Képességvizsgálatok 7 A folyamatképesség vizsgálata A 3 fejezetben láttuk, hogy ahhoz, hogy egy folyamat jellemzıjét a múltbeli viselkedése alapján egy jövıbeni idıpontra kiszámíthassuk (pontosabban, hogy megadhassuk, adott valószínőséggel milyen határok közötti értékeket vesz föl), a folyamatnak stabilnak kell lennie E stabilitást vizsgálhatjuk az ellenırzı kártyákkal, vagyis azt, hogy a folyamat jellemzıjének ingadozását leíró valószínőség-eloszlás paraméterei nem változtak-e meg A 3-1 ábrán láttuk, hogy a stabilitás még nem elegendı ahhoz, hogy egy jellemzı értéke az elıírt határok között legyen Stabil folyamat jellemzıjének (véletlenszerő) ingadozása is lehet túlságosan nagy a tőrésmezı szélességéhez képest, ill lehet, hogy az ingadozás nem nagy, de centruma nem az elıírt érték A képességvizsgálat célja annak megállapítása, hogy a folyamat képes-e az elıírásoknak megfelelı jellemzı-értékeket szolgáltatni A 71 pontban a minıségképességi indexeket ismertetjük, a 7 pont tárgya a Taguchi-féle minıség-fogalom és veszteségfüggvény A 3-1 ábrából az is leszőrhetı, hogy elıször a stabilitásról kell gondoskodni, és csak ha ez megvan, akkor indokolt azt értékelni, hogy az ingadozás centrumának beállítása és az ingadozás mértéke elfogadható-e Ha ugyanis a folyamat nem stabil, éppen nem tudjuk a jövıbeni viselkedését becsülni 71 Minıség-képességi indexek A folyamatképesség vizsgálata szőkebb értelemben bizonyos indexek kiszámítását jelenti, ezeket eredetileg a normális eloszlás szerint ingadozó jellemzıkre dolgozták ki, de bizonyos megfontolásokkal más eloszlású valószínőségi változókra is használhatók A tulajdonképpeni kérdés az, hogy a gyártott termék mekkora hányadára lesz igaz, hogy valamely jellemzıje (mérete, tömege, koncentrációja, szilárdsága stb) az elıírt határok közé (ill azokon kívül) esik, vagyis a gyártott termék mely hányada felel meg az elıírásoknak, és mekkora része selejt Az elıírt határokat az és (upper specification limit, lower specification limit) adatokkal jellemezzük A használatos indexeket ismertetjük a következıkben Minıség-képességi index (rocess capability) Definíciója a következı: 1
6σ A normális eloszlású valószínőségi változó 9973 % valószínőséggel a ±3σ határon belül van, tehát természetes ingadozása határainak távolsága (, ) éppen megegyezik a tőrésmezı szélességével Ha 1, 1000 közül 3 termék-egyed lesz kívül a tőrésmezın, feltéve, hogy az ingadozás centruma (a várható érték) éppen a tőrésmezı közepe Ha >1, még ennél is kisebb a selejtarány Más szavakkal, a Gauss-görbe alatti terület azon részének arányát jellemzi, amely a tőrésmezıbe esik, ha a várható érték a tőrésmezı közepén van (7-1a ábra) 1 a) >1 b) 13
<1 c) 7-1 ábra A index szemléltetése A index nagysága jellemzi az illetô iparág vagy üzem minıség-kultúrájának színvonalát Bhote (1988) szerint a 80-as évek elıtt (mielıtt az S-módszereket kiterjedten használták volna) az USA iparában a jellemzı -érték 067 volt, vagyis a gyártott termékek mintegy 5%-a az elıírásoknak nem felelt meg A 80-as évek végére a 067 értékkel jellemzett minıségő termelés aránya 30% körülire csökkent Ugyancsak a 80-as évek elején Japánban általánosan a 133 értéket írták elı, a hightech ágazatokban pedig ennél is magasabbat, a Minolta szabványa 7-1 példa Számítsuk ki a -1 példában megismert pörköltkávé-adagoló automata ellenırzı kártyáira kapott becsült paraméterekbıl a folyamat képességi indexét, ha az elıírás 50±5 g! A várható érték becslése az átlag-kártyán látható, 9955 g A variancia