Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya Két korábbi dolgozatunkban melyek címe és azonosítója: [KD ]: Egy érdekes feladat, [KD ]: Egy másik érdekes feladat azt vizsgáltuk, hogy egy csuklós rúdnégyszög milyen feltételek mellett van egyensúlyban, ha két átlóirányú húrerő terheli. Ezekben az esetekben az erők iránya a csuklók helyzetéhez kötött volt. Most rátérünk a csuklókon ható tetszőleges két szabaderő esetén a rudazat egyensúlyának vizsgálatára, majd eredményeinket egy számpéldában alkalmazzuk. Ehhez tekintsük az. ábrát! Megoldás a virtuális munka tételével A virtuális munka tétele szerint [ ] : i. ábra F δr 0. ( ) i Részletezve, az. ábra jelöléseivel: F r F r 0 ; innen: F r cos F r cos 0 ; ( ) majd az. ábráról leolvasható
r k, r k és 90, 90 ( 3 ) ( 4 ) összefüggéseket ( ) - be téve: F k cos 90 F k cos 90 0 ; egyszerűsítés és átalakítások után: F k cos 90 F k cos 90 0 ; ebből ismert trigonometriai azonosságokkal: F k sin F k sin 0 ; tovább alakítva: F k sin F k sin 0, ( 5 ) Az ( 5 ) egyenlet formailag egy nyomatéki egyensúlyi egyenlet. Ellenőrizzük ezt le, a. ábra segítségével v.ö.: [ ]! ν ν. ábra
A. ábrán a rudazat BC rúdjának egyensúlyát ábrázoltuk. A BC rúdra ható erők: ~ az F és F adott aktív erők; ~ az AB és CD rudak által a BC rúdra kifejtett S és S reakcióerők. A BC rúd egyensúlyának feltételei: R = 0, ( 6 ) M P = 0. ( 7 ) ( 6 ) kifejtve: F + F + S + S = 0; ( 8 ) 3 a.) F + F = F, ( 8 / ) S + S = S, ( 8 / ) így ( 8 ), ( 8 / ), ( 8 / ) - vel: F + S = 0. ( 8 / 3 ) b.) ( 8 ) - at átcsoportosítva: F + S + F + S = 0; ( 9 ) F + S = N, ( 9 / ) F + S = N, ( 9 / ) így ( 9 ), ( 9 / ), ( 9 / ) - vel: N + N = 0. ( 9 / 3 ) A. ábra vektorábráin jól megfigyelhető a ( 8 / 3 ) és a ( 9 / 3 ) egyensúlyi kijelentés. Most részletezzük ( 7 ) - et, szintén a. ábra alapján: F k F k 0 ; ( 0 ) továbbá: F F sin 80 F sin, ( ) F F sin, ( ) így ( 0 ), ( ), ( ) - vel ( 5 ) - re jutunk ; eszerint az ( 5 ) egyenlet valóban egy nyomatéki egyensúlyi egyenlet, tehát a virtuális munka tétele egy nyomatéki egyensúlyi egyenletre vezetett. Vizsgálódjunk tovább! ( 9 / 3 ) - ból: N = N ; mindkét oldal abszolút értékét véve: N = N. ( 3 ) A. ábra szerint írhatjuk, hogy: F N, cos F ( 4 ) N. cos Most fejezzük ki a ( 4 ) nevezőiben lévő mennyiségeket a korábbiakkal!
Némi vizsgálódás után: 90 80 90 90 ; 90 80 70 ( 5 ) 70 360 90 90 ; Itt felhasználtuk, hogy 360. ( 6 ) Folytatva: cos cos 90 cos90 sin ; cos cos 90 ( 7 ) cos90 sin. Most ( ), ( ), ( 4 ), ( 5 ), ( 7 ) - tel: F F sin N, cos sin F F sin N. ( 8 ) cos sin Majd ( 3 ) és ( 8 ) szerint: F sin F sin sin sin ( 9 ) - et átrendezve: F sin sin F sin sin ; ; 4 ( 9 ) ( 0 ) most a. ábra alapján, szinusztétellel: k sin80 sin, k sin 80 sin ( ) tehát ( 0 ) és ( ) - gyel: F sin k, F sin innen pedig k ( ) F k sin F k sin 0 ( 5 ) adódik. Ezzel beláttuk, hogy a virtális munka tételével kapott ( 5 ) nyomatéki egyenlet egyenértékű a BC rúd egyensúlyát kifejező ( 3 ) egyenlettel.
5 Most írjuk át ( 0 ) - at! F sin sin F sin sin. ( 3 ) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy ha adott az F és F erő az F és F nagyságával, valamint φ és φ irányszögével, akkor a csuklós rúdnégyszög egyensúlyi helyzetét jellemző α szög ( 3 ) alapján meghatározható. Ehhez még hozzávesszük a korábban talált alábbi kapcsolatokat is ld.: [KD ] is! : b c a d ad ( ) arc cos cos ; bc bc ( 4 ) a sin ( ) arctg ; d acos ( 5 ) bsin ( ) ( ) arctg ; cbcos ( ) ( 6 ) ( ) ( ) ( ) ; ( 7 ) ( ) 360 ( ) ( ). ( 8 ) Számpélda Most kidolgozunk egy számpéldát a Graph függvényrajzoló program alkalmazásával. Ennek lényege, hogy a ( 3 ) egyenlet megoldásához jutunk, ami: ~ adott α - hoz az egyensúlyi helyzethez tartozó F / F előállítása, vagy ~ adott F / F - höz az egyensúlyi helyzethez tartozó α meghatározása. Felvesszük az alábbi adatokat, melyek részben egyeznek a [KD ] - ben használtakkal: a = 5,6 ( m ); b = 4,8 ( m ); c = 7, ( m ); d = 0,0 ( m ); φ = 80 ; φ = 0. Az eredmény a 3. ábrán szemlélhető. A kapott grafikon jellemzői az alábbiak. F J.) 0, hiszen erőnagyságok hányadosáról van szó. F J.) A grafikonról, a Graph szolgáltatásával: F ha, akkor 8,. F Ezt ábrázoltuk / szemléltettük a 4. és az 5. ábrán is. 40, 675 95, 50. J3.) 0 max Ennek értelmezésére is szolgál az 5. ábra.
