Síkgeometri Megoldások Síkgeometri - megoldások 1) Döntse el, hogy következő állítások közül melyik igz és melyik hmis! ) A háromszög köré írhtó kör középpontj mindig vlmelyik súlyvonlr esik. b) Egy négyszögnek lehet 180 -nál ngyobb belső szöge is. c) Minden trpéz prlelogrmm. ) Hmis b) igz c) hmis Összesen: pont ) Egy derékszögű háromszög egyik befogójánk hossz cm, vele szemközti szög 18,5. Mekkor másik befogó? Készítsen vázltot, és válszát számítássl indokolj! Helyes ábr: tg18,5 = x A másik befogó x 8,966 9 ) Egy derékszögű háromszög átfogój 4,7 cm hosszú, z egyik hegyesszöge 5,5. Hány cm hosszú szög melletti befogó? Készítsen vázltot z dtok feltüntetésével! Válszát számítássl indokolj, és egy tizedes jegyre kerekítve dj meg! Helyes ábr. x = 4,7 cos5,5 =,861 A befogó hossz kerekítve:, 9 cm 4) Döntse el, hogy következő állítások közül melyik igz, melyik hmis! ) A szbályos ötszög középpontosn szimmetrikus. b) Vn olyn háromszög, melynek súlypontj és mgsságpontj egybeesik. c) Minden prlelogrmm tengelyesen szimmetrikus. ) hmis b) igz c) hmis Összesen: pont 5) Egy háromszög belső szögeinek rány :5:11. Hány fokos legkisebb szög? ( pont) A legkisebb szög 0. x 18,5 ( pont) - 55 -
005-0XX Középszint 6) Egy függőleges trtórúdr tljtól 4 m mgsn mozgásérzékelőt szereltek, hozzákpcsolt lámp 140º-os nyílásszögű forgáskúpbn világít függőlegesen lefelé. ) Készítsen vázltrjzot z dtok feltüntetésével! ( pont) b) Milyen messze vn lámpától legtávolbbi megvilágított pont? (4 pont) c) Megvilágítj-e z érzékelő lámpáj zt tárgyt, melyik tljon trtórúd ljától 15 m távolságr vn? (4 pont) d) A trtórúdon méterenként kmpókt helyeztünk el, melyekre fel tudjuk ksztni mozgásérzékelő lámpáját. Alulról számítv hánydik kmpót hsználjuk, h zt krjuk, hogy vízszintes tljon ne világítson meg lámp 100 m-nél ngyobb területet? (7 pont) ) Ábr ( pont) 140 4 b) y = cos 70 y 11, 7 ( m) 4 m c) A legtávolbbi megvilágított pont x x tljon rúd ljától x = 4 tg70 távolságr vn, ( pont) x 11 m ( ) így 15 méterre levő pont már nincs megvilágítv. d) r 100 r ( ) ( pont) 5,65 h tg70,05 ( m) ( pont) Tehát z első vgy második kmpór kell ksztni z érzékelőt.( pont) Összesen: 17 pont 7) Mekkor z egységsugrú kör 70 -os középponti szögéhez trtozó ívének hossz? ( pont) A középponti szögekre és z ívhosszkr vontkozó összefüggés lpján: x = Innen x = ( pont) 8) Döntse el, hogy z lábbi B állítás igz vgy hmis! B: H egy négyszög két szemközti szöge derékszög, kkor z tégllp. Írj le z állítás megfordítását (C). Igz vgy hmis C állítás? - 56 -
Síkgeometri - megoldások B logiki értéke: HAMIS C állítás: H egy négyszög tégllp, kkor két szemközti szöge derékszög. C logiki értéke: IGAZ Összesen: pont 9) Egy háromszög egyik oldlánk hossz 6 cm. Az ezeken nyugvó két szög 50º és 60º. A háromszög beírt körének középpontját tükröztük háromszög oldlir. E három pont háromszög csúcsivl együtt egy konvex htszöget lkot. ) Mekkorák htszög szögei? (6 pont) b) Számíts ki htszög zon két oldlánk hosszát, mely háromszög 60º-os szögének csúcsából indul! (5 pont) c) Hány négyzetcentiméter htszög területe? (6 pont) A b) és c) kérdésekben válszt egy tizedes pontossággl dj meg! ) A háromszög hrmdik szöge A BAC = 70 A beírt kör O középpontj belső E szögfelezők metszéspontj. D A tükrözésnél ezért z eredeti háromszög csúcsinál belső szögek felének kétszerese dódik hozzá z eredeti szöghöz, vgyis keletkezett htszög O szögei: DAE = 140 ECF = 100 60 50 FBD = 10 B 6 C Az ABC háromszög szögfelezői áltl (z O középpontnál) bezárt szögek tükrözés mitt rendre megegyeznek htszög D, E és F csúcsú szögeivel: F BDA = 115 AEC = 10 CFB = 15 BDA = 115, AEC = 10, CFB = 15, b) A tükrözés mitt BO = BD = BF Elegendő tehát z x = BO belső szögfelező szksz hosszát kiszámítni. ( pont) A BOC háromszögben szinusztétel lpján: x sin5 A tükrözés mitt = 6 sin15 ( pont) miből x, 1 ( cm) htszög keresett két oldlánk hossz egyránt,1 cm. - 57 -
005-0XX Középszint c) A tükrözés mitt htszög területe háromszög területének kétszerese. A háromszög AB = c oldlár: c sin50 = 6 sin 70 c = 4,9 cm miből ( ) 6c sin60 A háromszög területe 1,7 ( cm ) A htszög területe 1, 7 = 5, 4 ( cm ) ( pont) Összesen: 17 pont 10) Egy háromszög oldlhosszúsági egész számok. Két oldl cm és 7 cm. Döntse el következő állításokról, hogy igz vgy hmis! ( pont) 1. állítás: A háromszög hrmdik oldl lehet 9 cm.. állítás: A háromszög hrmdik oldl lehet 10 cm. 1. állítás: Igz. állítás: Hmis Összesen: pont 11) Az ábrán láthtó háromszögben hány cm hosszú z 56 -os szöggel szemközti oldl? (Az eredményt egy tizedes jegy pontossággl dj meg!) Írj le számítás menetét! x sin56 = 4,8 sin 41 x 61, ( pont) Összesen: pont 1) Egy négyzet és egy rombusz egyik oldl közös, közös oldl 1 cm hosszú. A négyzet és rombusz területének z rány :1. ) Mekkor rombusz mgsság? (5 pont) b) Mekkorák rombusz szögei? c) Milyen hosszú rombusz hosszbbik átlój? A válszt két tizedesjegyre kerekítve dj meg! (4 pont) - 58 -
) Helyes ábr ( Tnégyzet = és Trombusz = m ) = m 1 A rombusz mgsság m = 65, ( cm) m sin = (hol α hegyesszög) = 0 = 150 b) Bármelyik lehetséges derékszögű háromszögből jó összefüggést felír hosszbbik átló segítségével, például e cos15 = 1 ( pont) e = 1 cos15 e = 5, 11 cm ( ) Síkgeometri - megoldások Összesen: 1 pont 1) Adj meg z lábbi állítások igzságértékét (igz vgy hmis), mjd döntse el, hogy b) és c) jelű állítások közül melyik z ) jelű állítás megfordítás! (4 pont) ) H z ABCD négyszög tégllp, kkor átlói felezik egymást. b) H z ABCD négyszög átlói felezik egymást, kkor ez négyszög tégllp. c) H z ABCD négyszög nem tégllp, kkor átlói nem felezik egymást. ) igz b) hmis c) hmis Az ) megfordítás b). Összesen: 4 pont 14) Hányszorosár nő egy cm sugrú kör területe, h sugrát háromszorosár növeljük? ( pont) ( = ) 9-szeresére nő terület. ( pont) 15) Egy derékszögű háromszög egyik befogój 5 cm, z átfogój 1 cm hosszú. Mekkorák háromszög hegyesszögei? (Válszát egész fokr kerekítve dj meg!) ( pont) m - 59 -
005-0XX Középszint A hegyesszögek: és 67 ( pont) 16) Adj meg z lábbi állítások logiki értékét! A tábláztbn krikázz be helyes válszt! (4 pont) A állítás: Minden rombusznk pontosn két szimmetritengelye vn. B állítás: Minden rombusznk vn két szimmetritengelye. C állítás: Vn olyn rombusz, melynek pontosn két szimmetritengelye vn. D állítás: Nincs olyn rombusz, melynek négy szimmetritengelye vn. A állítás: hmis B állítás: igz C állítás: igz D állítás: hmis Összesen: 4 pont 17) Vlmely derékszögű háromszög területe 1 cm, z hegyesszögéről pedig tudjuk, hogy tg=. ) Mekkorák háromszög befogói? (8 pont) b) Mekkorák háromszög szögei, és mekkor köré írt kör sugr? (A szögeket fokokbn egy tizedesjegyre, kör sugrát cm-ben szintén egy tizedesjegyre kerekítve dj meg!) (4 pont) ) A befogók rány :. ( pont) Az egyik befogó x, másik x. b A háromszög területe:. x x 1 =. x = 4. α b) Az α hegyesszög 56, A (pozitív) megoldás: x =. A befogók hossz 6 cm és 4 cm. b másik hegyesszög,7 -os. A derékszögű háromszög átfogój (Pitgorsz tétele szerint) 5 7, ( cm), kör sugr (z átfogó fele): 1, 6 ( cm). Összesen: 1 pont 18) A következő kérdések ugynrr 0 oldlú szbályos sokszögre vontkoznk. ) Mekkorák sokszög belső szögei? Mekkorák külső szögek? b) Hány átlój illetve hány szimmetritengelye vn sokszögnek? Hány különböző hosszúságú átló húzhtó egy csúcsból? (6 pont) - 60 -
Síkgeometri - megoldások c) Milyen hosszú legrövidebb átló, h szbályos sokszög beírt körének sugr 15 cm? A válszt két tizedesjegyre kerekítve dj meg! (8 pont) ) A belső szögek 16 -osk, ( pont) külső szögek 18 -osk. b) Az összes átlók szám 0 17 = 170 ( pont) Szemközti csúcsokt összekötő átlóból 10 vn, (ezek egyenese 1 1 szimmetritengely) szemközti oldlk felezőpontját összekötő szimmetritengelyből szintén 10, tehát összesen 0 szimmetritengelye vn sokszögnek. Egy csúcsból 17 átló húzhtó, ezek között 8 8 páronként egyenlő hosszú, tehát 9 különböző hosszúságú átló húzhtó egy csúcsból. c) A szbályos 0-szög egy oldlához trtozó (konvex) O középponti szög 18 -os. tg9 = 15 9 = 0 tg9 9 4,75 ( cm) A legrövidebb átló egy 16 szárszögű egyenlő szárú háromszögből számolhtó ki, melynek szári 4,75 cm hosszúk. d sin81 4,75 d 9,5 sin81 d 4, 75 sin 81 9,8 ( cm) Összesen: 17 pont 19) Egy torony árnyék vízszintes tljon kétszer olyn hosszú, mint torony mgsság. Hány fokos szöget zár be ekkor Np sugr vízszintes tljjl? A keresett szöget fokbn, egészre kerekítve dj meg! ( pont) = 7 A 1 B d C ( pont) - 61 -
005-0XX Középszint 0) Egy víztározó víztükrének lkját z ábrán láthtó módon z ABCD prlelogrmmávl közelítjük. A prlelogrmmánk z 1:0000 méretrányú térképen mért dti: AB = 4, 70 cm, AD =,80 cm és BD =,0 cm. ) A helyi önkormányzt olyn kerékpárút építését tervezi, melyen z egész víztározót körbe lehet kerekezni. Hány km hosszúságú lesz ez z út, h hossz kb. 5%-kl több prlelogrmm kerületénél? Válszát egy tizedesjegyre kerekítve dj meg! (4 pont) b) Mekkor z legngyobb távolság, melyet motorcsónkkl, irányváltozttás nélkül megtehetünk víztározó víztükrén? Válszát km-ben, egy tizedesjegyre kerekítve dj meg! (7 pont) c) Körülbelül hány m -rel lesz több víz víztározóbn, h vízszintet 15 cm-rel megemelik? Válszát ezer m -re kerekítve dj meg!(6 pont) ) A térképen prlelogrmm kerülete 17,0 cm, kerékpárút pedig 17,0 1,5 = 1,5 cm hosszú. 4 A vlóságbn kerékpárút hossz 1,5 10 cm, zz 6,75 km. Egy tizedes jegyre kerekítve tehát kerékpárút hossz 6,4 km. A számításokt kezdhetjük térkép dtink vlós méretre váltásávl is. b) Az AC szksz leghosszbb. Az ABD háromszögre felírjuk koszinusztételt:, = 4,7 +,8 4,7,8 cos BAD. Ebből: 0,7178 cos BAD 4,7 +,8, = 4,7,8 (tehát BAD 44,1 és így ABC 15,9 ) Az ABC háromszögből koszinusztétellel: AC = 4,7 +,8 4,7,8 cos ABC. miből AC 7,9 ( cm) Ez vlóságbn (egy tizedes jegyre kerekítve),4 km. c) A vízfelszín területe vlóságbn: ( ) 8 10 910 4,7,8 sin 44,1 1,119 10 cm (Heron-képlet is hsználhtó.), ( pont) 6 mi 1,119 10 m. 5 6 Tehát kb. 1,119 10 0,15 1, 679 10 m -rel lesz több víz tárolóbn, ( pont) mi ezer köbméterre kerekítve 168 ezer m vízmennyiséget jelent. Összesen: 17 pont - 6 -
