1 Kiegészítés a három erő egyensúlyához Egy régebbi dolgozatunkban melynek jele és címe : RD: Három erő egyensúlya ~ kéttámaszú tartó már sok mindent elmondtunk a címbeli témáról. Ez ugyanis egy megkerülhetetlen tananyag a bevezető jellegű statikai tanulmá - nyok során. Most azonban mutatunk egy olyan fogást, amely bizonyos szempontból egy megkerülő manőver - nek is tekinthető. Ezt mindjárt kifejtjük. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt egy ferde F erővel terhelt kéttámaszú tartó látunk, az egyensúlyozó A és B reakció - erőkkel együtt. 1. Feladat Adott: a, b, γ ; F. ( A ) Keresett: A, B. Geometriai összefüggés: ( 1 ) A vektorháromszögből szinusz - tétellel: ( 2 )
2 Így ( A ), ( 1 ), ( 2 ) és a vektorábra szerint ismertté vált az A vektor nagysága, iránya, nyílértelme. Hasonlóan: ( 3 ) Így ( A ), ( 1 ), ( 3 ) és a vektorábra szerint ismertté vált a B vektor nagysága, iránya, nyílértelme. 2. Feladat Adott: a, b, γ* = 90 ; F. ( A* ) Keresett: A*, B*. Ekkor ( 1 ) - ből: Most ( 2 ) és ( 3 ) - hoz: ( 4 ) ( 5 / 1 ) ( 5 / 2 ) A határozatlan alakok eltüntetése az alábbiak szerint történhet. ( 6 / 1 ) majd ( 1 ) - gyel is: tehát: ( 6 / 2 ) majd ( 6 / 1 ) és ( 6 / 2 ) szerint:
3 ( 6 / 3 ) Hasonlóan: ( 7 / 1 ) majd azonos átalakításokkal és ( 1 ) - gyel: ezzel: ( 7 / 2 ) most ( 7 / 1 ) és ( 7 / 2 ) - vel: ( 7 / 3 ) Az ( A* ), ( 4 ), ( 6 / 3 ), ( 7 / 3 ) képletekkel az A*, B* vektorok ismertté váltak 2. ábra. 2. ábra
4 Látjuk, hogy a *) speciális eset reakcióerőinek számításos előállítása kissé hosszadalmas. Bevezető tanulmányokban ezért sem meg a határérték - számítási tudnivalók hiánya miatt sem fordul ez elő. Viszont mintegy adja magát a 2. ábrán is mutatott megoldási mód. Ennek lényege, hogy a tartóra ható F erő mellett a terhelésekhez hozzáadunk egy ( H, H ) = 0 egyensúlyi segéderő - rendszert; ezt a Statika axiómái lehetővé teszik. Ekkor az S 1, S 2, F erőkből álló új erőrendszer egyensúlyozása a feladat. Ez azonban már elvben megegyezik az előzővel, hiszen az új erők hatásvonalai egy M pontban tudnak metsződni. A folytonos nyílértelemmel záródó vektorháromszög megszerkeszthető, ennek alapján pedig felírhatók a korábbiaknál jóval egyszerűbb alábbi összefüggések: ( 8 ) ( 9 ) képezve ( 8 ) és ( 9 ) hányadosát: ( 10 ) Továbbá fennáll a vektorháromszögre, hogy ( 11 ) A ( 10 ) és ( 11 ) egyenletek két egyenletet adnak a két ismeretlenre; a megoldás: ~ ( 10 ) - ből: ( 12 ) ~ ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) Majd ( 12 ) és ( 13 ) - mal: tehát: ( 14 Örömmel állapíthatjuk meg, hogy ( 6 / 3 ) = ( 13 ) és ( 7 / 3 ) = ( 14 ).
5 Megjegyzések: M1. Az 1. ábrán feltüntetett bekarikázott M betű arra utal, hogy az M pontban metsződő három erő egyensúlyozási feladatáról van szó; erre vonatkozik a vektorháromszög. Ez azt is jelenti, hogy ugyanez lenne a megoldás módja pl. egy ABMA rudazatú tartó esetében is. M2. A Statika axiómáira alapozott 2. ábra a kötélsokszög - módszer egy alkalmazása. Kötélsokszög helyett néha rúdsokszögről beszélnek. Ennek részletesebb leírása megtalálható például [ 1 ] - ben is. M3. A 2. ábra szerkesztése itt valójában nem a H erő felvételével, hanem az AMB kötél - oldalak felvételével indult. Ebben rajztechnikai szempontok is szerepet játszottak, pl. hogy az ábra elférjen a papírlapon. Ha megvan a kötélalak, akkor a vektorháromszög megszer - keszthető, melynek P pólusából húzott vízszintes a H erőnek megfelelő H hosszat adja; ez annyiban tetszőleges nagyságú, amennyiben a kötéloldalak helyzetének felvétele is tetsző - leges volt. M4. Vegyük észre, hogy eddig szóba sem került a forgatónyomaték fogalma. Ennek bevezetése után a ( 10 ) egyenletet átírva: ( 10 / 1 ) Ez egy nyomatéki egyenlet az F erő hatásvonalának C pontjára; ez azt mondja ki, hogy az egyensúlyban lévő tartóra ható erőrendszer erői forgatónyomatékainak C pontra számí - tott algebrai összege zérussal egyenlő. A ( 11 ) egyenletet átírva: ( 11 / 1 ) ez egy vetületi egyenlet, amely azt mondja ki, hogy az egyensúlyban lévő tartóra ható erőrendszer erőinek az erők hatásvonalával párhuzamos egyenesre / tengelyre képzett ve - tületeinek algebrai összege zérussal egyenlő. Látjuk, hogy bizonyos kompromisszumok árán viszonylag egyszerűen eljuthatunk a kéttámaszú tartó egyensúlyi feltételi egyenleteihez. M5. Mivel nem csak a középiskolában, hanem az egyetemen is folyik a Mechanika tan - tárgy oktatása, így utóbbinál már nem kell annyira ragaszkodnunk a magasabb matematika mellőzéséhez. Sőt! Éppen az ilyen feladatok többféle módon való megoldása segíthet el - mélyíteni a mechanikai és matematikai ismereteket, valamint bemutatni azok gyakorlati
6 hasznosságát is. M6. A fentiek után a bevezetésben említett megkerülő manőver úgy értendő, hogy a három erő egyensúlyozási feladatát nyomatéki egyenletek alkalmazása nélkül is meg tud - juk oldani, amint azt fentebb kétféleképpen is bemutattuk. Ez azért érdekes, mert párhuza - mos erőkkel terhelt kéttámaszú tartó esetében leginkább a nyomatéki egyenletekkel szokás dolgozni. Ennek oka: azok egyszerűsége, gyorsasága és pontossága. M7. A három erő egyensúlyának vizsgálata mint láttuk lehetőséget ad általánosabb, illetve általánosítható eljárások kidolgozására, bevezetésére. Ez a körülmény a tantárgy tanulása és tanítása szempontjából is komoly módszertani előnyöket tartalmaz. Érdemes azonban itt azt is megemlíteni, hogy fennáll azon választási lehetőség is, hogy a síkbeli statikai egyensúlyi egyenleteket definíciószerűen adjuk meg, mintegy alaptételnek tekintve azokat. Igaz azonban, hogy ezt az utat csak kevesen választják, mert gyakorta nem akarunk lemondani a fentiekhez hasonló utak bejárásáról, azok elméleti és gyakorlati haszna miatt. M8. Az [ 1 ] mű kifejezetten ajánlható a technikus - képzésben érintettek számára is, azaz diákoknak és tanároknak, egyaránt. Ennek indokai: ~ a magasabb matematika hiánya; ~ a szerkesztéses megoldási módok előnyben részesítése; ~ a rövid, tömör tárgyalás; ~ a módszertani kiérleltség. Ezt azért is szükséges itt megjegyeznünk, mert nem ritkán találkozni olyan ( előírt ) tankönyv - választással, melyből szinte lehetetlen megtanulni / megtanítani a Statika tananyagát. Ajánlott irodalom: [ 1 ] Hajdu Endre: Statika Jegyzet, Sopron, 2006. Sződliget, 2017. szeptember 24. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár