LUBLÓVÁRY GERGELY GÉZA SZAKDOLGOZAT

LUBLÓVÁRY GERGELY GÉZA SZAKDOLGOZAT

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK SZAKDOLGOZATOK

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK LUBLÓVÁRY GERGELY GÉZA SZAKDOLGOZAT Akusztikusan gerjesztett gázbuborék kaotikus és periodikus megoldásainak vizsgálata nagy viszkozitású folyadékban Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Témavezető: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Budapest, 2015

Szerzői jog Lublóváry Gergely Géza, 2015. ZÁRADÉK Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott, a dolgozat tartalmát csak az arra feljogosított személyek ismerhetik. A korlátozott hozzáférés időtartamának lejártáig az arra feljogosítottakon kívül csak a korlátozást kérelmező személy vagy gazdálkodó szervezet írásos engedélyéjével rendelkező személy nyerhet betekintést a dolgozat tartalmába. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés 2015. év 12. hónap 31 napján ér véget.

Ide kell befűzni az eredeti feladat kiírási lapot!

NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozat a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: témavezető Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Lublóváry Gergely Géza (LSPT9N), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója,büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, 2015 szigorló hallgató ix

TARTALOMJEGYZÉK Köszönet nyilvánítás... xii Jelölések jegyzéke...xiii 1. Bevezetés... 1 1.1. Célkitűzések... 1 1.2. Áttekintés... 2 2. Alkalmazások, szakirodalmi áttekintés... 4 2.1. Anyagtechnológia... 4 2.2. Víz- és szennyvíz kezelés... 6 2.3. Orvostudomány... 7 2.4. Élelmiszer ipar... 8 3. A buborék viselkedését leíró modell bemutatása... 10 3.1. Rayleigh-Plesset egyenlet... 10 3.2. Anyagjellemzők és paraméterek... 14 3.3. A dimenziótlan egyenlet rendszer... 14 3.4. A modell használhatóságának bizonyítása mérési eredményekkel... 16 4. Az egyenlet megoldására használt eszköz... 18 4.1. A MATLAB szoftveres környezetbe beépített közönséges differenciál egyenlet (ode) megoldók... 18 4.2. Megoldók vizsgálata... 18 5. Paraméter tanulmányok elvégzése, kaotikus és periodikus megoldások feltérképezése a gerjesztési frekvencia függvényében... 23 5.1. A vizsgálat módszerei, periodikus és kaotikus megoldások... 23 5.1.1. Poincaré metszet... 23 5.1.2. Periodikus és kaotikus megoldások... 24 5.1.3. Bifurkációs diagram... 26 5.2. Relatív frekvencia mint futó paraméter, nagyítási diagramok... 27 5.2.1. Gyakorlati megvalósítás... 27 5.2.2. Eredmények bemutatása... 28 x

5.2.3. Megállapítások... 36 6. Összefoglalás/Eredmények értékelése... 37 7. Felhasznált források... 39 8. Summary... 42 9. Melléklet... 43 9.1. Glicerin fizikai tulajdonságai a hőmérséklet függvényében... 43 xi

KÖSZÖNET NYILVÁNÍTÁS Köszönettel tartozom a konzulensemnek, Dr. Hegedűs Ferencnek, aki bevezetett a téma rejtelmeibe, a félév során pedig minden felmerülő kérdésemre választ adott és aktívan segítette a munkámat. Köszönettel tartozom a családomnak, különösen a szüleimnek, akik lehetővé tették, hogy nyugodt körülmények között megírjam ezen dolgozatot, és támogattak a munkámban. Budapest, 2015 Lublóváry Gergely Géza xii

JELÖLÉSEK JEGYZÉKE A táblázatban a többször előforduló jelölések magyar és angol nyelvű elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység c hangsebesség m/s n politropikus kitevő 1 N periódusszám 1 p nyomás bar P nyomás (környezet nyomása) bar r buborék középpontjától vett távolság m R buboréksugár m R specifikus gázállandó J/(kg K) t idő s T hőmérséklet C vr sugár irányban vett sebesség m/s y1 dimenziótlan buboréksugár 1 y2 dimenziótlan buborékfal sebesség 1 Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység ρ sűrűség kg/m 3 μ kinematikai viszkozitás kg/(m s) σ felületi feszültség N/m 2 xiii

τ dimenziótlan idő 1 ω körfrekvencia rad/s Indexek, kitevők Jelölés Megnevezés, értelmezés 0 referencia A E G L max ref R V buboréktól távol amplitúdó egyensúly gáz folyadék maximum referencia relatív gőz xiv

1. BEVEZETÉS 1.1. Célkitűzések A buborék nem gáz halmazállapotú, nem folyékony, és nem is szilárd. A létezéséhez, minimum két fázis jelenléte szükséges. A mi esetünkben a buborék nem más, mint egy folyadékkal körülvett gázból, és gőzből álló térrész. Formája a legtöbb esetben gömb alakú, köszönhetően a felületi feszültségnek, mivel ennek a formának a legkisebb a felülete a térfogatához viszonyítva. A buborékok dinamikájának vizsgálatára legkorábban a kavitációs jelenségek mélyebb megértése adott okot, melyet a mérnöki gyakorlatban egy igencsak káros jelenségként ismerhetünk. Áramlástechnikai gépek működése során a folyadékban az alacsony nyomású részeken gőzbuborékok keletkeznek. Ezen buborékok egyrészt rontják magának a gépnek a használhatóságát, sőt teljesen működésképtelenné is tehetik azt. Másrészt a keletkezés helyéről továbbsodródva extrém buborékfal sebességgel, képesek összeroppanni. Szilárd felszín közelében pedig nem szimmetrikusan hanem egy vízsugarat a felszín felé lőve roppannak össze (lásd 2.1. fejezet). Az így okozott szélsőséges körülmények meglehetősen romboló hatásúak tudnak lenni, ezért a kavitáció általában egy kerülendő jelenség. Ugyanakkor egyre több alkalmazási lehetőség tárulkozik fel a buborékok rendkívüli viselkedésének kihasználására, az orvostudományban, az élelmiszer iparban és a kémiában. Ezek közül párat később fogok bemutatni. 1.1 ábra: tipikus akusztikus kavitáció révén kialakuló buboréksugár-idő diagram a buborék összeroppanás szemléltetésére 1

Ha egy folyadékot megfelelő nyomás amplitúdójú hanghullámokkal sugároznak be, akkor a folyadékbeli nyomás rövid időkre kellően lecsökkenhet kavitációs buborékok kialakulásához, ezt a folyamatot akusztikus kavitációnak nevezzük. Az akusztikus kavitáció során szintén nagy buborékfal sebességek alakulnak ki. Buborék sugarának tipikus időbeli lefolyása az 1.1. ábrán látható. A buborék sugara néhol, rendkívül rövid idő alatt csökken a töredék részére, ezt nevezzük összeroppanásnak (lásd 1.1. ábra). Az összeroppanó buborékokban akár 5000 K hőmérséklet, és 2000 atmoszféra nyomás is kialakulhat [1]. Az alkalmazási területeken leggyakrabban az emberi hallásküszöb (20000kHz) feletti hangot, azaz ultrahangot használnak. A buborékok csak ritkán jelentkeznek magányosan, de egyetlen buborék vizsgálata jó kezdő lépés a bonyolultabb struktúrák megértéséhez. Ennek dinamikájának leírására számos modell született, az egyik legkorábbi Lord Rayleigh [2] modellje, melyet a dolgozat folyamán később (lásd 3. fejezet) levezetek. A modell végtelen folyadéktérben létező magányos buborék mint egy rezgőrendszer viselkedését hivatott leírni. A dolgozat folyamán a Rayleigh modell egy módosított változatát használom majd, ami a közeg összenyomhatóságát is figyelembe veszi. A rendszer gerjesztése a folyadékon belüli nagy nyomás amplitúdójú hanghullámok formájában érkezik. Az így létrehozott rendszer nem lineáris. A nem linearitás következménye, hogy a rendszer válasza a gerjesztésre, nem csak periodikus lehet, hanem bizonyos esetekben kaotikus is, ami az alkalmazás szempontjától függően lehet elkerülendő de akár lehet cél is. A fent említett modellnek fontos paraméterei a buborékot magába foglaló folyadék tulajdonságai. A dolgozat keretében glicerinben mint nagy viszkozitású folyadékban lévő buborék vizsgálata a cél. Célunk a különböző paraméterek melletti gerjesztések esetén a buboréksugár időbeli változása, mint válaszfüggvény vizsgálata. A bekonvergált megoldás vizsgálati szempontjai lehetnek például, a maximális buboréksugár vagy a legnagyobb buborékfal sebesség. 1.2. Áttekintés A dolgozat bevezetésében röviden ismertetem a vizsgált jelenséget, a buborék fizikáját. Ezután bemutatok néhányat az alkalmazások körül, a tudomány, és ipar különböző területeiről. Ezután bemutatom a buborék viselkedését leíró másodrendű differenciál egyenletet, levezetve, hogyan jutunk el Lord Rayleigh alapvető modelljéig, majd kifejtem az egyenletet és a buborék viselkedését befolyásoló anyagjellemzőket, és paramétereket. Bemutatom a linearizált, és dimenziótlan egyenlet rendszert, amelyet a numerikus szimulációk során használok majd. Ismertetem a Matlab szoftveres környezetbe beépített közönséges differenciál egyenlet (Ordinary Differential Equation) megoldókat (azaz ode megoldók), és kiválasztom a számításaimhoz a legalkalmasabbat. Ezután ismertetem a vizsgálati módszereket, és a szimuláció gyakor- 2

lati megvalósításának módját. Feltérképezem a periodikus és kaotikus tartományokat a gerjesztési frekvencia, a közeg hőmérséklete, és a nyomás amplitúdó mint paraméterek függvényében. Végezetül pedig a kapott eredményeket, diagramokat megvizsgálom, és összehasonlítom egymással. 3

2. ALKALMAZÁSOK, SZAKIRODALMI ÁTTEKINTÉS 2.1. Anyagtechnológia Buborék összeroppanások révén az ultrahang energiájának hatalmas méretű koncentrációját érhetjük el. Ez a kis helyen összezsúfolt nagy energia hatékony eszköz lehet különféle extrém kémiai és fizikai folyamatok beindításához. A buborék összeomlás által keltett rendkívüli körülményeket kihasználva például újabb polimerek előállítása válik lehetségessé (polimerizáció beindítása hozzáadott katalizátor nélkül), vagy azok tulajdonságainak viszonylag pontos szabályozásához. Az összeomló buborék egy nyomáshullámot indít el maga körül koncentrikusan, ezt lökéshullámnak nevezzük. Az összeomló buborékok közelében és az azáltal keltett lökéshullámokban kialakuló nagy folyadék sebesség gradiensek miatt hatalmas erők tudnak hatni a polimer láncokra. Ezek az erők képesek arra, hogy széttördeljék a polimer láncokat. A hő által való lebontáshoz képest, ami véletlenszerű helyeken okoz töréseket a láncban, előnye az ultrahangos bontásnak, hogy a szakadások leggyakrabban a láncok közepén jelentkeznek [3]. Ez használható a molekula tömegeloszlás hatékony szabályzására [4]. 2.1. ábra: 1%-os kis polidiszperzitású polisztirol-toluol oldat ultrahangos bontása, forrás: [4] 4

A szilárd felszín közelében összeroppanó buborékok nem szimmetrikusan esnek össze, ezzel hatalmas sebességű folyadéksugarakat lőve a felszín felé, ami egyébként a korábban említett kavitációs roncsolódásért is felelős (2.2 ábra) [5]. Ezt elsősorban az ultrahangos tisztítási eljárásoknál használják ki. Urban és Salazar-Rojas [6] ezt a jelenséget polivinilidén-difluorid felületi kezelésére és annak felgyorsítására használták. 2.2. ábra: buborék összeroppanása szilárd felszín közelében, forrás: [7] Rendkívül érdekes szerkezetű MoS 2 előállítására voltak képesek molibdén-karbonil és kén 1,2,3,5-Tetramethylbenzene-el való oldatának nagy intenzitású ultrahangos besugárzásával [8]. 2.3. ábra: A hagyományos, és a szonokémiailag előállított MoS 2 morfológiája, forrás: [8] 5

Megfigyelték, hogy a MoS 2 katalitikus aktivitása nem a sima felületekhez hanem a sarkokhoz, és szélekhez köthető [9,10]. A hagyományos úton előállított MoS 2 -nál viszont a lapos felületek a dominánsak (2.3. ábra, bal oldal). A szonokémiai úton előállított MoS 2 morfológiája azonban nagyban különbözik. A felületén számos egyenetlenség, kitüremkedés van (2.3. ábra, jobb oldal), ezzel a sarkítások, és élek száma nagyban megnő. Ennek következményeként a nála jóval drágább katalizátoroknál (ReS 2, RuS 2 ) is jobb katalitikus aktivitása van [8]. A 2.4. ábrán különféle katalizátoroknak a katalitikus aktivitását láthatjuk, a hőmérséklet függvényében. 2.4. ábra: Több katalizátor katalikus aktivitása, tiofén hidrogénező kénmentesítésére, forrás: [8] 2.2. Víz- és szennyvíz kezelés Az ultrahangos kezelés mikroorganizmusokra gyakorolt pusztító hatásáról már 1928-ban tudósított Harvey és Loomis. A kavitációs jelenségek későbbi jobb átlátása a gyorsan fejlődő, a szakirodalomban szonokémiának nevezett tudományág kialakulásához vezetett, ami nagyban segítette az akusztikus kavitáció víztisztításban való alkalmazását. Több módon képes a szennyezők lebontására/elpusztítására a kavitáció. A kavitációs buborék összeroppanások okozta nagy hőmérsékleten és nyomáson erősen reakció képes szabad gyökök keletkeznek (pl.: OH, OOH). Ezek a biológiai szennyezők kémiai szerkezetét megtámadva gyengítik, majd teljesen lebontják azt 6

[11]. A buborék belsejében a szerves anyagú hulladék a nagy hőmérséklet hatására magától is képes kémiailag lebomlani. A nagy nyomás mechanikai kifárasztó hatása hasonlóan romboló hatással lehet például a vízben lévő baktériumokra [12]. Az ultrahangos kezelés rendkívül hatékonynak bizonyult például algák elpusztításában. 30; 60; 90; 120 és 150 másodperces besugárzás után (42kHz) rendre az alga populáció 8,55; 35,22; 67,22; 90,67 és 100%-a megsemmisült [13]. Ugyanezzel a frekvenciával besugárzott vízben 12 perc után a vízben lévő fonalférgek 100%-a [14] és 90 percnyi besugárzás után a Fecal Coliform baktérium állomány 99,95%-a [15] pusztult el. Ez a 2.5. ábrán látható, ahol az elpusztított coliform baktériumok százalékos arányát láthatjuk az idő függvényében. A víz akusztikus kezelése során nincs semmilyen adalék hozzá adva a vízhez, és nem keletkeznek melléktermékek sem. Tehát mindenképpen egy megfontolandó eszköz a víz tisztításához. Ugyanakkor a folyamat nagy energia igénye miatt a hoszszabb besugárzást igénylő műveleteknél még mindig gazdaságossági nehézségekbe ütközhet az eljárás. 2.5. ábra: Fecal Coliform baktérium elpusztulása az idő függvényében, forrás: [15] 2.3. Orvostudomány Az ultrahang, és az általa létrehozott kavitáció sok potenciált mutat egészségügyi alkalmazásokban is, például a rákos sejtek elleni harcban. A buborék összeroppanások során keletkező erősen reaktív szabadgyökök és a körülményektől függően később keletkező egyéb kémiai anyagok (mint pl.: hidrogén peroxid) hatékony eszközei lehetnek káros sejtek/szövetek elpusztításának [16-18]. Problémát okozhat, hogy nem csak a rosszindulatú szövetek károsodnak. Esetleges megoldás lehet szabadgyököket 7