- 6 - Síkgeometri - megoldások 1) Egy egyenlő szárú háromszög lpj 5 cm, szár 6 cm hosszú. Hány fokosk háromszög lpon fekvő szögei? A szögek ngyságát egész fokr kerekítve dj meg! Válszát indokolj! Az lphoz trtozó mgsság felezi z lpot. A keletkező derékszögű háromszögben keresett szögre Az lpon fekvő szögek 65 -osk. ) Tekintsük zt derékszögű háromszöget, melyben z átfogó hossz 1, z hegyesszög melletti befogó hossz pedig sin. Mekkor z szög? Válszát indokolj! (A szögfüggvények definíciój mitt) BC = sin, AC = BC tehát = 45. Összesen: pont Összesen: pont ) Egyenlő szárú háromszög lpj 40 cm, szárink hossz 5 cm. A háromszöget megforgtjuk szimmetritengelye körül. (A válszit két tizedesjegyre kerekítve dj meg!) ) Készítsen vázltrjzot z dtok feltüntetésével, és számíts ki, hogy mekkor keletkező forgáskúp nyílásszöge? (4 pont) b) Számíts ki keletkező forgáskúp térfogtát! c) Mekkor felszíne nnk gömbnek, melyik érinti kúp lpkörét és plástját? (6 pont) d) Mekkor kúp kiterített plástjánk területe? (4 pont) ) Jó vázltrjz z dtok feltüntetésével. ( pont) H kúp nyílásszöge φ, kkor 0 sin = = 0,846 5 Ebből = 45, 4 b) m = 704 400 = 48 r m 400 48 V = = ( ) V 0106, 19 cm c) A kúpb írt gömb sugr megegyezik z egyenlő szárú háromszögbe írt kör sugrávl. ( pont) A háromszög lpon fekvő szöge = 67,8 tg,69 = 0 5 A 0 F φ K C A F 0 5 B B
005-0XX Középszint = 1, ( cm) A gömb felszíne: 4, 01 ( cm ) d) A körcikk ívének hossz i r T plást A =, 0 15,66 ( cm) i = ( pont) i R = 0 6 ( ) T 67, 6 cm plást Összesen: 17 pont 4) Az ABC hegyesszögű háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, BCA szög ngyság pedig 40. ) Számíts ki BC oldlhoz trtozó mgsság hosszát! ( pont) b) Számíts ki z AB oldl hosszát! Válszit cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve dj meg! Az AB oldl felezőpontj legyen E, BC oldl felezőpontj pedig legyen D. Htározz meg z AEDC négyszög területét! c) Válszát cm -ben, egy tizedesjegyre kerekítve dj meg! (7 pont) ) Az ATC derékszögű A háromszögben m = 1sin 40 7, 7 cm ( pont) A mgsság kifejezhető 1 cm trigonometrikus területképletből m is. b) A háromszög kérdéses oldlár koszinusztételt felírv: 40 AB = 14 + 1 14 1 cos 40 B T 14 cm AB 9, 1 cm c) Az AEDC négyszög trpéz, mert z ED szksz z ABC háromszögben középvonl, így párhuzmos z AC oldlll. ED = 6cm A trpéz mgsság z ABC háromszög AC oldlhoz trtozó mgsságánk fele. 1 14 sin40 Az ABC háromszög területe: T = ( 54 cm ) Ebből z AC oldlhoz trtozó m mgsság: b T m b = 9 ( cm ) 1 1 + 6 m Az AEDC trpéz területe: T = b 40, 5 cm A feldt megoldhtó hsonló háromszögek területrányánk felhsználásávl is. Összesen: 1 pont C - 64 -
