5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88 Ezt fel is veszi, ha a b 777 Legyen a keresett szakaszok hossza: cm, illetve 50- cm A négyzetek területének összege: + _ 50 -i + _ 50 - i + _ 50 -i 5 # Tehát a minimális terület: 65 cm, ekkor a négyzetek oldala: y 5 cm 778 Legyenek a levágott darabok: cm és 60- cm A négyzetek oldalai: J N J 60-60 - N cm és 60 - + + cm O O 0 # Tehát a minimális terület: 800 cm, ekkor a négyzetek oldalai: 0-0 cm hosszúak 779 Becsüljük y értékét közepekkel! y 7 y # + J 7 N, melybôl y# O, az egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha y 8,5 Ez nem eleme az alaphalmaznak Létezik-e ekkor egyál- talán megoldása a feladatnak? Természetesen igen, az 8, y 9 vagy fordítva A feladat általánosítható: + + + + n c és n nem osztója c-nek esetekre hasonló a megoldás gondolatmenete 780 () Ha pozitív valós szám és tart 0-hoz, akkor tart végtelenhez, így S is tart végtelenhez J N J N + + y + O y O + + y + y () $ ; J N + O J N J N O y + + + + J J _ N N O i y y + + y + O O $ $ L L O y O O P P L P
Nevezetes egyenlôtlenségek 5 _ + i, 5, tehát S $,5, s ezt az értéket fel is veszi ha + y+, y vagyis ha y 78 Vizsgáljuk meg S értékét, ha y z és a feltételnek megfelelôen, tehát: + y + z Alkalmazzuk a négyzetes és a harmonikus közép közötti egyenlôtlenséget! + + y z # + y + z Vegyük mindkét oldal reciprokát! 9 + + $ $ y z Ekkor y z esetén az egyenlôség teljesül, így a kifejezés minimuma S 78 Alakítsuk át az elsô tagot, és a nevezôben alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget: y y y y y $ + y + - - - - + y + y y Átalakítás után alkalmazzuk ismét a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget: y z y yz z S + + $ - + y - + z - + y y + z z + y y z z y z + + + + + - + + - $ y + yz + z - Azaz S $, így tehát S minimuma, ha y z 78 Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget a + és -re _ a + i + $ _ a + i, azaz a + $ a +
5 Nevezetes egyenlôtlenségek Tehát: a+ + b+ + c+ # a+ + b+ + c+ a+ b+ c+ Az egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha a +, vagyis ha a 0, illetve hasonlóan b 0, c 0 Ez viszont ellentmond a kezdeti feltételeknek, így csak felsô korlát adható, de maimuma nincs 78 Vezessük be a következô jelöléseket:, y, z a b c Ekkor yz Az állítás bal oldalának elsô tagja: a _ b+ ci + y z yz y + z y + z Ha elvégezzük mind a három tagra az ilyen típusú átalakításokat, és alkalmazzuk a súlyozott számtani és harmonikus közép közötti egyenlôtlenséget az y z,, számokra, valamint az, y, z súlyokra: y+ z z+ + y y z y z S y z z y y z $ + y+ z + + + + + + +, + y+ z y+ z z+ + y + y + z y z azaz S $ _ + y+ zi y z + + _ + y+ zi Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget, és vegyük figyelembe, hogy yz + y+ z S $ $ yz Így tehát az állítást igazoltuk Az egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha y z, azaz ha a b c 785 Legyen a páros indeû számok összege P, a páratlanoké pedig Q Ha P és Q számokat összeszorozzuk, akkor a vizsgált összeg minden egyes tagját megkapjuk Természetesen kapunk olyan további tagokat is, melyek nem tagjai az összegnek, de a feltétel szerint ezek egyike sem lehet negatív Így + + + + n - n # PQ, másrészt P+ Q és P, Q nemnegatív számok
Nevezetes egyenlôtlenségek 55 Alkalmazzuk rájuk a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget J P+ QN + + + + n - n # PQ # O Azt kaptuk tehát, hogy a vizsgált összeg nem lehet 0,5-nél nagyobb Ez a becslés már tovább nem javítható, mivel ha például 05, és n 0, akkor az összeg pontosan 0,5 786 Válasszuk a nagyság szerinti középsôszámot t-nek, megengedve az egyenlôséget is - t A másik kettô összege ekkor - t, a különbségük legfeljebb a feltételek miatt a b a b Mivel minden a, b valós számra ab _ + i -_ - i, J t -t - - N _ i O a két szélsô szám szorzata nagyobb vagy egyenlô, mint J N _ -t 9 O i A három szám szorzata tehát biztosan nem kisebb, mint t_ - ti 9 t t+ t+ t$ + y+ z$ t+ t+, # t # Tehát minden, a feltételeknek megfelelô, y, z számhármasra van 5 R V S W olyan t!,, hogy yz $ f _ ti t_ -ti A három szám szorzata tehát S 5 W 9 T X biztosan nem kisebb, mint az f függvény minimuma az adott intervallumon Ez - t a minimum létezik, mivel f folytonos Az, t, _ - ti számokra teljesülnek feltételeink, így az yz szorzatnak is létezik a minimuma és az éppen az f minimumával egyenlô, Az f függvény konkáv a vizsgált intervallumon, hiszen f második deriváltja - _ -6 t i itt negatív, ezért f minimumát az intervallum 9 valamelyik végpontjában veszi fel J N J N f < f O 5 5 O Tehát yz szorzat legalább, és akkor pontosan ennyi, ha, y, z számok értékei sorrendtôl eltekintve:,,
56 Nevezetes egyenlôtlenségek 787 Mivel y < _ + yi - ` + y jf, ezért behelyettesítés és teljes négyzetté alakítás után: y ( z ) z z : - - ` + - jd z _ - i + Tehát y a z-ben másodfokú kifejezés A jobb oldalt, mint z függvényét vizsgálva f(z)-nek keressük z-tôl függô minimumát, azon z értékekre, melyekre létezik az eredeti egyenletrendszernek (, y) valós megoldása f(z)-nek abszolút minimuma z esetén van, de ekkor + y + y 0 egyenletrendszernek nincs valós megoldása érdés: mely z értékekre van megoldása az eredeti egyenletrendszernek? Mivel z-- y, ezt behelyettesítve: y - (z - )y + (z - 6z + ) 0 egyenlethez jutunk Ennek az egyenletnek akkor és csak akkor van valós gyöke, ha diszkriminánsa nemnegatív D- 8z + z-8 $ 0 megoldása: - # z # + Mivel z $ esetén f _ zi szigorúan monoton nô, ezért f(z) ott veszi fel a legkisebb értéket, ahol z a legkisebb, azaz z - esetén Ekkor f _ z i J N O - + O - 6 Tehát y minimális értéke: 7 788 Az eredeti egyenlet: + () 6 7 Alakítsuk át az egyenletet a következô módon: ( - ) () 6 Mivel () jobb oldala pozitív minden valós esetén, így szintén pozitív Ha $, akkor () bal oldala kisebb vagy egyenlô 0 Tehát! A 0, 7 Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést a,,,( ) - számokra, így ( - ) -et becsüljük felülrôl
Nevezetes egyenlôtlenségek 57 J N + + + ( -) O J ( ) - N # O L P O 6 ( - ) Tehát #, az egyenlôség a tagok egyenlôsége esetén teljesül, azaz 7 6 Ez valóban gyöke az egyenletnek 789 Nyilván az f()-nek pontosan ott van maimuma mint a f()-nek f _ i _ 8-i Becsüljük felülrôl f()-et közepekkel! ( 8 ) ( 8 ) 6 ( 8 ) # + - + - - ; J 6 N 096 f () ( 8- ) # O 7 08 Tehát f ()# 7 8 J 8 N 08 Ezt az értéket fel is veszi, ha 8-, azaz, ekkor f O 7 790 D f minden olyan valós (, y) számpár, melyben sem, sem y nem 0 Alakítsuk át: + y + + y + + y y y Erre a négy pozitív számra alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlôtlenséget fz () + y+ + $ y y y y y Felveszi-e f(z) a minimumértéket? Igen, ha y teljesül y Ezek az (,y) számpárok a következôk: (; ), (; -), (-; ), (-; -)
58 Nevezetes egyenlôtlenségek 79 Becsüljük alulról az f () 9+ függvényt számtani és mértani közép közötti összefüggés segítségével! + 9 9 # ; # + 9 f() Tehát az f() függvény nem vesz fel -nél kisebb értéket Ha 9, azaz, akkor a függvényérték pontosan Tehát ez a minimum Megjegyzés: minden f () a + b függvény minimuma, ha pozitív szám, a, b szintén pozitív esetén min(f()) b ab az helyen a 79 Jelöljük a négyzetszámokat r -tel, illetve s -tel, azaz legyen 5a + 6b r és 6a - 5b s, ahol r, s egész számok Ekkor r + s 5`a + b j+ 56 `a + b j+ $ 5 $ 6ab- $ 5 $ 6ab 8`a + b j $ 7 `a + b j Mivel és 7 relatív prímek, r + s osztható -mal és 7-tel is Ebbôl viszont az következik, hogy r és s is osztható külön-külön velük Ezen állítás belátható az egész számok negyedik hatványának -mal, illetve 7-tel való osztási maradékainak vizsgálatával (Alkalmazható az ismert Fermat-féle kongruenciatétel is) Tehát az elôzôekbôl következik, hogy r $ 8, s $ 8 Ekkor r és s legkisebb értéke 8 lehet Ez meg is felel feltételeinknek, mert a 5a + 6b 8, 6a - 5b 8 egyenletrendszernek van pozitív egész megoldása: a 8 $ 9, b 8 A két négyzetszám minimumának legkisebb értéke ezért: 8 6 79 Az n db könyvet n! különbözô módon tehetjük fel a polcra épzeletben kötözzük össze a k db kedvencet felrakás elôtt Így n - k + db könyvet (n - k + )!-féleképpen tehetünk fel a polcra, tehát a kedvezô esetek száma: k!(n - k + )! k!( n- k+ )! Így Pk () n!
Nevezetes egyenlôtlenségek 59 Ez -gyel egyenlô, tehát maimális, ha k vagy k n Legyen P(k) nagyobb mint P(k + ) A minimum helyének meghatározása érdekében vizsgáljuk meg mely k-ra teljesül az egyenlôtlenség Pk () k! n k! n k Pk ( + ) _ - + i - +, tehát P(k) akkor, és csakis akkor _ k+ i! _ n-ki! k + nagyobb P(k + )-nél, ha (n - k + ) nagyobb (k + )-nél, azaz k kisebb mint n n- k+ > k+, azaz k< n Ha k n (n páros), akkor P(k) P(k + ), ha pedig k nagyobb mint n, akkor P(k) kisebb mint P(k + ) n J Ha tehát n páros, akkor k -ig P(k) monoton fogy, a P n N J P n + N O O értékek minimálisak, ezt követôen P(k) monoton nô n Ha n páratlan, a minimuma k + értékhez tartozik Láttuk: P() > P() és P(n-) < P(n), tehát a k, illetve k n értékeken kívül más maimális érték nincs 79 A kezdeti helyzet után t másodperc múlva az A-ból induló pont a derékszög C csúcsától 00-8t méterre lesz A B-bôl induló pont pedig a derékszög C csúcsától 6t méterre van Ezért egymástól d_ ti _ 00-8ti + _ 6ti méterre vannak Ennek a kifejezésnek ott van minimuma, ahol a d _ ti _ 00-8ti + _ 6ti 00 _ t- 8i + 6 kifejezésnek Ha t 8, akkor a két pont távolsága minimális: 60 m Ekkor A pont a derékszög csúcsától 6 m-re, C pont pedig 8 m-re van 795 Jelöljük a négy falut a négyzet körbejárásának sorrendjében A-val, B- vel, C-vel, D-vel, az AB, CD szakaszok felezôpontját E-vel, F-fel Mérjünk fel az EF szakaszra E-bôl is, F-bôl is - km-t A kapott pontokat jelöljük G-vel, H-val Az AG, BG, GH, HC, HD szakaszokból álló útrendszeren bármelyik faluból bármelyik faluba eljuthatunk, és az útrendszer hossza km-ben: s GH + AG +, ez kisebb, mint 7,5 km A rendelkezésre álló pénz tehát elegendô 796 Az a oldalra merôleges magasság nem lehet nagyobb, mint b és c oldalak kisebbike Tegyük fel hogy ma # b, így a háromszög t területére felsô korlátot kapunk: ama ab $ t # #
60 Nevezetes egyenlôtlenségek A terület el is érheti az felsô korlátot, ha a, b, illetve m a b Ekkor a háromszög derékszögû, befogói a, b Átfogója c 5, mely kielégíti feltételeinket 797 Ismert összefüggés, hogy a súlyvonalak négyzetösszege megegyezik az oldalak négyzetösszegének -vel (koszinusztétellel bizonyítható) a b c ` + + j 9 J a+ b+ cn k Tehát sa+ sb+ sc $ O, ahol a, b, c az oldalak hosszát, s a L P, s b, s c a súlyvonalak hosszát jelöli Az egyenlôtlenségnél a számtani és a négyzetes közepek közötti összefüggést használtuk fel Emiatt az egyenlôség csak a b c esetén áll fenn A megoldás tehát a szabályos háromszög 798 Legyenek, y, z pozitív valós számok, melyekre b+ c- a; y c+ a- b; z a+ b- c Mivel y z + y+ z a+ b+ c, és a + z, b + y, c +, így y z z y S + + + + +, y z y z y z S + + + + + y z z y Egy pozitív valós szám és reciprokának összege legalább, így S legalább Vizsgáljuk az a b c esetet! Ekkor S értéke pontosan, így S minimuma 799 Ha a levágott kis négyzetek egyenlô oldalhosszúságát jelöli, akkor az így kapott doboz térfogata: a Vd _ a-i, ahol 0 # # Nyilván V d ugyanarra az értékre veszi fel maimumát, melyre négyszerese Így Vd _ a-i Alkalmazzuk a számtani és a mértani közepek közti összefüggést az alábbi nemnegatív számokra: a -, a -, _ a- i+ _ a- i+ a Ekkor _ Vdi _ a-i _ a-i # a Az egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha a-, azaz 6
Nevezetes egyenlôtlenségek 6 Ekkor a maimális térfogat: J N a ma( Vd ) a $ a O 6 7 800 Legyenek az egy csúcsba futó élek:, y, z Alkalmazva, y, z számokra a számtani, illetve a mértani közepek közötti egyenlôtlenséget: _ + y $ y b y + $ yz` & ` + y + z j $ _ y+ yz+ zi A z + $ zyb a A Tehát: y z + + $, egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha y z, vagyis mivel pozitív számokról van szó: y z, azaz ha a téglatest kocka 80 Legyenek az egy csúcsból induló élek:, y, z Alkalmazzuk -re, y-ra, z- re a négyzetes, illetve a mértani közepek közötti egyenlôtlenséget! + y + z $ yz V + y + z $ V, az egyenlôség pontosan akkor teljesül, ha y z, azaz kocka estén Az + y + z kifejezés geometriai jelentése a téglatest testátló négyzetének vizsgálatával ekvivalens