A gyng kölcsönhatás az atommagokban 1. Példák β-bomlásokra. Ismétlés a Mag- és részcskfizika óráról. a) Λ 0 -részcsk lbomlása, Σ 0 -részcsk lbomlása. Mindkét mikrorészcskébn a valncia kvarkok ízi: uds. Bomlásuk rakciógynlt Λ 0 p + + π. A kvark képbn: uds uud + u d. Az s kvark átalakult u kvarkká és kltkztt gy u és gy d kvark. Ennk rdt gy W közvtítő bozon kltkzés, ami a gyng kölcsönhatás lényg. uds udu + W uud + u d. Ilynkor a W két kvarkra bomlik l, zért hadronikus gyng kölcsönhatásnak hívjuk. A Λ 0 lbomolhat más módokon is, például úgy, hogy a W bozon nm kvarkokra, hanm lptonokra sik szét. uds udu + W uud + + ν. Ekkor hadronok és lptonok is részt vsznk a gyng kölcsönhatásban, zért nnk nv szmilptonikus gyng kölcsönhatás. b) Másik részcskfizikai st a müon-bomlása lktronná. µ + ν + ν µ. Ebbn az stbn a nyugalmi tömg mgváltozását szintén gy W bozon kltkzés kíséri. µ ν µ +W. Mgjgyzzük, hogy a nyugalmi tömg mgváltozása során a részcskcsalád nm változott mg, z a müonikus lptonszám mgmaradásának llnőrzésévl jgyzhtő mg. A müon tömg 105,6 M, z kisbb a lgkisbb kvarkot tartalmazó rősn kölcsönható zsák (pion) nyugalmi nrgiájánál (139,6 M), zért a müon béta-bomlásakor nm tudnak hadronok kltkzni, z tiszta lptonikus gyng kölcsönhatás. c) A nutron béta-bomlása. udd udu + W uud + + ν. Ilynkor d kvark alakul át u kvarkká, és a W bozon lptonokra sik szét. Ez is szmilptonikus gyng kölcsönhatás, hiszn kvarkok és lptonok is szrplnk a folyamatban. A folyamat lénygs rész a d u+w folyamat, z a gyng kölcsönhatás lső lépés. A második lépés a W bomlása. Az u és d kvarkok közötti tömgkülönbség olyan kicsi, hogy ilynkor sm tudnak kvarkok kltkzni. Ha az u és d kvarkok gy bonyolultabb rndszr részi, azaz gy atommagban vannak, akkor a spontán átalakuláskor, amikor a d kvark spontán alakul át u kvarkká, nm tud az atommag szrkzt úgy átalakulni az stk döntő részébn, hogy 140 M át tudjon rndződni és hadronikus gyng kölcsönhatás történjn. Az atommagokban lőforduló gyng kölcsönhatás során szmilptonikus gyng kölcsönhatás mgy végb. Sőt az nrgiák a müon kltésér sm lgndők, zért mindig lktron/pozitron és antinutrinó/nutrinó kltkzik. A W nm vált részcskcsaládot. d) A 22 Na atommagjában 11 proton mlltt 11 nutron hlyzkdik l. Ez alapjában vév gy optimális lrndzés, mrt a félmpírikus kötési formula szimmtria tagja nm gyngíti a kötési nrgiát. D mégis van nnél kötöttbb rndszr, ha 10 proton és 12 nutron alkotja a 22 nuklon halmazát. Ilynkor a protonok és a nutronok is párosával tudnak lhlyzkdni, ami rősíti a kötést. Ilynkor a 11. proton átalakulása a 12. nutronná nrgianyrségt jlnt. Ez a 22 Na pozitív béta-bomlása során mgy végb. 22 Na 22 N + + + ν Ilynkor gy nagyobb nyugalmi tömgű nutron kltkzik, d a magszrkzt átrndződés még így is nrgianyrsgét okoz. Ilyn külső magrő térbn a u d+w + gyng kölcsönhatás által vzérlt folyamat mgy végb, amit a W lptonikus bomlása kövti. ) További fontos béta-bomló atommagok: 3 H, 14 C, 40 K, 214 Bi. Ezk az atommagok a trmésztbn lőfordulnak. H, C, K a szrvs anyagokban is jln van, zrt zk radioaktív izotópjai az mbr és más élő 1
