Országos kompetenciamérés 2012 Feladatok és jellemzőik. matematika 8. évfolyam

2012

Országos kompetenciamérés 2012 Feladatok és jellemzőik matematika 8. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 2013

8. ÉVFOLYAM A kompetenciamérésekről 2012 májusában immár kilencedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre, amelyen minden 6., 8. és 10. évfolyamos tanuló részt vett, és amelynek célja a diákok szövegértési képességeinek és matematikai eszköztudásának a feltérképezése. A kompetenciamérés eredményeiről minden telephely, iskola és fenntartó jelentést kap, amelynek segítségével elhelyezheti magát az országos képességskálán, és összehasonlíthatja eredményeit a hozzá hasonló telephelyeken, iskolákban és fenntartónál tanuló diákok eredményeivel. Emellett az iskolák egyéni elemzéseket is készíthetnek, ennek segítségével kérdésenként is elemezhetik az eredményeket. Az Országos kompetenciamérés 2012 Feladatok és jellemzőik kötetek célja Az a szándékunk, hogy az iskola eredményeit bemutató grafikonok mellett a lehető legteljesebb mértékben megismertessük a tanárokat, intézményvezetőket és oktatáspolitikusokat a mérésben rejlő lehetőségekkel, és az eredmények helyes interpretálásához minél alaposabb segítséget biztosítsunk. E célt szolgálja a kompetenciamérés 2007 elején megjelent Tartalmi kerete, 1 valamint az Országos kompetenciamérés 2012 fenntartói, iskolai és telephelyi jelentései, amelyek megtekinthetők a http://www.oktatas.hu/, illetve a http://www. kir.hu/okmfit/ honlapon. A feladatokat bemutató kötetek célja az, hogy megismertessék a tanárokat az egyes feladatok mérési céljaival és statisztikai paramétereivel. A diákok feladatonkénti eredményeit elemezve a tanárok képet kaphatnak arról, hogy diákjaik milyen problémákkal, hiányosságokkal küzdenek, melyek azok a területek, amelyekre nagyobb figyelmet kell fordítaniuk a jövőben, és milyen fejlesztési feladatokkal kell megbirkózniuk. A feladatokat tartalmazó kötetek az országos eredmények bemutatásával mindehhez keretet és viszonyítási pontokat nyújtanak. A kötetből kiderül, hogy mely feladatok okozták a legtöbb gondot a diákoknak, melyek esetében választottak sokan valamilyen tipikusan rossz választ, és melyek nem okoztak problémát a diákok többségének. A kötet felépítése Ez a kötet a 2012. évi Országos kompetenciamérés 8. évfolyamos tesztfüzetének matematikafeladatait (itemeit) tartalmazza. Az itemek olyan sorrendben találhatók a kötetben, ahogyan az A) tesztfüzetben szerepeltek. A kötet végén található mellékletben táblázatos formában is feltüntettük az itemek jellemzőit. A kötetben minden egyes itemről a következő információk szerepelnek: A kérdés (item), ahogyan a tesztfüzetben szerepelt. Az item javítókulcsa. A mérési cél: az item besorolása a Tartalmi keretben rögzített csoportosítási szempontok alapján; rövid leírás arról, hogy pontosan milyen műveleteket kell a diáknak elvégeznie az item helyes megválaszolásához. 1 Balázsi Ildikó Felvégi Emese Rábainé Szabó Annamária Szepesi Ildikó: OKM 2006 Tartalmi keret. sulinova Kht., Budapest, 2006. 3

MATEMATIKA Az item statisztikai jellemzői: 2 az item tesztelméleti paraméterei (a kérdés nehézsége és meredeksége, valamint kétpontos item esetén a lépésnehézségek); feleletválasztásos feladatok tippelési paramétere; az item nehézségi szintje; a lehetséges kódok és az egyes kódokra adott pontszámok; az egyes kódok előfordulási aránya; az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja; az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken. képességszintek a 8. évfolyamos matematikateszt esetében Az adatok elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott képességszintek. Ezek segítségével a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva képet tudunk adni arról, hogy milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességszintek kialakításának statisztikai hátterét az 1. melléklet mutatja be. képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei 7. 1984 újszerű és/vagy többszörösen összetett szituációban megjelenő, önálló megoldási stratégiát igénylő, gyakran többlépéses feladatok megoldása összetett problémák vizsgálatából és modellezéséből nyert információk értelmezése, általánosítása és alkalmazása különböző információforrások és reprezentációk összekapcsolása és egymásnak való megfeleltetése fejlett matematikai gondolkodás és érvelés a szimbolikus és formális matematikai műveletek és kapcsolatok magas színvonalú alkalmazásával újszerű problémaszituációk megoldása új megoldási módok és stratégiák megalkotása műveleti lépések, az eredmények és azok értelmezésével kapcsolatos gondolatok pontos megfogalmazása az eredményeknek az eredeti probléma szempontjából való vizsgálata, értelmezése 6. 1848 újszerű, komolyabb értelmezést igénylő szövegkörnyezetben megjelenő, önálló stratégiával megoldható többlépéses feladatok megoldása modellalkotás összetett problémaszituációra, a modell alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása, majd annak helyes alkalmazása modellekhez kapcsolódó összetett problémák lehetséges megoldási módjainak kiválasztása, összehasonlítása és értékelése a kiválasztott megoldási stratégia és matematikai módszer értékelése, az elvégzett lépések végrehajtása széles körű és jó színvonalú gondolkodási és érvelési képességek, készségek különböző adatmegjelenítések, szimbolikus és formális leírások és problémamegjelenítések nagy biztonsággal való értelmezése és kezelése 2 A statisztikai jellemzők képzési szabályait az 1. melléklet ismerteti. 4

8. ÉVFOLYAM képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei 5. 1712 újszerű szituációban megjelenő többlépéses, önálló stratégia kidolgozását igénylő, különböző módon megjelenített összefüggéseket tartalmazó feladatok megoldása problémákhoz egyszerű modell önálló megalkotása, majd annak helyes alkalmazása rugalmas érvelés és reflektálás az elvégzett lépésekre értelmezés és gondolatmenet megalkotása és megfogalmazása 4. 1576 összetettebb vagy kevésbé ismerős, újszerű szituációjú, több lépéses feladatok megoldása konkrét problémaszituációkat egyértelműen leíró modellek hatékony alkalmazása, a modellek alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása. különböző, akár szimbolikus adatmegjelenítések kiválasztása és egyesítése, azok közvetlen összekapcsolása a valóságos szituációk különböző aspektusaival értelmezés és gondolatmenet röviden leírása 3. 1440 ismerős kontextusban megjelenő egy két lépéses problémák megoldása egyértelműen leírt matematikai eljárások elvégzése, amelyek szekvenciális döntési pontokat is magukban foglalhatnak egyszerű problémamegoldási stratégiák kiválasztása és alkalmazása különböző információforrásokon alapuló adatmegjelenítések értelmezése és alkalmazása, majd ezek alapján érvek megalkotása 2. 1304 a legalapvetőbb, közismert matematikai fogalmak és eljárások ismerete a kontextus alapján közvetlenül megérthető problémaszituációk értelmezése egyetlen információforrásból a szükséges információk megszerzése egyszerű vagy szimplán matematikai kontextusban megjelenő, jól körülírt, egylépéses problémák megoldása egyszerű, jól begyakorolt algoritmusok, képletek, eljárások és megoldási technikák alkalmazása egyszerűen érvelés és az eredmények szó szerint értelmezése 1. 1168 ismerős, főként matematikai szituációban, gyakran kontextus nélküli helyzetben feltett matematikai kérdések megválaszolása egyértelmű, jól körülírt és minden szükséges információt tartalmazó feladatok megoldása közvetlen utasításokat követve rutinszerű eljárások végrehajtása a feladat kontextusából nyilvánvalóan következő lépések végrehajtása 5

MATEMATIKA A 8. évfolyamos matematikateszt általános jellemzése A teszt általános jellemzői A felmérés tesztfüzeteit a Tartalmi keretben megfogalmazott szempontok szerint állítottuk össze. A felmérést minden 6., 8. és 10. évfolyamos diák megírta, majd 8. évfolyamon a központi elemzés elkészítéséhez minden intézmény minden tanulójától összegyűjtöttük a kitöltött tesztfüzeteket. Az 1. táblázat azt ismerteti, hogy a tesztfüzetben milyen arányban szerepelnek a tartalmi keretben definiált gondolkodási műveletekhez és tartalmi területekhez tartozó feladatok. A 2. táblázat a teszt értékelése során kapott néhány alapvető jellemzőjét mutatja be (a 2. táblázatban az értékelés során törölt feladatok nem jelennek meg). Gondolkodási műveletek Tartalmi területek Mennyiségek és műveletek Hozzárendelések és összefüggések Alakzatok síkban és térben Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Tényismeret és műveletek Modellalkotás, integráció Komplex megoldások és kommunikáció Tartalmi terület összesen 7 10 5 22 5 7 4 16 3 6 2 11 2 4 2 8 Műveletcsoport összesen 17 27 13 57 1. táblázat: A feladatok megoszlása a gondolkodási műveletek és tartalmi területek szerint a 8. évfolyamos matematikatesztben Az értékelésbe vont itemek száma 54 A központi elemzésbe bevont kitöltött tesztfüzettel rendelkező 82024 tanulók száma Cronbach alfa 0,912 Országos átlag (standard hiba) 1611,779 (0,461) Országos szórás (standard hiba) 201,228 (0,442) 2. táblázat: A 8. évfolyamos matematikateszt néhány jellemzője 6

A feladatok megoszlása a képességskálán 8. ÉVFOLYAM Az 1. ábra az itemek és a diákok megoszlását mutatja a képességskálán. Az ábrán a feladatok nehézségi szintjeit és a diákok képességszintjeit is feltüntettük. Láthatjuk, hogy a mérésben könnyű és nehéz feladatok egyaránt találhatók, az itemekkel igyekeztünk minél szélesebb tartományban lefedni a képességskálát. Ily módon a kiemelkedően tehetséges és a gyenge diákokat is megbízhatóbban tudjuk elhelyezni a képességskálán. Standardizált képességpont 2200 2100 MI19001 MI10601 MI23502 MI28501 MI99901 MI10702 MI26202 MI29401 MI28201 MI10603 MI31901 MI03703 MI26501 MI15802 MI05701 MI27502 MI02901 MI34001 MI32001 MI24901 MI07901 MI32101 MI21201 MI10204 MI23501 MI30801 MI00701 MI12401 MI29001 MI27302 MI33201 MI99502 MI35501 2000 1900 1800 1700 MI03901 MI35801 MI06202 MI26201 MI13602 1600 1500 MI20701 MI19701 MI04601 MI23001 1400 MI00602 MI15801 MI27501 MI18301 MI24501 MI17801 MI99501 MI27301 MI27602 MI06201 MI26901 1300 1200 1100 MI27601 1000 900 800 Adott nehézségű feladatok 0 2000 4000 6000 8000 10 000 Adott képességpontot elért diákok száma 1. ábra: Az itemek és diákok megoszlása a képességskálán, 8. évfolyam, matematika 7

MATEMATIKA 8

8. ÉVFOLYAM A feladatok ismertetése 9

MATEMATIKA 64/92. FELADAT: építőkocka MI26901 Peti 7 építőkockából álló alakzatokat épít. Az alábbi alakzatok közül melyik az, amelyiket BIZTOSAN NEM tud megépíteni (a kockákat nem ragaszthatja össze)? Satírozd be az ábra betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 10

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek Test ábrázolása, nézet A FELADAT LEÍráSA: A feladatban axonometrikus módon ábrázolt alakzatok közül kell kiválasztani azt, amelyikből nem képezhető test az adott módon. A megoldás során figyelembe kell venni a látható és nem látható alkotóelemeket is. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0022 0,00008 Standard nehézség 1153 14,7 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 0 1 0 0-100 80 60 40 20 0 5 3 7 84 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,12-0,17-0,16 0,29-0,04-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 83,8 0,12 1. szint alatt 31,7 1,18 Főváros 86,0 0,28 1. szint 57,2 0,75 Megyeszékhely 85,3 0,26 2. szint 72,4 0,40 Város 83,7 0,22 3. szint 82,7 0,29 Község 81,8 0,21 4. szint 88,2 0,21 5. szint 91,9 0,20 6. szint 93,9 0,29 7. szint 97,1 0,35 11

MATEMATIKA 65/93. FELADAT: tévéadás MI29001 Egy televízió információs oldala a filmek kezdési és befejezési időpontja mellett azt is mutatja, hogy az éppen futó film hányad részénél tart. A KÉK BOLYGÓ 14.50 16.10 Ha a fenti képet látjuk az információs oldalon, hány perc van még hátra a filmből? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 20 perc 32 perc 55 perc 60 perc JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 12

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Konkrét számok aránya, számolás idővel, időintervallumokkal A FELADAT LEÍráSA: Egy adott időintervallum hosszának arányos részét kell meghatározni az ábráról leolvasható konkrét arány ismeretében. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0042 0,00022 Standard nehézség 1670 10,5 Tippelési paraméter 0,31 0,02 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 19 62 10 7 0 2 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29 0,38-0,08-0,16-0,02-0,03 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 62,4 0,15 1. szint alatt 34,9 1,22 Főváros 68,0 0,39 1. szint 33,9 0,66 Megyeszékhely 66,6 0,37 2. szint 38,2 0,45 Város 61,1 0,22 3. szint 49,8 0,33 Község 58,5 0,31 4. szint 65,4 0,31 5. szint 80,4 0,27 6. szint 90,5 0,32 7. szint 96,4 0,36 13

MATEMATIKA 66/94. FELADAT: tornasor MI19701 A következő diagram egy tornasorban álló öt fiú magasságát ábrázolja. Magasság (cm) 184 182 180 178 176 174 172 170 168 166 164 Kálmán Lajos Máté Norbi Ottó Az osztályba új tanuló érkezett Angliából. John 5 láb és 10 hüvelyk magas. (1 láb = 30,48 cm, 1 hüvelyk = 2,54 cm) Melyik két tanuló közé álljon John a tornasorban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Norbi és Ottó közé Máté és Norbi közé Lajos és Máté közé Kálmán és Lajos közé JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 14

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Arányszámítás 1-hez viszonyítva, adatgyűjtés diagramról, adatösszehasonlítás A FELADAT LEÍráSA: Megadott váltószámmal történő mértékegység-átváltás és egy oszlopdiagram adatainak értelmezése jelenik meg a feleletválasztós feladatban. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0026 0,00009 Standard nehézség 1385 8,2 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 4 5 72 18 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,26 0,38-0,18-0,03-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 72,1 0,15 1. szint alatt 20,2 1,00 Főváros 77,3 0,34 1. szint 33,9 0,68 Megyeszékhely 75,6 0,33 2. szint 48,9 0,48 Város 71,6 0,24 3. szint 66,1 0,31 Község 67,5 0,29 4. szint 79,0 0,30 5. szint 87,2 0,26 6. szint 91,1 0,31 7. szint 95,5 0,43 15

MATEMATIKA 67/95. FELADAT: póló MI23001 Csilláék kézilabdacsapata egyforma pólót szeretne rendelni. A következő diagram a lányok testmagasság-eloszlását mutatja. 5 4 3 Fő 2 1 0 157 159 160 162 163 165 166 168 169 171 172 174 175 177 178 180 181 183 184 186 Testmagasság (cm) A következő táblázat a pólóméreteket mutatja a testmagasság függvényében. Testmagasság Pólóméret 157 162 cm XS 163 168 cm S 169 174 cm M 175 180 cm L 181 186 cm XL A diagram és a táblázat adatai alapján melyik alábbi táblázat tartalmazza helyesen a csapat számára megrendelendő pólók darabszámát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Pólóméret Darab Pólóméret Darab Pólóméret Darab Pólóméret Darab XS 3 XS 3 XS 1 XS 3 S 7 S 3 S 4 S 7 M 4 M 10 M 10 M 6 L 2 L 4 L 5 L 3 XL 4 XL 0 XL 0 XL 1 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 16

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció Statisztikai adatgyűjtés táblázatból/diagramról, adatértelmezés, összetett, összefüggések értelmezése A FELADAT LEÍráSA: Egy oszlopdiagram adatait és egy táblázat adatait kell összekapcsolni, és ennek alapján kiválasztani a helyeset a megadott összesítésekből. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00009 Standard nehézség 1397 4,9 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 0 1 0 0-100 0,6 0,49 80 60 40 20 0 4 7 9 78 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,18-0,30-0,26-0,03-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 77,8 0,12 1. szint alatt 8,4 0,77 Főváros 84,5 0,29 1. szint 23,2 0,61 Megyeszékhely 82,7 0,28 2. szint 49,1 0,51 Város 77,2 0,21 3. szint 75,8 0,30 Község 71,6 0,25 4. szint 88,1 0,22 5. szint 93,9 0,18 6. szint 97,0 0,19 7. szint 98,7 0,23 17

MATEMATIKA 68/96. FELADAT: újság MI26501 Egy 72 oldalas újság minden oldalán van oldalszám. Az újság lapjai nincsenek összetűzve, csak egymásra helyezve és félbehajtva. Ha elveszítjük a 4. oldalt tartalmazó lapot, mely oldalak fognak még hiányozni? JAVÍTÓKULCS 2-es kód: A tanuló mind a három oldalt felsorolta és csak ezeket adta meg: 3, 70, 69. Az oldalak sorrendjének megadása tetszőleges. Tanulói példaválasz(ok): A 3, 4, 69, 70 oldal nem lesz meg. [A 4. oldal megadása természetesen nem számít hibának.] 1-es kód: A tanuló a 69-es oldalszámot helyesen adta meg, a másik két oldalszámból (3, 70) legfeljebb az egyik szerepel és rossz oldalszám nincs megadva. Tanulói példaválasz(ok): 69. és 70. 3, 69 69 4,69 [A 4. oldal megadása természetesen nem számít hibának.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3-4-5-6-1 3, 70 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 1 pontot ér, az 1-es kód 0 pontot ér. 18

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Geometriai tulajdonságok ismerete A FELADAT LEÍráSA: A megadott rajz (újság) és információk alapján értelmezni kell az alakzatra jellemző szabályosságot (oldalak és elhelyezkedés összefüggése), és azt alkalmazni kell a kérdéses értékek megválaszolásához. Csak azokat a válaszokat tekintettük jó megoldásnak, amelyekben a tanuló az összes értéket megadta. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00010 Standard nehézség 1894 6,4 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 0 1 0-100 80 60 40 20 0 52 4 22 21 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,09 0,06 0,42-0,34 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 22,0 0,11 1. szint alatt 0,4 0,17 Főváros 29,8 0,33 1. szint 1,8 0,21 Megyeszékhely 25,6 0,32 2. szint 3,4 0,16 Város 19,9 0,18 3. szint 8,9 0,20 Község 18,1 0,21 4. szint 19,9 0,26 5. szint 36,0 0,36 6. szint 54,4 0,51 7. szint 76,8 0,90 19

MATEMATIKA 69/97. FELADAT: MAtekverSeny MI27501 Egy iskola házi versenyt hirdetett matematikából. A feladatlap 10 kérdést tartalmazott. A pontozást az alábbi táblázat mutatja. Helyes válasz Nincs válasz Hibás válasz 2 pont 0 pont 1 pont Dalma 8 jó választ adott, 1 kérdést elhibázott, 1-re nem válaszolt. Hány pontot szerzett Dalma? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 5 B 6 C 14 D 15 E 16 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 20

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Behelyettesítés átrendezés nélkül, műveletsor eredményének kiszámítása A FELADAT LEÍráSA: Egy egyszerű, alapműveletekből álló műveletsor eredményét kell meghatározni; a megoldás során kell felismerni, hogy egy szorzatösszeget kell kiszámítani. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0049 0,00012 Standard nehézség 1330 4,8 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 0 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 1 7 4 85 3 0 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,12-0,35-0,20 0,48-0,18-0,04-0,06 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 84,8 0,12 1. szint alatt 7,6 0,69 Főváros 91,2 0,22 1. szint 28,2 0,69 Megyeszékhely 89,3 0,24 2. szint 64,4 0,48 Város 84,7 0,19 3. szint 86,4 0,27 Község 78,3 0,25 4. szint 94,5 0,14 5. szint 97,0 0,13 6. szint 98,8 0,12 7. szint 99,2 0,20 21

MATEMATIKA 70/98. FELADAT: MAtekverSeny MI27502 Kristóf az első fordulóban úgy szerzett összesen 8 pontot, hogy minden feladathoz írt választ. Hány HELYES választ adott Kristóf? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 4 B 6 C 7 D 8 E 9 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 22

