Gazdaságstatisztika példatár

Buapet Műzak é Gazaágtuomány Egyetem Gazaág- é Táraalomtuomány Kar Üzlet Tuományok Intézet Menezment é Vállalatgazaágtan Tanzék Gazaágtatztka pélatár Megoláokkal E pélatár a Gazaágtatztka című tárgyhoz a Gazálkoá é menezment (BA), Műzak menezer (BSc), Nemzetköz gazálkoá (BA), valamnt az Alkalmazott közgazaágtan (BA) alapzakok rézére kézült. Ere Jáno Nagy Jenő Bence Dr. Tóth Zuzanna Ezter Buapet, 3

Tartalomjegyzék I. Leíró tatztka... 3 II. Stanarzálá... III. Inexzámítá... 6 IV. Heterogén okaág... V. Valózínűég változó. Elmélet elozláok... 4 Bnomál elozlá... 4 Poon-elozlá... 7 Exponencál elozlá... 3 Normál elozlá... 3 VI. Beclé... 38 VII. Hpotézvzgálatok... 45 Nemparamétere próbák... 45 Paramétere próbák... 5 Paramétere é nemparamétere felaatok... 6 VIII. Korrelácó- é regrezóelemzé, őorelemzé... 64 Iőorok elemzée... 64 Kétváltozó lneár korrelácó- é regrezóelemzé... 68 IX. Felhaznált roalmak... 76

I. Leíró tatztka. A táblázat a Buapet Értéktőze hvatalo nexének (BUX) záz nap záró értékéből zámított hozamaatat tartalmazza. Kézíte el az alább aatbáz rézlete leíró tatztka elemzéét! Nap hozamok,896,63,9 -,74,38,45,85,754, -,3,846,86 -,4 -,76,,476,6 -,5,395 -,78,59,,8 -,567,865 -,836 -,,46,8,79 -,877,845,448,6,88,567,8,33,9,4,,58 -,3,9 -,8 -,43 -,676,6,47 -,365 -,759,3565,769,964 -,967,654,7 -,3,53 -,55 -,55,84,439,58 -,3858,39 -,37 -,45 -,9,6,69,359 -,7 -,4,758,8,438,44,44,79,6,758 -,6, -,43,483,57,43,8 -,7,48,358 -,69,87,83,43,493 -,39 -,54,54 Rangor (ozloponként) -,567 -,8 -,43 -,4,,54,754,69,896,84 -,3858 -,55 -,39 -,5,48,567,85,33,9,865 -,76 -,6 -,365,6,7,6,8,38,45,964 -,967 -,3 -,3,8,39,6,845,359,47,358 -,877 -,55 -,3,87,43,6,,43,53,395 -,836 -, -,37,4,438,63,,46,758,3565 -,759 -,9 -,7,,44,6,9,493,758,439 -,74 -,78 -,45,,448,654,8,58,769,59 -,69 -,7 -,43,8,476,79,9,57,8,58 -,54 -,676 -,4,86,483,79,44,88,83,846. Oztályok zámának meghatározáa (egy lehetége mózer) k N 7 8 h Y Y,846 (,567) h,8 max mn, k 7 3

. Gyakorág táblázat 3. Kvartlek meghatározáa ozályközhozúág f g f ' g ' -,567 -,365,%, -,365 -,63 6 6,% 8,8 -,63,39 36 36,% 44,44,39,4 38 38,% 8,8,4,443 5 5,% 97,97,443,645,% 99,99,645,847,% Az aatok egyenként meretéből knulva: / 4 5,5 4 Q,3,5,37 (,3), 375 Tehát ennél az értéknél az aatok ¼ réze kebb, ¾ réze peg nagyobb. 3 3/ 4 75,75 4 Q3,43,75,46,43, 455 Ennél az értéknél az aatok ¾ réze kebb, ¼ réze peg nagyobb. 4. Meán A meán nem má, mnt a középő kvartl: ˆ / 5,5 Me,483,5,54,483 A meán a két középő érték átlaga: Me (,483,54),535, 535 A meán becülhető a gyakorág táblázat alapján: N ' fme Me ˆ Y ' N me, hme f me fme ˆ 5 44 M e,39,,79 38 5. Móuz A 4. oztály a moál oztály, mert ebben a legnagyobb a tapaztalat gyakorág: 4

ˆ a Ymo, hmo a fmo fmo a f fmo fmo f Mo M ˆo,39 38 36 38 36 38 5 6. Számtan átlag Az egyenként mert aatokból zámítva:,,556 (,567) (,3858)...,846,6654 x,6654 A gyakorág táblázatban zereplő nformácók alapján történő beclé: (,466) (,64) 6...,544,746,7536 x,7536 Oztály Aló határ Felő határ oztályközép gyakorág (f) oztályközép *f =oztályközép-xátl.becült f. -,567 -,365 -,466 -,93 -,5436,937,586. -,365 -,63 -,64 6 -,584 -,33936,57,69 3. -,63,39 -,6 36 -,3 -,3736,887,679 4.,39,4,4 38,53,6464,48,588 5.,4,443,34 5,53,6664,7,665 6.,443,645,544,88,46864,96,439 7.,645,847,746,746,6764,44976,4498 özeen,7536,476 A táblázat utoló három ozlopa a tapaztalat zórá beclééhez zolgáltat maj nformácót! 7. Terjeelem R Y Y,846 (,567),43 max mn 8. Interkvartl terjeelemmutató R Q Q,455 (,375),5 3,7635 9. Korrgált tapaztalat zóráok Aatok egyenként meretéből knulva: j (x j 99 x) j 99 j j (x j,6654) 99,3535 99,88 Korrgált tapaztalat zórá beclée gyakorág táblázat alapján: r f r x x f 7 r f f,476 99,77 5

. Grafku ábrázolá, hztogram Gyakorág hztogram 4 35 36 38 Tapaztalat gyakorág 3 5 5 5 5 6.. 3. 4. 5. 6. 7. Oztály orzáma Kumulált relatív gyakorág hztogram, Kumulált relatív gyakorág,8,6,4,,97,99,8,44,8,.. 3. 4. 5. 6. 7. Oztály orzáma 6

. A g-o Omna kávé tölté folyamatának két különböző napon mért nettó tömegértéke az alábbak (a méréek a gyártá folyamatot követve, orrenben történtek, kb. / óra alatt, egy négymérlege Heer gép.z. mérlegének töltéét fgyelve): egyk nap:,8,7,,,,4,5, 3,3,,,,,,3,,9,3,,,3,7,6,6,5,8,8,4,8,3,6,4 99,7,3,4,,,,9,,4,8,9,4,8,6,3,4,,4 mák nap:,4 99,3,5,,7,4 99,6,3 99,4,,,3 99,6,, 98,6,3 99, 99,5,3 98,5,,4 99,8,4 99,7,,,8 98,7 99,7 99,8 98,,6,5 99,9,,4,3 99,6 99,,7 99,,5,,,8,,3 99,8 Végezze el a tatztka-zakma elemzét! Számíta k az elozlá tatztka paraméteret! Mekkora a valózínűége a tűréhatárokon való kvüleének, ha az aló tűréhatár 98g, a felő tűréhatár peg g? Lá külön. 3. Egy üítőtalokat forgalmazó cég buapet rézlegénél olgozó 6 értékeíté képvelő 5. január hav teljeítménye (kzállított mennyég, ezer rekez): 5,6 6,8 3,5 8,8 3,3, 3,7 5,7 4,7 8,5 9, 6,6 9, 8,7 6,,5 4, 3, 5,9 3, 8,8 33,6 34,7 6,9 4,8,8 Számítuk k az átlago teljeítményt, határozzuk meg a meánt! Számítuk k az mert zóróá mérőzámokat! Jellemezzük az elozlá azmmetráját a Pearon-féle mutatóval! Rangor 8,5 8,8 3, 3, 3,3 3,5 3,7 4, 4,8 5,6 5,7 5,9 6, 6,6 6,9 8,7 8,8 9, 9,,,5,8 4,7 6,8 33,6 34,7 7

A, Számítuk k az átlago teljeítményt, határozzuk meg a meánt! Átlago teljeítmény meghatározáa zámtan átlaggal: x x... xn 8,5... 33,6 34,7 x 8ezer N 6 8 ezer rekez az átlago teljeítmény. Meán: 6,6,6 Me 6,35 6,35 ezer rekeznél többet teljeített az értékeíté képvelők fele, a mák fele keveebbet. B, Számítuk k az mert zóróá mérőzámokat! Terjeelem R X max X mn 34,7 8,5 6, Szórá (8,5 8)... (33,6 8) 6 Korrgált tapaztalat zórá (8,5 8)... (33,6 8) 5 (34,7 8) (34,7 8) 6,8 6,335 Átlagoan 6,335 ezer rekezel tér el az egye képvelők teljeítménye az átlagotól. Relatív zórá: 6,8 V,34557 8 Az egye képvelők teljeítményének az átlagotól való átlago eltérée 34,5%. Interkvartl terjeelemmutató: / 4 (6 ) 6,75 4 Q 3,5,75 (3,7 3,5) 3,65 3 / 4 Q R 3 / 3 (6 ),5 4,,5 (,5,),75 Q 3 Q,75 3,65 6,65 8

Az értékeíté képvelők negyeének a teljeítménye 3,65 ezer rekeznél alaconyabb, háromnegyeüké magaabb (Q ). Az értékeíté képvelők háromnegyeének teljeítménye,75 ezer rekeznél alaconyabb, egynegyeüké magaabb (Q 3 ). Az nterkvartl terjeelemmutató azt fejez k, hogy az értékeíté képvelők felének teljeítménye 6,65 ezer rekezny ávban helyezkek el. C, Jellemezzük az elozlá azmmetráját a Pearon-féle mutatózám egítégével! 3 ( x Me) 3 (8 6,35) P,79 6, Erőebb (e még mérékelt) balolal azmmetra. D, Kézítünk gyakorág ort, é becüljük meg a móuzt! k N, kb. 5 oztályt célzerű kézíten. h 34,7 8,5 5 5,4 Legyen 5,4 (kerekítéel) az oztályköz-hozúág! Oztályhatár Gyakorág 8,5 x<3,9 7 3,9 x<9,3 9,3 x<4,7 3 4,7 x<3, 3, x<35,5 Özeen: 6 7 M oˆ 3,9 5,4 5,8 ( 7) ( 3) Az értékeített mennyégek a 5,8 ezer rekez körül tömörülnek. 9

4. Mnőégellenőrzé keretében vzgálták egy aott típuhoz tartozó elektromo habverők élettartamát. A megfgyelé ereménye: Élettartam (év) Megfgyeléek záma (b) 5, x<5,5 8 5,5 x<6, 8 6, x<6,5 5 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Özeen Ábrázoljuk a gyakorág ort! Számítuk k a helyzet középértékeket, az átlagot, a zórát, az azmmetra egyk mérőzámát! a) Ábrázoljuk a gyakorág ort! gyakorág hztogram megfgyeléek záma 6 5 4 3 5,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 oztályok b) Számítuk k a helyzet középértékeket, az átlagot, a zórát, az azmmetra egyk mérőzámát! Élettartam (év) Megfgyeléek záma (b) Kumulált gyakorág (gyakorágok) 5, x<5,5 8 8 5,5 x<6, 8 36 6, x<6,5 5 86 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Özeen

6 36 Me 6 *,5 6, 4 5 Mo 6 *,5 6, 3 6 8*5, 5... *7, 5 x 6,5 8(5, 5 6, 5)... *(7, 5 6, 5) 3*(6, 5 6, 4) P,59,58,58 Enyhe bal olal azmmetra.

II. Stanarzálá. Egy orzágban a monopolhelyzetben lévő vízellátó költégalapon határozza meg az árat (ahol a vízellátá fajlago költége alaconyabbak, ott az árak alaconyabbak). Két jelentő különbég aók, egyrézt a várookban fajlagoan olcóbb az ellátá, hzen kebb a zállítá költég, márézt a nagyfogyaztók ellátáa fajlagoan zntén olcóbb, mnt a kfogyaztóké. A tarfák (Ft/köméter) é a fogyaztá arányok (a köbméter zázalékában) -ben: A fogyaztá Fogyaztá megozláa (%) Tarfa (Ft/m 3 ) jellege Váro Közég Váro Közég Lakoág 3 6 7 9 Nem lakoág 7 4 5 6 Özeen Elemezze a várook é közégek között átlago tarfaíj különbégét é az erre ható tényezőket! Am aott: vzonyítá alapok (B), é a rézvzonyzámok (V j ). Özetett vzonyzámok zámítáa: Közégre: B j V j V,6 9,4 6 78 Ft/m 3 B j Várora: B j V j V,3 7,7 5 56 Ft/m 3 B j K V V 78 56 Ft/m 3, vagy a közégben átlagoan ennyvel magaabb a tarfaíj. Nézzük meg, hogy ez a Ft/m 3 eltéré a közég javára mnek tuható be, vagy kzámítjuk a rézhatá é özetételhatá különbéget: Rézhatá különbég, amely a megfelelő rézvzonyzámok eltéréére vezethető vza: ' B V B V K 78 (,6 7,4 5) 78 6 6 Ft/m 3, vagy a B B Ft/m 3 átlago tarfaíj különbégből 6 Ft/m 3 a rézvzonyzámok (tarfa: Ft/m 3 ) eltéréére vezethető vza. Nézzük meg a táblázatunkat alapoabban: látjuk, hogy mn a lakoág, mn peg a nem lakoág fogyaztá eetében magaabb a közégben a tarfa. Özetételhatá-különbég: B V B V K" 6 56 6 Ft/m 3, vagy a Ft/m 3 átlago tarfaíj B B különbégből 6Ft/m 3 eltérét magyaráz a két okaág (váro é közég) eltérő (fogyaztá)

zerkezete. Ez előorban annak tuható be, hogy a közégben magaabb az egyébként rágább tarfájú lakoág fogyaztá aránya (3% a vároban é 6% a közégben), é alaconyabb az olcóbb tarfájú nem lakoág fogyaztá aránya (4% mnöze a várook 7%-o ugyanlyen arányával).. Egy portzergyártó cég két értékeíté helyére vonatkozóan mert az egy elaóra jutó forgalom az egye években, é a forgalom megozláa 6-ban: A forgalom megozláa 6-ban, Egy elaóra jutó forgalom, ezer Ft % (vagy ezer Ft/fő, máképpen Oztály (A ) forgalom/fő) 5 (V ) 6 (V ) Vrág utca üzlet 56,7 38 678 Napugár utca 43,3 5 37 üzlet Együtt 9 Elemezze az egy elaóra jutó forgalom változáát, é az arra ható tényezőket! Kézíten zövege értékelét! Az egy elaóra jutó forgalom (ezer Ft/fő) a vzonyzám, ahol a forgalom az A, a vzonyítanó aat, az elaók záma peg a B, a vzonyítá alap. Am mert az az A, valamnt a V é a V. Továbbá mert a. őzakra vonatkozó özetett vzonyzám, am peg nem mert, az. őzakra vonatkozó özetett vzonyzám: Aj Aj V 55,57, így megkaptuk a két üzletre B A,567,433 j j,664 V 678 37 j együtteen értelmezett özetett vzonyzámot 6-ra. Ebből már könnyen zámítható a két özetett vzonyzám hányaoa: V 55,57 I,45, ez az érték azt jelent, hogy 4,5%-kal nőtt az egy elaóra jutó V 9 forgalom 5-höz képet. Nézzük meg ennek okat közelebbről! A meglévő aatok alapján kötött a helyzetünk, hogy melyk úlyozáú rézhatá é özetételhatá különbéget tujuk zámoln. A képletgyűjtemény egítégével azonban kokokoható, hogy a tárgyőzak úlyozáú rézhatá különbég zámítáához állnak renelkezére az aatok: ' A I,87, ez azt jelent, hogy ha cak a A,567,433,845 678/38 37 /5 megfelelő (két üzlet eetében renelkezére álló) rézvzonyzámok (vagy az egy elaóra jutó forgalom) eltéréet nézzük, akkor azt látjuk éreke móon, hogy mnkét üzlet eetében nőtt az egy elaóra jutó forgalom (38 678, é 5 37). Így a rézvzonyzámok eltéréet nézve, az 8,7%-o növekeét nokolt volna özeégében. Ám ennek ellenére nagyobb növekeét könyvelhettünk el az özetett vzonyzámok hányaoának értékeléekor. 3

