5. Gyakorlat 36A-2 Ahogyan a 5. ábrán látható, egy fénysugár 5 o beesési szöggel esik síktükörre és a 3 m távolságban levő skálára verődik vissza. Milyen messzire mozdul el a fényfolt, ha a tükröt 2 o -kal elforgatjuk? A skála görbült úgy, hogy a visszavert sugár mindig merőlegesen érje. 5.. ábra. Ábra a 36A-2 feladathoz A tükröt α szöggel elforgatva a visszavert sugár 2 α szöggel fordul el. A feladat szerint az ernyő R sugarú henger alakú, tehát az elmozdulás s R α 3 [m] 2 2 80 π 0.20 m (5.)
36B-4 Egy hölgy, akinek szemei a padlótól, 59 m-re vannak, tükör előtt áll. (a) Ha a kalapjának teteje 4 cm-rel magasabban van mint a szeme, határozzuk meg, legalább mekkora legyen a falitükör függőleges mérete, hogy (a kalapot is beleértve) magát tetőtől talpig láthassa. Milyeasan legyen a padlótól a tükör alsó széle? A hölgy teljes magassága a kalapját is beleértve, 73 m Akkor látja magát a tükörben, ha a kalap tetejéről, illetve a talajtól induló fénysugarak mind a szemébe juthatnak. Ekkor a sematikus 5.2 ábra szerint a tükör magasságának a hölgy teljes magassága felével kell megegyeznie, a tükör alja pedig a szemmagasságának a felénél kell legyen, azaz 5.2. ábra. Ábra a 36B-4 feladathoz h tükör 0, 865 m, h o 0, 795 m 36B-6 Fénysugár két tükrön szenved visszaverődést, ahogyan az 5.3 ábra mutatja. Mindkét fénysugár és a két tükör normálisa is ugyanabban a síkban fekszik. Adjuk meg a β szöget az α függvényeként! Igazoljuk, hogy ha α 90 o, akkor β 0. 5.3. ábra. Ábra a 36B-6 feladathoz 2
A 5.4 ábra szerint β 80 o 2 α. Ezért, amikor α 90 o, akkor β 0. 5.4. ábra. Ábra a 36B-6 feladathoz 36B-3 Homorú tükörtő 5 cm-re elhelyezett tárgyról a tükör valódi és négyszeresre nagyított képet alkot. Adjuk meg a tükör görbületi sugarát! Szerkesszük meg a képet! A homorú, R (görbületi) sugarú gömbtükör fókusztávolsága f R/2, egyenlete és nagyítása : A t 0, 05 m, N 4 és f t + k f (5.2) N k t ahonnan (5.3) N f t f (5.4) f N t N (5.5) 4 0, 05 5 0, 04 m, tehát R 2 f 0, 08 m (5.6) Ellenőrzés: A tárgy valóban az f és a 2 f között van, ezért a kép fordított állású és nagyított. A képtávolság: k A vázlat a 5.5 ábrán látható f t t f 0, 04 0, 05 0, 05 0, 04 0, 20 m (5.7) A nagyítás definíció szerint negatív (a kép fordított állású), ha mind k és t pozitívak. Domború tükörre f negatív lenne. 3
5.5. ábra. Ábra a 36B-3 feladathoz 37B-2 Ha keskeny lézernyaláb vastag üveglemezről verődik vissza, akkor két párhuzamos nyaláb keletkezik. Az egyik a lemez előlapjáról, a másik a lemez hátlapjáról verődik vissza. Tegyük fel, hogy a beesési szög θ, a lemez vastagsága D, a lemez üvegének törésmutatója n! Adjuk meg a két visszavert sugár merőleges d távolságát θ, D és n függvényében! Az 5.6 ábra szerint: 5.6. ábra. Ábra a 37B-2 feladathoz 4
ahonnan x 2 D tgβ (5.8) d x cos θ (5.9) n sin θ sin β (5.0) sin β sin θ n tg β sin β cos β sin β sin2 β sin θ n2 sin 2 θ ez;rt sin θ cos θ d 2 D n2 sin 2 θ D sin 2 θ n2 sin 2 θ (5.) 37B-5 Fénynyaláb sík üveglapra 40 o -os szöget bezáró irányból érkezik. Az üveg, 5 cm vastag és törésmutatója n, 60. Az üveglap másik oldalán megjelenő fénynyaláb párhuzamos a beeső fénynyalábbal, de oldalirányban kissé eltolódott. Számítsuk ki, mekkora távolságra tolódott el a kijövő nyaláb a beeső nyaláb irányától! Jelölések: θ 40 o, n, 60, D 0, 05 m. Vegyük észre, hogy ez az eset az 5.6 ábra bal oldali, az üveglemez túl oldalát elérő sugár távolsága a beesési ponttól, vagyis a fenti képletek megfelelői most sin theta n sin β x D tg β sin θ tg β n2 sin 2 θ Tehát az x eltolódás sin θ x D n2 sin 2 θ (5.2) sin 40 o 0, 05 (5.3), 602 sin 2 40 o 0, 007 m 0, 7 cm (5.4) 5