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Formulákkal, képletekkel végzett műveletek, átrendezés, behelyettesítés, egyenlet A FELADAT LEÍráSA: A szöveges információk alapján egy egyenletet kell felírni és megoldani. A feladat a megadott válaszlehetőségekkel végzett műveletsor eredményének a meghatározásával is megoldható. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0056 0,00023 Standard nehézség 1829 4,9 Tippelési paraméter 0,11 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 45 34 3 13 2 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,15 0,44-0,10-0,32-0,05 0,00-0,03 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 34,4 0,13 1. szint alatt 11,8 0,85 Főváros 42,6 0,40 1. szint 10,8 0,43 Megyeszékhely 38,2 0,31 2. szint 12,4 0,31 Város 32,8 0,25 3. szint 17,6 0,28 Község 29,5 0,25 4. szint 30,5 0,29 5. szint 53,0 0,36 6. szint 76,1 0,44 7. szint 93,4 0,52 23

MATEMATIKA 71/99. FELADAT: SzeMétégető MI28201 Az A falut és B falut összekötő út mellé szemétégetőt szeretnének telepíteni. A szemétégető felépítéséhez azonban a két falu lakóinak beleegyezésére van szükség, ezért szavazást írtak ki. Akkor építik meg a szemétégetőt, ha azt a két falu szavazóinak együttesen több mint 50%-a támogatja. A következő diagramok mutatják a szavazás végeredményét. A falu 1250 szavazó B falu 2800 szavazó 24% 12% 64% Támogatja Nem támogatja Mindegy neki 55% 5% 40% Támogatja Nem támogatja Mindegy neki Döntsd el a rendelkezésedre álló adatok alapján, hogy megépülhet-e a szemétégető vagy sem! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat matematikai érvekkel támaszd alá! I N Igen, megépülhet a szemétégető. Nem, nem épülhet meg a szemétégető. Indoklás: 24

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 25

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 6-os kód: A tanuló a Nem, nem épülhet meg a szemétégető válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában (1) az igennel szavazók száma (1920) mellett az összes szavazó száma (4050) vagy az összes helyesen kiszámított érték látszódik, VAGY (2) az igen szavazatok százalékos arányára (47,4%) hivatkozik. A válasz elfogadásához a tanuló gondolatmenetének helyesnek kell lennie és döntését a számolásai alapján kell meghoznia. Indoklás: (1250 0,64 + 2800 0,40) : (1250 + 2800) = (800 + 1120) : 4050 = 1920 : 4050 = 0,474 47,4% < 50% Tanulói példaválasz(ok): Nem, mert a lakosoknak csak 47,4%-a szavazott a megépítés mellett. Nem, mert 47,4 < 50. Nem, mert az ott lakók 52,6%-a a szemétégető ellen szavazott. 1250 0,64 = 800 2800 0,4 = 1120 800 + 1120 = 1920 1250 + 2800 = 4050 4050 0,5 = 2025 1920 < 2025 Nem Nem, mert (800 + 1120) : 4050 Nem, mert több mint 105 igen kellett volna még. Nem, mert 1920 < 290 + 1840 = 2130 [A Mindegy neki szavazókat is a nem támogatókkal együtt számolta.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az Igen, megépülhet a szemétégető válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában a százaléklábak összegét vagy átlagát hasonlította össze, és nem vette figyelembe, hogy a százalékalapok különbözőek. Tanulói példaválasz(ok): Igen, mert (64 + 40) : 2 = 52%-a a lakosságnak a szemétégető mellett szavazott. Igen, 52% Igen, mert 200% > 104% Igen, mert 104 > 96 0-s kód: Más rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a Nem, nem épülhet meg a szemétégető választ jelölte meg, de indoklása nem megfelelő vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): Nem épülhet meg, mert a szavazás eredményei nem azt mutatták. Nem, mert 50%-nál kevesebb az igen. Igen, mert 104% [Nem látszódik, milyen adattal hasonlította össze.] Igen, mert 1920 támogatja és 1840 nem támogatja. [A Mindegy neki szavazókat egyáltalán nem nézte.] Igen, mert 1920 + 290 = 2210 > 1840 nem támogatja [A Mindegy neki szavazókat nem ellenzőnek veszi.] Igen, mert 1920 < 4050 [A tanuló döntése rossz.] Lásd még: X és 9-es kód. 26

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Komplex megoldások és kommunikáció Százalékszámítás, statisztikai adatgyűjtés diagramról, adatösszehasonlítás A FELADAT LEÍráSA: A feladat megoldásához kördiagramokon kell megtalálni és azokról leolvasni azokat az adatokat, amelyekből százalékszámítással kapott eredmények alapján lehet megválaszolni a kérdést és megfelelő indoklást adni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0051 0,00015 Standard nehézség 1851 4,7 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 6 9 x pontozás 0 1 0 0-100 0,6 0,47 80 60 40 20 0 68 18 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 9 5 0,3 0,0-0,3-0,6-0,43 0,16-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 17,6 0,12 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 25,7 0,33 1. szint 0,2 0,07 Megyeszékhely 22,6 0,31 2. szint 0,7 0,09 Város 16,1 0,18 3. szint 3,0 0,11 Község 12,0 0,19 4. szint 12,5 0,22 5. szint 31,9 0,35 6. szint 55,7 0,62 7. szint 77,2 0,84 27

MATEMATIKA 72/100. FELADAT: AngoL Autó MI10702 Gábor angol autót szeretne vásárolni. Egy angol autókkal kereskedő cég honlapján a meghirdetett autók néhány fontos adata angol mértékegységben van megadva. A Gábor által kiválasztott autó átlagfogyasztása 41,3 mérföld/gallon, vagyis 1 gallon üzemanyaggal 41,3 mérföldet tud megtenni. Váltsd át ezt az értéket a Magyarországon használatos mértékegységre (liter/100 km)! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 1 gallon megközelítőleg 4,55 liternek, 1 mérföld körülbelül 1,6 km-nek felel meg. Az autó átlagfogyasztása:... liter/100 km 28

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 29

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: 6,89 liter/100 km. A kerekítésekből adódó pontatlanságok miatt elfogadhatók a 6,8 és 6,9 közötti értékek is. A 7 helyes gondolatmenettel, illetve látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 1 gallon üzemanyaggal 41,3 mérföldet tesz meg az autó. 1 4,55 liter üzemanyaggal 1,6 41,3 = 66,08 km-t tesz meg. 4,55 liter 66,08 km x liter 100 km 100 66,08 = x 4,55 Tanulói példaválasz(ok):, amiből 455 = 66,08 x x = 6,89 lite r 1 gallon = 4,55 liter. 41,3 mérföld = 41,3 1,6 = 66,08 km. 455 = 66,08x x = 6,885 liter 455 : 66,08 1,6 41,3 = 66,08 66 km 100 : 66 = x : 4,55 1,5 = x : 4,55 x = 6,825 4,55 100 : 66,08 100 66,08 = x 4,55 A tanuló láthatóan helyes aránypárt írt fel, de annak rendezése rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): 4,55 liter 66,08 km x liter 100 km 100 : x = 66,08 : 4,55 [A helyes aránypár látható, a további számítások hiányoznak.] 100 : 66,08 = x : 4,5 66,08 : 100 = 4,5 : x 4,5 : 66,08 = x : 100 66,08 : 4,5 = 100 : x 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 100 km 160 mf 1 liter 4,55 100 km-en 41,3 mf 66,08 km 4,55 liter 41,3 1,6 = 66,08 km x liter 100 km. [A tanuló csak a mértékátváltásokat végezte el.] 41,3 1,6 = 66,08 km 66,08 : 4,55 = 14,5 liter 41,3 gallon/mérföld 41,3 4,55 liter/mérföld 41,3 4,55 = 117,4 1,6 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 1 pontot ér, az 1-es kód 0 pontot ér. 30

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció Konkrét számok aránya, mértékegység-átváltás A FELADAT LEÍráSA: A két, különböző egységre vonatkoztatott mértékegység átváltását igénylő feladatban arányossági ismereteket is kell alkalmazni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0046 0,00014 Standard nehézség 1910 6,0 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 0 1 0-100 80 60 40 20 0 46 0 16 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 38 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,04 0,01 0,44-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 15,5 0,10 1. szint alatt 0,5 0,20 Főváros 21,1 0,30 1. szint 0,8 0,11 Megyeszékhely 18,9 0,28 2. szint 1,5 0,09 Város 14,5 0,17 3. szint 3,1 0,12 Község 11,6 0,18 4. szint 9,2 0,16 5. szint 26,1 0,29 6. szint 53,3 0,56 7. szint 77,9 0,86 31

MATEMATIKA 73/101. FELADAT: valutaárfolyam MI27601 Az alábbi grafikon azt mutatja, hogy egy külföldi valutát hány forintért lehetett megvásárolni az ábrázolt időszakban. 216 215 214 213 212 211 210 209 208 207 Forint 2011. 01. 17. 2011. 01. 18. 2011. 01. 19. 2011. 01. 20. 2011. 01. 21. 2011. 01. 22. Dátum Melyik napon volt a legdrágább ez a valuta az ábrázolt időszakban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! 2011. 01. 23. 2011. 01. 24. 2011. 01. 25. 2011. 01. 26. 2011. 01. 27. 2011. 01. 28. A B C D 2011. 01. 17-én 2011. 01. 20-án 2011. 01. 25-én 2011. 01. 28-án JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 32

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Adatgyűjtés diagramról, adatleolvasás A FELADAT LEÍráSA: Vonaldiagramon ábrázolt adatok közül ki kell választani azt az adatot, amelyhez a legmagasabb érték tartozik. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00014 Standard nehézség 1018 20,8 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 1 0 0 0 0 0-100 93 0,6 80 60 40 20 0 2 4 1 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,28-0,19-0,15-0,11-0,03-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 93,1 0,10 1. szint alatt 43,2 1,21 Főváros 94,5 0,20 1. szint 71,7 0,71 Megyeszékhely 94,9 0,17 2. szint 88,4 0,28 Város 93,2 0,16 3. szint 94,1 0,18 Község 90,9 0,19 4. szint 96,4 0,13 5. szint 97,5 0,12 6. szint 98,3 0,14 7. szint 99,3 0,18 33

MATEMATIKA 74/102. FELADAT: valutaárfolyam MI27602 Hány napon lehetett 212 Ft-nál kevesebbet fizetni ezért a valutáért az ábrázolt időszakban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 5 B 6 C 8 D 9 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 34

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Adatgyűjtés diagramról, adatleolvasás A FELADAT LEÍráSA: Vonaldiagramon ábrázolt adatok alapján azoknak az adatoknak a számát kell meghatározni, amelyekhez egy adott értéknél kisebb értékek tartoznak. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0030 0,00011 Standard nehézség 1231 10,7 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 80 60 40 20 9 84 4 2 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,23 0,35-0,19-0,13-0,03-0,08 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 84,1 0,12 1. szint alatt 23,7 1,06 Főváros 88,3 0,28 1. szint 46,1 0,68 Megyeszékhely 87,1 0,26 2. szint 70,5 0,38 Város 84,1 0,21 3. szint 83,6 0,31 Község 79,6 0,26 4. szint 90,1 0,19 5. szint 93,7 0,17 6. szint 95,4 0,23 7. szint 97,8 0,28 35

MATEMATIKA 75/103. FELADAT: iskolarádió MI12401 Egy iskolarádió riporterei 4,5 órás riportanyagot készítettek olyan híres emberekkel, akik korábban az iskola tanulói voltak. Minden héten egy 10 perces anyagot szerettek volna lejátszani 15 egymást követő héten. Hány percnyi anyagot kellett kihagyni ehhez a riportanyagból? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 7-es kód: 6-os kód: 120 percnyit. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Az órában megadott válaszok csak akkor fogadhatók el, ha a tanuló a mértékegységet is megadta, vagy számításaiból egyértelműen kiderül. Az óraperc átváltásnál rossz érték csak akkor fogadható el, ha látszik a helyes műveletsor és a hiba csak számítási, nem átváltási eredetű. Számítás: 4,5 60 15 10 = 270 150 = 120 Tanulói példaválasz(ok): 4,5 2,5 = 2 [A tanuló órában adta meg a választ.] 4,5 óra = 270 perc 15 10 = 250 270 250 = 20 percet kell kivágni. [Számolási hiba] 10 15 = 150 4,5 60 = 270 270 150 = 120 percet kell kivágni. A tanuló válaszából kiderül, hogy jó gondolatmenet alapján számolt, de az eredményt nem percben, hanem más egységben (pl. adás, hét) adta meg. Tanulói példaválasz(ok): 4,5 óra = 270 perc 27 adás, 27 15 = 12 adásnyi anyagot kell kihagyni. 4,5 óra anyag 270 : 10 = 27 hétig lenne elegendő, de csak 15 hétre kell, ezért 12 heti anyagot kell kihagyni. 270 : 10 = 27 27 15 = 12 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a lejátszásra kerülő anyag hosszát határozta meg, ezért válasza 150 perc vagy 2,5 óra. Tanulói példaválasz(ok): 2,5 óra 2,5 4,5 órás riport 10 perces 10 15 = 150 150 15 10 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 2 4,5 100 15 10 = 300 [Az óra-perc átváltásnál 100-as váltószámmal számolt.] 12 [Nem derül ki a válaszból, hogy ezt nem percben kell érteni.] 12 perc Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 36

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor, mértékegység átváltás A FELADAT LEÍráSA: Szöveges információk alapján kell a megfelelő, egyszerű számításokat elvégezni. A számolás során mértékegység-átváltást (óra-perc) is végre kell hajtani. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0052 0,00014 Standard nehézség 1663 3,8 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 6 7 9 x pontozás 0 1 0 1 0-100 0,6 0,60 80 60 40 20 0 18 44 2 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 36 0,3 0,0-0,3-0,6-0,16-0,04 0,01-0,49 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 44,0 0,14 1. szint alatt 0,1 0,10 Főváros 56,9 0,47 1. szint 1,4 0,18 Megyeszékhely 51,8 0,33 2. szint 5,3 0,22 Város 42,7 0,26 3. szint 20,2 0,29 Község 33,3 0,29 4. szint 48,1 0,31 5. szint 75,5 0,32 6. szint 91,3 0,32 7. szint 97,6 0,27 37

MATEMATIKA 76/104. FELADAT: papírméretek ii. MI03703 A papírlapok méreteit szabvány rögzíti. Az A szabványban a legnagyobb lap az A0-s, amely 2 darab A1-es lapnak felel meg. Az A1-es lap két darab A2-es lapnagyságnak felel meg, és így tovább. A szabvány legkisebb lapja az A10-es. A rajzon a szabványhoz tartozó lapok láthatók. A2 A1 A4 A6 A5 A6 A3 Az A6-os méretű lap területe hányszorosa az A10-es lap területének? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D négyszerese nyolcszorosa tizenhatszorosa harminckétszerese JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 38

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Síkidomok területe, paraméteres, mértani sorozat A FELADAT LEÍráSA: A feladatban szereplő, geometriai alakzatokat (téglalapok) mutató ábra alapján fel kell ismerni, hogy két egymást követő elem esetén a terület feleződik (valójában az elemek egy mértani sorozat egymást követő elemei). A feladat az, hogy két nem szomszédos elem esetében a terület változásának nagyságát kell megadni (mértani sorozat két adott, nem szomszédos elemének hányadosát kell meghatározni.) A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0048 0,00051 Standard nehézség 1894 12,6 Tippelési paraméter 0,24 0,02 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 24 22 39 12 0 2 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,10 0,30-0,04-0,02-0,08 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 38,8 0,15 1. szint alatt 23,7 1,17 Főváros 44,3 0,40 1. szint 23,5 0,52 Megyeszékhely 40,9 0,32 2. szint 24,3 0,39 Város 37,7 0,23 3. szint 26,7 0,30 Község 35,7 0,29 4. szint 35,2 0,31 5. szint 50,3 0,40 6. szint 70,2 0,51 7. szint 87,9 0,66 39

MATEMATIKA 77/105. FELADAT: verseny MI34001 Egy kétfordulós verseny első hat helyezettjének eredményeit mutatja a következő diagram. Második forduló 6 5 4 3 2 1 Pali Nóri Móni Laci Ottó Klári 1 2 3 4 5 6 Első forduló A versenyt az nyeri, akinek a helyezései összege a két forduló után a legkisebb. Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Igaz Nem volt olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el. I Mindkét fordulót ugyanaz a versenyző nyerte. I Az összesítésben volt holtverseny. I Hárman is rosszabb helyezést értek el a második fordulóban, mint az elsőben. I Hamis H H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, IGAZ, IGAZ ebben a sorrendben. 40

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció Statisztikai adatgyűjtés diagramról, többszörösen összetett diagram értelmezése A FELADAT LEÍráSA: A megoldás során egy összetett pontdiagramot kell értelmezni. A diagram tulajdonképpen két diagram egyesítésével állt elő (név adott fordulón elért eredmény), éppen ez teszi szokatlanná az adatleolvasást és -értelmezést. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0026 0,00008 Standard nehézség 1839 7,2 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 80 60 40 20 0 68 31 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 1 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,37 0,38-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,2 0,16 1. szint alatt 2,9 0,43 Főváros 38,9 0,40 1. szint 5,0 0,30 Megyeszékhely 35,3 0,39 2. szint 9,6 0,27 Város 30,2 0,24 3. szint 19,5 0,30 Község 25,6 0,25 4. szint 32,9 0,32 5. szint 46,1 0,38 6. szint 59,9 0,52 7. szint 76,6 0,89 41

MATEMATIKA 78/106. FELADAT: jótékonyság MI31901 Egy jótékony célú rendezvény bevételét 9 alapítvány között szerették volna egyenlően szétosztani. Később kiderült, hogy véletlenül csak 8 felé osztották az összeget. A hiba kijavítása után 10 000 forinttal kevesebb jutott az alapítványoknak, mint amennyit először számoltak. Mennyi bevételt gyűjtöttek összesen a rendezvényen? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 720 000 Ft. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. x Számítás: 8 10 000 = x x = 720 000 Ft 9 Tanulói példaválasz(ok): 9 8 10 000 9(x 10 000) = 8x x = 90 000 720 000 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló a 10 000 forintot veszi az egy alapítványra jutó összegnek, ezért válasza 80 000 vagy 90 000 Ft. Tanulói példaválasz(ok): x : 9 = 10 000 x = 90 000 8 10 000 = 80 000 80 000 90 000 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 10 000 9 = 90 000 90 000 : 8 = 11 250 90 000 9 = 810 000 Ft - ez az egész összeg 10 000 : 8 = 1250 Ft jutott 8 alapítványnak 10 000 : 9 = 1111 Lásd még: X és 9-es kód. 42

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Egyenlet A FELADAT LEÍráSA: A feladat értelmezése és az összefüggések megállapítása után egy elsőfokú egyenlet megalkotásával és megoldásával lehet válaszolni a kérdésre. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0047 0,00020 Standard nehézség 1875 8,4 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 6 9 x pontozás 0 1 0 0-100 0,6 0,47 80 60 40 20 0 16 19 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 6 59 0,3 0,0-0,3-0,6 0,00-0,01-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 18,9 0,12 1. szint alatt 1,0 0,23 Főváros 27,9 0,33 1. szint 1,3 0,18 Megyeszékhely 23,1 0,30 2. szint 2,0 0,15 Város 17,5 0,20 3. szint 4,5 0,14 Község 13,0 0,22 4. szint 13,0 0,22 5. szint 32,4 0,35 6. szint 58,8 0,57 7. szint 85,4 0,68 43