Az özetételhatá különbég peg a meglévő nformácók brtokában könnyen zámítható: I,45 I ",49, vagy a két okaág (5-ö é 6-o okaág) eltérő zerkezete I ',87 (vagy az elaó létzám megozláának változáa a két üzlet között) közel 5%-o növekeét nokol az egy elaóra jutó forgalom változáában. Erről mot több nformácónk nncen, hzen a 5-ö forgalom megozláokat az üzletek között nem látjuk é az alkalmazott létzámok arányat em merjük. 3. Haonlítuk öze az alább két ágazatban foglalkoztatottak átlagkereetét! Mutauk k a két ágazatban foglalkoztatottak átlagkereetének különbégét kalakító tényezők hatáát! Az alkalmazában állók létzáma é hav bruttó kereete 999. januártól zeptemberg. Állománycoport Géppar Vegypar Létzám %-o megozláa Kereet (ezer Ft) Létzám %-o megozláa Kereet (ezer Ft) Fzka foglalkozáúak 79,6 66,8 67,6 77, Szellem foglalkozáúak,4 36,3 3,4 64,6 Özeen, 8,, 5,5 A főátlagok különbége (vegypar géppar): K 5,5 8, 4,5 ezer Ft Az egye állománycoportok zernt kereetkülönbég hatáa (tanar aator: vegypar létzámözetétele) K' 5,5 (,676 66,8,3436,63) 5,5 89,3 6, ezer Ft Az állománycoportok zernt özetétel-különbég hatáa (tanar aator a géppar állománycoportonként átlagkereetek) K" 89,3 8, 8,3 ezer Ft Özefüggé: 4,5=6,+8,3 ezer Ft. A vegyparban az átlagkereet 45 Ft-tal magaabb, mnt a gépparban. Ezt az eltérét két azono rányba ható tényező magyarázza. A fzka foglalkozáúak 3Ft-tal, a zellem foglalkozáúak 8 3 Ft-tal, a foglalkoztatottak peg átlagoan 6 Ft-tal kerenek többet a vegyparban a mák ágazathoz képet. A két ágazat létzámözetételében jelentő eltérét mutatkozk. Ebből aóóan a vegyparban 83 Ft-tal magaabb az átlagkereet, mnt a gépparban, ugyan ebben az ágazatban nagyobb arányt képvelnek a magaabb kereetű zellem foglalkozáúak, mnt a gépparban. 4

4. Elemezzük az alább táblázatban megaott aatok alapján a fajlago anyagfelhaználá ( Ft árbevételre jutó felhaználá) változáát! Egy lfteket gyártó é javító cégnél az anyagfelhaználá é az árbevétel alakuláa (ezer Ft): Tevékenyég Anyagfelhaználá Árbevétel 99. 999. 99. 999. Termelé 8567 798 8875 89 Javítá 44 93 665 84 Karbantartá 8 87 77 3344 Özeen 9 8 43 65 Számítá: Anyaghánya (V)= Anyagfelhaználá (A) / árbevétel (B) Ft árbevételre jutó anyagfelhaználá 99. 999. zázalék Termelé 64,3 65,, Javítá 39,59 4,8 3, Karbantartá,5,6 4,4 Özeen: 5,8 49,9 49,9 I 5,8 98% I' B B j j V V j j B 8,5% 79939,6 A j j V j 8 89,643 84,3959 3344,5 I " B j B V j j : B j B V j j Özefüggé:,98=,5,966 79939,6 :,58 96,6% 65 A vállalatnál a Ft árbevételre jutó anyagfelhaználá 999-ben 99-hez képet özeégében %-kal cökkent. Az egye tevékenyégekre zámított anyaghányaok renre nőttek, átlagoan,5%-o az emelkeé. A truktúraváltozának vzont ellentéte hatáa volt, ugyan a kebb anyaggényű tevékenyég, a karbantartá aránya nőtt az árbevételen belül, ennek hatáára a vállalatra zámított anyaghánya 3,4%-kal cökkent. 5

III. Inexzámítá. Egy ütöe háromféle terméket termel. Ezekre vonatkozóan az alább aatok állnak renelkezére: Termék A termelé értéke 996-ban (ezer Ft) A forgalom értékének alakuláa 996/995 (%) Az árak Ház kenyér 6 9 Rozkenyér 8 8 4 Pékütemény 4 5 Együtt 5 Számíton érték-, ár- é volumennexet a ütöe termeléére vonatkozóan! Állapíta meg, hogy a termelé értékének növekeééből hány Ft volt az árváltozá é a volumenváltozá hatáa! Termék A termelé értéke 996- ban (ezer Ft) Az árak ( p ) A forgalom értékének ( v ) A termelt mennyég ( q ) alakuláa 996/995 (%) Ház kenyér 6 9,853 Rozkenyér 8 8 4,5 Pékütemény 4 5,97 Együtt 5 v q p q p 6 8 5 I V,74 v 6 8 q p q p 77,57 v,,4,5 Vagy a termelé értéke 7,4%-kal nőtt 995-höz képet a termékek özeégére vonatkozóan. I p q p q p q p q p p 6 8 6 8,9,8,4 5 3,7,6 Ha az árak változáát vzgáljuk cak (é a termelt mennyégét nem), akkor azt látjuk, hogy ez önmagában átlagoan,6%-o növekeét nokol a termékek özeégére vonatkozóan. I q I I v p,74,6,9576 Ez azt jelent, hogy ha cak a termelt mennyég változáát vzgáljuk, é az árak változáát nem vzgáljuk, akkor az 4,4%-o cökkenét nokolna a termelé értékének változáában. A két hatá együtte ereménye az értéknexben megteteülő változá. 6

Különbégfelbontá (amt eg eloztottunk egymáal az nexekben, azokat mot kvonjuk egymából, vagy a zámlálóból a nevezőt): K q p q p 5 77,57,48 K K v p q K v K q p p q p 5 3,7 76,8,48 76,8 53,85 Az elő érték a termelé érték változáát mutatja pénzözegben, a máok az árváltozá hatáát pénzértékben kfejezve, a harmak peg a volumenváltozá hatáát zntén pénzözegben kfejezve.. Egy ruházat kerekeelm vállalat 5 év forgalmára vonatkozó aatok: Ckkcoport A forgalom értéke 5- ben (MFt) Mennyég Árváltozá változáa 4-hez vzonyítva (%) Férföltöny 4 + -5 Férfkabát 3 + +5 Férfng 7 + - Együtt 99 Határozza meg a 4. év árbevételt! Számíta k, hogy hány zázalékkal emelketek a vállalatnál az árak! Átlagoan hány zázalékkal változott az értékeíté mennyége? Nézzük meg, hogy mlyen nformácókat horoz a felaat! Látható, hogy a felaatban közvetett móon aottak az egye ár- é volumennexek, é a kettőből zámíthatók az egye értéknexek: A forgalom Árnex Volumennex Értéknex Ckkcoport értéke 5- ben (MFt) 4-hez vzonyítva Férföltöny 4,,95,9 Férfkabát 3,,5,55 Férfng 7,,8,96 Együtt 99 Ezeket az aatokat felhaználva kzámítjuk a forgalom értékét (árbevételt) 4-ben: q p 4 3 7 q p,5 59,74 8,5 76,4 v,9,55,96 A meglévő aatankból zámítható a tárgyőzak úlyozáú árnex, é a bázőzak úlyozáú volumennex: 7

I I p q I I v p q p q p p 4 99 3, 99 76,4,398 7, 99 65,33 99 7,7 5,93 93% 99 77,7,398 Az árak a termékek özeégére vonatkozóan 39,8%-kal emelketek. A mennyég a termékek özeégére vonatkozóan peg 7%-kal cökkent. 3. Angla é Magyarorzág élelmzerfogyaztáát jellemző néhány aat 4-ből: Termék Kkerekeelm elaá ár Egy lakora jutó fogyaztá Angla ( ) Magyarorzág (Ft) Angla Magyarorzág Tojá (b), 9,3 4 34 Cukor (kg),5 89,6 34,7 34,5 Burgonya (kg),89 78,4 6,5 58,7 Az élelmzerek ezen coportján haonlíta öze az angol é a magyar egy főre jutó fogyaztá mennyégét é a valuták váárlóerejét! Az élelmzerek e coportján haonlíta öze az angol é a magyar egy főre jutó fogyaztá mennyégét é a valuták váárlóerejét! I I I M q A q F q 34 9,3 34,5 89,6 58,7 78,4 656 654, 47,8 3575,8 ( M / A),7 4 9,3 34,7 89,6 6,5 78,4 463 6579, 793, 4,3 34, 34,5,5 58,7,89 68 86,5,943 ( M / A) 4, 34,7,5 6,5,89 48 86,5,943 ( M / A),7,646,679 65,93 49,95,646 A termékek ezen körét vzgálva az egy főre jutó magyar fogyaztá 6,79%-a az angol egy főre jutó fogyaztának, vagy az egy főre jutó fogyaztá Magyarorzágon 6,79%-kal magaabb az angolnál. I I I M p A p F p 349,3 34,5 89,6 58,7 78,4 ( M / A) 34, 34,5,5 58,7,89 49,3 34,7 89,6 6,5 78,4 ( M / A) 4, 34,7,5 6,5,89 ( M / A) 88,897588,3478 88,6 3575 65,93 7 49,95 88,8975 88,3478 A termékek ezen körén egy font váárlóereje átlagoan 88,6 Ft váárlóerejével egyenértékű. 8

4. Egy vállalat három termékére vonatkozó aatok: Termék Termelé érték a tárgyévben, ezer Ft Volumenváltozá folyó áron (q p ) bázév áron (q p ) bázév=% ( q ) A 5 6 B 6 5 5 C 9 8 Özeen 9 Határozza meg a termelé értéknexét! Számíta k mnkét úlyozáú ár- é volumennexeket! Termelé érték a tárgyévben, ezer Ft Árváltozá Volumenváltozá egye értéknex Termék folyó áron bázév bázév=% bázév=% ( q ) v (q p ) áron (q p ) ( q p p ) q p A 5 6,833,963 B 6 5, 5,38 C 9 8,5,5 Özeen 9 I I p I I I q V q p I I v q q p q p q p q p q p q p q p q p,3,66 q p q p q p q p,535 q p q p 6,,563 9 q q v 5,963 5, 9 5,5 8 6,38 9 545,45 434,78 8 9,5 78,455,3 6 9 454,5455 5,739 9,5 9 78,37 876,85,6774,66 A termelé értéknexe:,3, amely azt jelent, hogy a termékek özeégére vonatkozóan a termelé értéke,3%-kal nőtt. Az árnexeket megvzgálva azt látjuk, hogy a termékek özeégére vonatkozóan az árak kb. 5 %-kal emelketek a bázévhez képet. A volumennexek zernt peg a termelt mennyég változáa a termékek özeégére vonatkozóan kb. 6 %-kal emelkeett. 9

IV. Heterogén okaág. Egy pénzntézet vállalat pénzügy területre kere megfelelő zakembereket. A jelentkezé feltétele a felőfokú végzettég volt. Az állá meghretée után, a kválaztá é az elő körö megbezélé alapján 3 jelentkező vehetett rézt a máok körben, vagy a pzchológa, zakma é pályaalkalmaág kéréeket tartalmazó teztíráon. A maxmálan ponto tezten elért eremények nemek zernt coportoítva: Pályázó neme A tezten elért pontzám Férf 85,66,5,78,5,7,76,64,65,95,4,58,9,8,69,89,74,7,59 Nő 84,58, 8,8,8, 97,59,9,76,8,96,85,77 Jellemezze a teztet írók homogentáát, állapíta meg, hogy mlyen zoro a kapcolat a pályázó neme é a tezt ereménye között! Megolá A pontzám zernt zóróát két rézre kell bontan, a Pályázó neme mérvhez kapcolóó külő zórára é a má tényezőkhöz kapcolható belő zóróára az SST=SSK+SSB özefüggé alapján. M N j M M N j ( Y j Y) N j ( Y j Y) j j j ( Y j Y j ) Az ehhez zükége zámítáok: A pályázó neme Pályázók záma A tezten elért átlago Szórá (rézokaágok tapaztalat zóráa) pontzám Férf 9 7,4 4,9 Nő 3 8,38,3 Özeen 3 74,47 3,98 Látható, hogy aránylag nagy a különbég a férfak é a nők átlagpontzáma között. Önmagában ez azonban nem jelent erő kapcolatot, é az látzk, hogy nagy a nem mérven belül zóróá. Bontuk fel a telje eltéré-négyzetözeget a péla elején felírt móon. SST=SSK+SSB Ahol SSK= 9 (7,4 74,47) 3 (8,38 74,47) = 766,6 SSB peg a coportonként eltéré-négyzetözegek özege, am a zóráokból vzazámolható : SSB= 9 4,9 3,3 = 384,63 + 659,8 = 5483,7 SST = SSK +SSB= 766,6 + 5483,7 = 649,96