5) Az ábr egy sütemény lpnygköltségeinek megoszlását muttj. Számíts ki vj felirtú körcikk középponti szögének ngyságát fokbn! Válszát indokolj! A sütemény összköltsége 640 Ft. A vj költsége ennek 8 része. A kérdéses körcikk középponti szöge 15. Síkgeometri - megoldások 6) A vízszintessel 6,5 -ot bezáró egyenes út végpontj 14 méterrel mgsbbn vn, mint kiindulópontj. Hány méter hosszú z út? Válszát indokolj! Az dtokt feltüntető helyes ábr, z út hossz x. 14 x = 1095 sin6,5 1095 méter hosszú z út. Összesen: pont 7) Két gömb sugránk rány : 1. A ngyobb gömb térfogt k-szoros kisebb gömb térfogtánk. Adj meg k értékét! ( pont) (Mivel két hsonló test térfogtánk rány, hsonlósági rány köbével egyenlő, ezért k =.) k = 8 ( pont) 8) Az és b vektorok 10 -os szöget zárnk be egymássl, mindkét vektor hossz 4 cm. Htározz meg z + b vektor hosszát! ( pont) Az + b vektor hossz 4 cm. ( pont) 9) Számíts ki szbályos tizenkétszög egy belső szögének ngyságát! Válszát indokolj! A (szbályos) tizenkétszög belső szögeinek összege: ( 1 ) 180 = 1800, ( pont) így egy belső szöge 150. Összesen: pont - 65 -
005-0XX Középszint 0) Döntse el, melyik állítás igz, melyik hmis! ) A vlós számok hlmzán értelmezett f ( x ) = 4 hozzárendelési szbállyl megdott függvény grfikonj z x tengellyel párhuzmos egyenes. b) Nincs két olyn prímszám, melyek különbsége prímszám. c) Az 1 cm sugrú kör kerületének cm-ben mért számértéke kétszer kkor, mint területének cm -ben mért számértéke. d) H egy dthlmz átlg 0, kkor szórás is 0. ) igz b) hmis c) igz d) hmis Összesen: 4 pont 1) Egy háromszög egyik oldlánk hossz 10 cm, hozzá trtozó mgsság hossz 6 cm. Számíts ki háromszög területét! ( pont) A háromszög területe 0 cm. ( pont) Összesen: pont ) Számíts ki z szög ngyságát z lábbi derékszögű háromszögben! ( pont) sin = 5, 58 ( pont) Összesen: pont ) Egy kör sugr 6 cm. Számíts ki ebben körben 10 -os középponti szöghöz trtozó körcikk területét! ( pont) r t = = 1cm 60 7,7 cm ( pont) Összesen: pont 4) Egy 5 cm sugrú kör középpontjától 1 cm-re lévő pontból érintőt húzunk körhöz. Mekkor z érintőszksz hossz? Írj le számítás menetét! Ábr felrjzolás: Az ABC háromszögben lklmzzuk Pitgorsz tételét: e = 1 5 e = 1 cm Összesen: pont - 66 -
Síkgeometri - megoldások 5) Adj meg, hogy z lábbi geometrii trnszformációk közül melyek viszik át önmgáb z ábrán láthtó, háromszög lkú (sugárveszélyt jelző) táblát! ( pont) ) 60 -os elforgtás tábl középpontj körül. b) 10 -os elforgtás tábl középpontj körül. c) Középpontos tükrözés tábl középpontjár. d) Tengelyes tükrözés tábl középpontján és tábl egyik csúcsán átmenő tengelyre. b) és d) ( pont) 6) Az ábrán láthtó ABC háromszögben D pont felezi z AB oldlt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, = 47. ) Számíts ki z ABC háromszög területét! (5 pont) b) Számítássl igzolj, hogy (egész milliméterre kerekítve) háromszög BC oldlánk hossz 60 mm! (4 pont) c) Számíts ki háromszög B csúcsánál lévő belső szög ngyságát! ) Az ADC háromszög C csúcsához trtozó mgsság hossz: o 41sin 47 0 mm. ( ) Ez ugynkkor, mint z ABC háromszög C csúcsához trtozó mgsság, 48 0 így kérdezett terület T = = = 70 mm. b) A CDB szög o 1. o BC = 4 + 41 4 41 cos1 ( pont) Így BC oldl hossz kért kerekítéssel vlóbn 60 mm. c) Az ABC szög legyen, ekkor szinusztételt felírv BCD háromszögben: sin 41 =. o sin1 60 sin 0, 4998 Mivel BCD háromszög D csúcsánál lévő belső szöge tompszög: 0. A feldt koszinusz-tétel megoldásávl is helyes! Összesen: 1 pont - 67 -
