Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy"

Átírás

1 Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá, méghozzá nagyon egyszer módon. Úgy, hogy csak az egyik négyzetet kell felosztani 4 kise részre. Kés - nem tudni pontosan mikor - ez az átdaraolás lett az alapja az egyik legötletese, legegyszer en elkészíthet két dimenziós összerakó játéknak, az úgynevezett Perigal-négyzet -nek. A izonyításának a történetéhez hozzátartozik az is, hogy a Perigal sírkövére elefaragták ezt a izonyítást: A aloldali ára a faragott sírk, a középs a rekonstruálása míg a jo oldali a kihangsúlyozása, ami tulajdonképpen a izonyítást képezi, amire részleteseen kitérünk. A Perigal négyzete a aloldali árán látható. Fáól is elkészíthet a 4 kongruens négyszög l álló kirakós játék. A négy alakzatot átrendezve megkaphatjuk a jooldali nagyo négyzetet, amelynek a közepéen szintén négyzet alakú üresség található. (Próáljuk elátni, hogy az alakzat is és az üreg is valóan négyzet!) Álljon itt most a Pitagorász tételének ezen izonyítása. A izonyítás valóan leolvasható az áráról: Legyen c a jo fels közepes négyzet oldalának a hossza, ezért annak a területe c 2 -tel egyenl. Rendezzük át a közepes négyzet négy kongruens daraját úgy, hogy az alsó, legnagyo négyzetet kapjuk, amelynek az oldalhossza legyen a, ezért a területe a 2 -tel egyenl. A nagynégyzet közepée egy kisnégyzet alakú üresség keletkezett. Ennek a kisnégyzetnek az oldalát jelöljük c-vel, tehát a területe c 2 -tel egyenl. Most készítsünk el egy c oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy rakjuk egymás mellé, hogy páronként 2-2 csúcsuk érintse egymást és a legnagyoik és a legkiseik négyzet oldala egymásra mer legesek legyenek, ahogyan az árán is látható. Így az árán világos szín derékszög háromszög keletkezik, amelynek oldalai a,, c hosszúak. És mivel a nagy négyzet területe egyrészt a 2 -nel egyenl, másrészt pedig a két kise négyzetnek a területösszegé l adódik, ami 2 + c 2, ezért máris izonyítottuk a Pitagorász tételét miszerint ha egy derékszög háromszög átfogója a, efogói illetve c hosszúak, akkor a 2 = 2 + c 2

2 (az árán a világos szín háromszög). Ezt a m veletet, ahogyan egy alakzatot feldaraoltunk, és átrendezve egyrét en összeraktunk egy másik alakzatot, átdaraolásnak nevezzük Az el i átdaraolásnak a szemléltetését a világhálón például itt tekinthetjük meg: A kisfilmr l az is kiderül, hogy gyakorlatilag hogyan állítható el a Perigal négyzetének a négy kongruens daraja. Ez úgy történik, hogy a kisnégyzetet a nagy négyzettel koncentrikusan (a középpontjuk egyeessen) helyezzük el, majd a kisnégyzetet elforgatjuk úgy, hogy oldala ne legyen párhuzamos a nagy négyzet oldalaival. Ezután meghosszaítjuk a kisnégyzet oldalait, amelyek a nagy négyzet l négy kongruens daraot vág ki, és ez a négy alakzat egy négyzetté rakható össze, ami a Perigal négyzete. Az el ieken izonyítottak kapcsán könnyen izonyíthatjuk a következ érdekes feladatot: * Feladat: Bizonyítsuk e, hogy n 1, n N dara tetsz leges, különöz méret négyzetlap feldaraolható úgy, hogy a keletkezett daraokól hézagmentesen és egyrét en kirakhassunk egy négyzetlapot! Bizonyítás: A izonyítást a teljes matematikai indukcióval végezzük el. El ször is igazoljuk, hogy n=2 négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól négyzetet rakhatunk ki Tekintsük a kiseik négyzetlapot, ennek az oldala legyen. A nagyoik négyzetlap oldala legyen c, és két, egymásra mer leges egyenessel osszuk négy kongruens részre úgy, ahogyan az el i árán látható (vagyis Perigal-négyzetet készítettünk). Az el izonyítottak alapján az daraól kirakható az olyan a oldalú négyzet, amelyet az a 2 = 2 + c 2 összefüggés l kapunk meg. Feltételezzük most, hogy n dara négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól egy négyzetet rakhatunk ki. Igazoljuk, hogy ez igaz n+1 dara négyzet esetén is. Ez valóan így van, mert ha az n+1 négyzet közül például a második legkise négyzetet úgy daraoljuk fel (Perigal négyzetre) mint a fenti árán, akkor a legkiseikkel összeilleszthet egyetlen négyzetté, így most már csak n dara négyzetünk van, amire az indukciós feltétel alapján érvényes az, hogy feldaraolható úgy, hogy a daraokól kirakható egyetlen négyzet. Ezzel a feladatot izonyítottuk. Az el eken izonyítottak kapcsán, azaz ezek helyességét illet en, nem sok kételyünk merülhet fel, hiszen Pitagorasz tétele a matematika egyik alaptétele. Ha azonan joan elgondolkodunk az átdaraolás folyamatán és a megvalósítás lehet ségén, akkor máris felmerülhet a következ kérdés: vajon a daraokól hézagmentesen és fedés nélkül tényleg összerakhatók-e az illet alakzatok? Miel tt erre a kérdésre válaszolnánk, nézzünk meg egy úja átdaraolást, amely nagyon meggy en alátámasztja, hogy a fölmerült kételyünk teljesen megalapozott. Tekintsük a következ árán látható egység oldalhosszúságú négyzetet, amelyet a szemléltetett módon daraoltunk fel. (c+)/2 (c )/2 a a D A 1 1 M C B

3 Ezek l a daraokól rakjuk ki a második ára téglalapját. Könnyen leolvasható, hogy AB = 1 egység és BC = egység. Tehát úgy t nik, hogy az els ára négyzetlapját átdaraoltuk a második ára téglalapjáa. Vajon tényleg igaz? Nézzünk csak utána! (Lásd még a MatLap 2/2012-es számának 64. oldalán az F. 17. feladványt). A négyzet területe: T 1 : 64, míg a téglalap területe: T 2 : 1 6. Honnan származik a 6 64 = 1 négyzetegységnyi eltérés? Ha esetleg milliméteres papíron, pontos mérésekkel rekonstruáljuk az el i átdaraolást és ha jól figyelünk, akkor észrevehet, hogy a BD átló mentén az alakzatok nem illeszkednek tökéletesen, pontosaan egy kis rés marad. Számolásokkal megmutatjuk, hogy az a kis rés éppen 1 négyzetegység (és mivel elég kicsi, szaad szemmel nehezen érzékelhet ). Tehát valójáan a második ára téglalapja nem illeszthet össze hézagmentesen a. ára négyzetlapjának darajaiól. Az ilyen, hiás átdaraolások során nem csak úgymond hiány állhat el, hanem éppen fedés is. Például, ha az els árán lev,, mér számok helyett rendre az,, 1 mér számokat vesszük, akkor a négyzet területe T 1 : , míg a téglalap területe T2 : (1 ) 16 lesz, vagyis az átrendezés után nem hézag marad, hanem a daraok fedni fogják egymást. Ennek izonyítása az el iek mintájára is történhet, és az érdekl Olvasóra ízzuk. Ezek után természetesen felmerül a kérdés, hogy mi az átdaraolhatóság helyességének a feltétele? A következ tétel értelméen a Pitagorasz-tétel izonyítására használt átdaraolhatóság lehet sége iztosítva van, de a tétel az átdaraolhatóság hogyanjára nem ad választ. Nyilvánvaló, hogy az átdaraolt alakzatok területei egyenl k. Vajon igaz-e ennek a fordítottja is? Erre a választ (szinte egy id en) Bolyai Farkas (12) és Gerwin (1) adták meg, de egyes források szerint a tétel els felfedez je Wallace, angol matematikus volt, aki már 107-en közölte a következ eredményt: Tétel. Az egyenl terület sokszöglapok átdaraolhatók egymása. A tétel kijelenti tehát, hogy ha két sokszöglap egyenl egyenl, akkor egymása átdaraolható. Így igaz a tétel ellentettje is miszerint, ha két sokszöglap területe nem egyenl, akkor a két sokszöglap nem daraolható át egymása. Ezért tehát az el példáan a négyzetlap nem daraolható át téglalappá, mert a két alakzat területe nem egyenl. Ellenen a Pitagorasz tétel izonyításának a helyessége nem kérd jelezhet meg, hiszen az épen az átdaraolt alakzatok területének az egyenl ségén alapszik. Néhány évvel Perigal halála után megfigyelték, hogy a Pitagorasz tételének a Perigal-féle izonyítása képezi az alapját a kés i úgynevezett Pitagorasz-féle parkettázásnak (csempézésnek). A matematikai tárgyalás egyszer sítése céljáól parkettázáson (vagy csempézésen) a síknak síkidomokkal való egyrét és hézagtalan (vagyis hézagmentes) lefedését fogjuk érteni. Egyrét nek nevezzük a lefedést, ha a sík minden pontját legfelje egy lefed idom els pontja fedi le. (Egy pontot tö fed idom határpontja is fedhet.) Hézagtalan a lefedés, ha a sík minden pontját lefedi legalá egy fed idom els - vagy határpontja. Parkettázásnál a teljes sík lefedésére gondolunk. A parkettázás története szinte egyid s az építkezések történetével. Az épületek padozatát régen k daraokkal rakták ki, ez eleinte találomra egymás mellé rakott laposa daraokól állott, kés már faragtak ezeken a köveken, hogy az összeillesztésnél a padozat minél nagyo része legyen fedett és minél kevese legyen a hézag. A fejl dés továi folyamán a hézagokat is igyekeztek kiküszöölni a padozatól a felhasznált daraok faragásával. Gyakorlati tapasztalatok alapján rájöttek arra, hogy egyszer a padozat eorítása, ha egyforma, azonos alakú és nagyságú fed köveket használnak, különösen akkor, ha ezeket pl. agyagól égetik. Néhány ilyen parkettázást mutatnak az ókori lakóépületek l a következ árák:

4 Már e l az öt, évezredekkel ezel tt ismert parkettázási módól is a fellép formák nagy gazdagságára következtethetünk. Máris felmerül a kérdés: milyen egyevágó idomokól készíthet k parketták? Kézenfekv nek látszik tehát az a gondolat, hogy minden parkettázást sokszögekkel való parkettázásra vezessünk vissza. De persze messzir l sem ilyen egyszer téma a parkettázás. (B veen lásd pl az []-en) Azt a parkettát (nevezzük még csempét vagy mozaikot) aminek a végtelen ismétlésével el állítjuk a parkettát, motívumnak nevezzük. Az el i els ára motívuma egy téglalap, a másodiké egy négyzet, a harmadiké egy szaályos hatszög, st. A Pitagorasz parkettázás vagy a két négyzet parkettázása az alái aloldali árán látható: A jooldali árán a parkettán a motívum is meg van jelölve (kett is, az egyik éppen a Perigal négyzete), ez természetesen töféle is lehet, de minden eseten, a motívumok egymás mellé illesztésével meg kell kapjuk a aloldali ára parkettázását. Befejezésül, térjünk vissza ismét a kezdeten emutatott Perigal négyzetére. Vegyük ennek a négy kongruens alakzatját és próáljuk úgy összerakni, hogy ne négyzetet, hanem egy általános téglalapot zárjon közre. Némi próálkozás után hamar rájövünk, hogy sehogyan sem sikerül a téglalapot ezárni, vagyis csak nyitott téglalap keletkezik. Vajon elvágható-e úgy a négyzet, hogy töféle téglalap is kialakítható legyen a elsejéen? A válasz igenl, de nem egyszer megtalálni a megoldást. Javaslom a matematika iránt érdekl knek, hogy próálkozzanak ilyen elrendezést találni. Néhány példa a következ árákon látható: Egy másik ötlet az lehet, hogy a Perigal négyzete helyett megpróálunk egy Perigal téglalapot összeállítani. Hogyan? Pontosan azonos módszerrel, ahogyan Perigal négyzetet szerkesztettünk. Ennek az elvégzését az érdekl Olvasóra ízzuk. Érdekes játékvariációt kapunk, ha nem négyzet l, hanem téglalapól indulunk ki, és készítünk egy Perigal téglalapot.

5 Een az eseten is ügyelni kell a két vágás mer legességére. Ez is olyan elrendezés, ahol téglalap alakú lyuk lehet a nagy téglalap elsejéen. El is készítettük az egyik kis téglalapot, így ez a játék is alkalmas egy "paradoxon-szer ség" emutatására. Ehhez csak egy dooza kellett helyezni az elemeket. Egyszer elefért a kis téglalap, egyszer pedig nem. Vajon mi az oka? Gondoljunk csak az el ieken emutatott hamis átdaraolásra! Továi érdekes információkat olvashatunk a ween, ha a Google keres e eírjuk a Perigal szót, és láthatóvá tesszük képek közötti találatokat is. Szakirodalom és Forrásanyag: [1] Tuzson Zoltán: Algerai azonosságok szemléltetése, ML6/1994, 210. old. [2] Tuzson Zoltán: Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? Harmadik, vített kiadás, Áel Kiadó, Kolozsvár, 2011 [] [4] [] [6] [7] []

A figurális számokról (I.)

A figurális számokról (I.) A figurális számokról (I.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert k a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Sok esetben így jelképezték

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Tangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Tangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Tangramcsodák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A tangramok si kirakójátékok. A játék célja az, hogy a tangramkövek maradéktalan felhasználásával kirakjunk különböz alakzatokat, illetve megfejteni, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam

MATEMATIKA. 5 8. évfolyam MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika

Részletesebben

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási

Részletesebben

ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK

ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK A ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tová nem ontható anyag atomokól épül fel. Az atom atommagól és az atommagot körülvevő elektronhéjakól áll. Az atommagot

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés! Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak

Részletesebben

Szeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a

Szeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a DEKORÁCIÓS ÖTLETTÁR Szeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a véletlenre otthonának végleges megjelenését.

Részletesebben

Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció

Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások TÁRGYÁBAN INDÍTOTT KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁSHOZ NYILVÁNTARTÁSI

Részletesebben

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

TARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255 TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...

Részletesebben

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

Kártyajátékok és bűvésztrükkök Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem

Részletesebben

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva Matematika A 1. évfolyam páros, páratlan 22. modul Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 22. modul Páros, páratlan modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy

Részletesebben

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Szakdolgozat Írta: Simon Anita Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve

Részletesebben

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke

TIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke Azonosító címke TIMSS 2011 Tanári kérdőív Matematika online 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési és Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory u. 10. IEA, 2011 Tanári kérdőív Az Önök iskolája

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

BESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL

BESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL INTERJÚK, BESZÉLGETÉSEK BESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL Mellár Tamás 48 éves, a Központi Statisztikai Hivatal elnöke. Egyetemi tanulmányait az akkori Janus Pannonius, ma Pécsi Tudományegyetem közgazdasági

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

Gondolatok a Blokus játékról

Gondolatok a Blokus játékról Gondolatok a Blokus játékról Bagota Mónika Eötvös Loránd Tudományegyetem TÓK Matematika Tanszék, Budapest bagota.monika@tok.elte.hu A Blokus játék tartalma: 1db 400 mezős játéktábla; 84 db alakzat 4 színben.

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Települési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel.

Települési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel. Kiadás kelte MAGYAR SZABVÁNY MSZ 21976-1 Települési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel. Investigation of municipal wastes, Sampling Hivatkozási szám: MSZ 21976-1:2005 MAGYAR SZABVÁNYÜGYI TESTÜLET

Részletesebben

Alapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1 4. évfolyam

Alapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1 4. évfolyam 3. melléklet a /2014. ( ) EMMI rendelethez 1. A kerettantervi rendelet 1. melléklet Kerettanterv az általános iskola 1-4. évfolyamára cím Alapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1-4. évfolyam

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra... iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás

Részletesebben

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Síkbeli és térbeli alakzatok 1.5 Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 11 14 elnevezések a háromszögekben háromszögek belső szögösszege háromszögek

Részletesebben

MATEMATIKA A és B variáció

MATEMATIKA A és B variáció MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy

Részletesebben

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás.

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. JELLEGZETES ÜZEMFENNTARTÁS-TECHNOLÓGIAI ELJÁRÁSOK 4.06 Javításhelyes szerelés 1 Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. A mai termékek

Részletesebben

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 18 év pentominók adott tulajdonságú alakzatok építése szimmetrikus alakzatok egybevágó alakzatok

Részletesebben

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam

MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Matematika. 5-8. évfolyam

Matematika. 5-8. évfolyam Matematika 5-8. évfolyam Matematika 5-8. évfolyam 1. Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és

Részletesebben

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai

Részletesebben

AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA. Brüsszel, 2010. december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD)

AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA. Brüsszel, 2010. december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD) AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2010. december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD) DENLEG 139 AGRI 485 CODEC 1306 FELJEGYZÉS Küldi: az Állandó Képviselők Bizottsága

Részletesebben

HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete

HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete az önkormányzati címer, zászló és a településnév használatának rendjéről Hodász Nagyközségi Önkormányzat

Részletesebben

Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret!

Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret! Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret! M E G N E V E Z É S Ű N Y E R E M É N Y J Á T É K R É S Z V É T E L I -, É S J Á T É K S Z A B Á L Y Z A T A 1. A JÁTÉK SZERVEZŐJE

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

A Megbízó a szakértői vizsgálat lefolytatásához az alábbi iratokat, illetve termékmintát bocsátotta rendelkezésre:

A Megbízó a szakértői vizsgálat lefolytatásához az alábbi iratokat, illetve termékmintát bocsátotta rendelkezésre: ISZT-6/2014/2. I. A tényállás 1) A Megbízó szakértői vélemény készítésével bízta meg a Szellemi Tulajdon Nemzeti Hivatala mellett működő Iparjogvédelmi Szakértői Testületet (a továbbiakban: Szakértői Testület)

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés - figyelemmel az államháztartás feladatainak ellátásához szükséges állandó, nem konjunktúraérzékeny és értékálló bevétel biztosítására,

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

Magnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim!

Magnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim! Magnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim! Régi idők tanújaként beszélni egy nagy múltú intézmény ünnepére összegyűlt vendégek előtt, közöttük

Részletesebben

D Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz

D Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz D Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz GB TUV Rheinland Product Safety 1 Melegház típusterv 2-mezős 3-mezős Felépítés Hátsó fal Tető Ablak 2-részes ajtó előszerelve Oldalfal Első fal Profilok

Részletesebben

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I. NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET.

ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET. Dr. Takáts Ágoston ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET. A TUDOMÁNYOS GONDOLKODÁSRÓL ÉS A MEGISMERÉS HÁRMAS ABSZTRAKCIÓS SZINTJÉRŐL 2007. Tartalom 1. AZ ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZER

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:

Részletesebben

oda egy nagy adatbázisba: az eszközök nincsenek egy koncentrált helyre begyűjtve, azaz minden egyes eszközt külön-külön kell megszerezni egy

oda egy nagy adatbázisba: az eszközök nincsenek egy koncentrált helyre begyűjtve, azaz minden egyes eszközt külön-külön kell megszerezni egy Elektronikus hitelesség e-társadalomban mit, miért és hogyan? Erdősi Péter Máté, CISA http://www.erdosipetermate.hu Magyar Elektronikus Aláírás Szövetség, MELASZ elnokseg@melasz.hu Az elektronikus társadalomban

Részletesebben

Váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés

Váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés 1 Váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés A találmány tárgya váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés, különösen lakásszellőzés

Részletesebben

AZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN

AZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN PÁZMÁNY PÉTER KATOLIKUS EGYETEM KÁNONJOGI POSZTGRADUÁLIS INTÉZET VALLÁSTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA KÁNONJOGI PROGRAM AZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN PhD tézisek Készítette: Fügedy Antal Levente Témavezető:

Részletesebben

AUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER

AUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER Pocket-GATE AUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER KEZELŐI KÉZIKÖNYV Saturnus Informatika TARTALOMJEGYZÉK 1. TUDNIVALÓK A PROGRAM HASZNÁLATÁHOZ... 3 2. A PROGRAM INDÍTÁSA, KILÉPÉS... 3 2.1. A PROGRAM

Részletesebben

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról 1 / 130 2016.04.20. 11:59 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról 2016.01.01 2016.04.30 44 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés figyelemmel az államháztartás

Részletesebben

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások Teodolit Alapismeretek - leolvasások A teodolit elve Szögmérő műszer, amellyel egy adott pontból tetszőleges más pontok felé menő irányok egymással bezárt szögét tudjuk megmérni, ill. egy alapiránytól

Részletesebben

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet

Országos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet 1. feladatsor: 100 perc, 1000 pont Instrukciós füzet Kertek (15+30) Az ábrában kertek oldallal szomszédos négyzetekből álló fehér területek rejtőznek, amelyeket egy összefüggő érintkező oldalak mentén

Részletesebben

TABLETTÁK. Compressi

TABLETTÁK. Compressi Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.8.0-1 01/2014:0478 TABLETTÁK Compressi E cikkely követelményeit a nem bevételre szánt tablettákra nem kell feltétlenül alkalmazni. Ezekre a készítményekre esetenként más általános cikkelyek,

Részletesebben

1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép:

1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép: 1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép: [Nemkívánatos anyagok, vegyületek termékek 1. Arzén (*), (**) a) Takarmány-alapanyagok,

Részletesebben

AZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA

AZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA Kocsis László AZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA Doktori értekezés Pécsi Tudományegyetem Filozófia Doktori Iskola Programvezető: Dr. Boros János (PTE Filozófia Doktori Iskola) Témavezetők: Kondor Zsuzsanna

Részletesebben

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.

5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14. Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok

Részletesebben

8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai

8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai 1. 10 db-os nagy ORFF ritmuskészlet Fejlesztés: Generatív, kreatív zenei képességek, tevékenységek, ritmuskészség e Rövid leírás: ritmushangszerek természetes anyagokból 2. 8 db-os ORFF ritmuskészlet Fejlesztés:

Részletesebben

6. évfolyam MATEMATIKA

6. évfolyam MATEMATIKA 28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

mini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak)

mini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak) VONALKÁZÓS mini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak) Végy elő gyufaszálakat és pl.: bab-, kukorica-, kávé- szemeket, (vagy rakd tele a táblát valami apró csokival ) Az előbbiekkel

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet

206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet 206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet a kutatási és fejlesztési megállapodások egyes csoportjainak a versenykorlátozás tilalma alóli mentesítésérıl A Kormány a tisztességtelen piaci magatartás és a versenykorlátozás

Részletesebben

A controlling integrálódása az oktatási szférában

A controlling integrálódása az oktatási szférában Dr. Tóth Antal - Dr. Zéman Zoltán A controlling integrálódása az oktatási szférában 1. CONTROLLING ALKALMAZÁSA A FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNYEKNÉL A controlling hasznossága mindaddig nem fog érvényre jutni

Részletesebben

Protimeter. Grainmaster i. Használati útmutató

Protimeter. Grainmaster i. Használati útmutató Protimeter Grainmaster i Használati útmutató GE Protimeter plc, Meterhouse, Fieldhouse Lane, Marlow, Bucks SL7 1LW, Uk Magyarországi forgalmazó: Spitzer Bt. Budapest 1203 Közm helytelep u. 5. Tel: 06-20-342-70-03

Részletesebben

Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek

Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek Matematikai logika A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezd dött. Maga a logika szó is görög eredet, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Kialakulása ahhoz köthet, hogy már

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

Mesterséges intelligencia feladatsor

Mesterséges intelligencia feladatsor Mesterséges intelligencia feladatsor kétszemélyes játékokhoz Jeszenszky Péter 2008. április 7. 1. Nem választható játékok 1.1. Feladat Nim. Beilleszteni a játék pontos leírását. 1.2. Feladat Tic-tac-toe.