A zóránégyzet felbontáa: K 3,98 SSK / N K B 4,89 3,9 95,34 3,948 7,366 SSB / N B T SST / N A kapcolat zoroágának jellemzée: 766,6 3,948 H,6 649,6 95,34 H,6,35 Azaz a pályázó neme,6%-ban magyarázza a pontzámok zóránégyzetét. A pályázó nemének merete,6%-kal cökkent a tezt ereményével kapcolato bzonytalanágot. A két mérv között a közepenél gyengébb kapcolat van.. Valamely lakátakarék zövetkezet ügyfele zerzőében vállalják, hogy négy éven kereztül egy meghatározott özeget takarítanak meg. A megtakarítá őzak végén jogoult az ügyfél az özegyűlt megtakarítá, a kamat é az évenként kapott állam támogatá özegének megfelelő kevezménye htelre. A megtakarítá zakazban a kéeelemnek nnc közvetlen konzekvencája, vzont a htelfelvétel eje ktolók. A zövetkezet egy évvel ezelőtt kötött zerzőée közül a hátralékban lévő ügyfelek néhány aata: Ügyfél lakhelye Szerzőéek Kéeelem eje (hónap) megozláa Átlag Szórá Váro 7, 3,5 Kváro 6 7,5 3, Közég 64 5,3 4,5 Özeen Számíta k az átlago kéeelm őt, é a kéeelm ő zóráát! Mennyben magyarázza a kéeelm ő ngaozáát az ügyfél lakhelye? Rézátlagok é a rézzóráok aottak, a felaatunk a főátlag é a telje zórá zámítáa, azon belül a belő zórá é a külő zórá zámítáa. Főátlag: Y, 7,,6 7,5,645,3,4, 3,39 5,99, vagy az ügyfelek átlagoan 5,99 hónap kéében vannak. B B m j N j N 4,897 j, 3,5,6 3,,64 4,5,45,6384,96 7,484

N j ( Yj Y) j K, (7, 5,99),6 (7,5 5,99),64 (5,3 5,99) N,,664,6,7464,64,478864,873536 K T M,93463 H 7,484,873536 7,994,873536,4874 4,87% 7,994 3. A következő táblázat egy táraház háztartáanak megozláát tartalmazza a 5 évenél őebb háztartátagok gazaág aktvtáa é a 6. év elő félév vllamoenergafogyaztá zernt: A háztartá tagjanak gazaág aktvtáa Háztartáok záma Átlago vllamoenerga-fogyaztá (kwh) Aktív 37 8 Inaktív 3 99 Vegye 8 5 Özeen 68 Imerete, hogy az egye háztartáok által felhaznált energa mennyége átlagoan kwh-val különbözk a táraházra jellemző átlagtól. Állapíta meg, hogy a háztartáok jellege befolyáolja-e a vllamoenerga-fogyaztát! A felaatunk a H é H mutatók kzámítáa é értelmezée. Inuljunk k abból, hogy mlyen aatok állnak a renelkezéünkre. A felaatban aottak az egye rézokaágokhoz tartozó rézátlagok. Ezek egítégével zámítható a főátlag: 37 8 399 85 733 x 73,7 68 68 A felaatban továbbá aott az egye háztartáok által felhaznált energamennyégnek a táraház átlagtól (főátlagtól) vett átlago eltérée, ez a telje zórá: 4884 A főátlag é a rézátlagok meretében zámítható a külő zórá: K N M j N (Y Y) 5666,9 75,7 j j 37 (8 73,7) 3 (99 73,7) 68 K 5666,9 A két zóránégyzet meretében már könnyű kzámítan a két kereett mutatót: 5666,9 A varancahányao: H, 6, vagy a vllamoenerga-fogyaztát,6%-ban 4884 magyarázza a háztartá jellege (aktív, naktív, vegye). 8(5 73,7)

Szóráhányao mutató: H H,6, 34, amely a kapcolat zoroágának a megítéléére zolgál a két mérv, vagy a vllamoenerga-fogyaztá (mennyég mérv) é a háztartá jellege (mnőég mérv) között, tehát a vegye kapcolat zoroágát jelző mutató. Értéke közelebb van mot a -hoz, mnt az -hez, így közepeen gyenge kapcolat jellemz a fent két mérvet. 4. Egy buapet vállalatnál a foglalkoztatottak körében felmérték a közlekeére forított nap őt. Az ereményeket az alább táblázat tartalmazza: Állanó lakóhely Foglalkoztatottak megozláa (%) A közlekeére forított ő nap átlaga (perc) Buapet 6 6 Vék 4 8 Özeen A vállalat egézénél az egye olgozók közlekeére forított eje átlagoan 4%-kal tér el az átlagtól. Számíta k é értelmezze a H é a H mutatót! A felaat megoláa az előzőhöz haonlóan történk. Ebben a felaatban aottak az egye rézokaágokhoz tartozó rézátlagok: 6 é 8 perc.,6 6,4 8 K kell zámítanunk a főátlagot: x 68 Így k tujuk zámítan a külő zórát mét: K N M j N ( Y j j Y) M j N j ( Yj N Y),6 (6 68),4 (8 68) 96 9,79 K 96 A telje zórá peg a pluzmonatban rejtőzk : azért telje zórá mét, mert az egye olgozók közlekeére forított eje (ezeket egyenként nem merjük) é a főátlag között eltéréekre épít. A telje zórá relatív zórá formában aott: V,4 7, x 68 7, 739,84 96 H,3, vagy 3%-ban magyarázza az állanó lakóhely a közlekeére forított 739,84 ő mennyégét. H,3,36, közepeen gyenge kapcolat van az állanó lakhely é a közlekeére forított ő között. 3

V. Valózínűég változó. Elmélet elozláok Bnomál elozlá. Valak találomra ktölt egy totózelvényt. Menny a valózínűége annak, hogy az elő hét mérkőzéhez az,, x lehetőégek közül legalább 5 helyre egyet válazt? Legyen A az az eemény, hogy a zelvényt ktöltő egy mérkőzéhez -et ír. P( A) p /3 így P( A) q p /3 /3 A ξ valózínűég változó jelente az n=7 b mérkőzéhez beírt egyeek zámát. p P( k n k) k n k 3 k 3 7k k 7k p q ( k,,...,7) Az az eemény, hogy az elő hét mérkőzéhez legalább öt helyre -e kerül három, egymát kzáró eemény özegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyet a fogaó. Ezek a valózínűégek a bnomál elozlá táblázatának egítégével (n=7; p=,3 é,35 értéket átlagolva (vagy egyzerűen a,35-höz tartozó értéket alapul véve); k=5,6,7) a következők: p p p,358,6,4 5 6 7,4 Tehát kb. 4,% a valózínűége annak, hogy legalább öt helyre -e kerül.. Menny a valózínűége annak, hogy ha egy calában gyerek zületk, akkor közülük éppen öt fú lez? Annak az eeménynek a valózínűége, hogy fú zületk legyen az A eemény. p ( A) p / A leány zületéének valózínűége: p ( A) p q / A ξ valózínűég változó jelente az n= gyermek közül a fúk zámát. Annak az eeménynek a valózínűége, hogy a ξ=5: p 5,46 4,6% (bnomál elozlá táblázata: n=, p=,5, k=5) 4

3. Egy üzemben elektromo bztoítékokat gyártanak. A tapaztalat zernt átlagban ezek 5%-a hbá. Számítuk k annak a valózínűégét, hogy arab véletlenzerűen kválaztott bztoíték között a) nnc elejte, b) legalább egy elejte van, c) nnc -nél több elejte! p=,5 Annak a valózínűége, hogy kválaztott arab között nem lez elejte:,969 (táblázatban: p=,5; n=; k=) Annak a valózínűége, hogy kválaztott arab között legalább egy elejte van (vagy vagy annál több): ezt úgy értelmezhetjük, mnt azt a valózínűéget, amely a arab között elejt ellentett eeménye: -,969=,83 Annak a valózínűége, hogy nnc -nél több elejte, vagy vagy elejte van a között:,969+,3474=,5443 (táblázat alapján p=,5; n=; k=,) 4. Fej vagy írá játékkal kapcolato két eeményt tekntünk. Az egyk eemény: négy obából 3 fej, a mák: nyolc obából 5 fej. Állapítuk meg, hogy melyk eemény valózínűége nagyobb zabályo pénzarab haználata eetén! Legyen A az az eemény, hogy négy obából 3 a fej, é B peg, hogy nyolc obából 5 a fej. Egy obá eetén a fej obáának valózínűége: p=/ P(A)=,5 (táblázatból: p=,5; n=4; k=3) P(B)=,88 Tehát nagyobb az eélye annak, hogy négy obából háromzor obunk fejet, mnt annak, hogy nyolc obából ötzör. 5. Egy bztoító táraág egyetemtáknak kínál gépkoc bztoítáokat, a korább évek tapaztalata zernt a bztoítottak 3%-a okozott baleetet. Feltételezve, hogy nem változtak meg a körülmények, mekkora a valózínűége, hogy az aott bztoítónál zerzőött 3 egyetemta közül legfeljebb 5 okoz baleetet ebben az évben? A felaat bnomál elozlá közelítée Poon-elozláal, mvel p elég kc, é n elég nagy. p=,3 n=3 Így a Poon-elozlá paramétere: n p 3,3 9 Mot már cak a Poon táblázatból kell a megfelelő értékeket kkeren: a legfeljebb 5 egyetemta okoz baleet, az azt jelent, hogy vagy, vagy, vagy, vagy 3, vagy 4 vagy 5: p +p +p +p 3 +p 4 +p 5 =+,+,5+,5+,33+,6=,4, vagy,4% a valózínűége annak, hogy a zerzőött 3 egyetemta közül legfeljebb 5 okoz baleetet. 5

6. Tegyük fel, hogy korább évek tapaztalata alapján egy ügynök általában mnen 5. éreklőőnek tu elan egy aott terméket. Egy átlago héten éreklőővel bezél. Menny a het elaá várható értéke? Mekkora a het elaá zóráa? Az ügynök külön prémumot kap, ha egy héten 8-nál több terméket a el. Mekkora ennek a valózínűége? p=, M ( ) n p, 4 D( ) n p ( p),,8,788 A harmak kéré megválazoláához a bnomál táblázatra van zükégünk: n=, p=,; a k>8 valózínűégeket kell özeanunk: p 9 +p +p +p =,74+,+,5+,=, (mvel az öze több valózínűég a táblázatban ). Megjegyzé: A péla megoláa arra a feltételezére épít, hogy az ügynök hetenként pontoan éreklőővel bezél. Amennyben a éreklőőt nem tekntenénk kontannak, akkor már a felaatot Poon elozláal olhatjuk meg. 7. Az UEFA zgorú előíráa alapján állít elő a Mnőég Bőr Kft. labarugó labákat 5 arabo tételekben. Az átaá-átvétel eljárá orán két előírá zernt járhatunk el: a) két arabo mntában egyetlen hbá arab em lehet, b) három arabo mntában mntánként legfeljebb arab elejte lehet. Melyk eljárát válaztaná az UEFA é melyket a Mnőég Bőr Kft. helyében, ha a elejtarány várhatóan 5 %? a) P ( ) p, 5987,5987 =,3584 UEFA b) P ( ) p, 3585, P ( ) p, 3774 p +p =,7359,7359 3 =,4 Kft. 8. Egy hagyományo repülőgépet négy egymától független motor hajt. Hozútávú vzgálatok azt mutatják, hogy egy motor repülé közben meghbáoáának valózínűége 5%. A repülőgép még be tuja fejezn az utat, ha 3 motor műkök. Mekkora a valózínűége egy aott repülőúton, hogy a) nem történk motor hba? b) legfeljebb motor hba történk? c) motorhba matt lezuhan a gép? a) n=4, k=, p=,5 p =,845 b) vagy vagy motorhba történk: p +p =,845+,75=,986 c) ez azt jelent, hogy legalább meghbáoá történk, vagy vagy vagy 3 vagy 4 meghbáoá áll elő: p +p 3 +p 4 =,35+,5+=,4 6

Poon-elozlá. Kalácütékor kg téztába 3 zem mazolát teznek. Menny a valózínűége, hogy egy 5 kg-o zeletben kettőnél több mazolazem lez? (Feltételezzük, hogy a mazolák záma Poon-elozlát követ.) Egy 5 kg-o téztába átlagoan 3/, azaz,5 mazolazem (=λ) jut. Annak a valózínűégét, hogy a mazolazemek záma -nél nagyobb úgy fogjuk kzámítan, hogy kkereük a Poon-elozlá táblázatából, hogy menny a valózínűége annak, hogy (k=), é mazola van benne, maj e valózínűégek özegét kvonjuk egyből: P=- (,3+,334+,5)=,9 Tehát 9,% a valózínűége annak, hogy az 5 kg-o zeletben kettőnél több mazola van.. Egy nyoma korrektúrában 4 olalon átlagoan 4 ajtóhba van. A tapaztalat zernt egy anyagrézben lévő hbák zámának elozláa cak az anyagréz hozától függ. Menny a valózínűége annak, hogy egy találomra kemelt olalon legalább három ajtóhba van? A ξ valózínűég változó az egy olalon lévő ajtóhbák zámát vez fel. A ξ valózínűég 4 változó Poon-elozláú, paramétere az egy olalra eő hbák várható értéke: 4 Annak az eeménynek a valózínűégét, hogy egy olalon legalább három ajtóhba van, az ellentett eemények valózínűége között özefüggéel zámítjuk k. Háromnál keveebb ajtóhba egy kzemelt olalon úgy következhet be, hogy a ξ valózínűég változó, é értéket vez fel. Ezek az eetek kzárják egymát, így özegük valózínűége: p +p +p. Ezek a valózínűégek a Poon-elozlá táblázatból kkerehetők (λ=, k=,, ) P(ξ 3)=-(p +p +p )=-(,367+,367+,83)=,83 3. Egy auguztu éjzakán átlagoan percenként ézlelhető cllaghullá. Menny annak a valózínűége, hogy egy negyeóra alatt két cllaghullát látunk? (Feltételezzük, hogy a cllaghulláok záma Poon-elozlát követ.) Ha percenként átlagoan cllaghullá érzékelhető, akkor 5 percenként,5 lez az átlago cllaghullá, vagy λ=,5. Annak valózínűége, hogy ezalatt az ő alatt két cllaghullát látunk: p=,5 (táblázatból: λ=,5; k=) 4. Egy elektronku műzer alkatrézből áll. Egy alkatréz a többtől függetlenül, valózínűéggel romlk el egy év alatt. Menny a valózínűége annak, hogy legalább két alkatréz romlk el egy év alatt? Tulajonképpen bnomál elozláal kellene zámolnunk. Mvel azonban az alkatrézek záma (n=) elég nagy (n>3), a p=, valózínűég peg nagyon kc, így bevezetjük a n p, paramétert, é a bnomál elozlá tagjat a megfelelő Poonelozlából kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatréz elromlá eeményének ellentettje, hogy kettőnél keveebb alkatréz romlk el, vagy hogy vagy vagy alkatréz romlk el. Ezek az eetek egymát kzárják, é özegük valózínűégét ezek valózínűégének özege aja: 7