37B- Nyugodt vizű tó fenekén levő hal a vízfelszín felett a tájnak, a haltól induló, függőleges tengelyű körkúpba eső részét láthatja. Számítsuk ki azt a térszöget (szteradianokban), amelyet a hal szeme befog. (Lasd az E függeléket a szteradiánra vonatkozóan!) Jelölések: h a tó mélysége (a hal szemének távolsága a felszíntől), θ a körkúp félnyílásszöge, n a víz törésmutatója a levegőhöz képest. A hal által látható tartomány szélét a teljes visszaverődés határszöge szabja meg, ami a törésmutatóval az alábbi kapcsolatban áll:: sin 90o n sin θ sin θ (5.5) sin θ n A térszög a 3D térnek az tartománya, amit az egy pontból kiinduló 2D felületű kúp a térből kimetsz. Nagysága megegyezik annak a felületnek a nagyságával, amit ez a kúp egy az adott pontba helyezett egységsugarú gömb felületéből kimetsz. Dimenziója a szteradián (sr). A teljes térszög 4 π szteradián. A térszög nem egyértelmű, mert különböző kúpokhoz is tartozhat ugyanakkora felület. Az E függelék szerint egy θ félnyílásszögű körkúp által meghatározott térszög Tehát Ω 2 π Ω 2 π ( cos θ) (5.6) ( ( ) ) sin 2 θ 2 π n 2 (5.7) 37B-4 Tekintsük meg a 5.7 (és a 37-2) ábrát. Vizsgáljuk azt a fénysugarat, amely egy optikai szál egyik végén lép be. Ha a beesési szög a θ a kritikus továbbítási szögnél kisebb, a fénysugár a szál magjában a teljes visszaverődés mechanizmusával terjed tova. A kritikus szögnél nagyobb beesési szög eseten a fénysugár a köpenyig verődhet vissza, ahol esetleg hamarosan elnyelődik. Határozzuk meg a szál végére érkező fénysugárra a teljes visszaverődés határszögét, ha az üvegszál törésmutatója a magnál, 54 és a köpenynél n köpeny, 47! Legyen θ a a maximális beesési szög, aminél még létrejön a teljes visszaverődés. Ekkor sin θ a sin α sin θ a sin α (5.8) n köpeny sin(90 o α) cos α sin n 2 α mag (5.9) 6
5.7. ábra. Ábra a 37B-4 feladathoz 5.8. ábra. Ábra a 37B-4 feladathoz ahonnan ( ) 2 sin θa (5.20) n köpeny ( nköpeny ) 2 ( ) 2 sin θa (5.2) sin θ a n 2 mag n 2 köpeny (5.22), 54 2, 47 2 0, 459 (5.23) θ a arcsin(0, 459) 27, 324 o (5.24) 37A-2 Két,25 dioptriás szemüveglencsénk van, amelyek,50 törésmutatójú üvegből készültek. A szem oldalán levő külső felület konkáv és a görbületi sugara 80 cm. Adjuk meg a lencse másik határfelületének sugarát! 7
A dioptria a fókusztávolság reciproka. A fókusztávolság és a görbületi sugarak kapcsolata ( f (n ) + ) (5.25) R R 2 D f (5.26) Legyen R 0, 8 m, mert ez az oldala a lencsének konkáv, ekkor 37B-28 f R 2 n R, 25 0, 5 + 0, 8 2, 850 m (5.27) R 2 0, 35 m (5.28) Diavetítő az 5,8 m távol levő ernyőn olyan képet alkot, amelynek méretei 80-szor akkorák, mint a diafilmé. Adjuk meg (a) a diafilm és a vetítőlencse közti távolságot, (b) a lencse fókusztávolságát! t + k f N k t f t f k f f (5.29) (5.30) Most k 5, 8 m, N 80. f t k N k N + 5, 728 8 5, 728 80 0, 072 m (5.3) 0.073 m (5.32) 37B-33 Távollátó személy kényelmesen szemléli azokat a tárgyakat, amelyek 2 m-nél távolabbra vannak tőle és a nagyon távoli dolgokat is élesen látja. (a) Számítsuk ki, milyen erős lencsére van szüksége ahhoz, hogy a tőle 25 cm távol tartott könyvet olvashassa. (b) Határozzuk meg, milyen távol vannak azok a tárgyak, amelyeket ez a személy ezzel a szemüveggel meg kényelmesen lát, feltéve, hogy a szem akkomodációs képessége szemüveggel és anélkül ugyanakkora. 8
Legyen a szem fókusztávolsága a t 2 m -es fókuszálás esetén f, a végtelenbe fókuszálva f. Legyen a lencse fókusztávolsága f l és a t 2 0, 25 m-es fókuszálás esetén az eredő fókusztávolság f e, ahol f e f + f l (5.33) Ekkor f + t k + f e t 2 k (5.34) (5.35) A képtávolság minden esetben ugyanakkora, ezért f t f e t 2 (5.36) f t f f l t 2 (5.37) D f l t 2 t 0, 25 2 3, 5 m (5.38) A szem eredetileg fókuszálni tudott 2 m és végtelen között, ezért a fókusztávolsága változott f és f között. Ugyanekkora változásra képes a szem szemüveggel is, de a szemüveglencse fókusztávolsága nem változik. Jelöljük a maximális élesen látható tárgy távolságot t-vel! Végtelenre fókuszált szem esetén f + k szemüveg nélkül (5.39) k f + D t + szemüveggel (5.40) k Innen D t ( fl ) (5.4) t D 3, 5 0, 285 m (5.42) 9