Forgatónyomaték mérése I Bevezetés A forgatónyomaték az erőpár mint statikai alapalakzat jellemzője A nevéből is következően a testekre forgató hatást fejt ki Vektormennyiség, melyet az M = a x F képlettel írunk le ld 1 ábra Nagysága az 1 ábra jelöléseivel : M F a Nyílértelme a jobbcsavar - szabály szerinti ( Az 1 ábrán az ábra síkjára merőlegesen befelé mutató: hátulról a nyíl tollát látjuk) 1 ábra Az 1 ábra forrása: [ 1 ] A forgatónyomaték az élet minden területén előforduló mennyiség, így meghatározása nagyon fontos feladat Az idők során sokfajta megoldást találtak erre, mivel sokféle jelenséggel áll viszonylag egyszerű függvény - kapcsolatban Ebben a dolgozat - sorozatban három, fizikailag is megvalósítható mérési eljárás alapjául szolgáló elvi megoldást mutatunk be, ahol a forgatónyomaték elmozdulás, elfordulás, ill megnyúlás mérése útján számítással határozható meg Forgatónyomaték mérése elmozdulás - mérés, ill szögelfordulás - mérés segítségével Feladatgyűjtemények kedvelt feladata az alábbi ld: [ ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] Feladat: A G súlyú AB rúd a nem párhuzamos CA és DB kötélen / rúdon függ ld ábra Egy M forgatónyomatékú, vízszintes síkban ható erőpár a rudat szöggel elfordítja, miközben z magasságba emeli Adott: a, b, l; M, G Keresett: 1) Az M M( ), z = z( ) és az M = M(z) függvény - kapcsolatok és taglalásuk ) Specializációk: ~ a = b = r 1 / l; ~ r = 1 / l Megoldás: Ehhez tekintsük a ábrát is, ahol a kezdő és a végállapotot is ábrázoltuk Az A 1 B 1 rúd a G súlyerő, az M nyomatékú erőpár és az S, S kötélerők hatására van egyensúlyban Függőleges tengelyre vett vetületi egyenlettel:
ábra G + S 0 ( 1 ) A jobboldali ábrarész szerint is: S Scos ( ) Most ( 1 ) és ( ) - vel: G S cos ( 3 ) Ezután a függőleges tengelyre vett nyomatéki egyenlettel: M k S 0 ( 4 ) 1 Ismét a ábráról: S Ssin ; ( 5 ) 1 k a sin ( 6 ) Most ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal:
M ks a sin Ssin 1 G a sin sin Ga sin tg ( 7 ) cos Most számítsuk ki a szögfüggvényes tényezőket és szorzatukat! Trigonometriai átalakítással: sin sin cos cossin ; ( 8 ) mivel a ( 8 ) képletben szereplő szögfüggvényei még ismeretlenek, ezért először ezeket kell meghatározni Ismét a ábra alapján: a y sin ; ( 9 ) c ba cos x ( 10 ) c Továbbá: a asin, ( 11 ) y a a cos ( 1 ) x Ezután Pitagorász - tétellel: c b a a ; ( 13 ) x most ( 11 ), ( 1 ), ( 13 ) - mal: y c bacos asin ( 14 ) Majd ( 9 ), ( 11 ), ( 14 ) - gyel: a sin sin ; b a cos a sin most ( 10 ), ( 1 ), ( 14 ) - gyel: b a cos cos b a cos a sin Ezután ( 8 ), ( 15 ), ( 16 ) - tal: sin sin cos cos sin ; 3 ( 15 ) ( 16 ) b a cos a sin sin sin cos ba cos a sin b a cos a sin sin ba cos cos a sin bsin ba cos a sin b a cos a sin,
4 sin bsin ba cos asin ( 17 ) Most számítsuk ki tg - t! A ábra szerint: c tg ; ( 18 ) h z majd Pitagorász - tétellel: h z l c, ( 19 ) így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: c tg ; ( 0 ) l c most ( 14 ) és ( 0 ) - szal: b a cos a sin tg l b a cos a sin ( 1 ) Most ( 17 ) és ( 1 ) - gyel: b a cos a sin bsin sin tg b a cos a sin l b a cos a sin bsin, l b a cos a sin bsin sin tg l b acos a sin ( ) Végül ( 7 ) és ( ) - vel: Ga bsin M l b a cos a sin ( 3 ) Szépészeti beavatkozás következik: átalakítjuk ( 3 ) nevezőjét
5 c b a cos a sin b a bcos a cos a sin b a a bcos (b a b a ) (a b a bcos ) b a a b1 cos b a 4a bsin, c b a cos a sin b a 4a b sin ( 4 ) Most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: Ga bsin M( ) l ba 4a bsin ( 5 ) Ez az eredmény - alak egyezik a [ 3 ] - ban is megtalálhatóval Minthogy az itt alkalmazott az egyensúlyi feltételi egyenletek felírásával dolgozó számítási eljárás során kiadódik a felfüggesztő kötél / rúd húzóereje is, írjuk fel ennek is a végső képlet - alakját! Kiindulunk ( 3 ) - ból: G G S 1 tg cos ( 6 ) Most ( 1 ) - ből, ( 4 ) - gyel is: 1 tg 1 b a cos a sin l b a cos a sin l b a cos a sin ba cos a sin l b a cos a sin l l, sin l b a cos a sin l b a 4 a b 1 tg l l b a 4a bsin Végül ( 6 ) és ( 7 ) - tel a felfüggesztő elemekben ébredő kötélerő : ( 7 )
6 G l S( ) l ba 4a bsin ( 8 ) Most határozzuk meg a z = z( ) függvényt! ( 19 ) - ből: z h l c ; ( 9 ) majd ( 4 ) és ( 9 ) - cel: z h l ba 4a bsin ; ismét a ábra alapján: h l b a ( 30 ) ( 31 ) így ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: z( ) l b a l b a 4a b sin ( 3 ) Most állítsuk elő az M = M( z ) függvényt! Először is vegyük észre, hogy ( 5 ) nevezője ( 19 ) szerint: l c h z, ( 19 ) ahonnan c l h z ( 33 ) Most ( 4 ) és ( 33 ) - mal: b a 4a bsin l h z ; ( 34 ) rendezve: 4a bsin l ba h z ; ( 35 ) majd ( 31 ) és ( 35 ) - tel: 4a bsin h h z h h h z z ( 36 ) h z z z h z ( 36 ) - ból:
z h z sin ; 4a b innen: 7 ( 37 ) z h z sin ( 38 ) 4a b Most felhasználjuk, hogy sin sin cos, ( 39 ) és cos 1 sin ( 40 ) Ezután ( 37 ), ( 38 ), ( 39 )és ( 40 ) - nel: z h z z h z sin 1 4a b 4a b 1 z h z 4a b z h z a b Most ( 19 ), ( 5 ), ( 37 ) és ( 41 ) - gyel: 1 z h z 4a bz h z M G a b a b h z G z h z 4a bz h z h z G z h z 4a b z h z M(z), h z ahol ( 31 ) szerint h l b a, ( 41 ) ( 4 ) ( 31 ) A ( 4 ) képletben előforduló kettős előjel azt jelenti, hogy akár pozitív, akár negatív előjelű a forgató hatás, a felfüggesztett rúd mindenképpen emelkedik; ill megfordítva: a rúd emelkedését pozitív és negatív értelmű forgatónyomaték is okozhatja A feladatunk első részét szinte már teljesen megoldottuk; hátra van még a kapott függvények taglalása Előtte azonban szólnunk kell arról, hogy mire akarjuk használni legalábbis egy gondolat - kísérlet erejéig az eredményeket
8 A címben kitűzött feladathoz a forgatónyomaték méréséhez a következő utakon juthatunk el, a fenti feladat eredményei alapján a) Forgatónyomaték mérése szögelfordulás - mérés segítségével Ekkor - t mérjük, majd ennek ismeretében M - et ( 5 ) - ből számítjuk Ez a mérés a vízszintes rúd emelkedése miatt nehézségekbe ütközhet, ezért célszerűbb lehet az alábbi megoldás b) Forgatónyomaték mérése elmozdulás - mérés segítségével Ekkor z - t mérjük, majd ennek ismeretében M - et ( 4 ) - ből számítjuk Ezzel feladatunkat elvileg megoldottuk Annak érdekében, hogy a mérés gyakorlati kivitelezése során ne érjen minket kellemetlen meglepetés, érdemes az összefüggéseket taglalni, illetve hacsak lehetséges ez azokat specializálni ( Akadályt jelenthet pl az a körülmény, hogy a rúd nem függeszthető fel akárhová, stb) Taglalás Nézzük meg, hogy milyenek lennének a viszonyok, ha a rúd teljesen felemelkedne, azaz ha z = h! 1 A vízszintes rúd elfordulási szöge: A ( 38 ) képlet alapján: z h z h h h h sin, 4a b 4a b a b innen h arcsin a b ( 43 ) ( 44 ) A függesztő elemek függőlegessel bezárt szöge: A ( 18 ) képlet szerint: c tg ; h z ezután a ( 4 ) képlettel, ( 31 ) és ( 43 ) szerint is: c b a 4a bsin b a h l, ( 18 ) azaz c l; ( 45 )
9 majd ( 18 ), ( 45 ) és z = h figyelembe vételével: c l tg, h z 0 innen 90 A ( 47 ) képlet szerint a függesztő elemek vízszintes helyzetbe kerülnének ( 46 ) ( 47 ) 3 A függesztő elemekben ébredő erő nagysága: A ( 6 ) képlet szerint ekkor S ( 48 ) Ez két okból is képtelenség: ~ a függőleges G súlyerőt nem lehet vízszintes erőkkel kiegyensúlyozni; ~ a valóságos anyagú testek csak véges nagyságú erőket képesek elviselni 4 A kifejtendő forgatónyomaték nagysága: A ( 4 ) képlet szerint itt is 0 - val kellene osztani, vagyis véges, ill értelmes számláló - érték mellett is végtelen nagy forgatónyomaték adódna Fentiek szerint a z = h eset fizikailag nem megvalósítható, vagyis a szerkezet működtetése szempontjából egy felső határ Az ennek megközelítését elkerülő fizikai megvalósítás már a szilárdságtani méretezés feladata Specializációk S1) a = b = r 1 / l esete Ekkor a felfüggesztő elemek függőleges helyzetűek ld 3 / S1 ábra 3 ábra
10 Ekkor ( 5 ) - tel: G r sin M *( ) ; l 4 r sin ( 49 ) majd ( 8 ) - cal: G l S*( ) ; l 4 r sin ( 50 ) most ( 3 ) - ből: ( 51 ) z*( ) l l 4 r sin S) a = b = r = 1 / l esete Ekkor ( 49 ) - ből: l G sin 4 Gl sin M **( ) 4 l l 4 sin 1sin 4 Gl sin cos Gl sin, 4 cos Gl M **( ) sin ( 5 ) Majd ( 50 ) - ből, az előzőkhöz hasonlóan G l G S**( ), l 1sin cos
11 G S**( ) cos ( 53 ) Most ( 51 ) - ből: z **( ) l 1 cos z **( ) l l 1 sin l l cos l 1 cos, ( 54 ) Megjegyezzük, hogy a ( 49 ) és ( 50 ) képletek megegyeznek az [ 5 ] - ben, az ( 5 ) képlet pedig a [ 4 ] - ben található megfelelő képlettel / képletekkel A további részleteket az Olvasóra bízzuk Kiegészítés A bifiláris felfüggesztésű, vízszintes síkban ható forgatónyomatékkal terhelt rúd egyensúlyának esetében sokkal gyorsabban megkapjuk az M M( ) kapcsolatot leíró formulát a virtuális munka elvének alkalmazásával ld pl [ 6 ] Eszerint: G z M 0 ( K1 ) Figyelembe véve, hogy dz z, ( K ) d ( K1 ) és ( K ) - vel: dz G M 0, ( K3 ) d ahonnan dz( ) M( ) G ( K4 ) d Most differenciáljuk ( 3 ) - t! 1 4a b sin cos dz( ) 1 a bsin ; d l ba 4a bsin l b a 4a bsin ( K5 )
1 Végül ( K4 ) és ( K5 ) - tel kapjuk ( 5 ) - öt Megjegyzendő, hogy itt a szerkezet elemeit tökéletesen merevnek tételeztük fel Ennél a megoldási módnál a belső erők pl: a függesztő elemekben fellépő erők nem lépnek fel, így a szerkezet méretezéséhez külön ki kell számítani azokat Feltehető a kérdés, hogy milyen elmozdulásmérő eszközökkel lehetne megvalósítani a fent leírt forgatónyomaték - meghatározást Egy lehetséges választás az induktív elmozdulás - érzékelők alkalmazása ld pl: [ 7 ] Irodalomjegyzék: [ 1 ] Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve Springer Hungarica Kiadó Kft, Budapest, 1993 [ ] I V Mescserszkij: Szbornik zadacs po teoreticseszkoj mehanike Izd 35, Moszkva, Nauka, 1981 [ 3 ] H Neuber: Lösungen zur Aufgabensammlung Mestscherski 5 Auflage, VEB Verlag, Berlin, 1963 [ 4 ] NN Buhgoljc ~ I M Voronkov ~ A P Minakov: Elméleti mechanikai példatár Statika Tankönyvkiadó, Budapest, 1951 [ 5 ] Hajdu Endre: Statikai példatár NYME, Kézirat, Sopron, 007 [ 6 ] Muttnyánszky Ádám: Statika Tankönyvkiadó, Budapest, 1951 [ 7 ] http://wwwrailvehbmehu/targyak/jegyzet/merestechnikapdf Sződliget, 008 október 6 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár