Diszkrét matematika 2.

Hasonló dokumentumok
Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Síkbarajzolható gráfok, duális gráf

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Diszkrét matematika 2.

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Síkba rajzolható gráfok

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2.

Síkgráfok (négyszín-tétel, Kuratowski-tétel, Euler-formula)

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út

Diszkrét matematika 2.C szakirány

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

Euler-formula, síkbarajzolható gráfok, szabályos testek

Gubancok. Hajnal Péter. SZTE, Bolyai Intézet

Szabályos gráfok paraméterei

Ramsey-féle problémák

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Síkgráfok Előadó: Hajnal Péter

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.

Síkgráfok. 1. Részgráfok, topológikus részgráfok, minorok

Algoritmusok bonyolultsága

Diszkrét matematika I.

Gráfelméleti alapfogalmak

11. előadás. Konvex poliéderek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Gráfok alapfogalmai

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (

Gráfelméleti feladatok programozóknak

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna

Síkbarajzolható gráfok. Ismétlés

Gráfok csúcsszínezései

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK

Gráfelmélet jegyzet 2. előadás

10. előadás. Konvex halmazok

Geometria 1 normál szint

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736)

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Schnyder-címkézések és alkalmazásaik

Diszkrét matematika I.

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Gráfok színezése. BSc Szakdolgozat

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Diszkrét matematika II. feladatok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika I.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika 2.C szakirány

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

Gráfelmélet Megoldások

Burcsi Péter: GRÁFOK Láng Csabáné: CSOPORTOK. Germán László: GY R K ÉS TESTEK PÉLDÁK ÉS MEGOLDÁSOK

Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.

Geometria 1 normál szint

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Iván Szabolcs október 6.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,

2. csoport, 8. tétel: Gráfok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás:

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 2. Definíció (Síkgráf; Síkgráf síkbeli reprezentációja) Egy G = (ϕ, E, V ) gráfot síkgráfnak nevezünk, ha az felrajzolható a síkra anélkül, hogy az élei metszenék egymást (geometriai értelemben). Egy ilyen felrajzolását a G gráf síkbeli reprezentációjának is nevezzük. (Ebbe azt is beleérjtük, hogy ha v csúcs nem végpontja az e élnek, akkor az e élet jelentő görbe nem mehet át a v csúcsot jelentő geometriai ponton sem.) Tétel (Fáry) (N.B.) Egyszerű véges síkgráfoknak olyan síkbeli reprezentációjuk is van, amiben az élek egyenes szakaszok. Tétel Egy véges gráf pontosan akkor rajzolható síkba, ha gömbre rajzolható. Bizonyítás: Sztereografikus projekcióval bijekciót tudunk létrehozni a sík pontjai és az egy pontjában kilyukasztott gömbfelület potjai között...

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 3. Definíció (Tartomány) A G gráf egy síkbeli reprezentációja esetén tartománynak nevezzük az élek által határolt síkidomot. Ez nem feltétlenül korlátos, ilyenkor külső tartományról beszélünk, egyébként pedig belső tartományról. Egy belső tartomány valamely másik reprezentációban lehet külső tartomány is, de a tartományok száma nem függ a reprezentációtól. Síkgráf (élkeresztezés nélküli) gömbre rajzolásait is tekinthetjük ( gömbfelületen való ) reprezentációknak, és ezek esetén az élek, mint a gömbfelületen haladó görbék által határolt gömbfelület-darabokat tekinthetjük a reprezentáció által meghatározott tartományoknak.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 4. Példa (ugyanaz a síkgráf rosszul és jól lerajzolva) v 1 v 2 v 1 v 4 e 2 e 1 e 2 e 3 e 4 e 1 e 4 v 3 v 4 e 3 v 3 v 2 Példa (A tartományok függenek a konkrét reprezentációtól)

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 5. Tétel (Euler-formula avagy poliédertétel ) Egy G = (ϕ, E, V ) összefüggő síkgráf tetszőleges síkbeli reprezentációját tekintve, melyre t jelöli a tartományok számát, teljesül, hogy: E + 2 = V + t Ha a G síkgráf nem feltétlenül összefüggő, és c jelöli a komponenseinek a számát, akkor az teljesül, hogy: E + c + 1 = V + t Bizonyítás (vázlat) Ha a gráfban van kör, annak egy élét törölve az általa elválasztott két tartomány egyesül (ennek a meggondolását itt elsumákoljuk), így a tartományok és élek száma is (vagyis az egyenlet mindkét oldala) 1-gyel csökken. Az eljárás ismétlésével feszítőfát (nem összefüggő gráf esetén feszítőerdőt) kapunk, aminek 1 tartománya van, így teljesül rá az összefüggés (Miért?).

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 6. Álĺıtás (Élszámbecslés egyszerű síkgráfokra) Ha a G = (ϕ, E, V ) egyszerű, összefüggő síkgráfra V 3, akkor Bizonyítás E 3 V 6. V = 3 esetén 2 ilyen gráf van: P 2 és C 3, amelyekre teljesül az álĺıtás. V > 3 esetén legalább 3 éle van a gráfnak (Miért?). Mivel G egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, ezért a tartományok határán végigszámolva az éleket az így kapott érték legalább 3t. Mivel minden él legfeljebb két tartományt választ el, ezért 3t 2 E. Az Euler-formulát használva 3( E + 2 V ) 2 E, amiből kapjuk az álĺıtást. A becslés nem összefüggő (de egyszerű) síkgráfok esetén is teljesül, hiszen élek hozzávételével egyszerű összefüggő síkgráfot kaphatunk. (Miért?)

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 7. Álĺıtás Ha G = (ϕ, E, V ) egyszerű síkgráf, akkor δ = min d(v) 5. v V Bizonyítás Feltehető, hogy V 3 (Miért?). Indirekt tfh. δ 6. Ekkor 6 V 2 E (Miért?), továbbá az előző álĺıtást használva 2 E 6 V 12, vagyis 6 V 6 V 12, ami ellentmondás. Létezik 5-reguláris egyszerű síkgráf. (Például az ikozaéder élhálózatát le lehet rajzolni a síkba, és az pont ilyen lesz.)

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 8. Álĺıtás (Élszámbecslés egyszerű páros síkgráfokra) Ha a G = (ϕ, E, V = A B) egyszerű, összefüggő síkgráf páros gráf, és V = A + B 4, akkor Bizonyítás E 2 V 4. V = 4 esetén 3 ilyen gráf van: S 3, P 3 és C 4, amelyekre teljesül az álĺıtás. V > 4 esetén legalább 4 éle van a gráfnak (Miért?). Mivel G egyszerű, ezért minden tartományát legalább 3 él határolja, és mivel G páros, azaz minden köre páros hosszú, ezért minden tartományát legalább 4 él határolja. (A külső tartományt is! Miért?) A tartományok határán végigszámolva az éleket az így kapott érték legalább 4t. Mivel minden él legfeljebb két tartományt választ el, ezért 4t 2 E. Az Euler-formulát használva 4( E + 2 V ) 2 E, amiből kapjuk az álĺıtást.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 9. A becslés nem összefüggő (de egyszerű) páros síkgráfok esetén is teljesül, hiszen élek hozzávételével összefüggő páros síkgráfot kaphatunk. (Miért?) A becslés 3 csúcsú páros síkgráfokra is teljesül, mert ezeknek legfeljebb két élük van.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 10. Álĺıtás K 3,3 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 3,3 síkgráf. E = 3 3 = 9 és V = 3 + 3 = 6, így az egyszerű páros síkgráfok élszámára vonatkozó becslés alapján 9 2 6 4 = 8, ami ellentmondás. Álĺıtás K 5 nem síkgráf. Bizonyítás Indirekt tfh. K 5 síkgráf. E = 10 és V = 5, így az egyszerű síkgráfok élszámára vonatkozó becslés alapján 10 3 5 6 = 9, ami ellentmondás.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 11. Definíció (Topologikus izomorfia) A G és G gráfokat topologikusan izomorfnak nevezzük, ha az alábbi lépést, illetve a fordítottját alkalmazva, véges sok lépésben az egyikből a másikkal izomorf gráfot kaphatunk: egy másodfokú csúcsot törlünk, és a szomszédjait összekötjük egy éllel. Példa (az első lépése még NEM!) Az első lépésben harmadfokú csúcsot törlünk, így kapjuk a Petersen gráf egy 9 csúcsú részgráfját (ezt a részgráfot ábrázolja a második ábra). A második és a harmadik ábrán ábrázolt gráfok topologikusan izomorfak.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 12. Tétel (Kuratowski) (NB) Egy egyszerű gráf pontosan akkor síkgráf, ha nincs olyan részgráfja, ami topologikusan izomorf K 5 -tel vagy K 3,3 -mal. Kuratowski tételének az egyik iránya triviálisan igaz (Melyik?), a másik irány Kuratowski tényleges tétele, és itt nem bizonyítjuk.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 13. Gráfok színezése Szeretnénk egy térképet kiszínezni úgy, hogy a szomszédos régiók különböző színűek legyenek. A probléma megközeĺıtése gráfokkal: a régióknak felelnek meg a csúcsok. Két csúcs szomszédos, ha a megfelelő régióknak van közös határvonala. A térképnek megfelelő gráf síkgráf lesz. Tétel (Négyszíntétel) (NB) Minden síkgráf 4 színnel színezhető. 1976-ban bizonyította Appel és Haken. Ez volt az első nevezetes sejtés, aminek a bizonyításához számítógépet is használtak. 1936 lehetséges ellenpéldát ellenőriztek, 1200 órán keresztül futott a program.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 14. Gráfok színezése Definíció Egy gráf egy csúcsszínezését jólszínezésnek nevezzük, ha a szomszédos csúcsok színe különböző. Definíció Egy gráf kromatikus száma az a legkisebb n természetes szám, amelyre jólszínezhető n színnel. A kromatikus szám pontosan akkor 1, ha nincs éle a gráfnak, és ha 2 a kromatikus szám, akkor a gráf páros. A síkgráfok kromatikus száma legfeljebb 4.

Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 15., Gráfok jólszínezése és kromatikus száma Eddig tartott az ötödik kis témakör. A jólszínezés ugyan nemcsak a síkgráfokra értelmezhető, ezért a negyedik témakörben lenne természetes helye, de az már eleve jó nagy volt, és jólszínezéses tételt most csak síkgráfokra vettünk, így inkább ide suvasztottam be kistémakörileg. Ebből a témakörből 2018. október 19. 9:15-9:30 között lesz két villámkérdés, és egyúttal az első nagy témakörből (gráfokból) egy bizonyítást is fogok kérdezni.