Propeller, szélturbina, axiális keverő működési elve A propeller egy axiális átömlésű járókerék, amit tolóerő létesítésére használnak repülőgépek, hajók hajtására. A propeller nyugvó folyadékban halad előre, a propellerhez kötött koordinátarendszerben tehát a propeller áll és a folyadék mozog a propeller felé, illetve azon áthaladva távolodik tőle. A propellert egy ún. hatótárcsával (actuator disc) helyettesíthetjük. Axiális átömlésű keverő, vagy asztali ventilátor esetén a keverő-, ill. járókerék áll és a folyadék áramlik az abszolút rendszerben ugyanúgy, mint a propeller esetén a relatív rendszerben. p 0 ható-tárcsa v v v 3 P 0 p p p 0 csúszó áramvonal P p 0 p 0 P Az ábra felső részén a propellert helyettesítő tárcsa és a rajta átáramló közeget határoló forgásszimmetrikus áramfelület metszetgörbéje látható. Ez a határ-áramvonal ún. csúszó áramvonal, tehát rajta tangenciális sebességugrás lehetséges. A folyadék baloldalt lép be v relatív sebességgel (valójában a propeller halad balra v sebességgel a nyugvó közegben). Ebben a keresztmetszetben a relatív sebesség az áramcső belsejében és azon kívül megegyezik, mint a sebességeloszlás ábrája mutatja. Az áramcsőben a közeg a propellerhez képest felgyorsul és a jobb oldalon v 3 > v sebességgel távozik, míg az áramcsövön kívül a relatív sebesség végig v. Ennek megfelelően kívül a nyomás végig állandó, p 0, míg belül változik, a propellert helyettesítő tárcsán p -ről p -re nő, de az áramcsőből való folyadékkilépés keresztmetszetében már ismét p 0. Feltesszük, hogy a sebesség változása az áramcsőben folytonos a tárcsán keresztül is, míg a nyomás ott ugrásszerűen nő. Az áramló folyadékra felírható egyenletek a következő feltevéseken alapulnak. az áramlás stacionárius a propellerhez kötött rendszerben a közeg összenyomhatatlan, sűrűsége = áll. a közeg súrlódás mentes a nehézségi erőtér elhanyagolható az axiális sebesség bármely szelvényben állandó a radiális sebesség zérus
A kontinuitási egyenlet: m Av áll. () Ez a képlet az áramcső bármely szelvényében a megfelelő indexekkel felírható. A keresztmetszetek indexe egyezzék meg az ábrán látható sebességek indexével. A tolóerő ellentett ereje, azaz a tárcsára ható erő a nyomáskülönbségből számítható, az ábra jelöléseivel és a keresztmetszetet a fenti módon indexelve: F p p. () A Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet az áramcső eleje és a tárcsa előtti pont között: p0 v p v. (3) Írjuk fel a Bernoulli-egyenletet a tárcsa utáni pont és az áramcső vége között: p v p0. (4) Fejezzük ki a (4) egyenletből p -t, a (3) egyenletből a p -et és írjuk be értéküket a tolóerő () egyenletébe, ekkor azt kapjuk, hogy: v F v 3 v A v 3 v A. (5) Ezek után keressünk egy másik egyenletet a tárcsára ható erőre, ez az egyenlet az ábrán látható forgásfelülettel határolt folyadékra felírt impulzus-tétel. Az áramcsövön kívül feltevésünk szerint a nyomás mindenütt azonos a p 0 külső nyomással, a térerőt elhanyagoltuk, továbbá a folyadék súrlódásmentes. Ezek miatt az áramfelületbe, mint ellenőrző felületbe zárt folyadékra a tárcsán kívül más külső erő nem hat. Az áramlás stacionárius voltát is figyelembe véve a belépő, illetve kilépő folyadék impulzusának különbségét tehát csak a