Függvények ábrázolása, jellemzése I.

Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés) Két nem üres A és B halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak egy nem üres részhalmaza. DEFINÍCIÓ: (Alaphalmaz, képhalmaz) Azt az A halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük egy B halmaz elemeit, alaphalmaznak, a B halmazt képhalmaznak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Képelem, őselem) Ha az f hozzárendelés az A alaphalmaz egy x eleméhez a B képhalmaz egy y elemét rendeli, akkor az y - t az x képének, x - et az y ősének nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Egyértelmű hozzárendelés) Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz elemeinek legfeljebb egy képük van a képhalmazban. Ellenkező esetben többértelmű a hozzárendelés. DEFINÍCIÓ: (Függvény) Legyen az U alaphalmaznak A egy nem üres részhalmaza. Az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük a hozzárendelést, ha az A halmaz minden elemének pontosan egy képe van a B képhalmazban. Azt is mondhatjuk, hogy az A halmazt leképeztük a B halmazba. Amennyiben B minden eleme hozzá van rendelve A valamely eleméhez, akkor az A halmazt a B halmazra képeztük le. Egy függvény akkor adott, ha megadtuk az értelmezési tartományát, értékkészletét és hozzárendelési szabályát. Jelölés: f A B; x f(x). A függvények hozzárendelési szabályát megadhatjuk táblázattal, grafikonnal, képlettel, utasítással, nyíldiagrammal, stb.. Descartes féle derékszögű koordinátarendszer: Két egymásra merőleges valós számegyenes, amelyek zéruspontja (origó) közös. A vízszintes x - tengely az értelmezési tartomány, a függőleges y - tengely az értékkészlet elemeit tartalmazza. Lényege, hogy a sík pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést adunk meg. Az összetartozó értékpároknak egy pont felel meg: első koordinátája az értelmezési tartománynak, a második az értékkészletnek az eleme, s ezek a koordináták a pontnak a tengelyektől mért előjeles távolságát adják meg. 1

DEFINÍCIÓ: (Helyettesítési érték) Az A - ból B - be képező f függvény esetén, ha x A, akkor az y = f (x) B jelöli a függvény x helyen felvett értékét (helyettesítési értékét). DEFINÍCIÓ: (Szám szám függvény) Egy függvényt szám szám függvénynek nevezünk, ha az alaphalmaz és a képhalmaz is számhalmaz. Az olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok részhalmaza, valós függvénynek nevezzük. Egy pont első koordinátáját abszcisszának, a második koordinátáját ordinátának nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Injektív függvény) Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendeli. DEFINÍCIÓ: (Szürjektív függvény) Egy függvényt szürjektívnek nevezünk, ha minden értékkészletbeli elemnek létezik őse. Injektív, de nem szürjektív Szürjektív, de nem injektív DEFINÍCIÓ: (Bijektív függvény) Egy függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezünk, ha injektív és szürjektív. A kölcsönösen egyértelmű függvény értékkészlete egyenlő a képhalmazzal és különböző elemek képe különböző. 2

Elemi függvények DFINÍCIÓ: (Egyenes arányosság függvény) A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett f x mx függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Ha egyenes arányosság van az A és B halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok aránya egy (0 tól különböző) állandó: m = y (x 0). x Szemléletesen: Egyenes arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára változtatva a másik mennyiséget is ugyanennyiszeresére kell változni. Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes. Az egyenes állása az m aránytól függ, így az m t meredekségnek (vagy iránytényezőnek) nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Lineáris függvény) A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett f x mx + b függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Jelölés: f (x) = mx + b, vagy y = mx + b. Szemléletesen: Az m meredekség megmutatja, hogy egy egységet mozdulva az x tengely mentén jobbra, mennyi egységet kell mozdulni az y tengely mentén, míg a b szám megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az y tengelyt. Ha az egyenes két pontja P (x 1 ; y 1 ) és Q (x 2 ; y 2 ), akkor a meredeksége: m = y 1 y 2 x 1 x 2. A lineáris függvény grafikonja párhuzamos az e x mx fügvénnyel. Ha m 0, akkor elsőfokú függvénynek nevezzük. Ha m = 0, akkor nulladfokú (konstans) függvénynek nevezzük. Ha m > 0, akkor növekvő x értékhez növekvő y érték tarozik, vagyis a függvény növekvő. Ha m < 0, akkor növekvő x értékhez csökkenő y érték tartozik, vagyis a függvény csökkenő. Az egyenes arányosság olyan lineáris függvény, amelyben b = 0. 3

