Szerzők Lak Ágnes Rozina, Palincsár Ildikó, Szabó Lívia Dóra, Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit, Takácskné Kárász Judit

Átírás

1 2016

2 Szerzők Lak Ágnes Rozina, Palincsár Ildikó, Szabó Lívia Dóra, Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit, Takácskné Kárász Judit

3 Országos kompetenciamérés 2016 Feladatok és jellemzőik matematika 8. évfolyam Oktatási Hivatal Budapest, 2017

4

5 8. ÉVFOLYAM A KOMPETENCIAMÉRÉSEKRŐL 2016 májusában immár tizennegyedik alkalommal került sor az Országos kompetenciamérésre, amelyen minden 6., 8. és 10. évfolyamos tanuló részt vett, és amelynek célja a diákok szövegértési képességeinek és matematikai eszköztudásának a feltérképezése. A kompetenciamérés eredményeiről minden telephely, iskola és fenntartó jelentést kap, amelynek segítségével elhelyezheti magát az országos képességskálán, és összehasonlíthatja eredményeit a hozzá hasonló telephelyeken, iskolákban és fenntartónál tanuló diákok eredményeivel. Emellett az iskolák egyéni elemzéseket is készíthetnek, ennek segítségével kérdésenként is elemezhetik az eredményeket. Az Országos kompetenciamérés 2016 Feladatok és jellemzőik kötetek célja Az a szándékunk, hogy az iskola eredményeit bemutató grafikonok mellett a lehető legteljesebb mértékben megismertessük a tanárokat, intézményvezetőket és oktatáspolitikusokat a mérésben rejlő lehetőségekkel, és az eredmények helyes interpretálásához minél alaposabb segítséget biztosítsunk. E célt szolgálja a kompetencia mérés 2014-ben megjelent Tartalmi kerete, 1 valamint az Országos kompetenciamérés 2016 fenn tartói, iskolai és telephelyi jelentései, amelyek megtekinthetők a illetve a honlapon. A feladatokat bemutató kötetek célja az, hogy megismertessék a tanárokat az egyes feladatok mérési céljaival és statisztikai paramétereivel. A diákok feladatonkénti eredményeit elemezve a tanárok képet kaphatnak arról, hogy diákjaik milyen problémákkal, hiányosságokkal küzdenek, melyek azok a területek, amelyekre nagyobb figyelmet kell fordítaniuk a jövőben, és milyen fejlesztési feladatokkal kell megbirkózniuk. A feladatokat tartalmazó kötetek az országos eredmények bemutatásával mindehhez keretet és viszonyítási pontokat nyújtanak. A kötetből kiderül, hogy mely feladatok okozták a legtöbb gondot a diákoknak, melyek esetében választottak sokan valamilyen tipikusan rossz választ, és melyek nem okoztak problémát a diákok többségének. A kötet felépítése Ez a kötet a évi Országos kompetenciamérés 8. évfolyamos tesztfüzetének matematikafeladatait (itemeit) tartalmazza. Az itemek olyan sorrendben találhatók a kötetben, ahogyan az A) tesztfüzetben szerepeltek. A kötet végén található 3. mellékletben táblázatos formában is feltüntettük az itemek jellemzőit. A kötetben minden egyes itemről a következő információk szerepelnek: A kérdés (item), ahogyan a tesztfüzetben szerepelt. Az item javítókulcsa. A kérdés besorolása: az item besorolása a Tartalmi keretben rögzített csoportosítási szempontok alapján: tartalmi terület, gondolkodási művelet, illetve ezeken belül az alkategória sorszáma 2 ; kulcsszavak: az itemet jellemző matematikai fogalmak A feladat leírása: rövid leírás arról, milyen matematikai műveleteket kell a tanulónak elvégeznie az item helyes megválaszolásához. 1 Balázsi Ildikó Balkányi Péter Ostorics László Palincsár Ildikó Rábainé Szabó Annamária Szepesi Ildikó, Szipőcsné Krolopp Judit Vadász Csaba: Az Országos kompetenciamérés tartalmi keretei. Szövegértés, matematika, háttérkérdőívek. Oktatási Hivatal, Budapest, Elérhető: meresek/orszmer2014/azokmtartalmikeretei.pdf. 2 Az alkategóriák pontos megnevezése és részletesebb leírása a 2. mellékletben olvasható. 3

6 MATEMATIKA Az item statisztikai jellemzői: 3 az item tesztelméleti paraméterei (a kérdés nehézsége és meredeksége, valamint kétpontos item esetén a lépésnehézségek); feleletválasztásos feladatok tippelési paramétere (bizonyos feladatoknál); az item nehézségi szintje; a lehetséges kódok és az egyes kódokra adott pontszámok; az egyes kódok előfordulási aránya; az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja; az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken. Képességszintek a 8. évfolyamos matematikateszt esetében Az adatok elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott képességszintek. Ezek segítségével a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva képet tudunk adni arról, hogy milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességszintek kialakításának statisztikai hátterét az 1. melléklet mutatja be. Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű és/vagy többszörösen összetett szituációban megjelenő, önálló megoldási stratégiát igénylő, gyakran többlépéses feladatok megoldása összetett problémák vizsgálatából és modellezéséből nyert információk értelmezése, általánosítása és alkalmazása különböző információforrások és reprezentációk összekapcsolása és egymásnak való megfeleltetése fejlett matematikai gondolkodás és érvelés a szimbolikus és formális matematikai műveletek és kapcsolatok magas színvonalú alkalmazásával újszerű problémaszituációk megoldása új megoldási módok és stratégiák megalkotása műveleti lépések, az eredmények és azok értelmezésével kapcsolatos gondolatok pontos megfogalmazása az eredményeknek az eredeti probléma szempontjából való vizsgálata, értelmezése újszerű, komolyabb értelmezést igénylő szövegkörnyezetben megjelenő, önálló stratégiával megoldható többlépéses feladatok megoldása modellalkotás összetett problémaszituációra, a modell alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása, majd annak helyes alkalmazása modellekhez kapcsolódó összetett problémák lehetséges megoldási módjainak kiválasztása, összehasonlítása és értékelése a kiválasztott megoldási stratégia és matematikai módszer értékelése, az elvégzett lépések végrehajtása széles körű és jó színvonalú gondolkodási és érvelési képességek, készségek különböző adatmegjelenítések, szimbolikus és formális leírások és probléma megjelenítések nagy biztonsággal való értelmezése és kezelése 3 A statisztikai jellemzők képzési szabályait az 1. melléklet ismerteti. 4

7 8. ÉVFOLYAM Képességszint A képességszint alsó határa A szintet elérő tanulók képességei újszerű szituációban megjelenő többlépéses, önálló stratégia kidolgozását igénylő, különböző módon megjelenített összefüggéseket tartalmazó feladatok megoldása problémákhoz egyszerű modell önálló megalkotása, majd annak helyes alkalmazása rugalmas érvelés és reflektálás az elvégzett lépésekre értelmezés és gondolatmenet megalkotása és megfogalmazása összetettebb vagy kevésbé ismerős, újszerű szituációjú, több lépéses feladatok megoldása konkrét problémaszituációkat egyértelműen leíró modellek hatékony alkalmazása, a modellek alkalmazhatósági feltételeinek meghatározása különböző, akár szimbolikus adatmegjelenítések kiválasztása és egyesítése, azok közvetlen összekapcsolása a valóságos szituációk különböző aspektusaival értelmezés és gondolatmenet röviden leírása ismerős kontextusban megjelenő egy-két lépéses problémák megoldása egyértelműen leírt matematikai eljárások elvégzése, amelyek szekvenciális döntési pontokat is magukban foglalhatnak egyszerű problémamegoldási stratégiák kiválasztása és alkalmazása különböző információforrásokon alapuló adatmegjelenítések értelmezése és alkalmazása, majd ezek alapján érvek megalkotása a legalapvetőbb, közismert matematikai fogalmak és eljárások ismerete a kontextus alapján közvetlenül megérthető problémaszituációk értelmezése egyetlen információforrásból a szükséges információk megszerzése egyszerű vagy szimplán matematikai kontextusban megjelenő, jól körülírt, egylépéses problémák megoldása egyszerű, jól begyakorolt algoritmusok, képletek, eljárások és megoldási technikák alkalmazása egyszerűen érvelés és az eredmények szó szerint értelmezése ismerős, főként matematikai szituációban, gyakran kontextus nélküli helyzetben feltett matematikai kérdések megválaszolása egyértelmű, jól körülírt és minden szükséges információt tartalmazó feladatok megoldása közvetlen utasításokat követve rutinszerű eljárások végrehajtása a feladat kontextusából nyilvánvalóan következő lépések végrehajtása 5

8 MATEMATIKA A 8. évfolyamos matematikateszt általános jellemzése A teszt általános jellemzői A felmérés tesztfüzeteit a Tartalmi keretben megfogalmazott szempontok szerint állítottuk össze. A felmérést minden 6., 8. és 10. évfolyamos diák megírta, majd 8. évfolyamon a központi elemzés elkészítéséhez minden intézmény minden tanulójától összegyűjtöttük a kitöltött tesztfüzeteket. Az 1. táblázat azt ismerteti, hogy a tesztfüzetben milyen arányban szerepelnek a tartalmi keretben definiált gondolkodási műveletekhez és tartalmi területekhez tartozó feladatok. A 2. táblázat a teszt értékelése során kapott néhány alapvető jellemzőjét mutatja be (a 2. táblázatban az értékelés során törölt feladatok nem jelennek meg). Tartalmi területek Gondolkodási műveletek Mennyiségek, számok, műveletek Hozzárendelések, összefüggések Alakzatok, tájékozódás Statisztikai jellemzők, valószínűség Tényismeret és egyszerű műveletek Alkalmazás, integráció Komplex megoldások és értékelés Tartalmi terület összesen Műveletcsoport összesen táblázat: A feladatok megoszlása a gondolkodási műveletek és tartalmi területek szerint a 8. évfolyamos matematikatesztben Az értékelésbe vont itemek száma 57 A központi elemzésbe bevont kitöltött tesztfüzettel rendelkező tanulók száma Cronbach-alfa 0,906 Országos átlag (standard hiba) 1596,642 (0,558) Országos szórás (standard hiba) 196,564 (0,408) 2. táblázat: A 8. évfolyamos matematikateszt néhány jellemzője 6

9 A feladatok megoszlása a képességskálán 8. ÉVFOLYAM Az 1. ábra az itemek és a diákok megoszlását mutatja a képességskálán. Az ábrán a feladatok nehézségi szintjeit és a diákok képességszintjeit is feltüntettük. Láthatjuk, hogy a mérésben könnyű és nehéz feladatok egyaránt találhatók, az itemekkel igyekeztünk minél szélesebb tartományban lefedni a képességskálát. Ily módon a kiemelkedően tehetséges és a gyenge diákokat is megbízhatóbban tudjuk elhelyezni a képességskálán. Standardizált képességpont MM17301 MM33102 MM MM12802 MM15902 MM05603 MM09101 MM19601 MM16102 MM21101 MM01401 MM23101 MM05402 MM11803 MM17401 MM01601 MM25001 MM17701 MM21203 MM06003 MM19702 MM10701 MM24202 MM21201 MM21802 MM15702 MM14201 MM15402 MM05602 MM05403 MM MM33601 MM05401 MM MM06601 MM15901 MM06002 MM27601 MM19203 MM18101 MM29401 MM19901 MM03101 MM12301 MM06401 MM31701 MM23601 MM09501 MM00102 MM27001 MM22701 MM12801 MM05701 MM21701 MM21801 MM12702 MM Adott nehézségű feladatok Adott képességpontot elért diákok száma 1. ábra: Az itemek és diákok megoszlása a képességskálán, 8. évfolyam, matematika 7

10 MATEMATIKA 8

11 8. ÉVFOLYAM A FELADATOK ISMERTETÉSE 9

12 MATEMATIKA 64/93. FELADAT: NÉZŐTÉR MM27001 Marci egy színházlátogatás során a következő záróképet látta az előadás végén. MM27001 A nézőteret ábrázoló képek közül válaszd ki azt, amelyik helyesen mutatja, hol ülhetett Marci az előadás alatt? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D Nézőtér MM27001 A nézőteret ábrázoló képek közül válaszd ki azt, amelyik helyesen mutatja, hol ülhetett Marci az előadás alatt? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 10

13 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Tájékozódás, irányok A feladat leírása: A tanulónak egy felülnézeti ábrán kell megtalálni azt a pontot, amelyből az adott kép látható. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00011 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,36-0,21-0,19-0,11-0,05-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 88,3 0,12 1. szint alatt 25,5 1,10 Főváros 93,3 0,23 1. szint 53,8 0,79 Megyeszékhely 91,7 0,21 2. szint 77,2 0,46 Város 87,9 0,17 3. szint 89,5 0,21 Község 83,1 0,25 4. szint 94,8 0,16 5. szint 96,9 0,15 6. szint 97,8 0,19 7. szint 98,8 0,29 11

14 MATEMATIKA 65/94. FELADAT: VIDEÓ MEGÁLLÍTÁSA MM06601 Kinga egy 7 perc 32 másodperc hosszú videót néz éppen, amikor csörög a telefonja, ezért leállítja a lejátszást. A következő ábrán a fekete szakasz az addig lejátszott rész hosszát, a szürke szakasz a videóból hátralévő rész hosszát mutatja. Körülbelül mennyi idő VAN MÉG HÁTRA a videóból? A feladat megoldásához használhatsz vonalzót! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E fél perc 2 és fél perc 3 és fél perc 5 perc 7 perc JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 12

15 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Méretarány nem 1-hez viszonyítva A feladat leírása: Egy szakasz egy intervallumának a szakasz teljes hosszához viszonyított arányát kell meghatározni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0017 0,00008 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,24-0,10-0,15-0,06-0,01-0,05-0,14 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 62,7 0,16 1. szint alatt 27,8 1,06 Főváros 66,4 0,34 1. szint 37,2 0,68 Megyeszékhely 65,8 0,36 2. szint 47,9 0,54 Város 62,1 0,22 3. szint 59,6 0,33 Község 58,6 0,37 4. szint 67,8 0,29 5. szint 73,3 0,38 6. szint 76,0 0,52 7. szint 81,4 0,93 13

16 MATEMATIKA 66/95. FELADAT: DOLGOZAT I. MM00102 A következő diagram azt mutatja, hogyan oszlanak meg egy dolgozat érdemjegyei a fiúk és a lányok között egy 30 fős osztályban. Érdemjegy 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös Fiúk (fő) 0 Lányok (fő) Melyik kördiagram mutatja helyesen a dolgozatra kapott érdemjegyek megoszlását az osztályban? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 14

17 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Statisztikai adatok megfeleltetése A feladat leírása: A tanulónak egy összetett sávdiagramot kell megfeleltetnie adott kördiagramok valamelyikének. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0021 0,00010 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,33-0,03-0,15-0,14-0,11-0,22 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 75,5 0,14 1. szint alatt 24,3 1,09 Főváros 80,6 0,33 1. szint 42,8 0,70 Megyeszékhely 79,0 0,29 2. szint 59,3 0,47 Város 74,7 0,24 3. szint 72,2 0,31 Község 70,9 0,30 4. szint 81,8 0,23 5. szint 88,1 0,28 6. szint 92,5 0,31 7. szint 96,7 0,43 15

18 MATEMATIKA 67/96. FELADAT: MINTA MM01401 Gábor úgy állította be a nyomtatóját, hogy minden egyes lap hátoldalának bal felső sarkába nyomtasson egy mintát, ezt mutatja a következő ábra. minta 2. oldal Ehhez a lapot az alábbi ábrán látható helyzetben kell behelyeznie a nyomtatóba. 1. oldal Hogyan helyezze a lapot a nyomtatóba, ha az 1. oldal JOBB ALSÓ sarkába szeretné nyomtatni a mintát? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D 2. oldal 1. oldal 1. oldal 2. oldal JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 16

19 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.3) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Térbeli transzformáció, elforgatás A feladat leírása: A tanulónak egy térbeli elforgatások eredményeként kapott pont eredeti helyzetét kell meghatároznia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0018 0,00007 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,28-0,03-0,08-0,09-0,15-0,20 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 34,7 0,13 1. szint alatt 8,1 0,57 Főváros 39,9 0,40 1. szint 15,2 0,53 Megyeszékhely 38,4 0,35 2. szint 19,7 0,37 Város 33,1 0,21 3. szint 27,4 0,33 Község 31,0 0,26 4. szint 36,1 0,29 5. szint 47,3 0,35 6. szint 58,3 0,66 7. szint 73,7 1,10 17

20 MATEMATIKA 68/97. FELADAT: INGATLAN MM05602 Virág úr lakást szeretne vásárolni. A következő két hirdetés keltette fel a figyelmét: Angyal tér 45 m zed Bokros út 50 m zed Melyik lakás 1 m 2 -e kerül kevesebbe? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! Válaszodat számítással indokold! A B Az Angyal téri. A Bokros úti. C Ugyanannyiba kerül 1 m 2. Indoklás: 18

21 JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 8. ÉVFOLYAM A tanuló A Bokros úti válaszlehetőséget jelölte meg, és indoklásában legalább az egyik négyzetméterárra vagy a két ár különbségére hivatkozik. A forintnál alkalmazott 5-re vagy 0-ra való kerekítéseket a zednél is elfogadjuk, ezért a Bokros útnál az 1425, Angyal térnél az 1470 zedes értékek is elfogadhatók (számolás nélkül is). Ha a tanuló felírta a helyes műveletsort, de a számítást elhibázta (számítási, nem módszertani hibát vét), és a saját eredménye alapján helyesen dönt, válasza elfogadható. Ha mindkét négyzetméterárat megadta, akkor mindkettőnek helyesnek kell lennie (vagy mindkettőnek helyes művelettel kell kijönnie). Ha a tanuló csak az egyik értékhez tartozó helyes műveletsort írta fel, de a számítást elhibázta, akkor feltételezzük, hogy ezt a másik ingatlan helyes értékével hasonlította össze, tehát a döntésnek az elszámolt érték alapján helyesnek kell lennie. Ha a tanuló nem az 1 négyzetméterre vonatkozó árakat hasonlította össze, akkor pontosan ki kell derülnie, hogy a tanuló milyen egységre vonatkozó adatokat hasonlított össze. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló azt hasonlítja össze, hogy 1 zedért mekkora terület vásárolható ÉS mindkét ingatlanra vonatkozóan jó műveletek szerepelnek vagy ezek eredménye alapján jól dönt (a nagyobb értéket választja). Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a négyzetméterárakat vizsgálja, de nem jelölte meg egyik válaszlehetőséget sem, de indoklása a kódnak megfelelő: ilyenkor mind a két eredménynek és/vagy mindkét műveletnek látszania kell. Számítás: : 45 = 1471 zed/m : 50 = 1424 zed/m 2 A Bokros úti. Tanulói példaválasz(ok): A Bokros úti < 1471 A Bokros úti. Angyal téri: 1471 zed A Bokros úti. 47 zed-del olcsóbb egy négyzetmétere A Bokros úti. 45 m m 2 x x = : = ,5 > a Bokros úti az olcsóbb. A Bokros úti. 45 m 2 = zed 50 m 2 = zed 1 m 2 = 1471,1 zed > 1 m 2 = 1424 zed A Bokros úti >

22 MATEMATIKA A Bokros úti A: 45 m / : 45 egyenes arányosság B: 50 m / : 50 1 m , A Bokros úti > 9 9 [A 9-es nevezőjű törtek értéke megegegyezik az eredeti törtek értékével.] : 45 = 1,4 zed : 50 = 1,4 zed = ugyanannyiba kerül [Látszanak a helyes műveletek, számolási hiba, az eredmény alapján helyesen dönt.] A Bokros úti. 45 : = 0, : = 0, [Azt számolja ki, hogy 1 zedért melyik lakásból kap több m 2 -t, a döntés helyes.] A Bokros úti. Mert az Angyal téri 1 m 2 -e 1470 zed, és a Bokros úti 1 m 2 -e 1425 zed [5-re kerekített, a valóságban is így kerekítik a fizetnivalót.] Ugyanannyiba kerül 1 m : 45 = 1, : 50 = 1,4 Mert az Angyal tér igaz, hogy kevesebbe került, de elosztva m 2 -enként ugyanaz az ár jön ki. [Jó műveletek, számolási hiba, az eredmények alapján jó döntés.] A Bokros úti. A ban a 45 megvan 1471-szer az = mint 1471 zedbe kerül 1 m 2 A ben az 50 megvan 1424-szer, az = mint 1424 zedbe kerül 1 m 2 [Szövegesen leírt helyes műveletek, jó eredmény, jó döntés.] A Bokros úti. Angyal tér 45 m zed : 45 1 m 2 147,1 Bokros út 50 m zed : 50 1 m 2 142,4 [Látszanak a helyes műveletek, számolási hiba, az eredmények alapján helyes döntés.] A Bokros úti. Mert az Angyal téri 5 m 2 -rel nagyobb lenne, akkor zedbe kerülne, a Bokros úti pedig 5 m 2 -rel nagyobb, és csak zed. Virág úrnak a Bokros úti a jó választás. [A : műveletsorral számol.] A Bokros úti : 45 = 1471 zed 1 m : 50 = 1424 zed 1 m 2 [Nincs döntés, de az indoklás helyes.] A Bokros úti : 50 = zed/1 m 2 [Az egyik lakásnál helyes a művelet, de elszámolta. A másik ingatlanra vonatkozóan nem írta le számításait, feltételezzük, hogy ott helyes eredményt kapott. Így döntése helyes.] A Bokros úti. Mert ha elosztod a zedet a m 2 -el, akkor kapod meg 1 m 2 -nek az árát. [Jó műveletekre hivatkozik, a művelet megfogalmazása is pontos.] 20

23 8. ÉVFOLYAM Az Angyal téri. Bokros: : 45 = 1471 zed/m 2 Angyal: : 50 = 1424 zed/m 2 [A tanuló már az adatok kiírásánál felcserélte az adatokat, ez alapján jó a döntése.] A Bokros úti. Bokros út 1 m 2 = 1424 zed Ha a Bokros úti ház csak 45 m 2 lenne zedbe kerülne > [A 45 m 2 -re vonatkozó árakat hasonlította össze.] A Bokros úti. Mert a Bokros úti 1,424 zed, az Angyal téri meg 1,471 zed 1 m 2 [Mindkét értéknél a vessző ezres tagolónak tekinthető.] A Bokros úti. 45 : 50 = 0, : = 0,929 [A megfelelő arányokat írta fel és jól döntött.] Az Angyal téri : 45 = : 50 = 1424 Az Angyal téri drágább négyzetméterenként. [Jó számítások, és a szöveges válasz alapján kiderül, hogy tudja, hogy melyik a drágább és ezt satírozta be.] A Bokros úti. 1 = 0, : 0,0222= = 0, : 0,02 = : 45 = : 50 = [Felírta a megfelelő műveleteket, nem döntött. Minimálválasz.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló megjelölte a helyes válasz lehetőséget, de nem indokolt. Tanulói példaválasz(ok): A Bokros úti = = [Osztás helyett szorzott.] A Bokros úti zed 45 m zed 50 m 2 Ugyanannyi 5 m 2 -rel több és 5000 zeddel drágább. 45 m m m m [Hibás eredmény, művelet nem látszik.] 21

24 MATEMATIKA Az Angyal téri. 45 m Angyal téri: 2 = 0,00068 (ennyi egy m ára) Bokros úti: 50 = 0, [Fordítva osztott, az eredmény alapján rossz a döntés.] A Bokros úti. [Jó döntés, indoklás hiányzik.] A Bokros úti. a: : 100 = 662 : 45 = 14,7111 zed b: : 100 = 712 : 50 = 14,24 zed [Nem derül ki a válaszból, hogy milyen egységre vonatkozóan hasonlította össze az árakat.] A Bokros úti. A: % B: % 45 m 2 x 50 m 2 x : = 14,7 zed = 1 m : = 14,24 [A százalékszámítás ebben a formában rossz gondoaltmenetre utal. Továbbá nem a felírt művelet eredményét számolta ki, hanem annak reciprokát. Az általa kiszámolt számértéket nem is vártuk a tanulóktól.] A Bokros úti : 45 = 1,421 zed : 50 = 1424 zed [Rossz a döntés, az első értéknél a vessző nem lehet ezres tagoló, mert a másodiknál már nem használta. Tehát az első értéknél az tizedesvessző, ez alapján rossz a döntés.] A Bokros úti. A: 45 m 2 = z 45 : = 1 m 2 = 0, , B: 50 m 2 = z 50 : = 1 m 2 = 0, = 0, [Rossz az 1 nm-re vonatkozó ár.] Az Angyal téri / 50 = / 45 = 1471,1 [Rossz a döntés.] Lásd még: X és 9-es kód. 22

