Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy
|
|
- Alfréd Magyar
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá, méghozzá nagyon egyszer módon. Úgy, hogy csak az egyik négyzetet kell felosztani 4 kise részre. Kés - nem tudni pontosan mikor - ez az átdaraolás lett az alapja az egyik legötletese, legegyszer en elkészíthet két dimenziós összerakó játéknak, az úgynevezett Perigal-négyzet -nek. A izonyításának a történetéhez hozzátartozik az is, hogy a Perigal sírkövére elefaragták ezt a izonyítást: A aloldali ára a faragott sírk, a középs a rekonstruálása míg a jo oldali a kihangsúlyozása, ami tulajdonképpen a izonyítást képezi, amire részleteseen kitérünk. A Perigal négyzete a aloldali árán látható. Fáól is elkészíthet a 4 kongruens négyszög l álló kirakós játék. A négy alakzatot átrendezve megkaphatjuk a jooldali nagyo négyzetet, amelynek a közepéen szintén négyzet alakú üresség található. (Próáljuk elátni, hogy az alakzat is és az üreg is valóan négyzet!) Álljon itt most a Pitagorász tételének ezen izonyítása. A izonyítás valóan leolvasható az áráról: Legyen c a jo fels közepes négyzet oldalának a hossza, ezért annak a területe c 2 -tel egyenl. Rendezzük át a közepes négyzet négy kongruens daraját úgy, hogy az alsó, legnagyo négyzetet kapjuk, amelynek az oldalhossza legyen a, ezért a területe a 2 -tel egyenl. A nagynégyzet közepée egy kisnégyzet alakú üresség keletkezett. Ennek a kisnégyzetnek az oldalát jelöljük c-vel, tehát a területe c 2 -tel egyenl. Most készítsünk el egy c oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy rakjuk egymás mellé, hogy páronként 2-2 csúcsuk érintse egymást és a legnagyoik és a legkiseik négyzet oldala egymásra mer legesek legyenek, ahogyan az árán is látható. Így az árán világos szín derékszög háromszög keletkezik, amelynek oldalai a,, c hosszúak. És mivel a nagy négyzet területe egyrészt a 2 -nel egyenl, másrészt pedig a két kise négyzetnek a területösszegé l adódik, ami 2 + c 2, ezért máris izonyítottuk a Pitagorász tételét miszerint ha egy derékszög háromszög átfogója a, efogói illetve c hosszúak, akkor a 2 = 2 + c 2
2 (az árán a világos szín háromszög). Ezt a m veletet, ahogyan egy alakzatot feldaraoltunk, és átrendezve egyrét en összeraktunk egy másik alakzatot, átdaraolásnak nevezzük Az el i átdaraolásnak a szemléltetését a világhálón például itt tekinthetjük meg: A kisfilmr l az is kiderül, hogy gyakorlatilag hogyan állítható el a Perigal négyzetének a négy kongruens daraja. Ez úgy történik, hogy a kisnégyzetet a nagy négyzettel koncentrikusan (a középpontjuk egyeessen) helyezzük el, majd a kisnégyzetet elforgatjuk úgy, hogy oldala ne legyen párhuzamos a nagy négyzet oldalaival. Ezután meghosszaítjuk a kisnégyzet oldalait, amelyek a nagy négyzet l négy kongruens daraot vág ki, és ez a négy alakzat egy négyzetté rakható össze, ami a Perigal négyzete. Az el ieken izonyítottak kapcsán könnyen izonyíthatjuk a következ érdekes feladatot: * Feladat: Bizonyítsuk e, hogy n 1, n N dara tetsz leges, különöz méret négyzetlap feldaraolható úgy, hogy a keletkezett daraokól hézagmentesen és egyrét en kirakhassunk egy négyzetlapot! Bizonyítás: A izonyítást a teljes matematikai indukcióval végezzük el. El ször is igazoljuk, hogy n=2 négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól négyzetet rakhatunk ki Tekintsük a kiseik négyzetlapot, ennek az oldala legyen. A nagyoik négyzetlap oldala legyen c, és két, egymásra mer leges egyenessel osszuk négy kongruens részre úgy, ahogyan az el i árán látható (vagyis Perigal-négyzetet készítettünk). Az el izonyítottak alapján az daraól kirakható az olyan a oldalú négyzet, amelyet az a 2 = 2 + c 2 összefüggés l kapunk meg. Feltételezzük most, hogy n dara négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól egy négyzetet rakhatunk ki. Igazoljuk, hogy ez igaz n+1 dara négyzet esetén is. Ez valóan így van, mert ha az n+1 négyzet közül például a második legkise négyzetet úgy daraoljuk fel (Perigal négyzetre) mint a fenti árán, akkor a legkiseikkel összeilleszthet egyetlen négyzetté, így most már csak n dara négyzetünk van, amire az indukciós feltétel alapján érvényes az, hogy feldaraolható úgy, hogy a daraokól kirakható egyetlen négyzet. Ezzel a feladatot izonyítottuk. Az el eken izonyítottak kapcsán, azaz ezek helyességét illet en, nem sok kételyünk merülhet fel, hiszen Pitagorasz tétele a matematika egyik alaptétele. Ha azonan joan elgondolkodunk az átdaraolás folyamatán és a megvalósítás lehet ségén, akkor máris felmerülhet a következ kérdés: vajon a daraokól hézagmentesen és fedés nélkül tényleg összerakhatók-e az illet alakzatok? Miel tt erre a kérdésre válaszolnánk, nézzünk meg egy úja átdaraolást, amely nagyon meggy en alátámasztja, hogy a fölmerült kételyünk teljesen megalapozott. Tekintsük a következ árán látható egység oldalhosszúságú négyzetet, amelyet a szemléltetett módon daraoltunk fel. (c+)/2 (c )/2 a a D A 1 1 M C B
3 Ezek l a daraokól rakjuk ki a második ára téglalapját. Könnyen leolvasható, hogy AB = 1 egység és BC = egység. Tehát úgy t nik, hogy az els ára négyzetlapját átdaraoltuk a második ára téglalapjáa. Vajon tényleg igaz? Nézzünk csak utána! (Lásd még a MatLap 2/2012-es számának 64. oldalán az F. 17. feladványt). A négyzet területe: T 1 : 64, míg a téglalap területe: T 2 : 1 6. Honnan származik a 6 64 = 1 négyzetegységnyi eltérés? Ha esetleg milliméteres papíron, pontos mérésekkel rekonstruáljuk az el i átdaraolást és ha jól figyelünk, akkor észrevehet, hogy a BD átló mentén az alakzatok nem illeszkednek tökéletesen, pontosaan egy kis rés marad. Számolásokkal megmutatjuk, hogy az a kis rés éppen 1 négyzetegység (és mivel elég kicsi, szaad szemmel nehezen érzékelhet ). Tehát valójáan a második ára téglalapja nem illeszthet össze hézagmentesen a. ára négyzetlapjának darajaiól. Az ilyen, hiás átdaraolások során nem csak úgymond hiány állhat el, hanem éppen fedés is. Például, ha az els árán lev,, mér számok helyett rendre az,, 1 mér számokat vesszük, akkor a négyzet területe T 1 : , míg a téglalap területe T2 : (1 ) 16 lesz, vagyis az átrendezés után nem hézag marad, hanem a daraok fedni fogják egymást. Ennek izonyítása az el iek mintájára is történhet, és az érdekl Olvasóra ízzuk. Ezek után természetesen felmerül a kérdés, hogy mi az átdaraolhatóság helyességének a feltétele? A következ tétel értelméen a Pitagorasz-tétel izonyítására használt átdaraolhatóság lehet sége iztosítva van, de a tétel az átdaraolhatóság hogyanjára nem ad választ. Nyilvánvaló, hogy az átdaraolt alakzatok területei egyenl k. Vajon igaz-e ennek a fordítottja is? Erre a választ (szinte egy id en) Bolyai Farkas (12) és Gerwin (1) adták meg, de egyes források szerint a tétel els felfedez je Wallace, angol matematikus volt, aki már 107-en közölte a következ eredményt: Tétel. Az egyenl terület sokszöglapok átdaraolhatók egymása. A tétel kijelenti tehát, hogy ha két sokszöglap egyenl egyenl, akkor egymása átdaraolható. Így igaz a tétel ellentettje is miszerint, ha két sokszöglap területe nem egyenl, akkor a két sokszöglap nem daraolható át egymása. Ezért tehát az el példáan a négyzetlap nem daraolható át téglalappá, mert a két alakzat területe nem egyenl. Ellenen a Pitagorasz tétel izonyításának a helyessége nem kérd jelezhet meg, hiszen az épen az átdaraolt alakzatok területének az egyenl ségén alapszik. Néhány évvel Perigal halála után megfigyelték, hogy a Pitagorasz tételének a Perigal-féle izonyítása képezi az alapját a kés i úgynevezett Pitagorasz-féle parkettázásnak (csempézésnek). A matematikai tárgyalás egyszer sítése céljáól parkettázáson (vagy csempézésen) a síknak síkidomokkal való egyrét és hézagtalan (vagyis hézagmentes) lefedését fogjuk érteni. Egyrét nek nevezzük a lefedést, ha a sík minden pontját legfelje egy lefed idom els pontja fedi le. (Egy pontot tö fed idom határpontja is fedhet.) Hézagtalan a lefedés, ha a sík minden pontját lefedi legalá egy fed idom els - vagy határpontja. Parkettázásnál a teljes sík lefedésére gondolunk. A parkettázás története szinte egyid s az építkezések történetével. Az épületek padozatát régen k daraokkal rakták ki, ez eleinte találomra egymás mellé rakott laposa daraokól állott, kés már faragtak ezeken a köveken, hogy az összeillesztésnél a padozat minél nagyo része legyen fedett és minél kevese legyen a hézag. A fejl dés továi folyamán a hézagokat is igyekeztek kiküszöölni a padozatól a felhasznált daraok faragásával. Gyakorlati tapasztalatok alapján rájöttek arra, hogy egyszer a padozat eorítása, ha egyforma, azonos alakú és nagyságú fed köveket használnak, különösen akkor, ha ezeket pl. agyagól égetik. Néhány ilyen parkettázást mutatnak az ókori lakóépületek l a következ árák:
4 Már e l az öt, évezredekkel ezel tt ismert parkettázási módól is a fellép formák nagy gazdagságára következtethetünk. Máris felmerül a kérdés: milyen egyevágó idomokól készíthet k parketták? Kézenfekv nek látszik tehát az a gondolat, hogy minden parkettázást sokszögekkel való parkettázásra vezessünk vissza. De persze messzir l sem ilyen egyszer téma a parkettázás. (B veen lásd pl az []-en) Azt a parkettát (nevezzük még csempét vagy mozaikot) aminek a végtelen ismétlésével el állítjuk a parkettát, motívumnak nevezzük. Az el i els ára motívuma egy téglalap, a másodiké egy négyzet, a harmadiké egy szaályos hatszög, st. A Pitagorasz parkettázás vagy a két négyzet parkettázása az alái aloldali árán látható: A jooldali árán a parkettán a motívum is meg van jelölve (kett is, az egyik éppen a Perigal négyzete), ez természetesen töféle is lehet, de minden eseten, a motívumok egymás mellé illesztésével meg kell kapjuk a aloldali ára parkettázását. Befejezésül, térjünk vissza ismét a kezdeten emutatott Perigal négyzetére. Vegyük ennek a négy kongruens alakzatját és próáljuk úgy összerakni, hogy ne négyzetet, hanem egy általános téglalapot zárjon közre. Némi próálkozás után hamar rájövünk, hogy sehogyan sem sikerül a téglalapot ezárni, vagyis csak nyitott téglalap keletkezik. Vajon elvágható-e úgy a négyzet, hogy töféle téglalap is kialakítható legyen a elsejéen? A válasz igenl, de nem egyszer megtalálni a megoldást. Javaslom a matematika iránt érdekl knek, hogy próálkozzanak ilyen elrendezést találni. Néhány példa a következ árákon látható: Egy másik ötlet az lehet, hogy a Perigal négyzete helyett megpróálunk egy Perigal téglalapot összeállítani. Hogyan? Pontosan azonos módszerrel, ahogyan Perigal négyzetet szerkesztettünk. Ennek az elvégzését az érdekl Olvasóra ízzuk. Érdekes játékvariációt kapunk, ha nem négyzet l, hanem téglalapól indulunk ki, és készítünk egy Perigal téglalapot.