Részletesebben

Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében

Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében 6 Dr. Fá z si Lá sz l ó PhD * Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében 1. Miről van szó A 2012. évi C. törvénnyel elfogadott új Büntető Törvénykönyv [Btk.] Különös Részének

Részletesebben

FELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához

FELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához FELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához - 1 - www.dimenzio-kft.hu Tartalomjegyzék A. BEVEZETÉS... 4 I. BEÁLLÍTÁSOK, PARAMÉTEREK, NAPLÓFORMÁTUMOK... 4

Részletesebben

lakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján Adóazonosító jele: Adóazonosító jele:

lakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján Adóazonosító jele: Adóazonosító jele: P Á L Y Á Z A T I K É R E L E M lakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján 1. A kérelmező(k) személyi adatai: A kérelmező neve, állampolgársága:

Részletesebben

ELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés 2008. június 26-ai ülésére

ELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés 2008. június 26-ai ülésére 1 KOMÁROM-ESZTERGOM MEGYEI KÖZGYŐLÉS ELNÖKE ELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés 2008. június 26-ai ülésére Tárgy: A Komárom-Esztergom Megyei Önkormányzat fenntartásában mőködı oktatásinevelési

Részletesebben

L. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog

L. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog Közös terek média mindenkinek Egyenlő Bánásmód Hatóság 4. workshop L. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog 1.) A kezdetekről: Eszembe sem jutott volna blogot írni. Rendszeresen publikáltam különféle oktatási

Részletesebben

Ingatlanvagyon értékelés

Ingatlanvagyon értékelés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 2. Számviteli alapok Szerzı: Harnos László

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19.

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19. FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi

Részletesebben

A word első megnyitása

A word első megnyitása A word első megnyitása A Word megnyitásakor az oldalon két fő területet láthat: A menüszalag a dokumentum fölött látható. Gombokat és parancsokat tartalmaz, melyekkel különböző műveleteket (mint például

Részletesebben

élőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm)

élőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm) 0-.foruló I. GÓI. Harry Potter étezik harrypotter nevű állomány (típusa megfelelő), lapméret a margók jók mindenhol a. oldaltól (f:,6 al:,9 bel:, kül:, tükör) sorköz a szövegtörzsben,-szeres (ahol nem

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat

Bolyai János Matematikai Társulat Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása

Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása MUNKAVÉDELEM 1.1 2.6 Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása Tárgyszavak: munkavédelem; kárelhárítás; veszélyes anyag; szivárgás; tervezés; oktatás. Bármikor megtörténhet Hétfő reggel

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva. Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

EMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem)

EMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem) EMLÉKEZTETŐ Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem) Napirend előtt Fazekas Károly helyett Kertesi Gábor vezeti a kerekasztal ülését. Köszönti a kerekasztal tagjait

Részletesebben

2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA

2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA 2.9.18. Inhalációs készítmények vizsgálata. Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.5.2-1 2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA 04/2005:20918 javított A vizsgálatot inhalációs

Részletesebben

A TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE

A TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE A TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE Budapest, 2016. április 15. Készítette: Magyary Jenő Témaválasztásom fő oka, hogy egyfelől a munkám miatt fontosnak tartom azt, hogy hogyan lehet

Részletesebben

MAGYAR törzsfájl. g60 TEN, TEL K085109A

MAGYAR törzsfájl. g60 TEN, TEL K085109A HU MAGYAR törzsfájl g60 TEN, TEL K085109A 0814 Ezennel kijelentjük, hogy az alább megnevezett termék klalakitésa és épitési módja alapján, valamint az általunk forgalmezott kivitelben megfelel az idevágó,

Részletesebben

Rövid útmutató. Joker 6 / 8 HD. Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Kiadás: 07/2013

Rövid útmutató. Joker 6 / 8 HD. Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Kiadás: 07/2013 Rövid útmutató Joker 6 / 8 HD Art.: 80740404 hu Kiadás: 07/2013 Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Rövid leírás Joker 6 / 8 HD Első üzembe helyezés Tömlő felfüggesztés illesztése Az első üzembe

Részletesebben