anyag trmészts radioaktivitásának a forrásai. Mind a négy izotóp bomlik ngatív béta-bomlással, amikor gy nutron átalakul protonná. Érdks, hogy a 40 K mindkét béta-bomlásra képs. 40 K 40 Ca + + ν és 40 K + 40 Ar + ν Összfoglalás: A béta-bomlás lénygs mozzanata, amikor gy kvark vagy gy lpton nyugalmi tömg (íz) mgváltozik és s W bozon kltkzik. A W bozon vagy kvark-antikvark párra bomlik, vagy lktron-nutrínó párra. A gyng kölcsönhatásban kltkzht smlgs közvtítő részcsk is, d nnk valószínűség kisbb, és az atommagokban az u d és d u folymatok során nm tud kltkzni, mrt a kvarkok töltés nm azonos. 2. Béta-bomlás fajtái és szintji Az alapfolyamatot n-p és p-n algbrailag átrndzv kapjuk a lhtségs folyamatokat. Enrgialoszlások. A béta-bomlás során ljátszódó tipikus folyamat a ngatív-béta-bomlás st: A L + + ν Ebbn az nrgiamgmaradást flírva: m A c 2 = m L c 2 +m c 2 +m ν c 2 +E 0. A nutrínó tömg mai ismrtink szrint nm 0, d a jln stbn zt lhanyagoljuk. A jobb oldalon így is három tag szrpl. A béta-bomlás során kltkző lktronok vagy pozitronok nrgiája nm gy adott érték általában. A ngatív és pozitív béta bomláskor nutrinó is kltkzik és z is l tud vinni gy kis nrgiát, a három részcsk osztozik a rakcióban kltkző nrgián, zért a spktrum folytonos. Az lktron bfogásnál a végállapotban két részcsk van, és fnnáll a lndült és az nrgiamgmaradás tétl, zért kiszámolhatók a nutrinó és a visszalökődő mag nrgiái. Kzdtbn az lktronnak sincs lndült. 3. A béta-bomlás Frmi-lmélt A béta-bomlás során ljátszódó folyamat: A L+ + ν. A béta-bomlás Frmi-lmélténk flhasználásával az lktronok mozgási nrgia-spktrumát akarjuk mgmagyarázni. Az lmélt abból indul ki, hogy a gyng kölcsönhatás H β -oprátora gy prturbáció csak a rndszr tljs nrgiájához képst, és az időfüggő prturbációszámításban lvzttt Frmi-fél Aranyszabály alkalmazható. w k v = 2π Ψ v H β Ψ k 2 ϱ(e v ) 3.1. A Ψ v H β Ψ k kiszámítása Ψ k = Φ k (r) az atommag hullámfüggvény kzdtbn, Ψ v végállapoti hullámfüggvénybn kttővl több változó szrpl, hiszn a kölcsönhatás során, nnk időfüggését nm tárgyalva, két új részcsk kltkzik: az lktron és az antinutrínó. Így Ψ v három részből áll: Φ v (r) az atommag hullámfügvény a bomlás után, ϕ (r ) az lktron hullámfüggvény, ϕ ν (r ν ) az antinutrínó hullámfüggvény. A három részcsk gymással nm hat kölcsön, zért a hullámfüggvény a végén: Ψ v = Φ v (r)ϕ (r )ϕ ν (r ν ). 2
1. közlítés: Az lktron és a nutrínó hullámfüggvényit nmrlativisztikus síkhullámnak kzljük. Ezzl az atommag és az lktron vonzását lhanyagoltuk. A nutrínó ténylg síkhullám. Később zt a Frmi-függvény bvztésévl fogjuk korrigálni. ϕ (r ) = N i p r és ϕ ν (r ν ) = N ν i p ν r ν Ezzl az aranyszabályban lévő szndvics: H vk = Ψ v H β Ψ k = Ψ vh β Ψ k dr 3 dr 3 dr 3 ν A H β gyng kölcsönhatást líró oprátort bbn az lméltbn gyszrűn így írjuk fl: H β = gδ(r r )δ(r r ν ). Ez azért thtő mg, mrt a gyng kölcsönhatás gy rősn lokális kölcsönhatás, a közvtítő W bozon tömg óriási 80,4 G, ami gy tljs vas atom tömgénél is nagyobb. Ezzl a szndvics: Ψ v H β Ψ k = H vk = Φ v(r)ϕ (r )ϕ ν(r ν )gδ(r r )δ(r r ν )Φ k (r)dr 3 dr 3 dr 3 