25 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva A feladat leírása: Megadott adatok felhasználásával arányszámítást kell elvégezni nem 1-hez viszonyítva és a két értéket összehasonlítani. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0045 0,00010 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,29-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,1 0,15 1. szint alatt 0,9 0,22 Főváros 62,1 0,40 1. szint 4,9 0,30 Megyeszékhely 61,8 0,39 2. szint 16,4 0,35 Város 52,1 0,23 3. szint 39,7 0,35 Község 46,1 0,34 4. szint 66,6 0,30 5. szint 82,7 0,30 6. szint 90,1 0,42 7. szint 94,3 0,57 23

26 MATEMATIKA 69/98. FELADAT: INGATLAN MM05603 Egy ingatlanügynök az eladott lakások után a kifizetett ár 2%-át kapja jutalékként, ennek a 40%-át be kell fizetnie adó formájában. Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább havi 1800 zedje maradjon az adó befizetése után? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!... zed 24

27 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. 2-es kód: zed. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 60% % x x = 1800 : 0,6 = % % y y = 3000 : 0,02 = Tanulói példaválasz(ok): 1800 : 0,6 : 0,02 = : 0,012 = x 0,02 0,6 = ,012 x = 1800 x = % = : 0,02 = = 60% 3000 = 2% 30 = 1% 1500 = 1% 3000 = 100% = 100% zed 2% = 200 zed 200 zed 40% = 120 zed marad Válasz: [Adott értékre számolta ki, abból számolta a szükségest.] 0,02 x 0,02 x 0,4 = 1800 zed 0,012 = 1800 zed x = zed 1800 : 0,6 50 = x = x x = x = x 83,3 x: eladott lakások után kifizetett ár x 83,3 = 1800 x = [A 2% 60%-át helyesen azonosította 1800-zal. A 0,02 0,6 = 0,012-vel, mint 1/83,33333-mal számolt. A végtelen tizedesjegyek elhagyása miatt kicsit pontatlan a kapott érték.] 25

28 MATEMATIKA 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló 40% levonás helyett 40% megmaradó összeggel számolt, de gondolatmenete ettől eltekintve helyes, ezért válasza Tanulói példaválasz(ok): x 0,02 0,4 = ,008 x = 1800 x = = (x 0,02) 0,4 / : 0, = x 0,02 / : 0, = x % 100% = 100% = % 4500 = 20% % 2250 = 10% Maximum zed értékben kell házakat eladnia : 0,02 = ,4 = [Számolás nélkül is elfogadható a kódnak megfelelő érték.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): % = (1800 0,4) = = 0,02 x /. 0,02 x = zed 1800 : 4 = : 2 = zedért kell eladnia ,4 = ,02 = % + 2% = 42% ,42 = 2556 zed 60% = 1800 zed 100% = x x = : 60 = 3000 [Nem vette figyelembe a 2%-ot.] x 0,02 (x 0,02) 0,6 = ,6 x 0,012 = ,0072 x = 1800 /: 0,0072 x = Ell.: ,02 = ,6 = 3 [Módszertani hiba, a tanuló rosszul bontotta fel a zárójelet.] Lásd még: X és 9-es kód. 26

29 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.3.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Százalékalap kiszámítása, egyenlet A feladat leírása: A tanulónak százalékos kifejezést tartalmazó egyenletet kell felállítania és megoldania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0059 0,00020 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,17 0,02-0,37 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 12,0 0,10 1. szint alatt 0,1 0,05 Főváros 19,3 0,30 1. szint 0,4 0,09 Megyeszékhely 15,3 0,26 2. szint 0,6 0,07 Város 10,2 0,15 3. szint 1,8 0,09 Község 7,7 0,17 4. szint 6,1 0,16 5. szint 22,0 0,34 6. szint 52,5 0,61 7. szint 84,1 0,87 27

30 MATEMATIKA 70/99. FELADAT: JÓTÉKONYSÁGI VÁSÁR MM05701 Zalán, Máté és Áron idén is részt vett az iskolájuk által szervezett jótékonysági vásáron, ahol mind a hárman otthon készített süteményt árultak. A következő táblázat a sütemények árát és az eladásukból származó összeget tartalmazza. Hány darab süteményt adtak el a fiúk külön-külön? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! Zalán:....db kókuszgolyót adott el. Máté:...db pogácsát adott el. Áron:...db islert adott el. 28

31 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megj.: Ha a tanuló felcserélte az osztandót és az osztót, akkor a válaszok csak akkor fogadhatók el, ha az eredményből látható, hogy valójában a helyesen felírt műveletnek megfelelő HELYES eredményt kapta. 1-es kód: Zalán: 30, Máté: 45, Áron: 20 Mindhárom érték helyes. A helyes értékek látható számítások nélkül is el fogadhatók. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ebben az esetben mindegy, hogy az elszámolt értéket a tanuló lefelé vagy felfelé kerekítette. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló mindhárom helyes értéket megadta, de nem a megfelelő névhez írta be azokat. Számítás: Zalán: 4500 : 150 = 30 Máté: 4500 : 100 = 45 Áron: 5000 : 250 = 20 Tanulói példaválasz(ok): = = = 5000 [A tanuló ugyan szorzást írt fel, de egyértelműen láthatóak a helyes 30, 45, 20 értékek. Ha nem a helyes értékek lennének ott, akkor a jó osztás műveletnek kellene látszódnia.] Zalán: 45 Máté: 30 Áron: 20 [Az értékek helyesek, de Zalán és Máté esetében felcserélte az értékeket.] Zalán: 4500 : 150 = 900 Máté: 4500 : 100 = 800 Áron: 500 : 250 = 1500 [Jók a műveletek, számolási hiba.] Zalán: 150 : 4500 = 30 Máté: 100 : 4500 = 45 Áron: 250 : 500 = 20 [Fordított osztásműveletek, de az eredményből az derül ki, hogy valójában helyesen végezte el az osztást.] Zalán: 4500 : 150 = 30 Máté: 4500 : 100 = 5 Áron: 5000 : 250 = [Jók a műveletek, Áronnál a végeredmény hiányzik.] 29

32 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): = = = Z: = 30 M: = 45 Á: = 18 [Rossz adattal számolt.] Z: 30 M: 45 Á: 50 [Az Áronhoz megadott érték rossz és a helyes művelet sem látható az elszámolt értéknél.] Z: 4350 M: 4400 Á: 2750 Z: : 2 = 2325 M: : 2 = 2300 Á: : 2 = 2500 Zalán: 150 : 4500 = 30 Máté: 100 : 4500 = 41 Áron: 250 : 5000 = 20 [Az osztást fordítva írta fel és az egyiknél rossz az eredmény.] Zalán: 4500 : 150 = 30 Máté: 4500 : 100 = 45 Áron: 4500 : 250 = 18 [Áronnál 4500-zal számolt és az eredmény is erre utal.] = = = 5000 Zalán: 25 db Máté: 45 db Áron: 20 db [A Zalánnál megadott érték rossz, a tanuló nem osztás műveleteket írt fel, hiába látszódik az ellenőrzésképpen felírt szorzás művelet, osztás műveletet kellett volna felírnia, vagy a helyes eredményt megadnia.] Zalán 1 db 150 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 150 = 30 db Máté 1 db 100 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 100 = 45 db Áron: 1 db 250 Ft össz.: 4500 Ft 4500 : 250 = 18 db [Áronnál 4500 szerepel 5000 helyett, rossz adattal számolt és az eredmény is erre utal.] 4500 : 150 = : 100 = : 200 = 25 [Áronnál rossz számmal oszt és az eredmény is erre utal.] Lásd még: X és 9-es kód. 30

33 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Műveletsor A feladat leírása: Táblázatban lévő adatokkal kell alapműveleteket elvégezni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0039 0,00015 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,40-0,24-0,30 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 87,8 0,11 1. szint alatt 16,7 1,04 Főváros 90,7 0,24 1. szint 50,4 0,74 Megyeszékhely 91,1 0,21 2. szint 75,1 0,44 Város 87,4 0,18 3. szint 89,0 0,21 Község 84,1 0,26 4. szint 95,2 0,14 5. szint 97,6 0,11 6. szint 97,8 0,19 7. szint 99,1 0,20 31

34 MATEMATIKA 71/100. FELADAT: ÉTTEREM MM09501 Kinga, Endre és Zsolt egy étteremben ebédelnek. Az étteremben minden nap normál és vegetáriánus menü kérhető, a menük mellé az üdítőt külön kell megrendelni. Egyik nap a következőket fogyasztották. Kinga vegetáriánus menü 2 dl ásványvíz Endre normál menü 3 dl ásványvíz Zsolt normál menü 2 dl üdítő A normál menü ára 980 Ft, a vegetáriánus menüé 750 Ft, az ásványvízé 100 Ft/dl, az üdítőé 120 Ft/dl. Hány forintot fizetett külön-külön Kinga, Endre és Zsolt a saját ebédjéért? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! Kinga:.... Ft Endre:... Ft Zsolt:... Ft 32

35 JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 8. ÉVFOLYAM Kinga: 950, Endre: 1280, Zsolt: A helyes értékek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Számítás: Kinga: = = 950 Endre: = = 1280 Zsolt: = = 1220 Tanulói példaválasz(ok): = = = 1220 [A pontozott vonalakra nem írt semmit.] [A pontozott vonalakra nem írt semmit.] Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1220 Ft [Nincs számítás, a beírt értékek helyesek.] Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1120 Ft [Helyes művelet, számolási hiba.] Kinga: 1280 Ft Endre: 950 Ft Zsolt: 1220 Ft [Felcserélte Kinga és Endre értékét, az értékek helyesek.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): = = = 1180 [Zsoltnál rossz adattal számolt.] = = = 1100 [Az italoknál nem vette figyelembe, hogy több dl-t fogyasztottak.] = = = 1420 [A harmadik műveletnél nem derül ki, honnan jött a helytelen 440.] K: = 1600 E: = 3040 Zs: = 2080 [A menüket vette többször, az italokból 1 dl-t számolt.] 33

36 MATEMATIKA Kinga: 950 Ft Endre: 1280 Ft Zsolt: 1200 Ft [A harmadik érték rossz, a művelet nem látszik.] 750 Ft = Ft = Ft = 1100 [A harmadik műveletnél 1 dl-rel számolt] Kinga: = = 7520 Endre: = = Zsolt: = = Kinga: 7520 Ft Endre: Ft Zsolt: Ft Kinga: = = 1700 Endre: = = 3240 Zsolt: = = 2200 Kinga: 1700 Ft Endre: 3240 Ft Zsolt: 2200 Ft [Módszertani hiba a szorzás, összeadás elvégzésénél.] [Módszertani hiba a szorzás, összeadás elvégzésénél.] Lásd még: X és 9 es kód. 34

37 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Műveletsor A feladat leírása: Egyszerű műveletsorok végrehajtása. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0031 0,00011 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,37-0,21-0,30 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 78,7 0,15 1. szint alatt 12,6 0,92 Főváros 82,7 0,31 1. szint 38,5 0,77 Megyeszékhely 83,0 0,33 2. szint 62,5 0,46 Város 78,3 0,22 3. szint 78,3 0,33 Község 73,5 0,31 4. szint 86,5 0,24 5. szint 90,2 0,22 6. szint 93,1 0,32 7. szint 97,7 0,41 35

38 MATEMATIKA 72/101. FELADAT: KAMIONSOFŐR II. MM10701 A következő grafikon egy kamion sebességét ábrázolja az indulástól kezdve az eltelt idő függvényében Sebesség (km/óra) Eltelt idő (óra) Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! A kamionos megállás nélkül összesen 9 órán át vezetett. I Igaz Hamis H Indulás után 4 órával a kamionos megállt 1 órára pihenni. I Indulás után 5 órától 6 óráig folyamatosan csökkent a kamion sebessége. I Az első 3 órában több mint 200 km-t tett meg a kamion. I H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, HAMIS, IGAZ ebben a sorrendben. 36

39 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása A feladat leírása: A tanulónak idő-sebesség grafikon adatait kell értelmeznie, leolvasnia és velük egylépéses számításokat elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00010 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,10-0,46 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 34,8 0,15 1. szint alatt 0,8 0,22 Főváros 44,2 0,39 1. szint 3,4 0,25 Megyeszékhely 40,8 0,37 2. szint 8,2 0,28 Város 32,8 0,24 3. szint 19,5 0,26 Község 27,4 0,28 4. szint 37,8 0,34 5. szint 58,9 0,45 6. szint 77,5 0,50 7. szint 90,3 0,68 37

40 MATEMATIKA 73/102. FELADAT: KÖRFORGALOM II. MM12301 Egy körforgalomban négy város irányába (Zad, Tám, Bög és Lum) lehet továbbmenni. A következő ábrán a Zad felől érkezők számára kitett jelzőtábla látható. Bög Tám Lum Melyik jelzőtáblát látják a Bög felől érkezők? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B Zad Tám Tám Lum Zad Lum C D Zad Lum Lum Tám Tám Zad JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 38

41 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Síkbeli transzformáció, elforgatás A feladat leírása: A tanulónak egy felülnézeti ábrához kell az elforgatott képét kiválasztania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00010 Standard nehézség ,2 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43-0,06-0,12-0,24-0,23-0,23 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,1 0,12 1. szint alatt 16,5 1,02 Főváros 86,9 0,28 1. szint 35,8 0,76 Megyeszékhely 84,4 0,25 2. szint 58,5 0,44 Város 79,2 0,22 3. szint 78,6 0,28 Község 73,6 0,29 4. szint 89,5 0,19 5. szint 94,4 0,18 6. szint 96,7 0,25 7. szint 98,8 0,23 39

42 MATEMATIKA 74/103. FELADAT: SZERENÁD MM03101 Tamásék a ballagást megelőző este szerenádot szeretnének adni tanáraiknak. Mivel több osztályt is tanítottak ugyanazok a tanárok, egy diagramon összegezték, melyik tanár mikor tudná fogadni az osztályt. Történelemtanár Matematikatanár Magyartanár Biológiatanár Angoltanár Idő (óra) Milyen sorrendben látogassák végig tanáraikat Tamásék, ha minden helyen utazással együtt körülbelül egy órát terveznek maradni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Angol-, biológia-, magyar-, matematika-, történelemtanár Magyar-, biológia-, történelem-, matematika-, angoltanár Magyar-, matematika-, biológia-, történelem-, angoltanár Történelem-, matematika-, magyar-, biológia-, angoltanár JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 40

43 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Intervallum A feladat leírása: A tanulónak adott hosszúságú diszjunkt intervallumokat kell meghatároznia a megadott feltételek figyelembevételével. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0033 0,00009 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,41-0,03-0,10-0,18-0,23-0,23 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 79,7 0,13 1. szint alatt 24,8 1,18 Főváros 86,1 0,30 1. szint 39,3 0,72 Megyeszékhely 84,0 0,30 2. szint 58,8 0,41 Város 78,8 0,19 3. szint 76,8 0,27 Község 73,8 0,31 4. szint 88,3 0,22 5. szint 94,3 0,18 6. szint 97,3 0,23 7. szint 99,1 0,23 41

44 MATEMATIKA 75/104. FELADAT: BORULTSÁGI FOK MM15402 A borultsági fok egy meteorológiai szakkifejezés, a felhős terület arányát jelenti a belátható égbolton. Mértékegysége az okta. 1 okta azt jelenti, hogy a teljes égbolt területének 1 -a felhős. 8 Ha az égbolt 3 része felhős, akkor a borultsági fok 3 okta. 8 A borultsági fokot lehet úgy ábrázolni, hogy az égbolt belátható részét körnek tekintjük, negyedekre osztjuk, és a felhős részt besatírozzuk. A következő ábrán az égbolt borultsági foka 3 okta. Könnyebb megállapítani a felhős terület arányát, ha az égboltot negyedekre bontva különkülön vizsgáljuk a negyedeket. Péter egy nap a következőket állapította meg. Északi negyed fele felhős Nyugati negyed felhőtlen Keleti negyed teljesen felhős Déli negyed fele felhős Az egész égboltot tekintve hány okta a borultsági fok?... okta 42

45 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 43

46 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ennél a feladatnál számolási hiba még akkor sem fogadható el, ha látszik a helyesen felírt műveletsor. A tanuló által besatírozott terület helyességét ennél a feladatnál nem kell vizsgálni. Ha a tanuló csak az ábrán satírozta be a megfelelő arányokat és sem a tört, sem az okta értékét nem adta meg, akkor a választ 0-s kóddal kell értékelni. Ha a tanuló a válasz számára kijelölt helyre írt értéket, akkor azt kell értékelni. 2-es kód: 4 okta A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: = Tanulói példaválasz(ok): = okta Nyugati negyed felhőtlen Északi negyed fele felhős Déli negyed fele felhős Keleti negyed teljesen felhős okta [Az ábrán rossz törtek szerepelnek, de azokkal nem kezdett semmit.] Északi negyed fele felhős Nyugati negyed felhőtlen Keleti negyed teljesen felhős Déli negyed fele felhős 4 4 okta [A jó tört mellett a jó okta értéket is megadta.] 8 4 = 4 okta [A jó tört mellett a jó okta értéket is megadta.] 8 44

47 8. ÉVFOLYAM 1-es kód Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló helyesen határozta meg, hogy az égbolt hanyadrészét borítja felhő, de az okta értékét nem határozta meg vagy ezt a törtet tekinti az okta mérőszámának. Tanulói példaválasz(ok): 0,5 1 2 okta = negyed okta fele 3 okta 6 [Speciális eset.] 2 4 okta [Vélhetően a 4 tört egyszerűsítése.] 8 fele felhős 50% 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló a tört értékét helyesen határozta meg, de utána rossz okta értéket adott meg. Azokat a válaszokat is 0-s kóddal értékeljük, amikor a végeredmény láthatóan rossz gondolatmenet miatt adódott. Tanulói példaválasz(ok): = 4 8 = Nyugati negyed felhőtlen Északi negyed fele felhős 1 okta [A tört értéke helyes, de az okta értéke rossz.] 4 Keleti negyed teljesen felhős 8 Déli negyed fele felhős 4 16 okta [A negyedeket tekintette a teljes égboltnak, a törtek meghatározásánál a nyolcadok számlálóit összegezte.] = okta [A negyedeket mint egész égboltot vizsgálta és úgy határozta meg negyedenként a törteket.] 1 6 okta 3,5 okta 2 okta [A negyedeket tekintette a teljes égboltnak a törtek meghatározásánál.] 3 okta 1 4 okta 6 okta 45

48 MATEMATIKA Nyugati negyed felhőtlen Északi negyed fele felhős 1 Keleti negyed teljesen felhős 2 Déli negyed fele felhős 1 Válasz:... okta [Hiányzik a művelet, hogy a tanuló ezekkel a számokkal milyen műveletet végezne el.] Keleti negyed 1,2 okta [Valószínűleg az törtet nem tudta értelmezni.] 4,8 okta [Valószínűleg az törtet nem tudta értelmezni.] 180 fok [Rossz válasz] Lásd még: X és 9-es kód. 46

49 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Tört A feladat leírása: Szöveges kifejezéseket kell törtekké alakítani, majd velük egy műveletsort elvégezni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0041 0,00010 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,00-0,28-0,40 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 55,3 0,15 1. szint alatt 4,7 0,58 Főváros 64,8 0,35 1. szint 10,7 0,51 Megyeszékhely 62,1 0,35 2. szint 20,0 0,40 Város 53,0 0,24 3. szint 39,0 0,34 Község 47,7 0,34 4. szint 64,9 0,29 5. szint 85,4 0,27 6. szint 95,4 0,24 7. szint 98,9 0,25 47

50 MATEMATIKA 76/105. FELADAT: VÁGÁS MM17301 Egy hangtechnikus azt a feladatot kapta, hogy egy 16 perc 48 másodperc hosszú hangfelvételből vágjon ki 7 perc 21 másodpercnyi anyagot. A vágáshoz használt programon a következő látható. 0:00 16:48 vágás kezdete A hangtechnikus a vonalnál kezdte a vágást, itt lesz a 7 perc 21 másodpercnyi vágott anyag eleje. Jelöld vonallal a fenti ábra időskáláján a vágott anyag végét! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 48

51 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megj.: 1-es kód: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló által megjelölt hely alapján kell dönteni a válasz helyességéről (függetlenül attól, hogy számítások látszódnak-e vagy sem, jók-e a számítások vagy sem). Ha több vonal látható, azok vastagságát nem kell vizsgálni. HA A TANULÓ TÖBB VONALAT IS BERAJZOLT, ÉS AZ EGYIK VONAL LEGALÁBB KÉTSZER OLYAN HOSSZÚ, MINT A TÖBBI, AKKOR AZT A VONALAT TEKINTJÜK A VÉGLEGES VÁLASZÁNAK. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem vonallal jelölte a vágás végét, hanem valamilyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló vonallal jelölte a pontot, akkor annak a vízszintes vonallal való metszéspontját, ha X-szel jelölte, akkor annak a középpontját vizsgáljuk. Minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. A tanuló a vágás kezdetét jelző vonaltól 7 egységnyire jelölte a vágott anyag végét. A következő ábrán jelölt tartományba eső pontok fogadhatók el, beleértve a tartomány határait is. 0:00 16:48 vágás kezdete elfogadható tartomány Számítás: 16 perc 48 mp = 1008 mp, 1008 : 16 = 63 mp - 1 egység 7 p 21 mp = 441 mp 441 : 63 = 7 egység Tanulói példaválasz(ok): 16 p 48 mp = 1008 mp 11 cm 7 p 21 mp = 441 mp x x = : 1008 = 4,8 cm [Helyesen jelölte be az ábrán.] 49

52 MATEMATIKA 0:00 16:48 vágás kezdete [Alternatív jelölés: a hangsávon jelölt, de a jó helyen.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen kiszámolta, hol lesz a vágott anyag vége, de azt nem vagy rosszul jelölte az ábrán. Tanulói példaválasz(ok): 16 p 48 mp = 1008 mp 11 cm 7 p 21 mp = 441 mp x x = : 1008 = 4,8 cm A vonaltól 4,8 cm-re kell vágni. [Nincs jelölés az ábrán.] még 7 egész egység. [Az ábrán jelölt pont nem esik bele az elfogadható tartományba.] Lásd még: X és 9-es kód. 50

53 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva, műveletsor A feladat leírása: A tanulónak az egész ismeretében egy rész nagyságát kell meghatároznia és bejelölnie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0026 0,00012 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,32 0,11-0,38 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 17,7 0,14 1. szint alatt 0,8 0,21 Főváros 23,7 0,36 1. szint 2,3 0,21 Megyeszékhely 21,2 0,32 2. szint 6,0 0,24 Város 16,4 0,21 3. szint 10,3 0,21 Község 13,2 0,24 4. szint 17,0 0,24 5. szint 27,4 0,38 6. szint 43,1 0,62 7. szint 63,7 1,19 51

54 MATEMATIKA 77/106. FELADAT: NAPPALOK HOSSZA MM06002 Az alábbi grafikon a nappalok hosszának változását mutatja Kati falujában az év során. Idő (óra) Forrás: január Nappal február március április Éjszaka május június Hónap július augusztus szeptember október november december A diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor, mint április 21-én? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E május 21-én augusztus 13-án szeptember 13-án október 21-én Ebben az évben többször már nem. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 52

55 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról, szokatlan diagram A feladat leírása: Szokatlan diagramról kell adatokat leolvasni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0033 0,00009 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,04-0,19-0,17-0,14-0,13-0,25 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 75,2 0,12 1. szint alatt 18,1 1,00 Főváros 80,8 0,36 1. szint 30,7 0,72 Megyeszékhely 79,5 0,27 2. szint 50,4 0,52 Város 74,1 0,21 3. szint 71,4 0,32 Község 69,9 0,29 4. szint 84,4 0,23 5. szint 92,3 0,21 6. szint 96,2 0,24 7. szint 99,0 0,23 53

56 MATEMATIKA 78/107. FELADAT: NAPPALOK HOSSZA MM06003 Kati hétköznaponként 7.00 órakor kel fel, és este kor jön el a munkahelyéről. Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati reggel napkelte előtt kel fel, ÉS este napnyugta után lép ki a munkahelyéről? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 1,5 hónap 2 hónap 3 hónap 9 hónap JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 54

57 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról, szokatlan diagram A feladat leírása: Szokatlan diagramról kell adatokat leolvasni és velük egylépéses műveletet végrehajtani. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00021 Standard nehézség ,8 Tippelési paraméter 0,23 0,03 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,10-0,02-0,01-0,21-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 53,2 0,17 1. szint alatt 24,4 1,10 Főváros 58,8 0,42 1. szint 29,7 0,72 Megyeszékhely 56,2 0,44 2. szint 35,7 0,46 Város 52,3 0,29 3. szint 45,3 0,35 Község 48,7 0,29 4. szint 56,2 0,37 5. szint 67,5 0,36 6. szint 78,4 0,56 7. szint 87,7 0,81 55

58 MATEMATIKA 79/108. FELADAT: MÉRLEGHINTA II. MM16102 Egy mérleghinta rögzített pontja 90 cm-es magasságnál található (P1 pontban), de 60 cm-es magasságra leengedhető (P2 pontba), ahogyan az ábrán látható. P1 P2 gumitégla tengely gumitégla A talajhoz ütközés csillapítására gumitéglát helyeznek el a mérleghinta alatt. Ahol az ülés vége a gumitéglával érintkezik, a gumitégla idővel elkopik, elszíneződik. Melyik igaz az alábbiak közül? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Ugyanott kopik a gumitégla a 60 cm és a 90 cm-es beállításnál. 60 cm-es rögzítésnél a mérleghinta tengelyéhez közelebb kopik a gumitégla, mint a 90 cm-es rögzítésnél. 60 cm-es rögzítésnél a mérleghinta tengelyétől távolabb kopik a gumitégla, mint a 90 cm-es rögzítésnél. Ennyi adatból nem határozható meg, hogyan helyezkedik el egymáshoz képest a két kopásvonal. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 56

59 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.2) Kulcsszavak: Geometriai ábra értelmezése A feladat leírása: Geometriai ábrán az elképzelt mozgás során történő elmozdulások értelmezése. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0042 0,00029 Standard nehézség ,0 Tippelési paraméter 0,33 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,02-0,09-0,13-0,12-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 50,1 0,16 1. szint alatt 31,3 1,17 Főváros 56,1 0,35 1. szint 34,1 0,75 Megyeszékhely 53,3 0,40 2. szint 34,4 0,44 Város 48,2 0,28 3. szint 38,3 0,32 Község 46,9 0,31 4. szint 50,1 0,33 5. szint 66,1 0,34 6. szint 81,2 0,52 7. szint 94,0 0,61 57

60 MATEMATIKA 80/109. FELADAT: MÉRLEG MM18101 Karolina egy edényt helyez a konyhai mérlegre. Ekkor a következőt látja gramm Ezután az edénybe beletesz néhány banánt. Így ezt látja gramm Hány gramm a Karolina által lemért banánok együttes tömege? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! A banánok együttes tömege:... gramm 58

61 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 59

62 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megj.: Ennél a feladatnál számolási hiba NEM fogadható el, még akkor sem, ha látszik a helyesen felírt műveletsor. 1-es kód: A banánok együttes tömege: 300 gramm. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló egyértelműen megfogalmazta, hogy a banánok együttes tömege 300 gramm, majd ezzel az értékkel továbbszámolva meghatározta, hogy 1 banán tömege 100 gramm, vagy a banánok és a tál együttes tömegét adta meg, ezért válasza 500 gramm. Számítás: = 300 Tanulói példaválasz(ok): 300 gramm A banánok együttes tömege:... gramm. [Nem írt semmit a pontozott vonalra, felette viszont megadta a helyes választ.] Összsúly: 500 g a tállal együtt, akkor a tál nélkül a banánok összsúlya: 300 g A banánok együttes tömege:... gramm. [Nem írt semmit a pontozott vonalra, felette viszont megadta a helyes választ.] A tál: 200 g Összesen: 500 g A banán: 300 g A banánok együttes tömege: 300 gramm. üresen: 200 g 3 banánnal: 500 g 3 banán: 300 g 1 banán: 100 g A banánok együttes tömege: 100 gramm. [A tanuló válaszából kiderül, hogy a banánok együttes tömege 300, de ezután még meghatározta 1 banán tömegét is, és ezt az értéket írt a pontozott vonalra.] A banánok együttes tömege: 300 gramm. [A helyes választ beírta a pontozott vonalra.] A tál gramm: 200 g A banán gramm: 300 g összesen: 500 g A banánok együttes tömege: 500 gramm. banánok tömege: 300 g g A banánok együttes tömege: 500 gramm. [A banánokra írta rá a helyes eredményt.] = 300g [A pontozott vonalra nem írt, de eredménye helyes.] 60

63 8. ÉVFOLYAM 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): A banánok együttes tömege: 500 gramm. [Nem vette figyelembe az edény önsúlyát.] 300 : 3 = 100 A banánok együttes tömege:... gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.] = 700 g A banánok együttes tömege: 700 gramm [Rossz módszer.] = 200 A banánok együttes tömege: 200 gramm. [Rossz módszer.] = : 100 = 3 kg A banánok együttes tömege:... gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.] = 300 g 1 banán: 150 g [Nem derül ki, hogy a 300 g a banánok együttes tömege.] = 3000 g A banánok együttes tömege: 3000 gramm. [Átváltási hiba, nem fogadunk el sem számítási, sem átváltási hibát ennél a feladatnál.] 500 : 3 = 1666,6 gramm egy banán A banánok együttes tömege:... gramm. [Rossz módszer, a kijelölt helyre nem írt.] A banánok együttes tömege: 100 gramm. [Nem látszik leírva, hogy mennyi a 3 banán össztömege.] 300 : 3 = 100 A banánok együttes tömege: 100 gramm. [Nem derül ki egyértelműen, hogy 300 g a banánok együttes tömege.] *2,5 *2,5 500 x x = 300 g A banánok együttes tömege: 300 gramm. [Rossz módszerrel jön ki a helyes eredmény.] 300 g g A banánok együttes tömege: 500 gramm. [Nem írta le, hogy a 300 g a banánok tömege.] 500 * 600 = 300 A banánok együttes tömege: 300 gramm. [Rossz módszerrel jön ki a helyes eredmény.] A banánok együttes tömege: = 300 gramm [Rossz gondolatmenet, nem egyértelmű, hogy mi az a 200 gramm (a tál vagy a másik két banán).] = 300 A banánok együttes tömege: 300 gramm [Megkapta a helyes végeredményt, de másoláskor elírta.] 61

64 MATEMATIKA az edény 200 gramm a banán 300 gramm 500 g 200 g = 300 g 700 g A banánok együttes tömege: 300 gramm [Rossz válasz, hiába jutott el addig, hogy a banán 300 gramm, utána rossz eredményre jut.] banán = 300 gramm (összesen) edény = 200 gramm A banánok együttes tömege: 129 gramm [Rossz válasz, hiába jutott el addig, hogy a banán 300 gramm, utána rossz eredményre jut.] 1140,5 820,2 = 320,3 A banánok együttes tömege: 320,3 gramm [A tanuló számára nem volt egyértelmű, hogy a nyíl melyik végéről kell az értéket leolvasni.] Lásd még: X és 9-es kód. 62

65 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5) Kulcsszavak: Skála, leolvasás A feladat leírása: Skáláról leolvasott értékek különbségének kiszámítása. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0056 0,00015 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,50-0,35-0,33 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 85,6 0,11 1. szint alatt 8,7 0,70 Főváros 90,7 0,24 1. szint 30,9 0,69 Megyeszékhely 89,8 0,23 2. szint 64,0 0,42 Város 84,9 0,20 3. szint 88,2 0,21 Község 80,0 0,28 4. szint 96,3 0,13 5. szint 98,9 0,09 6. szint 99,3 0,11 7. szint 99,7 0,13 63

66 MATEMATIKA 81/110. FELADAT: PAPÍRTÁSKA MM19601 Anna cége egy akció keretében cm-es dobozokba csomagolt ajándékot oszt szét, összesen 300 darabot. Anna feladata, hogy 300 db olyan papírtáskát rendeljen, amelybe belefér egy doboz. A dobozt el is lehet forgatni. Papírtáska mérete 1 darab ára legalább 1000 darab rendelése esetén 1 darab ára legalább 500 darab rendelése esetén 1 darab ára legalább 200 darab rendelése esetén cm 20 Ft 21 Ft 23 Ft cm 22 Ft 24 Ft 26 Ft cm 25 Ft 27 Ft 29 Ft cm 28 Ft 30 Ft 32 Ft A fenti adatok alapján mennyibe kerül Anna rendelése, ha a legolcsóbb lehetőséget választja? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!... Ft 64

67 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 65

68 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 7800 Ft. A helyes válasz látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. A megadottól eltérő eredmény csak akkor tartozik ide, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Számítás: papírtáska = 7800 Tanulói példaválasz(ok): [Látszik a helyes műveletsor, számolási hiba.] [Látszik a helyes műveletsor.] Ft [Azonosítjuk a végeredményét a szorzással.] Ft [A tanuló helyes műveletet írt fel, a válasznál azonban egy papírtáska helyes darabárát adta meg, a választ a jó műveletsor miatt elfogadjuk.] [A műveleti sorok részeredményei.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 9600 [A cm méretű táska árával számolt.] méretűbe biztosan belefér = 9600 Ft [A cm méretű táska árával számolt.] = 6600 Ft [A cm méretű táska árával számolt, de legalább 1000 db-os rendeléssel.] = [Rossz gondolatmenet.] = = 8400 Ft Ft = Ft [A cm méretű táska áráival számolt.] = 9000 [A cm méretű táska áráival számolt.] Lásd még: X és 9-es kód. 66

69 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Mennyiségek összehasonlítása, befoglaló test, műveletsor A feladat leírása: A tanulónak egy téglatest oldalhosszainak ismeretében ki kell választania egy táblázatból a lehetséges befoglaló téglatesteket, majd azok közül a megfelelőt kiválasztva azzal egy egyszerű műveletet kell végrehajtania. A feladatot a legalább szó értelmezése is nehezíti. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0044 0,00012 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,01-0,35 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 18,7 0,13 1. szint alatt 0,4 0,17 Főváros 25,4 0,37 1. szint 0,6 0,11 Megyeszékhely 21,5 0,31 2. szint 2,2 0,12 Város 17,0 0,20 3. szint 5,9 0,17 Község 15,0 0,24 4. szint 16,0 0,24 5. szint 35,0 0,43 6. szint 58,9 0,71 7. szint 82,5 0,95 67

70 MATEMATIKA 82/111. FELADAT: ÁRAMSZÜNET MM21101 Rékának olyan digitális ébresztőórája van, amely áramszünet esetén 00:00-ra áll vissza. Egyik reggel 8:00-kor kikapcsolták az áramot a házban. Délután hazaérve Réka azt látta, hogy az órája 4:13-at mutat, holott a pontos idő 15:10. MENNYI IDEIG TARTOTT az áramszünet? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E 2 óra 57 percig 3 óra 03 percig 3 óra 47 percig 4 óra 13 percig 7 óra 10 percig JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 68

71 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Számolás idővel A feladat leírása: A tanulónak az idővel kell egy műveletsort elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0047 0,00039 Standard nehézség ,6 Tippalési paraméter 0,11 0,02 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,42-0,02-0,07-0,08-0,14-0,11-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 30,1 0,15 1. szint alatt 12,7 0,71 Főváros 37,8 0,45 1. szint 10,0 0,42 Megyeszékhely 34,4 0,36 2. szint 9,8 0,29 Város 28,2 0,22 3. szint 15,3 0,27 Község 24,7 0,24 4. szint 28,5 0,30 5. szint 49,2 0,43 6. szint 73,4 0,51 7. szint 93,4 0,62 69

72 MATEMATIKA 83/112. FELADAT: HOLLAND FESTŐK I. MM23101 A következő táblázatban néhány holland festő születési és halálozási éve látható. Festő Születési év Halálozási év Vincent van Gogh Rembrandt Ferdinand Bol George Hendrik Breitner A következő számegyenesen a négy festő közül háromnak az élethosszát ábrázoltuk. Rajzold be, hol helyezkedne el az ábrán a hiányzó negyedik! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! 70

73 JAVÍTÓKULCS 8. ÉVFOLYAM Megjegyzés: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló jelölésénél annak függőleges pozicióját nem kell vizsgálni. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem X-et, hanem valamilyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló X-szel jelölte a pontot, akkor annak a középpontját vizsgáljuk, minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, hogy melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. Ha két pontot összekötött és van egy harmadik, nem a vonalon lévő pont is, akkor csak az összekötött pontokat vizsgáljuk. Ha két pontot összekötött és van egy harmadik, a vonalon lévő pont is, akkor a válasz nem egyértelmű és 0-s kódot kap. Ha a tanuló válaszában a születési és a halálozási évnek megfelelő X-et egy vonallal összekötötte, de a vonalat az X-en is túlhúzta, akkor az X-ek helyzete alapján döntünk a válasz helyességéről. Az esetleges felcímkézéseket alapesetben nem vizsgáljuk, mivel nem volt feladat. Ha csak az egyik végpont esik bele a tartományba és a tanuló nem George Hendrik Breitner, hanem egy másik festő nevét írta oda, a válasz 0-s kódot kap. Ha a tanuló a kezdő és a végpontot is megadta, a helyességüket is balról jobbra, ilyen sorrendben vizsgáljuk (tehát a végpontot nem fogadjuk el kezdőpontnak). 2-es kód: A tanuló helyesen ábrázolta a G.H.Breitnerhez tartozó értékeket a következő ábrának megfelelően. Elegendő, ha a tanuló a születési és halálozási évet jelölte, nem feltétlenül kell összekötnie azokat. A születési évet jelentő jelölésnek 1855 és 1860 között, a halálozás évének 1920 és 1925 között kell lennie. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a jelölés az elfogadható tartomány határvonalára esik. Elfogadható tartomány Tanulói példaválasz(ok): [A születési és halálozási év jelölése is helyes.] 71

74 MATEMATIKA 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik értéket jelölte helyesen, a másik értékhez tartozó jelölés rossz vagy hiányzik. Ha két időpontot jelöl, a bal oldalit születési évnek, a jobb oldalit halálozási évnek tekintjük, és így viszgáljuk a helyességüket. Tanulói példaválasz(ok): [Csak a születésit jelölte, az jó.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): [Három x is szerepel a vonalon, egyik sincs lehúzva, így a válasz nem egyértelmű.] Lásd még: X és 9-es kód. 72

75 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.3) Kulcsszavak: Számegyenes, adatábrázolás A feladat leírása: A tanulónak egy táblázatban megadott négy adatpárból hármat kell azonosítania egy számegyenesen, és a hiányzót bejelölnie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00006 Standard nehézség ,5 1. lépésnehézség lépésnehézség 81 7 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, ,3 0,0-0,3-0,11 0,18 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,45 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 28,6 0,14 1. szint alatt 0,3 0,11 Főváros 38,0 0,34 1. szint 1,1 0,13 Megyeszékhely 34,6 0,32 2. szint 3,6 0,16 Város 26,6 0,20 3. szint 11,4 0,19 Község 21,1 0,26 4. szint 29,2 0,27 5. szint 53,1 0,36 6. szint 75,2 0,44 7. szint 91,3 0,58 73

76 MATEMATIKA 84/113. FELADAT: PHILEAS FOGG MM23601 Jules Verne regényében Phileas Fogg 80 nap alatt kerülte meg a Földet. Átlagosan hány kilométert kellett megtennie naponta, ha az út hossza összesen körülbelül km volt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E 0,02 km-t 50 km-t 500 km-t km-t km-t JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 74

77 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Arányszámítás 1-hez viszonyítva A feladat leírása: A tanulónak egy 1-hez viszonyított arány kiszámítását kell elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00012 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,42-0,03-0,11-0,20-0,22-0,17-0,14 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 82,7 0,13 1. szint alatt 23,1 1,11 Főváros 86,1 0,28 1. szint 41,2 0,81 Megyeszékhely 86,7 0,24 2. szint 63,4 0,43 Város 82,3 0,21 3. szint 81,5 0,25 Község 78,1 0,24 4. szint 91,2 0,20 5. szint 95,7 0,16 6. szint 98,5 0,15 7. szint 99,4 0,20 75

78 MATEMATIKA 85/114. FELADAT: ALMAÁRUSÍTÁS II. MM24202 Jánosék almát árulnak a piacon. A következő diagramok az általuk árult alma kilogrammonkénti árának változását és naponta eladott mennyiségét mutatják egy héten át. Kilogrammonkénti ár (Ft) Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Eladott almák mennyisége (kg) Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Melyik diagram mutatja helyesen, mennyit kerestek Jánosék ezen a héten az alma eladásával? Satírozd be a helyes diagram betűjelét! A B Bevétel (Ft) Bevétel (Ft) Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Bevétel (Ft) C D Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Bevétel (Ft) JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 76

79 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.4) Kulcsszavak: Diagramok értelmezése, ábrázolás értelmezése A feladat leírása: A tanulónak két oszlopdiagram adataiból kell előállítania egy adatsort, majd az ehhez tartozó oszlopdiagramot kiválasztania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0046 0,00020 Standard nehézség ,7 Tippelési paraméter 0,18 0,01 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,23-0,18-0,18-0,07-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 54,1 0,19 1. szint alatt 15,7 0,89 Főváros 60,0 0,44 1. szint 17,8 0,60 Megyeszékhely 59,5 0,36 2. szint 24,8 0,43 Város 52,3 0,25 3. szint 38,8 0,38 Község 49,2 0,31 4. szint 60,2 0,34 5. szint 80,6 0,33 6. szint 92,5 0,33 7. szint 98,5 0,29 77

80 MATEMATIKA 86/115. FELADAT: KÉRDŐÍV MM27601 Miklós interneten tölt ki egy kérdőívet. Az ábrán szürke szín jelzi, hogy a kérdések hányadrészét töltötte már ki. Hány kérdés VAN MÉG HÁTRA, ha eddig 16 kérdésre felelt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 8 B 40 C 56 D 80 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 78

81 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Tört, arány A feladat leírása: A tanulónak grafikusan ábrázolt törtérték alapján kell arányt számolnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0019 0,00007 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,31-0,02-0,09-0,10-0,14-0,26 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 67,2 0,14 1. szint alatt 26,6 1,13 Főváros 69,9 0,40 1. szint 37,5 0,73 Megyeszékhely 69,4 0,33 2. szint 49,1 0,47 Város 66,9 0,27 3. szint 62,1 0,30 Község 64,2 0,31 4. szint 73,1 0,26 5. szint 80,9 0,31 6. szint 85,9 0,43 7. szint 89,7 0,70 79

82 MATEMATIKA 87/116. FELADAT: REPÜLŐTÉR MM29401 Melinda repülővel utazik Zedvárosba. Leszállás után a repülőtéren a következő tábla igazítja útba az érkező utasokat. 1. kapu 2. kapu 3. kapu 4. kapu 5. kapu 6. kapu 7. kapu 8. kapu 9. kapu Van elvámolnivalója Nincs elvámolnivalója Van kézipoggyásza Nincs kézipoggyásza Van kézipoggyásza Nincs kézipoggyásza Van kézipoggyásza Nincs kézipoggyásza Van kézipoggyásza Nincs kézipoggyásza Tovább utazik Nem utazik tovább Tovább utazik Nem utazik tovább EU-ból érkezik Nem EU-ból érkezik X Ön itt áll Melyik kapun fog kimenni Melinda, ha EU-s országból jön, nem utazik tovább, és van kézipoggyásza?... kapun JAVÍTÓKULCS Megj.: Ha a tanuló a megadott helyen adta meg válaszát, akkor azt értékeljük. Ha oda nem írt semmit, de az ábrán egyértelműen megjelölte valamilyen módon (pl. bekarikázta, besatírozta stb.) a 3. kaput, akkor a válasz elfogadható. 1-es kód: 3. kapun Tanulói példaválasz(ok): 3 3-as három kapun 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 1. kapun , 3 kapun [Több kaput is megjelölt.] Lásd még: X és 9-es kód. 80

83 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Gráf, utak A feladat leírása: A tanulónak egy gráfon kell szöveges meghatározás alapján a megfelelő útvonal végpontját megtalálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00010 Standard nehézség ,2 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,27-0,31 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 79,4 0,15 1. szint alatt 11,5 0,82 Főváros 84,4 0,34 1. szint 32,6 0,85 Megyeszékhely 84,0 0,30 2. szint 59,4 0,47 Város 78,8 0,21 3. szint 77,9 0,29 Község 73,7 0,28 4. szint 88,1 0,22 5. szint 94,2 0,17 6. szint 97,9 0,17 7. szint 99,4 0,19 81

84 MATEMATIKA 88/117. FELADAT: RÉGI TÉRKÉP MM33601 Viktor szeretné megkeresni azt a házat, amelyikben a nagymamája lakott gyerekkorában, de nem tudja, mi a mai címe a háznak. Nagymamája egy régi térképen mutatta meg, hol lakott, ezt Viktor egy mai térképpel veti össze. Jegenye utca Kmetty János tér Csónakos utca 28. Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Erdei utca Tihanyi út Jegenye utca Hullám utca Vámház sugárút Érsek út Vámház tér Régi térkép Mai térkép Jelöld X-szel a MAI TÉRKÉPEN, hol állt az a ház, amelynek a címe régen Hullám utca 28. volt! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! 82

85 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 83

86 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megj.: 1-es kód: Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem X-et, hanem valamilyen más egyértelmű jelölést alkalmazott (besatírozta, beleírta a címet stb.). Ha a tanuló X-szel jelölt, akkor annak metszéspontját kell vizsgálni, ha egy területet jelölt meg (pl. satírozással), akkor annak teljes terjedelmével az elfogadható tartományon belül kell lennie. Ha a tanuló X-et és másfajta jelölést is használt, akkor az X-et nézzük (mivel ezt kérte a feladat). Azokat a megoldásokat is elfogadjuk, amikor az elfogadható tartományt (négyszöget) valamilyen egyértelmű módon megjelölte, pl. bekarikázta. A tanuló a következő ábrán látható elfogadható tartományon belül jelölt meg egy pontot vagy tartományt. Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca elfogadható tartomány Érsek út Vámház tér Mai térkép Tanulói példaválasz(ok): Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép 84

87 8. ÉVFOLYAM Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép [Az X metszéspontja beleesik a tartományba.] Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép [Egyértelmű módon bekarikázta az elfogadható négyszöget.] 85

88 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép [Az X metszéspontja nem esik bele az elfogadható tartományba.] Vásár tér Zsigmond utca Kmetty utca Kmetty utca Mátray utca Érsek út Vámház tér Mai térkép [Valószínűleg az ucát is meg akarta külön jelölni, de jelölése így nem egyértelmű, hiszen két X van.] 86 Lásd még: X és 9-es kód.

