A fatörzs és az ágak alakjának leírásához Szétnéztünk az interneten A lábon főleg a szabadon álló fák alakja meglehetősen bonyolult; pl.: 1. ábra. 1. ábra forrása: http://images.honlapepito.hu/?modul=oldal&tartalom=1130507 Mégis, ott a kihívás, miszerint valahogyan le kellene írni azt, a matematika nyelvén. Nem rémlik, hogy láttam volna már ilyet. Vagy ha mégis, azt másra alkalmazták. Ilyen például az [ 1 ] dolgozat is, ahol tengeri csigák alakjának leírásával foglakoznak. Belenézve tessék megtenni! látható, hogy nemcsak szép, de eléggé eszközigényes is. Egy nem csúnya termékük látható a. ábrán.
. ábra [ 1 ] Érdekes fa - modellek, illetve megvalósulásaik találhatók [ ] - ben is. Nem rossz az sem, amit a 3. ábra mutat. 3. ábra [ ]
3 Nem kétséges, hogy ma már csak erőforrások kérdése, hogy kifejlesztenek - e vagy sem egy modellt, egy elgondolást. De ne feledjük, hogy az valaki másnak a munkája! Lehet, hogy a saját munka élvezetesebb? Meg kell próbálni! Elgondolkodtunk, hogy mit kéne tenni Először is: mély levegő! Másodszor: visszaemlékezünk, hogy hasonló jellegű dologgal foglalkoztunk akkor is, amikor az archimédeszi csőfelület leírását tanulmányoztuk, [ 3 ] alapján. A lényeg: adva van a csőfelület tengelyvonala ott közönséges csavarvonal, majd képezzük a tengelyvonalra merőleges síkban a keresztmetszetet ott kör, melynek tetszőleges pontját egyszerűen meghatározhatjuk, a vektorszámítás tömör egyenleteivel. Ez a mankó itt is használhatónak látszik. Ezt az alábbiakban kifejtjük. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! A matematikai vázlat 4. ábra A fatest - felület leírásához egy álló ( O x y ) és egy mozgó ( C ξ η ) derékszögű koordináta - rendszert k. r. - t alkalmazunk.
Az álló k. r. egységvektorai: i, j, k ; a mozgó k. r. egységvektorai: t, n, b. Utóbbiak: a fatesttengely - térgörbe kísérő triédere. A 4. ábra szerint a fatest egy s 1 ívkoordinátával jellemzett C 1 tengelypontjában felvett K( s 1 ) keresztmetszet kontúrgörbéje tetszőleges P pontjának megadása a következő - képpen történhet az 1 indexet a továbbiakban elhagyva : R (s, ) r (s) ρ (s, ). ( 1 ) Itt: P C P rc (s) x(s) i y(s) j z(s) k ; ( ) ρ (s, ) (s, ) cos n(s) (s, ) sin b (s). ( 3 ) P Ha ismert r C (s), akkor adottnak vehetők a kísérő triéder egységvektorai is, hiszen fenn - állnak az alábbi összefüggések [ 4 ] : d r (s) dx(s) dy(s) dz(s) t(s) C i j k, ( 4 ) ds ds ds ds valamint 4 d r C (s) d x(s) d y(s) d z(s) i j k n(s) ds ds ds ds, K d x(s) d y(s) d z(s) ds ds ds ( 5 ) továbbá b (s) = t (s) n (s). ( 6 ) A másik függvény, amit ismernünk kell, az a keresztmetszetek kontúrját leíró (s, ) kontúrfüggvény. A φ szögváltozóra fennáll, hogy 0. ( 7 ) Ez a leírási mód a fatest tengelyvonalának nevezett térgörbe matematikai leírásán alapul. Ennek a térgörbének a K görbülete és a T geometriai torziója is adott a fentiekkel, illetve az ezekhez hozzávett db T b ( 8 ) ds definíciós összefüggéssel [ 3 ].
5 Azonban a fatest mint pl. egy rúd leírása ezzel még nincsen teljesen megoldva. Ugyanis az egyes keresztmetszetek egymáshoz képesti elcsavarodása nincs megadva, ami pedig egyenes tengelyű rúd K = 0, T = 0 esetén sem ritka pl. csavarfúró szára. Ezért az eddigieket az alábbiak szerint módosítjuk [ 5 ]. A keresztmetszet elcsavarodása egy merevtestszerű elfordulás a test tengelyvonalának érintője mint forgástengely körül, vagyis csavarodás esetén a keresztmetszet alakját leíró ρ( s, φ ) függvényt egy az n - hez képest a ψ elcsavarodási szöggel elforgatott k. r. - ben kell alkalmazni. Nevezzük ezt az elforgatott ( C 1 ξ 1 η 1 ) k. r. - t a keresztmetszet főten - gelyrendszerének, a rúdelméleti analógiával élve ld. az 5. ábrát is! 5. ábra Most ( 3 ) megváltozik az 5. ábra szerint : ρ (s, ) (s, ) cos (s) n(s) (s, ) sin (s) b (s). ( 9 ) P A ψ( s ) függvény eredete az alábbi. A cső - rúd keresztmetszetének csavarodása: d (s) C(s), ds ahonnan: ( 10 ) s1 s (s) (0) C(s 1) ds 1. ( 11 ) s 0 1 A C( s ) fajlagos keresztmetszeti csavarodás általában különbözik a térgörbe tengely - vonal T( s ) torziójától.