tárcsa által a folyadékra kifejtett erő okozhatja. m v F m 0. (6) Innen az F erőt kifejezve és az (5) egyenlet bal oldalával egyenlővé téve kapjuk, hogy v m v A v v F A v, (7) ahol a bármely szelvényben azonos tömegáramot a tárcsa szelvényében számítható m A v értékkel helyettesítettük be a képletbe. A (7) egyenletből egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy a v sebesség a v és v 3 sebesség számtani átlagával azonos. v v. (8) Az,, 3 szelvényre felírt kontinuitási egyenletből pedig ezek után az adódik, hogy A A. (9) A3 Jelöljük ezek után a további írásmód megkönnyítésére az áramcsőbeli sebességnövekedést v-vel, v v 3 v, ahonnan a (8) képletet is felhasználva v v v. (0)
Írjuk fel az áramcsövön átáramló folyadékba minimálisan bevezetendő hidraulikai teljesítményt, ami a tömegáram és a tömegegységre vonatkozó mozgási energia-változás szorzatával egyenlő: v v v P be m m v v m v v m v v. () v Az ebből a hidraulikai teljesítményből a propeller által hasznosított teljesítmény a v haladási sebesség és az F nagyságú tolóerő szorzataként számítható ki: P h v v m v v F v m v. () 3 Végül a hatásfok a hasznosított () és a bevezetendő () teljesítmény hányadosa: Ph. (3) Pbe v v A (3) képletből látható, hogy a hatásfok csak akkor lehetne 00%, ha a v sebesség-növekedés zérus lenne ehhez előírt tolóerő esetén végtelen nagy propellerre lenne szükség, vagy ha a haladási sebesség lenne végtelen nagy ennek pedig a járművet körülvevő közeg szab határt. Cseppfolyós folyadék esetén kavitációs problémák jelentkeznek. Levegő esetén pedig gázdinamikai problémákat kell megoldani. Levegő esetén ma már azonban a Maszám többszörösének megfelelő sebességgel haladhatnak légi járművek. Propellerek tényleges hatásfokát mérésekkel lehet meghatározni és a mért hatásfokot a J fajlagos propulziós (toló) sebesség függvényében szokás ábrázolni. A fajlagos sebesség definíciója n a propeller másodpercenkénti fordulatszáma, D a propeller átmérője v J (4) nd Jó propellerek esetén a hatásfok maximuma a J = 0,85 érték körül van, ekkor a hatásfok repülőgép légcsavarok esetén eléri a 80 %-ot, míg hajócsavarok esetén megközelíti a 70 %-ot. Számpélda Határozzuk meg egy 80 km/h (= 50 m/s) sebességű mezőgazdasági repülőgép propellerátmérőjét. A repülőgép törzsének a repülés irányára merőleges keresztmetszete a kerekekkel együtt 9 m, átlagos ellenállás-tényezője 0,35. (A szárnyak ellenállása az egy nagyságrenddel kisebb ellenállás-tényező miatt elhanyagolható.) A szükséges tolóerő l, F ce v Ar 0, 35 50 9 475 N. Mivel J opt = 0,85, így n D = v / J opt = 50 / 0,85 = 58,8 m/s. Az = 0,8 értékű hatásfokhoz a (3) képlet szerint v v 50 5 m/s 0, 8 3
P 0 p p p 0 sebességnövekedés szükséges. Így v = 50 +,5 = 6,5 m/s, v 3 = 50 + 5 = 75 m/s. Az F tólóerőhöz a (7) egyenlőség szerint F m 475 89kg/ s v 5 tömegáram szükséges. Ez a tömegáram halad át a propelleren, aminek keresztmetszete az () kontinuitásból m A,5 m, v 4A így a propeller átmérője D, 79 m. A szükséges motor-fordulatszám a (4) v képletből n 3, 84 /s 970 /min. JD A propeller mögötti repülőgép rész ellenállása a megnövekedett v 3 >v sebesség miatt nagyobb, mint amivel számoltunk. Az () kontinuitásból A 3 =, m, tehát a megnövekedett sebességű sugárban haladó törzsrész a teljes felület mintegy 0 %-a. A hasznos propeller teljesítményt a () képletből számíthatjuk ki: P h v F 50 475 36 kw. A bevezetendő teljesítmény pedig a megvalósítandó propeller-hatásfokkal P / 36 / 0, 8 95 kw. be P h Nyilván ugyanennyit kapunk a () egyenletsor első egyenletéből is. Valóban v 75 50 P be m 89 95 kw. Szélturbinák esetén a gondolatmenet az előzőekhez teljesen hasonló. csúszó áramvonal v p 0 v v v 3 P ható-tárcsa p 0 p 0 P 4
A különbség abban áll, hogy a szélturbina az abszolút rendszerben áll, így a v sebességek abszolút sebességet jelölnek, továbbá abban, hogy a sebesség az áramcsőben v -ről a turbina járókerekét helyettesítő hatótárcsán keresztül folytonosan csökken v 3 sebességre. A külső légnyomás most is p 0, az áramcsövön kívül mindenütt azonos. A v sebességre lassult sugár nyomása a tárcsa előtt p -re nő, a tárcsán áthaladva a levegő nyomása p -re csökken, majd a tovább lassuló légsugárban ismét megnő a p 0 környezeti nyomásra. Az áramlást leíró egyenletek ebben az esetben is a kontinuitási egyenlet a tárcsára a nyomáskülönbségből ható szélerő Bernoulli-egyenlet a tárcsa előtti áramvonalra Bernoulli-egyenlet a tárcsa utáni áramvonalra impulzustétel az áramcsőre A v sebesség most is a v és a v 3 sebesség számtani átlaga, különbségüket jelöljük most is vvel. Nagyobb figyelmet a hasznos és bevezetett hidraulikai teljesítmény definíciója igényel, amikből ismét kiszámítható az ideális hatásfok. A szélturbinát helyettesítő tárcsára ható erő: F m v v A v v v 3 3 A v A turbina hasznos hidraulikai teljesítménye m F F P h Qp Av v A A itt F helyébe beírva a (5) képlet jobb oldalát: F v v v v v A v. (5) v v v F v v F, v P h 3 v v A v (6) v v A bevezetett hidraulikai teljesítmény azonos a tárcsa helyén zavartalan v szélsebességgel átáramló levegő mozgási energiájával: P be v 3 A v A v (7) Az ideális szélturbina hidraulikai hatásfoka e két teljesítmény hányadosa: Ph v v x x (8) Pbe v v ahol a fajlagos sebességváltozást x-szel jelöltük. A hatásfok maximumának szükséges feltétele az 5
d 4 x x x dx x 3x x x x 0 (9) egyenlőség teljesülése. Nyilván csak a második gyöknek van fizikai értelme: x = /3, amit beírva a (8) képletbe kapjuk, hogy 6 max 0, 593 (0) 3 3 7 A korszerű szélerőművek két vagy háromlapátos szélturbináinak hatásfok maximuma optimális üzemállapotban eléri az 50%-ot. Mivel a szélsebesség még viszonylag állandó széljárású helyeken, például az Atlanti óceán nyugati partján sem állandó, így az éves átlagos hatásfok az optimálistól eltérő gyakori szélsebességek miatt ennél az értéknél lényegesen rosszabb, előnye viszont, hogy ez az energiaforrás kevés környezeti ártalmat okoz. Napjainkban a szélenergia kihasználása terjedőben van. Az axiális lapátos ún. propellerkeverők működésű elve valójában azonos az asztali szellőző ventilátorokéval. Mivel a lapátokat nem veszi körül egy gyűrű alakú ház, így nem tekinthetők igazi ventilátornak, illetve axiálszivattyúknak. A lapátok hossza mentén nem biztosítható végig előírt perdület-növekedés eloszlás. A lapátok végén a véges szárnyakra jellemző szekunder örvények miatt nyomáskülönbség nem jön létre. A különbség a propellerekhez képest abban áll, hogy messze a keverő előtt a közeg áll, így a