ν = kiintgráljuk a Dirac-dltákat és bhlyttsítjük a síkhullámokat = g Φ v(r)φ k (r)ϕ (r)ϕ ν(r)dr 3 = g Φ v(r)φ k (r)n i p r N ν i p r ν dr 3 = g Φ v (r) Φ k (r)n l i (p +p ν )r dr 3 Az N l = N N ν = 1 a lptonok normálási konstansa. (Már ahogy a síkhullámot lht normálni...) A p r szorzat maximális érték p R az intgrálás során, hiszn az intgrálás a tljs térr történik, d az atommagok hullámfüggvény néhány fm sugáron blül különbözik csak lénygsn a 0-tól. Ezért az atommagok sugarát használva és g tipikus béta-bomlás nrgiát, a p R szorzat flső bcslés mgadható. E=5 M, akkor p c 24, 5M, miatt pr 5M 4fm < c 20 200 = 1 10 1. Ez igaz a nutrínóra is, zért a síkhullám sorbafjthtő. H vk = g Φ v(r)φ k (r)(1+ i (p +p ν )r+...)dr3 = g Φ v(r)φ k (r)dr 3 + g Φ v(r)φ k (r) i (p +p ν )rdr3 +... Az lső tag intgrálját hívjuk magmátrixlmnk M kv. Amnnyibn z nm 0, akkor a második és a további tagok lhanyagolhatóan kicsik. Ezt mgngdtt átmntnk hívjuk. Ha a magmátrixlm kb. 0, akkor a második tag adhatja a fő járulékot. Ilynkor az atommag hullámfüggvény a kzdti és a végállapotban ortogonális, zért 0 a magmátrixlm. D ha r-rl mgszorozva az intgrandust, már végs járulékot kapunk, akkor lső rndbn tiltott átmntnk nvzzük a folyamatot. Mikor nm 0 a magmátrixlm? Az atommagok hullámfüggvényénk változóját itt lgyszrűsítv r-rl jlöltük. D van spin szabadsági foka is az atommagnak. Igazából Φ(r, s) a hlys jlölés. A skalárszorzat két rész szorzata, gyrészt a tér szrinti intgrál, másrészt a spin-hullámfüggvényk skalárszorzata. Az r szrinti intgrál nhzn lsz 0, d ha a spinfüggvényk ortogonálisak, akkor a magmátrixlm 0 lsz. Ha a kzdti és a végmag spinj azonos, akkor a spinfüggvényk sm lsznk ortogonálisak, és kkor l = 0. A magmátrixlm nm tűnik l, mgngdtt átmntről bszélünk. Thát az átmnt mgngdtt, ha az lktron és a nutrínó nm visz l prdültt, és az atommag a kzdti és a végállapotban azonos spinű. Amnnyibn l kvantumnyi prdültt visz l a két lpton, akkor l-d rndbn tiltott átmntről bszélünk. 3
2. közlítés Mgngdtt átmntkt vizsgálunk csak. Ilynkor H vk =konstans, azaz nm függ a p és a p ν vktoroktól, amlyk gyébként az lktron nrgiájától függnk. Ilynkor az lktron és a nutrínó tljs pálya-prdült l=0. Ha nm mgngdtt átmntkt írunk l, akkor a mátrixlm érték függ a kirpülő lktron nrgiéjától: H vk 2 = S(Z,E). Ezt a függvényt alakfaktornak hívjuk. (Shap factor, az nrgialoszlás alakjára utalva.) Ilynkor a mgngdtt átmntbn kiszámolt nrgiaspktrum alakját zzl az S(Z,E) függvénnyl korrigálni kll. Az alakfaktor kiszámolásakor l=1 stén, az lktron és a nutrínó síkhullámnak tkinttt hullámfüggvényénk sorbafjtés során a második tagig kll lmnni és az alakfaktor a (p + p ν ) 2 nrgiafüggését örökli. Ezzl mgngdtt átmntkr az aranyszabályban szrplő H kv 2 = g 2 M 2 kv / 2. A béta-bomlás rlativisztikus lírásában a Dirac-gynltnk lgt tvő négy komponnsű bispinorokkal jllmzzük az lktront és a nutrínót és az gyszrű lokális kölcsönhatást már nm gy számmal jllmzzük, hanm a Lornz-transzformáció során invariánsan transzformálódó gamma-mátrix-kombinációk is fontosak lsznk. A béta-bomlások részlts