89 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Tájékozódás, térkép A feladat leírása: A tanulónak két azonos területet ábrázoló, de némileg módosult térképen kell ugyanazt az adott helyet megtalálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00007 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,15 0,37-0,30 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 51,9 0,19 1. szint alatt 4,7 0,51 Főváros 57,4 0,46 1. szint 16,9 0,65 Megyeszékhely 56,0 0,41 2. szint 31,6 0,44 Város 51,8 0,27 3. szint 44,5 0,35 Község 45,5 0,39 4. szint 57,0 0,36 5. szint 68,7 0,37 6. szint 79,2 0,53 7. szint 90,0 0,74 87

90 MATEMATIKA 89/118. FELADAT: IDŐPONT-EGYEZTETÉS MM12801 Bori közös filmnézést tervez a barátaival. A következő táblázat azt foglalja össze, hogy ráérnek-e a jövő hét egyes napjain. A táblázatban I-vel jelölték, ha biztosan igen, T-vel, ha talán és N-nel, ha nem érnek rá. Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap Bori I I I T T I I Vera T T T N N I N Ricsi N I I N I I T Edit N T T T I T I Sanyi N I N N N I N Karcsi N I I I T I N Zsuzsi I I I I I T I Összesen Igen (I) Talán (T) Nem (N) Ki jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Bori Edit Sanyi Zsuzsi JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 88

91 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Adatgyűjtés táblázatból A feladat leírása: A tanulónak egy táblázat soraiban kell adott feltételnek megfelelő adatokat összeszámolnia és összehasonlítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00009 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,34-0,04-0,10-0,17-0,19-0,17 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,9 0,14 1. szint alatt 28,5 0,98 Főváros 83,0 0,30 1. szint 49,5 0,78 Megyeszékhely 84,1 0,30 2. szint 66,5 0,45 Város 81,0 0,22 3. szint 79,1 0,26 Község 77,0 0,28 4. szint 86,6 0,21 5. szint 92,0 0,24 6. szint 96,3 0,22 7. szint 98,6 0,26 89

92 MATEMATIKA 90/119. FELADAT: IDŐPONT-EGYEZTETÉS MM12802 Bori megállapította, hogy a táblázat alapján a kedd és a szombat a legalkalmasabb nap a filmnézésre. Azt javasolta, kérdezzék meg újra azokat, akik azt mondták, hogy TALÁN ráérnek ezeken a napokon. Hány embert kell így újra megkérdezni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1 B 2 C 3 D 4 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 90

93 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.8) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Halmazok, unió A feladat leírása: A tanulónak a táblázat oszlopai alkotta halmazok uniójának az elemszámát kell meghatároznia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0025 0,00034 Standard nehézség ,1 Tippelési paraméter 0,30 0,03 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,23-0,05-0,03-0,12-0,11-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 44,5 0,14 1. szint alatt 27,7 1,11 Főváros 48,0 0,47 1. szint 30,8 0,76 Megyeszékhely 47,4 0,36 2. szint 32,7 0,39 Város 43,7 0,25 3. szint 36,7 0,31 Község 41,5 0,32 4. szint 45,1 0,29 5. szint 55,1 0,40 6. szint 66,6 0,54 7. szint 81,7 1,00 91

94 MATEMATIKA 91/120. FELADAT: MADARAK VONULÁSA MM31801 A következő ábrán egy repülőtér és a repülők által leggyakrabban használt útvonalak, az úgynevezett légi folyosók láthatók egy koordináta-rendszerben megjelenítve, melynek középpontja a repülőtér. y II. légi folyosó I. légi folyosó III. légi folyosó x IV. légi folyosó repülőtér légi folyosók 1 egység A repülőtértől nem messze egy ritka madárfaj fészkel a (3; 7) koordinátánál lévő helyen. A madarak a hideg beálltával (0; 8)-nál lévő költőhelyükre repülnek. Mely légi folyosóknál kell fokozottabban figyelni a madarakra ebben az időszakban, ha azok egyenes vonalban és a repülőkkel egy magasságban repülnek? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Mind a négy légi folyosónál. Az I. és a II. légi folyosónál. A II. és a III. légi folyosónál. Az I. és a IV. légi folyosónál. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 92

95 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Helymeghatározás koordináta-rendszerben A feladat leírása: A tanulónak egy koordináta-rendszerben két pontot összekötő szakasz és négy adott egyenes metszéspontjait kell vizsgálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00008 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,42-0,02-0,15-0,11-0,19-0,19 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 50,5 0,17 1. szint alatt 10,5 0,76 Főváros 58,0 0,44 1. szint 14,3 0,55 Megyeszékhely 55,1 0,36 2. szint 23,5 0,33 Város 48,2 0,27 3. szint 39,6 0,34 Község 45,9 0,31 4. szint 57,1 0,33 5. szint 71,4 0,32 6. szint 83,3 0,49 7. szint 92,4 0,57 93

96 MATEMATIKA 92/64. FELADAT: ORIGAMI MM21701 Csilla egy origamikönyvben lévő alakzatot hajtogat. A könyv utasítása szerint úgy kell összehajtani a papírt, hogy kihajtogatás után a következő hajtásvonalak legyenek láthatók rajta. Melyik lehet az ÖSSZEHAJTOGATOTT papír képe? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 94

97 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.3) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.3) Kulcsszavak: Térbeli transzformációk A feladat leírása: A tanulónak megadott ábrák közül kell felismernie a segédvonalakkal megadott transzformáció eredményét. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0029 0,00010 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,32-0,11-0,08-0,03-0,08-0,26 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 84,3 0,13 1. szint alatt 36,2 1,26 Főváros 87,9 0,30 1. szint 55,1 0,71 Megyeszékhely 86,9 0,28 2. szint 71,2 0,44 Város 83,6 0,21 3. szint 83,5 0,25 Község 81,0 0,26 4. szint 90,0 0,19 5. szint 93,3 0,21 6. szint 96,8 0,21 7. szint 98,5 0,28 95

98 MATEMATIKA 93/65. FELADAT: KUSZKUSZ MM05901 Gergő egy arab eredetű ételt, kuszkuszt készít. A kuszkusz dobozán a következő olvasható: egy adag elkészítéséhez 120 g kuszkusz szükséges. Hány egész adag kuszkusz készíthető a teljes doboz felhasználásával, ha annak tartalma 500 g? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1 B 2 C 4 D 5 E 8 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 96

99 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.3) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Arányszámítás 1-hez viszonyítva A feladat leírása: A tanulónak arányszámítást kell elvégeznie 1-hez viszonyítva. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0037 0,00015 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,31-0,09-0,19-0,17-0,11-0,02-0,08 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 91,9 0,10 1. szint alatt 44,2 1,35 Főváros 94,0 0,21 1. szint 68,6 0,65 Megyeszékhely 94,0 0,21 2. szint 83,8 0,34 Város 91,9 0,15 3. szint 92,7 0,20 Község 89,0 0,21 4. szint 96,5 0,13 5. szint 98,0 0,12 6. szint 99,3 0,10 7. szint 99,7 0,15 97

100 MATEMATIKA 94/66. FELADAT: MÉHKAPTÁR MM15901 Egy méhekkel foglalkozó kutatócsoport a kaptárban lévő lép egyes sejtjeinek megjelöléséhez speciális koordináta-rendszert használ a következő ábrán látható módon. sejtek (0; 3) (1; 3) (0; 2) (0; 1) (0; 0) (1; 0) (2; 0) (3; 0) Add meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit! Koordináták: ( ; ) JAVÍTÓKULCS Megj.: Elsőként azt a választ vizsgáljuk, amit a tanuló a kijelölt helyre írt. Ha ott nem található válasz, meg kell vizsgálni, nem szerepel-e máshol (például a szürkére színezett sejtben) egyértelműen megadott válasz. 1-es kód: (3; 2). Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor a tanuló az ábrán adta meg a helyes koordinátákat amennyiben a kijelölt helyre nem írt semmit. Tanulói példaválasz(ok): (3,2 ; ) [A tanuló az első koordináta helyére írta be mindkét koordinátát.] (03; 02) [Két karakterrel írta le a jó koordinátákat.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): (2; 3) [A tanuló fordított sorrendben adta meg a koordinátákat.] (3,0; 0,2) (1; 1,0) (0; 3) (8; 5) (3; 3) (2,2; ) (3, 2; 0 ) Lásd még: X-es és 9-es kód. 98

101 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Koordináta-rendszer A feladat leírása: A tanulónak egy nem szokványos, hatszög hálójú koordináta-rendszerben kell megadnia az egyik mező koordinátáit. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00008 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,43-0,26-0,33 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 68,5 0,15 1. szint alatt 6,9 0,62 Főváros 75,2 0,36 1. szint 23,4 0,65 Megyeszékhely 73,1 0,38 2. szint 42,9 0,47 Város 67,3 0,24 3. szint 63,1 0,37 Község 62,5 0,31 4. szint 78,2 0,26 5. szint 86,7 0,25 6. szint 91,8 0,36 7. szint 96,4 0,48 99

102 MATEMATIKA 95/67. FELADAT: MÉHKAPTÁR MM15902 A (8; 4) sejt BAL ALSÓ fala megroncsolódott, a sérülés érintheti az ezzel a fallal szomszédos sejtet is. Melyik ez a sejt? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A (7; 3) B (7; 4) C (7; 5) D (8; 3) E (8; 5) JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 100

103 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.3) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Koordináta-rendszer, irányok A feladat leírása: A tanulónak egy nem szokványos, hatszög hálójú koordináta-rendszerben kell megadnia egy irányokkal megjelölt mező koordinátáit. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0018 0,00009 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,29-0,09 0,05-0,01-0,11-0,21-0,13 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 27,5 0,14 1. szint alatt 10,1 0,77 Főváros 33,1 0,39 1. szint 10,3 0,47 Megyeszékhely 30,3 0,36 2. szint 12,0 0,31 Város 26,5 0,24 3. szint 18,9 0,27 Község 23,6 0,28 4. szint 29,6 0,31 5. szint 41,3 0,40 6. szint 50,0 0,67 7. szint 59,3 1,37 101

104 MATEMATIKA 96/68. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05401 Kitti amatőr hosszútávfutó, az edzéseken 6 perc alatt tesz meg egy kilométert. Kitti hétfőn 6.00-kor kezdi az edzést. Az edzésterve szerint egyenletes tempóban fut 15 km-t. Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E 6.15-kor 6.90-kor 7.30-kor 7.50-kor kor JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: C 102

105 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.4) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Műveletsor, számolás idővel A feladat leírása: A tanulónak egy műveletsor eredményével kell idővel kapcsolatos számítást elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0051 0,00023 Standard nehézség ,0 Tippelési paraméter 0,27 0,02 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,19-0,18-0,11-0,03-0,07-0,30 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 76,7 0,14 1. szint alatt 34,6 1,29 Főváros 83,1 0,35 1. szint 38,3 0,79 Megyeszékhely 82,4 0,29 2. szint 49,2 0,42 Város 75,3 0,22 3. szint 68,9 0,32 Község 70,3 0,26 4. szint 87,3 0,24 5. szint 95,4 0,17 6. szint 98,7 0,13 7. szint 99,7 0,14 103

106 MATEMATIKA 97/69. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05402 Az edzésen egy 2400 m hosszú pályán fut a nyíllal jelölt irányban, ahogy azt a következő ábra mutatja. Start Futásirány Jelöld vonallal az ábrán, hol fejezi be Kitti a 15 km-es futást! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! JAVÍTÓKULCS Megj.: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló által megjelölt hely alapján kell dönteni a válasz helyességéről (függetlenül attól, hogy számítások látszódnak-e vagy sem, jók-e a számítások vagy nem). A vonalak vastagságát, hosszúságát nem kell vizsgálni. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló nem vonallal jelölte a futás végét, hanem valamilyen más egyértelmű jelölést alkalmazott. Ha a tanuló a vonallal jelölt meg pontot, akkor azt kell vizsgálni. Ha a tanuló vonallal jelölte a pontot, akkor annak a görbével való metszéspontját, ha X-szel jelölte a pontot, akkor annak a középpontját vizsgáljuk, ha a nyíllal jelezte futás végét, akkor a nyílhegy végét kell vizsgálni, minden más esetben a jelölésnek teljes terjedelmével a megadott tartományban kell lennie. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és nem derül ki egyértelműen, melyik a végleges válasz (pl. áthúzta a rosszakat vagy odaírta, hogy melyik a jó stb.), akkor a választ 0-s kóddal értékeljük. Ha a tanuló több pontot is bejelölt és minden bejelölt pont az elfogadható tartományon belül van, akkor a választ 1-es kóddal kell értékelni. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és rajzolt olyat, amelyik nem metszi a futópályát, azt nem vesszük figyelembe. Ha a tanuló több pontot is megjelölt és azokról egyértelműen kiderül (pl. odaírta mellé az értékeket), hogy azok csak segédpontok (pl m-nél, 600 m-nél), akkor azokat nem vizsgáljuk. Ha tanuló felekre vagy negyedekre osztotta az ábrát, akkor az önmagában még nem számít jelölésnek (lásd 1-es kód 5., 7. és 8., illetve a 0-s kód 10. példaválasz), az ezen felüli jelölését kell vizsgálni. 104

107 8. ÉVFOLYAM 1-es kód: A tanuló a következő ábrán látható elfogadható tartományon belül jelölt meg egy pontot (beleértve a határvonalakat is). Ide tartoznak azok a válaszok is, amikor csak egy jelölés látható a megfelelő tartományban és 600 m-nek megfelelő felirat tartozik hozzá. Start Futásirány Elfogadható tartomány Számítás: 15 km = m Tanulói példaválasz(ok): : 2400 = 6,25 negyedkörnél lesz a vége Start Futásirány [Az X mellett egy nyilat is rajzolt, de a nyíl nem is érinti a futópályát, ezért ettől eltekintünk.] Start 1200 m Futásirány 6 kör m [A tanuló (segéd)pontot is megjelölt, de kiderül, hogy melyik a végleges válasza.] 105

108 MATEMATIKA Start Futásirány [A tanuló nyíllal jelölte a futás végét, a nyíl vége az elfogadható tartományba esik.] Start 1200 m Futásirány [Egyértelmű, hogy a végleges megoldás mellett egy részeredményt ábrázolt.] 600 m 600 m : : 2,4 = 6,25 kör Start Futásirány 600 m 600 m [A tanuló segédvonalakat is berajzolt, de a végleges válasz is egyértelmű, mert egy jelölés van.] 106

109 8. ÉVFOLYAM Start Futásirány [A megjelölt (utolsó) szakasz vége, a pont, az elfogadható tartományba esik.] 600 m 600 m 15 km = m : 2400 = 6,25 Start 6 teljes kör + 0,25 kör Futásirány 600 m 600 m [Speciális eset, az ilyen típusú negyedelő vonalakat, segédvonalaknak tekintjük, így a jelölése jó helyen van.] Start Futásirány [A függőleges felezővonalat nem tekintjük jelölésnek, alul jó helyen viszont látható a jó jelölés.] 107

110 MATEMATIKA Start kör 4 Futásirány [A szöveggel és a jelöléssel egyértelművé válik a jelölés.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetártoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló helyesen eljut a 6,25 körig, de a jelölés rossz vagy hiányzik. Azok a válaszok is 0-s kódat kapnak, amikor a tanuló elszámolta a körök számát és az elszámolt értéknek megfelelő jelölés nem esik a sablonon megadott elfogadható tartományba. Tanulói példaválasz(ok): 15 km = m : 2400 = 6,25 [Helyes számítás, de nincs jelölés.] 15 km = m : 2400 = 5,7 [Az ábrán ennek megfelelő jelölés.] [A jelölésnek a megadott tartományban kell lennie. Hiába helyes a művelet, számítási hibát követett el és hiába jelölte az elszámolt értéket helyesen, a jelölésnek a megadott tartományban kell lennie.] Start Futásirány [A Start mellett egy kis vonal látható.] 108

111 8. ÉVFOLYAM 2400 m Start Futásirány [Sok jelölés, nem egyértelmű, melyik a végső válasza, vagy ezek csak segédvonalak.] Start Futásirány 1 = = = = = = = = [A tanuló válaszából nem derül ki, melyik a végleges. 3 vonal is látható, az egyiket X-szel áthúzta.] Start Futásirány [A tanulónak vonallal kellett jelölnie, X-szel a javításokat kellett jelölnie. A jobb felső sarokban egy vastag vonal látható.] 109

112 MATEMATIKA Start Futásirány [A tanuló több vonalat is rajzolt, nem derül ki, melyik a végleges válasz. Nem számít a vonalak vastagsága, hosszúsága sem.] 1800 m 1500 m Start 2400 m itt fejezte be 1200 m Futásirány 600 m [Nem derül ki, melyik a végleges válasza, csak segédpontokat jelölt a számértékkel együtt.] Start Futásirány végleges [A vonallal megjelölt szakasz kilóg az elfogadható tartományból.] 110

113 8. ÉVFOLYAM Start Futásirány 150 itt [A tanuló a 15 km-t 150 méternek gondolja.] 1500 m Start 1800 m Itt fejezi be Kitti a futást 1200 m Futásirány 600 m [A tanuló a 15 km-t 1500 méternek gondolja.] Start Futásirány [A felezővonal melletti jelölése (a jobb felső negyedben) rossz helyen van.] 111

114 MATEMATIKA Start 1200 m Futásirány 600 m [Két jelölés is van.] Lásd még: X és 9-es kód. 112

115 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Mértékegység-átváltás, műveletsor, vizuális megjelenítés A feladat leírása: Mértékegység-átváltást is tartalmazó műveletsor eredményeképpen kapott osztási maradékot kell grafikusan megjeleníteni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0040 0,00010 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,20-0,35 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 32,8 0,16 1. szint alatt 1,4 0,31 Főváros 40,0 0,43 1. szint 4,4 0,26 Megyeszékhely 38,0 0,32 2. szint 8,4 0,26 Város 30,7 0,25 3. szint 16,1 0,25 Község 27,6 0,30 4. szint 33,7 0,31 5. szint 57,5 0,39 6. szint 78,3 0,51 7. szint 90,6 0,66 113

116 MATEMATIKA 98/70. FELADAT: FUTÓEDZÉS MM05403 Kitti edzőpartnere, Zsófi 5,5 perc alatt tesz meg egy kilométert. Egyik nap együtt edzenek, mindketten 9 km-t futnak. Egyszerre kezdenek el futni saját tempójukban. Hány perccel előzi meg Kittit Zsófi a 9 km-en? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D 0,5 perccel 4,5 perccel 5 perccel 5,5 perccel JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 114

117 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Műveletsor, tizedes tört A feladat leírása: A szövegben megadott információk alapján kell két műveletsor eredményét összehasonlítani. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0042 0,00022 Standard nehézség ,3 Tippelési paraméter 0,32 0,02 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,39-0,05-0,03-0,08-0,27-0,23 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 65,4 0,15 1. szint alatt 35,4 1,37 Főváros 72,9 0,39 1. szint 37,2 0,70 Megyeszékhely 69,4 0,36 2. szint 41,1 0,45 Város 64,0 0,25 3. szint 53,1 0,36 Község 59,6 0,32 4. szint 72,2 0,29 5. szint 85,4 0,27 6. szint 93,2 0,30 7. szint 98,7 0,28 115

118 MATEMATIKA 99/71. FELADAT: ANYAGKÉSZLET I. MM01601 Egy ruhakészítő négyféle anyagot vásárolt a következő táblázatban látható mennyiségben. Anyag neve Anyag mennyisége (méter) 1 m anyag ára Vászon Ft Selyem Ft Pamut Ft Dzsörzé Ft A ruhakészítés során először a legdrágább anyagot használta fel, amíg az el nem fogyott, utána a következő legdrágábbat, és így tovább. Az első hónap végére 310 méter anyaga maradt. Írd be a következő táblázatba, melyik anyagból mennyi maradt! Anyag neve Maradék (méter) Vászon Selyem Pamut Dzsörzé 116

119 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: A tanuló válaszát akkor is az adott kóddal kell értékelni, ha az értékeket nem az erre kijelölt helyre, hanem az eredeti táblázatba vagy a mellé írta. 1-es kód: A tanuló helyesen töltötte ki a táblázatot a következők szerint. Anyag neve Maradék (méter) Vászon 80 Selyem 0 Pamut 180 Dzsörzé 50 Tanulói példaválasz(ok): Anyag neve Maradék (méter) Vászon 80 Selyem Pamut 180 Dzsörzé 50 Anyag neve Maradék (méter) Vászon 80 Selyem Pamut 180 Dzsörzé 50 Anyag neve Vászon Selyem Pamut Dzsörzé Maradék (méter) összes 0 m összes 50 m 117

120 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): Anyag neve Maradék (méter) Vászon 0 Selyem 50 Pamut 180 Dzsörzé 80 [Selyem 100, Dzsörzé 150, Pamut 180, Vászon 80 - ár szerint sorrendben. Az olcsóbbakból fog maradni, azaz az utolsó háromból, de a táblázatban is az utolsó három cellát töltötte ki, nem vette észre, azok más sorrendben vannak.] Anyag neve Maradék (méter) Vászon 80 Selyem 180 Pamut 50 Dzsörzé 0 [Jó maradék értékek, rossz helyre írva.] Anyag neve Maradék (méter) Vászon 80 Selyem 100 Pamut 0 Dzsörzé 130 [A tanuló az anyagmennyiség nagyságát vizsgálta az áruk helyett és a további gondolat menete helyes.] Anyag neve Maradék (méter) Vászon 0 Selyem 100 Pamut 60 Dzsörzé 150 [A három legdrágább anyagból használt fel összesen 310 m-t.] Anyag neve Maradék (méter) Vászon 0 Selyem 0 Pamut 160 Dzsörzé 150 [A táblázat két utolsó sorával számolt.] Lásd még: X és 9-es kód. 118

121 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Számok felbontása, műveletsor, táblázat A feladat leírása: Szöveges információk és táblázat adatai alapján műveletsor elvégzése, majd táblázat kitöltése a műveletsor eredménye szerint. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00011 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0,3 0,0-0,3-0,16 0,43-0,30 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,2 0,15 1. szint alatt 1,2 0,30 Főváros 37,2 0,41 1. szint 3,3 0,29 Megyeszékhely 35,4 0,37 2. szint 7,4 0,25 Város 29,3 0,22 3. szint 18,4 0,30 Község 27,3 0,27 4. szint 35,0 0,30 5. szint 52,4 0,34 6. szint 64,2 0,63 7. szint 77,4 1,08 119

122 MATEMATIKA 100/72. FELADAT: MARATON MM09101 Egy maratoni futás szervezői megtervezték, mikorra várható a mezőny elejének, illetve végének az érkezése az útvonal kilométerpontjaihoz. A 9:30:00-s (9 óra 30 perc 0 másodperces) tömegrajt után a mezőny vége lassan indul meg, azután a szervezők az első kilométertől kezdve egyenletes futótempóval számolnak mind a első, mind az utolsó futóknál. A táblázatban az első 10 km adatai láthatók. Várhatóan hol tart majd a mezőny vége, amikor az eleje megérkezik a 10. kilométerhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 3,0 km-nél Km Mezőny eleje Mezőny vége 1 09:33:15 09:45: :36:30 09:53: :39:45 10:00: :43:00 10:08: :46:15 10:15: :49:30 10:23: :52:45 10:30: :56:00 10:38: :59:15 10:45: :02:30 10:53:00 B C D 3,3 km-nél 3,6 km-nél 3,9 km-nél JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 120

123 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.2) Kulcsszavak: Adatgyűjtés táblázatból A feladat leírása: Táblázat megfelelő adatát kell egy másik adatsor két adata között elhelyezni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0056 0,00038 Standard nehézség ,7 Tippelési paraméter 0,33 0,01 Nehézségi szint 6 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,28-0,02-0,07-0,08-0,06-0,18 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 45,1 0,16 1. szint alatt 33,0 1,10 Főváros 51,8 0,43 1. szint 32,0 0,67 Megyeszékhely 48,0 0,37 2. szint 32,1 0,47 Város 43,7 0,28 3. szint 34,4 0,36 Község 41,0 0,36 4. szint 41,9 0,30 5. szint 58,3 0,40 6. szint 80,6 0,48 7. szint 95,3 0,48 121

124 MATEMATIKA 101/73. FELADAT: TELJESÍTMÉNYTÚRA MM06401 Réka és Tünde teljesítménytúrán vett részt. A túrát a szervezők öt egyenlő szakaszra osztották, amelyek végén ellenőrző pontokat állítottak fel, ahol feljegyezték a versenyzők részidejét. A következő grafikonon Réka és Tünde időeredményei láthatók a rajttól a célig Réka Tünde 8 7 Idő (óra) Rajt 1. ellenőrző pont 2. ellenőrző pont 3. ellenőrző pont 4. ellenőrző pont Cél Milyen időeredménnyel zárta a versenyt Tünde?... óra... perc 122

125 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 123

126 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 9 óra 30 perc Elfogadhatók a 9.25 és 9.35 perc közötti időpontok, beleértve a határokat is. Azokat a válaszokat is elfogadjuk, amikor a tanuló órában (9,4 és 9,6 óra közötti értékek) és/vagy percben (565 és 575 perc közötti értékek) adta meg az időeredményt. Tanulói példaválasz(ok): 9,5 óra 9 és fél óra 9 óra 31 perc [Beleesik az elfogadható tartományba]... óra 570 perc [Helyesen adta meg az eredményt percben.] 9,5 óra 570 perc [Megadta helyesen az eredményt órában és percben is.] 9:30 óra 570 perc [Megadta helyesen az eredményt az óránál órában és percben, utána csak percben. Vesd össze: 0-s kód 14-es példaválasz] 9 és fél óra 5 perc [Valószínűleg nem tudta felbontani az órát percre, de értéke beleesik a 9 óra 35 perces megengedett tartományba.] 9:30 óra... perc [Az órához írta a perces értéket is.] 9 óra 0:30 perc [A perchez úgy írta be a 30-at, ahogy az órák megjelenítik a 30 percet.] 0-s kód: Más rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 9 óra 10 óra 9 óra 5 perc 9,3 óra 8,3 óra 8 óra 5 perc 90 ó 30 p 9 ó 570 p [Az eredmény rossz órában percben.] 8 óra 30 perc [Réka idejét adta meg.] 8,5 óra [Réka idejét adta meg.] 8 és fél óra [Réka idejét adta meg.] 8,5 ó 0 p [Réka idejét adta meg.] 9,5 óra 1200 perc [Az 1200 nem az órában megadott érték helyes átváltása percre.] 9.30 óra 558 perc [A tanuló a 9,3 órát váltotta át percre. Vesd össze: 1-es kód 5-ös és 6-os példaválasz] 9 óra fél perc [Rossz a percben megadott érték.] 9 óra 0,5 perc [Rossz a percben megadott érték.] 21 óra 30 perc [A tanuló az időtartamot időpontnak értette.] fél 10 [A tanuló az időtartamot időpontnak értette.] Lásd még: X és 9-es kód. 124

127 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása (érték) A feladat leírása: Egy diagramról kell egy értéket leolvasni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,39-0,28-0,27 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 73,9 0,15 1. szint alatt 10,0 0,65 Főváros 78,9 0,33 1. szint 31,0 0,71 Megyeszékhely 77,8 0,34 2. szint 53,4 0,48 Város 72,8 0,26 3. szint 71,6 0,33 Község 69,3 0,30 4. szint 82,2 0,27 5. szint 88,4 0,26 6. szint 92,7 0,33 7. szint 95,6 0,47 125

128 MATEMATIKA 102/74. FELADAT: LEKVÁRKÉSZÍTŐ ÜZEM MM11803 Egy gyárban a beérkező gyümölcsből lekvárt készítenek. Az elkészült lekvárt üvegekbe töltik, és tartósítószert adagolnak hozzá. Előírás szerint 1 kg lekvárhoz 10 gramm tartósítószer szükséges. Egy gép megméri az üres üveg tömegét, majd a lekvár betöltése után újra megméri a tömeget. Üres üveg tömege Lekvárral töltött üveg tömege Mért tömeg 351 g 1218 g Hány GRAMM tartósítószert kell tenni ebbe az üvegbe az előírás szerint? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!... gramm 126

129 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS Megj.: 1-es kód: Ennél a feldatnál számolási hiba akkor sem fogadható el, ha látszik a helyesen felírt műveletsor. Mértékegységátváltási hiba sem fogadható el, még akkor sem, ha látszik a rossz átváltás. 8,67 g vagy ennek kerekítései. Elfogadhatók tehát a 8 g, 8,5 g, 8,6 g, 8,7 g vagy 9 g értékek. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: = 867 g 1 kg = 1000 g 10 g 867 g x g x = 867 : = 8,67 g Tanulói példaválasz(ok): = x = x = 8,67 [Rossz értéket írt, de valójában a helyes értékkel számolt.] = g = 0,867 kg 1 kg 10 g 0,867 kg 8,673 g = 867 0, = 8,67 gramm kell 9 [A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható.] 1 kg lekvár: 10 g üveg: 351 g teli üveg: 1218 g = 867 g g 9 gramm [A 867-et 900-ra kerekíti, ez alapján jó a 9.] = 867 8,5 gramm [8,5-re való kerekítés elfogadható.] 1 kg lekvár 10 g tartósítószer 351 g üres ü g töltött ü = 867 g lekvár az üvegben 1000 g l 10 g t 1,15 10 : 1,15 = 8,7 g 867 g l? g t 8,7 gramm [Megfelelő számpárok arányával dolgozik, kerekítési pontatlanság.] = 867 g lekvár 1000 g 10 g t : 1,15 : 1, g 8,69 g t 8,69 gramm [Megfelelő számpárok arányával dolgozik, kerekítési pontatlanság.] 127

130 MATEMATIKA = 867 lekvár tömege 8,67 dkg lekvárhoz 8,67 gramm tartósító kell [dkg-mal nem kellett volna számolni, azt elrontotta a tanuló, de következetesen, mert a tartósítószer grammban helyesen kijött. Mivel a dkg átváltása nem volt feladat, ezt a választ elfogadjuk.] = 8,67 8,67 gramm [A számításnál nem írt le minden műveletet, a pontozott vonalra leírt eredmény helyes.] 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): = 0,01 kg 1 kg 0,01 kg (tart.) 1,218 kg 0,01218 kg 0,01218 kg tartósítószert kell belerakni = 867 g lekvár 1000 g lekvár 867 g lekvár egyenes arányosság 10 g tart 86,7 g tart = kg 10 g 1,218 kg x g 1, = 12,18 g 12,18 g tartósítószert kell beletenni. 1 kg = 100 g 10 g / 8, g x g x = 10 8,67 = 86,7 g [Mértékegységváltási hiba.] = 864 g lekvár 1 kg 1 g 864 g 8,6 g 8,6 gramm [A kivonás eredményét elszámolta : 351 = 8,67 [Zavaros gondolatmenet.] g lekvár 1000 g ~ 10 g tart 867 g ~ x x = = 8, gramm [Rossz válasz, nem derül, hogy a 8,67-ből hogyan lett 867.] Lásd még: X és 9-es kód. 128

131 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Adatok értelmezése, arányszámítás 1-hez viszonyítva A feladat leírása: Táblázat adatainak értelmezése után egy alapművelet eredményével kell elvégezni egy 1-hez viszonyított arányszámítást. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0043 0,00011 Standard nehézség ,6 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,19-0,36 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 31,1 0,14 1. szint alatt 1,1 0,28 Főváros 38,7 0,39 1. szint 2,1 0,22 Megyeszékhely 35,7 0,35 2. szint 4,9 0,21 Város 29,1 0,21 3. szint 13,7 0,26 Község 25,9 0,30 4. szint 31,9 0,33 5. szint 57,1 0,36 6. szint 78,8 0,56 7. szint 91,5 0,64 129

132 MATEMATIKA 103/75. FELADAT: LEKVÁRKÉSZÍTŐ ÜZEM MM11805 A dobozokba csomagolt lekvárosüvegeket a gyárból egy raktárba szállítják a következő ábrán látható, feketével jelölt útvonalon. Gyár Raktár A következő utasítások közül melyik írja le helyesen a gyárból a raktárhoz vezető útvonalat? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Induljon el forduljon a második lehetőségnél jobbra forduljon a második lehetőségnél balra forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra az út végén találja a raktárt. Induljon el forduljon a második lehetőségnél balra forduljon a második lehetőségnél jobbra forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra az út végén találja a raktárt. Induljon el forduljon a második lehetőségnél jobbra forduljon a második lehetőségnél jobbra forduljon a harmadik lehetőségnél balra az út végén találja a raktárt. Induljon el forduljon a második lehetőségnél balra forduljon a második lehetőségnél balra forduljon a harmadik lehetőségnél jobbra az út végén találja a raktárt. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 130

133 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.3.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Irányok, térkép A feladat leírása: Térképen adott útvonalhoz irányok megadása. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0028 0,00008 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,40-0,02-0,11-0,16-0,18-0,21 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 60,1 0,16 1. szint alatt 11,1 0,78 Főváros 66,8 0,39 1. szint 20,3 0,58 Megyeszékhely 64,5 0,39 2. szint 34,9 0,51 Város 58,8 0,28 3. szint 53,1 0,36 Község 54,5 0,31 4. szint 67,8 0,31 5. szint 78,8 0,30 6. szint 85,7 0,48 7. szint 93,0 0,69 131

134 MATEMATIKA 104/76. FELADAT: IDŐJÁRÁS-ELŐREJELZÉS MM12702 A következő diagramon az őszi szünetre szóló időjárás-előrejelzés látható. Hőmérséklet ( C) Maximum-hőmérséklet Minimum-hőmérséklet 0 Hétfő Kedd Szerda Csütörtök Péntek Szombat Vasárnap Napi hőingásnak nevezzük a napi maximum- és minimum-hőmérséklet különbségét. Melyik napra várható a legnagyobb napi hőingás? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D E hétfő kedd szerda csütörtök vasárnap JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 132

135 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.1) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.6) Kulcsszavak: Statisztikai adatgyűjtés diagramról A feladat leírása: A tanulónak egy két adatsort ábrázoló diagramról kell leolvasnia, hogy a vízszintes tengely mely pontjához tartozik az adatsorok közötti legnagyobb különbség. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0042 0,00013 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,38-0,20-0,21-0,16-0,10-0,04-0,10 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 91,1 0,09 1. szint alatt 31,9 1,25 Főváros 93,9 0,20 1. szint 60,5 0,69 Megyeszékhely 93,7 0,18 2. szint 80,5 0,35 Város 90,7 0,16 3. szint 92,0 0,20 Község 87,7 0,19 4. szint 97,4 0,09 5. szint 98,9 0,08 6. szint 99,6 0,08 7. szint 100,0 0,00 133

136 MATEMATIKA 105/77. FELADAT: OSZTÁLYTALÁLKOZÓ MM21801 Az elballagott osztályok általában 4 vagy 5 évente osztálytalálkozót szerveznek. Egy osztály 2013-ban ballagott el az iskolából. Megegyeztek, hogy 5 évente osztálytalálkozót szerveznek. A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 2027 B 2028 C 2029 D 2030 E 2031 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 134

137 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.4) Kulcsszavak: Maradékok vizsgálata A feladat leírása: A tanulónak azt a számot kell kiválasztania, amelynek egy adott számmál való különbsége 5-tel osztható. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség ,4 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,34-0,15-0,13-0,09-0,03-0,11-0,21 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 88,8 0,11 1. szint alatt 31,1 1,23 Főváros 91,1 0,26 1. szint 57,9 0,70 Megyeszékhely 91,5 0,23 2. szint 78,9 0,39 Város 88,5 0,18 3. szint 90,3 0,22 Község 85,8 0,23 4. szint 94,4 0,17 5. szint 96,2 0,15 6. szint 97,6 0,19 7. szint 99,0 0,23 135

138 MATEMATIKA 106/78. FELADAT: OSZTÁLYTALÁLKOZÓ MM21802 Kati néni egy 2002-ben és egy 2008-ban elballagott osztálynak is az osztályfőnöke volt. Mindkét osztály 4 évente szervez osztálytalálkozót től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást e két osztály valamelyikétől? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 136

139 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.4.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Szabály felismerése, szabálykövetés A feladat leírása: Első elemével és differenciájával adott két számtani sorozat közös elemei által alkotott sorozat differenciáját kell meghatározni. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0036 0,00017 Standard nehézség ,9 Tippelési paraméter 0,13 0,02 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,02-0,08-0,16-0,16-0,13-0,24 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 57,5 0,17 1. szint alatt 16,0 0,90 Főváros 67,1 0,42 1. szint 22,1 0,62 Megyeszékhely 62,1 0,36 2. szint 30,9 0,46 Város 55,3 0,26 3. szint 45,1 0,29 Község 51,4 0,33 4. szint 63,6 0,34 5. szint 80,4 0,29 6. szint 91,9 0,34 7. szint 97,9 0,33 137

140 MATEMATIKA 107/79. FELADAT: TRIOMINOS MM14201 A triominos olyan dominójáték, amely háromszög alakú lapocskákból áll, amelyeknek a sarkaira különböző számú pont van felfestve 0 és 5 között. A játék során a játékosok a lapocskákat úgy helyezik egymás mellé, hogy az egymással érintkező csúcsokon lévő pontok száma azonos legyen. A következő ábrán egy megkezdett játék pillanatnyi állása látható. A B C D E F Írd be a fenti ábrán látható üres mezőkbe azoknak az ábra melletti lapocskáknak a betűjelét, amelyek a szabály szerint odahelyezhetők! 138

141 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 139

142 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megj.: Ha a tanuló egy helyre több betűt is beírt, válaszának az a része nem elfogadható. Ha a tanuló a kijelölt helyre nem írt semmit, meg kell vizsgálni, nem alkalmazott-e más, egyértelmű jelölést a válasz megadására. Azokat a válaszokat is elfogadjuk, amikor a tanuló nem írt a kijelölt helyre, de valamilyen egyértelmű jelöléssel a megfelelő helyhez a megfelelő betűket rendelte. Nem fogadható el az a válasz, amikor a tanuló betűjel helyett számot írt. Ha a tanuló több betűt írt egymás fölé és nem derül ki, melyik betűt szánta végsőnek (pl. megerősítette az egyiket), az adott betű nem elfogadható. 2-es kód: Mindkét helyre helyes betűt írt a tanuló, a következő ábra szerint. B E Tanulói példaválasz(ok): A B C D E F [Berajzolta a megfelelő pontokat ÉS az ábrák betűjelét is megadta. E két dolog együttes megléte már egyértelműen megadja a jó választ.] 140

143 8. ÉVFOLYAM 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik helyre írt helyes betűt, a másik rossz vagy hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): B A [Csak a B betű a helyes.] C E [Csak az E betű a helyes] B, C E [Csak az E betű a helyes] E BC [Az E jó, a másik B is és C is és nem derül ki egyértelműen, melyik a végső.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azoka a válaszok is, amikor a tanuló berajzolta az ábrába a megfelelő számú pontot, de nem választotta ki a megfelelő betűjelet. Azok a válaszok is 0-s kódot kapnak, amikor a tanuló csak a betűk jelét karikázta be, azok betűjelét nem írta be a megfelelő négyzetbe, azaz nem derül ki, hogy melyik betű, melyik helyhez tartozik. Tanulói példaválasz(ok): C D [Egyik betű sem megfelelő.] 141

144 MATEMATIKA A F [Egyik betű sem megfelelő.] B E [Felcserélte a két betűt.] B, C D, E [Egyik betű sem megfelelő.] 2 5 [Betű helyett számot írt.] A B C D E F [Nem elég, ha ábrázolja a játéklapo(ka)t.] Lásd még: X és 9-es kód. 142

145 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.1.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.4) Kulcsszavak: Geometriai transzformáció, elforgatás, szabály A feladat leírása: A tanulónak egy szabály ismeretében geometriai transzformációkat (elforgatás) kell végrehajtania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0021 0,00005 Standard nehézség ,2 1. lépésnehézség lépésnehézség 14 8 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,05-0,26-0,33 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 57,9 0,15 1. szint alatt 9,5 0,59 Főváros 65,9 0,33 1. szint 18,9 0,43 Megyeszékhely 62,5 0,32 2. szint 31,8 0,35 Város 56,7 0,19 3. szint 48,9 0,33 Község 51,0 0,30 4. szint 65,2 0,25 5. szint 78,2 0,27 6. szint 87,3 0,33 7. szint 94,4 0,40 143

146 MATEMATIKA 108/80. FELADAT: KÖZÖS UDVAR MM15702 Egy társasház három épülete veszi körbe azt a közös udvart, amelyet a lakók hasznosítani szeretnének vagy kertként, vagy parkolót kialakítva. Azt a tervet valósítják meg, amelyikre több lakó szavaz. A szavazatok számát az alábbi táblázat tartalmazza. Támogatott terv A épület (48 lakó) B épület (60 lakó) C épület (92 lakó) KERT 21 szavazat 27 szavazat 71 szavazat PARKOLÓ 27 szavazat 33 szavazat 21 szavazat Az egyik lakó szerint a parkolót fogják megépíteni, mert a három épület közül kettőben, az A-ban és a B-ben is a parkolóra szavaztak többen. A táblázat adatai alapján MATEMATIKAI ÉRVEKKEL CÁFOLD a lakó kijelentését! Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! 144

147 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 145

148 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ha a válasz helye üres vagy a válasznál szereplő szöveges részben nem szerepelnek számok, akkor meg kell nézni a teljes oldalt, mert könnyen előfordulhat, hogy a tanuló a számításait a táblázat mellett végezte el, vagy a feladat kerete alá írta. Mivel érvelést várunk ennél a feladatnál (ellentétben azokkal a feladatokkal, ahol konkrét eredményt várunk) azok a válaszok nem fogadhatók el, amelyben helytelen módszerrel kapott értékek is szerepelnek ÉS nem egyértelmű, melyik a tanuló végső válasza/mi alapján döntött. Nem tekintjük hibának viszont, ha a helyes értékek (helyes módszer) szerepelnek a tanuló válaszában, és emellett olyan szöveges indoklást is írt, amely igaz ÖSSZEHASONLÍTÁSOKAT tartalmaz, de önmagában nem lenne elegendő a kertre szavazók többségének bizonyítására. 1-es kód: Az indoklásban szereplenie kell a kertre szavazók ÉS a parkolóra szavazók összesített számának (119 ÉS 81), VAGY a kertre és parkolóra szavazók száma közötti különbségének (38), VAGY a kertre szavazók ÉS az összes szavazó számának (119 ÉS 200), VAGY a parkolóra szavazók ÉS az összes szavazók számára (81 ÉS 200). A válaszból egyértelműen ki kell derüljön, hogy ezek az adatok mihez tartoznak. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól eltérő érték csak akkor fogadható el helyes indoklásként, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes művelet sor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott, és a kijelentés értékelése a számoknak megfelelő. Elfogadjuk azokat a válaszokat is, amikor szerepelnek a megfelelő értékek, amelyek cáfolják a feladat szövegében szereplő állítást és emellett olyan magyarázat olvasható, amely igaz, de nem elégséges feltétel. Tanulói példaválasz(ok): Összesen 119-en szavaztak a kertre a 200 szavazatból, tehát ők vannak többségben. 119 kert, és csak 81 parkoló van, tehát inkább kertet kéne építeni. A kertre 38-cal többen szavaztak % : = 59,5% a kertre szavazók aránya. 119 > 81 kert parkoló = 38, 38 emberrel több szavazott a kertre Parkoló: = 81 Kert: = 119 Kert: = 59 Parkoló: = 81 tényleg a parkolóra szavaztak többen. [Helyes módszer számolási hibával, az így kapott rossz eredménynek megfelelő következtetést von le a tanuló.] 146

149 8. ÉVFOLYAM Azért nem a parkolót fogják megépíteni, mert A B C ez így össz össz. 81 [A táblázatban szereplő adatokat kimásolta, a kertre és a parkolóra szavazókat helyesen összegezte.] = = 81 [A táblázatban szereplő adatokat kimásolta, a kertre és a parkolóra szavazókat helyesen összegezte.] A: 6-tal több szavazat B: 6-tal több szavazat 12-vel több szavazat C: 50-nel több szavazat a kertre, így többségben vannak, akik kertet akarnak [Helyes indoklás, részleteiben magyarázta meg a különbséget (12 és 50).] = 0,4 100 = 40% = 0,6 100 = 60% Nem attól függ, hogy hol szavaztak többen. Figyelembe kell venni, hogy a különböző épületekben többen, kevesebben laknak. Összeadjuk a szavazatokat és elosztjuk a lakók összegével, majd megszorozzuk 100-al, így kijön százalékosan. [Helyesen számolja a százalékot, kerekített értékeket ír.] Parkoló A épület 27 sz B épület 33 sz össz.: 60 sz Kert C épület 71 sz Kert A épület 21 sz B épület 27 sz össz.: 48 sz. Parkoló C épület 21 sz [Az A és B épület parkolóra szavazóit hasonlítja a C kertre szavazóival, valamint a C parkolóra szavazóit az az A és B kertre szavazóival, mindkettőben a kertre szavazók vannak többségben és figyelembe vesz minden szavazót.] Kert 200 lakóból: 119 szavazat Parkoló 200 lakóból: 81 szavazat Lehet, hogy az A és B házból többen szavaztak a parkolóra, mint kertre, de a C házból több mint háromszorosa szavazott a kertre, mint a parkolóra. [A szövegesen megfogalmazottak állítás ugyan nem elégséges feltétel indoklásként, a megadott számadatokkal együtt a válasz elfogadható.] Parkoló: = 81 : 3 = 27 Kert: = 119 : 3 = 39,6 Kertre szavaztak többen. [A 81 és 119 után még meghatározza, mennyien szavaztak átlagosan a két opcióra, amiből szintén jó kövekeztetésre jut.] Igen, viszont a C-ben 71-en szavaztak a kertre, ami az összes lakóhoz mérve 35,5% plusz a többi szavazat, az 24%, ami összesen 59,5, ami több, mint a fele, ezért a parkolóra már seemi esély. [Helyesen számol százalékokkal. külön kiszámolja a C-ben és az A+B-ben a kertre szavazók arányát (a 200 főhöz viszonyítva).] 147

150 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): Nem ugyanannyian szavaztak az épületekben, úgyhogy együtt kéne nézni inkább, és úgy a kertet akarók vannak többen! Viszont a C épületben többen szavaztak a kertre, mint az A+ B épületben összesen a parkolóra. kert: 119 parkoló: 71 [A parkolóhoz megadott érték rossz.] A + B = = 60 szavazat 71 szavazat van a parkoló ellen, ezért nem fogják megépíteni a parkolót [Nem a megfelelő adatokat hasonlítja össze, nem adja meg, hogy az összes parkolóra szavazó száma hogyan alakul az összes kertre szavazó számával a C épületet is figyelembe véve.] Nem fogják feltétlen a parkolót megépíteni, mert az igaz, hogy az A és a B épületben szavaztak rá, de összesen több szavazatot kapott a kert a C épület miatt. [Csak a feladat szövegét ismételte meg.] Nem az számít, hogy az A + B épületben mennyien szavaztak. A + B + C a teljes szavazás, ezért nyert a kert a szavazáson 119 szavazattal. [Csak a 119 szerepel, egyébként a feladat szövegét ismétli csak meg.] = 119 : = 81 A < B < C [Szerepelnek az elfogadható adatok, meg vannak adva az épületenkénti adatok is, így a bizonyítás nem eléggé egyértelmű.] = 200 Kert: 119 ember A kertet lakók 23,8%-a szeretné ,200 = 23,6 Parkoló: 81 ember A parkolót 16,2% az embereknek. 81 0,200 = 16,2 [Ugyan megvannak a helyes részeredmények, utána helyetelen műveletet végez, rossz módszerrel számol százalékot.] Lehet, hogy az A és B házból többen szavaztak a parkolóra, mint kertre, de a C házból több mint háromszorosa szavazott a kertre, mint a parkolóra. [A szövegesen megfogalmazott állítás igaz, de nem elégséges feltétel indoklásként. Lehetnének olyan adatok, ahol ez igaz, mégis a parkolóra szavazók vannak összességében többen.] Lásd még: X és 9-es kód. 148

151 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.4) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.5) Kulcsszavak: Táblázat értelmezése, érvelés A feladat leírása: A feladatban a tanulónak azt kell eldöntenie, milyen statisztikai módszert alkalmaz, amelynek helyes kiválasztása után két összeget kell összehasonlítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0038 0,00012 Standard nehézség ,9 Nehézségi szint 4 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, ,3 0,0-0,3-0,01 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6-0,51 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 48,3 0,17 1. szint alatt 1,6 0,33 Főváros 59,5 0,43 1. szint 6,1 0,38 Megyeszékhely 56,2 0,31 2. szint 16,3 0,35 Város 46,5 0,26 3. szint 34,1 0,33 Község 38,0 0,30 4. szint 55,9 0,32 5. szint 75,4 0,37 6. szint 87,1 0,39 7. szint 93,5 0,50 149

152 MATEMATIKA 109/81. FELADAT: HŐLÉGBALLONVERSENY MM16702 Péter hőlégballonozik. Az alábbi diagram repülési magasságának a VÁLTOZÁSÁT ábrázolja 15 percenként, azaz azt mutatják az oszlopok, hány métert emelkedett vagy süllyedt az előző adathoz képest Emelkedés (m) Idő (perc) Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis az alábbi állítások közül! Válaszodat a megfelelő kezdőbetű besatírozásával jelöld! Igaz Hamis A hőlégballon kb. 100 métert süllyedt a 45. és a 60. perc között. I H A hőlégballon a 75. és a 90. percben ugyanolyan magasan volt. I Az emelkedés kevesebb mint 75 percig tartott. I A 75. percben magasabban volt a hőlégballon, mint a 15. percben. I H H H JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: HAMIS, HAMIS, IGAZ, IGAZ ebben a sorrendben. 150

153 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.1.1) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Összefüggések leolvasása diagramról, műveletsor A feladat leírása: A tanulónak egy oszlopdiagramot kell értelmeznie, arról adatokat leolvasnia és azokkal egy egyszerű műveletsort elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0049 0,00021 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,30-0,12-0,21 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 5,9 0,08 1. szint alatt 1,6 0,36 Főváros 10,6 0,25 1. szint 1,9 0,23 Megyeszékhely 7,3 0,20 2. szint 1,7 0,13 Város 4,8 0,12 3. szint 1,3 0,07 Község 3,7 0,13 4. szint 2,7 0,10 5. szint 7,9 0,20 6. szint 23,4 0,51 7. szint 61,6 1,24 151

154 MATEMATIKA 110/82. FELADAT: VÉDŐOLTÁS MM17401 A központi egészségügyi szolgálat influenza elleni védőoltást ajánlott fel kedvezményes áron rászoruló számára, amit 76%-uk kért és meg is kapott. Később a nemmel válaszolókat ismét megkérdezték, hogy nem gondolták-e meg magukat, ekkor 30%-uk mégis kérte a védőoltást. Összesen a rászorulók hány SZÁZALÉKA kapott kedvezményes áron védőoltást? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!... %-a 152

155 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 153

156 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megj.: 2-es kód: Ennél a feladatnál, ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. 83,2% vagy ennek kerekítése 83%-ra vagy 84%-ra. A 83% és 84% közötti értékek (beleértve a határokat is) számítás nélkül is elfogadhatók. Látható jó gondolatmenet és számítások mellett kerekítési pontatlanságok/számolási hiba miatt adódó, ettől eltérő értékek is elfogadhatók. Idetartoznak azok a válaszok is, amelyekben a helyes eredmény a rászorulók számának felhasználásával adódott, és azok is, amelyekben nem. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Számítás: 76% kérte első körben % = 24% nem kérte első körben, de ennek a 30%-a, 24% 0,3 = 7,2% kérte a második körben. Összesen tehát 76% + 7,2% = 83,2%. Számítás a rászorulók számát felhasználva: ,76 = = ,3 = = : = 0,832 83,2% Tanulói példaválasz(ok): ,76 = elsőre = ,3 = másodszorra összesen = 100% = 83,2% ,76 = = ,3 = = : = 0, ,88% [Az összeadásnál számolási hiba, jó gondolatmenet.] 36 0,3 = 07,2 7,2 = 30% 83,2%-a [Rossz adatot ír (24 helyett 26), de valójában a helyes adattal számol, a további gondolatmenet helyes.] 154

157 8. ÉVFOLYAM 100% = % = : 100 = 1503, , = % = = : 100 = 360, = % = = = ,5% [A százalékszámítás eredményeit kerekíti.] 100% = Kész: Nem kész: később kész: / = 0, = 83,2% [A t az utolsó osztásnál elírja, de valójában jó adattal számol, az eredmény is jó.] x = = 114, nem kért mégis kért 83,5%-a [Helyes műveletsor, a 83,5 elfogadható érték.] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló a helyesen kiszámított tizedestörtet nem válatotta át százalékra, ezért válasza 0,832 vagy 0,83 vagy 0,84 VAGY 0,832% vagy 0,83% vagy 0,84%. A 0,83 és 0,84 közötti értékek (beleértve a határokat is) látható számítások nélkül is elfogadhatók (százalékjellel vagy anélkül). Tanulói példaválasz(ok): = 24 0,76 + 0,24 0,3 = 0,76 + 0,072 = 0, : 0,76 = ,3 = : = 0,832% 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor tanuló a 80%-ot számolás nélkül vagy rossz gondolatmenettel kapta meg. Tanulói példaválasz(ok): ,76 = ,3 = = ember kapott oltást 76% % összesen : ,5 = 8,32% 100 8,32 = 91,68% = 106 [A tanuló összeadta a százaléklábakat.] 76% + 30% [A tanuló összeadta a százaléklábakat.] 106% 0,76 0,3 = 0,228 22,8 [A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 22,8% vagy 23%.] 155

158 MATEMATIKA ,76 = ,3 = ,5 34,285,5 : = 0,228 [A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 0,228 vagy 0,23.] % % % x 70% x 30% ,5 x = = , , [A tanuló a 76%-nak számolta ki a 30%-át, ezért válasza 22,8% vagy 23%.] = : 3 = 8 84%-a [Módszertani hiba, 30% számolásánál 3-mal oszt.] ,76 = = ,3 = = : = 1,2 2 1,2 = 0,8 80%-a [A végén fordítva oszt, rossz gondolatmenet.] = 0,8 = 80% [Rossz gondolatmenet.] (26 : 100) 30 = 7 80%-a [Rossz válasz, nem látszik hogy a 80 milyen műveletsor eredménye.] = 22,8 23% Lásd még: X és 9-es kód. 156

159 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.2) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Százalékérték-számítás A feladat leírása: A tanulónak összetett százalékérték-számítási problémát kell megoldania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0060 0,00017 Standard nehézség ,0 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,02-0,13-0,36 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 22,9 0,12 1. szint alatt 0,1 0,08 Főváros 32,0 0,36 1. szint 0,3 0,10 Megyeszékhely 29,0 0,30 2. szint 1,3 0,10 Város 21,2 0,19 3. szint 4,3 0,14 Község 15,2 0,23 4. szint 18,5 0,27 5. szint 48,1 0,39 6. szint 77,5 0,52 7. szint 93,6 0,53 157

160 MATEMATIKA 111/83. FELADAT: POHARAK MM19702 Zoli 1 dl üdítőt öntött a képen látható pohárba. Jelöld be a poháron a bele töltött folyadék szintjét! Ha javítottad a jelölésedet, írd oda, melyik a végleges! 3 dl 158

161 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 159

162 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: A kódolás sablon segítségével történik. A tanuló jelölésének a tartományon belül kell lennie, a tartomány határvonalára eső válaszok még elfogadhatók. A SABLONT A 3 DL-ES JELÖLÉSHEZ ÉS SZÖVEGHEZ KELL IGAZÍTANI. Ha a tanuló csak egy kis vonallal jelölte meg a folyadék szintjét a pohár szélén, akkor azok metszéspontját kell vizsgálni, ha vonal a pohár teljes keresztmetszetén végighalad, akkor annak teljes terjedelmével az elfogadható tartományon belül kell lennie a pohár belsejében. Ha a tanuló satírozással jelölte meg a benne lévő folyadék mennyiségét, akkor a satírozás felső határának TELJES TERJEDELMÉBEN az elfogadható tartományban kell lennie. Nem számít hibának, ha a tanuló meghosszabbította a 3dl jelölését. UGYANÍGY NEM SZÁMÍT HIBÁNAK, HA MEGHOSSZABBÍTJA A SZÜRKE RÉSZ FELSŐ VONA- LÁT. Ha a tanuló egyetlen vonalat jelölt be, nem kell nézni, milyen mennyiséget írt mellé, a vonal megfelelőségét kell vizsgálni. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és írt melléjük mennyiséget, azt a vonalat kell értékelni, amelyik mellé az 1 dl-t írta. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és írt melléjük az 1 dl-től különböző mennyiséget, ÉS egyetlen olyan vonal van, amihez nem írt semmit, akkor ezt az egyetlen vonalat nézzük. Ha a tanuló több vonalat is bejelölt és mindegyik vonal az elfogadható tartományban van, akkor a választ 1-es kóddal kell értékelni. 1-es kód: A tanuló a következő ábrán megadott elfogadható tartományban jelölte meg a folyadékszintet. 3 dl elfogadható tartomány 160

163 8. ÉVFOLYAM Tanulói példaválasz(ok): 3 dl 3 dl 3 dl [A 3dl-nél a jelölést meghosszabbította, az nem számít hibának, a másik jelölés jó.] 3 dl 2 dl [Helyes jelölés, a dl értékétől eltekintünk - nem volt a feladat része ennek megadása.] 3 dl [Nem tekintjük hibának, ha a szürke rész felső vonalát is meghosszabbította. A tanuló igazi jelölése a tartományon belül van.] 161

164 MATEMATIKA 0-s kód: Rossz válasz. Tanulói példaválasz(ok): 3 dl [Két jelölés is van az ábrán, nem egyértelmű, melyik a megoldás.] 3 dl [A vonal túl vastag, nem esik bele az egész az elfogadható tartományba.] Lásd még: X és 9-es kód. 162

165 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Alakzatok, tájékozódás (3.2.4) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Forgásszimmetrikus test térfogata A feladat leírása: Egy hordó alakú test térfogatának 1/3-át kell megbecsülni és bejelölni a rajzon. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0013 0,00006 Standard nehézség ,5 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás , ,3 0,0-0,3-0,02 0,18-0,27 0 Az egyes kódok előfordulási aránya (%) -0,6 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 40,6 0,16 1. szint alatt 17,8 0,93 Főváros 42,7 0,47 1. szint 28,1 0,67 Megyeszékhely 42,5 0,33 2. szint 33,5 0,43 Város 40,0 0,26 3. szint 35,8 0,29 Község 38,5 0,28 4. szint 40,1 0,32 5. szint 48,4 0,44 6. szint 57,4 0,64 7. szint 70,6 0,97 163

166 MATEMATIKA 112/84. FELADAT: EURÓÁRFOLYAM MM17701 Péter bankkártyával szokott vásárolni. Minden vásárlás után SMS-t kap a vásárlás összegéről és arról, mennyit költött összesen az adott hónapban. Péter épp külföldön tartózkodik, és egy boltban vásárol. A következő SMS-t kapja: :30 Vásárlás összege: 8,5 euró. A hónapban felhasznált összeg: Ft. Péter megnézte az előző vásárláskor kapott SMS-ét, abban ez állt: :51 Vásárlás összege: Ft. A hónapban felhasznált összeg: Ft. Hány forintot számolt a bank 1 euróért, ha a két vásárlás között nem változott a számlán lévő összeg? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek!... forintot 164

167 8. ÉVFOLYAM JAVÍTÓKULCS 1-es kód: 320 Ft. A helyes érték látható számítások nélkül is elfogadható. Mértékegység megadása nem szükséges. Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor fogadható el, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló számításaiból egyértelműen kiderül, hogy 1 euró 320 forintot ér, de a tanuló a válasz megadására kijelölt helyen mégis forintban adta meg a vásárlás összegét. Számítás: = : 8,5 = 320 Tanulói példaválasz(ok): ( ) : 8,5 = = 8,5x 2720 = 8,5x 320 = x 320 Ft = = 320 [Nem írta le a 8,5-del való osztást, de a helyes eredmény arra utal, hogy azzal számolt.] ( ) : 8,5 = 320 Ft ,5 = : 8,5 = 320 Ft 1 euró = 2720 : 8,5 = 340 [Számolási hiba, de látszik a helyes műveletsor.] 320 euró forintot [Mértékegység megadása nem szükséges.] = : 85 = 320 [Jók a műveletsorok, az osztás elvégzéséhez bővítette a törtet.] = : 8,5 = : 85 = 437,6 437,6 8,5 = = 437,6 forintot [Helyes műveletsorok, de a tanuló elszámolta az egyik műveletsor eredményét. Kivonás műveletet várunk, így az aláhúzást (53450 és számok alatt) annak tekintjük.] = 2720, azaz 8, : 8,6 = 320-ot ért 1 euro 2720 forintot [A tanuló számításaiból egyértelműen kiderül, hogy 320 Ft-ot ért 1 euró.] Ft Ft 2720 Ft = 8,5 euró 1 euró = 320 Ft 2720 forintot [A tanuló számításaiból egyértelműen kiderül, hogy 1 euró 320 Ft.] 165

168 MATEMATIKA = : 85 [A tanuló jó műveletsorokat írt fel, a műveletsor eredményét nem számította ki, az osztásnál bővítette a törtet.] 8,5 euró 2720 Ft = 2720 : 8,5 = 340 [A műveletsorok helyesek, az osztás eredményét elszámolta.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló 8 euróval számolt 8,5 euró helyett. Tanulói példaválasz(ok): 8,5 e Ft 1 e? : 8,5 = 177,6 V: 177,6 Ft-ot ér egy euró [Rossz gondolatmenet.] 8,5 euró Ft 1 euró 6288 Ft [A tanuló az utolsó felhasznált összeg alapján számolt.] : 8,5 = 6288 Ft [A tanuló az utolsó felhasznált összeg alapján számolt.] = Ft x x = forintot : 8,5 = ,8 [Módszertani hiba, az osztás eredményét vonta ki az ből, nem jó sorrendben végezte el a műveleteket.] = 2720 : 8 = 340 [8,5 euró helyett 8 euróval számolt, és osztóként is 8-at írt.] : 8,5 = ,266 forintot [Rossz gondolatmenet.] : 8,5 = 317 forintot [A két szám különbségénél nem látszik a művelet, ezért a 2700 nem tekinthető számolási hibának.] = 8,5 euró 2720 / 8 = 340 [A 8,5-et kerekíti 8-ra, amit ennél a feladatnál nem tehet meg, ld. 0-s kód definíciója.] Lásd még: X és 9-es kód. 166

169 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Műveletsor A feladat leírása: Szövegesen megadott információk alapján műveletsor felírása és elvégzése. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0058 0,00016 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,20-0,38 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 32,8 0,15 1. szint alatt 0,2 0,11 Főváros 43,6 0,41 1. szint 1,2 0,16 Megyeszékhely 39,7 0,37 2. szint 3,6 0,17 Város 30,8 0,23 3. szint 11,8 0,23 Község 23,6 0,27 4. szint 31,8 0,33 5. szint 65,0 0,38 6. szint 89,4 0,43 7. szint 98,1 0,37 167

170 MATEMATIKA 113/85. FELADAT: SZOBA MM19901 Zsófiék elköltöznek, Zsófi új szobája 2,6 m 5,2 m-es lesz. Zsófi a szobája berendezését tervezi, ehhez lerajzolta a szoba méretarányos rajzát. Melyik ábra lehet az? Satírozd be a helyes ábra betűjelét! A feladat megoldásához használhatsz vonalzót! A B C D JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 168

171 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.2) Kulcsszavak: Méretarány nem 1-hez viszonyítva A feladat leírása: Azt a téglalapot kell kiválasztani, amelynek az oldalai adott arányúak. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0019 0,00007 Standard nehézség ,3 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,34-0,18-0,15-0,11-0,03-0,15 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 69,0 0,16 1. szint alatt 33,3 1,33 Főváros 73,1 0,42 1. szint 42,5 0,74 Megyeszékhely 72,8 0,33 2. szint 50,6 0,48 Város 67,4 0,25 3. szint 60,8 0,33 Község 66,1 0,29 4. szint 73,2 0,27 5. szint 85,4 0,24 6. szint 93,5 0,31 7. szint 97,5 0,37 169

172 MATEMATIKA 114/86. FELADAT: ALBÉRLET MM25001 Rebeka és Blanka közösen bérelnek lakást. Rebeka egész hónapban ott lakik, míg Blanka egy hónapban csak 2 5 napot tölt ott. Az albérleti díj egy hónapra Ft. Az albérleti díjat úgy osztják el egymás között, hogy 20 napra csak Rebeka fizet, míg a maradék 10 napra eső díjat kétfelé osztják. Ki mennyi albérleti díjat fizet egy hónapban? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! Rebeka albérleti díja:... Ft Blanka albérleti díja:... Ft 170

173 8. ÉVFOLYAM A feladathoz tartozó adatok a következő oldalakon találhatók. 171

174 MATEMATIKA JAVÍTÓKULCS Megjegyzés: Ha látszik a kódnak megfelelő gondolatmenet, a megadottól különböző eredmény csak akkor tartozik oda, ha le van írva az alapműveletekből álló helyes műveletsor és az eltérés számítási és nem módszertani hiba miatt adódott. Ha a tanuló valamelyik névhez negatív értéket írt (mert elszámolta az eredményt), akkor a választ 0-s kóddal kell értékelni. 2-es kód: Mindkét érték helyes. Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft A helyes értékek látható számítások nélkül is elfogadhatók. Nem tekintjük hibának, ha a tanuló mindkét értéket megadta de felcserélte őket. Jó gondolatmenet esetén ettől eltérő értékek is elfogadhatók kerekítési pontatlanságok miatt (pl. 2/3-dal való számolásnál kerekítés vagy 66%-kal való számolás miatt). Számítás: 30 nap: Ft 10 nap: : 3 = nap: = Blanka albérleti díja: : 2 = 7500 Rebeka albérleti díja: = Ft Tanulói példaválasz(ok): 10 napra: : 3 = Blanka: : 2 = 7500 Rebeka: = [Mindkét érték helyes.] Blanka: : 2 = 7500 Rebeka: = Ft : 3 = ,5 = Rebeka ,5 = Blanka [Jó gondolatmenet, számolási hiba, azaz látható, hogy az elszámolt érték (25 000) egy helyes műveletsor eredménye, és ezzel az értékkel jól számolt tovább (akár leírta ezt a következő műveletet, akár nem).] Rebeka 20 napot fizet + 5 nap = 25, Blanka 5 nap 30 nap nap x x = = 7500 (Blanka) Rebeka: 20 teljes + 10 fél Blanka: 10 fél 1 teljes: fél: 750 Rebeka: , Blanka: 7500 = Ft (Rebeka) 172

175 8. ÉVFOLYAM 4500 : 30 = 1500 / nap Rebeka: 20 nap 1500/nap + 10 nap 1500/nap 2 = Blanka: Ft = 7500 Ft Rebeka: 7500 Ft Blanka: Ft [Mindkét érték helyes, de felcserélte a két nevet.] 30 nap: Ft 1 nap : nap: nap: ezt közösen fizetik fele-fele Blanka: 7500 Rebeka: = Ft 30 nap: Ft 1 nap : : 30 = 1800 [Ez a műveletet elszámolta, de leírta a műveletet.] 20 nap: nap: Blanka: 9000 Rebeka: = Ft [Számolási hiba, az elszámolt értékhez vezető műveletsort helyesen felírta, és utána ezzel az elszámolt értékkel jó gondolatmenetet alkalmazva már helyesen számolt.] Ft 100% 450 Ft 1% Ft Ft fele = 7650 Ft Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7650 Ft [Rebeka a napok 2/3-ért fizet + a fennmaradó rész felét is fizeti, a 2/3 számításánál 66%-kal végezte el a művelet.] 4500 : 30 = 1500 naponta = 3750 Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft [4500 : 30 = 1500-at írt, de az eredményből kiderül, hogy valójában rel számolt. ezért elfogadjuk.] : 30 = = : 2= 750 Rebeka albérleti díja: 3750 Ft Blanka albérleti díja: 750 Ft [Helyes gondolatmenet. A tanuló helyesen felírta a 2/3 rész kiszámítására vonatkozó műveletsort, és a napok 1/3-ánál is látható a felezésre vonatkozó művelet, majd az elszámolt értékekkel jó gondolatmenettel számolt tovább.] Rebeka: 25 nap Blanka: 5 nap 25 : 5 = 5 : 1 (6) : 6 = 7500 R: = B: = 7500 Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7500 Ft [Helyes gondolatmenet 25 : 5, azaz 5 : 1 aránnyal számolt.] 173

176 MATEMATIKA = 100% = 1 hónap = 30 hónap Ft = 66% = 20 nap Ft = 33% = 10 nap Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7425 Ft [Jó gondolatmenet a megfelelő százalékokkal.] 30 nap = Ft 20 nap = Ft 10 nap = ,5 Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 7493 Ft [66,6%-kal számolt, majd a fennmaradó 33,3% felét számolta ki, ezekkel jól számolt tovább.] Rebeka: Blanka: 7515 [ ,666 = = : 2 = 7515] Rebeka: Blanka: 7425 [ ,67 = = : 2 = 7425] Rebeka: Blanka: 7650 [ ,66 = = : 2 = 7650] Rebeka: Blanka: 7425 [ ,66 = : 2 = : 2 = 7425] Rebeka: ,5 Blanka: 7492,5 [ ,666 = : 2 = : 2 = 7492,5] Rebeka: ,5 Blanka: 7537,5 [ ,67 = : 2 = : 2 = 7537,5] 1-es kód: Részlegesen jó válasznak tekintjük, ha a tanuló csak az egyik értéket adta meg helyesen (a megfelelő névnél), a másik érték hiányzik. Tanulói példaválasz(ok): 10 nap: Blanka: 7500 Rebeka: 20 teljes + 10 fél = 25 nap Blanka: 10 fél = 5 nap 1 teljes nap: 1500 Ft Rebeka: Ft [A Blankához tartozó érték nincs megadva.] 0-s kód: Rossz válasz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló az egyik értéket helyesen adta meg (a megfelelő névnél), a másik érték (nem számolási hiba miatt) rossz. Idetartoznak azok a válaszok is, amikor a tanuló 30 nap helyett 31, 28 vagy 29 nappal számolt. Tanulói példaválasz(ok): 10 nap: Blanka: 7500 Rebeka: = [Rebeka albérleti díja rossz.] 174

177 8. ÉVFOLYAM Blanka albérleti díja: 7500 Ft Rebeka albérleti díja: = Ft [Rebeka albérleti díja rossz.] Rebeka: Blanka: 7500 [A Blankához tartozó érték jó, a másik rossz, a rossz értékhez tartozó műveletsor nem látható.] 1 nap = 1500 Ft = : 2 = nap = nap Rebeka Ft-ot fizet 20 napra, míg közösen Ft-ot Rebeka: Blanka: 7500 [A Blankához tartozó érték jó, a másik rossz.] Blanka: : 3 = Rebeka: Ft [Mindkét érték rossz.] Blanka: : 2 = 5000 Rebeka: = [Mindkét érték rossz.] 20 nap: = Ft Rebeka, 10 nap = Blanka [Mindkét érték rossz, a közösen fizetett 10 napot nem jól vette figyelembe.] Rebeka: Blanka: [Mindkét érték rossz.] : 3 = Ft 10 nap díja = 20 nap díja Rebeka : 2 = 7500 Ft V: Rebeka: Blanka: [A Blankához tartozó érték rossz.] : 20 = : 10 = 4500 [Rossz gondolatmenet.] 31 nap: Ft 1 nap: : 31 = 1451,6 20 nap: 1451,6 2 = napra: Blanka: : 2 = 7258 Rebeka: = Ft [Jó gondolatmenet, de 31 nappal számolt 30 nap helyett.] Ft : 30 = 1500 (1 nap) Rebeka 20 nap 1500 Blanka 10 nap 1500 Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: Ft [Rossz gondolatmenet, 20, illetve 10 nappal számolt.] 175

178 MATEMATIKA egész hónap: Ft 100% % % % 4500 : 2 = 2250 Rebeka albérleti díja: 9000 Ft Blanka albérleti díja: 2250 Ft [Rossz gondolatmenet, a 20 napot 20%-nak, a 10 napot 10%-nak tekinti.] 20 nap Rebeka végig ott van 10 nap Blanka 2 5 napot van ott felezik összesen hét = 1 hónap = 28 nap 1 nap 160 Ft Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 8035 Ft [28 nappal számolt 30 nap helyett: : 28 = = 8035, = ] 1 hónap = % 450 1% 20 nap Rebeka 10 nap Rebeka + Blanka % 25 nap R = % 5 nap B = 2250 Rebeka albérleti díja: Ft Blanka albérleti díja: 2250 Ft [Rossz gondolatmenet, az 5 napot 5%-nak tekinti, a 25 napot 95%-nak.] Lásd még: X és 9-es kód. 176

179 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva), műveletsor A feladat leírása: AA tanulónak a szövegben megadott információk alapján kell egy arányszámítást, majd egy műveletsort elvégeznie. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0050 0,00014 Standard nehézség ,1 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,00-0,22-0,34 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 33,0 0,16 1. szint alatt 0,2 0,10 Főváros 42,2 0,40 1. szint 1,2 0,16 Megyeszékhely 39,8 0,38 2. szint 4,0 0,17 Város 31,1 0,24 3. szint 13,0 0,23 Község 24,7 0,27 4. szint 34,9 0,34 5. szint 62,0 0,39 6. szint 84,0 0,45 7. szint 95,2 0,45 177

180 MATEMATIKA 115/87. FELADAT: LÉGI IRÁNYÍTÁS MM22701 Az alábbi monitoron azonos magasságban és egyforma sebességgel repülő utasszállító gépek aktuális helyzetét látjuk. A E B D C A légi irányító észlelte, hogy két repülő összeütközhet, ha nem változtatnak a repülési magasságukon vagy a sebességükön. Melyik ez a két repülőgép? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D A és B B és D B és E D és E JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 178

181 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.3.2) Gondolkodási művelet: Tényismeret és egyszerű műveletek (1.5) Kulcsszavak: Azonos hosszúságú szakaszok A feladat leírása: Geometriai ábrán metsző egyenesek metszéspontjainak figyelembevételével kell kiválasztani az egyenlő hosszúságú szakaszokat. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0022 0,00008 Standard nehézség ,7 Nehézségi szint 1 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,32-0,16-0,18-0,12-0,05-0,12 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 80,1 0,14 1. szint alatt 43,3 1,41 Főváros 82,7 0,32 1. szint 54,5 0,76 Megyeszékhely 82,5 0,31 2. szint 65,2 0,50 Város 79,2 0,22 3. szint 75,3 0,27 Község 77,9 0,29 4. szint 84,8 0,24 5. szint 92,3 0,21 6. szint 97,2 0,20 7. szint 99,1 0,22 179

182 MATEMATIKA 116/88. FELADAT: ERDŐS-SZÁM II. MM21201 Erdős Pál híres 20. századi magyar matematikus volt. Nagyon sok olyan cikke jelent meg, amelyet másokkal közösen írt. A tiszteletére a tudósok bevezették az Erdős-szám fogalmát. Ez a következő: Erdős Pál Erdős-száma 0. Annak az Erdős-száma 1, aki írt Erdőssel közös cikket. Annak az Erdős-száma 2, aki nem írt Erdőssel közös cikket, de írt egy 1 Erdős-számú szerzővel közösen. Annak az Erdős-száma 3, aki nem írt közös cikket sem Erdőssel, sem 1 Erdősszámúval, de írt közös cikket valamely 2 Erdős-számúval. És így tovább. A következő ábrán néhány olyan matematikus neve szerepel, akinek van Erdős-száma. Két név akkor van összekötve, ha a két matematikus írt közös cikket. Katona Gyula Turán Pál Simonovits Miklós Kőnig Dénes Erdős Pál Victor L. Klee Egerváry Jenő Lovász László Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós Erdős-száma! Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 1 B 2 C 3 D 4 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 180

183 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Gráf, összefüggések leolvasása, élek száma A feladat leírása: A tanulónak szövegesen megadott szabály szerinti gráfot kell értelmeznie és róla az élek számát leolvasnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0049 0,00024 Standard nehézség ,9 Tippelési paraméter 0,11 0,02 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,01-0,11-0,25-0,21-0,12 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 42,6 0,17 1. szint alatt 12,7 0,96 Főváros 52,3 0,40 1. szint 10,4 0,46 Megyeszékhely 48,3 0,37 2. szint 14,4 0,33 Város 40,8 0,25 3. szint 24,9 0,30 Község 34,9 0,32 4. szint 44,6 0,34 5. szint 70,2 0,39 6. szint 90,0 0,30 7. szint 98,4 0,28 181

184 MATEMATIKA 117/89. FELADAT: ERDŐS-SZÁM II. MM21203 A következő ábrán újabb, Erdős-számmal rendelkező matematikusok szerepelnek. C B Erdős Pál D A X Melyik betű jelölheti azt a matematikust, akinek az Erdős-száma 2, és van közös cikke X-szel? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D A jelű B jelű C jelű D jelű JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: A 182

185 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Statisztikai jellemzők, valószínűség (4.7) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.1) Kulcsszavak: Gráf, összefüggések ábrázolása, élek, fokszám A feladat leírása: A tanulónak szövegesen megadott információk alapján kell egy gráf több feltételnek eleget tevő csúcsát megtalálnia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0054 0,00026 Standard nehézség ,0 Tippelési paraméter 0,13 0,01 Nehézségi szint 5 Lehetséges kódok x Pontozás ,6 0, Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6-0,02-0,12-0,17-0,17-0,22 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 41,0 0,15 1. szint alatt 15,6 1,02 Főváros 51,6 0,39 1. szint 13,3 0,52 Megyeszékhely 48,1 0,37 2. szint 15,0 0,32 Város 38,6 0,25 3. szint 22,1 0,31 Község 32,3 0,29 4. szint 40,9 0,32 5. szint 68,7 0,41 6. szint 90,0 0,38 7. szint 98,5 0,28 183

186 MATEMATIKA 118/90. FELADAT: KARÁCSONY MM19203 Pali a karácsonyi sütés során megmaradt 3 tojásfehérjéből habcsókot szeretne készíteni. Az általa ismert recept szerint 4 tojásfehérjéhez 20 dkg porcukrot kell adni. Mennyi porcukorra lesz szüksége a 3 tojásfehérjéhez? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 5 dkg B 7 dkg C 12 dkg D 15 dkg E 19 dkg JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: D 184

187 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Arányszámítás nem 1-hez viszonyítva A feladat leírása: A tanulónak egy nem 1-hez viszonyított arányszámítás eredményét kell meghatároznia. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0032 0,00009 Standard nehézség ,8 Nehézségi szint 3 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,44-0,03-0,16-0,19-0,15-0,12-0,25 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 72,1 0,16 1. szint alatt 17,1 0,90 Főváros 76,7 0,35 1. szint 30,3 0,72 Megyeszékhely 76,4 0,34 2. szint 46,8 0,51 Város 71,6 0,27 3. szint 65,3 0,34 Község 66,8 0,30 4. szint 81,1 0,24 5. szint 91,2 0,23 6. szint 97,2 0,21 7. szint 99,3 0,20 185

188 MATEMATIKA 119/91. FELADAT: KOCKACUKOR MM31701 Egy egészséges táplálkozást hirdető kampányban egy üdítőital cukortartalmát a termék mellé állított kockacukrok számával szemléltették, ahogy ez a következő ábrán látható. 57,8 g cukortartalom 17 db kockacukor Hány darab kockacukor mutatná egy 20,4 g cukrot tartalmazó édesség cukortartalmát? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A 5 B 6 C 20 D 48 JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 186

189 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Hozzárendelések, összefüggések (2.2.1) Gondolkodási művelet: Alkalmazás, integráció (2.3) Kulcsszavak: Számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva) A feladat leírása: A tanulónak egy aránypárt kell felírnia és kiszámítania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0024 0,00008 Standard nehézség ,4 Nehézségi szint 2 Lehetséges kódok x Pontozás Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,6 0,3 0,0-0,3-0,6 0,34-0,02-0,11-0,10-0,10-0,27 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 71,4 0,16 1. szint alatt 29,3 1,18 Főváros 74,2 0,31 1. szint 40,0 0,77 Megyeszékhely 74,3 0,37 2. szint 53,9 0,49 Város 71,4 0,22 3. szint 65,7 0,32 Község 67,3 0,32 4. szint 76,3 0,26 5. szint 85,9 0,28 6. szint 93,5 0,31 7. szint 97,6 0,35 187

190 MATEMATIKA 120/92. FELADAT: REKLÁM MM33102 Zedországban a rádióban minden kerek egész óra között (pl és 7.00) legfeljebb 12 perc reklám lehet. A következő ábra a reggeli adás műsorbeosztását mutatja, ahol a sorszámok a reklámok helyét jelölik. A nap 1. Útra kelünk 2. Hírek Életmód 5. Délelőtti magazin 6. kérdése Hírek Zedországban módosítják a reklámtörvényt. Az új szabály szerint BÁRMELY 60 percen belül legfeljebb 12 perc reklám lehet. Észrevették, hogy egy reklámot meg kell szüntetni ahhoz, hogy a fenti műsorbeosztás megfeleljen az új szabálynak. Melyik reklámot kell megszüntetni? Satírozd be a helyes válasz betűjelét! A B C D Vagy a 2., vagy a 3. reklámot. Vagy a 3., vagy a 4. reklámot. Vagy a 3., vagy az 5. reklámot. Vagy a 4., vagy az 5. reklámot. JAVÍTÓKULCS Helyes válasz: B 188

191 8. ÉVFOLYAM A kérdés besorolása Tartalmi terület: Mennyiségek, számok, műveletek (1.1.2) Gondolkodási művelet: Komplex megoldások és értékelés (3.1) Kulcsszavak: Számolás idővel, sávdiagram A feladat leírása: A tanulónak egy időintervallumokat ábrázoló sávdiagramon az adott feltételeknek megfelelő intervallumot kell kiválasztania. A feladat statisztikai paraméterei Becslés Standard hiba (S. H.) Standard meredekség 0,0047 0,00049 Standard nehézség ,6 Tippelési paraméter 0,33 0,01 Nehézségi szint 7 Lehetséges kódok x Pontozás , Az egyes kódok előfordulási aránya (%) 0,3 0,0-0,3-0,6 0,19 0,00-0,01-0,08-0,08-0,09 Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Százalékos megoldottság Településtípus Tanulói % S. H. képességszintek % S. H. Teljes populáció 37,0 0,16 1. szint alatt 28,3 1,10 Főváros 39,8 0,40 1. szint 31,1 0,71 Megyeszékhely 39,1 0,38 2. szint 29,4 0,45 Város 35,9 0,26 3. szint 30,2 0,32 Község 35,4 0,31 4. szint 34,7 0,31 5. szint 43,5 0,41 6. szint 59,3 0,66 7. szint 80,9 0,92 189

192 MATEMATIKA 190

193 8. ÉVFOLYAM MELLÉKLETEK 191

194 MATEMATIKA 1. melléklet A statisztikai jellemzők A tesztelméleti paraméterek A tanulók képességeinek mérésére a teszten elért összes pontszám vagy a százalékos eredmények nem megfelelőek. Egyrészt az elért pontszám függ a teszt nehézségétől, azaz ugyanezek a tanulók egy másik, hasonló képességeket mérő teszten akár sokkal jobb vagy gyengébb eredményeket is elérhetnek. Másrészt az összes pontszám nem lineárisan nő a tanulók képességeivel: egypontnyi különbség a kis pontszámot elérő tanulók között nem jelent ugyanakkora tudásbeli különbséget, mint egy pontszámnyi eltérés az átlagos eredményt elérők között. Ugyanígy az item nehézségének mérésére sem alkalmas az itemre adott helyes válaszok száma vagy aránya. Ráadásul egy ilyen típusú pontozásnál nehéz értelmezni a tanulók képességei és az itemek nehézsége közötti összefüggéseket, hiszen nem ugyanazon a skálán mérjük őket. A tanulók képességei a pontszám vagy százalékos mérőszám növekedésével nőnek, az itemek nehézsége ezzel szemben csökken az őket megoldók számának növekedésével. Ezért a tanulók tudásának mérésére a pszichometriában különböző képességmodelleket (Rasch-modell, kétparaméteres, illetve háromparaméteres modell) alkalmaznak a nemzetközi és a hazai gyakorlatban. 1 Ezek közös tulajdonságai: tesztfüggetlen módon becsülhető velük a tanulók képessége, azaz egy ugyanolyan típusú, de más kérdéseket tartalmazó teszt alapján számítva a tanulók képességeit, közel azonos eredményeket kapnánk; mintafüggetlenné teszik az itemek nehézségét, azaz az adott populációból új reprezentatív mintát választva az itemek nehézsége hasonlóan alakul; linearizálják a képességet és az itemnehézséget, azaz egypontnyi képességkülönbség a skála minden pontján ugyanakkora mértékű tudásbeli különbséget jelez; közös skálára helyezik a tanuló képességét és az item nehézségét. Ezen tulajdonságok a képességmodelleket alkalmassá teszik arra is, hogy az azonos mérési területekre és a közös feladatok adta összekapcsolási lehetőségekre építve közös modellben becsüljék meg a különböző évfolyamok tanulóinak képességeit. Ezt a lehetőséget kihasználva, a mérési azonosító 2008-as bevezetésével és az évfolyamok közös feladatait felhasználva, a évi méréstől kezdődően új, évfolyamfüggetlen képességskálákat alkottunk. 2 A tesztfüggetlen és mintafüggetlen közös skálán a évfolyamos tanulók szövegértési képességeit, illetve matematikai eszköztudását oly módon tudjuk megadni, hogy a 6., a 8. és a 10. évfolyamos tanulók eredménye és a kétéves fejlődés is könnyen mérhetővé válik. A tesztelméleti modellek valószínűségi modellek, azaz a tanulók képességét nem olyan határként kell elképzelnünk, amely egyértelműen elválasztja a számára megoldható itemeket a megoldhatatlanoktól. A tanuló képességétől és a feladat paramétereitől függő 0 és 1 közötti érték adja a tanuló eredményességének valószínűségét az adott feladaton. Az általunk használt kétparaméteres modell minden tanulóhoz hozzárendel egy képességértéket (Ѳi), és ezzel párhuzamosan minden egypontos itemhez hozzárendel két paramétert: a nehézséget (bj) és a meredekséget (aj). A nehézség azt mutatja, hogy a képességskála mely részén helyezkedik el az item, a meredekség pedig azt, hogy az item megoldási valószínűsége milyen gyorsan növekszik a tanulók képességének növekedésével. 1 ROBERT L. BRENNAN (ed.): Educational Measurement: Fourth Edition (ACE/Praeger Series on Higher Education). Praeger Publishers, 2006; HORVÁTH GYÖRGY: Bevezetés a tesztelméletbe. Budapest, Az új skálák bevezetésének szakmai hátteréről bővebben a Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban ismertetőben olvashatnak, amely elérhető a weboldalon. 192

195 8. ÉVFOLYAM A paraméterek ismeretében az i. tanuló eredményességének valószínűségét a j. item megoldásában a következő képlet adja: A 1. ábrán egy egypontos item megoldási valószínűségének változását láthatjuk a képesség függvényében. 1,2 1 Valószínűség 0,8 0,6 0,4 0,2 0 4,00 3,46 2,92 2,37 1,83 1,29 0,75 0,20 0,34 0,88 1,42 1,97 2,51 3,05 3,59 Képesség 0 pont elérésének valószínűsége 1 pont elérésének valószínűsége 1. ábra: Egypontos item megoldási valószínűsége Az item nehézsége itt az a pont, ahol a két görbe metszi egymást, azaz, ahol a tanuló sikerességének esélye 50 százalék. Egy nagyobb nehézségű, de ugyanilyen meredekséggel rendelkező item megoldási valószínűségét mutató ábra az itt bemutatott ábrától annyiban különbözik, hogy a görbék jobbra csúsznak a vízszintes tengely mentén, míg egy ugyanilyen nehézségű, de ennél nagyobb meredekséggel rendelkező item esetén a metszéspont koordinátái változatlanok maradnak, a görbék meredekebbek lesznek. A többpontos itemekhez a meredekségen és a nehézségen kívül minden 0-nál nagyobb pontszámhoz tartozik egy viszonylagos lépésnehézség (c jv ) is. Ekkor k pont elérésének a valószínűségét a következő képlettel kapjuk:, ahol m j a maximális pontszám, c j0 0 és. A nehézség, b j itt is az item elhelyezkedését mutatja a képességskálán, a c jv értékek pedig a lépések egymáshoz viszonyított nehézségét mutatják. Ezek nem feltétlenül növekvő sorrendben követik egymást, előfordulhat, hogy a második lépés könnyebb az elsőnél. Például elképzelhető olyan item, amelyre igaz, hogy ha valaki meg tudja oldani az item egypontos részét, akkor jó eséllyel a két pontot is meg tudja szerezni. A 2. ábrán egy kétpontos item pontszámainak valószínűségeit láthatjuk a képesség függvényében. 193

196 MATEMATIKA 2. ábra: Kétpontos item megoldási valószínűsége Többpontos itemek esetén az item nehézsége az a pont, amelyre a 0 és a maximális pontszám valószínűsége megegyezik, azaz ahol a két görbe metszi egymást; a viszonylagos lépésnehézségek pedig azon pontok előjeles távolságai a nehézségtől, amelyre az adott pontszám és az eggyel kisebb pontszám elérésének valószínűsége azonos. Feleletválasztós feladatokhoz a meredekségen és a nehézségen kívül tartozhat egy tippelési paraméter is. Az ilyen feladatoknál a tanuló akkor is adhat jó megoldást a kérdésre, ha nem tudja a jó választ, de tippeléssel a helyeset választja ki a lehetséges válaszok közül. Ennek valószínűsége az i. tanuló és a j. item esetén: g j (1 P ij (pontszám=1)), ahol g j annak a valószínűsége, hogy a tanuló helyesen tippel (függetlenül a képességeitől), (1 P ij (pontszám=1)) pedig annak a valószínűsége, hogy a tanuló nem tudja a jó választ. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az i. tanuló a j. itemre helyes választ ad: P ij (pontszám=1) = g j (1 P ij (pontszám=1))+p ij (pontszám=1) = g j +(1 g j )P ij (pontszám=1), azaz a tanuló nem tudja a jó választ, de jól tippel, vagy a tanuló tudja a jó választ, így nincs szüksége tippelésre. A tippelési paraméter lehet, de ha a tanuló egy vagy több lehetőséget ki tud 1 a lehetséges válaszok száma zárni, akkor kevesebb válasz közül kell tippelnie, így a tippelési paraméter is lehet nagyobb. Ha a tippelési paraméter 0,3, az azt jelenti, hogy a tanulónak 30% esélye volt, hogy tippeléssel is jó választ adjon. Amelyik feleletválasztós feladatnál nem szerepel tippelési paraméter, ott a tippelés nem játszott nagy szerepet a feladat megoldásában, tekinthetjük nullának. Összegezve az eddigieket: az általunk számított képességértékek és itemparaméterek közös, lineáris skálán helyezkednek el. Jól értelmezhető az összefüggés közöttük, tetszőleges képességű tanuló és tetszőleges paraméterekkel rendelkező item esetén megadható, hogy az adott tanuló mekkora valószínűséggel oldja meg az adott itemet. A tanulói mérési azonosító bevezetésével a 2008-as évtől kezdődően vezettük be az évfolyamfüggetlen standard képességskálákat a szövegértés, illetve a matematikai eszköztudás területén. A standard pontok a képességek lineáris transzformációi. A standardizálás célja a viszonyítási pontok beállítása. Az évfolyamfüggetlen szövegértés és matematikaskálák standardizálásánál a évi 6. évfolyamos országos átlagot 1500, 194

197 8. ÉVFOLYAM a szórást 200 pontban rögzítettük a matematika és a szövegértés területén egyaránt. A 3. és 4. ábrán azt szemléltetjük, hogyan oszlanak meg a képességskálán a tanulók egy teszt esetén standardizálás előtt és után. Látható, hogy a tanulók egymáshoz viszonyított helyzete nem változik, csupán a skála cserélődik ki alattuk. Az ábrákon folytonos vonallal jelöltük az átlagot és szaggatott vonalakkal az átlagtól egyszórásnyira lévő pontokat Szórás = 0,9062 Átlag = 0,3983 N = Tanulók száma Képesség 3. ábra: A tanulók képességei standardizálás előtt Tanulók száma Szórás = 200 Átlag = 1500 N = Standard képességpontok 4. ábra: A tanulók képességei standardizálás után A képességpontok standardizálására az egyszerűbb összehasonlíthatóság kedvéért van szükség, hiszen többnyire a tanulók egyes csoportjainak egymáshoz, illetve a képességek átlagához viszonyított helyzetére vagyunk kíváncsiak, és ezek az összehasonlítások a standardizálás révén sokkal szemléletesebbé tehetők. Mivel a tanulók eloszlása a képességskálán rendszerint normális eloszlással jól közelíthető, elmondhatjuk, hogy körülbelül a tanulók fele az átlag alatt, fele az átlag felett található, és mintegy kétharmaduk van az átlag körüli, szórásnyi sugarú intervallumban. Tehát a standardizált képességskálán körülbelül a tanulók fele az országos átlag alatt és felett, kétharmada az országos átlag körüli, ±1 szórásnyi intervallumban helyezkedik el. Ezért például az 1500-as átlagú és 200-as szórású skála esetén, ha egy 6. évfolyamos tanuló 1520 pont körül teljesít, akkor kicsivel jobb képességű, mint egy átlagos 6. évfolyamos tanuló, ha pedig 1720 standard pontot ér el, akkor a 6. évfolyamos tanulók felső 20 százalékba tartozik. A 8. és 10. évfolyamos eredmények értelmezése valamivel bonyolultabb, hiszen ott figyelembe kell vennünk azt, hogy ezeken az évfolyamokon magasabb az átlageredmény, és kis mértékben a szórás is változik. 195

198 MATEMATIKA Az egyes területek itemei ugyanezen transzformáció segítségével szintén elhelyezhetők a skálán, így a tanulók és itemek közötti jól értelmezhető viszony is megmarad, az item megoldási valószínűségére felírt képletek érvényessége nem sérül. A 2008-as évfolyamfüggetlen skála kialakítása utáni évek mérési eredményeit az ország véletlenszerűen kiválasztott kb , illetve 8. évfolyamos, továbbá kb évfolyamos osztályában felvett változatlan és titkos tartalmú Core-teszt segítségével ugyanerre a skálára mértük. Ezzel a módszerrel az eredmények nem csak egy mérés különböző évfolyamain, de az egymást követő méréseken keresztül is egyszerűen összehasonlíthatók. Így ugyanannak a populációnak a 6., a 8. és a 10. évfolyamos eredménye is összevethető, akár tanulói szinten is követhető a fejlődés mértéke. Az item nehézségi szintje A diákok standard pontjai mellett az eredmények elemzésében fontos szerepet játszanak a szakmai és statisztikai szempontok alapján meghatározott tanulói képességszintek. Az itemek nehézségi szintjei és a hozzájuk kapcsolódó képességszintek a képességek egyfajta hierarchiáját jelzik. Azok a tanulók, akik elérnek egy szintet, természetesen nem csupán az azon a szinten elvárható képességekkel rendelkeznek, hanem az alsóbb szintekhez tartozó képességeknek is a birtokában vannak. Így például az a tanuló, aki a harmadik szinten teljesít, értelemszerűen a második és az első szint követelményeinek is megfelel. Egy adott szinten lévő tanuló várhatóan a szinthez tartozó kérdéseknek legalább a felére helyes választ ad. Fontos megérteni, hogy a képességskála folytonos, nincsenek rajta természetes osztópontok. A képességszintek bevezetése csupán abban segít, hogy a tanulókat képességük szerint kategóriákba sorolva meg tudjuk mondani, hogy legalább milyen képességeket tudhatnak magukénak a szintbe tartozók, és mi az, amiben elmaradnak a magasabb szinten található tanulóktól. A képességskálán meghúzott határvonalak segítségével tehát meghatározható, hogy az egyes határvonalakat elért tanulók milyen képességekkel rendelkeznek. Mind a szövegértési képességük, mind a matematikai eszköztudásuk alapján hét képességszintbe soroltuk be a diákokat. 3 A tanulók képességszintekbe sorolása több lépésből állt. A feladatok nehézségének megállapítása és a megoldáshoz szükséges műveletek meghatározása után a feladatok nehézségi szintekre osztása következett. A feladatok nehézségskáláján (ami megegyezik a tanulók képességskálájával) hat határpontot határoztunk meg a feladatok követelményeit is figyelembe véve, és ezáltal az itemeket a kialakított hét szint valamelyikébe soroltuk. Az első és a hetedik szint csak egy oldalról határolt, a határpontokat tudatosan úgy határoztuk meg, hogy a többi szint intervalluma azonos hosszúságú legyen. Ezt követően egy-egy szint feladatainak megoldásához szükséges műveleteket összesítve és általánosítva meghatároztuk az adott szint követelményrendszerét. A tanulók képességszintjét azon elv alapján határoztuk meg, hogy egy adott szint (pl. a 2. szint) leggyengébb tanulója várhatóan 50 százalékos eredményt érjen el az adott szintű (pl. 2. szintű) azonos meredekségű, nehézségük szerint egyenletesen megoszló feladatokból összeállított teszten. Tehát a tanuló szintje az a legmagasabb szint, amely szint feladatainak legalább a felét megoldaná képessége alapján. Ez az elv használható a 2. szinttől a 6. szintig, de a két szélső szintnél nem, hiszen azoknál nem intervallum, hanem félegyenes tartalmazza a szint itemeit. Ezért ezekben az esetekben a tanulókra vonatkozó szint alsó határpontjának kiszámítása úgy történik, hogy a többi szint szélességét (például tanulók 2. szintjének alsó és felső határpontja közötti távolságot) mérjük fel a 2. szint alsó határától balra, illetve a 6. szint alsó határától jobbra, a képességskála ezen pontjai lettek a tanulók 1., illetve 7. szintjének alsó határpontjai. Ily módon a képességskálát végül 3 A szintek meghatározása a PISA 2000 vizsgálatban használt módszerrel történt. 196

199 8. ÉVFOLYAM 8 részre osztottuk, a hét szint mellett az 1. szinttől balra található még egy félegyenes, amely az 1. szint alatti tanulókat tartalmazza, ők a teszten elért eredményeik alapján még az 1. szint követelményeinek sem tettek eleget. Képességeikről, ismereteik természetéről nem kaphatunk átfogó képet, tudásuk megragadására a kompetenciamérésben használt tesztfeladatok nem alkalmasak. Az 5. és 6. ábra szemléletesebb képet ad a szintek kialakításának folyamatáról, bemutatva a szövegértés és a matematika teszt képességszintjeit. Segítségével az is jól látható, hogy a szinthatárok az itemek és a tanulók esetében nem egyeznek meg, ami a tanulókra vonatkozó követelményekből természetes módon adódik. ITEMEK SZINTJEI 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint szint DIÁKOK SZINTJEI 1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint Az 1. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. A 2 6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük. Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. 5. ábra: A szintkialakítás folyamata matematikából ITEMEK SZINTJEI 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint szint DIÁKOK SZINTJEI 1. szint alatt 1. szint 2. szint 3. szint 4. szint 5. szint 6. szint 7. szint Az 1. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. A 2 6. szintek alsó határát úgy kapjuk meg, hogy az adott itemekre vonatkozó szint intervallumának felezőpontját vesszük. Az 7. szint alsó határát úgy kaptuk, hogy két szomszédos szint alsó határa közötti távolságot vettük alapul. 6. ábra: A szintkialakítás folyamata szövegértésből 197

200 MATEMATIKA Az egyes kódok előfordulási aránya Az eredmények feldolgozásához a nyílt végű itemekre adott válaszokat a Javítókulcsban leírtaknak megfelelően kódoltuk, a feleletválasztós itemek esetében pedig az A, B, C, D és E válaszlehetőségeket rendre az 1, 2, 3, 4 és 5 kódokkal jelöltük. Nyomdahiba esetén x, nem egyértelmű válasz esetén 8-as, hiányzó válasz esetén pedig 9-es kódot alkalmaztunk. Az adott item lehetséges kódjainak megoszlását az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy ábrán szemléltetjük, amely azt mutatja, hogy a diákok hány százaléka kapta az adott kódot. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációja (angolul: point biserial correlation) az adott kód előfordulása és a képességpontok közötti korreláció. Értékének kiszámításához egy olyan indikátorváltozót képezünk, amelynek értéke 1 azoknak a diákoknak az esetében, akik az adott kódot kapták a vizsgált itemre, és egyébként 0, majd e változó és a diákok képességpontja közötti hagyományos Pearson-féle korreláció a keresett pontbiszeriális korreláció az adott item adott kódjára. A korreláció a két változó közötti lineáris kapcsolat mutatója, értéke 1 és 1 közötti, negatív abban az esetben, ha a két változó ellentétes irányban mozog (az egyik változó nagyobb értékei a másik változó kisebb értékeivel járnak együtt), és pozitív abban az esetben, ha a két változó együtt mozog (az egyik változó nagyob b értékei a másik változó nagyobb értékeivel járnak együtt). A pontbiszeriális korreláció pozitív értéke azt mutatja tehát, hogy a jobb képességű diákok, negatív értéke pedig azt, hogy a gyengébb képességű diákok kapták inkább az adott kódot. Egy item akkor illeszkedik a teljes teszt által mérni kívánt mögöttes szövegértési vagy matematikai képességskálára, ha a jó válasz pontbiszeriális korrelációja pozitív (legalább 0,2), a rossz válaszok pontbiszeriális korrelációja pedig negatív. Ez jelenti azt ugyanis, hogy a jó eredményt elért diákok nagyobb valószínűséggel oldották meg a feladatot gyengébb eredményt elért társaiknál. Többpontos feladatok vonatkozásában akko r megfelelő az item viselkedése, ha a kisebb pontszámot érő kódok mellett a pontbiszeriális korreláció is kisebb értéket vesz fel. Például egy kétpontos item esetében ideális esetben a 2-es kód pontbiszeriális korrelációja nagyobb értéket vesz fel, mint az 1-es kód pontbiszeriális korrelációja, és a 0 pontot érő kódok pontbiszeriális korrelációi a legkisebbek. Az adott item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációját az adott évfolyam diákjai körében minden item esetében egy-egy ábrán szemléltetjük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. Az item százalékos megoldottsága országosan és településtípusonként, valamint az egyes tanulói képességszinteken A fenti jellemzőkön kívül táblázatos formában bemutatjuk minden egyes item esetén az item százalékos megoldottságát országosan, az egyes településtípusok esetében, valamint az egyes képességszintekhez tartozó diákok körében. A százalékos megoldottság mellett a becslés hibáját is feltüntettük. Ezek az értékek a kötet mellékletében táblázatos formában is szerepelnek. 198

201 8. ÉVFOLYAM 2. melléklet: Tartalmi területek és gondolkodási műveletek Tartalmi területek Gondolkodási műveletek 1. MENNYISÉGEK, SZÁMOK, MŰVELETEK (M) 1.1 Számok számegyenes intervallum számok felbontása, helyi érték törtek (közönséges és tizedes törtek, ekvivalencia, összehasonlítás, egyszerűsítés, vizuális megjelenítés stb.) normálalak* 1.2 Számítások, műveletek műveletsor (pl. felírás, elvégzés, hatvány*, négyzetgyök*, kerekítés**), számításhoz szükséges adatok százalékérték kiszámítása, százalékos arány tört vagy vizuális megjelenítés megfeleltetése arányszámítás 1-hez viszonyítva méretarány 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott adatokkal) számítások geometriai alakzatokkal (pl. kerület, terület, felszín, térfogat, Pitagorasz-tétel***) behelyettesítés átrendezés nélkül 1.3 Mérés skála (leolvasás, berajzolás, pl. mérleg, óra) mennyiségek összehasonlítása mértékegység-átváltás számolás idővel (időzóna is) 1.4 Oszthatóság közös osztó, közös többszörös (közös osztó meghatározása, közös többszörös meghatározása) maradékok vizsgálata, oszthatósági szabályok * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** A matematika szabályai szerint vagy a szituációnak megfelelően. *** Csak a 8. és a 10. évfolyamon. 3. ALAKZATOK, TÁJÉKOZÓDÁS (A) 3.1 Síkbeli alakzatok geometriai tulajdonságok ismerete (pl. négyzet átlója, háromszög szögei, szabályos és nem szabályos sokszögek szögei, átlói, kör) síkbeli transzformációk: egybevágóság* (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, elforgatás), szimmetria, hasonlóság** (arányok), minta kiegészítése síkidomok kerülete, területe (pl. becslés, átdarabolás, lefedés, paraméterek közötti kapcsolat) 3.2 Térbeli alakzatok, dimenziók test ábrázolása (nézet, háló, alkotóelemek stb.) befoglaló test*** térbeli transzformációk (elforgatás, eltolás, hasonlóság, síkra vonatkozó tükrözés ) testek paramétereinek és felszínének, illetve térfogatának kapcsolata 3.3 Tájékozódás irányok, égtájak látószög vizsgálata helymeghatározás koordináta-rendszerekben (pl. sakktábla, földgömb, Descartes-féle koordináta-rendszer, szintvonalas térkép) * A tengelyes tükrözés mindhárom évfolyamon megjelenik, a többi transzformáció 6. évfolyamon csak szemlélet alapján. ** Csak a 10. évfolyamon, szemlélet alapján a 6. és a 8. évfolyamon is. *** Olyan test, amelynek minden dimenziója nagyobb egy adott térbeli alakzat megfelelő dimenzióinál (pl. adott méretű tárgyhoz megfelelő méretű doboz kiválasztása). Transzformációk eredményének felismerése, azonosítása szemlélet alapján. Szemlélet alapján. 2. HOZZÁRENDELÉSEK, ÖSSZEFÜGGÉSEK (H) 2.1 Mennyiségek egymáshoz rendelése (táblázat, függvény, diagram, gráf stb., nem statisztikai adat) összefüggések leolvasása (érték, meredekség, folytatás, értelmezés stb.) összefüggések ábrázolása (pl. grafikonon, gráfon), ábrázolás vizsgálata hozzárendelési szabály (megadás, alkalmazás, paraméterezés, általános képlet stb.) változók közötti kapcsolat 2.2 Arányosság (egyenes és fordított arányosság*, olyan arányossági feladatok, amelyeknél az aránypár egyik tagja sem 1) számok, mennyiségek aránya (nem 1-hez viszonyítva) méretarány nem 1-hez viszonyítva (mért vagy megadott adatokkal) százalékalap és százalékláb kiszámítása 2.3 Paraméter-algebra formulákkal, képletekkel végzett műveletek átrendezéssel egyenlet, egyenlőtlenség (felírás, megoldás) 2.4 Sorozatok szabálykövetés következő elem meghatározása szabálykövetés adott sorszámú elem meghatározása, adott elem sorszámának meghatározása sorozat elemeinek összege** * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** Összegképlet alkalmazása nélkül is megoldható feladatok. 4. STATISZTIKAI JELLEMZŐK, VALÓSZÍNŰSÉG (S) 4.1 Statisztikai adatgyűjtés táblázatból/diagramról (adat leolvasás, adat-összehasonlítás (pl. legkisebb, leg nagyobb, eltérés), adatértelmezés, adatelemzés) 4.2 Statisztikai adatábrázolás, adatok megfeleltetése (különböző formában (pl. szöveg, táblázat, diagram) megadott statisztikai adatok megjelenítése, megfeleltetése) 4.3 Statisztikai számítások (pl. átlag (számtani közép, súlyozott átlag), medián*, terjedelem, leggyakoribb elem) 4.4 Statisztikai módszerek (pl. eljárás megadása, értelmezése, alkalmazása, elemzése, szükséges adatok, statisztikai ábrázolás alapján megállapítható statisztikai jellemzők) 4.5 Valószínűség-számítás (biztos, lehetetlen, lehetséges események, esély, valószínűbb, kevésbé valószínű, gyakoriság, relatív gyakoriság stb.) 4.6 Kombinatorika** (összeszámlálás) 4.7 Eseménygráfok (élek összeszámlálása, utak) 4.8 Halmazok (halmazműveletek és tulajdonságaik) 4.9 Logikai ismeretek (logikai értékek, logikai műveletek) * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** A 6. évfolyamon csak kis elemszámmal. 199

202 MATEMATIKA Gondolkodási műveletek 1. TÉNYISMERET ÉS EGYSZERŰ MŰVELETEK Egy tartalmi területről származó egy vagy több egyértelmű lépés végrehajtása 1.1 Egyszerű matematikai definíciók, alapfogalmak (pl. számok, műveletek, mértékegységek, geometriai alakzatok, terület) jellemzőinek felidézése. Osztályozás, halmazba sorolás ismert tulajdonság szerint (pl. matematikai objektumok csoportosítása közös tulajdonság alapján, beletartozás vizsgálata). 1.2 Adott tulajdonságú matematikai objektumok (pl. alakzatok, számok, kifejezések), valamint ekvivalens matematikai objektumok azonosítása (pl. törtek vagy százalékos arányok grafikus szemléltetése). 1.3 Műveletek eredményének felismerése (pl. nézet, tükörkép azonosítása, ismert geometriai alakzat hálójának felismerése). 1.4 Számítások, műveletek végrehajtása (alapműveletek és alapműveletek kombinációinak végrehajtása, [paraméteres] kifejezések, képletek értékének kiszámítása [átrendezés nélkül], százalékérték kiszámítása, [nem súlyozott] átlag kiszámítása, mennyiség adott arány szerinti változtatása, algebrai kifejezések egyszerűsítése, bővítése, maradékok vizsgálata, geometriai műveletek, gráfon utak, csúcsok összeszámlálása stb.). 1.5 Mérés, mértékegységek (pl. leolvasás mérőeszközökről, mértékegység-átváltás [ismert váltószámmal, pl. óra, szögperc], mérési becslések). 1.6 Adatgyűjtés leolvasással (pl. grafikonról, táblázatból, skáláról). Adott tulajdonságú adat, adatsor megtalálása, leolvasott adatokkal végzett egylépéses számítások, egylépéses számítások eredményének kikeresése. 3. KOMPLEX MEGOLDÁSOK ÉS ÉRTÉKELÉS Komplex problémák megoldásai és az eredmények értékelése 3.1 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban megjelenő jel legzetességek felismerése, elemzése (pl. adatsorok, statisz tikai ábrázolások vizsgálata, elemzése), összefüggések értelmezése. 3.2 Komolyabb értelmezést igénylő szituációban többféle művelet, információ kombinálása. 3.3 Adatok, információk megjelenítése, önálló ábrázolása (táblázatban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon) az ábrázolási forma önálló megválasztásával. Ábrázolt érték alapján skála megtalálása és a további értékek ábrázolása. 3.4 Műveletek végrehajtásával nyert adatok megjelenítése, áb rázolása táblázatban, diagramon, grafikonon vagy egyéb módon. 3.5 Állítások, feltételezések, módszerek, bizonyítások igazságának, érvényességének értékelése matematikai indoklással. 3.6 Saját megoldási módszerek újszerű problémára, a módszer ismertetése. 2. ALKALMAZÁS, INTEGRÁCIÓ Ismert módszerek vagy azok kombinációjának kiválasztása és alkalmazása 2.1 Jól definiált adatok, információk megjelenítése, leolvasása, ábrázolása táblázatban, diagramon, grafikonon (adott tengelyek, beosztás), rajzon, gráffal stb. 2.2 Szabályok, összefüggések felismerése és ismertetése szövegesen vagy matematikai szimbólumokkal, vagy szabály felismerése és alkalmazása, szituációhoz tartozó összefüggés megadása. Döntéshozatalhoz szükséges adatok kiválasztása. 2.3 Ismert eljárások, szabályok, algoritmusok kiválasztása és alkalmazása (pl. százalékalap, százalékláb kiszámítása*, arányszámítás, jól definiált szöveges információ/paraméteres kifejezések alapján összetettebb műveletsor végrehajtása, átrendezése, Pitagorasz-tétel alkalmazása**, kombinatorikai, valószínűség-számítási módszerek alkalmazása***, egyenletmegoldás, geometriai transzformációk végrehajtása, terület lefedése/térfogat kitöltése alakzatokkal, közös osztó, közös többszörös megtalálása, halmazműveletek alkalmazása, eligazodás gráfokon, befoglaló test megtalálása, receptes feladatok megoldása). 2.4 Többféle eljárás, művelet és információ kombinálása, összekapcsolása (pl. ábrázolt információk leolvasás utáni felhasználása valamilyen további problémamegoldáshoz, megkülönböztetett lapú test hálójának felismerése [pl. betűkocka], ki-kinek-mennyivel tartozik típusú feladatok). * Csak a 8. és a 10. évfolyamon. ** Csak a 8. és a 10. évfolyamon. *** 6. évfolyamon csak kis elemszámú problémák. 200

203 8. ÉVFOLYAM 3. melléklet: Az itemek jellemzői 201

204 MATEMATIKA Azonosító Feladatcím Tartalmi terület Gondolkodási művelet MM27001 Nézőtér - Hol ülhetett Marci az előadás alatt? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3 MM06601 Videó megállítása - Körülbelül mennyi idő VAN MÉG HÁTRA a videóból? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.4 MM00102 Dolgozat I. - Melyik kördiagram mutatja helyesen a dolgozatra kapott érdemjegyek... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Alkalmazás, integráció 2.4 MM01401 Minta - Hogyan helyezze a lapot a nyomtatóba, ha az 1. oldal JOBB ALSÓ sarkába szeretné... Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.1 MM05602 Ingatlan - 1. Melyik lakás 1 m2-e kerül kevesebbe? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM05603 Ingatlan - 2. Havonta legalább milyen értékben kell ingatlanokat eladnia, hogy legalább... Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.2 MM05701 Jótékonysági vásár - Hány darab süteményt adtak el a fiúk külön-külön? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM09501 Étterem - Hány forintot fizetett külön-külön Kinga, Endre és Zsolt a saját ebédjéért? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM10701 Kamionsofőr II. - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül! Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.1 MM12301 Körforgalom II. - Melyik jelzőtáblát látják a Bög felől érkezők? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3 MM03101 Szerenád - Milyen sorrendben látogassák végig tanáraikat Tamásék, ha minden helyen... Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.1 MM15402 Borultsági fok - 1. Az egész égboltot tekintve hány okta a borultsági fok? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM17301 Vágás - Jelöld vonallal a fenti ábra időskáláján a vágott anyag végét! Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.4 MM06002 Nappalok hossza - 1. A diagram alapján legközelebb mikor KEL FEL a nap ugyanakkor... Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.1 MM06003 Nappalok hossza - 2. Körülbelül milyen hosszú az az időszak az évben, amikor Kati... Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.2 MM16102 Mérleghinta II. - Melyik igaz az alábbiak közül? Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.2 MM18101 Mérleg - Hány gramm a Karolina által lemért banánok együttes tömege? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5 MM19601 Papírtáska - A fenti adatok alapján mennyibe kerül Anna rendelése, ha a legolcsóbb... Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 MM21101 Áramszünet - MENNYI IDEIG TARTOTT az áramszünet? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM23101 Holland festők I. - Rajzold be, hol helyezkedne el az ábrán a hiányzó negyedik! Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.3 MM23601 Phileas Fogg - Átlagosan hány kilométert kellett megtennie naponta, ha az út hossza... Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM24202 Almaárusítás II. - Melyik diagram mutatja helyesen, mennyit kerestek Jánosék... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.2 Komplex megoldások és értékelés 3.4 MM27601 Kérdőív - Hány kérdés VAN MÉG HÁTRA, ha eddig 16 kérdésre felelt? Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM29401 Repülőtér - Melyik kapun fog kimenni Melinda, ha EU-s országból jön, nem utazik... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.3 MM33601 Régi térkép - Jelöld X-szel a MAI TÉRKÉPEN, hol állt az a ház, amelynek a címe régen... Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.1 MM12801 Időpont-egyeztetés - 1. Ki jelölte meg a legtöbb olyan napot, amikor biztosan ráér? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 MM12802 Időpont-egyeztetés - 2. Hány embert kell így újra megkérdezni? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.8 Alkalmazás, integráció 2.3 MM31801 Madarak vonulása - Mely légi folyosóknál kell fokozottabban figyelni a madarakra... Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 MM21701 Origami - Melyik lehet az ÖSSZEHAJTOGATOTT papír képe? Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.3 MM05901 Kuszkusz - Hány egész adag kuszkusz készíthető a teljes doboz felhasználásával, ha... Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM15901 Méhkaptár - 1. Add meg a szürkével jelölt sejt koordinátáit! Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.1 MM15902 Méhkaptár - 2. Melyik ez a sejt? Alakzatok, tájékozódás Komplex megoldások és értékelés 3.1 MM05401 Futóedzés - 1. Várhatóan mikor fejezi be a futást Kitti? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM05402 Futóedzés - 2. Jelöld vonallal az ábrán, hol fejezi be Kitti a 15 km-es futást! Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.4 MM05403 Futóedzés - 3. Hány perccel előzi meg Kittit Zsófi a 9 km-en? Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM01601 Anyagkészlet I. - Írd be a következő táblázatba, melyik anyagból mennyi maradt! Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés 3.2 MM09101 Maraton - Várhatóan hol tart majd a mezőny vége, amikor az eleje megérkezik... Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.2 MM06401 Teljesítménytúra - Milyen időeredménnyel zárta a versenyt Tünde? Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 MM11803 Lekvárkészítő üzem - 1. Hány GRAMM tartósítószert kell tenni ebbe az üvegbe... Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 MM11805 Lekvárkészítő üzem - 2. A következő utasítások közül melyik írja le helyesen... Alakzatok, tájékozódás Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 MM12702 Időjárás-előrejelzés - 2. Melyik napra várható a legnagyobb napi hőingás? Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.1 Tényismeret és egyszerű műveletek 1.6 MM21801 Osztálytalálkozó - 1. A felsorolt évek közül melyikben fognak találkozni? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.4 MM21802 Osztálytalálkozó től kezdve hány évente kaphat Kati néni meghívást... Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM14201 Triominos - Írd be a fenti ábrán látható üres mezőkbe azoknak az ábra melletti... Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.4 MM15702 Közös udvar - A táblázat adatai alapján MATEMATIKAI ÉRVEKKEL CÁFOLD... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.4 Komplex megoldások és értékelés 3.5 MM16702 Hőlégballonverseny - Döntsd el, melyik igaz, illetve melyik hamis az alábbi állítások közül! Hozzárendelések, összefüggések Komplex megoldások és értékelés 3.1 MM17401 Védőoltás - Összesen a rászorulók hány SZÁZALÉKA kapott kedvezményes áron... Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM19702 Poharak - Jelöld be a poháron a bele töltött folyadék szintjét! Alakzatok, tájékozódás Alkalmazás, integráció 2.1 MM17701 Euróárfolyam - Hány forintot számolt a bank 1 euróért, ha a két vásárlás között... Mennyiségek, számok, műveletek Alkalmazás, integráció 2.3 MM19901 Szoba - Melyik ábra lehet az? Hozzárendelések, összefüggések Tényismeret és egyszerű műveletek 1.2 MM25001 Albérlet - Ki mennyi albérleti díjat fizet egy hónapban? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 MM22701 Légiirányítás - Melyik ez a két repülőgép? Mennyiségek, számok, műveletek Tényismeret és egyszerű műveletek 1.5 MM21201 Erdős-szám II Az ábra segítségével állapítsd meg, mennyi Simonovits Miklós... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.1 MM21203 Erdős-szám II Melyik betű jelölheti azt a matematikust, akinek az Erdős-száma 2, és... Statisztikai jellemzők, valószínűség 4.7 Alkalmazás, integráció 2.1 MM19203 Karácsony - Mennyi porcukorra lesz szüksége a 3 tojásfehérjéhez? Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 MM31701 Kockacukor - Hány darab kockacukor mutatná egy 20,4 g cukrot tartalmazó édesség... Hozzárendelések, összefüggések Alkalmazás, integráció 2.3 MM33102 Reklám - Melyik reklámot kell megszüntetni? Mennyiségek, számok, műveletek Komplex megoldások és értékelés táblázat: Az itemek besorolása 202

205 8. ÉVFOLYAM Azonosító Standard meredekség Standard nehézség 1. lépésnehézség 2. lépésnehézség Tippelési paraméter Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Becslés Standard hiba Százalékos megoldottság teljes populáció MM ,0037 0, ,4 88,3 0,12 MM ,0017 0, ,7 62,7 0,16 MM ,0021 0, ,4 75,5 0,14 MM ,0018 0, ,7 34,7 0,13 MM ,0045 0, ,5 54,1 0,15 MM ,0059 0, ,1 12,0 0,10 MM ,0039 0, ,3 87,8 0,11 MM ,0031 0, ,9 78,7 0,15 MM ,0038 0, ,7 34,8 0,15 MM ,0036 0, ,2 80,1 0,12 MM ,0033 0, ,9 79,7 0,13 MM ,0041 0, ,8 55,3 0,15 MM ,0026 0, ,6 17,7 0,14 MM ,0033 0, ,0 75,2 0,12 MM ,0025 0, ,8 0,23 0,03 53,2 0,17 MM ,0042 0, ,0 0,33 0,01 50,1 0,16 MM ,0056 0, ,6 85,6 0,11 MM ,0044 0, ,9 18,7 0,13 MM ,0047 0, ,6 0,11 0,02 30,1 0,15 MM ,0032 0, , ,6 0,14 MM ,0036 0, ,1 82,7 0,13 MM ,0046 0, ,7 0,18 0,01 54,1 0,19 MM ,0019 0, ,5 67,2 0,14 MM ,0038 0, ,2 79,4 0,15 MM ,0024 0, ,0 51,9 0,19 MM ,0029 0, ,6 80,9 0,14 MM ,0025 0, ,1 0,30 0,03 44,5 0,14 MM ,0029 0, ,0 50,5 0,17 MM ,0029 0, ,1 84,3 0,13 MM ,0037 0, ,5 91,9 0,10 MM ,0032 0, ,4 68,5 0,15 MM ,0018 0, ,6 27,5 0,14 MM ,0051 0, ,0 0,27 0,02 76,7 0,14 MM ,0040 0, ,8 32,8 0,16 MM ,0042 0, ,3 0,32 0,02 65,4 0,15 MM ,0032 0, ,7 31,2 0,15 MM ,0056 0, ,7 0,33 0,01 45,1 0,16 MM ,0028 0, ,7 73,9 0,15 MM ,0043 0, ,6 31,1 0,14 MM ,0028 0, ,3 60,1 0,16 MM ,0042 0, ,4 91,1 0,09 MM ,0033 0, ,0 88,8 0,11 MM ,0036 0, ,9 0,13 0,02 57,5 0,17 MM ,0021 0, , ,9 0,15 MM ,0038 0, ,9 48,3 0,17 MM ,0049 0, ,1 5,9 0,08 MM ,0060 0, ,0 22,9 0,12 MM ,0013 0, ,5 40,6 0,16 MM ,0058 0, ,8 32,8 0,15 MM ,0019 0, ,3 69,0 0,16 MM ,0050 0, ,1 33,0 0,16 MM ,0022 0, ,7 80,1 0,14 MM ,0049 0, ,9 0,11 0,02 42,6 0,17 MM ,0054 0, ,0 0,13 0,01 41,0 0,15 MM ,0032 0, ,8 72,1 0,16 MM ,0024 0, ,4 71,4 0,16 MM ,0047 0, ,6 0,33 0,01 37,0 0,16 2. táblázat: Az itemek statisztikai jellemzői % Standard hiba 203

206 MATEMATIKA Az egyes kódok előfordulási aránya (%) Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM táblázat: Az itemek lehetséges kódjainak megoszlása 204

207 8. ÉVFOLYAM Az egyes kódok pontbiszeriális korrelációi Azonosító 0-s kód 1-es kód 2-es kód 3-as kód 4-es kód 5-ös kód 6-os kód 7-es kód 8-as kód 9-es kód MM ,21 0,36-0,19-0,11-0,05-0,17 MM ,10 0,24-0,15-0,06-0,14-0,01-0,05 MM ,15-0,22 0,33-0,14-0,03-0,11 MM ,15-0,20-0,08 0,28-0,03-0,09 MM ,29 0,55-0,37 MM ,02 0,17 0,45-0,37 MM ,24 0,40-0,30 MM ,21 0,37-0,30 MM ,46 0,48-0,10 MM ,24-0,23 0,43-0,23-0,06-0,12 MM ,18-0,23 0,41-0,23-0,03-0,10 MM ,28 0,00 0,55-0,40 MM ,11 0,32-0,38 MM ,25 0,44-0,19-0,17-0,14-0,04-0,13 MM ,10-0,21 0,30-0,02-0,01-0,13 MM ,09-0,13 0,30-0,12-0,02-0,13 MM ,35 0,50-0,33 MM ,01 0,45-0,35 MM ,42-0,07-0,08-0,14-0,17-0,02-0,11 MM ,11 0,18 0,49-0,45 MM ,11-0,20 0,42-0,22-0,17-0,03-0,14 MM ,48-0,23-0,18-0,18-0,07-0,13 MM ,26 0,31-0,09-0,10-0,02-0,14 MM ,27 0,44-0,31 MM ,15 0,37-0,30 MM ,17-0,19-0,17 0,34-0,04-0,10 MM ,12-0,11 0,23-0,05-0,03-0,10 MM ,15-0,19-0,19 0,42-0,02-0,11 MM ,26 0,32-0,11-0,08-0,03-0,08 MM ,09-0,19 0,31-0,17-0,11-0,02-0,08 MM ,26 0,43-0,33 MM ,29-0,09-0,21 0,05-0,11-0,01-0,13 MM ,19-0,30 0,44-0,18-0,11-0,03-0,07 MM ,20 0,49-0,35 MM ,27 0,39-0,23-0,05-0,03-0,08 MM ,16 0,43-0,30 MM ,07 0,28-0,18-0,08-0,02-0,06 MM ,28 0,39-0,27 MM ,19 0,51-0,36 MM ,16-0,18-0,21 0,40-0,02-0,11 MM ,38-0,20-0,21-0,16-0,10-0,04-0,10 MM ,21 0,34-0,15-0,13-0,09-0,03-0,11 MM ,44-0,16-0,24-0,16-0,13-0,02-0,08 MM ,33-0,05 0,44-0,26 MM ,01 0,50-0,51 MM ,21 0,30-0,12 MM ,13 0,02 0,55-0,36 MM ,02 0,18-0,27 MM ,20 0,58-0,38 MM ,18 0,34-0,15-0,11-0,03-0,15 MM ,22 0,00 0,56-0,34 MM ,16 0,32-0,18-0,12-0,05-0,12 MM ,50-0,25-0,21-0,11-0,01-0,12 MM ,49-0,22-0,17-0,17-0,02-0,12 MM ,16-0,19-0,25 0,44-0,15-0,03-0,12 MM ,11 0,34-0,27-0,10-0,02-0,10 MM ,08 0,19-0,08 0,00-0,01-0,09 4. táblázat: Az item lehetséges kódjainak pontbiszeriális korrelációja 205

208