0.78480 A 4 6.00000.8574 0.987 B 6 66.00000.8847.5470 C 6 68.00000.67330 0.68330 D 8 6.00000.6865 0.9580 ˆ ˆ j Summa fülön: Tet all effect ANOVA tábla Effect Intecet DIET Eo wthn R Unvaate Tet of Sgnfcance fo CTIME (Vealv) Sgma-etcted aametezaton Effectve hothe decomoton SS Deg. of MS F Feedom 95.4 95.4 65.68 0.000000 8.00 3 76.00 3.57 0.000047.00 0 5.60 A between KISTERV_ANOVA_ 6 6
ANOVA modell kíélet (nemcak méé) hba j Y j j mét éték gaz éték váható éték a fakto -edk zntje (-edk déta) az -edk cooton belül j-edk métlé KISTERV_ANOVA_ 7 7
. átlag-modell: j j H 0 : 3. hatá-modell: j j felbontáal a fakto -edk zntjének (-edk déta) hatáa közö éték; + aaméte 0 um to zeo 0 et to zeo H 0 : 0,,..., KISTERV_ANOVA_ 8 8
Y ˆ ˆ ˆ A modell aaméteenek beclée... ˆ j j a váható éték beclée a főátlag mn ˆ ˆ j j 0 ˆ ˆ j j j j ˆ ˆ =0 KISTERV_ANOVA_ 9 9 um to zeo
ˆ ˆ ˆ ˆ j mn j. j j ˆ. A modell aaméteenek beclée j ˆ ˆ 0.. j ˆ hatáok beclée a megfelelő átlagokkal cak - független! Yˆ ˆ az -edk coot váható étékének beclée az -edk coot átlaga KISTERV_ANOVA_ 0 0
. élda eedméntáblázata STATISTICA ogammal / Summa fülön: Coeffcent Effect Intecet DIET DIET DIET Paamete Etmate (Vealv) Sgma-etcted aametezaton Level of Column CTIME CTIME CTIME CTIME Effect Paam. Std.E t 64.00000 0.4979 8.5367 0.000000 A -3.00000 0.97360-3.083 0.005889 B 3.00000 0.845330.3659 0.0895 C 4 4.00000 0.845330 4.739 0.0008 0 um to zeo gma-etcted Effect Intecet DIET DIET DIET DIET Paamete Etmate (Vealv) (*Zeoed edcto faled toleance check) Ove-aametezed model Level of CTIME CTIME CTIME CTIME Effect Paam. Std.E t 6.00000 0.836660 7.90895 0.000000 A 0.00000.44938 0.00000.000000 B 5.00000.7809 3.930 0.000864 C 7.00000.7809 5.4773 0.00003 D 0.00000 4 0 et to zeo KISTERV_ANOVA_
Konfdenca-ntevallum az ege cootok váható étékée Pontbeclé: Yˆ ˆ Intevallumbeclé:? R t zab. fok: ege cootokon belül zóánégzet egeített zóánégzet (jobb beclé) Az -edk coot váható étékének konfdenca-ntevalluma: t R t R KISTERV_ANOVA_
. élda eedméntáblázata STATISTICA ogammal / 3 Summa fülön: Coeffcent Effect Intecet DIET DIET DIET Paamete Etmate (Vealv) Sgma-etcted aametezaton Level of Column CTIME CTIME CTIME CTIME -95.00% +95.00% Effect Paam. Std.E t Cnf.Lmt Cnf.Lmt 64.00000 0.4979 8.5367 0.000000 6.9637 65.03863 A -3.00000 0.97360-3.083 0.005889-5.0309-0.96908 B 3.00000 0.845330.3659 0.0895 0.3667 3.76333 C 4 4.00000 0.845330 4.739 0.0008.3667 5.76333 Effect Intecet DIET DIET DIET DIET Paamete Etmate (Vealv) (*Zeoed edcto faled toleance check) Ove-aametezed model Level of Column Comment CTIME CTIME CTIME CTIME -95.00% +95.00% Effect (B/Z/P) Paam. Std.E t Cnf.Lmt Cnf.Lmt 6.00000 0.836660 7.90895 0.000000 59.5476 6.7454 A Baed 0.00000.44938 0.00000.000000-3.085 3.085 B 3 Baed 5.00000.7809 3.930 0.000864.3340 7.66590 C 4 Baed 7.00000.7809 5.4773 0.00003 4.3340 9.66590 D 5 Zeoed* 0.00000 KISTERV_ANOVA_ 3 3
Az ege cootok váható étékée vonatkozó konfdenca-ntevallumok ábázoláa 7 DIET; LS Mean Cuent effect: F(3, 0)=3.57, =.00005 Effectve hothe decomoton Vetcal ba denote 0.95 confdence nteval 70 68 66 64 CTIME 6 60 58 56 A B C D DIET KISTERV_ANOVA_ 4 4
ANOVA feltételezée az j hbák váható étéke zéu Modell: j j e vaancájuk kontan (homozkedaztctá) az j hbák cootokon belül é cootok között függetlenek egmától az j hbák nomál elozláúak (nem az j adatok!) Ellenőzn kell! KISTERV_ANOVA_ 5 5
ANOVA feltételezéenek ellenőzée. Homozkedaztctá: e kont a) Statztka óbákkal Aumton fülön: Homogenet of vaance... Batlett-óba Tet of Homogenet of Vaance (Vealv) Effect: DIET Hatle F-max Cochan C Batlett Ch-Sq. df CTIME.85743 0.385.667956 3 0.64408? ézéken a nomál elozlá feltételezéée Levene-óba Levene' Tet fo Homogenet of Vaance (Vealv) Effect: DIET Degee of feedom fo all F': 3, 0 MS MS F Effect Eo CTIME.444444.050000 0.704607 0.56044 KISTERV_ANOVA_ 6 6
A feltételezéek ellenőzée a ezduumok vzgálatával. Homozkedaztctá: kont? b) Becült étékek ezduumok (Ped & ed) ábával 6 5 4 3 0 - - Raw Redual -3-4 -5-6 e -7 60 6 6 63 64 65 66 67 68 69 Pedcted Value KISTERV_ANOVA_ 7 7
A feltételezéek ellenőzée a ezduumok vzgálatával. az j hbák nomál elozláúak-e? Nomal Pobablt Plot vag Gau-háló ezduumoka hztogam 3.0 Exected Nomal Value.5.0.5.0 0.5 0.0-0.5 -.0 -.5 -.0 -.5-3.0-7 -6-5 -4-3 - - 0 3 4 5 6 Redual.99.95.75.55.35.5.05.0 5 4 3 No. of ob. 0-8 -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 X <= Catego Bounda KISTERV_ANOVA_ 8 8
A feltételezéek ellenőzée a ezduumok vzgálatával 3. az j hbák függetlenek-e? Rezduumok ábázoláa l. a méé oend függvénében 6 5 4 3 0 - - CTIME, Red -3-4 -5-6 -7-5 0 5 0 5 0 5 30 ORDER KISTERV_ANOVA_ 9 9
Többzöö özehaonlítáok H 0 : 3 4 elutaítva Mndegk különböző? 3 4 3 4 Özehaonlítáok tíua: tevezett vag ot hoc zemléletbel különbég vezéle KISTERV_ANOVA_ 30 30
Haonlítuk öze a. é a 3. détát! H t 0 0 : 3 3 3 3 3 é 3 egeítéével a zabadág fok n +n 3 -=6+6-=0 lenne, zabadág foka 4 4 0 R t 0 R 3 3 LSD-óba (Leat Sgnfcant Dffeence) KISTERV_ANOVA_ 3 3
