A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza Amikor számhalmazokat ábrázolunk, az alaphalmaz sokszor a tanult sz mok halmaza, vagyisazoka számok, amelyekről már tanultunk Milyen számokat ismersz? Nevezd meg őket, és mondj példát mindegyik típusra! Természetes számok, pl 0 ::: Egész számok, pl : :: 0 ::: Törtek, pl 0 ::: Tizedes törtek, pl 0 0 ::: Pozitív számok, pl 078 ::: Negatív számok, pl 0 : :: Páros számok, pl 0 0 ::: Páratlan számok, pl ::: p lda Ábrázold számegyenesen a következő számokat! 0 0 0 7 0 7 0 0 Melyek tartoznak a fenti számok közül a következő csoportokba: pozitív, negatív, 0? Melyek tartoznak az egész számok, illetve a törtszámok csoportjába? Pozitív: 0 Negatív: Nulla: 0 0 7 Egész számok: 0 = 0 7 = = Törtszámok: 0 = Mit jelent a? 0 A a ellentettje, ugyanakkora távolságra van a 0-tól a számegyenesen, mint a,dea0másik oldalán A a ellentettje Fontos tudnival Egy szám ellentettje az ugyanolyan abszolút értékű, de ellentétes előjelű szám 7
A racion lis sz mok Mit jelent vajon a? Úgy olvassuk, hogy per ) Ezt az alakot nem szoktuk használni Ha például a csiga óra alatt métert tesz meg, akkor egy óra alatt = 8 vagy = 9 métert halad) A törtvonal osztást jelöl ki, tehát ennek a jelentése: = : = Mivel egyenlő a? A =,ezt rt alakban rt eg sz sz m Meg llapod s Eddig nem tisztáztuk, mit nevezünk törtnek Megállapodunk egyes kifejezések használatában T rtkifejez s vagy t rt például a tömeg Olyan kifejezés, amely számlálóból, nevezőből, törtvonalból áll Ha a számlálóban és a nevezőben szám szerepel, akkor a törtkifejezést t rt alak térfogat sz mnak is nevezzük T rt alakban rt eg sz sz m például a =: olyan tört alakú szám, amely eg sz sz mmal egyenlő T rtsz m például a : olyan törtszám, amely nem eg sz szám 9 Fontos tudnival Azokat a számokat, amelyeket eddig használtunk: az egész számokat és a törteket együtt racion lis sz moknak nevezzük A racionális számok halmazát Q jelöli A természetes számok 0,,,, ::: )halmazátn, azegész számok : ::,,,, 0,,,, :::)halmazátpedigz A racion lis szó latin eredetű a ráció szóból ered Jelentése: arány, arányos Átvitt értelemben a jelentése: ésszerű p lda Igaz-e, hogy minden egész szám felírható tört alakban? Minden egész szám felírható tört alakban, hiszen a számláló lehet maga az egész szám, a nevező pedig az Például: = = Másként is írhatjuk, például = = = ::: = = = ::: Gondolkozz! Keress más, -vel egyenlő törtet! Lehet-e tetszőleges nevezőt választani a tört alakba írásához? A tizedes törtet felírhatjuk helyiérték-táblázatba Egy egész szám és törtek összegeként fejezhető ki, például: 0 = + 0 0 + 00 + 0 =+ = = 000 000 000 000 Úgy is képzelhetjük, hogy a tizedes törtet felírjuk egy nevezőjű tört alakjában A kapott törtet addig bővítjük 0-zel, amíg a számlálóban egész számot nem kapunk 8
A racion lis sz mok Például: 07 = 07 = 07 0 = 0 7 00 = 07 000 =07 000 A negatív törtek is felírhatók két egész szám hányadosaként A törtet tekinthetjük úgy is, mint egy kijelölt osztás műveletet Ezért például: = : ) Az egész számok osztásakor tanultuk, hogy : ) = ) : vagy : ) = : ) Így = : ) = ) : = vagy = : ) = : ) = Fontos tudnival A racion lis sz mok azok a sz mok, amelyek fel rhat k k t eg sz sz m h nyadosak nt p lda Helyezd el az alábbi számokat a táblázatban! 0 0 0 7 Készítettünk egy táblázatot a számok osztályozására Nevezd meg, hogy a táblázat egyes mezőibe milyen tulajdonságú számok kerülnek! Egész számok A racion lis sz mok Negatív számok 0 A B C Pozitív számok Más felírás is lehetséges tudjuk, hogy minden tört bővíthető Az eddigi példáink is azt mutatják, hogy a racion lis sz mok fel rhat k k t eg sz sz m h nyadosak nt Az is igaz, hogy az a szám, amely felírható két egész szám hányadosaként, vagy egész szám, vagy törtszám Ezért szokás így fogalmazni: Törtszámok D E F A: negatív egész számok az A-ba tartozik: = egész szám, csak tört alakban van B: a0 ab-be tartozik: 0 0 7 C: pozitív egész számok a C-be tartozik: D: negatív törtszámok a D-be tartozik: E: üres a 0 nem törtszám, mert egész szám) F : pozitív törtszámok az F -be tartozik: 0 9
A racion lis sz mok Feladatok A Írd fel két egész szám hányadosaként a következő számokat! a) b) c) 0 d) e) f) 7 g) 7 8 h) i) j) 0 k) 7 l) 7 A Melyik egész szám, melyik törtszám? Csoportosítsd a következő számokat! a) b) c) d) e) 8 f) 0 K A tizedes törteknek is sokféle tizedes tört alakja létezik, például = 0 Írd fel többféle tizedes tört alakját a következő számoknak! a) b) 7 0 c) d) e) 0 0 f) E Gondoltam egy tizedes törtre Ha -vel megszorzom, egész számot kapok Ha 0- zel elosztom, -nél kisebb számot kapok Egyféle számjegyet használunk a felírásához, de abból többet is Melyik ez a szám? Írd fel egy közönséges tört alakját! T rt alakba rhat sz mok p lda A racionális számok tört alakba írhatók A tört alaknak több fajtája létezik Keress ilyeneket! Írj példákat, írd fel ezeket közönséges tört alakban! K z ns ges t rt, például: 7 vegyes t rt, például: A sz zal k is kifejezhető tört alakban: 7% = 7 00 = 0 ) tizedes t rt, például: = 0 Láttál már ilyen jelölést:? Emeletes t rtnek nevezik Több törtvonal szerepel benne A leghosszabb 7 törtvonal ezt az osztást jelöli ki: : 7 : 7 = 7 = 7 9 Néha a törteket ferde törtvonallal írják: = Ez az írásmód kényelmes, de vigyázz vele, mert félreérthető lehet! Ezért érdemes kijelölni a számláló és a nevező kezdetét és végét Például = egyenlő = = -dal, de nem egyenlő sem = =-vel, sem = = -dal, sem = -del ) 0
A racion lis sz mok p lda Írd tizedes tört alakba a következő számokat! 7 0 % 9 7 =:=0 7 0 =7:0= 7 % = 00 =:00=0 =0 ::: az osztás nem ér véget =0 ::: az osztás nem ér véget =0 ::: az osztás nem ér véget 9 =0 0909 ::: az osztás nem ér véget =0 878 ::: az osztás nem ér véget 7 =0 =0 0 =0 0 ::: az osztás nem ér véget Azt vesszük észre, hogy egyes osztások véget érnek véges tizedes törtet kaptunk), pl mások viszont nem végtelen tizedes törtet kapunk), pl =0 ::: =0, Gondolkodj! Biztos, hogy nem ér véget az osztás? Keress rá magyarázatot! Ha két egész számot osztunk el egymással, és a hányados végtelen tizedes tört, a marad kok között egyszer csak felbukkan egy olyan, amelyik már szerepelt Ha a maradék ugyanaz, a hányados következő jegye is ugyanaz lesz A hányados jegyei ezért ugyanabban a sorrendben ismétlődnek Az ismétlődő részt szakasznak nevezzük, a hányadost pedig v gtelen szakaszos tizedes t rtnek A végtelen szakaszos tizedes tört sszes számjegyét nem tudjuk leírni Szokás csak egyetlen szakaszt leírni, és jelölni, hogy végtelen sokszor ismétlődik Ha a szakasz egyetlen számjegyből áll, akkor az ismétlődő számjegy fölé pontot írunk, például: =0 : ::=0 Ha a szakasz több számjegyből áll, akkor az első és az utolsó számjegy fölé írunk egy-egy pontot: =0 090909 : ::=0 0 9 Jel l s Az =0 ::: jelölése: 0 az =0 090909 ::: jelölése: 0 0 9 az 7 =0 8787 : :: jelölése: 0 8 7 A végtelen szakaszos tizedes törtet kiolvasni sem lehet pontosan, ezért egyszerűen csak felsoroljuk a tizedesvesszőt követő néhány számjegyet
A racion lis sz mok Feladatok A Írd tört alakba a következő számokat! a) b) c) 0 d) e) f) K Írd tizedes tört alakba a következő számokat! a) b) c) d) e) f) g) 8 h) i) 8 0 j) k) 7 l) A Válogasd össze az egyenlőket! a = b = 8 c = d = e =0 7 f =0 0 A = B = C = D = 0 E = 0 F = 00 A Írd át százalék alakra a következő törteket! 0 0 0 00 A Írd fel tört alakban a következő százalékokat! % % % 0% 00% % % 0% 00% 7% 000% % E Egy szám tizedes tört felírásában a,, számjegyek szerepelnek, mindegyikből egyegy Az egyik közönséges tört alakjában az,, számjegyek, mindegyikből egy-egy Melyikezaszám? E7 Egy tizedes tört egyik közönséges tört alakja ugyanazzal a két számjeggyel írható fel, mint maga a tizedes tört Mi lehet ez a szám? Vizsg ljuk a tizedes t rteket! p lda Írd tizedes tört alakba az alábbi számokat! Mit veszel észre? 9 9 9 9 9 9 7 9 8 9 =0 9 9 =0 =0 =0 9 9 =0 9 9 =0 7 8 =0 7 =0 8: 9 9 Érdekes összefüggést veszünk észre: az ismétlődő szakasz egyenlő a számlálóval Vajon mi a helyzet a 0 9 számmal? Lehet-e, hogy 9 -del, azaz -gyel egyenlő? 9 Az biztos, hogy -nél nem nagyobb De ha kisebb mint, akkor mennyivel? És találunk-e olyan számot, amely a 0 9 ésközéesik?
A racion lis sz mok Mennyivel kevesebb a 0 9 az-nél? Közelítsünk a 0 9-hez: 0 9 =0 99999 : :: 0 9 < 0 0 99 < 0 0 0 999 < 0 00 0 9999 < 0 000 0 999 99 < 0 000 0 Egyre kisebb számot kell adnunk a 0 9 0 99 0 999 : : : számokhoz, hogy -et kapjunk Találunk-e számot a 0 9 és az között? 0 9 < 0 9 < 0 99 < 0 99 < 0 999 < 0 999 < 0 9999 < 0 999 98 < 0 99 999 < 0 999 999 < 0 999 999 < 0 999 999 < A0 9 0 99 0 999 ::: számok végére egy -est vagy -est, : ::, 9-est) írva olyan számot kapunk, amely nála nagyobb, de -nél kisebb A0 9 =0 9999 ::: számban viszont a 9-esek soha nem érnek véget, ezért nem tudunk olyan számot mondani, amely a 0 9 ésazközéesik Tehát a 0 9 sem kisebb, sem nagyobb, mint Ezért 0 9 = Találunk más hasonló példákat is: = 0 = 9 0 9 =0 0 =0 0 ::: Így tehát a 9 9 is felírható olyan végtelen szakaszos tizedes tört alakban, amelyben az ismétlődő szakasz a számláló: 9 9 =0 9 p lda Mivel egyenlőek a következő törtek? 0 0 9 0 9 9 0 9 9 0 0 0 00 0 0 0 0 9 =0 0 9 9 =0 9 = 0 9 =0 9 = 0 = 0 = 0 00 0 =0 0 = p lda Írd tizedes tört alakba az alábbi számokat! 99 99 99 99 99 99 Mit gondolsz, eszerint melyik szám tizedes tört alakja lehet a 0? Ellenőrizd a sejtésedet! =0 0 99 =0 0 99 =0 0 99 =0 0 99 =0 99