p p,367,367,734 (Poon-elozlá táblázatból, λ=, k=,) Így a legalább két alkatréz meghbáoáának valózínűége: ( p p),734,66 Tehát kb. 6,6% a valózínűége annak, hogy a műzer alkatréze közül legalább kettő elromlk egy év alatt. 5. Egy telefonközponthoz 6 előfzető tartozk. Tegyük fel, hogy,5 a valózínűége annak, hogy valamelyk előfzető egy meghatározott órában kapcolát kér. Menny a valózínűége annak, hogy abban az órában épp 4 előfzető kér vonalat? Itt bnomál elozláal kellene zámolnunk, e n=6 elég nagy é p=,5 peg elég kc ahhoz, hogy a bnomál elozlát a Poon-elozláal közelítük. n p 6,5 3 p 4,68 (Poon-elozlá táblázatból: λ=3, k=4) Tehát 6,8% a valózínűége annak, hogy az aott órában éppen 4 előfzető kér kapcolát. 6. Egy orózógépen munkaóra alatt átlagoan 3 zakaá következk be. Menny a valózínűége annak, hogy egy lyen őtartam alatt a zakaáok záma túllép az átlagot? (A zakaáok Poon-elozlá zernt következnek be.) A vzgált őtartam alatt bekövetkező zakaáok záma legyen a ξ valózínűég változó értéke. Ez Poon-elozláú, paramétere a vzgált őtartam alatt zakaáok átlago záma, vagy 3. M ( ) 3 Itt forítva gonolkounk. A kéré az, hogy m a valózínűége, hogy 3-nál több zakaá következk be. Ennek ellentettjét könnyebb zámoln, vagy annak a valózínűégét kereük, hogy 3 vagy annál keveebb zakaá következk be. A Poon-elozlá táblázatának egítégével már cak k kell keren az értékeket (λ=3; k=,,, 3) p p p p3,49,49,4,4,646 Így annak a valózínűége, hogy 3-nál több zakaá következk be: p ( 3) p( 3),646,354 8

Vagy 35,4% a valózínűége annak, hogy a zakaáok záma óra alatt meghalaja a 3- at. 7. Egy kézülék meghbáoáanak átlago záma műköé óra alatt. Határozzuk meg annak a valózínűégét, hogy a kézülék műköé óra alatt nem romlk el! műköé óra alatt meghbáoá M ( ), k=-nál é λ=,-nél a táblázatból P ( ) =,887 8. Egy kézülék zavatoág eje egy év. A kézülék arab azono, különlegeen megbízható elemet tartalmaz, amelyek a zavatoág ő alatt egymától függetlenül,5 valózínűéggel romlanak el. A zavatoág alapján a gyártó vállalat az egy éven belül bekövetkezett meghbáoáok javítáára eetenként a telje ár /4 rézét fzet vza. Ha a javítáok záma az év orán elér az ötöt, akkor a gyártó vállalat a már kfzetett négy javítá költégen felül a telje árat vzafzet. Számítuk k, hogy előreláthatólag az ereet vételár hány zázaléka mara a gyártó vállalatnál! Mvel n elég nagy é p elég kc, így a bnomál elozlát közelítjük a Poon elozláal. n p,5 Táblázatból kkereük a megfelelő p k értékeket: p k Lehetége bevétel p =,3679 + p =,3679 +3/4 p =,839 +/ p 3 =,63 +/4 p 4 =,53 p 5 =,3-3 M ( ),3679,3679,839,63,3,748 4 4 Tehát a vállalat a zavatoágra kb. 5%-ot forít. 9. méter hozú zövetanyagon átlagoan 5 hbát találtunk, a méréek a zövethbák zámát Poon elozláúnak mutatták. 3 méter hozú zövetet 4 méter hozú terítékekre oztanak. Mnen 4 métere arabból egy-egy öltöny kézül. A hbátlan öltönyt arabonként 4 forntért áruítják, a zövethbáat 3 forntért. Várhatóan hány hbátlan van a 3 métere zövetvégből kézült öltönyök között? Menny az öltönyök elaáából zármazó árbevétel? Várhatóan hány hbátlan van a 3 métere zövetvégből kézült öltönyök között? (menny a valózínűége, hogy 4 méter zövetben nem találunk zövethbát?) 9

Jelölje a valózínűég változó a hbák zámát a 4 méter zövetben. Előzör határozzuk meg elozlá paraméterét. M 5/(/ 4), k=,,, P e e 8,87%! A 3 métere zövetvégből özeen 75 arab öltönyt lehet kézíten. A 75 arabból várhatóan 6 arab hbátlan öltöny kézül. (75,887) A hbátlan öltönyt arabonként 4 forntért áruítják, a zövethbáat 3 forntért. Menny az öltönyök elaáából zármazó árbevétel? Az árbevétel várhatóan: (6 4.)+(4 3.)=.86. Ft Exponencál elozlá. Bzonyo típuú zzólámpák tönkremenetelég eltelt égé őtartam hozát tekntük valózínűég változónak. Megállapították, hogy ez a valózínűég változó exponencál elozlát követ, é zóráa óra. Határozzuk meg a valózínűég változó várható értékét! Számítuk k annak a valózínűégét, hogy egy kválaztott zzólámpa 3 órán belül nem megy tönkre! Mvel a ξ valózínűég változó várható értéke é zóráa megegyezk (mvel exponencál elozlát követ), így: D( ) M ( ) óra óra Az az eemény, hogy egy zzólámpa 3 órán belül nem megy tönkre, azt jelent, hogy a ξ 3. Ennek valózínűége: P( 3) P( 3) F(3) ( e 3 ) e 3,5 Tehát kb. 5% a valózínűége annak, hogy egy zzólámpa legalább 3 órán át hbátlanul vlágít.. Egy ntézet külfölről renel könyveket. Az ehhez zükége evzára várn kell, a tapaztalatok alapján ½ évet. A várakozá ő exponencál elozláú. Menny a valózínűége annak, hogy az ntézet egy negyeéven belül megkapja a könyveket? 3

Exponencál eetben M(ξ)=/λ=/, így λ=. 4 P( ) e e,39347 4 Így közel 39% az eélye annak, hogy az ntézet egy negyeéven belül megkapja a könyveket. 3. Egy zövőgép automatkuan megáll, ha legalább egy fonalzakaá történk. Legyen ξ a gép megnuláától az elő fonalzakaág eltelt ő. A ξ-re tett megfgyeléek zernt az exponencál elozláú, várható értéke,5 óra. Mekkora a valózínűége annak, hogy egy munkanap alatt, amely 8 órából áll, a gép egyzer em áll fonalzakaá matt? Exponencál eetben M(ξ)=/λ=,5, így λ=,4,48 3, P( 8) P( 8) e e,48 4,8% a valózínűége annak, hogy az aott munkanapon nem lez fonalzakaá. 4. Egy zövőgép 4 zállal olgozk. Az egye zálak élettartama, tehát amíg el nem zaka, exponencál elozláú, mnen zálra ugyanazzal a λ=/5 paraméterértékkel, é feltehető, hogy a zakaáok egymától függetlenek. Menny a valózínűége annak, hogy a gép fonalzakaá matt a megnulától zámított 3 órán belül megáll? A ξ az -ek zál élettartama. A gép akkor áll le, ha van olyan zál, amely 3 órán belül elzaka, azaz, ha ξ, ξ,, ξ 4 valózínűég változók legkebbke kebb 3-nál. Jelöljük η- vel a ξ, ξ,, ξ 4 valózínűég változók legkebbkét: mn(,,..., 4) A felaatunk a P(η<3) valózínűég meghatározáa. Ez a valózínűég így felírható (felhaználva a zakaáok egymától való függetlenégét): P( 3) P( 3) P(mn(,,..., ) 3) P( 3, 3,..., 3) P( 3) P( 3)... P( P( 3) P( 3) e 3 5 4 e 3) 5 5 4 4 P( 3) ( e ),98,9993 A kereett eemény tehát majnem bztoan (99,993% valózínűéggel) bekövetkezk. 4 5. Egy üzletbe átlagoan 3 vevő érkezk óránként. Menny annak a valózínűége, hogy két egymá után érkező vevő eje között eltelt ő percnél több. Menny a valózínűége, hogy ez az őtartam 3 percnél keveebb? Mekkora a valózínűége annak, hogy ez az őtartam é 3 perc közé ek? Az óránként beérkező vevők zámát Poon-elozláúnak tekntjük. Mvel vevő beérkezée között eltelt ő átlagoan perc, az exponencál elozlá paramétere: λ=/. A kérée valózínűégek: 4 3

. P( ) P( ) e e, 368 3. P( 3) e, 7769 3 3. P( 3) e e e e, 3834 3 6. Egy automatzált gépor hbamente műköéének valózínűége műköé órára,9. Tegyük fel, hogy a műköé ő exponencál elozláú. Számíta k a meghbáoá rátát é a műköé ő várható értékét, valamnt annak a valózínűégét, hogy a gépor a 5. é a. óra között meghbáok. A meghbáoá ráta, vagy az elozlá paramétere: P( ),9 F(),9 F(), e ln,9 8,78 4 M ( ) 39 4 8,78 óra a műköé ő várható értéke. P(5 ) F() F(5) e 4 8,78 e 4 8,78 5, e 4 8,78 5,9 4 8,78,3765 Így 3,765% annak a valózínűége, hogy a gépor a 5. é a. óra között meghbáok. 7. Számíta k az F(x=/) elozláfüggvény értéket! e e F( x) e x e e,63, vagy 63,%. Normál elozlá. Egy vállalatnál az alkalmazottak het bére normál elozláú $ várható értékkel é $ zóráal. Mekkora a valózínűége, hogy egy találomra kválaztott olgozó a) 95 é 35 ollár között kere? b),5 ollárnál többet kere? c) 8 ollárnál keveebbet kere? ) Mekkora het fzetét kapnak a legjobban kereő %-ba tartozó olgozók közül a legkeveebbet kereők? a) 95 é 35 ollár között kere: 35 95 P(95 35) F(35) F(95) ( ) ( ) (3,5) (,5) (3,5) (,5),99975,6946,69 Tehát 69,% annak a valózínűége, hogy valak 95 é 35 ollár között kere. b),5 ollárnál többet kere: 3

,5 P(,5) F(,5) ( ) (,5),89435,565 Vagy,56% a valózínűége annak, hogy,5 ollárnál valak többet kere. c) 8 ollárnál keveebbet kere: 8 P( 8) F(8) ( ) ( ),9775,75 Vagy,75% a valózínűége annak, hogy valak 8 ollárnál keveebbet kere. ) Mekkora het fzetét kapnak a legjobban kereő %-ba tartozó olgozók közül a legkeveebbet kereők? P( x), F( x), F( x), 8 ( x ), 8 u=,84,84 x x=8,4 ollár felett kere a legjobban fzetett %.. Egy vzgálat zernt a felnőtt korú férfak tetmagaága N(74cm 7cm) elozlát követ. Határozza meg annak a valózínűégét, hogy egy véletlenzerűen kválaztott férf tetmagaága: a) nagyobb, mnt 9 cm, b) 7 é 85 cm közé ek, c) mekkora a tetmagaág zóráa, ha tujuk, hogy a férfak 5%-ának a tetmagaága 68 cm alatt van? a) nagyobb, mnt 9 cm, 9 74 P( 9) P( 9) F(9) ( ) (,8),988696 7,34,3% 3. 7 é 85 cm közé ek, 85 74 7 74 P(7 85) F(85) F(7) ( ) ( ) (,57) (,57) 7 7 (,57) (,57),9479,7566,6574 65,74% 4. mekkora a tetmagaág zóráa, ha tujuk, hogy a férfak 5%-ának a tetmagaága 68 cm alatt van? 33

P( 68),5 F(68),5 68 74 ( ),5 ( u),5 ( u),95 u,64 68 74,64 3,66 3. Egy termék élettartama N(3év; év) elozláú. a) Teljeít-e az élettartam azt az elvárát, hogy a évnél korábban meghbáoó termékek aránya legfeljebb % legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatn a várható értéket, ll. a zórát, hogy teljeíték az előírát? c) Termékfejlezté ereményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) elozláal jellemezhető. Mekkora garancál őt ajon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garanca alatt? a) Teljeít-e az élettartam azt az elvárát, hogy a évnél korábban meghbáoó termékek aránya legfeljebb % legyen? 3 P( ) F() ( ) ( ) (),9775,75,8% Nem teljeít az elvárát, hzen a évnél korábban meghbáoó termékek aránya,8%. b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatn a várható értéket, ll. a zórát, hogy teljeíték az előírát? (A várható értéknek nylván nagyobbnak, a zórának peg kebbnek kell maj lenne.) Várható érték változtatáa: P( ) F(), ( ), ( u), ( u),99 u,34,34 3,34év Szórá változtatáa: 3 ( ), 3,34,85 c) Termékfejlezté ereményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) elozláal jellemezhető. Mekkora garancál őt ajon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen tönkre a garanca alatt? 34

x 6 P( x) F( x),5 ( ),5,9 x 6 ( u),5 ( u),95 u,64,64 x 4,5év,9 4,5 év garancát kellene ana a cégnek. 4. A munkaparól kkerülő termék hoza normál elozláú valózínűég változó μ=cm é σ=,cm paraméterekkel. Mekkora annak a valózínűége, hogy egy termék hoza 9,7 é,3 közé ek? Mlyen pontoágot bztoíthatunk,95 valózínűéggel a munkaarabok hozára?,3 9,7 P(9,7,3) ( ) ( ) (,5) (,5),93393,93393,,,8664 Tegyük fel, hogy a munkaarabnak μ=cm-e mérettől való eltérée x cm. Így a feltétel zernt: x x x x P( x x) ( ) ( ) ( ) ( ),,,, x x x ( ) ( ) ( ),95,,, x ( ),975, x,96 x,39, Tehát 95%-o valózínűéggel állíthatjuk, hogy a hozeltéré 4 mm-nél nem lez nagyobb. 5. Valamely zolgáltató vállalathoz naponta beérkező megreneléek ξ záma a tapaztalatok zernt közelítőleg normál elozláúnak teknthető σ= zóráal. Mekkora a megreneléek várható záma, ha tujuk, hogy P ( ),? P( ) ( ), ( ),9,9 3,9 A naponta beérkező megreneléek átlago záma 33. 35

6. Bzonyo típuú ráócöveket, amelyeknek az élettartama normál elozláú, μ=6 é σ= óra paraméterekkel, négyeével obozokba comagolnak. Menny a valózínűége annak, hogy egy lyen obozban lévő 4 cő mnegyke 8 óránál tovább fog műkön? Menny annak a valózínűége, hogy a 4 cő közül kettőt kvéve, az egyk 8 óránál tovább fog műkön a mák meg nem? Annak a valózínűége, hogy egy cő műköé eje 8 óránál nagyobb lez: 8 6 P ( 8) P( 8) ( ) (),84345,58655 A két kérére aanó felelethez fgyelembe kell venn, hogy a 4 cő között azok záma, amelyeknek a műköé eje 8 óránál nagyobb, bnomál elozláú, ahol p=,58655. Így a kereett valózínűégek a bnomál elozlá táblázat egítégével könnyen meghatározhatók: Annak a valózínűége, hogy a 4 cő mnegyke műkök:,5 (táblázatban p=,5; n=4; k=4). Annak valózínűége, hogy a 4 cőből -őt kvéve az egyk tovább műkök, a mák meg nem:,55 (táblázatban p=,5; n=; k=) 7. A Jólfzetünk Rt. új üzeménél megvzgálták a olgozók fzetéét, azt találták, hogy a fzeté N(35Ft, Ft) elozláú. Legnagyobb verenytáruk közelben műköő üzeménél azt tapaztalták, hogy 5 Ft-nál a olgozók legfeljebb %-a kap keveebbet. Teljeít-e az új üzem ezt az elvárát? Ha nem, mekkora legyen a zórá ll. a várható érték hogy teljeíték? A bérfejlezté után megmételve a vzgálatot a fzetéek elozláa N(4Ft, 8Ft). Legfeljebb mennyt kere a cégnél a legrozabbul kereő 5%? 5 35 P( 5) F(5) ( ) ( ),9775,75 Az új üzem nem teljeít az elvárát, ugyan a 5 Ft alatt kereők aránya meghalaja az %-ot, hzen azok aránya,75%. Várható érték változtatáa: 5 új P( 5) F(5) ( ), u=-,34 μ új =384Ft 5,34 új Szórá változtatáa: 5 35 P( 5) F(5) ( ), u=-,34 5 35,34 σ új =8547Ft új új 36

Legfeljebb mennyt kere a cégnél a legrozabbul kereő 5%? 4 P( x),5 F( x), 5 ( x x 4 ), 5 u=-,65,65 8 8 x=68ft, vagy a legrozabbul kereő 5% között 68Ft-ot kere a legjobban fzetett alkalmazott. 8. Export konyak töltéénél az 5 ml alatt palackok aránya legfeljebb 3% lehet. Megvzgáltak egy n= b-o tételt: x =53,4 ml, =6 ml. Határozzuk meg az optmál tölté zntet. Mekkora az aott tételnél a tölté vezteég értéke, ha á= Ft/palack? 5 P( 5),3 F(5) ( ) u=-,88 μ=5,8 az optmál tölté znt. A 6 tölté vezteég mértéke: ( 53,4 5,8) 4 4 46, 64 palackny 5,8 túltölté, amnek a következménye 4664Ft tölté vezteég. 9. A bélzínrolót négyeével comagolják taakokba. A rolók úlya N(5gr., 5gr.) elozlát követ. Mekkora a valózínűége annak, hogy a taak valamenny rolója 55 grammnál nehezebb? Elő lépében azt zámoljuk k, hogy m a valózínűége annak, hogy egyetlen arab bélzínroló úlya nagyobb, mnt 55 gramm. 55 5 P( 55) F(55) ( ) (),84345,58655, vagy 5,86%. 5 Annak a valózínűége, hogy a comagban mn a 4 rolónak a úlya nagyobb, mnt 55 gramm, ennek a negyek hatványa lez:,58655 4,6336, vagy mnözeen,6336% a valózínűége. 37

VI. Beclé. Egy moóporgyárban az egyk aagolóautomata 5g tömegű moóport tölt papírobozokba. A gép által töltött obozokból vett mnta aata: 483g; 5g; 498g; 496g; 5g; 494g; 49g; 55g; 486g. A gép által töltött tömeg normál elozláú, 8g zóráal. Határozza meg a gép által töltött obozok tömegének konfenca ntervallumát 98%-o megbízhatóág znt mellett! várható érték beclée ntervallummal mert elmélet zórá eetén % 8g 483 5 498 496 5 494 49 55 486 x 495,g 9 P( x z / x z / ) n n z z,34 /, 8 8 495,,34 495,,34 3 3 488,98 5,46. Egy vállalatnál 5 kerekeő olgozk, a vállalat zeretné megbecüln, hogy évente átlagoan hány klométert autózk egy kerekeő. Korább felméréekből mert, hogy az egy kerekeő által megtett út normál elozláú 5 km zóráal. Véletlenzerűen kválaztva 5 gépkoct, azt találták, hogy átlagoan 4 km-t futottak egy év alatt. Ajunk 95%-o megbízhatóágú ntervallumbeclét a várható értékre! n=5 x 4km 5km A felaat a várható érték beclée mert alapokaág zórá eetén. P x z / x z / n n 5 5 4,96 4,96 5 5 4 596 5%-o zgnfkanca znten a futott km várható értéke 4 é 596 km között van. 3. Egy gyártó egy bzonyo ntant kávé egy aott napon érvénye kkerekeelm árát zeretné felmérn, ezért orzágzerte véletlen mntavétellel kválaztottak 45 boltot. A felméré után azt találták, hogy a kávé átlagára,95 ollár, 7 cent zóráal. Ajunk 99%-o beclét a várható értékre! 38

n=45 x,95,7 % A felaat a várható érték beclée meretlen alapokaág zórá eetében. * * P x t ( ) ( ) / x t / n n,7,7,95,69,95,69 45 45,95,83,95,83,847,583 %-o zgnfkanca znten az ntant kávé kkerekeelm árának várható értéke,847 é,583 ollár közé becülhető. 4. Egy vezeték nélkül, újratölthető cavarhúzókat gyártó vállalatnál felmérve a cavarhúzók műköé ejét, azt normál elozláúnak találták. 5 cavarhúzó élettartamát megvzgálva az átlag műköé ő 89 óra, a zórá 5 óra. Ajuk meg a várható érték 95%-o konfenca ntervallumát. A cég az új reklámkampányában k zeretné emeln, hogy a cavarhúzók 99%-a egy aott élettartamnál tovább műkök. Maxmum mekkora műköé őt monjon, ha nem akarja becapn a váárlókat? n=5 x 89 5 Az elő felaat a várható érték beclée meretlen alapokaág zórá eetén: * * P x t ( ) ( ) / x t / n n 5 5 89,45 89,45 5 5 89 76,9 89 76,9 863,8 976,9 Az élettartam várható értéke a mntánk alapján 863 é 976 óra közé becülhető 5%-o zgnfkanca znten. A máok felaat egyolal beclé %-o zgnfkanca znten: P x t n 5 89,64 5 856,4 A várható érték %-o zgnfkanca znten bzto nagyobb lez, mnt 856,4 óra. 39

5. Heer-renzerű töltőgépen elő alkalommal töltenek g névlege tömegű újfajta enzme moóport. A töltőgép zóráának meghatározáára 5 elemű mntát vettek, amelynek korrgált tapaztalat zóránégyzete 44g. Várhatóan mlyen zóráal tölthető nagy tömegben a moópor? A felaat a zórá beclée: n=5 g Legyen a zgnfkanca znt 5%! * n n P / 4 44 4 44 39,364,4 87,796 78,68 / * 9,37 6,694 A moópor a megaott mntabel tapaztalatok alapján 5%-o zgnfkanca znten várhatóan 9,37g é 6,694g között zóráal tölthető nagy tömegben. 6. Egy kutató laboratórum valamely 6 éve korban beaanó véőoltá ózának beállítáához véletlenül kválaztott gyermek tetúlyát mérte meg. A tetúly normál elozláú változónak teknthető. Tetúly, kg Gyerekek záma, b 5, 7 4 7, - 9 9, 55, 3 4 3, - 5 7 Özeen Becülje meg 95%-o megbízhatóággal a 6 éve gyermekek várható tetúlyát é a kg-nál úlyoabb gyerekek arányát! a várható tetúly beclééhez zükégünk van a elemű mnta zámtan átlagára é korrgált tapaztalat zóráára, hzen aott mnta alapján kívánunk következtetét levonn a okaágra (a 6 éve gyermekek okaágára) vonatkozóan. Ezek beclée oztályközö gyakorág orból történk a leíró tatztka fejezetben tanult képletek egítégével. 4

x r f x r f 4 6,5 8,5... 7 4,5,5 * 3,5,77 r f ( x x) 4(6,5,5) (8,5,5)... 7(4,5,5) r 99 f * * P x t ( ) ( ) / x t / n n,77,77,5,98,5,98,5,35,5,35 9,7,4 Vagy a elemű mntánk aata alapján a 6 éve gyermekek várható tetúlya 9,7 é,4 kg közé ek 5%-o zgnfkanca znten. A kg-nál nehezebbek arányának beclééhez termézeteen az aránybeclé képletére van zükégünk: p( p) p( p) P p z / P p z / n n Ehhez p=kevező eet/öze eet, vagy p=/=,,,79,,96 P,,96,,798 P,,798,,79,3 P,898 5%-o zgnfkanca znten a kg-nál nehezebb 6 éve gyerekek aránya 3, é 8,98% közé becülhető. 4

7. Egy cővágó automata gépnek mm hozú cőarabokat kell levágna. A gyártáköz ellenőrzé felaata, hogy megállapíta, hogy a gép által gyártott arabok hozmérete megfelel-e az előíráoknak. Előző aatfelvételekből mert, hogy a gép által gyártott cőarabok hoza normál elozláú valózínűég változó 3mm zóráal. A gyártáköz ellenőrzére kválaztottak egy 6 elemű mntát. A cőarabok hoza a mntában: 8 4 94 95 5 94 97 93 5 9 95 94 87 a.) 9%-o megbízhatóág znten ajon ntervallumbeclét a cőarabok hozának várható értékére! b.) A mnta alapján feltételezhető-e (95%-o megbízhatóág znten), hogy a gép zóráa nem halaja meg a korább felvételek orán kapott értéket? Elő lépében a felaat a várható érték beclée mert okaág zórá eetén: P x z / x z / n n 8 4... 87 x 98 6 3 3 98,64 98,64 6 6 98,3 98,3 96,77 99,3 A cőarabok hoza 96,77mm é 99,3mm közé becülhető %-o zgnfkanca znten. Máok lépében egymntá hpotézvzgálatról (zórápróbáról) van zó, ehhez k kell zámítanunk a mnta korrgált tapaztalat zóráát : 6 ( x x) (8 98) (4 98)... (87 98) n 5 6, H : H : A próbafüggvény: n * 5 6, z 3 H : zám 6,44 Megjegyezzük, hogy a felaat b) réze egyolal zórábecléként elvégezhető. 4

4,996 Mvel a zámított érték>krtku érték, ezért elutaítjuk a H hpotézt, vagy a mnta alapján azt látjuk, hogy a gép zóráa meghalaja a korább felvételek orán kapott értéket. 8. Egy vállalat zervezetének átvlágítáakor 5 zervezet alkalmazott közül 5 munkatárat véletlenzerűen kválaztottak, é több kéré mellett megkérezték tőlük, hogy mekkora fzetét tartanának kelégítőnek. A válazok átlaga hav bruttó 5 ezer fornt, 3 ezer fornt zóráal. Becüljük meg 95 é 99%-o megbízhatóággal, mekkora hav bruttó bérkfzetére kell a cégnek felkézülne, ha a kelégítőnek vélt zntet zeretné bztoítan! n=5 x 5 3 α=5% Kétolal: * * P x t ( ) ( ) / x t / n n 3 3 5,96 5,96 5 5 5 4765,33 5 4765,33 3534,76 64765,33 A végereményt megzorozzuk az 5 alkalmazottal, hzen az eg eremény egyetlen alkalmazottra vonatkoztatható: 35 85 4Ft é 397 47 995Ft között hav bruttó bérkfzetére kell 5%-o zgnfkanca znten felkézülne a vállalatnak. α=% * * P x t ( ) ( ) / x t / n n 3 3 5,576 5,576 5 5 5 945,87 5 945,87 3594,3 6945,87 Így 345 89 95Ft é 44 8 85Ft között hav bruttó bérkfzetére kell %-o zgnfkanca znten felkézülne a vállalatnak. 43

9. Mnőégellenőrzé keretében vzgálták egy aott típuhoz tartozó elektromo habverők élettartamát. A megfgyelé ereménye: Élettartam (év) Megfgyeléek záma (b) 5, x<5,5 8 5,5 x<6, 8 6, x<6,5 5 6,5 x<7, 4 7, x<7,5 Özeen 9%-o megbízhatóág znten ajunk beclét az elektromo habverők élettartamára é az élettartam zóráára! Becüljük meg ugyanekkora zgnfkanca znt mellett a 6 évnél hozabb eg műköő elektromo habverők arányát! várható érték beclée meretlen elmélet zórá eetén. Az ntervallumbeclét meg kell, hogy előzze az átlag é a zórá beclée (leíró tatztka). x * r f x r r f,6,5 85,5 85,75... 7,5 6,5 f ( x x) 8(5,5 6,5) 8(5,75 6,5)... (7,5 6,5) r 9 f P ( x t / x t / % n ) n,5,5 6,5,658 6,5,658 6,73 6,37 A habverők élettartama 6,73 é 6,37 év között van %-o zgnfkanca znten. Szórá beclée: P * n n / 9,5 4,34,489,397,499,63 / * 9,5 77,99 44