Kártyavár MATEMATIKA Valér kártyavárat épít. Vízszintesen letesz egy kártyát az asztalra, majd erre állít fel két lapot. A két lap alsó szélének átlagos távolsága 6 cm. A kártyavár építését a következő ábra szerint Valér folytatja. kártyavárat épít. Vízszintesen letesz egy kártyát az asztalra, majd erre állít fel két lapot. A két lap alsó szélének átlagos távolsága 6 cm. A kártyavár építését a következő ábra szerint folytatja. 79/107. FELADAT: kártyavár MI23501 2 2 10 cm 3 10 cm 1 1 1 3 1 6,3 cm 1 6 cm 1 1 1 6,3 cm mi23501 mi23501 mi23501 mi23502 0 mi23502 1 06 17 mi23502 69 7 9 1-es kód: 44 6 cm Kártyavár Legfeljebb hány szintes kártyavárat tud felépíteni Valér egy 52 lapos kártyacsomagból? Kártyavár Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Legfeljebb hány szintes kártyavárat tud felépíteni Valér egy 52 lapos kártyacsomagból? Satírozd A 2 be a helyes válasz betűjelét! B 3 A 2 Kártyavár C 4 B 3 D 5 C 4 E 6 Legfeljebb D 5 hány szintes kártyavárat tud felépíteni Valér egy 52 lapos kártyacsomagból? Satírozd E be 6a helyes válasz betűjelét! Kártyavár Péter Helyes ugyanilyen válasz: D méretű kártyalapokból hasonló módszerrel felépített egy 6 szintes Kártyavár kártyavárat. Milyen magas a Péter által épített kártyavár? Úgy dolgozz, hogy számításaid Péter nyomon ugyanilyen követhetők méretű legyenek! kártyalapokból hasonló módszerrel felépített egy 6 szintes kártyavárat. Milyen magas a Péter által épített kártyavár? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon Milyen magas követhetők a Péter legyenek! által épített kártyavár? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 57,24 cm vagy ennek kerekítése. Elfogadjuk az 57 és 58 közötti értékeket, beleértve a határokat is. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. A 60 cm csak akkor fogadható el, ha a tanuló láthatóan helyes módszerrel számolt. Számítás: Egy szint magasságára: x 2 + 3 2 = 10 2 x = 9,54 cm A kártyavár magassága: 9,54 6 = 57,24 cm Tanulói példaválasz(ok): 57,24 cm 58 9,5 6 = 57 3 2 + b 2 = 100 b 2 = 81 b = 9 9 6 = 54 cm magas lesz. [Számolási hiba] 10 2 3 2 = 91 6 91 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló láthatóan a kártyalap magasságát

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Sorozat elemeinek összege A FELADAT LEÍráSA: Meg kell határozni, hogy egy sorozat hány elemét kell összegezni ahhoz, hogy az ne haladjon meg egy adott értéket. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00019 Standard nehézség 1798 13,2 Tippelési paraméter 0,18 0,02 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 0 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 5 10 16 47 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 17 0 4 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,09-0,20-0,12 0,33-0,09-0,03-0,01 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 46,7 0,13 1. szint alatt 14,2 0,83 Főváros 53,1 0,40 1. szint 20,5 0,58 Megyeszékhely 50,3 0,36 2. szint 28,3 0,37 Város 45,7 0,25 3. szint 36,9 0,30 Község 42,2 0,26 4. szint 47,3 0,35 5. szint 60,2 0,37 6. szint 74,4 0,45 7. szint 87,5 0,61 45

MATEMATIKA 80/108. FELADAT: kártyavár MI23502 Péter ugyanilyen méretű kártyalapokból hasonló módszerrel felépített egy 6 szintes kártyavárat. Milyen magas a Péter által épített kártyavár? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 57,24 cm vagy ennek kerekítése. Elfogadjuk az 57 és 58 közötti értékeket, beleértve a határokat is. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. A 60 cm csak akkor fogadható el, ha a tanuló láthatóan helyes módszerrel számolt. Számítás: Egy szint magasságára: x 2 + 3 2 = 10 2 x = 9,54 cm A kártyavár magassága: 9,54 6 = 57,24 cm Tanulói példaválasz(ok): 57,24 cm 58 9,5 6 = 57 3 2 + b 2 = 100 b 2 = 81 b = 9 9 6 = 54 cm magas lesz. [Számolási hiba] 10 2 3 2 = 91 6 91 6-os kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló láthatóan a kártyalap magasságát szorozta meg a kártyavár szintjeinek számával, ezért válasza 60. Tanulói példaválasz(ok): 6 10 = 60 2 30 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): m 2 + 6 2 = 10 2 m 2 + 36 = 100 m 2 = 64 m = 8 6 8 = 48 cm magas. 60 [Számolás nem látható.] Lásd még: X és 9-es kód. 46

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Komplex megoldások és kommunikáció Pitagorasz-tétel, geometriai tulajdonságok ismerete A FELADAT LEÍráSA: Egy egyenlő szárú háromszög magasságát kell meghatározni a megadott adatok segítségével. A megfelelő adatok leolvasását egy ábra is segíti, amelynek értelmezése után a feladat a Pitagorasz-tétel segítségével megoldható. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0057 0,00021 Standard nehézség 2024 7,7 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok 0 1 6 9 x pontozás 0 1 0 0-100 80 60 40 20 0 21 6 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 19 55 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,08 0,34 0,10-0,31 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 5,9 0,07 1. szint alatt 0,1 0,09 Főváros 10,6 0,23 1. szint 0,2 0,06 Megyeszékhely 7,5 0,21 2. szint 0,2 0,05 Város 5,1 0,11 3. szint 0,6 0,06 Község 3,3 0,11 4. szint 1,9 0,09 5. szint 7,6 0,20 6. szint 23,8 0,45 7. szint 58,2 0,94 47

MATEMATIKA 81/109. FELADAT: ivóvízfogyasztás MI00602 A következő diagram egy város ivóvízfogyasztását mutatja két egymást követő évben. 30 000 25 000 2008 2009 Ivóvízfogyasztás (m 3 ) 20 000 15 000 10 000 5 000 0 Január Február Március Április Május Június Hónap Július Augusztus Szeptember Október November December A diagram adatai alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Igaz A vizsgált évek során a legkevesebb ivóvizet 2009 októberében fogyasztotta a város. I 2008-ban az évi összfogyasztás több volt, mint 2009-ben. I 2008-ban minden hónapban több volt az ivóvízfogyasztás, mint 2009 azonos időszakában. I Hamis H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: IGAZ, IGAZ, HAMIS ebben a sorrendben. 48

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció Statisztikai adatgyűjtés diagramról, adatleolvasás, adatösszehasonlítás A FELADAT LEÍráSA: A feladatban egy oszlopdiagramot kell értelmezni, az ábrázolt két adatsor alapján kell értékeket összehasonlítani, illetve értékeket összegezni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség 1317 7,8 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 80 60 40 20 0 21 78 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 2 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,37 0,39-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 77,8 0,12 1. szint alatt 14,4 0,93 Főváros 82,7 0,34 1. szint 35,0 0,71 Megyeszékhely 82,5 0,26 2. szint 59,0 0,50 Város 78,1 0,19 3. szint 75,6 0,28 Község 71,2 0,25 4. szint 84,7 0,22 5. szint 90,1 0,20 6. szint 93,9 0,30 7. szint 97,1 0,37 49

MATEMATIKA 82/110. FELADAT: Aktív Szén MI05701 Egy üzemcsarnokban naponta 150 kg tömegű ártalmas gáz termelődik. Ennek kiszűréséhez aktív szenet használnak, amely saját tömegének 120-szorosát képes megkötni ebből a gázból. Legalább hány kg szenet kell helyezni a levegőszűrőbe, ha azt szeretnék, hogy az üzemcsarnok levegőjébe kerülő összes ártalmas gázt megkösse, és csak 10 naponta kelljen cserélni? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 12,5 vagy 13. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 10 150 = 1500 1500 : 120 = 12,5 Tanulói példaválasz(ok): x 120 = 10 150 x = 1500 120 = 75 kg szén kell 6 10 napra 1500 kg 1500 : 120 = 12,5 gramm [Elírás] 13 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 150 120 : 10 = 1800 150 120 10 = 180 000 125 kg Lásd még: X és 9-es kód. 50

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció Műveletsor A FELADAT LEÍráSA: A feladatban szöveges információk alapján kell kiszámolni egy kérdéses mennyiséget, meghatározni a megoldáshoz szükséges műveletsort, annak eredményét. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0058 0,00023 Standard nehézség 1806 5,9 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 0,54 80 60 40 20 0 18 22 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 60 0,3 0,0-0,3-0,6-0,06-0,41 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 22,3 0,13 1. szint alatt 0,2 0,10 Főváros 30,6 0,38 1. szint 0,7 0,11 Megyeszékhely 28,1 0,34 2. szint 1,5 0,12 Város 20,8 0,22 3. szint 4,2 0,14 Község 15,6 0,22 4. szint 14,4 0,25 5. szint 40,0 0,36 6. szint 74,3 0,43 7. szint 92,7 0,50 51

MATEMATIKA 83/111. FELADAT: Soproni tűztorony MI03901 Dóriék Sopronba mentek osztálykirándulásra, ahol megnézték a híres tűztornyot is. Alex, Botond és Csaba elhatározták, hogy megszámolják, hány lépcsőfok vezet fel a toronyba. Alex hármasával lépkedett felfelé a lépcsőn, Botond kettesével, Csaba pedig egyesével. A toronyba felérve mindegyikük megmondta, hogy hány lépést tett a lépcsősoron. Alex: Botond: Csaba: 66 lépéssel értem fel. 98 lépéssel értem fel. 198 lépéssel értem fel. Dóri a válaszokat meghallgatva azt mondta, hogy a három fiú közül az egyik biztosan elszámolta a lépéseit. Igaza van-e Dórinak? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat gondolatmeneted leírásával indokold! I N Igaza van Dórinak. Nincs igaza Dórinak. Indoklás: JAVÍTÓKULCS 1-es kód: A tanuló az Igaza van Dórinak válaszlehetőséget jelölte meg (vagy válaszából egyértelműen ez derül ki), és indoklása helyes. Az indoklásban arra kell utalnia, hogy Botond rosszul számolt. Indoklás (pl.): Alex: 3 66 = 198 Botond: 2 98 = 196 Csaba: 198 Nem egyezik meg a három Tanulói példaválasz(ok): 198 : 3 = 66. Igaza van, mert Botondnak fele annyit kellene lépnie, mint Csabának. Igaza van, mert Botond 1 lépést nem számolt bele. Igaza van, mert 198-nak nem 98 a fele. Igaza van, mert Botond elszámolta magát. Igaza van. Elosztottam a 198-at 98-cal, így 2,02 jött ki. Majd elosztottam a 198-at 66-tal, és 3 jött ki, így Botond elszámolta magát, mivel 2-nek kellett volna kijönnie. 0-s kód: Rossz válasz. Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az Igaza van Dórinak válaszlehetőséget jelölte meg, de indoklása rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): Igaza van, mert 66-nak a kétszerese nem 98, hanem 132. Igaza van, mert Alex elszámolta magát, mert hármasával lépkedett. Botond is elszámolta magát, mert kettesével. Csaba számolt jól, mert egyesével lépkedett. Nincs igaza. Alex: 66 : 3 = 22 Botond: 98 : 2 = 49 Csaba: 198 : 1 = 198 52 Lásd még: X és 9-es kód.

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Mennyiségek összehasonlítása, oszthatóság, alapműveletek A FELADAT LEÍráSA: A megoldás során fel kell ismerni, hogy melyik az a mennyiség, amelyikhez a többi adatot érdemes viszonyítani. A jó válaszhoz elegendő volt annak megnevezése is, hogy melyik adat különbözött a másik két értékkel kapott eredménytől. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00011 Standard nehézség 1604 4,4 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 0,52 80 60 40 20 36 53 11 0,3 0,0-0,3-0,11 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,47 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 52,6 0,16 1. szint alatt 1,0 0,25 Főváros 61,7 0,41 1. szint 4,1 0,29 Megyeszékhely 60,0 0,37 2. szint 16,3 0,34 Város 52,5 0,24 3. szint 38,8 0,31 Község 42,7 0,33 4. szint 60,3 0,31 5. szint 76,3 0,33 6. szint 88,1 0,38 7. szint 95,2 0,46 53

MATEMATIKA 84/112. FELADAT: túraútvonal MI10601 A következő táblázat a Kéktó túraútvonal adatait tartalmazza. Az útvonal 16 szakaszból áll. A táblázatban minden szakasznál szerepel a szakasz hossza, a szakaszon belüli szintnövekedés és szintcsökkenés mértéke, valamint a szakasz megtételéhez szükséges átlagos időtartam. Szakasz sorszáma Szakasz hossza (m) Szintnövekedés (m) Szintcsökkenés (m) Időtartam (perc) 1. 232 1 2 3 2. 7113 76 198 106 3. 1199 0 35 17 4. 370 7 11 5 5. 482 5 0 7 6. 4486 89 90 69 7. 2434 13 30 36 8. 220 0 5 3 9. 468 24 0 8 10. 997 85 0 19 11. 224 1 0 3 12. 148 0 3 2 13. 85 0 1 1 14. 210 6 0 3 15. 388 20 17 6 16. 210 2 1 3 Összesen 19 266 m 337 m 399 m 4 óra 51 perc A táblázat adatai alapján döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Igaz A második szakasz végéig a túrázó megteszi a teljes útvonal több mint harmadrészét. I Az átlagos időtartamot figyelembe véve a túrázó négy órával az indulás után a hetedik szakasznál jár. I A túra végén 736 méterrel lesz alacsonyabban a túrázó, mint induláskor. I A túraútvonal 16 szakasza közül ötnek a végpontja magasabban van, mint a kezdőpontja. I Hamis H H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: IGAZ, IGAZ, HAMIS, IGAZ ebben a sorrendben. Megj.: A negyedik állítás pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a feladat értékelésekor. 54

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Adatgyűjtés táblázatból, adatleolvasás, adatértelmezés, adatösszehasonlítás, összetett A FELADAT LEÍráSA: A feladatban egy viszonylag sok adatot tartalmazó táblázatot kell értelmezni. Meg kell találni, hogy az egyes igaz hamis típusú állításoknál a táblázat mely adatait kell vizsgálni. Az állítások eldöntéséhez a megfelelő adatokat kell összegezni vagy összehasonlítani. A 4. állítás pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a feladat értékelésekor. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00027 Standard nehézség 2016 18,1 Tippelési paraméter 0,12 0,02 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 80 60 40 20 0 67 28 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,22 0,27-0,06 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 27,8 0,15 1. szint alatt 14,4 0,89 Főváros 32,2 0,38 1. szint 14,7 0,58 Megyeszékhely 30,0 0,37 2. szint 14,8 0,30 Város 27,0 0,24 3. szint 18,2 0,26 Község 24,9 0,29 4. szint 26,0 0,30 5. szint 38,1 0,35 6. szint 50,1 0,57 7. szint 66,8 0,87 55

MATEMATIKA 85/113. FELADAT: túraútvonal MI10603 A következő ábrán a Kéktó túraútvonal magassági diagramja látható. A függőleges tengelyen a tengerszint feletti magasság szerepel méterben, a vízszintes tengelyen a megtett út hossza szerepel kilométerben megadva. 380 360 340 Tengerszint feletti magasság (m) 320 300 280 260 240 220 200 180 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Megtett út hossza (km) Túraútvonal A táblázat és a diagram adatai alapján állapítsd meg, hogy az ábrán vastag vonallal kiemelt útszakasz a túra hányadik szakaszát jelöli! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D A 6. szakaszt. A 7. szakaszt. A 10. szakaszt. A 11. szakaszt. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 56

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Statisztikai adatábrázolás, egymásnak megfeleltethető adatábrázolás, táblázat-diagram A FELADAT LEÍráSA: Egy viszonylag sok adatot tartalmazó táblázat adatait és egy grafikon adatait kell megfeleltetni egymásnak. Fel kell ismerni, hogy a táblázatban szereplő adatok közül melyek segítenek a megfeleltetés azonosításában. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0026 0,00009 Standard nehézség 1875 8,8 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 1 0 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 31 23 25 11 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 9 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,38-0,10-0,11-0,22-0,03-0,01 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,2 0,13 1. szint alatt 7,4 0,70 Főváros 38,7 0,40 1. szint 9,1 0,41 Megyeszékhely 35,8 0,37 2. szint 12,4 0,29 Város 29,4 0,24 3. szint 18,6 0,30 Község 26,7 0,28 4. szint 29,1 0,29 5. szint 45,0 0,33 6. szint 65,3 0,52 7. szint 84,8 0,69 57

MATEMATIKA 86/114. FELADAT: teher MI00701 Egy kisteherautó legnagyobb megengedett össztömege 3500 kg. Egy építkezéshez a kivitelező ilyen kisteherautóval szállíttatja a cementes zsákokat. A gépjármű össztömege a következőkből tevődik össze: a gépjármű önsúlya + a járművön utazók tömege + a rakomány tömege. A kisteherautó önsúlya 1756 kg, a benne ülő sofőr 78 kg. Legfeljebb hány darab 50 kg-os cementes zsákot lehet a teherautóra felrakni, hogy az autó ne legyen túlterhelt, azaz a teherautó tömege a rakománnyal együtt se haladja meg a legnagyobb megengedett össztömeget? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: 33 zsák. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 3500 1756 78 = 1666 kg, 1666 : 50 = 33,32 zsák 33 zsák Tanulói példaválasz(ok): 3500 1756 78 50 = 33 A tanuló módszere helyes, de nem kerekítette az eredményt egész számra, ezért válasza 33,32. Tanulói példaválasz(ok): 1666 : 50 3500 1756 78 = 1666 1666 : 50 = 33,3 7-es kód: A tanuló gondolatmenete helyes, de eredményét felfelé kerekítette, ezért válasza 34. Tanulói példaválasz(ok): 1666 : 50 = 33,32 34 zsák 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3500 1756 78 = 1666 1666 : 5 = 332,2 db zsákot lehet szállítani. 3500 1756 + 78 = 1822 1822 : 50 = 36,44 36 32 Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es és 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 58

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor, behelyettesítés, átrendezés A FELADAT LEÍráSA: A szövegesen adott adatokat egy összefüggésbe kell behelyettesíteni, majd átrendezni. Az összefüggésben szereplő ismeretlen értékének meghatározása után egy alapműveletet (osztás) kell elvégezni és a kapott eredményt a szövegnek megfelelő értelmezés alapján kerekíteni. A megoldás során tisztában kell lenni a legfeljebb kifejezés fogalmával is. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00014 Standard nehézség 1731 8,2 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 2 7 9 x pontozás 0 1 1 0 0-100 0,6 0,47 80 60 40 20 0 12 3 33 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 52 0,3 0,0-0,3-0,6-0,14 0,05 0,01-0,36 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 35,8 0,13 1. szint alatt 0,0 0,00 Főváros 42,5 0,36 1. szint 2,2 0,22 Megyeszékhely 42,2 0,37 2. szint 8,4 0,25 Város 34,9 0,24 3. szint 20,6 0,27 Község 29,0 0,29 4. szint 37,8 0,31 5. szint 54,8 0,34 6. szint 73,7 0,48 7. szint 89,9 0,61 59

MATEMATIKA 87/115. FELADAT: HoMokórA MI01901 Egy városban egy homokórát szeretnének építeni, amelyben a teljes homokmennyiség 1 év alatt folyik le, vagyis pontosan 365 nap és 6 óra alatt. Másodpercenként 0,06 gramm homok folyik le egy szűk nyíláson keresztül a felső tartályból az alsóba. Melyik műveletsorral számítható ki, hogy összesen hány gramm homokkal kell feltölteni a homokórát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 0,06 2 + 365 24 60 4 + 6 B 0,06 60 2 24 365 + 0,06 60 2 6 C 0,06 60 + 60 24 365 0,06 6 + 60 + 60 D 0,06 60 4 24 6 365 2 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B Megj.: A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. 60

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor A FELADAT LEÍráSA: Szövegesen megfogalmazott szabályhoz tartozó műveletsort kell kiválasztani. A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség Standard nehézség Nehézségi szint Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 11 39 24 9 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 18 0,3 0,0-0,3-0,6-0,07 0,14-0,07-0,07-0,02 0,01 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 38,7 0,16 1. szint alatt 34,6 1,34 Főváros 40,3 0,40 1. szint 35,1 0,63 Megyeszékhely 39,7 0,34 2. szint 33,0 0,45 Város 37,6 0,27 3. szint 33,6 0,34 Község 38,6 0,29 4. szint 35,5 0,32 5. szint 41,4 0,37 6. szint 53,3 0,57 7. szint 77,9 0,78 61

MATEMATIKA 88/116. FELADAT: HAngverSeny MI28501 Egy művelődési házban hangversenyt szerveznek. A színházteremben 798 ülőhely van. A belépőjegyek ára egységesen 800 Ft. A jegyek legalább hány százalékát kell értékesíteni, hogy a művelődési háznak ne legyen veszteséges a hangverseny, ha a fellépő művészek tiszteletdíja összesen 280 000 Ft, és az egyéb járulékos költségek (fűtés, világítás, rakodó munkások és takarítók stb. díja) 150 000 Ft-ot tesznek ki? Úgy dolgozz, hogy számításaid követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: 67 68% közötti érték. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 280 000 + 150 000 = 430 000 Ft 430 000 : 800 = 537,5 azaz 538 jegy 538 798 Tanulói példaválasz(ok): 798 = 100% (280 000 + 150 000) : 800 = 537,5 összkiadás = 280 000 + 150 000 = 430 000 Ft 430 000 Ft : 800 Ft = 537,5 538 db jegyet kell eladni 538 798 = 0,67 0,67 100 = 67%-át kell értékesíteni 280 000 + 150 000 = 430 000 össz jegy 798 800 = 638 400 638 400 100% 430 000 67% A 67%-ánál többet kell értékesíteni 430 000 : 800 = 537,5 537,5 : 7,98 = 67,4 67% 100 = 67,4 % 100 798 538 = 67,4 % Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak a megtérüléshez szükséges jegyek számát számította ki, ezért válasza 537,5 vagy 537 vagy 538. Tanulói példaválasz(ok): 280 000 + 150 000 = 430 000 Ft 430 000 : 800 = 537,5, azaz 538 jegy 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 150 000 + 180 000 = 430 000 430 000 : 798 = 53,38 70% Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es kód 1 pontot ér. 62

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció Egyenlőtlenség, százalékszámítás A FELADAT LEÍráSA: A feladat szövegének értelmezése után, a megfelelő mennyiségek azonosítását követően néhány alapműveletet és százalékszámítást kell végrehajtani, ennek során a százaléklábat kell meghatározni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00008 Standard nehézség 1965 10,6 1. lépésnehézség -244 16 2. lépésnehézség 244 20 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 1 2 0-100 80 60 40 20 0 20 8 10 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 62 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,01 0,25 0,36-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 13,6 0,11 1. szint alatt 0,1 0,05 Főváros 18,4 0,24 1. szint 0,4 0,08 Megyeszékhely 17,0 0,25 2. szint 0,8 0,08 Város 12,6 0,17 3. szint 2,5 0,10 Község 10,2 0,17 4. szint 8,9 0,18 5. szint 23,4 0,30 6. szint 44,7 0,51 7. szint 68,9 0,72 63

MATEMATIKA 89/117. FELADAT: óvoda MI99901 Az alábbi képen egy óvoda udvarának felülnézeti képe látható, a szürke négyzetek épületeket jelölnek. Amikor a gyerekek az udvaron játszanak, két óvónő, Anna néni és Berta néni felügyeli őket. Anna néni Berta néni Ha Anna néni és Berta néni az X-szel jelölt helyeken állnak, belátják-e az egész udvart? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! I N Igen, belátják az egész udvart. Nem, nem látják be az egész udvart. Válaszodat az ábrán rajzzal indokold! 64

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 65

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: A tanuló a Nem, nem látják be az egész udvart válaszlehetőséget jelölte meg, és helyesen jelölt az ábrán egy vagy több pontot, vagy azt a területet, amelyet nem látnak be az óvónők. Anna néni Berta néni 1-es kód: 7-es kód: A tanuló helyesen jelölte meg annak a területnek a határait, amelyet az óvónők nem látnak, de a területet nem emelte ki egyértelműen. A tanuló az indoklását szövegesen fogalmazta meg (rajz nélkül), amelyből egyértelműen kiderül, hogy a két épület közötti terület nem minden részét látják be az óvónők. 0-s kód: Rossz válasz. Idetartozik az is, ha a tanuló olyan ponto(ka)t is jelölt, amely(ek) jó(k), és oly(noka)t is, amely(ek) nem. Tanulói példaválasz(ok): Nem, a két négyzetet összekötő részt nem látja be. Nem, mert a látóterükben van az épület. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es, 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 66

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Látószög A FELADAT LEÍráSA: Azt kell megvizsgálni, hogy két adott pontból belátható (kitakaró objektumokat tartalmazó) terület uniójának komplementere nem üres halmaz-e, fel kell ismerni, hogy nem üres halmaz, és indoklásképpen legalább egy elemét (pont) helyesen meg kell adni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00008 Standard nehézség 1908 7,9 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 2 7 9 x pontozás 0 1 1 1 0-100 80 60 40 20 0 61 2 24 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 14 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,32 0,07 0,36 0,01-0,02 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 25,5 0,16 1. szint alatt 0,3 0,14 Főváros 33,3 0,43 1. szint 2,4 0,21 Megyeszékhely 29,6 0,32 2. szint 6,6 0,26 Város 24,6 0,22 3. szint 15,2 0,27 Község 19,6 0,27 4. szint 26,2 0,29 5. szint 37,6 0,39 6. szint 52,6 0,62 7. szint 72,6 0,77 67

MATEMATIKA 90/118. FELADAT: pénzbeváltás MI29401 István papírpénzre szeretné váltani összegyűlt pénzérméit. 248 db 5 Ft-os, 152 db 10 Ft-os és 55 db 20 Ft-os érméje van. Maximum hány forintot tud beváltani a postán, ha ott csak 50-es csomagokban veszik át az egyforma pénzérméket? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 3500 Ft-ot 3860 Ft-ot 4110 Ft-ot 4500 Ft-ot JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 68

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Maradékos osztás, műveletsor A FELADAT LEÍráSA: Maradékos osztás elvégzése után az egész részek felhasználásával egy szorzatösszeget kell meghatározni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0034 0,00023 Standard nehézség 1916 10,0 Tippelési paraméter 0,19 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 1 0 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 36 34 10 5 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 15 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,19-0,14-0,10-0,02 0,03 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 36,1 0,16 1. szint alatt 19,5 0,95 Főváros 37,9 0,41 1. szint 19,3 0,61 Megyeszékhely 39,1 0,35 2. szint 20,1 0,37 Város 35,4 0,26 3. szint 24,9 0,31 Község 33,9 0,27 4. szint 35,5 0,31 5. szint 47,1 0,34 6. szint 62,2 0,54 7. szint 82,8 0,74 69

MATEMATIKA 91/119. FELADAT: cooper-teszt MI04601 A szervezet állóképességének és fizikai kondíciójának felmérésére használják az ún. Coopertesztet, amely során 12 perc alatt kell a lehető legnagyobb távolságot futva megtenni. A következő táblázatban megadott értékek azt a legkisebb távolságot jelölik életkoronként, amelynek teljesítése a sor elején feltüntetett kondícióra utal. Lányoknál Kondíció 14 év 15 év 16 év Kiváló 2700 m 2750 m 2800 m Igen jó 2500 m 2550 m 2600 m Jó 2200 m 2250 m 2300 m Kielégítő 1900 m 1950 m 2000 m Gyenge A kielégítő eredménynél gyengébb teljesítmény Annáék tornaórán elvégezték a Cooper-tesztet. Az iskola körül futottak, ahol egy kör 750 méter. A táblázat adatai alapján milyen a 15 éves Anna kondíciója, ha 3 iskolakört és még 300 métert futott? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E kiváló igen jó jó kielégítő gyenge JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 70

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Adatgyűjtés táblázatból, adatleolvasás A FELADAT LEÍráSA: Egy alapművelet elvégzését (szorzás, összeadás) követően kapott értéket kell megkeresni az adott táblázatban. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0013 0,00006 Standard nehézség 1417 12,5 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 4 64 14 3 2 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 14 0,3 0,0-0,3-0,6-0,16 0,25-0,19-0,12-0,10-0,04 0,03 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 63,8 0,15 1. szint alatt 21,4 1,12 Főváros 65,5 0,36 1. szint 34,3 0,71 Megyeszékhely 67,0 0,34 2. szint 49,3 0,54 Város 63,8 0,25 3. szint 61,8 0,34 Község 60,7 0,30 4. szint 68,6 0,31 5. szint 71,5 0,28 6. szint 77,3 0,51 7. szint 85,3 0,77 71

MATEMATIKA 92/120. FELADAT: AutópáLyA i. MI30401 Az autópályákon a személygépkocsik legnagyobb megengedett sebessége 130 km/h. A személygépkocsik sebességét mérési pontokon ellenőrzik. Az egyik mérési pontnál 1 perc alatt 15 személygépkocsi haladt el. Ezek mért sebességét mutatja a következő diagram. 170 160 150 Sebesség (km/h) 140 130 120 110 100 90 80 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. A mérési pontnál elhaladó személygépkocsik Hány autós lépte túl ennél a mérési pontnál a legnagyobb megengedett sebességet a vizsgált időszakban? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D Megj.: A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. 72

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Tényismeret és rutinműveletek Statisztikai adatgyűjtés táblázatból A FELADAT LEÍráSA: Egy oszlopdiagramon kell meghatározni azoknak az oszlopoknak a számát, amelyeknek az értékei egy adott értéket meghaladnak. A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség Standard nehézség Nehézségi szint Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 0 0 0 1 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 2 6 16 58 4 0 14 0,3 0,0-0,3-0,12-0,14-0,10 0,23-0,18-0,02 0,03 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 58,3 0,16 1. szint alatt 18,2 1,03 Főváros 59,4 0,40 1. szint 30,7 0,63 Megyeszékhely 60,3 0,35 2. szint 45,4 0,45 Város 57,9 0,27 3. szint 55,9 0,38 Község 56,7 0,30 4. szint 62,7 0,29 5. szint 65,5 0,31 6. szint 70,5 0,49 7. szint 80,3 0,80 73

MATEMATIKA 93/64. FELADAT: BuSzjegy MI17801 A következő képen egy kilyukasztott vonaljegy hátoldala látható. Érvényes egy utazásra, átszállás és az utazás megszakítása nélkül, autóbuszon, villamoson, trolibuszon, fogaskerekűn a járatok teljes hosszán, HÉV-en a Budapest határán belüli vonalszakaszokon. Az érvényesség időtartama alatt a metróhálózaton belül (ideértve a földalattit is) átszállásra jogosít, de útmegszakításra és visszafelé utazásra nem jogosít. A jegyet a metrón és a földalattin az utazás megkezdése előtt, a többi közlekedési eszközön a felszállás vagy a jármű elindulása után haladéktalanul kell érvényesíteni. Bélyegzős érvényesítés esetén a kezeléstől számított 60 percig, az éjszakai járatokon 110 percig jogosít utazásra. A jegyet ellenőrzéskor fel kell mutatni, és az ellenőrzést végző személy kérésére át kell adni. Melyik ábra mutatja helyesen a vonaljegy elülső oldalát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 VONALJEGY SINGLE TICKET Az ár 20%-os áfát tartalmaz. VONALJEGY SINGLE TICKET Az ár 20%-os áfát tartalmaz. VONALJEGY SINGLE TICKET Az ár 20%-os áfát tartalmaz. VONALJEGY SINGLE TICKET Az ár 20%-os áfát tartalmaz. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 74

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek Egybevágóság, tengelyes tükrözés A FELADAT LEÍráSA: Egy ábra tengelyes tükörképét kell elképzelni, majd kiválasztani a megadott válaszlehetőségek közül. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00008 Standard nehézség 1274 9,6 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 14 80 2 3 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,27 0,34-0,12-0,10-0,03-0,08 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 79,7 0,13 1. szint alatt 27,2 1,26 Főváros 92,0 0,24 1. szint 47,4 0,69 Megyeszékhely 86,6 0,27 2. szint 63,4 0,43 Város 76,3 0,21 3. szint 76,9 0,31 Község 73,2 0,28 4. szint 85,1 0,22 5. szint 90,4 0,22 6. szint 94,1 0,24 7. szint 97,7 0,27 75

MATEMATIKA 94/65. FELADAT: rovarpopuláció MI99501 Egy biológiai kutatóintézetben azt tanulmányozták, milyen befolyással van a környezeti hőmérséklet egy rovarpopuláció viselkedésére. A rovarokat hét különböző hőmérsékletű, de egymás között átjárható térrészbe helyezték, és feljegyezték az egyes hőmérsékleteken összegyűlt egyedek számát. A megfigyelések eredményeit a következő oszlopdiagramon tették közzé. Egyedszám 16 14 12 10 8 6 4 2 0 5 10 15 20 25 30 35 Térrészek hőmérséklete ( C) Az alábbiak közül együttesen mely térrészekben számolták össze a legtöbb egyedet? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Az 5, a 10 és a 15 C-os térrészben. A 15, a 20 és a 25 C-os térrészben. A 10, a 15 és a 20 C-os térrészben. A 20, a 25, a 30 és a 35 C-os térrészben. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 76

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Tényismeret és rutinműveletek Statisztikai adatgyűjtés diagramról, adatleolvasás, adatértelmezés A FELADAT LEÍráSA: A feladat megoldásához a három legnagyobb adathoz tartozó címkéket kell kiválasztani, és ezt megjelölni a megadott válaszlehetőségek között. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0031 0,00016 Standard nehézség 1278 15,1 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 8 9 80 1 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,27 0,39-0,14-0,02-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,5 0,12 1. szint alatt 20,8 1,07 Főváros 85,4 0,32 1. szint 41,5 0,69 Megyeszékhely 84,5 0,32 2. szint 61,4 0,47 Város 80,0 0,18 3. szint 77,5 0,31 Község 75,6 0,26 4. szint 87,2 0,21 5. szint 93,2 0,19 6. szint 96,1 0,19 7. szint 97,3 0,31 77

MATEMATIKA 95/66. FELADAT: rovarpopuláció MI99502 A teljes rovarpopuláció hány százalékát számolták össze 10 C hőmérsékleten? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 15%-át 20%-át 25%-át 30%-át JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 78

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Százalékszámítás, százalékláb-számítás, adatgyűjtés diagramról (leolvasás, összegzés) A FELADAT LEÍráSA: A százalékszámításos feladatban a számításhoz szükséges adatokat egy oszlopdiagramról kell összegyűjteni. Az adatgyűjtés során a leolvasás mellett a megfelelő értékeket is összegezni kell. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0049 0,00039 Standard nehézség 1692 13,5 Tippelési paraméter 0,26 0,03 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 12 19 55 11 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 3 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,26-0,25 0,44-0,08-0,02-0,08 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,6 0,15 1. szint alatt 24,1 1,10 Főváros 62,4 0,40 1. szint 23,9 0,66 Megyeszékhely 59,1 0,37 2. szint 27,3 0,42 Város 52,7 0,24 3. szint 37,5 0,34 Község 50,0 0,30 4. szint 56,4 0,29 5. szint 76,9 0,32 6. szint 90,5 0,30 7. szint 97,8 0,30 79

MATEMATIKA 96/67. FELADAT: utazás AutóvAL MI33201 Viki Kaposvárról Sopronba utazik autóval, az út hossza 220 km. 30 perc elteltével az út menti közlekedési táblán azt látja, még 180 km van Sopronig. A táblától számítva körülbelül mennyi idő múlva érkezik meg Viki Sopronba, ha továbbra is az eddigihez hasonló sebességgel halad autójával? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 80

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 81

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: 135 perc vagy 2,25 óra vagy 2 óra 15 perc vagy ezekkel egyenértékű kifejezés. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 30 perc alatt 40 km x perc 180 km x = 180 30 : 40 = 5400 : 40 = 135 perc Tanulói példaválasz(ok): x : 30 = 180 : 40 x : 30 = 4,5 x = 30 4,5 = 135 180 : 40 0,5 = 2,25 40 km = 30 perc 160 km 120 perc + 20 km 15 perc = 180 km 140 perc Kb. 140 perc múlva Út hossza: 220 km, 30 p múlva már csak 180 km 40 km 30 perc 1 km 0,75 perc 180 0,75 = 135 perc = 2 óra és 15 perc múlva érnek Sopronba. 40 : 30 = 1,3 180 : 1,3 = 138,4 perc [Kerekített értékkel számolt.] Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a teljes út időtartamát adta meg eredményként, ezért válasza 165 perc vagy 2,75 óra vagy 2 óra 45 perc vagy ezekkel egyenértékű kifejezés. Tanulói példaválasz(ok): Út - 220 km 0,5 óra 40 km 1 óra 80 km 2 óra 160 km 2,5 óra 200 km 2,75 óra 220 km Tehát Vikiék az utat 2 óra 45 perc alatt tették meg. 40 km-t 30 perc alatt tesz meg. 5 30 = 150 perc + 20 km = 15 perc 150 + 15 = 165 perc = 2,75 óra 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): Összesen: 220 km 220 180 = 40 km 180 : 40 = 4,5 min 30 perc alatt 180 km x perc 40 km x = 40 30 : 180 = 1200 : 180 = 6,67 6,7 óra [A tanuló felcserélte a megtett és a hátralévő utat, és órának tekintette a percben kapott értéket.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es kód 1 pontot ér. 82

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Konkrét számok aránya A FELADAT LEÍráSA: A nyílt végű feladatban egyenes arányosságot tartalmazó probléma szerepel. A megoldáshoz meg kell találni az aránypár megfelelő tagjait; az aránypár egyik tagjához a szövegben adott adatok alapján, egy alapművelet elvégzésével lehet hozzájutni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00005 Standard nehézség 1692 4,1 1. lépésnehézség 388 12 2. lépésnehézség 388 13 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 1 2 0-100 0,6 0,52 80 60 40 20 0 31 7 36 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 26 0,3 0,0-0,3-0,6-0,18 0,11-0,45 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 40,0 0,15 1. szint alatt 0,6 0,16 Főváros 49,8 0,41 1. szint 2,3 0,21 Megyeszékhely 46,5 0,37 2. szint 6,3 0,21 Város 38,6 0,23 3. szint 19,7 0,28 Község 32,2 0,31 4. szint 43,7 0,30 5. szint 66,3 0,33 6. szint 81,6 0,35 7. szint 92,2 0,47 83

MATEMATIKA 97/68. FELADAT: indulás MI18301 Panninak fontos találkozója van 10.30-kor a belvárosban. Otthonától két járművel is kell utaznia, az egyikkel 45 percig, aztán a másikkal 25 percig. A biztonság kedvéért a gyaloglásra és a várakozásra még 10 percet hozzászámol. Legkésőbb hánykor kell elindulnia otthonról, ha pontosan szeretne érkezni a találkozóra? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 8 óra 50 perckor 9 órakor 9 óra 10 perckor 9 óra 40 perckor JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 84

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek és műveletek Gondolkodási művelet: Tényismeret és rutinműveletek Kulcsszavak: Számolás idővel A FELADAT LEÍráSA: Az időeredményekkel (időpont és időtartamok) összeadást és kivonást kell végezni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség 1338 7,3 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 7 10 77 5 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,26-0,23 0,42-0,15-0,03-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 77,1 0,14 1. szint alatt 18,4 0,98 Főváros 84,1 0,33 1. szint 34,2 0,73 Megyeszékhely 81,7 0,28 2. szint 53,3 0,47 Város 76,5 0,21 3. szint 72,4 0,34 Község 70,8 0,26 4. szint 85,4 0,22 5. szint 91,7 0,20 6. szint 95,6 0,22 7. szint 97,8 0,33 85

MATEMATIKA 98/69. FELADAT: könyváruház MI24501 A következő táblázat egy internetes könyváruházba egy év alatt érkező megrendelések számát tartalmazza kategóriák szerinti megoszlásban. Kategória Megrendelt példányok száma Szépirodalom 1100 Ismeretterjesztő 2500 Történelmi 400 Ifjúsági 1800 Melyik kördiagram ábrázolja helyesen a megrendelt példányok számának kategóriák szerinti arányát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B ifjúsági történelmi szépirodalom ifjúsági történelmi szépirodalom ismeretterjesztő ismeretterjesztő C D történelmi szépirodalom szépirodalom ismeretterjesztő történelmi ismeretterjesztő ifjúsági ifjúsági JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 86

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Statisztikai adatábrázolás, megfeleltetés, táblázat-diagram A FELADAT LEÍráSA: Adott kördiagramok közül kell kiválasztani a táblázat adatait helyesen szemléltető diagramot. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00010 Standard nehézség 1257 10,4 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 1 0 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 81 13 4 2 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,38-0,04-0,09-0,16-0,19-0,26 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 81,4 0,11 1. szint alatt 16,4 0,93 Főváros 85,9 0,27 1. szint 40,4 0,64 Megyeszékhely 85,0 0,28 2. szint 63,5 0,42 Város 81,2 0,22 3. szint 81,0 0,31 Község 76,5 0,26 4. szint 88,2 0,24 5. szint 92,6 0,20 6. szint 94,8 0,23 7. szint 97,1 0,33 87

MATEMATIKA 99/70. FELADAT: díszkő MI13602 Az ábrán látható díszkő mintázatának hányadrésze FEHÉR színű? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1 6 B C 1 4 1 3 D 2 5 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 88

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Síkidomok területe, átdarabolás, arány, törtes megfeleltetés A FELADAT LEÍráSA: Egy ábra adott módon jelölt részének az egészhez viszonyított arányát kell meghatározni, ezt az ábra alatt elhelyezett négyzetrács is segíti. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00009 Standard nehézség 1548 5,6 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 0,6 0,48 80 60 40 20 0 12 21 56 10 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,22-0,31-0,12-0,02-0,06 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 56,0 0,14 1. szint alatt 10,1 0,79 Főváros 65,5 0,44 1. szint 15,2 0,54 Megyeszékhely 61,3 0,39 2. szint 24,4 0,42 Város 53,9 0,25 3. szint 40,2 0,36 Község 50,0 0,30 4. szint 61,9 0,31 5. szint 79,4 0,32 6. szint 90,0 0,32 7. szint 94,9 0,47 89

MATEMATIKA 100/71. FELADAT: átlag MI24901 Pisti 8 matematikadolgozatára kapott osztályzatainak átlaga 4,375. Még egy dolgozatot fog írni az idén. Ahhoz, hogy év végén ötöst kaphasson, a 9 dolgozat átlagának legalább 4,5-nek kell lennie. Megkaphatja-e az ötöst év végén? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! I N Igen, megkaphatja az ötöst év végén. Nem, nem kaphatja meg az ötöst év végén. Indoklás: JAVÍTÓKULCS 1-es kód: A tanuló a Nem, nem kaphatja meg az ötöst év végén válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában látszódik a helyes átlagérték. Indoklás: 4,375 8 + 5 9 = 4,44 < 4,5 Tanulói példaválasz(ok): Nem, mert 4,4 < 4,5 Nem, mert (35 + x) : 9 = 4,5 x = 5,5 Nem, mert csak 4,44 lehet. Igen, mert ha 5-öst ír, akkor is csak 4,44 az átlaga. [A jelölést elrontotta, de a számított érték helyes, és a szöveges indoklás a Nem válaszlehetőséget támasztja alá.] 7-es kód: Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az Igen, megkaphatja az ötöst év végén válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában láthatóan nem súlyozott átlagértéket számolt. Tanulói példaválasz(ok): 4,375 + 5 2 = 9,375 2 Igen, mert 4,68 lesz az átlaga. Igen, 4,69. = 4,6875 Igen, megkaphatja. 0-s kód: Más rossz válasz. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es kód 1 pontot ér, a 7-es kód 0 pontot ér. 90

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Komplex megoldások és kommunikáció Statisztikai számítások, átlag A FELADAT LEÍráSA: Azt kell vizsgálni és indokolni, hogy elérhet-e egy adott számú elem megadott átlaga egy megadott értéket, ha az adathalmaz egy újabb adattal bővül. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0045 0,00013 Standard nehézség 1844 5,1 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 7 9 x pontozás 0 1 0 0-100 0,6 0,47 80 60 40 20 0 63 21 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 4 12 0,3 0,0-0,3-0,6-0,42 0,16-0,06 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 21,3 0,14 1. szint alatt 0,2 0,10 Főváros 28,9 0,38 1. szint 0,5 0,09 Megyeszékhely 26,1 0,30 2. szint 1,6 0,12 Város 20,5 0,23 3. szint 6,2 0,18 Község 15,0 0,20 4. szint 17,9 0,22 5. szint 37,0 0,37 6. szint 59,2 0,51 7. szint 81,4 0,73 91

MATEMATIKA 101/72. FELADAT: gyártósor MI27301 Egy üdítőital-készítő üzem palackozó gépe 3 perc alatt tölt meg 60 palackot. Hány perc alatt tölt meg a gép 100 palackot? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 4 perc 5 perc 6 perc 7 perc JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 92

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Konkrét számok aránya A FELADAT LEÍráSA: A feleletválasztós feladatban a megadott mennyiségek között fennálló egyenes arányosság alapján kell a kérdéses értéket meghatározni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00011 Standard nehézség 1218 8,4 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 6 88 3 2 0 1 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,24 0,40-0,22-0,18-0,03-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 87,7 0,10 1. szint alatt 28,6 1,29 Főváros 91,2 0,22 1. szint 51,0 0,69 Megyeszékhely 90,6 0,22 2. szint 72,3 0,39 Város 87,2 0,17 3. szint 86,6 0,24 Község 84,3 0,21 4. szint 94,5 0,15 5. szint 97,8 0,11 6. szint 99,1 0,10 7. szint 99,5 0,14 93

MATEMATIKA 102/73. FELADAT: gyártósor MI27302 A megtöltött üdítős palackokat 6-osával csomagolják. A palackozó géppel 1 óra alatt hány hatos csomagot tudnak előállítani? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 150 B 180 C 200 D 240 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 94

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Konkrét számok aránya, műveletsor A FELADAT LEÍráSA: Az arányossági feladatban egy egyszerű alapművelet (osztás) és egy mértékátváltás elvégzését követően kell a kérdéses értéket meghatározni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0059 0,00030 Standard nehézség 1679 7,8 Tippelés paraméter 0,28 0,02 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 0,6 0,46 80 60 40 20 0 6 24 57 9 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 3 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,28-0,17-0,02-0,06 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 57,0 0,15 1. szint alatt 22,9 1,08 Főváros 65,0 0,43 1. szint 26,2 0,62 Megyeszékhely 61,2 0,36 2. szint 28,6 0,44 Város 55,6 0,24 3. szint 39,2 0,35 Község 51,7 0,35 4. szint 58,7 0,31 5. szint 80,4 0,29 6. szint 94,7 0,25 7. szint 99,3 0,20 95

MATEMATIKA 103/74. FELADAT: előfizetés MI32101 Egy havonta megjelenő magazin egy száma 745 Ft-ba kerül. A kiadó akciós előfizetési lehetőséget kínál vásárlóinak. Ha valaki egy évre megrendeli a magazint, és egy összegben kifizeti az árát, akkor 5400 Ft-ba kerül az éves előfizetés. Hány százalékos kedvezményt nyújt a kiadó éves előfizetőinek a havi árhoz képest? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 96

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 97

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 39,6% vagy ennek kerekítése (39%, 40%). A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: Éves kiadás a havi ár alapján: 12 745 = 8940 Ft Kedvezmény: 8940 5400 = 3540 Ft százalékos kedvezmény: 3540 100 = 39,6% 8940 Tanulói példaválasz(ok): 5400 : 12 = 450 745 450 = 295 295 745 100 = 39,6% 1 db 745 Ft egy évben 12 745 Ft = 8940 Ft Előfizetés össz. 12 hó 5400 Ft 5400 : 12 = 450 Ft 450 745 100 = 60% 40% kedvezmény 745 12 = 8940 8940 5400 = 3500 [Számolási hiba] 3500 8940 100 = 0,39 0,39 100 = 39%-os kedvezményt nyújt. 5400 : 12 7,45 = 100 60,4 = 39,4 39% [Számolás nem látható.] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a kedvezményes ár százalékos arányát határozta meg az eredeti árhoz képest, ezért válasza 60,4% vagy ennek kerekítése (60%, 61%). Tanulói példaválasz(ok): 12 745 = 8940 5400 : 8940 = 0,604 60,4% 450 745 = 0,6 60% 1 hónapban: 742 Ft 1 évben: 742 12 = 8904 Ft [Számolási hiba] Előfizetve 1 évre = 5400 Ft a = 8904 é = 5400 p = é a 100 = 5400 8904 100 60% kedvezmény. 98

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 99

MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 745 : 5400 = 0,138 13,8% 12 745 = 8940 ha minden hónapban megveszi 8940 5400 = 3540 lesz a kedvezmény. Előfizető : 5400 12 hónap 745 12 = 8940 12 hónap 8940 5400 100 = 165,6 65% kedvezmény az éves előfizetőnek. 745 Ft 1 év = 12 hónap 745 12 = 8940 8940 5400 = 3540 3540 : 100 = 35,4% Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es kód 1 pontot ér. 100

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek és műveletek Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és kommunikáció Kulcsszavak: Százalékszámítás A FELADAT LEÍráSA: A szöveges információk értelmezése után százaléklábat kell számolni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00006 Standard nehézség 1762 3,5 1. lépésnehézség -161 8 2. lépésnehézség 161 8 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 1 2 0-100 0,6 0,51 80 60 40 20 32 10 24 35 0,3 0,0-0,3-0,12 0,20 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,47 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 28,6 0,14 1. szint alatt 0,1 0,06 Főváros 37,9 0,36 1. szint 0,8 0,14 Megyeszékhely 35,3 0,36 2. szint 2,1 0,12 Város 27,1 0,21 3. szint 7,1 0,14 Község 21,1 0,24 4. szint 24,8 0,23 5. szint 53,8 0,37 6. szint 76,4 0,45 7. szint 90,4 0,50 101

MATEMATIKA 104/75. FELADAT: dobókocka MI35801 Egy szabályos dobókocka egymással szemben lévő oldalain a pontok összege mindig 7. A dobókockát a következő ábrán látható módon kétszer egymás után a szomszédos oldalára fordítottuk. Forgatás előtt 1. elforgatás után 2. elforgatás után Rajzold rá a kocka 2. elforgatás után látható oldalaira a hiányzó pontokat! 102

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 103

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: A tanuló a következő ábrának megfelelő számú pontot helyezett el a dobókocka oldalain. Ha a tanuló az 1. forgatás után látható pontokat is berajzolta, akkor azoknak helyesnek kell lenniük. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem pontokat rajzolt, hanem ráírta a megfelelő számokat vagy más módon adta meg a dobókocka megfelelő oldalain lévő pontok számát. Nem számít hibának, ha a pontok elhelyezése az oldalon nem jó, elegendő, ha a pontok száma megfelelő. 1. elforgatás után 2. elforgatás után 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik elforgatást hajtotta végre helyesen. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az 1. elforgatás utáni pontokat hibásan ábrázolta, de ebből kiindulva a 2. elforgatással kapott pontok ábrázolása helyes. Tanulói példaválasz(ok): 1. elforgatás után 2. elforgatás után [1. elforgatás rossz, 2. elforgatás jó] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 1. elforgatás után 2. elforgatás után Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es kód 1 pontot ér. 104

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Térbeli transzformációk, elforgatás A FELADAT LEÍráSA: Egy szabályos test (kocka) adott tengely körüli elforgatottját kell meghatározni a test felszínének megadott szabály szerinti színezésének megadásával. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0022 0,00003 Standard nehézség 1565 3,4 1. lépésnehézség -477 12 2. lépésnehézség 477 12 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 1 2 0-100 0,6 0,54 80 60 40 20 0 32 6 52 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 10 0,3 0,0-0,3-0,6-0,38-0,03-0,29 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,8 0,17 1. szint alatt 1,4 0,27 Főváros 68,0 0,40 1. szint 6,6 0,35 Megyeszékhely 61,8 0,39 2. szint 17,0 0,34 Város 53,4 0,23 3. szint 39,4 0,32 Község 44,7 0,27 4. szint 63,2 0,31 5. szint 80,3 0,31 6. szint 90,6 0,30 7. szint 96,7 0,34 105

MATEMATIKA 105/76. FELADAT: kerékpár MI15801 A kerékpárok lánchajtásának áttételét az első és hátsó fogaskerék fogainak a számával jellemzik. Pl.: a 42/14-es áttétel azt jelenti, hogy az első fogaskeréken (amelyikre a pedált rögzítették) 42 db, míg a hátsó fogaskeréken (amelyik a hátsó kerékkel együtt forog) 14 db fog van. Hátsó fogaskerék Első fogaskerék 42/14-es áttétel esetén a pedál hajtotta fogaskerék egyszeri körbefordulásakor hányszor fordul körbe a hátsó fogaskerék? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 1 3 -szor 1-szer 3-szor 14-szer JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 106

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek Konkrét számok aránya, fordított arány A FELADAT LEÍráSA: A szöveges információk alapján fel kell ismerni, hogy a megadott arány fordított arányosságot jelent, majd ezt az arány kell 1 egységre vonatkoztatva kifejezni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00007 Standard nehézség 1322 8,9 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 7 9 75 6 0 3 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,10-0,24 0,36-0,20-0,03-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 75,2 0,15 1. szint alatt 29,1 1,27 Főváros 78,7 0,37 1. szint 44,0 0,59 Megyeszékhely 79,4 0,32 2. szint 55,7 0,49 Város 74,5 0,24 3. szint 68,9 0,37 Község 71,5 0,25 4. szint 80,1 0,25 5. szint 88,5 0,28 6. szint 94,6 0,28 7. szint 97,7 0,31 107

MATEMATIKA 106/77. FELADAT: kerékpár MI15802 Az alábbi áttételek közül melyikkel halad leggyorsabban a bicikli, ha ugyanolyan sebesen tekerjük a pedált? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 42/14 B 42/18 C 44/14 D 44/18 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 108

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció Változók közötti kapcsolat A FELADAT LEÍráSA: A szöveges információk alapján fel kell ismerni, hogy a megadott arány fordított arányosságot jelent. Az arány értelmezése során azt kell felismerni, hogy a legkisebb arányt kifejező választ kell megtalálni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00021 Standard nehézség 1803 9,6 Tippelési paraméter 0,21 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 0 1 0 0 0-100 80 60 40 20 0 15 18 46 18 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 4 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,10 0,33-0,12-0,02-0,07 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 45,5 0,17 1. szint alatt 21,3 1,01 Főváros 51,2 0,44 1. szint 23,7 0,71 Megyeszékhely 49,0 0,40 2. szint 25,8 0,42 Város 44,2 0,25 3. szint 33,9 0,39 Község 41,9 0,31 4. szint 45,9 0,33 5. szint 59,8 0,36 6. szint 74,2 0,55 7. szint 86,1 0,81 109

MATEMATIKA 107/78. FELADAT: oxigén MI26201 Az alábbi táblázat a fák évi átlagos oxigéntermelését és szén-dioxid-felhasználását mutatja életkoruk szerint. Fa életkora (év) Évi oxigéntermelés (kg) Évi szén-dioxid-felhasználás (kg) 2 0,13 0,12 4 1,3 1,2 20 5,5 5 50 57 53 70 133 121 Egy felnőtt ember átlagos évi oxigénszükséglete 175 kg, miközben 332 kg szén-dioxidot lélegez ki. Körülbelül hány db 20 éves fa oxigéntermelése fedezi egy felnőtt ember átlagos oxigénszükségletét? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 6-os kód: 31 vagy 31,8 vagy 32. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: 175 : 5,5 = 31,8 32 db Tanulói példaválasz(ok): 32 31,8 31 5,5 = 170,5 nem elég 32 5,5 = 176 már elég 5,5 31 = 170,5 Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló az évi szén-dioxid mennyiséggel számolt, ezért válasza 35. Tanulói példaválasz(ok): 175 : 5 = 35 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 332 : 5,5 = 60,4 Kb. 60-61 fa 332 : 5 = 66,4 Lásd még: X és 9-es kód. 110

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor, táblázat A FELADAT LEÍráSA: Egy táblázat megfelelő cellájából kiolvasott adat és a feladat szövegében szereplő további adatok segítségével egy osztást kell elvégezni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0047 0,00012 Standard nehézség 1616 3,9 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 0 1 6 9 x pontozás 0 1 0 0-100 0,6 0,57 80 60 40 20 0 18 52 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 1 29 0,3 0,0-0,3-0,6-0,16 0,00-0,49 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 51,8 0,13 1. szint alatt 0,2 0,13 Főváros 62,5 0,39 1. szint 1,9 0,20 Megyeszékhely 59,3 0,29 2. szint 10,7 0,28 Város 50,6 0,25 3. szint 33,6 0,32 Község 42,3 0,25 4. szint 60,6 0,34 5. szint 80,3 0,30 6. szint 90,2 0,30 7. szint 95,3 0,42 111

MATEMATIKA 108/79. FELADAT: oxigén MI26202 Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Igaz/Hamis)! Igaz A fák életkorával egyenes arányban nő az oxigéntermelésük. I Egy felnőtt ember átlagos évi szén-dioxid-kibocsátásának közömbösítéséhez legalább 3 db 70 éves fára van szükség. I Egy 70 éves korában kivágott fa oxigéntermelését kb. 100 db 4 éves fa képes pótolni. I Hamis H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: HAMIS, IGAZ, IGAZ ebben a sorrendben. 112

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor, változók közötti kapcsolat A FELADAT LEÍráSA: Egy táblázat adataihoz kapcsolódóan olyan állítások igazságtartalmát kell vizsgálni, amelyek eldöntéséhez alapműveletek elvégzése, illetve az egyenes arányosság fogalmának ismerete szükséges. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0020 0,00009 Standard nehézség 1911 15,2 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 80 60 40 20 0 68 29 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 3 0,3 0,0-0,3-0,6-0,25 0,29-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 29,4 0,17 1. szint alatt 7,5 0,70 Főváros 33,9 0,39 1. szint 10,2 0,48 Megyeszékhely 33,6 0,35 2. szint 13,4 0,31 Város 28,6 0,26 3. szint 20,9 0,32 Község 25,3 0,28 4. szint 30,9 0,29 5. szint 40,6 0,42 6. szint 49,5 0,57 7. szint 61,9 0,95 113

MATEMATIKA 109/80. FELADAT: poháralátét MI19001 Panni poharai alá parafából poháralátétet szeretne készíteni úgy, hogy az körben 2 centiméterrel nagyobb legyen, mint a pohár. Hányszor hány cm-es az a legkisebb területű parafa tábla, amely elegendő egy 6 darabos poháralátét-készlet elkészítéséhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! 9 cm A 26 cm 39 cm Pohár B 22 cm 33 cm C 13 cm 19,5 cm D E 11 cm 16,5 cm 8 cm 12 cm poháralátét 2 cm JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 114

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Komplex megoldások és kommunikáció Lefedés, befoglaló alakzat A FELADAT LEÍráSA: Ábrán szemléltetett adatok alapján geometriai alakzat (kör) méretét, majd a legkisebb területű, téglalap alakú befoglaló alakzat méreteit kell meghatározni, figyelembe véve a szövegben megadott további mennyiségeket (darabszám). A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0019 0,00013 Standard nehézség 2011 25,6 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok 1 2 3 4 5 8 9 x pontozás 1 0 0 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 24 18 22 21 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 9 0 6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,31 0,00-0,06-0,10-0,17-0,03-0,05 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 24,2 0,13 1. szint alatt 6,9 0,65 Főváros 28,1 0,36 1. szint 8,1 0,40 Megyeszékhely 25,3 0,34 2. szint 10,5 0,25 Város 23,0 0,20 3. szint 15,0 0,27 Község 23,0 0,23 4. szint 22,4 0,27 5. szint 34,2 0,37 6. szint 49,1 0,50 7. szint 66,6 1,09 115

MATEMATIKA 110/81. FELADAT: névtábla MI35501 Virág úr névtáblát szeretne készíttetni lakásának ajtajára. Egy névtáblakészítő cég honlapján a következő ajánlatot találta. Választható méret: 5 x 10 cm 6 x 12 cm 7,5 x 15 cm 10 x 15 cm Választható betűtípus: Választható anyag: műanyag vörösréz fa Választható betűszín: fekete arany Hányféle különböző névtábla közül választhat Virág úr ennél a cégnél? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 4 + 3 + 5 + 2 B 4 3 5 2 C 4 3 (5 + 2) D 4 3 5 2 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 116

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció Kombinatorika, variáció A FELADAT LEÍráSA: A kombinatorikai feladatban négy elem esetében kell ismétlés nélküli kombinációt számolni, majd az így kapott értékeket összeszorozni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0052 0,00043 Standard nehézség 1694 13,2 Tippelési paraméter 0,31 0,02 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 80 60 40 20 0 21 59 9 9 0 3 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29 0,43-0,18-0,10-0,02-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 58,6 0,14 1. szint alatt 34,1 1,22 Főváros 67,1 0,37 1. szint 30,3 0,65 Megyeszékhely 64,0 0,38 2. szint 30,0 0,37 Város 57,0 0,23 3. szint 40,4 0,34 Község 52,4 0,28 4. szint 62,0 0,30 5. szint 80,9 0,30 6. szint 91,9 0,28 7. szint 99,3 0,17 117