Lineáris függvények: egyenes arányosság függvény (piros) DEFINÍCIÓ: (Fordított arányosság függvény) Ha az f függvény értelmezési tartománya a 0 tól különböző valós számok halmaza (vagy annak valamely részhalmaza) és f (x) = m (ahol m egy 0 tól különböző valós szám), akkor x az f függvényt fordított arányosságnak nevezzük. Ha fordított arányosság van az A és B halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok szorzata egy (0 tól különböző) állandó: m = xy (x 0). Szemléletesen: Fordított arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára változtatva a másik mennyiséget ugyanennyied részére kell változtatni. A fordított arányosság képét hiperbolának nevezzük, s az x = 0 helyen szakadása van. ax + b Az x hozzárendelési szabályú függvényt lineáris törtfüggvénynek nevezzük, ha cx + d ekvivalens algebrai átalakításokkal nem hozható konstans alakra (a, b, c, d R; c 0). Fordított arányosság függvény 4

DEFINÍCIÓ: (Másodfokú függvény) A valós számok halmazán értelmezett f (x) = ax 2 + bx + c függvényt másodfokú függvénynek nevezzük, ahol a, b, c R és a 0. Ha a > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló, ha a < 0, akkor egy lefelé nyíló parabola. A teljes négyzetté alakítást elvégezve megkapjuk a parabola T (u; v) tengelypontjának koordinátáit: ax 2 + bx + c = a (x u) 2 + v. Az f (x) = x n függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ahol n N és n > 1. Másodfokú függvény DEFINÍCIÓ: (Abszolútérték függvény) A valós számok halmazán értelmezett f (x) = x függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük. Abszolútérték függvény 5

DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyök függvény) A nem negatív valós számok halmazán értelmezett f (x) = x függvényt négyzetgyök függvénynek nevezzük. A négyzetgyök függvény képe egy,,félparabola. 3 Az f (x) = x köbgyök függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Négyzetgyök függvény DEFINÍCIÓ: (Egészrész függvény) Azt a függvényt, amely minden x valós számhoz hozzá rendeli az x egész részét, azaz azt a legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb x nél, egészrész függvénynek nevezzük. Jelölés: f (x) = [x]. Példa: [2; 3] = 2; [5,2] = 5; [ 2] = 2; [3] = 3; [ 1,7] = 2; [ 3,4] = 4; Egészrész függvény 6

DEFINÍCIÓ: (Törtrész függvény) Ha egy számból elvesszük az egész részét, akkor meg kapjuk a szám tört részét. Azt a függvényt, amely minden x valós számhoz hozzárendeli a törtrészét, törtrész függvénynek nevezzük. Jelölés: f (x) = {x} = x [x]. Példa: {1,3} = 0,3; {6,7} = 0,7; { 3} = 0; {2} = 0; { 2,1} = 0,9; { 4,8} = 0,8; Törtrész függvény DEFINÍCIÓ: (Előjelfüggvény) Előjelfüggvénynek (vagy szignum függvénynek) nevezzük a következő eljárással meghatározott függvényt: 1, ha x > 0 f R R; x 0, ha x = 0 { 1, ha x < 0. Jelölés: f (x) = sgn (x). Előjel (szignum) függvény 7

Függvények jellemzői DEFINÍCIÓ: (Értelmezési tartomány) Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, vagyis az a halmaz, amelynek az elemeihez a másik halmaz egy egy elemét rendeljük. Jelölés: D f. Az értelmezési tartomány elemei a független változó értékek. Szemléletesen: Egy függvény értelmezési tartománya azon x értékek halmaza az x tengelyen, melyeken a függvény értelmezve van. DEFINÍCIÓ: (Értékkészlet) A képelemek (függvényértékek) a képhalmaznak azok az elemei, amelyeket a független változó értékeihez rendelünk. A függvényértékek halmaza a függvény értékkészlete. Jelölés: R f. Az R f részhalmaza B nek. Az értékkészlet elemeit függő változóknak is nevezzük. Szemléletesen: Egy függvény értékkészlete azon y értékek halmaza az y tengelyen, melyeket a függvény felvesz. 8