A okaág zórá,499 é,63 év közé becülhető %-o zgnfkanca znten. Sokaág arány beclée: k 5 4 p( p) p( p) p,7 P n p z / P p z / n n,7,3,7,3,7,64 P,7,64,634 P,7686 Vagy a 6 évnél tovább műköő habverők aránya 63,4% é 76,86% között található %-o zgnfkanca znten. VII. Hpotézvzgálatok Nemparamétere próbák. Egy érmét -zor felobva 5 alkalommal fej 85-zör írá az eremény. Vzgálja meg 5%-o znten azt a hpotézt, hogy az érme zabályo! (α=5%) Illezkeévzgálat χ -próbával: Hpotézek felállítáa: H : zabályo, azaz zkrét egyenlete elozlá H : nem zkrét egyenlete elozlá =,5 DF=-= kr= 3,84 Számított érték meghatározáa: Oztályok f k p k F k fej 5,5,5 írá 85,5,5, 4,5 kr=3,84 < z=4,5 A zámított érték nagyobb, mnt a krtku. A nullhpotézt, =,5 zgnfkanca znten elutaítjuk, vagy az érme nem zabályo.. Egy aott évben az építőpar vállalatoknál bekövetkező halálo baleetek záma a következőképpen alakult: Baleetek 3 4 5 6 7 8 9 záma Vállalatok záma 3 7 6 6 8 9 3 5 Leírható-e a baleetek záma Poon-elozláal? (α=%) llezkeévzgálat 45

=? nem merjük a mntából kell becülnünk Poon-elozlá eetén M()= x (zámtan átlag egítégével becüljük pontbeclé) 3 7 6... 9 3, 3 98 Nullhpotéz felállítáa: H : a baleetek záma =3 paraméterű Poon-elozláú H : a baleetek záma nem =3 paraméterű Poon-elozláú A zámított érték meghatározáához zükégünk van az elmélet gyakorágokra (F(k)), amelyeket az alább táblázat é a Poon táblázat egítégével zámíthatunk k. Éreme az utoló 3 oztályt özevonn tekntettel arra, hogy 8 baleet egyetlen vállalatnál em forult elő. k f(k) p k F(k) 3,5 4,879 7,49 4,637 6,4,95 3 6,4,95 4 8,68 6,467 5 9, 9,88 6 vagy 9,84 8,4 több 98 98 DF=r--=7--=5 =% táblázatból: elm.=9,36 Számított érték meghatározáa: z 3 4,879 4,879 (7 4,637) 4,637 A zámított é a krtku érték özehaonlítáa: Dönté a nullhpotézről: elm.=9,36 >> z=3,76 (9 8,4)... 8,4 3,76 Mvel a zámított érték kebb, mnt a krtku a zámított érték az elfogaá tartományba ek, ezért 9%-o megbízhatóág znten nnc okunk a H -t elutaítan. A baleetek záma moellezhető =3 paraméterű Poon-elozláal. 46

3. Egy prezó tulajonoa zernt a különböző erőégű vlágo örök közül a hölgyek a gyengébb öröket kevelk. Sejtéének gazoláára felmérét végzett, melynek ereménye a következő táblázatban látható. Igaza van a tulajononak? (α=5%) Sör erőége Erő Közepe Gyenge Férf 5 3 Nő 55 35 Függetlenégvzgálat χ -próbával: H : függetlenek (!!!!) H : nem függetlenek =,5 DF=(-) (3-)= kr=5,99 Kontngenca táblázat: tap.gyak elm.gyak Erő Közepe Gyenge Férf 5 3 5. 5.5 3.5 Nő 55 35 5. 5.5 3.5 3 5 65 Számított érték: χ z=,667+,9+,9+,667+,9+,9=3,956 Számított érték kebb, mnt a krtku érték, a H nullhpotézt =,5 zgnfkanca znten elfogajuk, vagy a ör erőége é a nem között nnc özefüggé. 4. Vzgáljuk meg, hogy a Tza Szegenél mért év maxmál vízálláa ugyanazt az elozlát követték-e 876-95 között, mnt 96-tól 975-g! A méterben megaott aatok az alábbak (α=%): Gyakorág 876-95 Gyakorág 96-975 V < 5 5 5 V <6 6 V <7 3 3 7 V <8 3 8 < V 8 6 47

homogentá-vzgálat H : a két őzak maxmál vízálláanak elozláa azono H : a két őzak maxmál vízálláanak elozláa nem azono =, DF=5-=4 kr=7,78 Kontngenca táblázat: C C Total 5 5 7.5 7.5.. 3 3 3 6 3. 3. 4 3 3.5.5 5 8 6 4 7. 7. Total 5 5 tap.gyak elm.gyak Számított érték: χ z=,833+,833+,+,+,+,+,96+,96+,43+,43=,344 Számított érték kebb, mnt a krtku érté, a H nullhpotézt =, zgnfkanca znten elfogajuk, a két őzak maxmál vízálláanak elozláa azono. 5. Egy vállalatnál az átlago het túlóra-kfzetéeket vzgálták. 8 véletlenzerűen kválaztott olgozó aata alapján az átlago túlórafzeté az alább elozlát mutatja: Het túlórabér [font] munkáok záma T < 9 T < 9 T < 5 7 5 T < < T 3 Leírhatók-e a het-túlórakfzetéek normál elozláal? Illezkeévzgálat H : normál elozlá N(?;?) H : nem normál elozlá A hpotézek felállítáához zükég van az átlag é a zórá becléére (lá: leíró tatztka):,5 9,5 9...,5 3 4 átlag: x 3 8 8 48

* 9 (,5 3) 9 (,5 3)... 3(,5 3) zórá: 8, 886 *=,98 8 Így már pontoan meg tujuk fogalmazn a hpotézenket: H : a het túlóra kfzeté normál elozláú N(3,;,98) paraméterekkel H : a het túlóra kfzeté nem N(3,;,98) paraméterű normál elozláú becült paraméterek záma: =, DF=r--=5-3= kr=4,6 Számított érték meghatározáa: Oztályok f k p k F k 9,5,97,59 9,75 9,43 4,865 5 7,38 3,483 5,99 5,47 9,336,89 3,943,7545!! 8 8 48,36 DF=r--=4-3= kr=,7 z=48,4 A zámított érték nagyobb, mnt a krtku, a nullhpotézt =, zgnfkanca znten elutaítjuk, azaz a het túlóra kfzeté nem teknthető N(3,;,96) normál elozláúnak. 6. Egy termelé folyamatban 4 gép műkök 3 műzakban. Véletlen mntát véve a hbá termékekből, gépek é műzakok zernt coportoították őket. Az ereményt az alább táblázat mutatja. Műzak Gépek A B C D I. 8 9 II. 6 9 3 III. 9 4 9 Van-e kapcolat a elejtnagyága zernt a gépek é műzakok között? (α=%) Függetlenégvzgálat χ -próbával: H : függetlenek (!!!!) H : nem függetlenek 49

=, kr=,645 DF=(3-) (4-)=6 Kontngenca táblázat: tap.gyak elm.gyak Műzak I. gépek Gyak. A B C D 8 9 38,3 8,4,5 8,4 II. 6 9 3 49 4,,85 3,,85 III. 9 4 9 44,76 9,74,76 9,74 Gyakorág 38 9 35 9 3 Számított érték: χ z=,95+,7976+,455+,44+,55+,35+,763+,74+,453+,56+ +,467+,56=,57 Számított érték kebb, mnt a krtku érték, a H nullhpotézt =, zgnfkanca znten elfogajuk, vagy a gépek é a műzakok függetlenek egymától. Paramétere próbák. Egy lter A márkájú benzn felhaználáával öt haonló gépkoc azono feltételek mellett,5,,3,,,,7 é,8 km-t tettek meg. Ugyanezek az autók a B márkájú benznnel,3, 9,8,,4,, é,7 km-t mentek. Vzgálja meg, hogy az lrel megtehető km-ek zámát tekntve az A márka jobb-e, mnt a B? kétmntá próba, a mnták nem függetlenek! páro t-próba A benzn B benzn különbég,5,3,,3 9,8,5,,4 -,,7,,6,8,7, 5

H : A = B ( =) H : A > B ( >) n=5,,5,,6,, 84 5 (,,84) (,5,84) 4... (,,84),43 DF=4 α=5% t krt =,3 t z / n,84,43/ 5,335 H -t elfogajuk 95%-o megbízhatóág znten, vagy a két márka között nncen különbég.. Egy zárazelemeket gyártó vállalatnál megvzgálták egy új típuú elemfajta élettartamát. A korább elemek élettartama 99 óra volt. Véletlen mntavétellel kválaztva új elemet, az átlago élettartamuk 3 óra volt, 8óra zóráal. Valóban megnőtt az elemek élettartama? Bár σ nem mert, e n>3 egymntá z-próba H: =99h H: >99h α=% z α =,33 n= x 3h *=8h 3 99 zz,77 8/ Mvel z z <z α, ezért H -t elfogajuk 99%-o megbízhatóág znten, azaz nem nőtt meg az elemek élettartama. 3. Egy betongyárban 4 cementgyárból (A, B, C, D) váárolnak cementet. A cement mnőégét próbakockák gyártáával ellenőrzk. A beérkező 5-a cement zállítmányokból mntát véve a próbakockák nyomózlárág aata [kg/cm -ben] az alábbak A zállító: 5, 76, 668, 76, 58 B zállító: 56, 664, 64, 586, 59 C zállító: 54, 684, 7, 6, 64 D zállító: 566, 744, 546, 6, 67. Van-e különbég a zállítók között? 5

Varancaanalíz, előtte Cohran-próba (!) H : A = B = D = C H : legalább egy eltér α=5% n=5 f(df)=4 r=4 g krt =,63 n átlag * A 5 64,4 9, B 5 594, 53,535 C 5 638, 7,44 D 5 67,6 8,6 max 9, g zámított = g, 37... 9, 53,535 7,44 8,6 r H -t 95%-o megbízhatóág znten elfogajuk. Mehetünk tovább a varancaanalízre. H : A = B = C = D H : legalább egy eltér Négyzetözeg neve Coportok között * Négyzetözegek Szabaágfok Szórá beclée r r- k n x x F érték k / b p-érték p Coporton belül ** r n xj x n-r b j r n Telje x x j j - - n- - - - A coportok között négyzetözeg kzámítáához zükég van a főátlagra, ezt peg a rézátlagok egítégével könnyen előállítható, e úlyozn kell: 5 64,4 5594 5 638 5 67,6 x 65 A coportok között négyzetözeg: r n x x 5 (64,4 65) 5 (594 65) 5 (638 65) 5 (67,7 65) 687, 5 A coportokon belül négyzetözegek az egye coportokhoz tartozó zóráok egítégével könnyen zámítható, a zórá képlete: 5

n j ( x j x ) n, a felaatunk, hogy a gyök alatt lévő tört zámlálóját előállítuk mnen coport eetében a már kzámolt zóráok egítégével ( x x ) ( n ) A bezállító coporton belül négyzetözege így: 33938,5 B bezállító: 464 C bezállító: 9848,3 D bezállító: 683,5 Ez özeen: 9534,3 Mnen renelkezére áll a táblázatunkhoz, é a végő próba elvégzééhez: Négyzetözeg Négyzetözegeágfok Szaba- Szórá F érték p-érték neve beclée Coportok 687,5 4-=3 k =9,75 k / b = p között *,4 Coporton 9534,3-4=6 b =57,9 - - belül ** Telje 9846,55 -=9 - - - n j j α=5% DF zámláló =3 DF nevező =6 F krt =3,4 Mvel F z =,4<F krt =3,4 H -t elfogajuk 95%-o megbízhatóág znten, azaz a bezállítóktól zármazó próbakockák mnőége (nyomózlárág aata) között nnc különbég. 4. Kétféle olat (A é B) ph értékét zeretnénk özehaonlítan. Hatelemű mntát elemezve az A olatból 7,5-e átlago ph értéket kaptunk,4 zóráal. Ötelemű mnta alapján a B olat átlago ph értéke 7,49 volt,3 zóráal. Vzgálja meg, hogy van-e különbég a két olat ph értékében! Kétmntá t-próba, amely előtt F-próbát kell végeznünk: H : A = B H : A < B α=5% DF zámláló =4 DF nevező =5 F krt =5,9 F zám,3,4,78 H -t 95%-o megbízhatóág znten elfogajuk, rátérhetünk a t-próbára: 53

H : A = B H : A B =,5 DF=6+5-=9 t / =,6 p ( n * ) ( n ) n n * 5,4 4,3 5 6,775 x x 7,5 7,49,3 tz,78,84 p,775 ( ) n n 6 5 H -t 95%-o megbízhatóág znten elfogajuk, azaz nnc különbég a két olat ph értéke között. 5. Egy főváro kerületben a májuában házaágot kötő párok közül véletlenzerűen kválaztottak párt, é a párok mnkét tagját külön-külön megkérezték, hogy hány gyermeket terveznek. Az eremények a következők (a tervezett gyermekek záma a házapárnál): Házapár 3 4 5 6 7 8 9 orzáma Feleég 4 3 5 Férj 3 3 3 3 Vzgáljuk meg, hogy 5%-o zgnfkanca znten van-e különbég a feleég é a férj által tervezett gyerekzám között! Kétmntá, páro t-próba Képezzük páronként a különbégeket: Házapár 3 4 5 6 7 8 9 orzáma Feleég 4 3 5 Férj 3 3 3 3 - - - H : μ férj =μ feleég (μ =) H : μ férj <μ feleég (μ >) A különbégek átlaga, é zóráa:... 6,5 (,5) (,5)... (,5),67 DF= α=5% t krt =,796 54

t z / n,5,67 /,48 H -t elfogajuk 95%-o megbízhatóág znten, azaz nnc különbég a férj é a feleég által vállaln kívánt gyerekzám között. 6. Az előző pélában zereplő hőmérékletzabályozók mnőítéével kapcolato vzgálatokat a gyártó é vevő jelenlétében vett véletlen mntákon végezték, é a méréeket mnkét műzeren azono zemély a KERMI egy zakembere végezte. A vzgálatorozat elő tíz műzerén végzett méréének ténylege ereménye az alábbak voltak (Gy: a gyártó műzerén, M: a megrenelő műzerén mért értékeket mutatja): 3 4 5 6 7 8 9 Gy 9,7 7,4, 8,8,4 9, 7,8 8,9,7 9,8 M,9 9,8,4, 3,4 3,6 9, 8,9 4,5,6 Van-e zgnfkán eltéré a két méréorozat ereménye között %-o zgnfkanca znten? A mnta páro, ugyan a méréeket mnkét műzeren azono zemély végezte. Képezzük a különbégeket: 3 4 5 6 7 8 9 Gy 9,7 7,4, 8,8,4 9, 7,8 8,9,7 9,8 M,9 9,8,4, 3,4 3,6 9, 8,9 4,5,6 m-gy,,4,4,3 4,6,3,8,8 H : ( ) gy H : ( ) gy m m A különbégek átlaga é zóráa:,,4,4...,8 5,8,58 (,,58) (,4,58) 9... (,8,58),3 DF=9 α=% t krt =,8,58 tz 4,6 / n,3/ Mvel t z >t krt, ezért H -t 99%-o megbízhatóág znten elutaítjuk, vagy van zgnfkán eltéré a két méréorozat ereménye között. 55

7. Egy automata gépor által töltött obozokból elemű mntát vezünk. A mntába került oboz grammban kfejezett töltőúlya a következő: 55g, 4g, 45g, 53g, 49g, 5g, 5g, 55g, 45g, 46g. Ellenőrzzük, hogy a gépor teljeít-e a 5g várható értékű pecfkácót %-o zgnfkanca znten! egymntá t-próba, n<3 H : μ=5 H : μ 5 55 4... 45 46 49 x 49, t t z kr (55 49,) (4 49,) x 49, 5,63 / n 4,5/ t t 3,5 /,995... (46 49,) mvel 3,5,63 3,5 H Azaz %-o zgnfkanca znten a gépor teljeít a 5g várható értékű pecfkácót. 8,9 9 4,5 8. Két kolában (A é B) a tanulók ntellgenca zntjét haonlítják öze. Mnkét kolából 5-5 fő véletlen mntát vettek. A két mnta aataból a zámítáok ereménye: x 7 x A A B 8 B 3,4 Vzgáljuk meg %-o zgnfkanca znten, hogy van-e eltéré a két kola tanulónak ntellgenca zntje között!. F-próba H H F F F z kr z : A : A A B,66 F kr B B 8 3,4 H,84 56

. kétmntá t-próba H : t t t p H : z kr z 48 43,4 48 xa xb p ( ) n n t t A kr A B B A,43 H B 5,78 7 5,78( 5 ) 5 5,4,4 %-o zgnfkanca znten nnc eltéré a két kola tanulónak ntellgenca zntje között. 9. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt,5 ltere üvegekbe. A gyártáköz ellenőrzé orán véletlen mntát vettek mnkét gépről. A mntákra vonatkozó eremények: Gép Mntaelem-zám Átlago tölté mennyég, ml Tölté tömeg zóráa, ml I. 3 53 8, II. 37 495 7,6 Dönte el 5%-o zgnfkanca znten, hogy teknthető-e azononak a két gépen a tölté tömeg zóráa é átlaga! a) zóráok egyezőégének vzgálata: F-próba H F F F H : z kr z : A A A B,79 F kr B B 8, 7,6 H,64 A két gépen a tölté tömeg zóráa azononak teknthető 5%-o zgnfkanca znten. b) átlagok egyezőégének vzgálata: kétmntá z-próba, mvel n A, n B >3 57

H : A H : A xa xb 53 495 zz 8, 7,6 A B n n 3 37 A B 5% ( z),95 z,64 zz zkr H Mák _ megolá : H z 4,88 B B : H : 5% /,5 ( z),975 z z z z A A B B,96 H kr 8 4,88,,56 kr,96 A két gépen a tölté tömeg átlaga nem teknthető azononak 5%-o zgnfkanca znten.. Egy kutatá orán azt vzgálták, hogy az üzlet környezetet hogyan ítélk meg az egye vállalkozáok vezető. A kérőíve vzgálat orán a vállalkozáok mérete alapján 3 coportba (A, B, C) orolták a megkérezett vezetőket, akk válazat egy ponto kálán értékelték. Az értékelé kálán kapott pontzámok normál elozláúnak teknthetők. A vzgálat orán mnhárom kategórában 8 vállalkozát kéreztek meg. Vállalkozá méret A. K- é B. Közepe vállalatok C. Nagyvállalatok mkrovállalkozáok 45 63 6 39 66 65 5 6 6 43 68 74 5 7 69 43 64 66 47 58 7 48 6 69 Átlag 46 64 67 Korrgált tap. zórá 4,375 4,567 4,34 Vzgálja meg, hogy a vállalatméret zernt coportok között van-e eltéré a kapott pontzámok között! A péla kérée az átlagpontzámok özevetéére rányul. Több mntáról, lletve mntán belül coportokról van zó, így a várható érték özehaonlítáa egyzere oztályozáú varanca-analízel végezhető el. A varanca, mnt próba elvégzééhez előfeltétel, a vzgált jellemző normaltáa, valamnt az alapokaág zóráok egyezőége. Az előbb feltételről zól a péla, az utóbbról nem. Ezért a varanca-analíz elvégzée előtt a zóráok egyezéét 58

vzgáln zükége. Ehhez Cohran-próbát válazthatunk, mvel a coportokon belül a mntaelemek záma azono. A péla megata a coportok átlagát é zóráát, így azokat nem kell mot kzámoln. Cohran-próba H : a zóráok nem különböznek H : a legnagyobb zórá (. rézmnta, a B coport) különbözk a többtől =,5 DF=n-=8-=7 r=3 g kr =,68 max * =,857 g max... r g z =,857/(9,43+,857+8,857) =,354 A zámított g érték kebb, mnt a krtku érték, így 5%-o zgnfkanca znten elfogajuk H -t, vagy az alapokaág zóráok megegyezőeknek teknthetők. Varanca-analíz: Belő zórá: H : A = B = C H : legalább az egyk várható érték eltér a többtől A főátlag: 59 pont r n xj x j Ennek kzámítáát mot a coportok megaott zóráanak vzafejtéével végezzük el. SSB (8 ) Külő zórá: * * * (8 ) (8 ) 7 4,375 4,567 4,34 4 b = 4/(4-3) = 9,69 r n x x A SSK 8(46 59) 8(64 59) 8(67 59) 64 k = 64/(3-)= 3 Az F z zámított értéke: F z = k / b = 5,6 Az F elozlá zernt krtku érték meghatározáa: =,5 A zámláló zabaágfoka: 3-= A nevező zabaágfoka: 4-3= B C 59

A krtku érték: F kr =3,47 Dönté: Mvel F z >>F kr, a H nullhpotézt 5%-o zgnfkanca znten elutaítjuk, azaz az átlagok ll. legalább egy átlag zgnfkánan különbözk a többtől. (Itt ez értelemzerűen a k- é mkrovállalkozáok coportja.) Vagy az üzlet környezet megítélée a különböző méretű vállalkozáok vezető körében eltérőnek teknthető. Paramétere é nemparamétere felaatok. Véletlenzerűen kválaztott b mkrohullámú ütő élettartam zernt megozláát mutatja a következő táblázat: Élettartam, év b -5 8 5-6 8 6-7 44 7-8 5 8-5 Özeen A mntából zámított jellemzők: x 6,36év,67év a) 5%-o zgnfkanca znten ellenőrzze azt az állítát, hogy mkrohullámú ütők élettartama normál elozlát követ! b) Teljeül-e 5%-o zgnfkanca znten az a mnőég előírá, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy halaja a 6 évet! a) Illezkeévzgálat H : a mkrohullámú ütők élettartama N(6,36;,67) elozlát követ H : a mkrohullámú ütők élettartama nem N(6,36;,67) elozlát követ Élettartam, év f p F χ zám -5 8,,64,88 5-6 8,75 3,7,67 6-7 44,5344 64,3 6,3 7-8 5,637 9,64,45 8-5,73,876 7,7 Özeen 47, 6

5 6,36 P( 5) F(5) ( ) (,3) (,3),978,67,,% 6 6,36 P(5 6) F(6) F(5) F(6), ( ),,67 (,54), (,54),,754,,75 7,5% 7 6,36 P(6 7) F(7) F(6) ( ),945 (,95),945,67,88944,945,5344 53,44% 8 6,36 P(7 8) F(8) F(7) ( ),88944 (,44),88944,67,99656,88944,637 6,37% P( 8) P( 8) F(8),99656,73,73% zám kr n ( f 5,99 F ) F (8,64),64 (8 3,7) 3,7 6,3,45 7,7 47, DF r l 5 zám kr H A mkrohullámú ütők élettartama 5%-o zgnfkanca znten nem N(6,36;,67) elozláú. b) PARAMÉTERES! egymntá z-próba, mert n>3 H H : 6 : 6 x 6,36 6 zz 5,9,67 n 5% z ( z),95 z z kr z z,64 H kr,64 5%-o zgnfkanca znten az élettartam átlaga meghalaja a 6 évet. 6

. Egy örgyártó vállalatnál a ör névlege térfogata 5ml kell, hogy legyen, é a térfogat zóráa legfeljebb ml lehet. Egy elemű véletlen mntából ellenőrzk a zállítmányt. A mnta aata a következők: Térfogat, ml b -48 5 48-49 49-5 3 5-5 4 5-5 6 5-5 Özeen A mntából zámított jellemzők: x 499,ml,6ml a) 5%-o zgnfkanca znten teztelje azt a hpotézt, hogy a betöltött ör térfogat zernt elozláa normálnak teknthető! b) A mnta alapján ellenőrzze az átlago töltőúlyra vonatkozó hpotéz teljeüléét! a) Illezkeévzgálat H : a ör névlege térfogata N(499,;,6) elozlát követ H : a ör névlege térfogata nem N(499,;,6) elozlát követ Térfogat, f p F χ zám ml -48 5,643 6,43,38 48-49,75 7,5,474 49-5 3,97 9,, 5-5 4,77 7,7,5 5-5 6,464 4,64,6 5-5,485 4,85,464 Özeen Ahol f a tapaztalat gyakorág, F peg az elmélet gyakorág (F =p Σf ). 6

48 499, P( 48) F(48) ( ) (,5) (,5),935745,6,643 6,43% 49 499, P(48 49) F(49) F(48) F(49),643 ( ),643,6 (,7),643 (,7),643 (,76437),643,35763,643,75 7,5% 5 499, P(49 5) F(5) F(49) ( ),35763 (,7),35763,6,579,35763,9 9,% 5 499, P(5 5) F(5) F(5) ( ),579 (,86),579,6,855,579,775 7,7% 5 499, P(5 5) F(5) F(5) ( ),855 (,66),855,6,95543,855,4644 4,64% P( 5) P( 5) F(5),95543,48457 4,85% n ( f F ) (5 6,43) zám F 6,43 kr 7,85 DF r l 6 3 zám kr H ( 7,5) 7,5,,5,6,464,444 5%-o zgnfkanca znten a ör névlege térfogata N(499,;,6) elozlát követ. b) PARAMÉTERES! egymntá z-próba, mert n>3 H : 5 H : 5 x 499, 5 zz,74,6 n 5% z kr z z kr / z z (,975) z z kr kr,96,96,74,96 H 5%-o zgnfkanca znten az átlago tölté térfogat 5ml. (Megjegyzé: az ellenhpotéz lehetne μ<5, mvel a mnta alapján az átlag 499,.) 63

VIII. Korrelácó- é regrezóelemzé, őorelemzé Iőorok elemzée. Venégek zámának alakuláa egy portcentrumban: Év Negyeév Látogatók záma (ezer fő) 996 I. 4 II. 68 III. 4 IV. 88 997 I. 46 II. 74 III. 4 IV. 76 998 I. 54 II. 76 III. 44 IV. 7 999 I. 54 II. 8 III. 5 IV. 76 I. 5 II. 86 III. 56 IV. 8 Ábrázolja az őor aatat! Számíta k é ábrázolja a mozgóátlagoláú tren értéket! Számíta k a zezonaltát jellemző mutatózámokat! Az aatokat ábrázolva látható, hogy zezonál ngaozá található az aatorban. Jellemzően a III. negyeévekben több látogató jön a portcentrumban. Az eltéréek kb. azono nagyágúak, így célzerű az atív moellt válaztan. 5 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 64

Mvel negyeéve aatok métlőnek az aatorban, 4 tagú mozgóátlagokat képzünk a zezonál ngaozáok kmítáára. A centírozott mozgóátlagokat az alább táblázat tartalmazza (pélaként az elő mozgóátlag értéke: (,5 4+68+4+88+,5 46)/4 = 85,5): N.év. y cma(4) y-cma(4) I. 4 II. 68 III. 4 85,5 56,5 IV. 88 86,75,5 I. 46 87,5-4,5 II. 74 86 - III. 4 85,5 56,5 IV. 76 86,75 -,75 I. 54 87,5-33,5 II. 76 86,75 -,75 III. 44 86 58 IV. 7 86,75-6,75 I. 54 88,5-34,5 II. 8 89,75-7,75 III. 5 9,5 59,75 IV. 76 9,5-4,5 I. 5 9,75-39,75 II. 86 93-7 III. 56 IV. 8 A mozgóátlagok enyhén emelkeő alaprányzatot mutatnak. A zezonál eltéréek meghatározáára képezzük a tren, azaz a mozgóátlagok, é a megfgyelt aatok különbégét. (Táblázat utoló ozlopa.) Az egye negyeévekben az átlago eltéré a trentől ( I = (-4,5-33,5 34,5 39,75)/4 = -37,875, am azt jelent, hogy az elő negyeévben átlagoan 37.87,5 látogatóval keveebb zokott jönn) I. -37,875 II. -9,375 III. 57,6875 IV. -,875 Korrekcó tényező,34375 Korrgált zezonál eltéré: I. -37,4875 II. -9,69375 III. 57,4535 IV. -,4875 65

Az egye negyeévek zezonál eltéenek átlaga,344, am -tól nagyobb, ezért ezzel az értékkel korrgáljuk a zezonnexeket. Az így kapott zezonál eltéréeket haználhatjuk a zezonál ngaozáok jellemzéére.. Egy kerekeelm vállalat forgalmának alakuláa (mft): Ábrázolja az őor aatat! Negyeév Év 998 999 I. 6 II. 8 4 8 III. 3 36 IV: 7 4 53 Számíta k é ábrázolja a mozgóátlagoláú tren értéket! Számíta k a zezonaltát jellemző mutatózámokat! Az aatokat ábrázolva látható, hogy zezonál ngaozá található az aatorban. Jellemzően a IV. negyeévekben a legnagyobb a forgalom, maj az elő negyeévben jelentően vzaek. Az eltéréek azonban egyre növekvő mértékűek az ő előrehalaáával, ezért célzerű a multplkatív moellt haználn. 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 A mozgóátlagok enyhén emelkeő alaprányzatot mutatnak. A zezonnexek meghatározáára képezzük a tren, azaz a mozgóátlagok, é a megfgyelt aatok hányaoát. (Táblázat utoló ozlopa.) Az egye negyeévekben az eltéré a trentől az alább táblázatban található. Pélául I = (,847+,754)/ =,775, am azt jelent, hogy az elő negyeév forgalma 77%-a az átlago értéknek. (Megjegyezzük, hogy néhány zakroalom a zezonál eltéréek kzámoláára multplkatív moellnél a mértan átlagot javaolja, e a tárgy keretében a zámtan átlaggal történő zámolát alkalmazzuk.) 66