5 Een az eseten is ügyelni kell a két vágás mer legességére. Ez is olyan elrendezés, ahol téglalap alakú lyuk lehet a nagy téglalap elsejéen. El is készítettük az egyik kis téglalapot, így ez a játék is alkalmas egy "paradoxon-szer ség" emutatására. Ehhez csak egy dooza kellett helyezni az elemeket. Egyszer elefért a kis téglalap, egyszer pedig nem. Vajon mi az oka? Gondoljunk csak az el ieken emutatott hamis átdaraolásra! Továi érdekes információkat olvashatunk a ween, ha a Google keres e eírjuk a Perigal szót, és láthatóvá tesszük képek közötti találatokat is. Szakirodalom és Forrásanyag: [1] Tuzson Zoltán: Algerai azonosságok szemléltetése, ML6/1994, 210. old. [2] Tuzson Zoltán: Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? Harmadik, vített kiadás, Áel Kiadó, Kolozsvár, 2011 [] [4] [] [6] [7] []
A figurális számokról (I.)
A figurális számokról (I.) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A figurális számok felfedezését a pitagoreusoknak tulajdonítják, mert k a számokat kavicsokkal, magokkal szemléltették. Sok esetben így jelképezték
RészletesebbenLehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád
Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.
RészletesebbenTangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Tangramcsodák Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely A tangramok si kirakójátékok. A játék célja az, hogy a tangramkövek maradéktalan felhasználásával kirakjunk különböz alakzatokat, illetve megfejteni, hogy
RészletesebbenMATEMATIKA. 5 8. évfolyam
MATEMATIKA 5 8. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozni
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenHELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam
HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola 9-12. évfolyam Készült az EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet alapján. Érvényesség kezdete: 2013.09.01. Utoljára indítható:.. Dunaújváros,
RészletesebbenBevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai
Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
Részletesebbenhogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
RészletesebbenMatematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára
Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára Ez a tanmenet az OM által jóváhagyott tanterv alapján készült. A tanterv az Országos Közoktatási
RészletesebbenALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK
A ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tová nem ontható anyag atomokól épül fel. Az atom atommagól és az atommagot körülvevő elektronhéjakól áll. Az atommagot
Részletesebben7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6
7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket
RészletesebbenAz indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!
Az indukció A logikában indukciónak nevezzük azt a következtetési módot, amelyek segítségével valamely osztályon belül az egyes esetekb l az általánosra következtetünk. Például: 0,, 804, 76, 48 mind oszthatóak
RészletesebbenSzeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a
DEKORÁCIÓS ÖTLETTÁR Szeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a véletlenre otthonának végleges megjelenését.
RészletesebbenMérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció
AJÁNLATTÉTELI DOKUMENTÁCIÓ Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások TÁRGYÁBAN INDÍTOTT KÖZBESZERZÉSI ELJÁRÁSHOZ NYILVÁNTARTÁSI
RészletesebbenTARTALOM. Ismétlő tesztek...248 ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255
TARTALOM. SZÁMHALMAZOK...5.. Természetes kitevőjű hatványok...5.. Negatív egész kitevőjű hatványok...6.. Racionális kitevőjű hatványok...7.4. Irracionális kitevőjű hatványok...0.5. Négyzetgyök és köbgyök...
RészletesebbenKártyajátékok és bűvésztrükkök
Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem
RészletesebbenMATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK
MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.
RészletesebbenMatematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva
Matematika A 1. évfolyam páros, páratlan 22. modul Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 22. modul Páros, páratlan modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenKombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged
Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy
RészletesebbenAz analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása
Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása Szakdolgozat Írta: Simon Anita Matematika Bsc szak Matematikai elemző szakirány Témavezető: Sikolya Eszter, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenTopográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor
Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Topográfia 7. : Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor Lektor : Alabér, László Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenMATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok
MATEMATIKA TANTERV Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve
RészletesebbenTIMSS 2011. Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke
Azonosító címke TIMSS 2011 Tanári kérdőív Matematika online 8. évfolyam Oktatási Hivatal Közoktatási Mérési és Értékelési Osztály 1054 Budapest, Báthory u. 10. IEA, 2011 Tanári kérdőív Az Önök iskolája
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika
Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés
RészletesebbenBESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL
INTERJÚK, BESZÉLGETÉSEK BESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL Mellár Tamás 48 éves, a Központi Statisztikai Hivatal elnöke. Egyetemi tanulmányait az akkori Janus Pannonius, ma Pécsi Tudományegyetem közgazdasági
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenGondolatok a Blokus játékról
Gondolatok a Blokus játékról Bagota Mónika Eötvös Loránd Tudományegyetem TÓK Matematika Tanszék, Budapest bagota.monika@tok.elte.hu A Blokus játék tartalma: 1db 400 mezős játéktábla; 84 db alakzat 4 színben.
RészletesebbenP (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )
6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével
RészletesebbenTelepülési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel.
Kiadás kelte MAGYAR SZABVÁNY MSZ 21976-1 Települési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel. Investigation of municipal wastes, Sampling Hivatkozási szám: MSZ 21976-1:2005 MAGYAR SZABVÁNYÜGYI TESTÜLET
RészletesebbenAlapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1 4. évfolyam
3. melléklet a /2014. ( ) EMMI rendelethez 1. A kerettantervi rendelet 1. melléklet Kerettanterv az általános iskola 1-4. évfolyamára cím Alapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1-4. évfolyam
RészletesebbenForgásfelületek származtatása és ábrázolása
Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,
RészletesebbenTankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? 2000. 05... nap... óra...
iskola sorszáma Ki válaszol a kérdőívre? 1 igazgató, aki nem tankönyvfelelős 2 igazgató, aki tankönyvfelelős is 3 tankönyvfelelős, aki pedagógus 4 tankönyvfelelős, aki nem pedagógus Tankönyv-választás
RészletesebbenHáromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag
Síkbeli és térbeli alakzatok 1.5 Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 11 14 elnevezések a háromszögekben háromszögek belső szögösszege háromszögek
RészletesebbenMATEMATIKA A és B variáció
MATEMATIKA A és B variáció A Híd 2. programban olyan fiatalok vesznek részt, akik legalább elégséges érdemjegyet kaptak matematikából a hatodik évfolyam végén. Ezzel együtt az adatok azt mutatják, hogy
RészletesebbenDr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás.
JELLEGZETES ÜZEMFENNTARTÁS-TECHNOLÓGIAI ELJÁRÁSOK 4.06 Javításhelyes szerelés 1 Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás. A mai termékek
RészletesebbenA pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag
A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 18 év pentominók adott tulajdonságú alakzatok építése szimmetrikus alakzatok egybevágó alakzatok
RészletesebbenMATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
RészletesebbenA 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
RészletesebbenMatematika. 5-8. évfolyam
Matematika 5-8. évfolyam Matematika 5-8. évfolyam 1. Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata: megismertetni a tanulókat az őket körülvevő konkrét környezet mennyiségi és
RészletesebbenEgy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger
Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger. feladat Állítsunk merőlegeseket egy húrnégyszög csúcsaiból a csúcsokon át nem menő átlókra. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjai
RészletesebbenAZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA. Brüsszel, 2010. december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD)
AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA Brüsszel, 2010. december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD) DENLEG 139 AGRI 485 CODEC 1306 FELJEGYZÉS Küldi: az Állandó Képviselők Bizottsága
RészletesebbenHODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete
HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 10 / 2016. (IV.28.) önkormányzati rendelete az önkormányzati címer, zászló és a településnév használatának rendjéről Hodász Nagyközségi Önkormányzat
RészletesebbenTej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret!
Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret! M E G N E V E Z É S Ű N Y E R E M É N Y J Á T É K R É S Z V É T E L I -, É S J Á T É K S Z A B Á L Y Z A T A 1. A JÁTÉK SZERVEZŐJE
Részletesebben0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN
06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott
RészletesebbenA Megbízó a szakértői vizsgálat lefolytatásához az alábbi iratokat, illetve termékmintát bocsátotta rendelkezésre:
ISZT-6/2014/2. I. A tényállás 1) A Megbízó szakértői vélemény készítésével bízta meg a Szellemi Tulajdon Nemzeti Hivatala mellett működő Iparjogvédelmi Szakértői Testületet (a továbbiakban: Szakértői Testület)
RészletesebbenÁtrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.
Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud
Részletesebben2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés
2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés - figyelemmel az államháztartás feladatainak ellátásához szükséges állandó, nem konjunktúraérzékeny és értékálló bevétel biztosítására,
RészletesebbenA rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.
A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;
RészletesebbenMagnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim!
Magnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim! Régi idők tanújaként beszélni egy nagy múltú intézmény ünnepére összegyűlt vendégek előtt, közöttük
RészletesebbenD Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz
D Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz GB TUV Rheinland Product Safety 1 Melegház típusterv 2-mezős 3-mezős Felépítés Hátsó fal Tető Ablak 2-részes ajtó előszerelve Oldalfal Első fal Profilok
RészletesebbenNYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.
NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM aipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I Sopron 9 javított kiadás TARTALOMJEGYZÉK I Bevezetés a mőszaki mechanika
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET.
Dr. Takáts Ágoston ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET. A TUDOMÁNYOS GONDOLKODÁSRÓL ÉS A MEGISMERÉS HÁRMAS ABSZTRAKCIÓS SZINTJÉRŐL 2007. Tartalom 1. AZ ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZER
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási
RészletesebbenMATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A
MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő
Részletesebben3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben
3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben 1. 1. Alapfogalmak 2. Nevezetes sík- és térbeli alakzatok, definícióik 3. Thalész-tétel 4. Gyakorlati alkalmazás Pont: alapfogalom, nem definiáljuk Egyenes:
Részletesebbenoda egy nagy adatbázisba: az eszközök nincsenek egy koncentrált helyre begyűjtve, azaz minden egyes eszközt külön-külön kell megszerezni egy
Elektronikus hitelesség e-társadalomban mit, miért és hogyan? Erdősi Péter Máté, CISA http://www.erdosipetermate.hu Magyar Elektronikus Aláírás Szövetség, MELASZ elnokseg@melasz.hu Az elektronikus társadalomban
RészletesebbenVáltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés
1 Váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés A találmány tárgya váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés, különösen lakásszellőzés
RészletesebbenAZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN
PÁZMÁNY PÉTER KATOLIKUS EGYETEM KÁNONJOGI POSZTGRADUÁLIS INTÉZET VALLÁSTUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA KÁNONJOGI PROGRAM AZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN PhD tézisek Készítette: Fügedy Antal Levente Témavezető:
RészletesebbenAUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER
Pocket-GATE AUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER KEZELŐI KÉZIKÖNYV Saturnus Informatika TARTALOMJEGYZÉK 1. TUDNIVALÓK A PROGRAM HASZNÁLATÁHOZ... 3 2. A PROGRAM INDÍTÁSA, KILÉPÉS... 3 2.1. A PROGRAM
Részletesebben2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról
1 / 130 2016.04.20. 11:59 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról 2016.01.01 2016.04.30 44 2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról Az Országgyűlés figyelemmel az államháztartás
RészletesebbenTeodolit. Alapismeretek - leolvasások
Teodolit Alapismeretek - leolvasások A teodolit elve Szögmérő műszer, amellyel egy adott pontból tetszőleges más pontok felé menő irányok egymással bezárt szögét tudjuk megmérni, ill. egy alapiránytól
RészletesebbenOrszágos Logikai Rejtvénybajnokság 2008. szeptember 14. Instrukciós füzet
1. feladatsor: 100 perc, 1000 pont Instrukciós füzet Kertek (15+30) Az ábrában kertek oldallal szomszédos négyzetekből álló fehér területek rejtőznek, amelyeket egy összefüggő érintkező oldalak mentén
RészletesebbenTABLETTÁK. Compressi
Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.8.0-1 01/2014:0478 TABLETTÁK Compressi E cikkely követelményeit a nem bevételre szánt tablettákra nem kell feltétlenül alkalmazni. Ezekre a készítményekre esetenként más általános cikkelyek,
Részletesebben1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép:
1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép: [Nemkívánatos anyagok, vegyületek termékek 1. Arzén (*), (**) a) Takarmány-alapanyagok,
RészletesebbenAZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA
Kocsis László AZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA Doktori értekezés Pécsi Tudományegyetem Filozófia Doktori Iskola Programvezető: Dr. Boros János (PTE Filozófia Doktori Iskola) Témavezetők: Kondor Zsuzsanna
Részletesebben5.10. Exponenciális egyenletek... 155 5.11. A logaritmus függvény... 161 5.12. Logaritmusos egyenletek... 165 5.13. A szinusz függvény... 178 5.14.