vizsgálata kimutatta (például Tlgdi Bálint lktron és az antinutrinó bzárt szögénk loszlásának mérési), hogy zn kombinációk közül a vktor és az axiálvktor kölcsönhatást líró stk valósulnak mg, a skalár és a tnzor st nm (a pszudoskalár stt még könnybb kizárni). Ezért igazából az aranyszabályban lévő szndvics két tagból áll. H kv 2 = ( g 2 M 2 F + g2 A M 2 GT ) 1 2. A g a vktor típusú kölcsönhatás csatolási állandója, g A az axiálvktor kölcsönhatásé. Az M F és az M GT magmátrixlmk a Frmi és a Gamow-Tllr-típusú átmntkt jlzik, amit kicsit később fogunk dfiniálni. 3.2. A végállapoti állapotsűrűség A végállapotban szrplő lánylm visszalökődési nrgiája E E 0. Ezért a végállapotok lhtségs számát lső sorban az lktron és a nutrínó állapotainak száma határozza mg. Ezk síkhullámok, zért az impulzus vktoruk határozza mg az állapotukat. 3. közlítés A lánymag visszalökődési nrgiája 0. A béta-bomlás során ljátszódó folyamatban az nrgiák alakulása: A L + + ν. E + E + E ν = E 0, az impulzusmgmaradás tétl miatt p = p + p ν, és E = p2 2m L. D m L c 2 E 0 > p c miatt E nagyon kicsi lsz. Ezért lhagyjuk. Így E 0 = E + E ν. 4. közlítés A nutrínó és az lktron kirpülési szög gymástól függtln Ez a számolás lvégzhtőség miatt szükségs fltétl. A részlts lméltbn a nutrínó és az lktron kirpülési szögénk korrlációját több kísérlt is mghatározta. Ha a két lpton iránya függtln akkor a végállapot állapotait gyszrűbbn tudjuk számolni. Adott nrgiájú lktronhoz mgvizsgáljuk az összs lhtségs irányt,az zknk mgfllő állapotok számát. E 0 = E + E ν miatt, E ν = E 0 E gyértlműn kiszámolható, azaz a nutrínó nrgiája is ismrt. A nutrínó lhtéségs irányainhoz tartzó állapotok azonban függtlnk az lktron állapotoktól, zért a tljs állapotok száma szorzat alakban áll lő. 5. közlítés A nutrínó nyugalmi tömg 0. 4
Mivl síkhullámokkal dolgozunk, és gynlő valószínűségű mindn végállapot, zért az impulzustérbn gynltsn vannak a végállapotok. Egy állapot térfogatát az impulzustérbn a fázistérfogat 6 dimnziós h 3 értékéből kapjuk mg. 1 = h 3 /. Ezk után az adott lszámlálandó állapotok fázistérbli térfogata osztva a 1 -gyl adja az állapotok számát. Egy adott nrgiájú lktronhoz tartozó fázistérfogat: 4πp 2 dp, zért az bbn lévő állapotok száma Nutrínókra hasonló módon: dn = 4πp2 dp h 3 /. dn ν = 4πp2 νdp ν h 3 /. Az gymástól függtln irányok stén az összs állapot száma, ami E lktronnrgiához és E ν = E 0 E nutrínónrgiához bármilyn irányban tartozik: dn(e, E ν ) = dn dn ν = 4πp2 dp h 3 / 4πp 2 νdp ν h 3 / ( 4π = h 3 ) 2 p 2 dp de p2 ν dp ν de Ez gy kétvátozós függvény f(e, E ν ). Mindn lhtségs E ν nrgiára kll intgráljunk ahhoz, hogy gyváltozós loszlást kapjunk. Az nrgiamgmaradást úgy kll érvénysítni, hogy δ(e ν E E 0 ) -val bszorozva intgrálunk mindn E ν -r. ( ) 2 ( ) 2 4π dn(e) = h 3 p 2 dp dp ν 4π de p2 ν δ(e ν E E 0 )de = h 3 p 2 dp dp ν de p2 ν de Eν=E0 E E ν Trjünk vissza -ra, h = 2π Emiatt az állapotsűrűség: ( ) 2 ( 4π = ) 2 8π 3 3 2π 2 3 ( ) 2 dn de (E) = 2π 2 3 p 2 dp de p2 ν dp ν Eν=E0 E A nutrínót már ultrarlativisztikusnak tkintttük: p ν = Eν c és dpν = 1 c. Az lktronra a rlativisztikus nrgiaformulát használjuk: p = 1 c E 2 tot m 2 c 4 = 1 c (m c 2 + E) 2 m 2 c 4 és dp de = 1 c 1 2(m c 2 +E) 2 = 1 (mc 2 +E) 2 m 2 c4 c (m c 2 +E) (mc 2 +E) 2 m 2 c4 = 1 c E tot p c. Így: ( ) 2 dn de (E) = (m c 2 + E) 2 m 2 c 4 m c 2 + E 2π 2 3 c 3 (m c 2 + E) 2 m 2 c (E 4 0 E) 2 1 c 3 ( ) 2 dn de (E) = (m 2π 2 3 c 3 c 2 + E) 2 m 2 c ( 4 m c 2 + E ) ( ) 2 (E 0 E) 2 = 2π 2 3 c 3 p ce tot (E 0 E) 2 Ezzl az átmnti valószínűség gy de lktron mozgási-nrgia-intrvallumban: w(e)de = 2π g 2 M 2 2 ( ) 2 2π 2 3 c 3 p ce tot (E 0 E) 2 de = g2 M 2 E(2m 2π 3 7 c 6 c 2 + E) ( m c 2 + E ) (E 0 E) 2 de 5
Általános stbn, amikor az lktron hullámfüggvény gy pozitív nrgiájú, Coulomb-potnciálban lvő állapot (szórási állapot), akkor még gy korrkciós tényző is bjön, a Frmi-függvény: F (Z, E), nm mgngdtt átmntknél M 2 hlyér M 2 (E) = S(Z, ) krül. Így: w(e)de = 1 2π 3 7 c 6 g2 F (Z, E)S(Z, E) E(2m c 2 + E) ( m c 2 + E ) (E 0 E) 2 de Ennk az összs lktron mozgási nrgiára vtt intgrálja mgadja a bomlási állandót. λ = g 2 E0 2π 3 7 c 6 F (Z, E)S(Z, E) E(2m c 2 + E) ( m c 2 + E ) (E 0 E) 2 de 0 Maradjunk mgngdtt átmntknél. λ = g2 M 2 E0 2π 3 7 c 6 F (Z, E) E(2m c 2 + E) ( m c 2 + E ) (E 0 E) 2 de 0 Ekkor az összfüggés intgrál rész lmélti számításokkal numrikusan kiszámítható. Nm mgngdtt átmntknél is számolhatunk magállapotok közötti átfdési intgrált, d zk rősn modllfüggők és nhzk. A mgngdtt átmntkr szorítkozás lőnyös most az intgrál lvégzhtőség szmpontjából. 4. Összhasonlító élttartam, logf τ Mgngdtt átmntkr a fntbb mghatározott w(e)de függvényébn ki tudjuk számolni a g és az M 2 kivétlévl az összs függvényt, ismrt E 0 és Z stén, a bomlási állandót mgadó összfüggés intgrálja lvégzhtő numrikusan. Dfiniáljuk azt a dimnziótlan f(z, E 0 ) függvényt (Frmi-intgrál), ami a fnti az lvégzhtő intgrál konstans szorosa. Ez magában foglalja a végállapot-sűrűség nrgiafüggését, az atommag vonzásának hatásai miatti Frmi-függvényt. A nm ismrt tagokat, például a gyng kölcsönhatás és a magállapotok átfdési intgrálját nm vsszük bl. f(z, E 0 ) = E0/m c 2 0 F (Z, E) E(2m c 2 + E) m c 2 m c 2 + E (E 0 E) 2 de m c 2 m 2 c 4 m c 2 Ezzl a mgngdtt átmntkr kiintgrált w(e)de az alábbi alakot ölti: λ = m5 c 4 2π 3 7 g2 M 2 f(z, E 0 ) = ln 2 T 1/2 Ebből átalakítással nyrjük az összhasonlító élttartam formuláját, ami a flzési idő, és a Frmi-intgrál szorzata, és idő dimnziójú mnnyiség: f(z, E 0 )T 1/2 = 2π3 7 ln 2 m 5 c 4 1 g 2 M 2 A flzési idő mérhtő mnnyiség, a Frmi-intgrál számolható. Az értékk több nagyságrndt fdnk l, zért érdms a tizs alapú logaritmusát vnni. 6
Később látni fogjuk, hogy a rlativisztikus lírásban a gm szorzat két tagból áll össz, a gyng kölcsönhatás Hamilton-oprátorának szrkzt miatt, és zkkl flírva a log f T értékt: log f(z, E 0 )T 1/2 = log 2π3 7 ln 2 m 5 c 4 1 g 2 M 2 F (Z, E 0) + g 2 A M 2 GT (Z, E 0) Az M átfdési intgrálok minél kisbb értékt adnak, azért mrt a kzdti és a végállapot hullámfüggvényi nm hasonlítnak, és így az átmnt tiltottá válik, annál nagyobb lsz a logf T érték. Szuprmgngdtt átmntkr 3-4, 5. Kiválasztási szabályok 7