Sz. y cma(4) y/yátl. I 6 II 8 III,5,353 IV 7,5, I 4,5,847 II 4 6,875,893 III 3 8,75,435 IV 4 9,5,3559 I 3,75,754 II 8 33,5,8453 III 36 IV 53 I,775 II,8695 III,394 IV,7795 Átl.:,989 Korrgált zezonnexek: I,7785 II,8787 III,58 IV,9 Az egye negyeévek zezonnexenek átlaga,989, am -től eltérő, ezért ezzel az értékkel korrgáljuk a nyer zezonnexeket. Az így kapott zezonnexeket haználhatjuk a zezonál ngaozáok jellemzéére. 67

Kétváltozó lneár korrelácó- é regrezóelemzé. Egy elemű mnta alapján vzgálták a Suzuk Sean.3GL típuú gépkock életkora é elaá ára között kapcolatot. Életkor (év) 3 6 4 4 5 7 Elaá ár (ezer Ft) 7 8 35 6 5 55 75 3 7 Határozza meg a két mérv kapcolatát leíró lneár regrezófüggvényt! Számíta k a kovarancát, a lneár korrelácó együtthatót, a regrezóbeclé relatív hbáját! Teztelje a regrezófüggvényt 5%-o zgnfkancaznten! Becülje meg a 8 éve gépkock elaá árát 95%-o megbízhatóág znten! A mnta aatat az alább táblázat egítégével olgozzuk fel. A zámítáok lépée é tovább rézlete a táblázat után találhatóak. x y x y x y x y ŷ y yˆ e 3 7 -,3 93-7,9,9 8649 653,4 66,58 443,9 8 -,3 73-397,9 5,9 999 89,3-9,34 86,8 6 35,7-77 -747,9 7,9 7679 389,5-39,54 563,4 4 6,7-7 -8,9,49 79 565,5 34,54 93, 4 5,7-7 -88,9,49 69 565,5-65,46 485, 5 55,7-77 -3,9,89 599 477,5 7,5 556,3-3,3 373-3,9,89 399 97,3 8,7 6839,3 75 -,3 3-8,9 5,9 59 89,3-79,34 694,8 7 3 3,7-37 -9,9 3,69 699 3,6 -,58,5 7 -,3 73-94,9,69 539 74,4-4,38 7,3 Öz. 33 67-43 48, 446 -,3 344 A kétváltozó kapcolatban értelemzerűen az elaá árat tekntük függő változónak, amelyet a gépkoc életkorával kívánunk magyarázn. A zokáo jelölérenzer alapján a gépkoc évben kfejezett életkorát jelöljük x változónak, az elaá ára y változónak. A fent táblázatban a megaott mnta aatat az elő két ozlopban tüntetjük fel, maj azok utoló orban történt özegzéüket követően kzámoljuk az átlagokat: n= x 33 x 3,3 y 67 y 67 Az átlagok felhaználáával zámíthatjuk a x é y eltéréeket, azok zorzatat ( x y ) é négyzetet. ( x, y ). Ez utóbbak legaló orban történő özegzéével a, x y x, y mennyégeket kapjuk meg. Ezek olyan mellékzámítáok, melyek a továbbakban 68

zámított jellemzők könnyebb kalkulácóját egítk elő. Előként a regrezó egyene paraméteret határozzuk meg: b n x n x y x y x = -43/48, = -87,96 A b regrezó paraméter (a regrezó egyene mereekége) megmutatja, hogy a magyarázó változó egyégny változáa mekkora változát okoz az ereményváltozóban. Ez ebben a pélában azt jelent, hogy az egy évvel őebb zemélygépkock várhatóan 87 96 fornttal leznek olcóbbak. b y x = 67+87,96*3,3 = 97,3 b A b paraméter (vagy tengelymetzet paraméter) azt mutatja meg, hogy az x= pontban mekkora a regrezó egyene értéke, vagy mlyen magaan metz a regrezó egyene a koornáta renzer függőlege (y) tengelyét. A b paraméternek cak akkor van gyakorlatban értelme, ha a regrezó egyenet az x= pont körül értelmezhetjük. Ebben a pélában ennek van értelme. A b azt fejez k, hogy a nulla éve (x=) korú gépkock ára a regrezó moellünk zernt 97,3 ezer fornt. Ezek alapján felírhatjuk a regrezó beclőfüggvényt: yˆ 97,3 87, 96x A regrezó beclőfüggvény alapján elkézíthető a táblázat utoló három ozlopa. Ezek közül az elő a regrezó beclőfüggvénynek az egye x értékhez tartózó becléet tartalmazza. A máok ozlopban a ténylege y értékek é azok beclée között eltérét, vagy a maraékváltozó értéket, a rezuumot zámítjuk. ( e y yˆ ) Az utoló ozlopban peg a rezuumok négyzete zerepel. ( e ) Kovaranca zámítáa: n x y x y cov( x, y) = -43, n n A kovaranca a két vzgált változó együttmozgáát zámzerűít. A gépkock életkora é elaá ára között kovaranca -43,. Ennek előjele negatív, am azt jelent, hogy a két változó ellentéte mozgáú. A lneár korrelácó együttható zámítáa: 69

r xy cov( x, y) var( x) var( y) x x y r = -43/gyök(48,*446) = -,959 y A korrelácó megmutatja a két változó között kapcolat zoroágát. Mvel a zámított korrelácó - közelében van, megállapítható, hogy egy elég erő ellentéte rányú kapcolat van a gépkock kora é elaá ára között. A regrezóbeclé relatív hbáját két lépében határozhatjuk meg. Előzör a regrezó beclé hbáját (az u.n. tanar hbát) határozzuk meg ( e ), maj abból relatív zórát képezve kapjuk meg a regrezó beclé relatív hbáját. n e e = 63,68 eft n A regrezó beclé hbája ( e ) azt mutatja meg, hogy az y változó egye értéke átlagoan mennyre ngaoznak a mnta alapján elkézített regrezó becléekhez képet. e Ve,39 y A regrezó-beclé relatív hbája zntén a regrezó beclé hbáját aja meg, e az y változó átlago értékéhez vzonyítottan. A regrezó együttható teztelée orán azt vzgáljuk egy t-próba egítégével, hogy a mntából zámított b regrezó paraméter érteke zgnfkánan különbözk-e nullától. Ugyan ha a nullától nem különbözk, vagy elképzelhető, hogy mntavétel hba folytán kaptunk nullától különböző értéket, akkor a két változó között nnc kapcolat. Ez azt jelentené, hogy regrezó moellünknek nnc értelme. H H A : : próbafüggvény t b b z móon írható fel, amely gaz nullhpotéz b b eetén DF n zabaágfokú t (Stuent) elozlát követ. Amennyben a t-próba zámított értéke az elutaítá tartományba ek, vagy a H alternatív hpotézt fogajuk el, úgy való lneár regrezó özefüggét tételezhetünk fel a gépjárművek életkora é az elaá áruk között. A b regrezó együttható tanar hbája ( b ) a következőképpen zámítható k: b e n x = 9,8 7

DF n 8 5% A hpotézvzgálatot kétolal móon végezzük el: t DF) t ( DF 8),3 t krt / (, 975 t z b b = -87,96/9,8 = -9,58 <-,3 b b H -t elutaítjuk. A regrezófüggvény b együtthatója különbözk nullától. A gépkock életkora é az áruk között özefüggé van. A 8 éve gépkock elaá árának beclée: Előzör kézítük el a regrezó beclőfüggvény egítégével a 8 éve gépkock árának pontbecléét. y ˆ 97,3 87,96x 97,3 87,968 3,6 A felaat zernt azonban 95 %-o megbízhatóágú ntervallumbeclét kell kézíten a 8 éve gépkock árára. Ez azt jelent, hogy a 8 éve gépkock átlago árát zeretnénk megtun. Az ntervallum közepét az előbb zámított pontbeclé aja, a konfencantervallumot az Y változó x=8 eetén becülhető átlago értékének tanar hbájából a következőképpen zámoljuk: x x (8 3,3),9 yˆ ˆ 63,68 63,68 * e y8 n x 48, 48, yˆ t yˆ DF n 3,6,347,6 3,6 3,6 M yˆ x 8 33,6 47,6 A 8 éve gépkock árának várható értéke 3,6 é 33,6 ezer fornt között van 95%-o megbízhatóággal. Amennyben a péla zövegét úgy értelmezzük, hogy egy konkrét 8 éve gépjármű korát zeretnénk megbecüln, akkor a Y változó x=8 helyen vett tanar hbáját egye értékekre a következők zernt zámítjuk: Yˆ * e n x x x Yˆ 8 63,68,9 48, 79,5 Az egye értékekre vonatkozó konfenca-ntervallumot az előbbhez haonlóan zámoljuk a mot zámított tanar hba felhaználáával: yˆ t DF n Yˆ 7

3,6,379,5 3,6 83,7 3 Y 397 8 Egy 8 éve gépkoc ára 95%-o megbízhatóággal 3,6 é 33,6 ezer fornt között várható.. Klenc kerekeelm vállalatnál vzgálták az árbevétel é az eremény között kapcolatot. Árbevétel (x) Eremény (y) mlló Ft 44 469 4 58 4 644 75 5 89 35 999 44 8 55 6 5 Imertek továbbá az alább rézeremények: Rézeremények 48 x y x y 78985 88 yˆ y 47,5 y y 88 a) Írja fel a lneár regrezófüggvényt é értelmezze a b paramétert! b) Határozza meg, hogy a bruttó árbevétel hány zázalékban magyarázza az eremény zóróáát! c) Vzgálja meg az eremény árbevétel-rugalmaágát az átlago znten! Értelmezze az ereményt! ) Ajon konfencantervallumot 95%-o megbízhatóág znten az mlló Ft-o árbevételhez tartozó eremény nagyágára! e) Vzgálja meg, hogy a regrezófüggvény zgnfkán-e! 7

a) Regrezó egyene paraméterenek kzámítáa b n x n x y y=-,65+,5x x y x b y x b b) A etermnácó együtthatót, az árbevétel magyarázó erejét az eremény zóróáában a következőképpen határozhatjuk meg: ŷ e SSR SSE r x, y = SST SST SST r y n y y SSE SST n y n y yˆ SSR y y n y y n ˆ SSE y yˆ 47,5 88,978 Az eremény zóróáát 97,8 %-ban magyarázza az árbevétel. A etermnácó együtthatót kétváltozó lneár regrezó eetén a korrelácó együttható négyzeteként zámíthatjuk. c) Az eremény árbevétel zernt rugalmaágát zámoljuk x átlago értéke mellett. b x b x Elyˆ, x yˆ b b x Az x -ot a regrezó beclőfüggvénybe helyetteítve eetén y értékét kapjuk El b x y 8,5 3 yˆ, x, 39 x =8 y =3 b =,5 Az eremény rugalmaága az árbevétel zernt x =8 pont körül úgy alakul, hogy az árbevétel %-o változáára az eremény,39%-kal változk. ) Az x= mlló fornto árbevételhez tartozó átlago ereményt becüljük 95%-o konfencaznt mellett. Pontbeclé y-ra: yˆ,65,5 4, 35 mft 73

t(df=7 ; α=,975)=,36 e n e n 47,5,65 9 x x ( 8) yˆ ˆ,65 * e y n x 9 78985 37,877<Y()<4,83,476 e) H : = H : t z =,5/,9=7,93 t(7 ;,975)=,36 A regrezófüggvény zgnfkán. 3. Közlekeébztonág kutatók méréeket végeztek arra, hogy mennyre laítja az alkohol a vezetők reakcót. tta zemély aata láthatók az alább táblázatban... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. Átlag Véralkohol znt 4,5 4,8 5, 3,,,8 6,7 5, 4,4 5, 4,8 Reakcó ő (ec.),,4,7,,3 3,,7,4 3,,8 A következő aatok mereteek: x y =,36 y 4,776 x 3,6 e =,3669 e t,975 8),433 ( DF,36 Kéréek: a) Határozza meg a között kétváltozó kapcolat lneár korrelácó együtthatóját! b) Határozza meg é értelmezze a kétváltozó moell etermnácó együtthatóját! c) Írja fel a véralkoholznt é a reakcóő között lneár regrezó egyene egyenletét! ) Kézíten ntervallumbeclét a regrezó mereekégre 95%-o megbízhatóág znt mellett. a) x y r xy rxy,84487 x y b) R =,84487 =,738 A etermnácó együttható értéke:,738 A reakcóő zóróáát a véralkoholznt 7,38 %-ban magyarázza. c) Határozzuk meg a regrezó paramétereket: 74

75 x y x n x n y x b b x y b Az Y é X között lneár regrezó egyene egyenlete:,7368,3347 ˆ x y ) b =,3347 a regrezó paraméter pontbeclée t(df=8 ; α=,975)=,36 n e n e n x e b =,739 Intervallumbeclé a b együtthatóra 95%-o megbízhatóág znt mellett:,758,3347,739,36,3347

IX. Felhaznált roalmak Denknger Géza: Valózínűégzámítá gyakorlatok, Tankönyvkaó, Buapet, 977 Szabó Gábor Caba Szűt Itván: Matematka tatztka pélatár I-II., Tankönyvkaó, Buapet, 987. Solt György: Valózínűégzámítá. Műzak Könyvkaó, Buapet, 973 Ay Jáno Kupck Józef: Általáno tatztka pélatár. Közgazaág é Jog Könyvkaó, Buapet, 96 Juház Györgyné Sánorné Krzt Éva: Statztka II. távoktatáal (főkola jegyzet). Távoktatá Unverta Alapítvány, Hunya Lázló Vta Lázló: Statztka közgazázoknak. Központ Statztka Hvatal, Buapet, Kerékgyártó Györgyné Munruczó György Sugár Anrá: Statztka mózerek é alkalmazáuk a gazaág, üzlet elemzéekben. Aula kaó, Buapet, 76