005-0XX Középszint 7) Egy tégllp szomszédos oldlink hossz 4, cm és 5,6 cm. Mekkor tégllp körülírt körének sugr? Válszát indokolj! A tégllp körülírt körének átmérője tégllp átlój. A tégllp átlójánk hossz: 4, + 5,6 ( = 7)( cm) A kör sugr,5 ( cm ) Összesen: pont 8) ) Egy háromszög oldlink hossz 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkor háromszög 7 cm-es oldlávl szemközti szöge? (4 pont) 0; intervllumon következő egyenletet! b) Oldj meg 1 ( x ) cos x =. (6 pont) 4 c) Adj meg z lábbi állítások logiki értékét (igz vgy hmis)! ( pont) I) Az f :, f ( x) = sin x függvény pártln függvény. II) Az : g, g ( x) = cosx függvény értékkészlete ; intervllum. III) A : h, h ( x) cos ; 4 4 intervllumon. zárt = x függvény szigorún monoton növekszik ) (A kérdezett szöget -vl jelölve) lklmzzuk koszinusztételt: 7 = 5 + 8 5 8 cos 1 Ebből cos =, zz (mivel egy háromszög egyik szögéről vn szó) = 60 1 b) H cos x =, c) kkor megdott intervllumon x =, 5 vgy x =. 1 H cos x =, kkor megdott intervllumon x =, 4 vgy x =. I) igz II) hmis III) hmis ( pont) Összesen: 1 pont - 68 -
Síkgeometri - megoldások 9) Újsághír: Szeizmológusok számítási lpján 004. december 6-án Szumátr szigetének közelében kipttnt földrengés Richter-skál szerint 9,-es erősségű volt; rengést követő cunmi (szökőár) hlálos áldoztink szám megközelítette 00 ezret. A földrengés Richter-skál szerinti erőssége és rengés középpontjábn felszbduló energi között fennálló összefüggés: M = 4, 4 + lg E. Ebben képletben E földrengés középpontjábn felszbduló energi mérőszám (joule-bn mérve), M pedig földrengés erősségét megdó nem negtív szám Richter-skálán. ) A Ngskir 1945-ben ledobott tombomb felrobbnáskor 14 felszbduló energi 1, 44 10 joule volt. A Richter-skál szerint mekkor erősségű z földrengés, melynek középpontjábn ekkor energi szbdul fel? b) A 004. december 6-i szumátri földrengésben mekkor volt felszbdult energi? c) A 007-es chilei ngy földrengés erőssége Richter-skál szerint - vel ngyobb volt, mint nnk kndi földrengésnek z erőssége, mely ugynebben z évben következett be. Hányszor kkor energi szbdult fel chilei földrengésben, mint kndibn? (5 pont) d) Az óceánbn fekvő egyik szigeten földrengést követően kilkuló szökőár egy körszelet lkú részt trolt le. A körszeletet htároló körív középpontj rengés középpontj, sugr pedig 18 km. A rengés középpontj sziget prtjától 17 km távolságbn volt (lásd felülnézeti ábrán). Mekkor szárzföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? (6 pont) 14 ) = 4,4 + lg ( 1,44 10 ) M M 5 ( pont) b) 9, = 4,4 + lg E lg E = 0,58 Tehát felszbdult energi körülbelül 0 E, 8 10 ( J) c) A chilei rengés erőssége -vel ngyobb volt, mint kndi: 4,4 + lg Ec = 4,4 + lg E k + Rendezve: lg E lg E = c k Ec (A logritmus zonosságát lklmzv) lg = E k - 69 -
005-0XX Középszint Ec Ebből = 1000 Ek 1000-szer kkor volt felszbdult energi. d) Az ábr jelöléseit hsználjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: 17 cos = 18 19,.( 8,4 ) ( 100,6 km ) 18 sin8,4 T AKB 8,4 Tkörcikk 18 ( 108,6 km ) 60 ( ) T 108,6 100,6 = 8 km körszelet Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km. Összesen: 17 pont 40) Egy tégltest lkú kvárium egy csúcsból kiinduló élei 0 cm, 40 cm, illetve 50 cm hosszúk. ) Hány literes ez z kvárium? (A számolás során tekintsen el z oldllpok vstgságától!) Tekintsük zt háromszöget, melynek oldlit z ábrán láthtó tégltest három különböző hosszúságú lpátlój lkotj. b) Mekkor ennek háromszögnek legkisebb szöge? Válszát fokbn, egészre kerekítve dj meg! (8 pont) V = 0 40 50 = 60000 cm ) ( ) V = 60 dm. Az kvárium térfogt 60 liter. b) Az egyes lpátlók hossz: + = ( ) ( ) 50 40 4100 64,0 cm, + = ( ) ( ) 50 0 400 58,1 0 40 50 cm. + = ( ) cm, ( pont) A legkisebb szög legrövidebb oldlll vn szemben. A legrövidebb oldlll szemközti szöget -vl jelölve, koszinusztétellel: 500=4100+400-4100 400 cos. ( pont) Ebből cosα cos 0,6696. ( pont) A háromszög legkisebb szöge: = 48. Összesen: 11 pont - 70 -
- 71 - Síkgeometri - megoldások 41) Adj meg z lábbi állítások logiki értékét (igz vgy hmis)! ) Minden prlelogrmm tengelyesen szimmetrikus négyszög. b) A kock testátlój 45 -os szöget zár be z lplppl. c) A szbályos tizenhétszögben z egyik csúcsból kiinduló összes átló tizenhétszöget 15 háromszögre bontj. ( pont) ) Hmis b) Hmis c) Igz ( pont) 4) Az ABCD trpéz oldlink hossz: AB = 10 cm ; CD = 6 cm ; AD = 7 cm. Az A csúcsnál fekvő belső szög ngyság 70. ) Mekkor távolságr vn D pont z AB oldltól? b) Számíts ki négyszög AC átlójánk hosszát! (4 pont) Az E pont z AD és BC szárk egyenesének metszéspontj. c) Számíts ki z ED szksz hosszát! (4 pont) ) A D pont merőleges vetületét z AB oldlon jelölje T. Meghtározndó DT szksz. Az ATD derékszögű háromszögben: DT sin70=. 7 DT = 7sin70 6,58cm. b) A trpéz D csúcsnál lévő belső szöge 110. Írjuk fel z ACD háromszögben koszinusztételt: AC = 6 + 7 6 7 cos110. Kb. 10,66 cm z AC átló hossz. c) Az AB szksz párhuzmos CD szksszl, így z EDC és EAB háromszögek hsonlóság mitt: x x + 7 = 6 10 Ebből 10x = 6x + 4, zz x = 10, 5 cm. Összesen: 11 pont 4) Egy ABC háromszög A csúcsánál lévő külső szöge 104 -os, B csúcsnál lévő belső szöge 74 -os. Hány fokos háromszög C csúcsnál lévő külső szöge? Válszát indokolj! Az A csúcshoz trtozó belső szög 76 -os. Felhsználv zt z összefüggést, hogy háromszög bármely külső szöge egyenlő nem mellette fekvő belső szögek összegével, dódik, hogy: ' = 76 + 74 = 150. Összesen: pont
005-0XX Középszint 44) Az ABC derékszögű háromszög AC befogój 6cm, BC befogój 8cm hosszú. ) Számíts ki z ABC háromszög hegyesszögeinek ngyságát! A DEF derékszögű háromszög DE befogój 7cm -rel rövidebb, mint DF befogó. Az átfogó cm-rel hosszbb, mint DF befogó. b) Számíts ki DEF háromszög oldlink hosszát! (8 pont) ) Az ABC derékszögű háromszög A csúcsnál lévő szögére felírjuk tngens 8 szögfüggvényt: tg = 6 5,1 és = 6,87. ( pont) b) Vezessünk be ismeretlent DE oldlr! Ekkor DE = x, DF = x + 7 és EF = x + 7 + = x + 9. Ezután Pitgorsz-tételt írunk fel derékszögű háromszögre. x + ( x + 7) = ( x + 9) Az egyenlet rendezésével egy másodfokú egyenletet kpunk, ez z x 4x = 0, melynek gyökei x 1 = 8 és x = 4 lesznek. ( pont) Mivel x oldlhosszúságot jelöl, z x csk 8cm lehet. Visszhelyettesítve háromszög oldli tehát DE = 8cm, DF = 15cm és EF = 17cm. ( pont) Összesen: 11 pont 45) Az ABCD húrtrpéz oldlink hossz: AB = 5 cm; BC =,5 cm, CD = cm és DA =,5 cm. ) Számíts ki trpéz szögeit! (5 pont) b) Htározz meg z ABC és ACD háromszögek területének rányát! (5 pont) c) A trpéz belső szögeit egy-egy 5mm sugrú körívvel jelöltük. Számíts ki négy körív hosszánk összegét! ) Berjzoljuk húrtrpéz C csúcsból kiinduló mgsságát, mjd z így keletkezett BCT derékszögű háromszögre felírunk egy koszinuszszögfüggvényt. 1,5 cos = = 0,6, melyből 5,1 ( pont),5 A húrtrpéz lpon fekvő szögei egyenlők, ezért = = 5,1. Továbbá húrtrpéz egy száron fekvő szögeinek összege 180, így = = = 180 5,1 = 16,87. ( pont) b) A BCT háromszögre Pitgorsz-tételt írunk fel: m =,5 1,5 = cm Így z ABC háromszög területe 5 5 cm T ABC = =. Az ACD háromszög területét z ABCD trpéz és z ABC háromszög területének különbségeként számítjuk ki. - 7 -
Síkgeometri - megoldások (5 + ) T ABCD = = 7 cm TACD = TABCD TABC = cm TABC Így háromszögek területének rány T = 5. c) Mivel trpéz belső szögeinek összege 60, így négy szöghöz trtozó körívek hossz összesen egy 5mm sugrú kör kerületével egyenlő. A kérdezett ívhossz ezért K = 5 = 10 1, 4 mm. ( pont) Összesen: 1 pont 46) Két derékszögű háromszöget egy-egy oldlukkl egymáshoz illesztettünk z ábránk megfelelően. Így z ABCD derékszögű trpézt kptuk. ) Igzolj, hogy z ABC és CAD háromszög hsonló! Legyen AB = 9cm, AC = 15cm. b) Számíts ki trpéz AD oldlán fekvő szögeinek ngyságát! (4 pont) c) Számíts ki trpéz területét! (7 pont) ) Legyen BAC =, ekkor ACB = 90. Mivel BCD = 90, ezért ACD =. A két háromszög szögei páronként egyenlők, így két háromszög vlóbn hsonló. b) 9 BAC =, ekkor cos =, 15 miből 5,1, így trpéz A csúcsnál lévő szöge + 90 14,1. D csúcsnál lévő szög pedig kb. 180 14,1 = 6, 9 c) A trpéz területének meghtározásához kiszámítjuk CD lp és BC oldl ( trpéz mgsság) hosszát. Az ABC és CAD háromszögek hsonlóság mitt CD 15 =, 15 9 miből CD = 5 cm. Az ABC derékszögű háromszögből (Pitgorsz-tétellel): BC = 15 9 = 1cm. ( pont) Az ABCD trpéz területe 5 + 9 1 = 04 cm. ( pont) Összesen: 14 pont ACD - 7 -
005-0XX Középszint 47) Egy háromszög cm és 5 cm hosszú oldli 60 -os szöget zárnk be egymássl. Hány centiméter hosszú háromszög hrmdik oldl? Megoldását részletezze! c = + 5 5 cos 60 c = 19 c 4,6 cm Összesen: pont 48) Az ABC derékszögű háromszög egyik befogój 8 cm, átfogój 17 cm hosszú. ) Számíts ki háromszög 17 cm-es oldlához trtozó mgsságánk hosszát! (5 pont) cm háromszög körülírt körének területe? b) Hány A DEF háromszög hsonló z ABC háromszöghöz, és z átfogój 1,6 cm hosszú. c) Hány százlék DEF háromszög területe z ABC háromszög területének? (4pont) ) A másik befogó hossz (Pitgorsz-tétellel: 17 8 = 15 Mivel háromszög derékszögű így: 8 sin= 17 8,1 sin 8,1 m 15 m 7,1 cm b) Mivel z ABC háromszög derékszögű, így Thálész-tétel megfordítás mitt körülírt körének középpontj z átfogó felezőpontj, ezért kör sugr 8,5 cm A köt területe 8,5 7 cm c) A két átfogó hosszánk rány (egyben két háromszög hsonlóságánk rány): 1,6 = 0,8. 17 A DEF háromszög két befogój 6,4 és 1 cm hosszú. A DEF háromszög területe 8,4 cm, míg z ABC háromszög területe 60 cm A DEF háromszög területe területének. 8,4 100 = 64% - 60 z ABC háromszög Összesen: 1 pont - 74 -