Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 2. Relációk A relációk a függvényfogalom általánosításai;,,hagyományos függvények pontos definiálása;,,többértékű függvények kapcsolatot ír le =, <,, oszthatóság,...

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 3. Rendezett pár Adott x y és (x, y) rendezett pár esetén számít a sorrend: {x, y} = {y, x} (x, y) (y, x). Az (x, y) rendezett párt a {{x}, {x, y}} halmazzal definiáljuk. Az (x, y) rendezett pár esetén a x az első, az y a második koordináta. Az X, Y halmazok Descartes-szorzatán az X Y = {(x, y) : x X, y Y } rendezett párokból álló halmazt értjük.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 4. Binér relációk Adott X, Y halmazok esetén az R X Y halmazokat binér (kétváltozós) relációknak nevezzük. Ha R binér reláció, akkor gyakran (x, y) R helyett xry-t írunk. 1. I X = {(x, x) X X : x X } az egyenlőség reláció. 2. {(x, y) Z Z : x y} az osztója reláció. 3. F halmazrendszer esetén az {(X, Y ) F F : X Y } a tartalmazás reláció. 4. Adott f : R R függvény esetén a függvény grafikonja {(x, f (x)) R R : x R}. Ha valamely X, Y halmazokra R X Y, akkor azt mondjuk, hogy R reláció X és Y között. Ha X = Y, akkor azt mondjuk, hogy R X -beli reláció (homogén binér reláció).

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 5. Relációk értelmezési tartománya, értékkészlete Ha R reláció X és Y között (R X Y ) és X X, Y Y, akkor R reláció X és Y között is! Az R X Y reláció értelmezési tartománya a értékkészlete dmn(r) = {x X y Y : (x, y) R}, rng(r) = {y Y x X : (x, y) R}. 1. Ha R = {(x, 1/x 2 ) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x 0}, rng(r) = {x R : x > 0}. 2. Ha R = {(1/x 2, x) : x R}, akkor dmn(r) = {x R : x > 0}, rng(r) = {x R : x 0}.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 6. Relációk kitejesztése, leszűkítése, inverze Egy R binér relációt az S binér reláció kiterjesztésének, illetve S-et az R leszűkítésének (megszorításának) nevezzük, ha S R. Ha A egy halmaz, akkor az R reláció A-ra való leszűkítése (az A-ra való megszorítása) az R A = {(x, y) R : x A}. Legyen R = {(x, x 2 ) R R : x R}, S = {( x, x) R R : x R}. Ekkor R az S kiterjesztése, S az R leszűkítése, S = R R + 0 (ahol R + 0 a nemnegatív valós számok halmaza). Egy R binér reláció inverze az R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. R 1 = {(x 2, x) R R : x R}, S 1 = {(x, x) R R : x R}

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 7. Halmaz képe, teljes inverz képe Legyen R X Y egy binér reláció, A egy halmaz. Az A halmaz képe az R(A) = {y Y x A : (x, y) R}. Adott B halmaz inverz képe, vagy teljes ősképe az R 1 (B), vagyis a B halmaz képe az R 1 reláció esetén. Legyen R = {(x 2, x) R R : x R}, S = {(x, x) R R : x R}. R({9}) = { 3, +3} (vagy röviden R(9) = { 3, +3}), S(9) = {+3}.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 8. Legyen R reláció az X = {A, B, C,..., P} halmazon, és legyen T T, ha (T, T ) R. dmn(r) = {A, B, C, D, F, G, H, I, K}. rng(r) = {A, B, C, E, F, G, H, I, J, L}. R {A,B,C,D} = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, E), (D, F )}.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 9. Kompozíció Legyenek R és S binér relációk. Ekkor az R S kompozíció (összetétel, szorzat) reláció: R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R}. Kompozíció esetén a relációkat,,jobbról-balra írjuk : Legyen R sin = {(x, y) R R : sin x = y}, Legyen S log = {(x, y) R R : log x = y}. Ekkor R sin S log = {(x, y) z : log x = z, sin z = y} R sin S log = {(x, y) R R : sin log x = y}.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 10. Kompozíció R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R} Legyen S, R két reláció, és tekintsük a T = R S kompozíciót:

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 11. Adott cég esetén legyenek A,B,..., J az alkalmazottak. A cég két projekten dolgozik: BANK, JÁTÉK. beosztás menedzser programozó tesztelő HR tech. dolgozó alkalmazott A, B C, D, E F, G, H I J projekt alkalmazott határidő BANK A, C, D, F 2014.12.31. JÁTÉK B, D, E, F, G, H 2015.01.31. Legyen B a beosztás reláció: például A B menedzser. Legyen P a projekt reláció: például A P BANK Legyen H a határidő reláció: például BANK H 2014.12.31. Kik dolgoznak a BANK projekten? P 1 (BANK). Kik a tesztelők? B 1 (tesztelő). Mi a BANK projekt határideje? H(BANK). Milyen határidejei vannak az alkalmazottaknak? H P. Milyen határidejei vannak a tesztelőknek? H P B 1 (tesztelő).

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 12. Kompozíció R S = {(x, y) z : (x, z) S, (z, y) R} Álĺıtás Legyen R, S, T binér reláció. Ekkor 1. Ha rng(s) dmn(r), akkor rng(r S) = rng(r). 2. R (S T ) = (R S) T (a kompozíció asszociatív). 3. (R S) 1 = S 1 R 1. Bizonyítás 1. rng(r) = {y z : (z, y) R}. Mivel rng(s) dmn(r), ezért minden (z, y) R esetén x : (x, z) S, így (x, y) R S. 2. R (S T ) = {(w, z) y : (w, y) S T, (y, z) R} = {(w, z) y x : (w, x) T, (x, y) S, (y, z) R} = (R S) T. 3. (R S) 1 = {(y, x) z : (x, z) S, (z, y) R} = {(y, x) z : (z, x) S 1, (y, z) R 1 } = S 1 R 1.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 13. Relációk tulajdonságai Relációk: =, <,,,, T = {(x, y) : x, y R, x y < 1}. Legyen R reláció X -en. Ekkor azt mondjuk, hogy 1. R tranzitív, ha x, y, z X : (xry yrz) xrz;( =, <,,, ) 2. R szimmetrikus, ha x, y X : xry yrx; ( =, T ) 3. R antiszimmetrikus, ha x, y X : (xry yrx) x = y;( =,, ) 4. R szigorúan antiszimmetrikus, ha xry és yrx egyszerre nem teljesülhet; ( <) 5. R reflexív, ha x X : xrx; ( =,,,, T ) 6. R irreflexív, ha x X : xrx; ( <) 7. R trichotóm, ha x, y X esetén x = y, xry és yrx közül pontosan egy teljesül; ( <) 8. R dichotóm, ha x, y X esetén xry vagy yrx (esetleg mindkettő). ( )

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 14. Relációk tulajdonságai A reflexív, trichotóm, dichotóm tulajdonságok nem csak a relációtól függnek, hanem az alaphalmaztól is: Az {(x, x) R R, x R} R R C C mint R-en értelmezett reláció reflexív, de mint C-n értelmezett reláció nem reflexív. X X X a a a b b b c c c tranzitív X szigorúan antiszimmetrikus X trichotóm X szimmetrikus X reflexív X dichotóm X antiszimmetrikus irreflexív X

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 15. Relációk gráfja A relációk gráfját egyszerűsíthetjük: Ha egy reláció reflexív, akkor a hurokéleket nem rajzoljuk. 2 3 4 5 6 7 8 osztója reláció Ha egy reláció tranzitív, akkor elhagyjuk az olyan éleket, amelyek létezése a tranzitivitás miatt a már berajzolt élekből következik. 2 3 4 5 6 7 8 osztója reláció Ha egy reláció szimmetrikus, akkor irányított élek helyett csak éleket (vonalakat) rajzolunk. 2 3 4 5 6 7 8 mod3

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 16. Ekvivalenciareláció, osztályozások Legyen X egy halmaz, R reláció X -en. Az R relációt ekvivalenciarelációnak mondjuk, ha reflexív, szimmetrikus, tranzitív. 1. =; 2. z w, ha Re(z) = Re(w). Az X részhalmazainak egy O rendszerét az X osztályozásának nevezzük, ha O páronként diszjunkt nem-üres halmazokból álló halmazrendszer és O = X. 1. R egy osztályozása: { {a} : a R } ; 2. C egy osztályozása: { {z C : Re(z) = r} : r R }.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 17. Ekvivalenciareláció, osztályozások Tétel Valamely X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció esetén az x = {y X : y x} (x X ), ekvivalenciaosztályok X -nek egy osztályozását adják, ezt az osztályozást X / -mal jelöljük. Bizonyítás Legyen egy X -beli ekvivalenciareláció. Azt kell megmutatni, hogy X / = {x : x X } az X egy osztályozását adja. Mivel reflexív, így x x x x = X. Különböző ekvivalenciaosztályok páronként diszjunktak. Tfh x y, legyen z x y. Mivel z x z x, ahonnan a szimmetria miatt x z. Hasonlóan z y z y. A tranzitivitás miatt x z y x y x y. Hasonlóan y x x = y.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 18. Ekvivalenciareláció, osztályozások Tétel Valamely X halmazon bármely O osztályozás esetén az R = {Y Y : Y O} reláció ekvivalenciareláció, amelyhez tartozó ekvivalenciaosztályok halmaza O. Bizonyítás R reflexív: legyen az x osztálya Y : x Y O. Ekkor (x, x) Y Y. R szimmetrikus: legyen az (x, y) R. Ekkor x, y Y valamely Y osztályra, speciálisan (y, x) Y Y. R tranzitív: hasonlóan legyen (x, y), (y, z) R, ezért x, y Y, y, z Y. Mivel az osztályok páronként diszjunktak, így Y = Y, speciálisan z Y, azaz (x, z) Y Y.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 19. Ekvivalenciareláció, osztályozások Az ekvivalenciarelációk illetve osztályozások kölcsönösen egyértelműen meghatározzák egymást. = { {a} : a R } ; z w, ha Re(z) = Re(w) { {z C : Re(z) = r} : r R }. A síkon két egyenes legyen szerint relációban, ha párhuzamosak. Ekkor az osztályok az irány fogalomát adják. A síkon két szakasz legyen szerint relációban, ha egybevágóak. Ekkor az osztályok a hossz fogalomát adják. Két egész számpár esetén (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s. Ekkor az osztályok a racionális számok halmaza.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 20. Részbenrendezés, rendezés Az X halmazon értelmezett reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus relációt részbenrendezésnek nevezzük. (Jele:,,... ) Ha x, y X esetén x y vagy y x, akkor x és y összehasonĺıtható. (Ha minden elempár összehasonĺıtható, akkor a reláció dichotóm.) Az X halmazon értelmezett reflexív, tranzitív, antiszimmetrikus és dichotóm relációt rendezésnek nevezzük. Ha egy részbenrendezés esetén bármely két elem összehasonĺıtható, akkor az rendezés. R-en a reláció rendezés: x, y R: x y vagy y x. N-en az (osztója) reláció részbenrendezés: 4 5, 5 4. Az X halmaz összes részhalmazán a reláció részbenrendezés X = {a, b, c}, {a} {b, c}, {b, c} {a}.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 21. Szigorú és gyenge reláció Az X -beli R relációhoz tartozó szigorú reláció, az az S reláció, melyre xsy xry x y. Az X -beli R relációhoz tartozó gyenge reláció, az a T reláció, melyre xty xry x = y. Másképpen megfogalmazva: S = R \ I X, T = R I X, ahol I X = {(x, x) : x X }. relációhoz tartozó szigorú reláció: <. relációhoz tartozó szigorú reláció:. osztója relációhoz tartozó szigorú reláció: valódi osztója.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 22. Szigorú és gyenge rendezés Az X halmazon értelmezett tranzitív és irreflexív relációt szigorú részbenrendezésnek nevezzük. (Jele: <,,... ) Megjegyzések A tranzitivitásból és az irreflexivitásból következik a szigorú antiszimmetria: ha x y és y x tranzitivitás miatt x x, ami ellentmondás. Egy részbenrendezés relációnak szigorú változata szigorú részbenrendezés, és fordítva: = \I X, = I X. Álĺıtás Ha a reláció rendezés, akkor trichotóm, és fordítva. Bizonyítás Kell: x = y, x y és y x egyszerre nem teljesülhet. Ha x = y, akkor igaz az álĺıtás. Továbbá x y és y x sem teljesülhet egyszerre.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 23. Intervallumok Legyen X egy részbenrendezett halmaz. Ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z az x és y közé esik, ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z szigorúan az x és y közé esik. Az összes ilyen elem halmazát [x, y], ill. (x, y) jelöli. A [x, y), ill. (x, y] jelölések definíciója analóg. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor [{a}, {a, b, c}] = { {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c} } ; Ekkor ({a}, {a, b, c}) = { {a, b}, {a, c} }. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor [2, 12] = { 2, 4, 6, 12 } ; Ekkor (2, 12) = { 4, 6 }.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 24. Intervallumok Ha x y, de nem létezik szigorúan x és y közé eső elem, akkor x közvetlenül megelőzi y-t. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a} közvetlenül megelőzi {a, b}-t, illetve {a, c}-t. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor 2 közvetlenül megelőzi a 4, 6, 10, 14 elemeket. Az {y X : y < x} részhalmazt az x elemhez tartozó kezdőszeletnek nevezzük. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a, b} elemhez tartozó kezdőszelet: {, {a}, {b} }.