becslését a terjedelemre alapozhatjuk, az átlagos terjedelem 333, ezt kell az ötelemő mintára érvényes, a függelék V táblázatából vehetı d 36 értékkel osztani, hogy σ becslését kapjuk, amely így 1003-nek adódik 55 5 166 6σ 6 1003 7- példa 1 A értéke pontbecslés ndokolt lehet azt is megadni, hogy mekkora intervallumban található az igazi -érték adott biztonsággal, vagyis a konfidenciaintervallumát A becslés abban áll, és bizonytalansága is abból adódik, hogy a nevezıben szereplı σ helyett annak becslésével számolunk Ha σ becsléséül az egyesített szórásnégyzetet használjuk, az a -1 példában 0, egyenként 5 elemő, tehát szabadsági fokú szórásnégyzetbıl jön létre, tehát
szabadsági fokszáma 80, értéke 0963, a szórás ennek négyzetgyöke, azaz 098, nem nagyon különbözik a terjedelembıl kapott becsléstıl Az így számított képesség-index: 55 5 1697 6σ 6 0 98 A korrigált tapasztalati szórásnégyzet eloszlása s χ σ, ahol ν a szabadsági fokszám A helyettesítéssel kapott ɵ eloszlása ν σ ɵ s ν χ, ebbıl a konfidenciaintervallum: ɵ χ χ alsó ɵ fölsô < < ν ν Ha 90%-os biztonságot kívánunk, χ fölsô -re a 095 valószínőséghez, χ alsó -ra a 005 valószínőséghez tartozó határt kell vennünk a függelék táblázatából; ezek értéke (ν80-ra) 1069 ill 60, így a konfidenciaintervallum: 60 106 9 1697 < 1697 80, azaz 17 < 196 80 Ez azt jelenti, hogy az index valódi értéke 90 % valószínőséggel 17 és 196 között van, az intervallum szélessége figyelemreméltó Számítsuk most ki a index konfidenciaintervallumát, ha a nevezıjében szereplı σ becslésére nem az egyesített szórásnégyzetet, hanem az átlagos terjedelmet használjuk! A becslés ekkor ɵσ R d Ezt helyettesítve a index képletébe (n5-re d 36, a függelék V táblázatából): 55 5 1661 6R / d 6 333 / 36 Az átlagos terjedelem várható értékének 1-α valószínőségő konfidenciaintervalluma: ( α / R / ( ) α / R / ) R u σ m < E R R + u σ m 1 α, 15
ahol m a minták száma tt a normális eloszlás alkalmazása jogos, nem jelent lényeges elhanyagolást, mert az átlagos terjedelem eloszlása, bármilyen volt is az egyedi terjedelmeké, a centrális határeloszlási tétel értelmében közel normális A 1 pontban megtárgyaltak szerint egy minta terjedelmének bizonytalanságára igaz, hogy σ R d 3 σ Ennek becslése: d3r σɵ σɵ R d3 d Az 5 elemő mintákra d 36, d 3 086, ezzel 086 333 σɵ R 0867 36 A példa szerinti 90%-os biztonsághoz tartozó u α/ 165, ezzel ( 333 165 0867 / 0 E( R ) 333 165 0 867 / 0) < ( E( R ) ) 013 < 65 0 9 Az átlagos terjedelem várható értékének kapott konfidenciaintervallumát a index képletébe helyettesítve: 1661 333 1661 < 333 65, azaz 16 < 19 013 Azt találjuk, hogy gyakorlatilag mindegy, hogy a index és konfidenciaintervallumának számításánál a nevezıjében szereplı σ becslésére az egyesített szórásnégyzetet vagy az átlagos terjedelmet használjuk Korrigált minıség-képességi indexek A mutató definíciójából következı tulajdonsága, hogy nem veszi figyelembe az ingadozás centrumának esetleges eltolódását (7-/b ábra) Ezért a következı indexeket is használják: µ U, 3σ 16 L µ 3σ Ha U L, az ingadozás centruma éppen a tőrésmezı közepe, ekkor a két index nemcsak egymással, hanem értékével is megegyezik Természetesen, ha U L, az ingadozás centruma nem a tőrésmezı közepe Ha az eltolódás a tőrésmezı közepétıl
mérve pozitív irányú, U értéke csökken, L értéke nı, és a termék-egyedek számottevı része fölfelé kieshet a tőrésmezıbıl, amint ez a 7- ábrán látható U 1, L 1 1 K 1 a) U <1, L >1 1 K <1 b) 1 U >1, L <1 K <1 c) 7- ábra Magyarázó ábra U és L szemléltetésére A minıséget végülis a következı mutató jellemzi jól (demonstrated excellence): ( ) min, K U L A korrigált minıség-képességi indexre igaz, hogy K 17