Tartalomjegyzék 1 A matematikai logika elemei 1 11 Az ítéletkalkulus elemei 1 12 A predikátum-kalkulus elemei 7 13 Halmazok 10 14 A matematikai indukció elve 14 2 Valós számok 19 21 Valós számhalmazok
Részletesebben8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai
1. 10 db-os nagy ORFF ritmuskészlet Fejlesztés: Generatív, kreatív zenei képességek, tevékenységek, ritmuskészség e Rövid leírás: ritmushangszerek természetes anyagokból 2. 8 db-os ORFF ritmuskészlet Fejlesztés:
Részletesebben6. évfolyam MATEMATIKA
28 6. évfolyam MATEMATIKA Országos kompetenciamérés 28 Feladatok és jellemzőik matematika 6. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 29 6. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 28 májusában immár hatodik alkalommal
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
Részletesebbenmini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak)
VONALKÁZÓS mini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak) Végy elő gyufaszálakat és pl.: bab-, kukorica-, kávé- szemeket, (vagy rakd tele a táblát valami apró csokival ) Az előbbiekkel
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebben206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet
206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet a kutatási és fejlesztési megállapodások egyes csoportjainak a versenykorlátozás tilalma alóli mentesítésérıl A Kormány a tisztességtelen piaci magatartás és a versenykorlátozás
RészletesebbenA controlling integrálódása az oktatási szférában
Dr. Tóth Antal - Dr. Zéman Zoltán A controlling integrálódása az oktatási szférában 1. CONTROLLING ALKALMAZÁSA A FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNYEKNÉL A controlling hasznossága mindaddig nem fog érvényre jutni
RészletesebbenProtimeter. Grainmaster i. Használati útmutató
Protimeter Grainmaster i Használati útmutató GE Protimeter plc, Meterhouse, Fieldhouse Lane, Marlow, Bucks SL7 1LW, Uk Magyarországi forgalmazó: Spitzer Bt. Budapest 1203 Közm helytelep u. 5. Tel: 06-20-342-70-03
RészletesebbenMatematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek
Matematikai logika A logika tudománnyá válása az ókori Görögországban kezd dött. Maga a logika szó is görög eredet, a logosz szó jelentése: szó, fogalom, ész, szabály. Kialakulása ahhoz köthet, hogy már
RészletesebbenValószínűségszámítás feladatgyűjtemény
Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................
RészletesebbenMesterséges intelligencia feladatsor
Mesterséges intelligencia feladatsor kétszemélyes játékokhoz Jeszenszky Péter 2008. április 7. 1. Nem választható játékok 1.1. Feladat Nim. Beilleszteni a játék pontos leírását. 1.2. Feladat Tic-tac-toe.
RészletesebbenEgy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében
6 Dr. Fá z si Lá sz l ó PhD * Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében 1. Miről van szó A 2012. évi C. törvénnyel elfogadott új Büntető Törvénykönyv [Btk.] Különös Részének
RészletesebbenFELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához
FELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához - 1 - www.dimenzio-kft.hu Tartalomjegyzék A. BEVEZETÉS... 4 I. BEÁLLÍTÁSOK, PARAMÉTEREK, NAPLÓFORMÁTUMOK... 4
Részletesebbenlakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján Adóazonosító jele: Adóazonosító jele:
P Á L Y Á Z A T I K É R E L E M lakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján 1. A kérelmező(k) személyi adatai: A kérelmező neve, állampolgársága:
RészletesebbenELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés 2008. június 26-ai ülésére
1 KOMÁROM-ESZTERGOM MEGYEI KÖZGYŐLÉS ELNÖKE ELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés 2008. június 26-ai ülésére Tárgy: A Komárom-Esztergom Megyei Önkormányzat fenntartásában mőködı oktatásinevelési
RészletesebbenL. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog
Közös terek média mindenkinek Egyenlő Bánásmód Hatóság 4. workshop L. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog 1.) A kezdetekről: Eszembe sem jutott volna blogot írni. Rendszeresen publikáltam különféle oktatási
RészletesebbenIngatlanvagyon értékelés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Ingatlanfejlesztı 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakirányú Továbbképzési Szak Ingatlanvagyon értékelés 2. Számviteli alapok Szerzı: Harnos László
RészletesebbenMatematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
RészletesebbenVetülettani és térképészeti alapismeretek
Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke
RészletesebbenFOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás. www.baranyi.hu 2010. szeptember 19.
FOLYTONOS TESTEK Folyadékok sztatikája Térfogati erők, nyomás A deformáció szempontjából a testre ható erőket két csoportba soroljuk. A térfogati erők a test minden részére, a belső részekre és a felületi
RészletesebbenA word első megnyitása
A word első megnyitása A Word megnyitásakor az oldalon két fő területet láthat: A menüszalag a dokumentum fölött látható. Gombokat és parancsokat tartalmaz, melyekkel különböző műveleteket (mint például
Részletesebbenélőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm)
0-.foruló I. GÓI. Harry Potter étezik harrypotter nevű állomány (típusa megfelelő), lapméret a margók jók mindenhol a. oldaltól (f:,6 al:,9 bel:, kül:, tükör) sorköz a szövegtörzsben,-szeres (ahol nem
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenEgészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása
MUNKAVÉDELEM 1.1 2.6 Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása Tárgyszavak: munkavédelem; kárelhárítás; veszélyes anyag; szivárgás; tervezés; oktatás. Bármikor megtörténhet Hétfő reggel
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK
Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné
RészletesebbenAdy Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.
Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT Készítette: Szigeti Zsolt Felkészítő tanár: Báthori Éva 2010 október Dolgozatom témája a különböző függvények, illetve mértani
RészletesebbenGráfokkal megoldható hétköznapi problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenEMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem)
EMLÉKEZTETŐ Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember 11. 14:00, SZMM, Tükörterem) Napirend előtt Fazekas Károly helyett Kertesi Gábor vezeti a kerekasztal ülését. Köszönti a kerekasztal tagjait
Részletesebben2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA
2.9.18. Inhalációs készítmények vizsgálata. Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.5.2-1 2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA 04/2005:20918 javított A vizsgálatot inhalációs
RészletesebbenA TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE
A TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE Budapest, 2016. április 15. Készítette: Magyary Jenő Témaválasztásom fő oka, hogy egyfelől a munkám miatt fontosnak tartom azt, hogy hogyan lehet
RészletesebbenMAGYAR törzsfájl. g60 TEN, TEL K085109A
HU MAGYAR törzsfájl g60 TEN, TEL K085109A 0814 Ezennel kijelentjük, hogy az alább megnevezett termék klalakitésa és épitési módja alapján, valamint az általunk forgalmezott kivitelben megfelel az idevágó,
RészletesebbenRövid útmutató. Joker 6 / 8 HD. Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Kiadás: 07/2013
Rövid útmutató Joker 6 / 8 HD Art.: 80740404 hu Kiadás: 07/2013 Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Rövid leírás Joker 6 / 8 HD Első üzembe helyezés Tömlő felfüggesztés illesztése Az első üzembe
Részletesebben