DEFINÍCIÓ: (Zérushely) Egy függvény zérushelyének (nullhelyének) nevezzük az értelmezési tartomány minden olyan x értékét, amelyhez a 0 függvényérték tartozik. Ha a zérushelyet nem tudjuk egyértelműen leolvasni az ábráról, akkor azt megkaphatjuk az f (x) = 0 egyenlet megoldásával is. Szemléletesen: A függvény zérushelye az a pont, ahol a függvény grafikonja metszi az x tengelyt. DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő függvény) Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton növekvőnek nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a függvényérték növekvő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely x 1 < x 2 esetén f (x 1 ) < f (x 2 ). DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő függvény) Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a függvényérték csökkenő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely x 1 < x 2 esetén f (x 1 ) > f (x 2 ). Amennyiben megengedjük az egyenlőséget, akkor monoton növekvő (illetve csökkenő) függvényről beszélünk. DEFINÍCIÓ: (Páros függvény) Egy függvényt párosnak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli x elemére ( x) is eleme az értelmezési tartománynak és f (x) = f ( x) teljesül. Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ugyanazt az értéket veszi fel, s ilyenkor a függvény képe az y tengelyre szimmetrikus. DEFINÍCIÓ: (Páratlan függvény) Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli x elemére ( x) is eleme az értelmezési tartománynak és f ( x) = f (x) teljesül. 9

Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ellentett értéket vesz fel, s ilyenkor a függvény képe az origóra szimmetrikus. DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: maximum) Egy függvénynek globális (abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy x 0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden x elemére f (x) f (x 0 ) teljesül. Az x 0 - t a maximum helyének, az y = f (x 0 ) - t a maximum értékének nevezzük. Személetesen: Maximuma van a függvénynek, ha van olyan legnagyobb pontja, ami fölé nem halad a függvény képe. DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: minimum) Egy függvénynek globális (abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy x 0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden x elemére f (x) f (x 0 ) teljesül. Az x 0 - t a minimum helyének, az f (x 0 ) - t a minimum értékének nevezzük. Személetesen: Minimuma van a függvénynek, ha van olyan legkisebb pontja, ami alá nem halad a függvény képe. DEFINÍCIÓ: (Lokális szélsőérték) Egy függvénynek lokális (helyi) maximuma, illetve minimuma van az értelmezési tartomány x 0 értékénél, ha az x 0 - nak van olyan ]x 0 δ; x 0 + δ[ környezete, ahol az ebbe eső x ekre a függvény értelmezve van és f(x) f (x 0 ), illetve f(x) f (x 0 ). DEFINÍCIÓ: (Alsó korlát) Egy függvényt alulról korlátosnak nevezünk, ha van olyan k valós szám, hogy bármely értelmezési tartománybeli x elem esetén f (x) k teljesül. A legnagyobb alsó korlátot pontos alsó korlátnak nevezzük. Szemléletesen: A függvény pontos alsó korlátja az a legnagyobb szám, amelynél kisebb értéket nem vesz fel a függvény. 10

DEFINÍCIÓ: (Felső korlát) Egy függvény felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy bármely értelmezési tartománybeli x elem esetén f (x) K teljesül. A legkisebb felső korlátot pontos felső korlátnak nevezzük. Szemléletesen: A függvény pontos felső korlátja az a legkisebb szám, amelynél nagyobb értéket nem vesz fel a függvény. DEFINÍCIÓ: (Korlátos függvény) Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos. Alsó (felső) korlátból végtelen sok lehetséges, de pontos alsó (felső) korlátból csak egy. A függvény szélsőértéke része a függvény képének, de az alsó (felső) korlátja nem feltétlen. DEFINÍCIÓ: (Periodicitás) Ha van olyan p > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére (x ± p) is eleme az értelmezési tartománynak és f (x) = f (x ± p) teljesül, akkor az f függvényt periodikusnak nevezzük. Ezen lehetséges p értékek közül a legkisebbet (amennyiben létezik) a függvény periódusának nevezzük. Mivel a p értékek között nem mindig létezik legkisebb, így lehetséges, hogy egy periodikus függvénynek nincs periódusa (pl.: konstans függvény). Szemléletesen: Periodikus a függvény, ha van olyan távolság, mellyel bármelyik irányba, bármennyiszer elmozdítva a grafikont önmagába megy át. DEFINÍCIÓ: (Konvex függvény) Egy f függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konvexnek nevezzük, ha az adott intervallum bármely x 1 ; x 2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: f ( x 1+x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ). 2 2 Szemléletesen: Egy függvény konvex, ha a görbe feletti síktartomány konvex halmaz; érintője mindenütt a görbe alatt halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe felett halad. 11