6 y = F / F Csuklós rúdnégyszög vízszintes erőkkel 60 50 40 f(x)=sin(b(x))*sin(d(x))/(sin(g(x))*sin(x)) r(t)=40.675/cos(t) r(t)=95.5/cos(t) 30 0 0 x = alfa ( fok ) -0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00-0 x0 = 40,675 xmax = 95,50-0 3. ábra Csuklós rúdnégyszög vízszintes erőkkel F / F = 80.5 8 8.5 8 8.5 83 83.5 84 x = alfa ( fok ) x = 8, 4. ábra
7 5. ábra Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Megjegyzések M. A feladatban feltettük, hogy a rudak súlytalanok. M. Felmerülhet az igény az egyes rudakban ébredő erők meghatározására. a.) A BC rúdban ébredő húzóerő nagysága a ( 8), ( 9 ) képletekkel már adott. b.) Az AB és CD rudakban az egyensúlyi helyzetben ébredő, S és S nagyságú rúderők meghatározása például az alábbi módon történhet. Ismét a BC rúd egyensúlyából indulunk ki. Az eddig még nem kihasznált vetületi egyenletek az alábbiak ld..,. ábra! Vízszintes vetületi egyenlet: F cos F cos S cos 80 S cos 360 0. ( 9 ) Függőleges vetületi egyenlet: F sin F sin S sin 80 S sin 360 0. Most vegyük az alábbiakat! ( 30 )
8 cos 80 cos, sin 80 sin, ( 3 ) cos 360 cos, sin 360 sin. Ezután ( 9 ), ( 30 ), ( 3 ) - gyel: F cos F cos S cos S cos 0 ; F sin F sin S sin S sin 0. ( 3 ) ( 3 ) - t átrendezve: S cos S cos c, S sin S sin c, ( 33 ) ahol bevezettük a c F cos F cos, ( 34 ) c F sin F sin rövidítő jelöléseket. Ezután ( 33 ) - at a Cramer - szabállyal oldjuk meg; ( 34 ) - gyel is: S c cos c sin c sin c cos c sin c cos cos cos cossin sin cos sin sin sin F cos F cos sin F sin F sin cos sin F sincos cos sin F sincos cossin sin F sin F sin sin sin sin sin sin F F, tehát: sin sin S F F. sin sin ( 35 ) Hasonlóan eljárva:
S cos c sin c c cos c sin c cos c sin cos cos cossin sin cos sin sin sin F sin F sin cos F cos F cos sin sin F cossin sincos F cossin sincos sin F sin F sin sin sin sin sin sin F F, tehát: 9 sin sin S F F. sin sin ( 36 ) Eredményeinket alkalmazzuk a számpélda speciális esetére, ahol mint előbb is 80, 0. ( SP / ) Most ( 35 ) és ( SP / ) - gyel: sin 80 sin sin sin S * F F F F sin sin sin sin sin F F, sin ( 37 ) ahonnan leolvasható, hogy az F F F ( SP / ) általunk is alkalmazott speciális esetben S ** 0. ( 38 ) Hasonlóan eljárva ( 36 ) és ( SP / ) - gyel:
0 sin 80 sin sin sin S * F F F F sin sin sin sin sin ( 39 ) F F ; sin most ( 39 ) és ( SP / ) - vel: S ** 0. ( 40 ) A ( 38 ) és a ( 40 ) képletek szerint a számpélda J. ) esetében a támasztó rudakban nem ébred erő, tekintettel az M. megjegyzésre is. Ez a tény a szemlélet alapján várható is volt. M3. A ( 35 ), ( 36 ), ( 37 ) és ( 39 ) képletek is a rúderők előjeles nagyságát szolgáltatják, amivel pontosítjuk korábbi szóhasználatunkat. M4. Az S és S előjeles erőnagyságokra vonatkozó képletek értelemszerűen azután használhatók, miután az egyensúlyi helyzetet jellemző α szögadat ismertté vált. M5. A ( 35 ) és ( 36 ) képletek levezethetők a 6. ábra alapján is. 6. ábra A kiindulási egyenletek: S sin 80 F sin 80 F sin 80, S sin 80 F sin 80 F sin. ( 4 ) ( 4 )
Azonos átalakítások és egyenletrendezés után ( 4 ) - ből ( 35 ), ( 4 ) - ből ( 36 ) adódik. Irodalom: [ ] Budó Ágoston: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ ] Martin Grübler: Lehrbuch der Technischen Mechanik,. Band: Statik der starren Körper. Auflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 9. Sződliget, 00. december 30. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár