Modern matematikai paradoxonok

Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36

Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 2 / 36

Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 2 / 36

Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: 1 Látszólagos paradoxon, ami ellentmond az elképzelésünknek, elvárásunknak. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 2 / 36

Jelentés Mit jelent a paradoxon szó? A szó jelentése Két értelemben is használjuk: 1 Látszólagos paradoxon, ami ellentmond az elképzelésünknek, elvárásunknak. 2 Valódi paradoxon, vagyis egy igazi ellentmondás. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 2 / 36

Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 3 / 36

Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 3 / 36

Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 3 / 36

Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Fának hajított k Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 3 / 36

Ókori paradoxonok Ókori paradoxonok Zénón paradoxonjai (i. e. V. század): Akhilleusz és a tekn s Kil tt nyílvessz Fának hajított k Zénón következtetése: a mozgás csak illúzió. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 3 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A kérdés Miért félünk a valódi paradoxonoktól? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 4 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? Miért félünk a paradoxonoktól? Paradoxon esetén értelmetlenné válik a matematika, bármit be lehet bizonyítani. (És annak ellenkez jét is.) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 5 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? Miért félünk a paradoxonoktól? Paradoxon esetén értelmetlenné válik a matematika, bármit be lehet bizonyítani. (És annak ellenkez jét is.) Indirekt bizonyítással. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 5 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Az eredeti feltevés hamis volt. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Miért félünk a paradoxonoktól? A bizonyítás Tétel: Minden prím páros. Bizonyítás: Indirekt feltevés: tegyük fel, hogy van páratlan prím. Paradoxon. Ellentmondásra jutottunk. Az eredeti feltevés hamis volt. Vagyis a tétel igaz. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 6 / 36

Végtelen sorok Végtelen sorok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 7 / 36

Végtelen sorok Grandi problémája Guido Grandi (1671-1742) olasz szerzetes, matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 8 / 36

Végtelen sorok Grandi problémája Guido Grandi (1671-1742) olasz szerzetes, matematikus 1 1 + 1 1 + 1... =? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 8 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 }{{} + 1 1 }{{} + 1 1 }{{} +... = 0 0 0 0 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 9 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 }{{} + 1 1 }{{} + 1 1 }{{} +... = 0 0 0 0 1 1 + 1 1 }{{} + 1 }{{}... = 1 0 0 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 9 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 + 1 1 + 1... = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 10 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 + 1 1 + 1... = A 1 + 1 1 + 1... = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 10 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 + 1 1 + 1... = A 1 + 1 1 + 1... = A 1 = 2A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 10 / 36

Végtelen sorok Megoldások 1 1 + 1 1 + 1... = A 1 + 1 1 + 1... = A 1 = 2A Vagyis A = 1 2 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 10 / 36

Végtelen sorok Euler problémája Leonhard Euler (1707-1783) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 11 / 36

Végtelen sorok Euler problémája Leonhard Euler (1707-1783) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +... Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 11 / 36

Végtelen sorok Euler problémája 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 12 / 36

Végtelen sorok Euler problémája 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = A 2 + 4 + 8 + 16 +... = 2A Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 12 / 36

Végtelen sorok Euler problémája 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = A 2 + 4 + 8 + 16 +... = 2A Vonjuk ki az alsó egyenletb l a fels t. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 12 / 36

Végtelen sorok Euler problémája 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +... = A 2 + 4 + 8 + 16 +... = 2A Vonjuk ki az alsó egyenletb l a fels t. A = 1 Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 12 / 36

Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) francia matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 13 / 36

Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) francia matematikus 1 A végtelen sor deníciója Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 13 / 36

Végtelen sorok Tisztázás Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) francia matematikus 1 A végtelen sor deníciója 2 A határérték deníciója. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 13 / 36

Halmazelmélet Halmazelmélet Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 14 / 36

Halmazelmélet Alapkérdés Kérdés: Mikor egyforma nagyságú két végtelen halmaz? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 15 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Galileo Galilei (1564-1642) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 16 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Galileo Galilei (1564-1642) Értelmetlen a kérdés. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 16 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Egyenl ség deníciója Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Cantor-tétel (1891) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Kezdetek Georg Cantor (1845-1918) német matematikus Egyenl ség deníciója Megszámlálható halmazok Valós számok (1874) Cantor-tétel (1891) Sok különböz számosság Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 17 / 36

Halmazelmélet Bertrand Russell Bertrand Russell (1872-1970), angol matematikus, lozófus Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 18 / 36

Halmazelmélet Bertrand Russell Bertrand Russell (1872-1970), angol matematikus, lozófus Principia Mathematica Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 18 / 36

Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 19 / 36

Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 19 / 36

Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Russell-paradoxon A kérdés: (1901) Milyen halmaz az összes jó halmazból álló halmaz? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 19 / 36

Halmazelmélet Russell-paradoxon Deníció. Egy halmaz jó, ha nem eleme önmagának. Deníció. Egy halmaz rossz, ha eleme önmagának. Russell-paradoxon A kérdés: (1901) Milyen halmaz az összes jó halmazból álló halmaz? Lényegében ugyanezt Cantor észrevette 1899-ben. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 19 / 36

Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 20 / 36

Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Axiomatikus felépítés, ZermeloFraenkel axiómarendszer (1908, 1922). Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 20 / 36

Halmazelmélet Tisztázás Szokatlan megoldás. Axiomatikus felépítés, ZermeloFraenkel axiómarendszer (1908, 1922). Szigorúan szabályozza a halmazképzést. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 20 / 36

Mértékelmélet Mértékelmélet Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 21 / 36

Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 22 / 36

Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Van-e olyan, ami korlátos is? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 22 / 36

Mértékelmélet Mértékelmélet Van-e a síkban olyan alakzat, amely egybevágó egy valódi részhalmazával? Van-e olyan, ami korlátos is? Látszik itt valami aggasztó dolog? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 22 / 36

Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 23 / 36

Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 23 / 36

Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Mazurkiewicz és Sierpi«ski, 1914. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 23 / 36

Mértékelmélet Fura halmazok Van-e olyan A síkbeli halmaz, amire igaz, hogy A = A 1 A 2 A 1 A 2 = és A = A 1 = A2. Mazurkiewicz és Sierpi«ski, 1914. Lindenbaum, 1926., korlátos nem lehet. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 23 / 36

Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 24 / 36

Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 24 / 36

Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha 1 A = A 1 A 2... A n 2 B = B 1 B 2... B n Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 24 / 36

Mértékelmélet Átdarabolás Átdarabolás Deníció. A és B halmazok átdarabolhatók egymásba, ha 1 A = A 1 A 2... A n 2 B = B 1 B 2... B n 3 A i = Bi Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 24 / 36

Mértékelmélet Háromszög területe Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 25 / 36

Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 29 / 36

Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 29 / 36

Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. David Hilbert kérdése (1900.): azonos térfogatú kocka és szabályos tetraéder átdarabolható-e egymásba? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 29 / 36

Mértékelmélet Bolyai Farkas tétele BolyaiGerwien tétel. Bármely két egyenl terület sokszög átdarabolható egymásba. David Hilbert kérdése (1900.): azonos térfogatú kocka és szabályos tetraéder átdarabolható-e egymásba? Max Dehn 1900. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 29 / 36

Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 30 / 36

Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 30 / 36

Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 30 / 36

Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Van-e korlátos? (60 évig megoldatlan kérdés volt.) Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 30 / 36

Mértékelmélet Paradox halmazok Paradox halmazok Deníció. A halmaz paradox, ha A = A 1 A 2, A 1 A 2 = és A 1, A 2 és A átdarabolhatók egymásba. Láttuk, hogy a síkban van paradox halmaz. Van-e korlátos? (60 évig megoldatlan kérdés volt.) Winfried Just, 1988. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 30 / 36

Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, 1924. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 31 / 36

Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, 1924. Tétel. Egy gömb átdarabolható két gömb uniójába. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 31 / 36

Mértékelmélet BanachTarski paradoxon BanachTarski-paradoxon, 1924. Tétel. Egy gömb átdarabolható két gömb uniójába. Mi ebben a meglep? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 31 / 36

Mértékelmélet BanachTarski paradoxon Hol itt a paradoxon? Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 32 / 36

Mértékelmélet BanachTarski paradoxon Hol itt a paradoxon? Probléma a térfogattal. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 32 / 36

Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 33 / 36

Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 33 / 36

Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Valódi paradoxon, amit ki kell küszöbölni - Russell-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 33 / 36

Összefoglalás Különböz paradoxonok Összegzés Nem tisztázott fogalom, szület ben lév deníció - végtelen sorok Valódi paradoxon, amit ki kell küszöbölni - Russell-paradoxon Látszólagos, a szemléletünknek nagyon ellentmondó állítás - BanachTarski-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 33 / 36

Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 34 / 36

Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Monty Hall-paradoxon. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 34 / 36

Összefoglalás Egyéb modern halmazok Születésnap-paradoxon Monty Hall-paradoxon. Gábriel harsonája.... Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 34 / 36

Kérdések Bátran kérdezzetek! Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 35 / 36

Vége Köszönöm a gyelmet. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 36 / 36