DEFINÍCIÓ: (Konkáv függvény) Egy f függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konkávnak nevezzük, ha az adott intervallum bármely x 1 ; x 2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: f ( x 1+x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ). 2 2 Szemléletesen: Egy függvény konkáv, ha a görbe feletti síktartomány konkáv halmaz; érintője mindenütt a görbe felett halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe alatt halad. DEFINÍCIÓ: (Inflexiós pont) Egy függvénynek egy pontját inflexiós pontnak nevezzük, ha az adott pontban a görbe konvexitást vált (konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe megy át). DEFINÍCIÓ: (Aszimptota) Egy függvény aszimptotája egy olyan görbe (többnyire egyenes), ami a függvény grafikonját tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el. A fordított arányosság grafikonjának aszimptotái az x -, illetve y tengelyek. 12

Alapfüggvények jellemzői Másodfokú függvény: f (x) = x 2 f (x) Értelmezési tartomány Érték készlet D f : x R R f : y [0; + [ Zérushely x = 0 Monotonitás x ] ; 0] szigorúan monoton csökkenő x [0; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x = 0 Minimum értéke: y = 0 Korlátosság Pontos alsó korlát: k = 0 Paritás Periodicitás Páros Nem periodikus 13

Abszolútérték függvény: g (x) = x g (x) Értelmezési tartomány Érték készlet D g : x R R g : y [0; + [ Zérushely x = 0 Monotonitás x ] ; 0] szigorúan monoton csökkenő x [0; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x = 0 Minimum értéke: y = 0 Korlátosság Pontos alsó korlát: k = 0 Paritás Periodicitás Páros Nem periodikus 14

Fordított arányosság függvény: h (x) = 1 x h (x) Értelmezési tartomány D h : x R \ {0} Érték készlet R h : y R \ {0} Zérushely Nincs zérushelye Monotonitás x ] ; 0[ szigorúan monoton csökkenő x ]0; + [ szigorúan monoton csökkenő Szélsőérték Korlátosság Paritás Periodicitás Nincs szélsőértéke Nincs alsó és felső korlátja sem Páratlan Nem periodikus 15

Négyzetgyök függvény: k (x) = x k (x) Értelmezési tartomány Érték készlet D k : x [0; + [ R k : y [0; + [ Zérushely x = 0 Monotonitás Szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x = 0 Minimum értéke: y = 0 Korlátosság Pontos alsó korlát: k = 0 Paritás Periodicitás Nem páros, nem páratlan Nem periodikus 16

Egészrész függvény: m (x) = [x] m (x) Értelmezési tartomány Érték készlet D m : x R R m : y Z Zérushely x = [0; +1[ Monotonitás Szélsőérték Korlátosság Paritás Periodicitás Monoton növekvő Nincs szélsőértéke Nincs alsó és felső korlátja sem Nem páros, nem páratlan Nem periodikus 17

Törtrész függvény: n (x) = {x} n (x) Értelmezési tartomány D n : x R Érték készlet R n : y [0; 1[ Zérushely x = Z Monotonitás x [0; 1[ szigorúan monoton növekvő x [1; 2[ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x Z Minimum értéke: y = 0 Pontos alsó korlát: k = 0 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 1 Korlátos függvény Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Periodikus: p = 1 18

Előjel (szignum) függvény: s (x) = sgn (x) s (x) Értelmezési tartomány D s : x R Érték készlet R s : y { 1; 0; 1} Zérushely x = 0 Monotonitás Monoton növekvő Minimum helye: x ] ; 0[ Szélsőérték Minimum értéke: y = 1 Maximum helye: x ]0; + [ Maximum érétke: y = 1 Pontos alsó korlát: k = 1 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 1 Korlátos függvény Paritás Periodicitás Páratlan Nem periodikus 19