v sebesség zérus, ami azt is jelenti, hogy az A keresztmetszetnek végtelen nagynak kell lennie. A kontinuitási egyenlet ismét: m A v A3 áll. () A tolóerő ellentett ereje, azaz a tárcsára ható erő a nyomáskülönbségből számítható, az első ábra jelöléseivel és a keresztmetszetet a korábbi módon indexelve: F p p. () A A Bernoulli-egyenlet a nyugvó közeg és a tárcsa előtti pont között: p 0 p v. (3) A Bernoulli-egyenlet a tárcsa utáni pont és az onnan leúszó áramcső vége között: p v p0. (4) Fejezzük ki a (4) egyenletből p -t, a (3) egyenletből a p -et és írjuk be értéküket a tolóerő () egyenletébe, ekkor azt kapjuk, hogy: F A. (5) Az impulzus-tétel alakja most: F m v 3 0. (6) Innen az F erőt kifejezve és a (5) egyenlet bal oldalával egyenlővé téve kapjuk, hogy mv 3 A v F Av 3, (7) 6
ahol a bármely szelvényben azonos tömegáramot a tárcsa szelvényében számítható m A v értékkel helyettesítettük be a képletbe. A (7) egyenletből egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy a v sebesség a v 3 sebesség fele. v. (8) Írjuk fel a keverőn átáramló folyadékba minimálisan bevezetendő hidraulikai teljesítményt, ami a tömegáram és a tömegegységre vonatkozó mozgási energia-változás szorzatával egyenlő: P be v 3 m. (9) A keverő, mint ventilátor hasznos teljesítménye a térfogatáram és a keverőtárcsa által létesített nyomáskülönbség szorzata, utóbbi az F erő és az A felület hányadosa: P h m F Q p m. (30) A Végül a hidraulikai hatásfok a hasznosított (30) és a bevezetendő (9) hidraulikai teljesítmény hányadosa: Ph. (3) Pbe Ez azt jelenti, hogy az elérhető ideális hidraulikai hatásfok 00% lenne. Ez azonban csak súrlódásmentes folyadékáramlás esetén lenne így. A valóságban az sem igaz, hogy a nyomáskülönbség a keverő kerületén is akkora, mint amit a fenti gondolatmenetben figyelembe vettünk. Propeller keverők becsült hidraulikai hatásfoka 60 %. A keverő összhatásfokát a mechanikai veszteségek tovább csökkentik. A keverő lapátok kerületi iránnyal bezárt szögének ismeretében felrajzolható a sebességi háromszög ha feltételezzük, hogy a keverő a tervezett üzemállapotban dolgozik. A kerületi sebesség és az axiális, v -vel jelölt sebesség hányadosa közel azonos kell legyen a lapátszög tangensével. v u ker D n Ekkor tehát írható, hogy v konst Dn. (3) A tömegáramot a () képletben ugyancsak a kerületi sebességgel kifejezve írhatjuk, hogy m A v konst D Dn, ezt és a (3) összefüggést beírva a (9) képletbe, kapjuk, hogy P be 5 n 3 KD (33) 7
a keverő hidraulikai teljesítményigénye. A K szám függ a keverő kialakításától, a reaktor edény alakjától és méreteitől, továbbá a Reynolds számtól, amit keverők esetén ugyancsak az n fordulatszám és a keverő D átmérője segítségével írunk fel, a dinamikai viszkozitás. nd K K Re, geometria K, geometria. A kis Reynolds számú tartományban K arányos a Re-szám reciprokával, nagy Re-számok esetén egy a típustól és geometriától függő állandó értékhez tart. A keverőpropellerből kilépő folyadéksugár turbulens disszipációja a szabad sugarakra megismert módszerrel írható le. Ezzel a két módszer összekapcsolása becslést adhat olyan keverő, keverő-reaktor (edény) párok előzetes áramlástani elemzésére, amelyekre nem állnak rendelkezésre kísérleti tapasztalatok. 8