Kontaztok Az özehaonlítáok általánoítáa: k H 0 : c 0 k c 0 c k kontazt-egütthatók k k-adk nullhotéz C k ck C k kontazt Pl. H : 3 0 3 0 C c =0, c =, c 3 =-, c 4 =0 KISTERV_ANOVA_ 3 3
EC k c k VaC k e k H 0 t 0 : E C c 0 R k c k c k k c k otogonálak a kontaztok, ha mnden kl-e ekko függetlenek az özehaonlítáok c k c l 0 Példák függetlenek é nem független özehaonlítáoka KISTERV_ANOVA_ 33 33
Többzöö özehaonlítáok kockázata Ha az özehaonlítáok függetlenek, még nem jelent azt, hog a tatztka óbák függetlenek! eg özehaonlítáa az előfajú hba valózínűége α * (l. 0,05) (ndvdual eo ate): hog nem követünk el előfajú hbát: - α * hog független özehaonlítá egkénél em követünk el előfajú hbát: hog független özehaonlítá valamelkénél elkövetünk előfajú hbát (faml eo ate) l. k=6-nál: * 0,05 6 0, 65 KISTERV_ANOVA_ 34 34 *
Nem független özehaonlítáok eetén * k Bonfeon-egenlőtlenég l. 6 nem független özehaonlítáa 60,05 0,3 KISTERV_ANOVA_ 35 35
Többzöö özehaonlítáok a Stattca ogamban / Pot-hoc fülön: LSD tezt Az öze áa elvégz az özehaonlítát Cell No. 3 4 LSD tet; vaable CTIME (Vealv) Pobablte fo Pot Hoc Tet Eo: Between MS = 5.6000, df = 0.000 DIET {} {} {3} {4} 6.000 66.000 68.000 6.000 A 0.003803 0.0008.000000 B 0.003803 0.58776 0.000864 C 0.0008 0.58776 0.00003 D.000000 0.000864 0.00003 Pot-hoc fülön: Bonfeon Cell No. 3 4 Bonfeon tet; vaable CTIME (Vealv) Pobablte fo Pot Hoc Tet Eo: Between MS = 5.6000, df = 0.000 DIET {} {} {3} {4} 6.000 66.000 68.000 6.000 A 0.085 0.00083.000000 B 0.085 0.95656 0.0058 C 0.00083 0.95656 0.00039 D.000000 0.0058 0.00039 * k 0,003803 6=0,085 eg özehaonlítáa vonatkozk (α*) KISTERV_ANOVA_ 36 36
Between Contat Coeffcent (Vealv) Coeffcent fo each cell n the elected effect Cell No. DIET Cell N CNTRST 3 4 Többzöö özehaonlítáok a Stattca ogamban / Planned com fülön: Secf contat A 4 B 6 0 C 6 0 D 8 - Souce Effect Eo 4 0 Unvaate Tet of Sgnfcance fo Planned Comaon (Vealv) Deendent vaable: CTIME Sum of Deg. of Mean F Squae Feedom Squae 0.0000 0.000000 0.000000.000000.0000 0 5.600000 Between Contat Coeffcent (Vealv) Coeffcent fo each cell n the elected effect Cell No. DIET Cell N CNTRST 3 4 A 4 0 B 6 C 6 - D 8 0 Souce Effect Eo 3 Unvaate Tet of Sgnfcance fo Planned Comaon (Vealv) Deendent vaable: CTIME Sum of Deg. of Mean F Squae Feedom Squae.0000.00000.4857 0.58776.0000 0 5.60000 KISTERV_ANOVA_ 37 37 0
Between Contat Coeffcent (Vealv) Coeffcent fo each cell n the elected effect Cell No. DIET Cell N CNTRST 3 4 A 4 B 6 - C 6 - D 8 3 4 3 4 0 Souce Effect Eo Unvaate Tet of Sgnfcance fo Planned Comaon (Vealv) Deendent vaable: CTIME Sum of Deg. of Mean F Squae Feedom Squae 03.94 03.94 36.305 0.000007.0000 0 5.6000 KISTERV_ANOVA_ 38 38
H 0 : Mekkoa a máodfajú hba valózínűége? 3 4 elfogadva Stattc>Powe Anal>Seveal Mean, ANOVA -Wa.0 -Wa ANOVA: Powe Calculaton -Wa ANOVA (Fxed Effect) Powe v. RMSSE (Alha = 0.05, Gou = 4, N = 6).9 Powe.8.7.6.5.4 RMSSE e.3.. 0.0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,, Root Mean Squae Standadzed Effect (RMSSE) KISTERV_ANOVA_ 39 39
j j Pl. ha = -3, = 3, 3 = 4 = 0 RMSSE 3 3 4 0 5.6 0 8 35.6.035 Az előző dagamól leolvava: ehhez a óba eeje = - 0,95 De ha = -, =, 3 = 4 = 0, akko RMSSE étéke má cak 0,345; a óba eeje edg má cak kb. 0,9. KISTERV_ANOVA_ 40 40
Numbe of Gou RMSSE Noncentalt Paamete (Delta) Te I Eo Rate (Alha) Powe Goal Actual Powe fo Requed N Requed Samle Sze (N) Samle Sze Calculaton ANOVA, -Wa Fxed Effect Value 7.5 4.0000.0350 3.368 0.0500 0.9000 0.9308 6.0000 Mekkoa különbéget tudnánk kmutatn? -Wa ANOVA: Samle Sze Calculaton -Wa ANOVA (Fxed Effect) N v. Powe (RMSSE =.035, Gou = 4, Alha = 0.05) 7.0 Requed Samle Sze (N) 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95,00 Powe Goal
KISTERV_ANOVA_ 4 4
df numeato df denom. 3 4 5 6 0 0 50 0.96 3.5 4.6 4.65 4.95 5.5 5.57 5.89 6.08 6.796 6.70 6.68 6.668 6.659 6.653 6.64 6.633 6.68 3 5.04 4.630 4.475 4.390 4.336 4.99 4. 4.59 4. 4 4.396 3.900 3.69 3.576 3.50 3.450 3.339 3.50 3.93 5 4.09 3.538 3.30 3.66 3.079 3.08.886.777.707 6 3.93 3.34 3.068.9.85.757.609.486.405 7 3.795 3.83.94.759.656.583.43.87.97 8 3.7 3.084.805.643.535.458.88.4.044 0 3.604.953.66.489.375.9.07.944.83 3.536.87.570.39.7.86.989.84.690 4 3.489.85.508.35.0..907.7.588 6 3.455.774.463.76.50.058.846.65.50 8 3.49.743.48.39..07.800.598.449 0 3.409.78.40.0.080.984.76.554.399 3.393.698.379.86.054.957.73.59.357 4 3.380.68.36.66.033.935.707.489.3 6 3.368.669.346.50.06.97.686.464.9 8 3.359.657.333.36.00.90.667.44.65 30 3.35.647.3.4.988.888.65.43.4 40 3.3.63.83.08.944.84.597.355.59 60 3.95.580.46.04.900.794.54.87.070 80 3.8.563.7.0.878.77.55.5.0 00 3.73.554.6.00.866.758.498.3.996 00 3.57.534.95.986.840.73.466.87.998 500 3.48.53.8.97.85.75.446.6.8894 000 3.45.59.78.967.80.709.439.5.8754 3.4.55.73.96.85.704.433.43.860 Rögzített faktooka C hatá EMS nevező 43 43
A táblázatban hatá C étéke vannak EMS nevező -znte ögzített faktoa; α =0,05; β =0,; C = az öze kíéletek záma / a hatá zntjenek záma (egfaktoo ANOVA-nál: C = ) ( A) KISTERV_ANOVA_ 44 44