Az indexek kiszámításhoz a µ várható érték és a σ variancia becslésére van szükség A várható értéket a számtani átlaggal, a varianciát a korrigált tapasztalati szórásnégyzettel, a szórás négyzetével ill a terjedelembıl szokás becsülni és a képletekbe helyettesíteni Emlékeztetıül, a korrigált tapasztalati szórásnégyzet a következıképpen számítható ki: s ( xi x) i n 1 Ha nem így számolunk, hanem az egyes mérési adatoknak az elıírt T (target) értéktıl való eltérésével, egy módosított szórásnégyzetet kapunk: s m ( xi T) i n 1 Ezt kifejezésébe helyettesítve egy módosított mutatót kapunk, amelyet m -mel szokás jelölni A módosított minıség-képességi index nevezıjében σ helyett τ szerepel: m, 6τ ahol τ az ún MSE- (mean square error: közepes négyzetes hiba) függvény négyzetgyöke A MSE függvény definíciója: [( ) ] MSE E x T, vagyis az elıírt értéktıl való eltérés négyzetének várható értéke; szemben a varianciával, [ ] amely σ ( µ ) E x, a várható értéktıl való eltérés négyzetének várható értéke A variancia nem függ az elıírt értéktıl, a MSE-függvény igen Két részbıl áll, a varianciából, és a torzítás négyzetébıl: ( ) τ σ + µ T Vagyis m ( T) 6 σ + µ A módosított minıség-képességi indexre is igaz, hogy m 7-3 példa 18
Hasonlítsunk össze két folyamatot, mindkettıre az elıírás 100±1 Az egyikben legyen σ0, µ995, vagyis az ingadozás centruma eltér a névleges értéktıl; a másikban σ0, µ100, vagyis az ingadozás centruma a névleges érték, csak az ingadozás mértéke nagyobb A MSE értéke a két folyamatra: ( ) ( T) ( ) τ σ + µ 0 + 99 5 100 0 9; τ 0 538 τ ( ) ( ) 0 + 100 100 016 ; τ 0 A folyamatképesség indexei a két folyamatra: U L 101 99 101 99 167 ; 0 83; 6σ 6 0 6 0 µ 101 99 5 101 100 15 ; U 0 83 ; 3σ 3 0 3 0 µ 99 5 99 100 99 083 ; L 083 ; 3σ 3 0 3 0 { U L} K min, 083 ; K m 083 ; 101 99 101 99 0 6 ; m 083 6τ 6 0538 6 0 7- példa Legyen egy gyártási folyamat valamely jellemzıjének elıírt tartománya 100±1, a σ becslése s0 Mekkorák a képességi indexek, és a termék mekkora része lesz kívül a tőrési tartományon (lesz fölött ill alatt), ha µ becslése 100, 995 ill 1005? Az eredmények a 7-1 táblázatban láthatók 7-1 táblázat µ U L K µ u σ > µ u σ < 1000 167 167 167 167 50 6 10-7 -50 6 10-7 995 167 50 083 083 75 6 10-7 -5 0006 1005 167 083 50 083 5 0006-75 6 10-7 19
Folyamat-képesség és folyamat-teljesítmény, rövid és hosszú távú teljesítmény A folyamatképességet gyakran nem egyetlen mintából, hanem minták egymásutánjából elemzik lyenkor a varianciát lehet az összes adatokból is becsülni, de lehet az egyes mintákra kapott becslések egyesítésével is A kétféle számolás eredménye csak akkor egyezik meg, ha a folyamat stabil, vagyis csak véletlen ingadozások vannak, az egyes minták között rendszeres eltérés (ún veszélyes hiba) nincs Ha az elıbbi utat járjuk, vagyis a varianciát az összes adatokat egy mintának kezelve becsüljük, a becsült variancia a mintákon belüli ingadozást és a minták közötti különbségeket egyaránt tükrözi Az így számított mutatókat helyett ( K stb) jelöli és folyamat-teljesítmény (process performance) index a nevük Ha az ellenırzı kártyáknál megismert módon a mintákon belüli eltérésekbıl becsüljük a varianciát (pl a minták terjedelmének átlagolásával), a folyamat belsı, véletlenszerő ingadozására jellemzı mutatókat kapjuk, szőkebb értelemben ezeket nevezik folyamatképességi (process capability) indexeknek 0