MATEMATIKA 111/82. FELADAT: karkötő MI06201 Dalma virágos karkötőt készít gyöngyökből. Egy virághoz 8 fekete gyöngyöt, a közepének egy nagyobb fehér gyöngyöt fűz. Két virág közé 3 szürke gyöngy kerül. A karkötőben 11 virág, két végén pedig 5-5 szürke gyöngy lesz. Hány gyöngyszemre van szüksége Dalmának az egyes színekből a karkötő elkészítéséhez? A szükséges darabszámok: Fekete gyöngy:... db Fehér gyöngy:... db Szürke gyöngy:... db JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: A tanuló mindhárom értéket helyesen adta meg, ezért válasza 88, 11, 40. Elfogadhatók azok a válaszok is, amikor mind a három érték helyes, de más sorrendben szerepelnek. Tanulói példaválasz(ok): 88, 11, 40 88, 40, 11 Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak 2 szín esetében adott meg helyes értéket a megfelelő színű gyöngy neve mellett. Tanulói példaválasz(ok): 88, 11, - [A fekete és a fehér színű gyöngyök száma helyes.] 88, 11, 43 [A fekete és a fehér színű gyöngyök száma helyes.] 88, 11, 30 [A fekete és a fehér színű gyöngyök száma helyes.] 99, 11, 40 [A fehér és a szürke színű gyöngyök száma helyes.] 88, 12, 40 [A fekete és a szürke színű gyöngyök száma helyes.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 88, 8, 24 34, 88, 40 [Csak a szürke színű gyöngyök száma helyes.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot, az 1-es kód 1 pontot ér. 118

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Műveletsor A FELADAT LEÍráSA: A szöveges adatok felhasználásával egyszerű műveletsort kell végrehajtani (szorzással és összeadással elvégezhető összeszámlálás). A szöveges információk megértését egy ábra is segíti. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0013 0,00004 Standard nehézség 1239 11,4 1. lépésnehézség -67 15 2. lépésnehézség 67 11 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 1 2 0-100 0,6 80 60 40 20 0 10 22 63 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 4 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29-0,06 0,31-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 74,5 0,11 1. szint alatt 25,2 0,96 Főváros 78,4 0,31 1. szint 42,0 0,60 Megyeszékhely 77,1 0,24 2. szint 58,3 0,39 Város 73,9 0,20 3. szint 71,5 0,25 Község 71,6 0,23 4. szint 79,4 0,22 5. szint 85,3 0,20 6. szint 89,8 0,24 7. szint 93,5 0,40 119

MATEMATIKA 112/83. FELADAT: karkötő Karkötő MI06202 Dalma tervezett egy másik karkötőt és hozzá egy nyakláncot is. Összeszámolta, hány gyöngyszem szükséges az ékszerekhez, és az adatokat egy táblázatban összesítette. A hobbiboltban a gyöngyöket 100 db-os Gyöngyök Fekete Fehér Arany Karkötő 129 85 90 Nyaklánc 239 17 46 csomagokban árulják. Legalább hány CSOMAGGAL vásároljon Dalma az egyes színekből, hogy a karkötőt és a nyakláncot is el tudja készíteni? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! Fekete színű gyöngy:.......... csomag Fehér színű gyöngy:... csomag Arany színű gyöngy:... csomag 120

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 121

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 1-es kód: A tanuló mindhárom értéket helyesen adta meg, ezért válasza feketéből 4 csomag, fehérből 2 csomag, aranyból 2 csomag. Számítás: Fekete: 129 + 239 = 368 4 csomag Fehér: 85 + 17 = 102 2 csomag Arany: 90 + 46 = 136 2 csomag Tanulói példaválasz(ok): 4, 2, 2 fekete: 129 + 239 = 368 fehér: 85 + 17 = 102 arany: 90 + 46 = 136 Fekete: 129 + 239 = 358 4 csomag Fehér: 85 + 17 = 92 1 csomag [Számolási hiba.] Arany: 90 + 46 = 136 2 csomag fekete: 129 + 139 = 268 3 csomag [Elírás.] fehér: 85 + 17 = 102 2 csomag arany: 90 + 46 = 136 2 csomag 7-es kód: A tanuló külön-külön határozta meg a karkötőhöz és a nyaklánchoz szükséges csomagok számát, majd ezeket összegezte, ezért válasza Fekete: 5, Fehér: 2, Arany: 2. Tanulói példaválasz(ok): karkötő: 129 2 cs nyaklánc: 239 3 cs fekete: 5 85 1 cs 17 1 cs fehér: 2 90 1 cs 46 1 cs arany: 2 fekete: 5, fehér: 2, arany: 2 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3, 2, 2 3,7; 1; 1,4 129 130 : 10 = 13 239 240 : 10 = 24 13 + 24 = 37 85 90 : 10 = 9 17 20 : 10 = 2 9 + 2 = 11 90 90 : 10 = 9 46 50 : 10 = 5 9 + 5 = 14 368, 102, 136 [A szükséges gyöngyök számát adta meg.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 122

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Műveletsor, kerekítés értelmezés alapján A FELADAT LEÍráSA: A nyílt végű feladatban a táblázatban megadott megfelelő értékeket kell összegezni, majd az adott egység és a szövegkörnyezetnek megfelelő kerekítés alapján meghatározni a szükséges mennyiségeket. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0039 0,00011 Standard nehézség 1522 5,0 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok 0 1 7 9 x pontozás 0 1 1 0-100 0,6 0,53 80 60 40 20 0 25 59 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 2 14 0,3 0,0-0,3-0,6-0,34 0,01-0,33 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 60,9 0,15 1. szint alatt 1,1 0,25 Főváros 69,8 0,34 1. szint 6,9 0,40 Megyeszékhely 67,4 0,37 2. szint 23,8 0,42 Város 60,0 0,27 3. szint 49,1 0,32 Község 52,8 0,28 4. szint 70,2 0,32 5. szint 85,1 0,27 6. szint 93,2 0,29 7. szint 96,6 0,35 123

MATEMATIKA 113/84. FELADAT: kedvezmény MI02901 A mobilszolgáltatók a vásárlói hűséget gyakran kedvezménnyel jutalmazzák. Tamás új telefont szeretne vásárolni eddigi szolgáltatójánál, ahol kétféle kedvezmény közül választhat. Új telefonja vételárából lebeszélhet 3000 Ft-ot, vagy 15% engedményt kap a vételárból. Mekkora vételár felett jár jobban Tamás azzal, ha a második lehetőséget választja? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 20 000 Ft. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Elfogadjuk a 20 001, 20 005, 20 010, 20 100, 21 000 értékeket is helyes gondolatmenettel, illetve látható számítások nélkül is. Számítás: x 3000 > 0,85x 0,15x > 3000 x > 20 000 Tanulói példaválasz(ok): 3000 : 15 = 200, 200 100 = 20 000 Ft. 20 000 Ft felett jobban jár 3000 Ft 15% 200 Ft 1% 20 000 Ft 100% Akkor jár jobban, ha a vételár több mint 20 000. 3000 : 0,15 = 20 000. Ennél nagyobb összegnek a 15%-a több mint 3000. Ha 5000 Ft a telefon, akkor a kedvezmény 5000 0,15 = 750 Ft nem éri meg 10 000 Ft-nál: 10 000 0,15 = 1500 Ft nem éri meg. 20 000 Ft-nál: 20 000 0,15 = 3000 Ft mindegy, hogy melyiket választja. 20 000 Ft felett éri meg Tamásnak a 2. lehetőséget választania. 20 100 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3000 100% 30 1% 450 15% Akkor jár jobban, ha legalább 3450 Ft-os telefont vesz. 3000 0,15 = 450 Ft Lásd még: X és 9-es kód. 124

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Egyenlőtlenség A FELADAT LEÍráSA: A szöveges információkat a matematika nyelvére kell lefordítani paraméteres kifejezések formájában, majd a segítségükkel felírt egyenlőtlenséget kell megoldani. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0060 0,00014 Standard nehézség 1830 3,6 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 0,54 80 60 40 20 18 21 61 0,3 0,0-0,3-0,02 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,44 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 20,8 0,12 1. szint alatt 0,3 0,14 Főváros 30,3 0,35 1. szint 0,9 0,13 Megyeszékhely 26,1 0,35 2. szint 1,6 0,12 Város 19,4 0,20 3. szint 3,2 0,12 Község 13,7 0,18 4. szint 11,0 0,18 5. szint 38,3 0,35 6. szint 73,5 0,51 7. szint 94,4 0,49 125

MATEMATIKA 114/85. FELADAT: emeletes torta i. MI07901 Hildáék az osztálybulira háromszintes tortát készítenek, felülre kerül a legkisebb és alulra a legnagyobb torta. A legfelső tortát 24 centiméter átmérőjű, 7 centiméter magas kerek tortaformában sütötték meg. A további két tortaforma átmérője 3 centiméterrel, magassága 2 centiméterrel nagyobb, mint a felette lévőé. A tortát krémmel és mázzal még nem vonták be, így helyezik el egy dobozban. Döntsd el, hogy a következő méretű dobozok közül melyikben fér el a torta és melyikben nem! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld (Elfér/Nem fér el)! Elfér 18 cm 18 cm 13 cm E 24 cm 24 cm 27 cm E 27 cm 27 cm 30 cm E 30 cm 30 cm 27 cm E 33 cm 33 cm 30 cm E Nem fér el N N N N N JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: Nem fér el, Nem fér el, Nem fér el, elfér, elfér ebben a sorrendben. 126

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció Befoglaló test A FELADAT LEÍráSA: Egy olyan test (emeletes torta) köré írható test (doboz) paramétereit kell vizsgálni, amelynek adatai szövegesen adottak, és egy ábra is szemlélteti a test alakját. Különböző méretű befoglaló testeknek a méreteiről kell eldönteni, hogy elfér-e bennük az ábrán látható test. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00009 Standard nehézség 1846 5,6 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 9 x pontozás 0 1 0-100 0,6 0,46 80 60 40 20 0 65 29 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 7 0,3 0,0-0,3-0,6-0,39-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 28,9 0,12 1. szint alatt 0,8 0,27 Főváros 35,8 0,39 1. szint 2,1 0,24 Megyeszékhely 33,1 0,35 2. szint 5,3 0,21 Város 28,5 0,21 3. szint 13,7 0,27 Község 22,8 0,25 4. szint 28,2 0,25 5. szint 46,7 0,34 6. szint 65,8 0,51 7. szint 85,3 0,84 127

MATEMATIKA 115/86. FELADAT: SzáLLáS MI21201 Dénes testvérével és szüleivel Zedországba utazik, és egy hotelben szállnak meg. A szállás egy főnek egy éjszakára 11 450 zed. A 14 év alatti gyermekek számára 20%-os kedvezményt nyújt a szálloda. Dénes 13, testvére 9 éves. Mennyi a szállodai költség összesen a négytagú család számára, ha 3 éjszakát töltenek a szállodában? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 128

8. ÉVFOLYAM A FELADAThoz TArTozÓ ADAToK A KöVETKEző oldalakon TALáLhATÓK. 129

MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 123 660 zed. Mértékegység megadása nem szükséges. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Számítás: A két felnőtt költsége: 2 3 11 450 = 68 700 A két gyerek költsége: 2 3 11 450 0,8 = 54 960 A család költsége összesen: 68 700 + 54 960 = 123 660 Tanulói példaválasz(ok): A két felnőtt költsége: 2 3 11 450 = 68 700 A két gyerek költsége: 2 3 11 450 0,8 = 54 960 [A tanuló nem végezte el az összeadást, részeredményei helyesek.] 2 3 11 450 + 2 3 9160 54 960 + 68 700 = 113 660 [Számolási hiba.] 1-es kód: 6-os kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló ott hibázott, hogy (1) a felnőttek vagy a gyerekek esetében 1 fővel számolt, VAGY (2) 1 éjszakával számolt a felnőttek és/vagy a gyerekek szállásánál, de nem követte el az (1) és a (2) hibát együttesen. Tanulói példaválasz(ok): 2 11 450 = 22 900 2 11 450 0,8 = 18 320, összesen: 41 220 3 2 11 450 = 68 700 (11 450 : 100) 20 = 2290 (11 450 2290) 2 = 18 320 68 700 + 18 320 = 87 020 [A gyerekeknél csak 1 éjszakával számolt.] 2 3 11 450 = 68 700, 3 11 450 0,8 = 27 480, összesen: 96 180 [2 felnőtt + 1 gyerek a kedvezménnyel, 3 éjszaka.] 3 11 450 = 34 350, 2 3 11 450 0,8 = 54 960, összesen: 89 310 [1 felnőtt + 2 gyerek a kedvezménnyel, 3 éjszaka.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló 20%-os értéken számolta a gyerekek szállásköltségét, ezért válasza 82 440 zed. Tanulói példaválasz(ok): 2 3 11 450 = 68 700 2 3 11 450 0,2 = 13 740 68 700 + 13 740 = 82 440 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 11 450 100% 2290 20% 11 450 2290 = 12 160 12 160 2 = 24 320 11 450 4 = 45 800 45 800 3 = 137 400 137 400 24 320 = 113 080 [Rossz gondolatmenet.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 2 pontot ér, az 1-es kód 1 pontot ér. 130

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció Műveletsor, százalékszámítás A FELADAT LEÍráSA: Százalékszámítást is tartalmazó elsőfokú egyenletet kell felírni és megoldani a szövegesen adott adatok alapján. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0030 0,00005 Standard nehézség 1771 3,2 1. lépésnehézség -276 8 2. lépésnehézség 276 9 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 2 6 9 x pontozás 0 1 2 0 0-100 0,6 0,54 80 60 40 20 0 22 7 27 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 4 41 0,3 0,0-0,3-0,6-0,14 0,15 0,04-0,46 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 30,1 0,15 1. szint alatt 0,5 0,17 Főváros 39,7 0,35 1. szint 0,5 0,11 Megyeszékhely 38,4 0,34 2. szint 1,8 0,10 Város 28,6 0,21 3. szint 8,0 0,20 Község 21,1 0,24 4. szint 27,0 0,26 5. szint 55,6 0,39 6. szint 79,5 0,43 7. szint 92,3 0,49 131

MATEMATIKA 116/87. FELADAT: vércsoport MI32001 Vérvizsgálatkor osztályozzák az embereket aszerint, hogy milyen antigéneket tartalmaz a vérük. Az A vércsoportú vér csak A antigént, a B vércsoportú vér csak B antigént, az AB vércsoportú vér mindkettőt, a 0-s vércsoportú pedig egyiket sem tartalmazza. Egy klinikai vizsgálat során 120 ember vérét vizsgálták meg, hogy milyen antigént tartalmaz. A következő táblázat a vizsgálat eredményét foglalja össze. Tartalmaz A antigént Tartalmaz B antigént Egyik antigént sem tartalmazza 30 30 70 Hány AB vércsoportú ember vett részt a vizsgálatban? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 10 és látszik a helyes gondolatmenet. Számítás: 120 70 = 50 30 + 30 50 = 10 Tanulói példaválasz(ok): 30 x + 30 x + x = 50 60 x = 50 10 = x 30 + 30 + 70 = 130 130 120 = 10 30 + 30 + 70 = 130 10 A B AB 20 10 20 70 7-es kód: 6-os kód: 10 és számolás nem látható. Tanulói példaválasz(ok): 10 120 70 = 50 10 [Feltételezhetően a 30 + 30-ra gondolt, de nem írta le.] Tipikusan rossz válasznak tekintjük, ha a tanuló összeadta azok számát, akiknek a vére A, illetve B antigént tartalmaz, vagy ezt még kivonta 120-ból, ezért válasza 60. Tanulói példaválasz(ok): 60 30 + 30 120 (30 + 30) = 120 60 = 60 0-s kód: Más rossz válasz. Lásd még: X és 9-es kód. megj.: Az 1-es és 7-es kód 1 pontot ér. 132

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció Halmazok, halmazműveletek A FELADAT LEÍráSA: A halmazokról tanultakat kell alkalmazni a feladatban; a táblázatban szereplő adatokat meg kell feleltetni egy-egy halmazrésznek. A feladat szövegének értelmezésekor fel kell ismerni, hogy két halmaz metszetének elemszámát kell meghatározni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00018 Standard nehézség 1840 8,5 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 0 1 6 7 9 x pontozás 0 1 0 1 0-100 0,6 0,45 80 60 40 20 0 17 20 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 9 3 51 0,3 0,0-0,3-0,6 0,04-0,09 0,07-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 23,0 0,13 1. szint alatt 0,4 0,16 Főváros 31,9 0,36 1. szint 1,5 0,17 Megyeszékhely 28,8 0,36 2. szint 3,6 0,19 Város 21,5 0,19 3. szint 8,8 0,21 Község 16,4 0,25 4. szint 18,9 0,29 5. szint 37,5 0,36 6. szint 63,1 0,55 7. szint 85,7 0,68 133

MATEMATIKA 117/88. FELADAT: tankolás MI30801 Egy kamion üzemanyagtankjába 420 liter gázolaj fér. A sofőr indulás előtt teletankolta a kamiont, majd elindult vele az 1100 km távolságban lévő úticélja felé. A kamion átlagos fogyasztása 32 liter/100 km. Hány liter gázolaj maradt a kamion tankjában amikor elérte úticélját, ha útközben nem tankolt, és fogyasztása átlagos volt? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! JAVÍTÓKULCS 2-es kód: 1-es kód: 68 liter. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 1100 : 100 = 11 11 32 = 352 420 352 = 68 Tanulói példaválasz(ok): 1100 : 100 = 11 11 32 = 320 [Számolási hiba] 420 320 = 100 100 liter marad 32 liter 100 km 420 100 420 liter = 1312,5 km-re mehetne, 1312,5 1100 = 212,5 km-re elég 32 még a benzin. 100 km 32 liter 100 km 32 liter 10 km 3,2 liter kb. 210 km 67,2 liter 420 1100 100 32 A tanuló csak az út során elfogyasztott üzemanyag mennyiségét határozta meg, ezért válasza 352 liter, és további (rossz gondolatmenetre utaló) számítások nincsenek. Tanulói példaválasz(ok): 100 km-en 32 liter 1100 km-en 32 11 = 352 litert fogyasztott. 420 liter 32 liter / 100 km 1100 : 100 = 11 11 32 = 352 litert fogyasztott. 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 11 32 = 352 352 : 42 = 8,38 [A 352 kiszámítása után láthatóan rossz a gondolatmenet.] Lásd még: X és 9-es kód. megj.: A 2-es kód 1 pontot ér, az 1-es kód 0 pontot ér. 134

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Műveletsor A FELADAT LEÍráSA: Olyan arányszámításos feladatról van szó, amelyben adott egy mennyiség 100-hoz viszonyított aránya, és egy alapműveletet kell elvégezni. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0043 0,00012 Standard nehézség 1724 4,9 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok 0 1 2 9 x pontozás 0 0 1 0-100 0,6 0,53 80 60 40 20 0 14 2 34 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 50 0,3 0,0-0,3-0,6-0,14 0,01-0,42 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 34,0 0,15 1. szint alatt 0,5 0,21 Főváros 41,9 0,41 1. szint 1,5 0,17 Megyeszékhely 40,1 0,38 2. szint 5,0 0,19 Város 33,1 0,25 3. szint 14,9 0,26 Község 26,8 0,25 4. szint 33,1 0,28 5. szint 56,8 0,33 6. szint 80,8 0,47 7. szint 94,7 0,51 135

MATEMATIKA 118/89. FELADAT: kézilabda i. MI10204 Egy kézilabdatornán 6 város csapata vett részt, és minden csapat ugyanannyi mérkőzést játszott. A következő táblázatban a részt vevő csapatok néhány statisztikai adata szerepel. Csapat Mérkőzésenként lőtt gólok átlaga Mérkőzésenként kapott gólok átlaga Balatonfüred 25,0 26,6 Csurgó 28,5 29,3 Debrecen 27,4 32,4 Kecskemét 26,9 28,0 Szeged 34,1 29,0 Veszprém 36,1 23,5 Egy csapatnak negatív a gólkülönbsége, ha a kapott gólok száma nagyobb, mint a lőtt góloké. Melyik csapatnak volt a felsoroltak közül a legnagyobb abszolútértékű negatív gólkülönbsége? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Balatonfüred Debrecen Szeged Veszprém JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 136

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek Statisztikai számítások, átlag, abszolútérték A FELADAT LEÍráSA: Statisztikai adatokat (átlag) tartalmazó táblázatot kell értelmezni a feladatban adott szöveges információk figyelembevételével. A megoldás során a megfelelő adatokkal különbségeket kell számolni, és ki kell választani közülük a feladat szövegében megfogalmazott kritériumnak megfelelőt. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0031 0,00031 Standard nehézség 1796 17,5 Tippelési paraméter 0,32 0,02 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 7 55 7 20 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 11 0,3 0,0-0,3-0,6-0,13 0,28-0,15-0,13-0,01-0,04 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,8 0,16 1. szint alatt 35,0 1,32 Főváros 58,3 0,40 1. szint 35,0 0,70 Megyeszékhely 58,9 0,36 2. szint 37,2 0,48 Város 54,2 0,26 3. szint 45,8 0,34 Község 50,8 0,31 4. szint 55,6 0,38 5. szint 66,5 0,37 6. szint 78,0 0,46 7. szint 88,5 0,64 137

MATEMATIKA 119/90. FELADAT: HAjózáSi SeBeSSég MI15601 A hajózásban a sebességet nem km/órában, hanem csomóban mérik. A csomó az egy óra alatt megtett tengeri mérföldek száma (1 tengeri mérföld = 1852 m). Hány km/óra sebességgel halad az a hajó, amelynek hajózási sebessége 18 csomó? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1852 : 18 B 18 1852 : 1000 C 1852 : 18 1000 D 18 1852 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B Megj.: A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. 138

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció Arányszámítás 1-hez viszonyítva, mértékegység átváltás, műveletsor A FELADAT LEÍráSA: Két összetett (sebesség) mértékegység (csomó és km/h) közötti átváltáshoz szükséges műveletsort kell kiválasztani a megadottak közül a váltószámok ismeretében. A feladat pszichometriai paraméterei nem bizonyultak megfelelőnek, ezért az adatait nem vettük figyelembe a teljes teszt értékelésekor. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség Standard nehézség Nehézségi szint Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 15 34 12 27 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 12 0,3 0,0-0,3-0,6-0,11 0,18-0,13 0,02-0,02-0,04 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 33,6 0,17 1. szint alatt 32,0 1,34 Főváros 35,7 0,44 1. szint 29,2 0,71 Megyeszékhely 35,2 0,37 2. szint 25,9 0,36 Város 32,9 0,24 3. szint 25,3 0,32 Község 32,5 0,26 4. szint 30,0 0,32 5. szint 39,5 0,38 6. szint 53,7 0,54 7. szint 72,4 0,87 139

MATEMATIKA 120/91. FELADAT: curling MI20701 A curling játékban két csapat egy jégpályára festett kör alakú mezőbe csúsztatja korongjait. A mérkőzés end -ekből áll. Az a csapat nyeri az end -et, akinek a korongja az end végén legközelebb van a cél kör középpontjához. A nyertes csapat annyi pontot kap, ahány korongja közelebb van a középponthoz, mint az ellenfél legközelebbi korongja. Az egyik end az ábrán látható állással végződött. A fekete koronggal játszó csapat nyert. Hány pontot kapott a győztes csapat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1 B 2 C 3 D 4 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 140

8. ÉVFOLYAM A KérDéS besorolása Tartalmi terület: Gondolkodási művelet: Kulcsszavak: Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek Geometriai tulajdonságok ismerete, kör, távolság A FELADAT LEÍráSA: Az ábrán adott elrendezésben látható geometriai alakzatok adott ponttól való távolságát kell vizsgálni a feladat szövegének értelmezése alapján. A FELADAT STATISzTIKAI paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0019 0,00007 Standard nehézség 1402 8,7 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok 1 2 3 4 8 9 x pontozás 0 1 0 0 0 0-100 0,6 80 60 40 20 0 3 68 13 5 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0 11 0,3 0,0-0,3-0,6-0,11 0,31-0,14-0,25-0,03-0,03 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi SzázALéKoS MEgoLDoTTSág településtípus tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,8 0,16 1. szint alatt 26,2 1,12 Főváros 72,8 0,38 1. szint 37,6 0,80 Megyeszékhely 72,0 0,32 2. szint 51,3 0,41 Város 67,7 0,25 3. szint 62,5 0,33 Község 62,1 0,33 4. szint 70,5 0,30 5. szint 78,9 0,35 6. szint 88,6 0,40 7. szint 95,4 0,43 141

MATEMATIKA 142

8. ÉVFOLYAM Mellékletek 143

MATEMATIKA 1. melléklet A statisztikai jellemzők A tesztelméleti paraméterek A tanulók képességeinek mérésére a teszten elért összes pontszám vagy a százalékos eredmények nem megfelelőek. Egyrészt az elért pontszám függ a teszt nehézségétől, azaz ugyanezek a tanulók egy másik, hasonló képességeket mérő teszten akár sokkal jobb vagy gyengébb eredményeket is elérhetnek. Másrészt az összes pontszám nem lineárisan nő a tanulók képességeivel: egypontnyi különbség a kis pontszámot elérő tanulók között nem jelent ugyanakkora tudásbeli különbséget, mint egy pontszámnyi eltérés az átlagos eredményt elérők között. Ugyanígy az item nehézségének mérésére sem alkalmas az itemre adott helyes válaszok száma vagy aránya. Ráadásul egy ilyen típusú pontozásnál nehéz értelmezni a tanulók képességei és az itemek nehézsége közötti összefüggéseket, hiszen nem ugyanazon a skálán mérjük őket. A tanulók képességei a pontszám vagy százalékos mérőszám növekedésével nőnek, az itemek nehézsége ezzel szemben csökken az őket megoldók számának növekedésével. Ezért a tanulók tudásának mérésére a pszichometriában különböző képességmodelleket (Rasch-modell, kétparaméteres, illetve háromparaméteres modell) alkalmaznak a nemzetközi és a hazai gyakorlatban. 1 Ezek közös tulajdonságai: tesztfüggetlen módon becsülhető velük a tanulók képessége, azaz egy ugyanolyan típusú, de más kérdéseket tartalmazó teszt alapján számítva a tanulók képességeit, közel azonos eredményeket kapnánk; mintafüggetlenné teszik az itemek nehézségét, azaz az adott populációból új reprezentatív mintát választva az itemek nehézsége hasonlóan alakul; linearizálják a képességet és az itemnehézséget, azaz egypontnyi képességkülönbség a skála minden pontján ugyanakkora mértékű tudásbeli különbséget jelez; közös skálára helyezik a tanuló képességét és az item nehézségét. Ezen tulajdonságok a képességmodelleket alkalmassá teszik arra is, hogy az azonos mérési területekre és a közös feladatok adta összekapcsolási lehetőségekre építve közös modellben becsüljék meg a különböző évfolyamok tanulóinak képességeit. Ezt a lehetőséget kihasználva, a mérési azonosító 2008-as bevezetésével és az évfolyamok közös feladatait felhasználva, a 2008. évi méréstől kezdődően új, évfolyamfüggetlen képességskálákat alkottunk. 2 A tesztfüggetlen és mintafüggetlen közös skálán a 6 10. évfolyamos tanulók szövegértési képességeit, illetve matematikai eszköztudását oly módon tudjuk megadni, hogy a 6., a 8. és a 10. évfolyamos tanulók eredménye és a kétéves fejlődés is könnyen mérhetővé válik. A tesztelméleti modellek valószínűségi modellek, azaz a tanulók képességét nem olyan határként kell elképzelnünk, amely egyértelműen elválasztja a számára megoldható itemeket a megoldhatatlanoktól. A tanuló képességétől és a feladat paramétereitől függő 0 és 1 közötti érték adja a tanuló eredményességének valószínűségét az adott feladaton. Az általunk használt kétparaméteres modell minden tanulóhoz hozzárendel egy képességértéket (Ѳi), és ezzel párhuzamosan minden egypontos itemhez hozzárendel két paramétert: a nehézséget (bj) és a meredekséget (aj). A nehézség azt mutatja, hogy a képességskála mely részén helyezkedik el az item, a meredekség pedig azt, hogy az item megoldási valószínűsége milyen gyorsan növekszik a tanulók képességének növekedésével. 1 ROBERT L. BRENNAN (ed.): Educational Measurement: Fourth Edition (ACE/Praeger Series on Higher Education). Praeger Publishers, 2006; HORVÁTH GYÖRGY: Bevezetés a tesztelméletbe. Budapest, 1993. 2 Az új skálák bevezetésének szakmai hátteréről bővebben a Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban ismertetőben olvashatnak, amely elérhető a www.oh.gov.hu web-oldalon. 144

8. ÉVFOLYAM A paraméterek ismeretében az i. tanuló eredményességének valószínűségét a j. item megoldásában a következő képlet adja: A 1. ábrán egy egypontos item megoldási valószínűségének változását láthatjuk a képesség függvényében. 1,2 1 Valószínűség 0,8 0,6 0,4 0,2 0 4,00 3,46 2,92 2,37 1,83 1,29 0,75 0,20 0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59 Képesség 0 pont elérésének valószínűsége 1 pont elérésének valószínűsége 1. ábra: Egypontos item megoldási valószínűsége Az item nehézsége itt az a pont, ahol a két görbe metszi egymást, azaz, ahol a tanuló sikerességének esélye 50 százalék. Egy nagyobb nehézségű, de ugyanilyen meredekséggel rendelkező item megoldási valószínűségét mutató ábra az itt bemutatott ábrától annyiban különbözik, hogy a görbék jobbra csúsznak a vízszintes tengely mentén, míg egy ugyanilyen nehézségű, de ennél nagyobb meredekséggel rendelkező item esetén a metszéspont koordinátái változatlanok maradnak, a görbék meredekebbek lesznek. A többpontos itemekhez a meredekségen és a nehézségen kívül minden 0-nál nagyobb pontszámhoz tartozik egy viszonylagos lépésnehézség (c jv ) is. Ekkor k pont elérésének a valószínűségét a következő képlettel kapjuk:, ahol m j a maximális pontszám, c j0 0 és. A nehézség, b j itt is az item elhelyezkedését mutatja a képességskálán, a c jv értékek pedig a lépések egymáshoz viszonyított nehézségét mutatják. Ezek nem feltétlenül növekvő sorrendben követik egymást, előfordulhat, hogy a második lépés könnyebb az elsőnél. Például elképzelhető olyan item, amelyre igaz, hogy ha valaki meg tudja oldani az item egypontos részét, akkor jó eséllyel a két pontot is meg tudja szerezni. A 2. ábrán egy kétpontos item pontszámainak valószínűségeit láthatjuk a képesség függvényében. 145

MATEMATIKA 1,2 1 0,8 Valószínűség 0,6 0,4 0,2 0 4,00 3,46 2,92 2,37 1,83 1,29 0,75 0,20 0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59 Képesség 0 pont valószínűsége 1 pont valószínűsége 2 pont valószínűsége 2. ábra: Kétpontos item megoldási valószínűsége Többpontos itemek esetén az item nehézsége az a pont, amelyre a 0 és a maximális pontszám valószínűsége megegyezik, azaz ahol a két görbe metszi egymást; a viszonylagos lépésnehézségek pedig azon pontok előjeles távolságai a nehézségtől, amelyre az adott pontszám és az eggyel kisebb pontszám elérésének valószínűsége azonos. Feleletválasztós feladatokhoz a meredekségen és a nehézségen kívül tartozhat egy tippelési paraméter is. Az ilyen feladatoknál a tanuló akkor is adhat jó megoldást a kérdésre, ha nem tudja a jó választ, de tippeléssel a helyeset választja ki a lehetséges válaszok közül. Ennek valószínűsége az i. tanuló és a j. item esetén: g j (1 P ij (pontszám=1)), ahol g j annak a valószínűsége, hogy a tanuló helyesen tippel (függetlenül a képességeitől), (1 P ij (pontszám=1)) pedig annak a valószínűsége, hogy a tanuló nem tudja a jó választ. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az i. tanuló a j. itemre helyes választ ad: P ij (pontszám=1) = g j (1 P ij (pontszám=1))+p ij (pontszám=1) = g j +(1 g j )P ij (pontszám=1), azaz a tanuló nem tudja a jó választ, de jól tippel, vagy a tanuló tudja a jó választ, így nincs szüksége tippelésre. A tippelési paraméter lehet, de ha a tanuló egy vagy több lehetőséget ki tud 1 a lehetséges válaszok száma zárni, akkor kevesebb válasz közül kell tippelnie, így a tippelési paraméter is lehet nagyobb. Ha a tippelési paraméter 0,3, az azt jelenti, hogy a tanulónak 30% esélye volt, hogy tippeléssel is jó választ adjon. Amelyik feleletválasztós feladatnál nem szerepel tippelési paraméter, ott a tippelés nem játszott nagy szerepet a feladat megoldásában, tekinthetjük nullának. Összegezve az eddigieket: az általunk számított képességértékek és itemparaméterek közös, lineáris skálán helyezkednek el. Jól értelmezhető az összefüggés közöttük, tetszőleges képességű tanuló és tetszőleges paraméterekkel rendelkező item esetén megadható, hogy az adott tanuló mekkora valószínűséggel oldja meg az adott itemet. A tanulói mérési azonosító bevezetésével a 2008-as évtől kezdődően vezettük be az évfolyamfüggetlen standard képességskálákat a szövegértés, illetve a matematikai eszköztudás területén. A standard pontok a képességek lineáris transzformációi. A standardizálás célja a viszonyítási pontok beállítása. Az évfolyamfüggetlen szövegértés és matematikaskálák standardizálásánál a 2008. évi 6. évfolyamos országos átlagot 1500, a szórást 200 pontban rögzítettük a matematika és a szövegértés területén egyaránt. A 3. és 4. ábrán azt 146

8. ÉVFOLYAM szemléltetjük, hogyan oszlanak meg a képességskálán a tanulók egy teszt esetén standardizálás előtt és után. Látható, hogy a tanulók egymáshoz viszonyított helyzete nem változik, csupán a skála cserélődik ki alattuk. Az ábrákon folytonos vonallal jelöltük az átlagot és szaggatott vonalakkal az átlagtól egyszórásnyira lévő pontokat. 4000 3000 Szórás = 0,9062 Átlag = 0,3983 N = 101 017 Tanulók száma 2000 1000 0 4 2 0 2 Képesség 3. ábra: A tanulók képességei standardizálás előtt Tanulók száma 4000 3000 2000 1000 Szórás = 200 Átlag = 1500 N = 101 017 0 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 Standard képességpontok 4. ábra: A tanulók képességei standardizálás után A képességpontok standardizálására az egyszerűbb összehasonlíthatóság kedvéért van szükség, hiszen többnyire a tanulók egyes csoportjainak egymáshoz, illetve a képességek átlagához viszonyított helyzetére vagyunk kíváncsiak, és ezek az összehasonlítások a standardizálás révén sokkal szemléletesebbé tehetők. Mivel a tanulók eloszlása a képességskálán rendszerint normális eloszlással jól közelíthető, elmondhatjuk, hogy körülbelül a tanulók fele az átlag alatt, fele az átlag felett található, és mintegy kétharmaduk van az átlag körüli, szórásnyi sugarú intervallumban. Tehát a standardizált képességskálán körülbelül a tanulók fele az országos átlag alatt és felett, kétharmada az országos átlag körüli, ±1 szórásnyi intervallumban helyezkedik el. Ezért például az 1500-as átlagú és 200-as szórású skála esetén, ha egy 6. évfolyamos tanuló 1520 pont körül teljesít, akkor kicsivel jobb képességű, mint egy átlagos 6. évfolyamos tanuló, ha pedig 1720 standard pontot ér el, akkor a 6. évfolyamos tanulók felső 20 százalékba tartozik. A 8. és 10. évfolyamos eredmények értelmezése valamivel bonyolultabb, hiszen ott figyelembe kell vennünk azt, hogy ezeken az évfolyamokon magasabb az átlageredmény, és kis mértékben a szórás is változik. 147

MATEMATIKA Az egyes területek itemei ugyanezen transzformáció segítségével szintén elhelyezhetők a skálán, így a tanulók és itemek közötti jól értelmezhető viszony is megmarad, az item megoldási valószínűségére felírt képletek érvényessége nem sérül. A 2008-as évfolyamfüggetlen skála kialakítása utáni évek mérési eredményeit az ország véletlenszerűen kiválasztott kb. 170-170 6., illetve 8. évfolyamos, továbbá kb. 140 10. évfolyamos osztályában felvett változatlan és titkos tartalmú Core-teszt segítségével ugyanerre a skálára mértük. Ezzel a módszerrel az eredmények nem csak egy mérés különböző évfolyamain, de az egymást követő méréseken keresztül is egyszerűen összehasonlíthatók. Így ugyanannak a populációnak a 6., a 8. és a 10. évfolyamos eredménye is összevethető, akár tanulói szinten is követhető a fejlődés mértéke. Az item nehézségi szintje A diákok standard pontjai mellett az eredmények elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott tanulói képességszintek. Az itemek nehézségi szintjei és a hozzájuk kapcsolódó képességszintek a képességek egyfajta hierarchiáját jelzik. Azok a tanulók, akik elérnek egy szintet, természetesen nem csupán az azon a szinten elvárható képességekkel rendelkeznek, hanem az alsóbb szintekhez tartozó képességeknek is a birtokában vannak. Így például az a tanuló, aki a harmadik szinten teljesít, értelemszerűen a második és az első szint követelményeinek is megfelel. Egy adott szinten lévő tanuló várhatóan a szinthez tartozó kérdéseknek legalább a felére helyes választ ad. Fontos megérteni, hogy a képességskála folytonos, nincsenek rajta természetes osztópontok. A képességszintek bevezetése csupán abban segít, hogy a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva meg tudjuk mondani, hogy legalább milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességskálán meghúzott határvonalak segítségével tehát meghatározható, hogy az egyes határvonalakat elért tanulók milyen képességekkel rendelkeznek. Mind a szövegértési képességük, mind a matematikai eszköztudásuk alapján hét képességszintbe soroltuk be a diákokat. 3 A tanulók képességszintekbe sorolása több lépésből állt. A feladatok nehézségének megállapítása és a megoldáshoz szükséges műveletek meghatározása után a feladatok nehézségi szintekre osztása következett. A feladatok nehézségskáláján (ami megegyezik a tanulók képességskálájával) hat határpontot határoztunk meg a feladatok követelményeit is figyelembe véve, és ezáltal az itemeket a kialakított hét szint valamelyikébe soroltuk. Az első és a hetedik szint csak egy oldalról határolt, a határpontokat tudatosan úgy határoztuk meg, hogy a többi szint intervalluma azonos hosszúságú legyen. Ezt követően egy-egy szint feladatainak megoldásához szükséges műveleteket összesítve és általánosítva meghatároztuk az adott szint követelményrendszerét. A tanulók képességszintjét azon elv alapján határoztuk meg, hogy egy adott szint (pl. a 2. szint) leggyengébb tanulója várhatóan 50 százalékos eredményt érjen el az adott szintű (pl. 2. szintű) azonos meredekségű, nehézségük szerint egyenletesen megoszló feladatokból összeállított teszten. Tehát a tanuló szintje az a legmagasabb szint, amely szint feladatainak legalább a felét megoldaná képessége alapján. Ez az elv használható a 2. szinttől a 6. szintig, de a két szélső szintnél nem, hiszen azoknál nem intervallum, hanem félegyenes tartalmazza a szint itemeit. Ezért ezekben az esetekben a tanulókra vonatkozó szint alsó határpontjának kiszámítása úgy történik, hogy a többi szint szélességét (például tanulók 2. szintjének alsó és felső határpontja közötti távolságot) mérjük fel a 2. szint alsó határától balra, illetve a 6. szint alsó határától jobbra, a képességskála ezen pontjai lettek a tanulók 1., illetve 7. szintjének alsó határpontjai. Ily módon a képességskálát végül 3 A szintek meghatározása a PISA 2000 vizsgálatban használt módszerrel történt. 148

8. ÉVFOLYAM 8 részre osztottuk, a hét szint mellett az 1. szinttől balra található még egy félegyenes, amely az 1. szint alatti tanulókat tartalmazza, ők a teszten elért eredményeik alapján még az 1. szint követelményeinek sem tettek eleget. Képességeikről, ismereteik természetéről nem kaphatunk átfogó képet, tudásuk megragadására a kompetenciamérésben használt tesztfeladatok nem alkalmasak. Az 5. és 6. ábra szemléletesebb képet ad a szintek kialakításának folyamatáról, bemutatva a szövegértés és a matematika teszt képességszintjeit. Segítségével az is jól látható, hogy a szinthatárok az itemek és a tanulók esetében nem egyeznek meg, ami a tanulókra vonatkozó követelményekből természetes módon adódik. ITEMEK SZINTJEI 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 1304 1440 1576 1712 1848 1984 7. szint DIÁKOK SZINTJEI 1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint 1236 1372 1508 1644 1780 1916 2052 Az 1. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. A 2. - 6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük. Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. 5. ábra: A szintkialakítás folyamata Az egyes kódok előfordulási aránya Az eredmények feldolgozásához a nyílt végű itemekre adott válaszokat a Javítókulcsban leírtaknak megfelelően kódoltuk, a feleletválasztós itemek esetében pedig az A, B, C, D és E válaszlehetőségeket rendre az 1, 2, 3, 4 és 5 kódokkal jelöltük. Nyomdahiba esetén x, nem egyértelmű válasz esetén 8-as, hiányzó válasz esetén pedig 9-es kódot alkalmaztunk. Az adott item lehetséges kódjainak megoszlását az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy ábrán szemléltetjük, amely azt mutatja, hogy a diákok hány százaléka kapta az adott kódot. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációja (angolul: point biserial correlation) az adott kód előfordulása és a képességpontok közötti korreláció. Értékének kiszámításához egy olyan indikátorváltozót képezünk, amelynek értéke 1 azoknak a diákoknak az esetében, akik az adott kódot kapták a vizsgált itemre, és egyébként 0, majd e változó és a diákok képességpontja közötti hagyományos Pearson-féle korreláció a keresett pontbiszeriális korreláció az adott item adott kódjára. 149