semlegesítő és antioxidáns vegyületek (pl.:c-vitamin, E-vitamin) használata az egészséges sejtek megvédésében [19-21]. Az akusztikus kavitáció precíz fókuszálása, endoszkópikus, és/vagy intrakatéter ultrahang használata szintén megoldása lehet, a korábban említett problémának [22]. Ugyanakkor nemcsak a pusztításban, hanem a gyógyszerek hatékonyabb felszívódásában is segíthet az ultrahang használata. Az általa gerjesztett hőmérséklet és a szabad gyökök alkalmasak lehetnek a szövetek, és sejtek áteresztő képességének a növelésére, és a mikro kapszulákban szállított gyógyszerek célzott kiengedésére (2.6. ábra). 2.6. ábra: Rák elleni gyógyszer célzott kiengedése a kavitációs buborékok segítségével (A): mikrokapszulált gyógyszer, (B): kavitációs buborék(b), forrás: [22] 2.4. Élelmiszer ipar Az élelmiszer ipar számos területén hasznosnak bizonyult az ultrahang alkalmazása mind önmagában, mind más technikákkal együtt használva. Bizonyos területeken hatékonyabban és jobb minőségű termékeket lehet előállítani, gazdaságosabb energia felhasználással, és kevesebb idővel, nem is beszélve a technológia sokkal környezetbarátabb mivoltáról. 2.7. ábra: A permeábilitás növelése ultrahang segítségével, forrás: [23] Egyik alkalmazási lehetőség a szűrés hatékonyságának a növelése. Az ultrahang segítségével a membrán áteresztő képességének csökkentése nélkül lehet csökkenteni a membrán felületének közvetlen közelében a koncentrációt (2.7. ábra). A kavitációból fakadó folyadéksugarak segítenek a membrán tisztántartásában, és a 8

pórusokat eltömítő részecskék kiszabadításában [24] (2.7. ábra). Ezekkel növelhető a szűrési sebesség és a membrán élettartama is hosszabb lesz [25]. Az ultrahangos pasztörizálás, már egy szélesebb körben elterjedt dolog. Az eljárással a nemkívánatos baktériumokat és enzimeket a tej protein és casein tartalmának csökkentése nélkül, lehet elpusztítani [26]. Hőkezeléssel együtt használva, minimális íz veszteséggel, sokkal nagyobb kezelési homogenitást lehet elérni, ráadásul kisebb a művelet energia igénye is, mint az önmagában használt hőkezelésnek [27]. 9

3. A BUBORÉK VISELKEDÉSÉT LEÍRÓ MODELL BEMUTATÁSA 3.1. Rayleigh-Plesset egyenlet Vegyünk egy gömb alakú gőz buborékot egy végtelen térfogatú folyadékban, amiben a buboréktól távoli hőmérséklet állandó T, a nyomást leíró függvény pedig p (t). A folyadék sűrűségét ρ L, és viszkozitását μ L, állandónak vesszük. További feltételezések, hogy a buborék tartalma homogén eloszlású ugyanúgy, mint a benne lévő nyomás p B (t), hőmérséklet T B (t), és sűrűség ρ B (t). A hőmérséklet, nyomás és sebesség a folyadéktérben rendre; T(r, t), p(r, t) és v r (r, t), ahol "r" a buborék középpontjától vett távolság v r pedig ebben a sugár irányban vett sebesség. A folyadéktér hőmérsékletét mindenhol egyenlőnek tekintjük, a buboréktól távoli hőmérséklettel, tehát T(r, t) = T. A keresett függvény pedig a buborék sugarának az időbeli változása R(t). 3.1. ábra: egyetlen buborék, egy végtelen folyadék térben Állandó sűrűséget feltételezve tömeg megmaradás törvénye a következőképpen írható fel: v r (R, t)4πr 2 = v r (r, t)4πr 2. (3.1) Azaz a buborék falánál a tömegáram megegyezik, az r sugarú gömbfelszínen áthaladó tömegárammal. A folyamatos kondenzáció és elpárolgás miatt v r (R, t) nem egyenlő dr(t)/dt -vel. A gőzképződés térfogatárama egyenlő a buborék térfogat növekedésével 4πR 2 R, ahol R = dr(t)/dt. Ebből a gőzképződés tömegárama m V = 4πR 2 R ρ V (T B ) formá- 10

ban fejezhető ki, ahol ρ V (T B ) a telített gőz sűrűsége a buborék hőmérsékletén. A folyadék tömeg árama a buborék belseje felé r = R helyen felírva; m L = 4πR 2 v R (R, t)ρ L formában írható fel, ahol v R a relatív sebesség és v R (R, t) = R v r (R, t). A két tömegáramnak egyenlőnek kell lennie egymással, tehát: amiből v r (R, t) kifejezve; 4πR 2 R ρ V (T B ) = 4πR 2 (R v r (R, t)) ρ L, (3.2) v r (R, t) = R ρ V(T B ) ρ L R = [1 ρ V(T B ) ρ L ] R. (3.3) A gyakorlatban ρ V (T B ) ρ L, v r (R, t) R ezért jó közelítés. Ezt visszaírva a (3.1) egyenletbe, v r (r, t) kifejezhető; A további számításokhoz szükség lesz v r deriváltjaira: v r r = 2 R2 r 3 R, 2 v r r 2 v r (r, t) = R2 r 2 R. (3.4) = 6 R2 r 4 R, v r t = 2 R r 2 R 2 + R2 r 2 R. (3.5) A Navier-Stokes egyenlet gömbi koordináta rendszerben felírva a sugárirányú komponensre: ρ ( v r t + v v r r r + v θ v r r θ + v φ v r rsinθ φ v θ 2 2 + v φ ) = p L r r, [ 1 r 2 r (r2 τ rr ) + 1 rsin(θ) θ (τ 1 θrsin (θ)) + rsin(θ) φ τ φr τ θθ + τ φφ r ]. (3.6) Mivel a buborékot gömbszimmetrikusnak feltételezzük, a θ és φ szerinti deriváltak, v θ és v φ mind 0-val egyenlők. Az egyenlet ezzel a következő alakra egyszerűsödik ρ ( v r t + v v r r r ) = p L r + μ L [ 1 r 2 r (r2 τ rr ) τ θθ + τ φφ ]. (3.7) r Ahol τ rr, τ θθ és τ φφ a következőképpen írhatóak fel: τ rr = μ L [2 v r r + 3 2 ( 1 r 2 r (r2 v r ))] = μ L (3 v r r 1 v r 2 r ), τ θθ = τ φφ = μ L [2 v r r + 3 2 ( 1 r 2 r (r2 v r ))] = μ L ( v r r + 3 v r ). (3.8) 2 r 11