A racion lis sz mok Lehet, hogy az 99 alakja a 0? A sejtést osztással ellenőrizhetjük 0-ban a 99 megvan -ször, és marad 0-ben a 99 megvan -szer, és marad Az osztást folytatjuk, ismét -öt, majd -t kapunk, a maradék ismét A továbbiakban az és a ismétlődik újra és újra :99=0 ::: 0 0 0 p lda 9 =0 és 99 =0 0 Mi az 999 9999 99 999 tizedes tört alakja? =0 00 999 =0 000 9999 99 999 =0 000 0 p lda Mely törtek tizedes tört alakját írtuk fel? A válaszodat az osztás elvégzésével ellenőrizheted 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 9 0 0 = 0 99 0 =0 = 9 0 0 = 99 0 = 9 0 =0 =0 = 9 0 = 999 0 = 999 Feladatok A Írd át tizedes tört alakba a következő számokat! a = 8 b = 8 c = 8 d = 8 e = 8 f = 8 A Írd át tizedes tört alakba a következő számokat! a = 9 b = 9 c = d = 9 e = f = 9 A Írd át tizedes tört alakba a következő számokat! a = 99 b = 9 c = 99 K Mely számok tizedes tört alakját adhattuk meg? Az eredményül kapott törtet egyszerűsített alakjában is írd fel! a =0 b =0 c =0 d =0 e =0 9 f =0 K Mely számok tizedes tört alakját adhattuk meg? Az eredményül kapott törtet egyszerűsített alakjában is írd fel! a =0 0 b =0 c =0 d =0 9 e =0 9 f =0 0 E Mit gondolsz, mely számok tizedes tört alakját adtuk meg? A válaszodat az osztás elvégzésével ellenőrizheted a =0 b = c = 0 d = e =0 0 0 f = 0 0 d = 9 99 e = f =
A racion lis sz mok M veletek p lda Végezd el a következő műveleteket! 7 + 8 09 ) 0 7 7 A műveleteket úgy tudjuk elvégezni, ha minden tört ugyanolyan alakban szerepel Először írjuk át közönséges tört alakba a szereplő tizedes törteket! 8 = Ekkor 7 + = + 8 = 8 ) 09 0 = 090 + 7 = 0 = 0 0 7 = Most írjuk tizedes tört alakba a közönséges törteket! Tudjuk, hogy ezt nem mindig lehet pontosan felírni: 7 0 09 0 7 = Ezzel: 0 + 8 = 0 ) = 0 7 + = Figyeld meg! Melyik műveletet volt egyszerűbb elvégezni? Melyik műveletnél kaptál pontos eredményt? A tizedes törtekkel egyszerűbb volt számolni, de nem mindig kaptunk pontos eredményt Ha tört alakban számolunk, mindig pontos eredményt kapunk Az sszead s tulajdons gai Az összeadás tulajdonságairól már korábban tanultunk Egész számokon és törteken egyaránt ellenőriztük már Az egész számokat is tört alakban lehet írni, tehát ezeket most csak felidézzük, és egy-egy példán keresztül átismételjük Két egész szám összeadásakor a tagokat felcserélve az eredmény nem változik, vagyis az összeadandók felcserélhetők Például: + = + Ennek a tulajdonságnak a neve: felcserélhetőség vagy kommutativitás p lda Ellenőrizzük a felcserélhetőséget racionális számokon! Végezd el a következő összeadásokat! + és + + ) és ) + + = + = + ) = 0 = = ) + = + 0 + = = Számolás közben felhasználtuk, hogy negat v sz mot gy tudunk hozz adni egy sz mhoz, hogy az ellentettj t kivonjuk
A racion lis sz mok Az összeadás egy másik fontos tulajdonsága: Egész számok összeadásakor az összeadandók tetszőlegesen átzárójelezhetők, azaz tetszőlegesen társíthatók, csoportosíthatók Például + + ) = + ) + Ennek a tulajdonságnak a neve: társíthatóság, csoportosíthatóság vagy asszociativitás p lda Ellenőrizzük a társíthatóságot racionális számokon! Számítsd ki a következő műveletek eredményét! [ ] [ ] 7 + ) +7 és 7 + ) + 7 + 9) ) + 8) és + 9) + 8) ) [ 7 + ) ] +7=7 ) + 7 = 8+7=9 8 7 + [ ) + 7 ] =7 + [ 7+ ) ] =7 +7 ) = 7 + =9 8 ) + 9) + 8) = ) + 8) = 7 + 9) + 8) ) = +9 7) = 7 Feladatok A Végezd el a műveleteket! a) +7 b) + 8) c) 7+ ) d) + e) 7 ) + ) f) + 7 A Pótold a hiányzó számokat! A nyílra írtuk, hogy milyen művelettel jutunk el az egyik számtól a másikig a) b) + + + + + + 0 + + + + + +
A racion lis sz mok K a) A piacon a zöldség-gyümölcs pultnál kg almát, kgburgonyátés kg szilvát vásárolunk Mennyi ezeknek az együttes tömege? b) Atejpultnál kg túrót, 0 kg sajtot vettünk, valamint egy kg-ossajt részét Ezeknek mennyi az együttes tömege? c) Összesen hány kg árut vásároltunk a piacon? K Pótold a hiányzó számokat! Minden szám annak a két számnak az összege, amelyekből a nyilak hozzá vezetnek a) Az a) feladat ábráján például a kiszínezett keretbe + =9 0 = 9 kerül Milyen érdekességet veszel észre? Gondolkozz el rajta, mi lehet az oka! 0 7 9 0 b) c) 8 0 7 7
A racion lis sz mok A kivon s tulajdons gai A kivonásról már az egész számok körében is tapasztaltuk, hogy: A kivonásban szereplő számok felcserélésével a kapott eredmények általában nem egyenlők Ezért a kivonásban szereplő számok nem cserélhetők fel p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el a kivonásokat! és ) 7 és 7 ) =9 =9 ) 7 = 0 = 7 7 ) = 7 + = + 0 = 7 Számolás közben felhasználtuk, hogy negat v sz mot gy tudunk kivonni egy sz mb l, hogy az ellentettj t hozz adjuk Azt tapasztaljuk, hogy a kivonásban szereplő számok felcserélésével a kapott eredmények egymás ellentettjei A kivonásban szereplő számok nem társíthatók, azaz nem csoportosíthatók tetszőlegesen A műveletek sorrendjét zárójellel jelöljük ki Zárójel hiányában balról jobbra szokás elvégezni a kivonás műveleteket p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el a műveleteket! ) és ) ) ) 8) és 8) ) = ) = = ) = = = ) ) 8) = = 8) = 7 ) = 8 Feladatok A Végezd el a kivonásokat! a) 0 70 7 b) 0 0 8 c) 0 70 d) 0 0 e) f) 0 08 g) 0 07 h) 0 7 i) 0 9 8 j) 0 0 k) 0 0 8) l) 8 0 0 ) 8
A racion lis sz mok A Pótold a hiányzó számokat! A nyílra írtuk, hogy milyen művelettel jutunk el az egyik számtól a másikig K Pótold a hiányzó számokat! Minden szám annak a két számnak az összege, amelyekből a nyilak hozzá vezetnek a) a) 7 8 b) 0 b) 0 7 K Végezd el a műveleteket! ) a) + + ) ) + ) + b) ) + 8 ) ) + ) 8 ) + ) 8 ) 8 + ) *c) Emlékezz az előző leckében tett megfigyeléseidre! 8 9