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 25. Részbenrendezések Hasse-diagramja Ha egy részbenrendezett halmaz elemeit pontokkal ábrázoljuk, és csak azon (x, y) párok esetén rajzolunk irányított élt, amelyre x közvetlenül megelőzi y-t, akkor a részbenrendezett halmaz Hasse-diagramját kapjuk. Néha irányított élek helyett irányítatlan élt rajzolunk, és a kisebb elem kerül lejjebb. 5 8 7 1 3 7 4 6 2 6 5 2 3 8 4 1

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 26. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Az X részbenrendezett halmaz legkisebb eleme: olyan x X : y X, x y; legnagyobb eleme: olyan x X : y X, y x; minimális eleme: olyan x X : y X, x y, y x; maximális eleme: olyan x X : y X, x y, x y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: 8 legkisebb elem: 1, legnagyobb elem: nincs, minimális elem: 1, maximális elemek: 5, 6, 7, 8. 7 5 4 2 6 3 1

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 27. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Megjegyzések Minimális és maximális elemből több is lehet. Ha a halmaz rendezett, akkor a minimális és legkisebb elem, továbbá a maximális és legnagyobb elem egybeesik. Ha X -nek létezik egyértelmű minimális, ill. maximális eleme, akkor azt min X, ill. max X jelöli. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: 8 min X = 1, 7 4 6 max X nincs. 5 2 3 1

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 28. Korlátok Egy X részbenrendezett halmaz x eleme az Y részhalmaz alsó korlátja, ha y Y : x y; felső korlátja, ha y Y : y x. Ha az alsó korlátok halmazában van legnagyobb elem, akkor ez az Y infimuma: inf Y, ha a felső korlátok halmazában van legkisebb elem, akkor ez az Y supremuma: sup Y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatóságra: {1, 2, 3} alsó korlátja: 1, felső korlátja: 6, 8 infimuma: 1, supremuma: 6. 7 4 {2, 3, 4} alsó korlátja: 1, 5 felső korlátja: nincs, 2 infimuma: 1, supremuma: nincs. 1 6 3

Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 29. Korlátok Ha az X részbenrendezett halmaz bármely nem üres, felülről korlátos részhalmazának van supremuma, akkor felső határ tulajdonságúnak nevezzük, ha bármely nem üres, alulról korlátos részhalmazának van infimuma, akkor X -et alsó határ tulajdonságúnak nevezzük. A pozitív egész számok halmaza az oszthatóságra nézve alsó, és felső határ tulajdonságú: Ha Y = {a 1, a 2,... }, akkor inf Y = lnko(a 1, a 2,... ), felső határa lkkt(a 1, a 2,... ). A racionális számok halmaza a szokásos rendezésre nézve sem alsó, sem felső határ tulajdonságú: Y = {r Q : r 2} halmaznak van felső korlátja (pl.: 1000, 999, 2, 1, 42,... ), de nincs (racionális) supremuma (a supremum 2 Q lenne).