Ha a (3.7) egyenletbe behelyettesítjük a (3.8)-ban lévő tagokat a következőt egyenletet kapjuk: ρ ( v r t + v v r r r ) = p L r + v r r 2 1 v r r r 1 2 v r 2 r 2. (3.9) Behelyettesítve v r -t (3.4) és deriváltjait (3.5) : ρ [2 R r 2 R 2 + R2 r 2 R + R2 r 2 R ( 2 R2 r 3 R )] = p L r + R2 r 4 R + 2 R2 r 4 R 3 R2 r 4 R. (3.10) A (3.10) egyenlet jobb oldalán az R -os tagok kiejtik egymást. A maradék részt R től -ig integrálva, és ρ-val osztva megkapjuk a Rayleigh-Plesset egyenletet: [ 2 R r R 2 R2 r R + R4 4r 4 2R 2 ] R = p L(R, t) p ρ 3 2 R 2 + RR = p L(R, t) p (t). (3.11) ρ A buborék falára felírt mechanikai egyensúly a következőképpen néz ki: ahol σ a felületi feszültség, τ rr pedig: τ rr (R, t) = 2μ L v r (R, t) r = 2μ L ( 2 R2 R 3 R ) + 2 3 μ L A (3.13) egyenletből p L -t kifejezve: p B (t) = p L + τ rr (R, t) + 2σ R. (3.12) = + 2 3 μ L [ 1 R 2 r (R2 v r (R, t))] = 1 R 2 [2Rv r(r, t) + R 2 v r(r, t) ] = r R = 4μ L R + 4 3 μ R L R + 2 3 μ L ( 2 R2 R R R 3 ) = 4μ L R. (3.13) p L = p B (t) 4μ L R A (3.11) egyenlet ezzel a következőképpen írható fel: R 2σ R. (3.14) 3 2 R 2 + RR = 1 R (p ρ B (t) 4μ L L R 2σ R p (t)). (3.15) Az egyenletet kiegészíthetjük úgy, hogy a buborék belsejében a gőz mellet, feltételezünk egy azzal tökéletesen keveredő, nem kondenzálódó, ideális gázt (n politropikus 12

kitevővel), ami szintén teljesen homogén módon oszlik el. Így a buborékon belüli nyomás a gőz és gáz parciális nyomásainak az összege: p B (R, T ) = p V (T ) + p G (R). (3.16) A gőznyomást állandónak tételezzük fel, de függ a közeg hőmérsékletétől (T ). Politropikus állapotváltozást feltételezve a gáz nyomása: p G (R) = p G0 ( R 0 R ) 3n, (3.17) ahol a politropikus kitevő értéke n = 1,4 adiabatikus állapot változást feltételezve, p G0 és R 0 pedig a referencia gáznyomás és referencia buboréksugár. Ezekkel meghatározható a buborékban lévő gáz tömege is: ahol R a specifikus gázállandó. m G = 4p G0R 0 3 π 3RT, (3.18) Az (3.15) egyenletbe (3.16)-t és (3.17)-t behelyettesítve eljutottunk a Rayleigh Plesset egyenlet klasszikus alakjáig: 3 2 R 2 + RR = 1 ρ (p V(T ) + p G0 ( R 0 R ) 3n 4μ L R R 2σ R p (t)). (3.19) A p (t) mint ismert gerjesztést p (t) = P + p A sin(ωt), (3.20) formában írjuk fel, ahol P a környezeti nyomás, p A pedig a gerjesztés nyomás amplitúdója. A gyakorlatban a nagy buborék falsebesség miatt nem lehet összenyomhatatlannak tekinteni a folyadékot ezért a számításokban a Keller-Miksis [28] egyenlet Lauterborn és Kruz [29] által módosított változatát (az időkésés kiküszöbölése végett) használjuk. Ezeknek a levezetése hosszadalmas, ezért a jelen dolgozatban nem részletezem. Így a (3.11) egyenlet a következő formában jelenik meg: (1 R ) 3 c L 2 R 2 + (1 R ) RR = (1 + R + R d 3c L c L ρ L c L dt ) p L(R, t) p (t). (3.21) ρ Vegyük észre, hogy ez az egyenlet a Rayleigh-Plesset egyenlettől, csak szorzótagokban tér el. Ha a hangsebességet pedig c L tekintjük, a Rayleigh-Plesset egyenletet kapjuk vissza. 13

3.2. Anyagjellemzők és paraméterek Hegedűs [30] alapján a (3.21) egyenlet összes paramétere 5 fő paraméter segítségével kifejezhető. Elsődleges paraméterek a környezeti nyomás P és a közeg hőmérséklete T. Kémiailag tiszta anyagról lévén szó, ez a két paraméter az összes anyagjellemzőt megszabja. Az anyagjellemzőket a Dow Chemical Company 1 eredményei alapján lettek meghatározva. A buborék méret definiálásához szükséges lenne még megadnunk p G0 -t és R 0 -t. Ezekből kiszámolható a statikus, gerjesztetlen állapothoz tartozó (minden idő szerinti derivált és p A nulla) egyensúlyi buboréksugár R E a (3.19) képlet segítségével: 0 = p V + p G0 ( R 3n 0 ) 2σ P R E R. (3.22) E Ugyanakkor a gyakorlatban a tetszőlegesen megadható p G0 és R 0 helyett csak az egyensúlyi buboréksugarat szokás megadni. Így, ha R 0 = R E -nek választjuk, akkor p G0 az (3.22) egyenletből kifejezhető: p G0 = 2σ R E + P p V. (3.23) A maradék két paraméter a gerjesztés nyomás amplitúdója p A és a gerjesztés körfrekvenciája ω. A gerjesztés körfrekvenciáját az egyensúlyi buboréksugárhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvenciával dimenziótlanítjuk. Ez Brennen [31] alapján a következőképpen néz ki: ω E = 3n(P p V ) ρ L R E 2 Ezzel az utolsó paraméter a dimenziótlan relatív körfrekvencia: + 2(3n 1)σ ρ L R E 3. (3.24) ω R = ω ω E. (3.25) Tehát az öt paraméter: P, T, R E, p A és ω R, névszerűen; környezeti nyomás, közeg hőmérséklet, egyensúlyi buboréksugár, nyomás amplitúdó, relatív körfrekvencia. 3.3. A dimenziótlan egyenlet rendszer A (3.21)-es másodrendű differenciál egyenletet kettő elsőrendű differenciál egyenletből álló egyenletrendszer alakjában kell felírnunk, hogy a numerikus megoldóink 1 www.dow.com 14

azt meg tudják oldani. Ezért az eredeti egyenletben lévő 1 változó (R) helyett 2 új változót használunk: Y 1 = R ; Y 2 = R. (3.26) Vezessük be a következő dimenziótlan változókat, mint a dimenziótlan idő: dimenziótlan buboréksugár: dimenziótlan buborékfal sebesség: τ = t 2π Ahol a " " dimenziótlan idő (τ) szerinti deriválást jelöl. ω = t ω 2π, (3.27) y 1 = Y 1 R E, (3.28) y 2 = y 1 = Y 2 2π ω = Y 2 R E R E ω, (3.29) 2π Az elsőrendű-differenciál egyenletrendszer a dimenziótlan mennyiségekkel a következő formában írható fel [32]: ahol: és y 1 = y 2, (3.30) y 2 = N D, (3.31) N = p L p + y 2 p ref y A [p 1 y G (1 3n) p +p V ] p Acos(2πτ) B (1 M 1 3 ) 3 2 y 2, (3.32) 2 y 1 μ ref D = 1 M + μ ref A (3.32) és (3.33) egyenletekben szereplő referencia jellemzők: 4μ L μ ref y 1. (3.33) p ref = ρ L R E 2 ( ω 2π ) 2, (3.34) μ ref = c L ρ L R E, (3.35) A μ ref ω = c L ρ L R E 2π = μ ω ref 2π, (3.36) 15

ω B μ ref = c L ρ L R E (2π) 2, (3.37) A Mach szám: M = R Eωy 2 2πc L. (3.38) Gáznyomás a buborék belsejében: A nyomás a buborék határfelületén: p G = ( 2σ p R L p ) ( 1 3n ). (3.39) E y 1 p L = p G +p V 2σ 1 4μ Lω R E y 1 2π A buboréktól távol levő nyomásgerjesztés: y 2 y 1. (3.40) p = P + p A sin(2πτ). (3.41) 3.4. A modell használhatóságának bizonyítása mérési eredményekkel 3.2. ábra: A mérési és a Keller Miksis modellel kapott számítás eredmények összehasonlítása. A számítással kapott eredményeket a piros görbe jelöli, a mérési eredményeket pedig a fekete ponthalmaz, forrás: [33] 16

A Keller-Miksis egyenlet sok elhanyagolást tartalmaz, ezért felmerül a jogos kérdés, hogy mennyire tükrözi a buborékok valós viselkedését. Hegedűs [33] munkásságának eredménye a 3.2. ábrán látható. A piros színű görbe mutatja a Keller-Miksis egyenlettel számolt numerikus eredményeket. A fekete görbe pedig a lézer keltette, egyensúlyi méretük körül szabadlengéseket végző buborékokat mutatja glicerinben. Habár a számításaim során nem szabadlengéseket vizsgálok majd, az ábra tanúsága szerint a matematikai modell minőségileg és mennyiségileg elég jól képezi le a valóságot. 17

4. AZ EGYENLET MEGOLDÁSÁRA HASZNÁLT ESZKÖZ A következő fejezetben bemutatom, az egyenletrendszer megoldására, felhasználható Matlabba épített eszközöket. Azután, megvizsgálom és összehasonlítom őket, hogy kiválasszam a feladatomhoz legmegfelelőbbet. 4.1. A MATLAB szoftveres környezetbe beépített közönséges differenciál egyenlet (ode) megoldók Stabil megoldások keresésének a legegyszerűbb módja egy kezdeti érték megoldónak (Initial Value Problem - IVP) az alkalmazása. Ilyen megoldók be vannak építve a Matlab szoftveres környezetbe. A következő felsorolásban olvasható a megoldók rövid bemutatása: ode45: A Matlab által első próbálkozásnak javasolt megoldó. Az ode45 a Dormand-Prince módszer, negyed és ötöd rendű explicit Runge-Kutta képletén alapszik. Egylépéses megoldó, azaz y(t n ) kiszámításához, csak a közvetlenül előtte lévő időpontbeli megoldásra, y(t n 1 ) -re van szüksége [34]. ode23: A Bogacki és Shampine másod és harmadrendű explicit Runge-Kutta párt használja. Szintén egylépéses megoldó [35]. ode113: Egy változó rendű (1-13) Adams-Bashforth-Moulton PECE megoldó. Az ode113 többlépéses megoldó, azaz a következő pont kiszámításához, több azt megelőző pont eredményére van szüksége [36]. Merev (Stiff) feladatok (a megoldás időskálái több nagyságrendben változnak) megoldásához javasolt megoldók: ode15s: Numerikus Differenciáló Formulákon (NDF) alapuló, változó rendű, többlépéses implicit megoldó [37,38]. ode23s: Egy módosított Rosenbrock képletet használó egylépéses megoldó [37]. ode23t: A trapézszabályt alkalmazó megoldó. Algebrai differenciál egyenletek (DAE) megoldására is alkalmas [38]. ode23tb: A TR-BDF2, egy implicit Runge-Kutta képletet használó módszer, aminek az első fázisa egy trapézszabályos lépés, a második fázisa pedig egy másodrendű hátrafele differenciáló formula [39,40]. 4.2. Megoldók vizsgálata A fentebb felsorolt és bemutatott megoldókat vizsgáltam meg, nem merev, merev, és extrém merev feladatok esetében. A vizsgálat szempontjai, hogy a relatív és abszo- 18

lút tolerancia változtatásával (1 10 6 ; 1 10 8 ; 1 10 10 ; 1 10 12 ), az említett három esetben, melyik megoldó mennyi idő alatt végzi el a számítást. Ez kulcsfontosságú információ lehet, mert a buborék viselkedésének vizsgálatához a későbbiekben nagy számítás igényű feladatok elvégzésére lesz szükség. A megoldandó feladatok, egy gerjesztetlen, egyensúlyi helyzetéből kitérített buborék 0-2 τ-ig tartó válaszfüggvényének a kiszámítása. A három esetet a kezdeti dimenziótalan buboréksugár (y 1 (0)) változtatásával hoztam létre: Nem merev feladatnak vettem, az y 1 (0) = 1,2 állapotból induló számítást, Merevnek, az y 1 (0) = 2,5 ből indulót, És extrém merevnek a y 1 (0) = 5 -ös esetet. A többi paraméter minden esetben: T = 70 C ; P = 1 bar ; R E = 1 10 4 m ; y 2 (0) = 0 A 3 válaszfüggvény a 4.1.-4.3. ábrákon látszik. A merevség abban nyilvánul meg, hogy a 4.2. és 4.3. ábrán lévő buborék összeroppanásoknál (a buboréksugár rövid idő alatt töredékére csökken majd ismét megnő), megoldónak a megoldás időléptékeit nagyon be kell sűrítenie. Ennek a következménye, hogy a számítás időigénye megnő. 4.1. ábra: nem merev feladat megoldása 4.2. ábra: merev feladat megoldása 19

4.3. ábra: extrém merev feladat megoldása Az eredmények diagramokon összefoglalva a 4.4.-4.6. ábrákon láthatóak; a számításokhoz szükséges idő a tolerancia érték függvényében. 100s 90s 80s 70s 60s 50s 40s 30s 20s 10s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode23 ode45 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 4.4. ábra, a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 1,2 140s 120s 100s 80s 60s 40s 20s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode23 ode45 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 4.5. ábra, a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 2,5 20

120s 100s 80s 60s 40s 20s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode23 ode45 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb 4.6. ábra, a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 5 Mivel az ode45, ode113 és ode15s-en kívül a többi több nagyság rendel le van maradva, csak ezt a hármat is összehasonlítottam, hogy a közöttük lévő különbség szemléletes legyen. Ezen összehasonlításoknak az eredménye diagram formában látható a 4.7.-4.9. ábrákon 1.6s 1.4s 1.2s 1s 0.8s 0.6s 0.4s 0.2s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode45 ode113 ode15s 4.7. ábra: a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 1,2 3.5s 3s 2.5s 2s 1.5s 1s 0.5s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode45 ode113 ode15s 4.8. ábra: a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 2,5 21

3.5s 3s 2.5s 2s 1.5s 1s 0.5s 0s 1.E-06 1.E-08 1.E-10 1.E-12 ode45 ode113 ode15s 4.9. ábra: a megoldáshoz szükséges idő, a tolerancia függvényében, y 1 (0) = 5 A számításhoz szükséges idő szempontjából, az [tol = 1 10 6 ; y 1,2 (0) = 2,5] és az [tol = 1e 6; y 1,3 (0) = 5] eseteket leszámítva mindenhol az ode113 végezte el a feladatot a leggyorsabban. Ráadásul a többihez viszonyítva az ode113 alig érzékeny a toleranciára, a másik kettővel ellentétben. A korábbi tapasztalatok alapján (vízben) azt vártuk volna, hogy az ode15s végzi el gyorsabban a merev feladatok számítását. Az, hogy az elvárásokkal ellentétben miért volt mégis gyorsabb az ode45 és ode113, valószínűleg a glicerin nagy viszkozitásának a következménye. A nagy viszkozitás miatt rendszer mégsem viselkedik mereven, a kezdeti nagy kitérítés ellenére. Ezen eredmények fényében a továbbiakban mindenhol az ode113-as megoldót használtam 1 10 10 relatív és abszolút tolerancia mellett. 22

5. PARAMÉTER TANULMÁNYOK ELVÉGZÉSE, KAOTIKUS ÉS PERI- ODIKUS MEGOLDÁSOK FELTÉRKÉPEZÉSE A GERJESZTÉSI FREKVENCIA FÜGGVÉNYÉBEN 5.1. A vizsgálat módszerei, periodikus és kaotikus megoldások A 3.2. fejezetben megemlített 5 paraméter közül kettőt minden számításnál állandóan tartottam, ezek a környezeti nyomás P = 1 bar és az egyensúlyi buboréksugár R E = 0,1 mm. A vizsgálatok során a többi paraméter T, p A és ω R változásának a hatásait figyeltem a megoldás milyenségére. 5.1.1. POINCARÉ METSZET A gerjesztett buborék egy kétdimenziós rezgőrendszerként viselkedik amely rendszernek a változói y 1 és y 2. A vizsgálat folyamán a megoldást ábrázolhatjuk az y 1 τ diagramon (5.1. ábra, bal oldal), illetve az y 1 y 2 fázissíkon (5.1. ábra, jobb oldal), ahol a rendszer pillanatnyi állapotát egy pont, a fázispont jellemzi. A fázispont az idő lefolyása alatt elmozdul a fázis síkon, ezzel egy pályát leírva, amit trajektóriának nevezünk. A kezdeti értékekből (y 1 (0), y 2 (0)) induló válaszfüggvény (5.1. ábra, piros görbék) egy idő (tranziens) eltelte után állandó pálya mentén fog haladni, ezt hívjuk bekonvergált megoldásnak (5.1. ábra fekete görbéi). A bekonvergált megoldás pályáját attraktornak nevezzük (5.1. ábra, jobb oldal). 5.1. ábra: tipikus bekonvergált megoldás (fekete görbe) és a még nem bekonvergált megoldás pályája (piros görbe) 23

A fázissíkon történő ábrázolás, ha a megoldás hosszabb részét akarjuk megjeleníteni, túlságosan átláthatatlanná válhat, ezért a szemléletesebb ábrázolás végett a megoldásnak, csak a gerjesztés periódus idejével mintavételezett részét ábrázoljuk, amit a szakirodalomban Poincaré metszetnek hívnak. Az 5.1. ábrán a pontok jelölik a metszet elemeit. Ezekkel az időben folytonos dinamikát egy pontsorozattá alakítjuk át. 5.1.2. PERIODIKUS ÉS KAOTIKUS MEGOLDÁSOK A megoldásokat megkülönböztetjük aszerint hogy periodikusak, vagy kaotikusak. A periodikus megoldásokat pedig aszerint, hogy a periódus ideje τ p hányszorosa a gerjesztés periódus idejének τ 0. Az időt úgy dimenziótlanítottuk, hogy a gerjesztés periódus ideje τ 0 = 1. A periodikus megoldások lehetnek 1,2,3 N periódusúak, amivel τ p = N τ 0, és N mindig egész szám. Az ilyen megoldások Poincaré metszete a fázissíkon annyi pontból áll, ahány periódusú a megoldás. Ezt a gyakorlatban úgy valósítottam meg, hogy miután a bekonvergált megoldást megkaptam a Matlabbal, még 60 periódust számoltam tovább elmentve y 1 és y 2 értékét minden egészszámú τ értéknél. Ezzel 60 pont keletkezett a Poincaré metszeteken. Periodikus megoldások esetén, például az egy periódusúnál, mind a 60 pont a fázissík ugyan azon pontjára (természetesen nem pontosan ugyanoda a számítás korlátolt pontossága miatt) esik. Az 5.2. és 5.3. ábrán 1, 2 és 3 periódusú megoldások láthatóak, rendre kék, fekete és zöld színben. A pontok a diagramokon a Poincaré metszeteket jelölik. Látható (5.2. ábra), hogy a megoldások 1, 2 és 3 τ alatt térnek vissza magukba. Az 5.3. ábrán ugyanennek a három megoldás függvénynek csak a Poincaré metszete látható a fázissíkon. Minden megoldáshoz annyi pont tartozik, ahány periódusú, mivel a Poincaré metszetük annyi különböző értéket vesz fel a fázissíkon. 5.2. ábra: 1,2 és 3 periódusú megoldások y 1 τ diagramja illetve a Poincaré metszetük, rendre kék, fekete és zöld színben 24

5.3. ábra: 1,2 és 3 periódusú megoldások Poincaré metszete a fázissíkon, rendre kék, fekete és zöld színben Bizonyos esetekben azonban a válaszfüggvény nem konvergál semmilyen periodikus megoldáshoz, hanem kaotikus. Egy kaotikus megoldás Poincaré metszetének a fázissíkon történő ábrázolása során azt tapasztaljuk, hogy a fázispont τ 0 -ként mintavételezett helye a síkon mindig máshova esik,egy bizonyos pályán, vagy térrészen, akármennyi ideig is vizsgáljuk a megoldást. Ez egy lehetséges módszere lehet a kaotikus megoldások beazonosításának. A 5.4. ábrán két kaotikus megoldás poincaré metszete látható a fázissíkon ábrázolva. Mindkét esetben 5000 pont került ábrázolásra, a korábban megemlített módon. Erre azért volt szükség, hogy jobban kivehető legyen a pontok által követett görbe. 5.4. ábra: két példa kaotikus megoldás poincaré metszetére a fázissíkon. Baloldal: p A = 3 bar; ω R = 1; T = 50 C. Jobboldal: p A = 4 bar; ω R = 1; T = 40 C. Mindkét esetben 5000 pont került ábrázolásra. 25

5.1.3. BIFURKÁCIÓS DIAGRAM A rendszer viselkedésének feltérképezésére a bifurkációs diagramok alkalmasak. Ezeken a diagramokon a megoldásoknak valamilyen jellemző értékét ábrázoljuk valamilyen futó, a megoldás milyenségét befolyásoló paraméter függvényében. A futó paraméter a mi esetünkben lehet például a nyomás amplitúdó, a relatív frekvencia, környezeti hőmérséklet. Az ábrázolt érték, pedig a maximális buborék átmérő, maximális falsebesség, Poincaré metszet pontjai, esetleg Mach szám, attól függően, hogy mire vagyunk kíváncsiak az alkalmazás szempontjából. Az 5.5. ábrán egy tipikus bifurkációs diagram látható, ahol a p A a futó paraméter, és a maximális dimenziótlan buboréksugár y 1,max van ábrázolva az y tengelyen. Ahol csak egy pont tartozik egy x koordinátához, ott egy periódusú a megoldás. Ott ahol több, ott annyi periódusú amennyi pont van. Az egybefolyó fekete területek pedig a kaotikus tartományok. Az 5.5. ábrán egy 1 periódusú megoldás indul a bal alsó sarokból, majd körülbelül 2,8 bar-os nyomás amplitúdónál egy periódus kettőző bifurkáció után egy 2 periódusú megoldássá válik. Később egy négy periódusú megoldás lesz, majd végül a megoldás kaotikussá válik. 5.5. ábra: bifurkációs diagram, a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztés nyomás amplitúdójának a függvényében 26

5.2. Relatív frekvencia mint futó paraméter, nagyítási diagramok 5.2.1. GYAKORLATI MEGVALÓSÍTÁS Dolgozatomban a futó paraméter a relatív frekvencia ω R volt. A bifurkációs diagramokon 0,05 és 3 között változik az értéke úgy, hogy egyenlő 500 részre legyen felosztva a tartomány. Továbbá, másodlagos paraméterek voltak a környezeti hőmérséklet T és nyomás amplitúdó p A. Mindkettő nagyon fontos paraméter, mivel T -től függ a rendszer csillapításáért felelős folyadék viszkozitás, p A mint nyomás amplitúdó pedig nagy befolyással van a buborék dinamikájára. Minden pontban az ode113- as Matlabba beépített megoldó segítségével megoldottuk a 3.3. fejezetben részletezett egyenlet rendszert. A tranziens lecsengése után még 60 τ 0 ideig minden τ 0 terjedelmű szakaszból elmentésre került y 1 és y 2 maximális értéke és persze mindezek előtt még ω R is. A paraméterrel söpörve bizonyos helyeken az aktuálisan talált megoldás megszűnik, majd egy ugrást követően egy másik megoldással folytatódik a diagram (lásd 5.6. ábra, fekete görbék), ezeket hiszteréziseknek nevezzük. Annak érdekében, hogy a hiszterézisek szerkezetét lássuk, és egynél több együtt létező megoldást is legyen esélyünk megkapni két számítást végeztem minden pontban. ω R = 0,05 pontban a számítás y 1 (0) = 1 és y 2 (0) = 0 kezdeti feltételekkel lett elindítva. Minden következő pontban (ω R ) az azt megelőző számítás végét használtam kezdeti feltételnek, tehát általánosan y 1,n (0) = y 1,n 1 (T) és y 2,n (0) = y 2,n 1 (T). Így végig söpörve a 0,05-3 tartományon megszületik az első megoldás. Ezután visszafele is végig söpör a program, ezzel a második megoldást létrehozva, ami az esetek nagy részében nem különbözik az elsőtől. Ahol különbözik, ott más színnel jelenik meg a diagramon, én a kék színt használtam. A hiszterézisek szerkezetének feltérképezésére ez egy bevett módszer. Így végeredményben minden ω R pontban 60-60 darab y 1,max és y 2,max érték kerül elmentésre. Ezeket egy diagramon ábrázolva jön létre a bifurkációs diagram. Egy periódusú megoldásnál, és ahol az oda-vissza söprés során csak egy megoldást találtunk az összes pont ugyanoda esik, ezzel egy darab görbét rajzolva. Egy periódus duplázó bifurkációhoz érkezve a megoldás periódus ideje 2τ 0 lesz. Ezért a rögzített pontok halmaza egyszer egy ponton lesz a diagramon egyszer egy másikon (lásd 5.5. ábra) és így tovább, ahány periódusú a megoldás. Kaotikus megoldás esetén a rögzített pontok értéke sose lesz ugyanannyi, hanem egy bizonyos tartományon belül akármit felvehet, ezzel egybemosódó, "besatírozott" területeket kirajzolva (szintén látható az 5.5. ábrán). Az 5.6. ábrán egy hiszterézist láthatunk. A fekete pontsorozat a növekvő ω R söprés (baloldalról haladó) megoldását mutatja. Ez a megoldás ω R ~1,6 környékén instabillá válik, és onnantól egy másik megoldás sorozat pályáját követi. A visszafelé söprés eredményeként, jobb oldalról haladva először az előző (baloldalról haladó) megol- 27

dással megegyező, pontokat kaptunk. Azonban ω R ~1,6 érkezve a visszafelé söprés eredménye eltér az előzőtől, ezzel, egy attól különböző megoldást adva. Ez annak köszönhető, hogy mindig az előzőleg kiszámolt válaszfüggvény végéből indul a következő keresése. A visszafelé söprés eredménye a kék görbén folytatódik, mivel ez a megoldás közelebb van a kezdeti értékekhez. 5.6. ábra: két együtt létező megoldás, az oda-vissza söprés módszerével 5.2.2. EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA A vizsgálatokat 3 különböző T hőmérsékleten végeztem el; T = 40, 50 és 70 C. Emellett 6 különböző nyomás amplitúdót p A vizsgáltam minden hőmérsékleten. Ezeknek az értéke rendre 0,5,1, 1,5, 2, 2,5, 3 bar. Így 18 különböző bifurkációs diagram keletkezett. A futó paraméter ω R minden esetben 0,05-3 tartományon ment végig, a tartományt 500 egyenlő részre osztva. Ha a közeg hőmérséklete kicsi, a glicerin viszkozitása μ L nagy, ami csillapítja a rendszert így a buborék válaszának nemlineáris mivolta kevésbé szembeötlő (5.7. ábra). Az 5.7. ábrán (40 C-os közeghőmérséklet és 0,5 bar nyomás amplitúdó) az oda-vissza söprés eredménye teljesen megegyezik egymással. A megoldás mindvégig periodikus, a periódus idő pedig megegyezik a gerjesztésével. A nemlinearitásra a felharmónikusok megjelenése és a rezonancia csúcs ω R = 1 től való eltolódása utal. Mivel a maximális dimenziótlan buboréksugár csupán ~1,27 (az egyensúlyi buboréksugárnál 27%-al nagyobb) ezért alkalmazás szempontjából ez a paraméter tartomány haszontalan. 28

5.7. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 40 C-on 0,5 bar-os nyomás amplitúdóval 5.8. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 40 C-on 1,5 bar-os nyomás amplitúdóval 29

A nyomás amplitúdó növelésével a rezonancia görbe elkezd eltorzulni, és egyre kevésbé hasonlítani egy lineáris rendszer viselkedésére. Ez látható a 5.8. ábrán, ahol megoldás még mindvégig egyperiódusú. Azonban megfigyelhető, hogy kis gerjesztési frekvenciánál a válasz maximális dimenziótlan buborék sugara hatalmasra nő. Ezt a szakaszt az irodalomban "Giant Response Region"-nek (innentől GRR), azaz hatalmas válaszú szakasznak hívják [29]. Ezen a szakaszon már erős buborék összeroppanásokra számíthatunk, annak ellenére, hogy a közeg viszkozitása ezen a hőmérsékleten még nagyon nagy (μ L = 0,284 Pa s). Ez a terület tehát alkalmazás szempontjából előnyős. Nagyobb nyomás amplitúdót alkalmazva (3 bar) a GRR szakaszon még tovább nő a maximális dimenziótlan buborék sugár (5.9. ábra, kis ablak). Ezért itt is a kis ω R tartomány lehet jelentős alkalmazás szempontjából. Az oda-vissza söprés eredményeként ω R ~0,39 környékén már két együtt létező megoldást is találtunk. A hiszterézis felső ágának a visszahajlása elkezd kirajzolódni, amit a kék pontok mutatnak (5.9. ábra, kis ablak). Tovább haladva pedig egy kiterjedtebb kétperiódusú megoldás jelenik meg (5.9. ábra, nagy ablak) az ω R ~0,8 2,1 szakaszon. Ez már dinamikailag részletgazdagabb, de kaotikus megoldást még itt sem találtam. Tehát az olyan alkalmazás szempontjából, ahol a kaotikus keveredés játszana szerepet ez a paraméter tartomány sem megfelelő. 5.9. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 40 C-on 3 bar-os nyomás amplitúdóval A közeg hőmérsékletét növelve csökken a folyadék viszkozitása (μ L = 0,142 Pa s), és a rendszer csillapítása is. Ugyanazon a nyomás amplitúdón (0,5 bar) a maximális dimenziótlan buborék sugár a rezonancia csúcsnál nagyobb magasabb hőmérsékle- 30

40 50 ten (y 1,max 1,26 és y 1,max 1,54), a felharmónikusok pedig tisztábban kirajzolódnak. Ugyanakkor még mindig csak 1 periódusú megoldás jelenik meg végig (5.10. ábra). Alkalmazás szempontjából nem játszik szerepet ez a paraméter tartomány 50 sem, mert y 1,max értéke nem jelentős, és kaotikus tartományok sincsenek. 5.10. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 50 C-on 0,5 bar-os nyomás amplitúdóval 5.11. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 50 C-on 2,5 bar-os nyomás amplitúdóval 31

Az 5.11. ábra a T = 50 C, p A = 2,5 paraméter tartományt mutatja. A diagramon felülről (ω R = 3-tól) lefele haladva egy 1 periódusú megoldáson megyünk végig, majd ω R ~2,25 érkezve egy periódus kettőző bifurkáció után a megoldás 2 periódusúvá válik. Tovább haladva ω R ~1,5 körül egy hiszterézishez érkezünk, ahol a megoldás megszűnik, majd egy másik folytatódik. Ezután periódus kettőző bifurkációk sorozatán áthaladva ω R = 1,05-nél a megoldás 8 periódusú (lásd 5.12. ábra, jobb oldal) lesz, majd ugyanilyen módon ismét 2 periódusú. Tovább haladva alacsony ω R irányba a válaszfüggvény ismét 1 periódusú lesz (ω R = 0,7) majd ω R = 0,4 egy újabb hiszterézishez érkezik (5.11. ábra, kis ablak). A hiszterézis után a megoldás kaotikussá válik (lásd 5.11. ábra, kis ablak és 5.12. ábra, bal oldal). Végül ismét 1 periódusú lesz a megoldás, és itt is megjelenik a GRR. Alkalmazás szempontjából a kis ω R tartomány lehet jelentős ezen a paramétertartományon, mivel ott a maximális dimenziótlan buboréksugár hatalmasra nő. 5.12. ábra: kaotikus és 8 periódusú megoldás poincaré metszetei a fázissíkon. Mindkettőnél 1000 pont kirajzolásából áll a diagram. T = 50 C p A = 2,5 bar A nyomás amplitúdót még tovább növelve 3 bar-ig már elkezdődik kiterjedtebb kaotikus sávok kialakulása (5.13. ábra). Alulró (ω R = 0,05) elindulva a diagramon először a korábbiakhoz hasonlóan a GRR-ön haladunk át. Ezután a megoldás periódus ideje megkettőződik, majd kaotikussá válik. A kaotikus sávot egy 3 periódusú ablak szakítja meg. Miután ismét 1 periódusú lesz a megoldás egy hiszterézishez érkezünk ω R ~0,32 környékén. Tovább haladva periódus kettőző bifurkációk sorozatán keresztül ismét kaotikussá válik a megoldás. Ezt a kaotikus sávot is megszakítja egy 3 periódusú ablak. A megoldás ezután 2 periódusú lesz, majd egy hiszterézisen halad át, és végül ismét 1 periódusúvá válik. Alkalmazás szempontjából itt is a kis ω R tartomány jelentős, mivel itt intenzív buborék összeroppanásokra lehet számítani. Azonban a kaotikus keveredést kihasználó alkalmazási területek számára is szerepet játszhat ez a paraméter tartomány, mivel már kiterjedtebb kaotikus sávok is megjelennek. 32

5.13. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 50 C-on 3 bar-os nyomás amplitúdóval 5.14. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 70 C-on 0,5 bar-os nyomás amplitúdóval 33

T = 70 C fokon a glicerin viszkozitása már kevesebb mint az ötöde a 40 C -os állapothoz tartozónak (μ L (40 C) = 0,284 Pa s ; μ L (70 C) = 0,0506 Pa s ). Ezzel együtt a rendszer csillapítása is erősen csökken. Már 0,5-baros nyomás amplitúdónál is hiszterézis jelenik meg, és a maximális dimenziótlan buborék sugár eléri a 2,5-öt (5.14. ábra). Mivel már kis nyomás amplitúdónál nagyobb buboréksugarat lehet elérni alkalmazás szempontjából előnyös lehet, habár a GRR-ök maximális dimenziótlan buborék sugaránál ez sokkal kisebb. A nyomás amplitúdót 1 bárra emelve elkezd kirajzolódni (ω R ~0,27 0,3) egy bonyolultabb szerkezetű kaotikus tartomány (5.15. ábra). A kaotikus sáv kiterjedése azonban nem nagy, és a GRR se ölt olyan méreteket, mint a korábbi esetekben, ezért alkalmazás szempontjából nem játszik fontos szerepet ez a paraméter tartomány. Érdekesség azonban, hogy az ω R = 0,05 0,4 szakaszon igen részlet gazdag bifurkációs struktúra rajzolódik ki (lásd 5.15. ábra, felső kis ablak). 5.15. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 70 C-on 1 bar-os nyomás amplitúdóval és nagyobb felbontással (1000) ω R ~0,05 0,4 tartományon (felső kis ablak) 34

5.16. ábra: a válaszfüggvény maximális dimenziótlan buboréksugara a gerjesztési frekvencia függvényében, 70 C-on 3 bar-os nyomás amplitúdóval 5.17. ábra: kaotikus megoldások Poincaré metszete a fázissíkon, 20000 pont kirajzolásával, T = 70 C, p A = 3 bar, ω R = 0,9722 és T = 70 C, p A = 3 bar, ω R = 0,2276 35

A nyomás amplitúdót 3 bar-ra emelve már minden szempontból érdekes bifurkációs struktúrát kapunk (5.16. ábra). Elindulva ω R = 0,05-től a korábbi esetekhez hasonlóan a GRR-ön haladunk át, ahol a maximális buborék sugár hatalmasra nő. Ezután számos periódus többszöröző bifurkáción, kaotikus sávon keresztül haladunk lefele a maximális dimenziótlan buborék sugárral, ahogy ω R növekszik. A kaotikus sávokat gyakran több periódusú ablakok szakítják meg. Majd végezetül, mint az öszszes többi esetben nagy gerjesztési frekvencia tartományban a megoldás 1 periódusú, és y 1,max pedig kicsi lesz. Alkalmazás szempontjából szintén jelentős a GRR. A kaotikus területek már jóval összetettebbek, mint kisebb hőmérsékleten (lásd 5.16. ábra) És nagyobb dimenziótlan buborék sugár és buborékfal sebesség tartományokat fednek le (lásd 5.17. ábra). A kaotikus keveredést kihasználó alkalmazási területek számára ez már egy fontos paraméter tartomány lehet. 5.2.3. MEGÁLLAPÍTÁSOK Az eredmények alapján, ha a nyomás amplitúdó már elég nagy a Giant Response Region-ök kialakulásához, a közeg hőmérséklete T nincsen akkora hatással a maximális dimenziótlan buboréksugárra. Ez táblázatosan: ω R = 0,05 3 p A = 0,5 bar p A = 3 bar T = 40 C y 1,max = 1,26 y 1,max = 27,3 T = 50 C y 1,max = 1,54 y 1,max = 28,2 T = 70 C y 1,max = 2,48 y 1,max = 28,9 Viszont a bifurkációs struktúra bonyolultságára és részlet gazdagságára már sokkal nagyobb hatással van. A hőmérséklet növelésével a kaotikus tartományok kiterjedtsége, és előfordulásai gyakorisága is megnő. Harmadik megállapításom, hogy ugyan alacsony ω R tartományon is kialakulnak kaotikus sávok (lásd 5.11., 5.13., 5.15. és 5.16 ábra), az ω R ~1 közelében kialakultak sokkal bonyolultabbak, viselkedésük "rendezetlenebb" (lásd 5.17. ábra). Összességében tehát, ha az intenzív buborék összeroppanások elérése a cél, akkor a kisebb hőmérsékletű, alacsonyabb gerjesztési frekvenciájú, viszont nagy nyomás amplitúdójú paramétertartományok az előnyösek. Ha viszont a kaotikus viselkedés kihasználása a cél, akkor a nagyobb hőmérsékleten való ω R ~1-hez közeli gerjesztés a megfelelő. Ezen a relatív frekvencia közelében, azonban szintén szükséges a nagyobb nyomás amplitúdó, a kaotikus viselkedés kialakulásához. 36