A racion lis sz mok K Angliában régebben a font váltópénzei nem a 0-es számrendszert követték Például: shilling 0 0 font volt, penny pedig shilling a) Hány penny volt font? b) Hány font járt vissza fontból annak, aki ) shilling pennyt ) shilling pennyt ) 8 shilling 0 pennyt fizetett? c) Fejezd ki az eredményeket shillingben és pennyben! A szorz s tulajdons gai A szorzás tulajdonságairól tanultuk: Számok szorzásakor a szorzásban szereplő tényezők felcserélésével a szorzat nem változik p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el a következő szorzásokat! 7 és 8) és 8) ) ) 7 ) ) 7 = 7 = 8) = 8 8) = 8 ) ) = ) ) = Számolás közben felhasználtuk, hogy k t azonos el jel sz m szorzata pozit v k t ellent tes el jel sz m szorzata pedig negat v A szorzásban szereplő tényezők tetszőlegesen zárójelezhetők, azaz tetszőlegesen társíthatók, csoportosíthatók p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el az alábbi műveleteket! ) [ ) és ) ) ) )] és ) [ ) ] ) ) =7 ) =8 ) ) = = 8 [ ) )] = = ) [ ) ] = ) = 0
nevez k A racion lis sz mok Feladatok A Pótold a hiányzó számokat! A nyílra írtuk, hogy milyen művelettel jutunk el az egyik számtól a másikig K Pótold a hiányzó számokat! Minden szám annak a két számnak a szorzata, amelyekből a nyilak hozzá vezetnek a) a) 0 8 b) 0 b) c) E számlálóból és nevezőből minden lehetséges módon törteket készítettünk A táblázatban egy sor és egy oszlop találkozásába a megfelelő számlálóval és nevezővel képzett törtet írtuk Írd be a hiányzó számokat! sz ml l k A Végezd el a szorzásokat! a) ) b) ) c) 7 d) 7 0 e) 7 ) f) )
A racion lis sz mok Az oszt s tulajdons gai Az osztás tulajdonságairól tanultuk: Az osztásban szereplő számok felcserélésével kapott hányadosok általában nem egyenlők p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el az osztásokat! ) : ) és ) : ) ) : ) = 0 9 és ) : ) = : ) és ) : : ) = és ) : = A kapott eredmények egymás reciprokai Számolás közben felhasználtuk, hogy k t azonos el jel sz m h nyadosa pozit v k t ellent tes el jel sz m h nyadosa pedig negat v Azt is tanultuk, hogy számok osztása esetén fontos a zárójel Az osztásban szereplő számokat nem társíthatjuk, azaz nem csoportosíthatjuk tetszőlegesen A műveletvégzés sorrendjét zárójellel jelöljük ki Zárójel hiányában balról jobbra szokás elvégezni az osztási műveleteket p lda Ellenőrizzük a tulajdonságot racionális számokon! Végezd el az osztást! 7 : [ ] :) és ) 7 : :) 7 : :) = ) 7 ) := [ ] 7 : :) = ) 7 : : = 7 : 8 = 8 7 = Mit gondolsz erről a számról:? Mi lehet a számlálója, mi lehet a nevezője? Melyik osztást jelölik ki a törtvonalak? Hogyan lehet átírni osztássá? A felírás helytelen Nem lehet tudni, hogy mi a számláló, mi a nevező Ez nem is tört Az emeletes törtek felírásakor fel kell tüntetni, hogy a törtvonallal kijelölt osztások között mi a kívánt sorrend A végső törtet kijelölő törtvonal legyen a leghosszabb! Így a tört a := számot jelenti A számlálója, a nevezője A tört pedig a : = = 0 számot jelenti Ennek a számlálója, a nevezője