MATEMATIKA A korreláció a két változó közötti lineáris kapcsolat mutatója, értéke 1 és 1 közötti, negatív abban az esetben, ha a két változó ellentétes irányban mozog (az egyik változó nagyobb értékei a másik változó kisebb értékeivel járnak együtt), és pozitív abban az esetben, ha a két változó együtt mozog (az egyik változó nagyob b értékei a másik változó nagyobb értékeivel járnak együtt). A pontbiszeriális korreláció pozitív értéke azt mutatja tehát, hogy a jobb képességű diákok, negatív értéke pedig azt, hogy a gyengébb képességű diákok kapták inkább az adott kódot. Egy item akkor illeszkedik a teljes teszt által mérni kívánt mögöttes szövegértési vagy matematikai képességskálára, ha a jó válasz pontbiszeriális korrelációja pozitív (legalább 0,2), a rossz válaszok pontbiszeriális korrelációja pedig negatív. Ez jelenti azt ugyanis, hogy a jó eredményt elért diákok nagyobb valószínűséggel oldották meg a feladatot gyengébb eredményt elért társaiknál. Többpontos feladatok vonatkozásában akko r megfelelő az item viselkedése, ha a kisebb pontszámot érő kódok mellett a pontbiszeriális korreláció is kisebb értéket vesz fel. Például egy kétpontos item esetében ideális esetben a 2-es kód pontbiszeriális korrelációja nagyobb értéket vesz fel, mint az 1-es kód pontbiszeriális korrelációja, és a 0 pontot érő kódok pontbiszeriális korrelációi a legkisebbek. Az adott item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációját az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy-egy ábrán szemléltetjük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken A fenti jellemzőkön kívül táblázatos formában bemutatjuk minden egyes item esetén az item százalékos megoldottságát országosan, az egyes településtípusok esetében, valamint az egyes képességszintekhez tartozó diákok körében. A százalékos megoldottság mellett a becslés hibáját is feltüntettük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. 150

2. melléklet: Az itemek jellemzői

MATEMATIKA Azonosító feladatcím tartalmi terület Gondolkodási művelet MI26901 Építőkocka Az alábbi alakzatok közül melyik az, amelyiket BIZTOSAN NEM tud megépíteni... Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek MI29001 Tévéadás Ha a fenti képet látjuk az információs oldalon, hány perc van még hátra a filmből? Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek MI19701 Tornasor Melyik két tanuló közé álljon John a tornasorban? Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI23001 Póló Melyik alábbi táblázat tartalmazza helyesen a csapat számára megrendelendő pólók... Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció MI26501 Újság Ha elveszítjük a 4.oldalt tartalmazó lapot, mely oldalak fognak még hiányozni? Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI27501 Matekverseny 1. Hány pontot szerezett Dalma? Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI27502 Matekverseny 2. Hány HELYES választ adott Kristóf? Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI28201 Szemétégető Döntsd el, hogy megépülhet e a szemétégető vagy sem! Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Komplex megoldások és kommunikáció MI10702 Angol autó Váltsd át ezt az értéket a Magyarországon használatos mértékegységre (liter/100 km)! Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció MI27601 Valutaárfolyam 1. Melyik napon volt a legdrágább ez a valuta? Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek MI27602 Valutaárfolyam 2. Hány napon lehetett 212 Ft nál kevesebbet fizetni ezért a valutáért? Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek MI12401 Iskolarádió Hány PERCNYI anyagot kellett KIHAGYNI ehhez a riportanyagból? Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI03703 Papírméretek II. Az A6 os méretű lap területe hánysozorosa az A10 es lap területének? Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI34001 Verseny Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció MI31901 Jótékonyság Mennyi bevételt gyűjtöttek összesen a rendezvényen? Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció MI23501 Kártyavár 1. Legfeljebb hány szintes kártyavárat tud felépíteni Valér egy 52 lapos kártyacsomagból? Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI23502 Kártyavár 2. Milyen magas a Péter által épített kártyavár? Alakzatok síkban és térben Komplex megoldások és kommunikáció MI00602 Ivóvízfogyasztás Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció MI05701 Aktív szén Legalább hány kg szenet kell elhelyezni a levegőszűrőbe, ha azt 10 naponta szeretnék... Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció MI03901 Soproni tűztorony Igaza van e Dórinak? Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI10601 Túraútvonal 1. A táblázat adatai alapján döntsd el, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis... Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció MI10603 Túraútvonal 2. A táblázat és a diagram adatai alapján állapítsd meg, hogy az ábrán vastag vonallal... Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI00701 Teher Legfeljebb hány darab 50 kg os cementes zsákot lehet a teherautóra felrakni, hogy...? Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI01901 Homokóra Melyik műveletsorral számítható ki, hogy összesen hány gramm homokkal kell... Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI28501 Hangverseny A jegyek legalább hány százalékát kell értékesíteni, hogy? Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció MI99901 Óvoda Ha Anna néni és Berta néni az X ekkel jelölt helyen állnak, belátják e az egész udvart? Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI29401 Pénzbeváltás 1. Maximum hány forintot tud beváltani a postán, ha ott csak 50 es csomagokban... Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI04601 Cooper teszt A táblázat adatai alapján milyen a 15 éves Anna kondíciója, ha 3 iskolakört és... Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI30401 Autópálya I. Hány autós lépte túl ennél a mérési pontnál a legnagyobb megengedett sebességet... Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Tényismeret és rutinműveletek MI17801 Buszjegy Melyik ábra mutatja helyesen a vonaljegy elülső oldalát? Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek MI99501 Rovarpopuláció 1. Együttesen mely térrészekben számolták össze a legtöbb egyedet? Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Tényismeret és rutinműveletek MI99502 Rovarpopuláció 2. A teljes rovarpopuláció hány százalékát számolták össze 10 C hőmérsékleten? Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI33201 Utazás autóval Körülbelül mennyi idő múlva érkezik meg Viki Sopronba, ha a továbbra is... Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI18301 Indulás Legkésőbb hánykor kell elindulnia otthonról, ha pontosan szeretne érkezni a találkozóra? Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI24501 Könyváruház Melyik kördiagram ábrázolja helyesen a megrendelt példányok számának... Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI13602 Díszkő A díszkő mintázatának hányadrésze FEHÉR színű? Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI24901 Átlag Megkaphatja e az ötöst évvégén? Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Komplex megoldások és kommunikáció MI27301 Gyártósor 1. Hány perc alatt tölt meg a gép 100 palackot? Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek MI27302 Gyártósor 2. A palackozó géppel 1 óra alatt hány hatos csomagot tudnak előállítani? Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI32101 Előfizetés Hány százalékos kedvezményt nyújt a kiadó éves előfizetőinek a havi árhoz képest? Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció MI35801 Dobókocka Rajzold rá a kocka 2. elforgatás után látható oldalaira a hiányzó pontokat! Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI15801 Kerékpár 1. Hányszor fordul körbe a hátsó fogaskerék? Hozzárendelések és összefüggések Tényismeret és rutinműveletek MI15802 Kerékpár 2. Melyikkel halad a leggyorsabban a bicikli, ha ugyanolyan sebesen tekerjük a pedált? Hozzárendelések és összefüggések Modellalkotás, integráció MI26201 Oxigén 1. Körülbelül hány db 20 éves fa oxigéntermelése fedezi egy felnőtt ember átlagos... Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI26202 Oxigén 2. Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI19001 Poháralátét Hányszor hány cm es az a legkisebb területű parafa tábla, amely elegendő egy... Alakzatok síkban és térben Komplex megoldások és kommunikáció MI35501 Névtábla Hányféle különböző névtábla közül választhat Virág úr ennél a cégnél? Események statisztikai jellemzői és valószínűsége Modellalkotás, integráció MI06201 Karkötő 1. Hány gyöngyszemre van szüksége Dalmának az egyes színekből a karkötő... Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI06202 Karkötő 2. Legalább hány CSOMAGGAL vásároljon Dalma az egyes színekből, hogy a karkötőt... Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI02901 Kedvezmény Mekkora vételár felett jár jobban Tamás azzal, ha amásodik lehetőséget választja? Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció MI07901 Emeletes torta I. Döntsd el, hogy a következő méretű dobozok közül melyikben fér el a torta és... Alakzatok síkban és térben Modellalkotás, integráció MI21201 Szállás Mennyi a szállodai költség összesen a négytagú család számára, ha 3 éjszakát töltenek... Mennyiségek és műveletek Komplex megoldások és kommunikáció MI32001 Vércsoport Hány AB vércsoportú ember vett részt a vizsgálatban? Hozzárendelések és összefüggések Komplex megoldások és kommunikáció MI30801 Tankolás Hány liter gázolaj maradt a kamion tankjában amikor elérte úticélját, ha útközben nem... Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI10204 Kézilabda I. Melyik csapatnak volt a felsoroltak közül a legnagyobb abszolútértékű negatív... Mennyiségek és műveletek Tényismeret és rutinműveletek MI15601 Hajózási sebesség Hány km/óra sebességgel halad az a hajó, amelynek hajózási sebessége 18 csomó? Mennyiségek és műveletek Modellalkotás, integráció MI20701 Curling Hány pontot kapott a győztes csapat? Alakzatok síkban és térben Tényismeret és rutinműveletek 1. táblázat: Az itemek besorolása 152

8. ÉVFOLYAM Azonosító standard meredekség standard nehézség 1. lépésnehézség 2. lépésnehézség tippelési paraméter Becslés standard hiba Becslés standard hiba Becslés standard hiba Becslés standard hiba Becslés standard hiba százalékos megoldottság teljes populáció MI26901 0,0022 0,00008 1153 14,7 83,8 0,12 MI29001 0,0042 0,00022 1670 10,5 0,31 0,02 62,4 0,15 MI19701 0,0026 0,00009 1385 8,2 72,1 0,15 MI23001 0,0038 0,00009 1397 4,9 77,8 0,12 MI26501 0,0036 0,00010 1894 6,4 22,0 0,11 MI27501 0,0049 0,00012 1330 4,8 84,8 0,12 MI27502 0,0056 0,00023 1829 4,9 0,11 0,01 34,4 0,13 MI28201 0,0051 0,00015 1851 4,7 17,6 0,12 MI10702 0,0046 0,00014 1910 6,0 15,5 0,10 MI27601 0,0029 0,00014 1018 20,8 93,1 0,10 MI27602 0,0030 0,00011 1231 10,7 84,1 0,12 MI12401 0,0052 0,00014 1663 3,8 44,0 0,14 MI03703 0,0048 0,00051 1894 12,6 0,24 0,02 38,8 0,15 MI34001 0,0026 0,00008 1839 7,2 31,2 0,16 MI31901 0,0047 0,00020 1875 8,4 18,9 0,12 MI23501 0,0029 0,00019 1798 13,2 0,18 0,02 46,7 0,13 MI23502 0,0057 0,00021 2024 7,7 5,9 0,07 MI00602 0,0028 0,00008 1317 7,8 77,8 0,12 MI05701 0,0058 0,00023 1806 5,9 22,3 0,13 MI03901 0,0040 0,00011 1604 4,4 52,6 0,16 MI10601 0,0024 0,00027 2016 18,1 0,12 0,02 27,8 0,15 MI10603 0,0026 0,00009 1875 8,8 31,2 0,13 MI00701 0,0032 0,00014 1731 8,2 35,8 0,13 MI01901 38,7 0,16 MI28501 0,0024 0,00008 1965 10,6 244 16 244 20 13,6 0,11 MI99901 0,0029 0,00008 1908 7,9 25,5 0,16 MI29401 0,0034 0,00023 1916 10,0 0,19 0,01 36,1 0,16 MI04601 0,0013 0,00006 1417 12,5 63,8 0,15 MI30401 58,3 0,16 MI17801 0,0025 0,00008 1274 9,6 79,7 0,13 MI99501 0,0031 0,00016 1278 15,1 80,5 0,12 MI99502 0,0049 0,00039 1692 13,5 0,26 0,03 54,6 0,15 MI33201 0,0025 0,00005 1692 4,1 388 12 388 13 40,0 0,15 MI18301 0,0028 0,00008 1338 7,3 77,1 0,14 MI24501 0,0028 0,00010 1257 10,4 81,4 0,11 MI13602 0,0029 0,00009 1548 5,6 56,0 0,14 MI24901 0,0045 0,00013 1844 5,1 21,3 0,14 MI27301 0,0037 0,00011 1218 8,4 87,7 0,10 MI27302 0,0059 0,00030 1679 7,8 0,28 0,02 57,0 0,15 MI32101 0,0032 0,00006 1762 3,5 161 8 161 8 28,6 0,14 MI35801 0,0022 0,00003 1565 3,4 477 12 477 12 54,8 0,17 MI15801 0,0024 0,00007 1322 8,9 75,2 0,15 MI15802 0,0036 0,00021 1803 9,6 0,21 0,01 45,5 0,17 MI26201 0,0047 0,00012 1616 3,9 51,8 0,13 MI26202 0,0020 0,00009 1911 15,2 29,4 0,17 MI19001 0,0019 0,00013 2011 25,6 24,2 0,13 MI35501 0,0052 0,00043 1694 13,2 0,31 0,02 58,6 0,14 MI06201 0,0013 0,00004 1239 11,4 67 15 67 11 74,5 0,11 MI06202 0,0039 0,00011 1522 5,0 60,9 0,15 MI02901 0,0060 0,00014 1830 3,6 20,8 0,12 MI07901 0,0036 0,00009 1846 5,6 28,9 0,12 MI21201 0,0030 0,00005 1771 3,2 276 8 276 9 30,1 0,15 MI32001 0,0040 0,00018 1840 8,5 23,0 0,13 MI30801 0,0043 0,00012 1724 4,9 34,0 0,15 MI10204 0,0031 0,00031 1796 17,5 0,32 0,02 54,8 0,16 MI15601 33,6 0,17 MI20701 0,0019 0,00007 1402 8,7 67,8 0,16 2. táblázat: Az itemek statisztikai jellemzői % standard hiba 153

Az egyes kódok előfordulási aránya (%) Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód MI26901 5 3 7 84 0 1 MI29001 19 62 10 7 0 2 MI19701 4 5 72 18 0 1 MI23001 4 7 9 78 0 1 MI26501 52 4 22 21 MI27501 1 7 4 85 3 0 0 MI27502 45 34 3 13 2 0 1 MI28201 68 18 9 5 MI10702 46 0 16 38 MI27601 93 2 4 1 0 1 MI27602 9 84 4 2 0 1 MI12401 18 44 2 0 36 MI03703 24 22 39 12 0 2 MI34001 68 31 1 MI31901 16 19 6 59 MI23501 5 10 16 47 17 0 4 MI23502 21 6 19 55 MI00602 21 78 2 MI05701 18 22 60 MI03901 36 53 11 MI10601 67 28 6 MI10603 31 23 25 11 0 9 MI00701 12 3 33 0 52 MI01901 11 39 24 9 0 18 MI28501 20 8 10 62 MI99901 61 2 24 0 14 MI29401 36 34 10 5 0 15 MI04601 4 64 14 3 2 0 14 MI30401 2 6 16 58 4 0 14 MI17801 14 80 2 3 0 1 MI99501 8 9 80 1 0 1 MI99502 12 19 55 11 0 3 MI33201 31 7 36 26 MI18301 7 10 77 5 0 1 MI24501 81 13 4 2 0 1 MI13602 12 21 56 10 0 1 MI24901 63 21 4 12 MI27301 6 88 3 2 0 1 MI27302 6 24 57 9 0 3 MI32101 32 10 24 35 MI35801 32 6 52 10 MI15801 7 9 75 6 0 3 MI15802 15 18 46 18 0 4 MI26201 18 52 1 29 MI26202 68 29 3 MI19001 24 18 22 21 9 0 6 MI35501 21 59 9 9 0 3 MI06201 10 22 63 4 MI06202 25 59 2 14 MI02901 18 21 61 MI07901 65 29 7 MI21201 22 7 27 4 41 MI32001 17 20 9 3 51 MI30801 14 2 34 50 MI10204 7 55 7 20 0 11 MI15601 15 34 12 27 0 12 MI20701 3 68 13 5 0 11 3. táblázat: Az itemek lehetséges kódjainak megoszlása

8. ÉVFOLYAM Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód MI26901 0,12 0,17 0,16 0,29 0,04 0,09 MI29001 0,29 0,38 0,08 0,16 0,02 0,03 MI19701 0,19 0,26 0,38 0,18 0,03 0,07 MI23001 0,18 0,30 0,26 0,49 0,03 0,10 MI26501 0,09 0,06 0,42 0,34 MI27501 0,12 0,35 0,20 0,48 0,18 0,04 0,06 MI27502 0,15 0,44 0,10 0,32 0,05 0,00 0,03 MI28201 0,43 0,47 0,16 0,10 MI10702 0,04 0,01 0,44 0,37 MI27601 0,28 0,19 0,15 0,11 0,03 0,07 MI27602 0,23 0,35 0,19 0,13 0,03 0,08 MI12401 0,16 0,60 0,04 0,01 0,49 MI03703 0,19 0,10 0,30 0,04 0,02 0,08 MI34001 0,37 0,38 0,07 MI31901 0,00 0,47 0,01 0,37 MI23501 0,09 0,20 0,12 0,33 0,09 0,03 0,01 MI23502 0,08 0,34 0,10 0,31 MI00602 0,37 0,39 0,07 MI05701 0,06 0,54 0,41 MI03901 0,47 0,52 0,11 MI10601 0,22 0,27 0,06 MI10603 0,38 0,10 0,22 0,11 0,03 0,01 MI00701 0,14 0,05 0,47 0,01 0,36 MI01901 0,07 0,14 0,07 0,07 0,02 0,01 MI28501 0,01 0,25 0,36 0,37 MI99901 0,32 0,07 0,36 0,01 0,02 MI29401 0,30 0,19 0,14 0,10 0,02 0,03 MI04601 0,16 0,25 0,19 0,12 0,10 0,04 0,03 MI30401 0,12 0,14 0,10 0,23 0,18 0,02 0,03 MI17801 0,27 0,34 0,12 0,10 0,03 0,08 MI99501 0,19 0,27 0,39 0,14 0,02 0,09 MI99502 0,26 0,25 0,44 0,08 0,02 0,08 MI33201 0,18 0,11 0,52 0,45 MI18301 0,26 0,23 0,42 0,15 0,03 0,09 MI24501 0,38 0,26 0,16 0,19 0,04 0,09 MI13602 0,22 0,31 0,48 0,12 0,02 0,06 MI24901 0,42 0,47 0,16 0,06 MI27301 0,24 0,40 0,22 0,18 0,03 0,07 MI27302 0,19 0,28 0,46 0,17 0,02 0,06 MI32101 0,12 0,20 0,51 0,47 MI35801 0,38 0,03 0,54 0,29 MI15801 0,10 0,24 0,36 0,20 0,03 0,07 MI15802 0,19 0,10 0,33 0,12 0,02 0,07 MI26201 0,16 0,57 0,00 0,49 MI26202 0,25 0,29 0,10 MI19001 0,31 0,00 0,06 0,10 0,17 0,03 0,05 MI35501 0,29 0,43 0,18 0,10 0,02 0,10 MI06201 0,29 0,06 0,31 0,19 MI06202 0,34 0,53 0,01 0,33 MI02901 0,02 0,54 0,44 MI07901 0,39 0,46 0,09 MI21201 0,14 0,15 0,54 0,04 0,46 MI32001 0,04 0,45 0,09 0,07 0,37 MI30801 0,14 0,01 0,53 0,42 MI10204 0,13 0,28 0,15 0,13 0,01 0,04 MI15601 0,11 0,18 0,13 0,02 0,02 0,04 MI20701 0,11 0,31 0,25 0,14 0,03 0,03 4. táblázat: Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja 155