Függvénytranszformációk Az egyes függvénytípusokhoz tartozó függvényeken bizonyos fajta átalakításokat végezve a típus nem változik meg. Ha egy koordináta rendszerben ábrázolt függvény grafikonját valamelyik tengely irányában eltoljuk, megnyújtjuk vagy összenyomjuk, akkor azt mondjuk, hogy függvénytranszformációt hajtottunk végre. Változó transzformációk (x koordináták változtatása): f ( x): az y tengelyre való tükrözés f (x + c): az x tengely mentén ( c) vel való eltolás f (b x): az y tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás (az x koordinátákat 1 - szeresére változtatjuk, az y koordinátákat nem változtatjuk) b f ( x ): az x 0 értékekhez tartozó görbét tükrözzük az y tengelyre Érték transzformációk (y koordináták változtatása): f (x): az x tengelyre való tükrözés f (x) + d: az y tengely mentén (+d) vel való eltolás a f (x): az x tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás (az y koordinátákat a szorosára változtatjuk, az x koordinátákat nem változtatjuk) f(x) : az y < 0 értékeket tükrözzük az x tengelyre Transzformációk sorrendje: Először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat végezzük el. 1. f (x) 2. f (x + c) 3. f (b x + c) 4. f ( b x + c) 5. a f ( b x + c) 6. a f ( b x + c) 7. a f ( b x + c) + d 20

Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1. (K) Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét. 2. (K) Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés? A: A testekhez rendeljük a felszínüket. B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket. C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat. D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat. 3. (K) Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként! f (x) = R + R + ; g(x) = 2xπ g (x) = R + R + R + ; h(x; y) = xy 2 4. (K) Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja? 21

5. (E) Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív! a) e R R; x 19 b) f R R; x 5x 1 c) g R R; x x 2 d) h R R; x x e) k R [0; 1[; x {x} f) s [2; 7] R; x x 2 g) t [ 3; 5] [0; 5]; x x h) z R + R + ; x 1 x 22

6. (K) Határozd meg a következő függvények f ( 2) helyettesítési értékét! a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 3x 2 17 c) f (x) = x + 8 5 d) f (x) = 11 + x e) f (x) = 1 x 2 + 6 7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 3 értéket! a) f (x) = x 5 b) g (x) = x 2 1 c) h (x) = x 3 d) k (x) = x 4 e) t (x) = 1 x + 10 8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a P (1; 3) pont a következő függvények grafikonjára! a) f (x) = 5x 8 b) g (x) = 2x 2 5 c) h (x) = x + 2 + 1 d) k (x) = x + 3 e) t (x) = 8 x 5 1 9. (K) Határozd meg, hogy a P (20; 150) és a Q (100; 900) pontok hogyan helyezkednek el az f (x) = 8x 7 függvény grafikonjához képest! 23

10. (K) Határozd mag a P (x; 2) és Q ( 5; y) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek a következő függvényekre! a) f (x) = 1 x + 3 2 b) g (x) = x 2 7 c) h (x) = 2 x 1 d) k (x) = x + 30 e) t (x) = 4 x + 1 11. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a koordináta tengelyeket! a) f (x) = 14x + 11 b) g (x) = 7 (x + 5) 2 28 c) h (x) = 3 2x + 8 d) k (x) = 5x 10 e) t (x) = 2 x+6 12. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit! a) f (x) = 2 x 1 5 b) g (x) = (x + 7) 2 c) h (x) = 8x 16 d) k (x) = 6 x + 1 e) t (x) = 7 2x + 3 4 13. (K) Írd fel annak a g (x) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy kapunk, hogy az adott f (x) függvényt eltoljuk az adott v vektorral! a) f (x) = x 2 és v (5; 8) b) f (x) = 3 x és v ( 2; 7) 24

14. (K) Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! a) A (1; 1) és B ( 2; 2) b) C ( 5; 4) és D (8; 10) c) P (2; 5) és Q ( 1; 8) d) R ( 3; 7) és S (4; 11) 15. (K) Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy f ( 3) = 2 és f (7) = 4! 16. (K) Ábrázold a következő lineáris függvényeket! a) f (x) = 2x 1 b) g (x) = 5 c) h (x) = x + 3 d) k (x) = 4x e) t (x) = 2 x 2 3 17. (K) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f(x) = 1 2 (x 1)2 + 2! 18. (E) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f (x) = (2x + 4) 2 3! 19. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4! 20. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = (3 x)2 3! 21. (K) Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: f (x) = x 2 + 2x 3! 25

22. (K) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 3! 23. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének (tengelypontjának) koordinátáit! a) f (x) = (x + 8) 2 5 b) g (x) = 3 (x 1) 2 + 7 c) h (x) = x 2 + 4x 6 d) k (x) = 2x 2 36x + 11 24. (E) Határozd meg az f (x) = x 2 + 4x + c függvényben szerpelő c paraméter értékét úgy, hogy minimuma az y = 3 legyen! 25. (K) Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = 2x 2 + 4x 6 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 3; 2], c) x ]0; 1]! 26. (K) Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = x 2 + 2x + 3 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 2; 0], c) x ]2; 3]! 27. (K) Adj meg olyan f (x) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (4; 3) pont, illetve olyan g (x) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (1; 6) pontban! 28. (E) Az f (x) = ax 2 + bx + c függvény két zérushelye x 1 = 2 és x 2 = 4. Add meg az a, b és c értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az y tengelyt 6 nál metsze! 29. (E) Add meg az a, b, c értékeket úgy, hogy az f(x) = ax 2 + bx + c függvény tengelypontja a T (3; 2) legyen és illeszkedjen rá a P (1; 6) pont! 26

30. (K) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 3 x + 2 4! 31. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 3 + 1! 2 32. (E) Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az f (x) = x 2 3 függvényt! 33. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x x 3! 34. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + x + 2! 35. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4 x! 36. (K) Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: f (x) = x 1 + 6! 37. (K) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3! 38. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 1 + x! 3 39. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x! 40. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 3 x 4! 41. (K) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 1 + 2! 42. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 2x! 43. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + 1 x 2! 44. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 1 x 2! 27

45. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 1 x! 46. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3 4! 47. (E) Hány rácsponton megy át az f (x) = 2x + 3 2 x függvény grafikonja! 48. (E) Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya R \ {3} és a grafikonja illeszkedik a P (0; 4) és Q ( 2; 2) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! 49. (K) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = {2x}! 50. (K) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 [x]! 51. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = sgn (x 2 4x)! 52. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = [x] 2! 53. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = x [x]! 54. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = [x 3]! 55. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = {x} + 4! 56. (K) Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon! a) f (x) = x 3, ha x ] 1; 2] b) f (x) = x + 2, ha x [1; 6] c) f: [ 4; 5[ R; x x 3 28

57. (K) Ábrázold a következő függvényeket! 1 2 x + 6, ha x < 4 a) f (x) = x, ha 4 x < 3 { 3, ha x 3 (x + 5) 2 3, ha x 3 b) f (x) = x + 4, ha 3 < x < 2 { 2 x 2 + 2, ha x 2 58. (E) Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2x2 8 x + 2! 59. (E) Állapítsd meg a következő függvények paritását! f: R R; x 5x3 6 + x 10 g (x) = x 7 h (x) = x 2 + x8 60. (E) Igazold, hogy az f (x) = 4x 3 + 3x 2 + 2x 1 függvény az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő! 61. (E) Mennyi a periódusa az f (x) = 5 {x} + 2, illetve a g (x) = { x 7 8} függvénynek? 62. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! a) 2x + 3 = x + 6 b) x 2 = 4 c) x = 3x d) x 2 4 = x + 2 e) x 2 + 3 = x + 2 29

63. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) 3 x 5 < x + 2 4 b) x + 4 > 1 c) x 2 x d) 2 x + 1 e) x 2 (2x) 2 64. (K) Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát! 30

65. (K) Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat? A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik másodpercétől kezdve) 20 Ft ot kell fizetni. B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja. C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása. D: A nagymutató által mutatott perc 6 és 10 óra között. E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése). F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása. 66. (E) Ábrázold derékszögű koordináta rendszerben a következő halmazokat! a) A = {P(x; y) 1 < x < 4 és 1 y és x, y R} b) B = {P(x; y) x 2 vagy y > 1 és x, y R + } c) C = {P(x; y) y < x + 1 és y x 2 1 és x R, y R} d) D = {P(x; y) x 2 + y 2 25 és y < 3 és x, y R} 67. (E) Adott az f (x 2) = x, x R függvény. Add meg az f (x + 1), x R függvényt! 68. (E) Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett f függvényt, ha tudjuk, hogy f (x + 3) = x 2 2x + 3! 31

Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest (2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (7) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 10. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (9) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html (10) Saját anyagok 32