6 Látjuk, hogy ha valamely szakmai megfontolások alapján felvesszük / meghatározzuk a mondott [ x( s ), y( s ), z( s ), ψ( s ) ] függvényeket, akkor a fatest - felület a fentiekkel mintegy magától előáll, az ( O x y ) k. r. - ben. A lényeg: a szakmai megfontolások. Természetesen van szakirodalom pl.: [ 7 ], ami támogathatja a munkát, de az nem szentírás : mindenki eldöntheti, él - e vele, illetve mit használ fel, mivel tud azonosulni belőle. Ne feledjük, ha készen is van a modell, azt végig is kell vinni: működtetni kell. Itt jól jöhet a számítógépes segítség. Próbák, példák Először nézzünk meg egy - két ρ kontúrfüggvényt! Már régóta tetszik az alábbi bordás növésű fa keresztmetszet - alakhoz talált függvény, melynek polárkoordinátás egyenlete [ 6 ] : ( ) a bcos(n ), a b. ( P 1 ) Grafikonját a 6. ábrán szemlélhetjük, a = 6 e., b = 1 e., n = 6 adatokkal. 6 y 5 r(t)=6+1*cos(6*t) 4 3 1 x -8-7 -6-5 -4-3 - -1 1 3 4 5 6 7 8-1 - -3-4 -5-6 6. ábra
7 ró(s) 8 A bordás test egyes hosszanti vonalai 6 4 s - 4 6 8 10 1 14 16 18 0 - -4-6 f(x)=7*exp(-0.1x) f(x)=-7*exp(-0.1x) f(x)=4.46407*exp(-0.1x) f(x)=-4.46407*exp(-0.1x) f(x)=0*exp(-0.1x) -8 7. ábra A 7. ábrán egy a 6. ábrához tartozó keresztmetszet - alakú törzs jellemző hosszanti vonalait ábrázoltuk. Ennek felvett egyenlete, ahol L a hosszúság: s k L (s, ) a b cos n e ; ( P ) ( P ) - ből látszik, hogy k dimenzió nélküli szám. Persze, jobb lenne 3D - ben ábrázolni a felületet, melynek a 7. ábra csak egyes vonalait szemlélteti. Most adjunk az eddigi sudarlós / tővastagodásos, bordás növésű fatörzsnek még egy kis csavarodottságot is. Legyen ennek egyenlete: C = áll. Ekkor ( 11 ) - ből, ψ 0 = 0 - val: (s) C s. ( P 3 ) A ( P 3 ) képletből látszik, hogy C mértékegysége pl.: rad / m, fok / cm, stb. Így a módosított kontúr - egyenletek ( 9 ) - hez:
8 P (s, ) (s, ) cos (s), P (s, ) (s, ) sin (s). Most ( P ), ( P 3 ) és ( P 4 ) - gyel: s k L P(s, ) a b cos n e cos C s, s k L P(s, ) a b cos n e sin Cs. ( P 4 ) ( P 5 ) A keresztmetszeti képek ábrázolásához ( P 5 ) - tel és először k = 0 - val dolgozunk; az eredmények a 8. ábrán láthatók. ή ή1 8 éta ξ 6 ξ1 4 kszi -1-10 -8-6 -4-4 6 8 10 - -4-6 x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*0), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*0) x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*1), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*1) f(x)=tan(5 )*x x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*) f(x)=tan(50 )*x -8 8. ábra A 8. ábrán azt látjuk, hogy a keresztmetszetek kontúrgörbéi az elvárt pozitív értelemben fordultak el. A k 0 esetre a 9. ábra ad példát.
9 ή ή1 8 éta ξ 6 ξ1 4 kszi -1-10 -8-6 -4-4 6 8 10 - -4-6 x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*0)*exp(-0.*0), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*0)*exp(-0.*0) x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*1)*exp(-0.*1), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*1)*exp(-0.*1) f(x)=tan(5 )*x x(t)=(6+1*cos(6*t))*cos(t+5*)*exp(-0.*), y(t)=(6+1*cos(6*t))*sin(t+5*)*exp(-0.*) f(x)=tan(50 )*x Most ( 9 ) és ( P 5 ) - tel: s k L 9. ábra ρ (s, ) a bcosn e cos Cs (s) sin Cs (s) P n b. Például így nézhet ki egy kontúrvektor - függvény, első nekifutásra. ( P 6 ) Másodszor: a tényleges számolási munkát az adott / felvett r C ( s ) - hez tartozó n( s ) és b( s ) egységvektorok előállítása jelenti a ( ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) képletek alapján. Ha ezzel végeztünk, akkor jöhet a felület pontról - pontra történő leírása ( 1 ), ( ), ( 3 ) szerint. Csinálni kell Ez is olyan, mint sok más: nem elég beszélni róla, csinálni kell. Láttuk, hogy elég sok szabadságunk van a feladat felépítése során: viszonylag sok paraméter felett rendelkez - hetünk szabadon, akár menet közben is, vagyis a részletszámítások eredményének isme - retében. A számítógépes közreműködés azonban aligha mellőzhető ld. 6. ~ 9. ábrák!
10 Irodalom: [ 1 ] http://mathdl.maa.org/images/upload_library/3/picado/seashells/article.pdf [ ] http://algorithmicbotany.org/papers/abop/abop.lowquality.pdf [ 3 ] Hoffmann Pál: Kábelipari kézikönyv I / 1. Prodinform Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 1983. [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. [ 5 ] Szerk. Sz. D. Ponomarjov: Szilárdsági számítások a gépészetben, 7. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1966. [ 6 ] Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V.* Határozott integrál ( Első rész ) 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973. [ 7 ] G. B. Kofman: Roszt i forma gyerevjev Nauka, Novoszibirszk, 1986. Sződliget, 011. július 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár