Hajlított vonalazó szplájn ~ rész Bevezetés Már az ingyen hozzáférhető számítógépi programokkal pl: Graph is sok szép feladat megoldására vállalkozhatunk Én is többször használtam már pl numerikus integrálásra a Graph - ot, úgy, hogy a valamilyen módon pl bonyolult függvény nu - merikus integrálásával megadott pontsor által kirajzolt görbe alatti területet határoz - tam meg ( Vagyis bonyolult függvény kétszeres integrálásról van itt szó ) Ennek során ha jól sejtem a szoftver beépített alprogramja átfektetett egy / sok görbét a megadott pontokon, majd a most már ismertté vált görbe alatti területet határozta meg, Simpson - szabállyal Ez így elmondva egyszerűnek tűnik, megcsinálni főleg gyalog azonban nagy favágás Sokan, akik nem tanultak numerikus matematikát, akár öntevé - kenyen is pótolhatják a pótlandókat, a sok jó matematikai tananyag közül választva Javasolt elkerülni a nagyon matematikai szóval a vájtfülűeknek szánt anyagokat Merem ajánlani az [ ] és [ ] munkákat, ahol emberi nyelven tudnak fogalmazni És most jön a bónusz plusz: az [ ] mű társ - fordítója a [ ] munka szerzője Hogy mik vannak! Valahol már találkoztam egy olyan dolgozattal, ahol kb azt fejtegették, amihez hasonlót most itt fogok elővezetni; sajnos, feledésbe merült, hogy ki és hol követte el Ezer bocs! A dolog, szerintem, van annyira érdekes, hogy akár néhány napot is rááldozzunk: a meg - értésre, a továbbgondolásra és az alkalmazásra Tárgyalás Hogy mi a szplájn / spline? [ ] - ben azt írják erről, hogy a spline egy rugalmas fémpálca, amivel adott pontokon átmenő sima görbe rajzolható [ ] - ban erről még az alábbiakat is olvashatjuk A szó eredeti jelentése az, a hajóácsok által használt, fából készült, rugalmas vonalzó, mellyel a hajóépítésben szükséges változatos görbéket rajzolták a mesterek a nyersanyagra, vagy az úgynevezett rajzpadlás padlójára Egy ilyen, görcsmentes, egyenletes vastagságú, homogén anyagból gyalult vékony vonal - zóval igen egyszerûen lehet tetszõleges alakú, bizonyos peremfeltételeknek megfelelõ, sima görbéket rajzolni, úgy, hogy megfelelõen meghajlított helyzetben néhány nehezékkel kitámasztják a vonalzót ( ábra) Ez a látszólag primitív módszer meglepõen pontos szerkesztést tesz lehetõvé: például négy nehezék alkalmazásával szabatos körív szerkeszthetõ olyan kis helyiségben is, ahol az ív középpontja a helyiséget határoló fal túloldalán van, így nem lehet a szokásos módon egy cöveket és hozzá kötött zsinórt használni körzõ gyanánt Természetesen nemcsak körív szerkesztésére használható a spline
ábra forrása: [ ] Néhány jól elhelyezett nehezék segítségével tetszõlegesen alakíthatjuk a görbét bizonyos határok között (azaz, amíg el nem törik) Az elmúlt három évtizedben az alkalmazott matematika a fenti õsi szerszámhoz igen sokban hasonló módon használható görbecsaládot fejlesztett ki, melyet szintén spline-nak neveztek el Megjegyzések: M A piros szövegben említett rajzpadlás helyett inkább zsinórpadot mondanék Persze, lehet, hogy a hajóácsok nem ugyanúgy mondják ezt, mint a közönséges ácsok M A piros szövegben görcsmentes faanyagról szólnak; nyilván göcsmenteset akar - tak mondani M A faanyag eleve inhomogén ( és anizotróp ) anyag A homogén szó használata helyett célszerűbb lenne másképpen körülírni a piros szövegben azt a tényt, hogy jó mi - nőségű faanyagra van szükség ehhez a munkához Pl: sűrű szövetű, egyenes, a vékony rúd hosszirányával párhuzamos rostlefutású, hibamentes, szárított, stb faanyagot alkal - mazunk M4 A piros szövegben szereplő nehezék helyett talán szerencsésebb lenne támasztékot mondani / írni M5 A piros szöveg az, amely az évek során látott szövegek közül a legjobban körüljárja a szóban forgó hajóács - segédeszköz lényegét, felhasználását tekintve Sajnos, a mate - matikusok ezzel adósok maradtak amennyire ez hozzám eljutott A piros szövegben és az ábrán is szerepel a pontos körív kifejezés A főműsorra való ráhangolódásképpen nézzük meg, hogyan értendő ez, ebben a szövegkörnyezetben!
A körív - vonalazás geometriája Az alábbiakban az ábra szerinti helyzetet vesszük alaposabban szemügyre; úgy, mintha nekünk kellene megterveznünk és kiviteleznünk az igen nagy sugarú körív fel - rajzolását, hajlékony vonalazóval ( Azért ne feledjük, vannak más lehetőségek is erre! ) Ehhez tekintsük a ábrát is! A feladatról, általában: ábra Van egy L hosszúságú, b x h keresztmetszeti méretű, E rugalmassági modulusú hajlé - kony, terheletlen állapotában egyenes vonalazónk Az ábra szerinti körív - vonalazási megoldáshoz elhelyezünk az és jelű pontokban ~ db d átmérőjű hengeres támaszt, melyek különböző helyeken rögzíthetők egy merev aljzaton A körív R középsugarú és α középponti szögű lesz Az és rögzítési pontok az l, m és l, m távolságokkal adottak, a körív szimmetriatengelye és egy arra merőleges átmérője mentén mérve azo kat, a kör középpontjától A támasz és a vonalazó között F nagyságú erő ébred A vonalazó anyaga a hajlítás során egy σ meg értékig használható ki Megállapítandók a feladat jellemző adatai közötti lényegesebb összefüggések! feladat: Adott: l, m, l, m ; E, b, h, d Keresett: R, α, L, F Megoldás:
4 A feladat statikai / szilárdságtani szempontból lényeges jellemzői, melyek alapvetően kihatnak a szerkezet geometriájára: ~ a rúd anyaga lineárisan rugalmasnak vehető, amely követi a Hooke - törvényt; ~ az ~ támaszok közötti körív alakú rúdrész igénybevétele tiszta hajlítás, az ~ szakaszokon pedig közönséges azaz nyírással párosuló hajlítás Ehhez ld pl: [ 4 ]! Ennek megfelelően az ~ rövid szakaszokon a rúdtengely már nem körív, hanem egy harmadfokú parabola alakú ív lesz Minthogy az ~ támaszok a meghosszabbított körív mentén mérve közel vannak egymáshoz, ezért közelítőleg akár ezt az ívet is körív - nek vehetjük A számunkra lényegesebb körívre koncentrálva először írjuk fel a tiszta hajlításra igénybevett rúdszakasz alapegyenletét ábra, v ö: [ 4 ], [ 5 ]! A görbület kifejezése: M konst, R EI ábra innen a görbületi sugár: EI R állandó ( ) M Mivel az állandó görbületi sugár a kör sajátossága, ezért a tiszta hajlításra igénybevett szakaszon a rugalmas vonal: kör Ezen a szakaszon a tehát a tengelyvonal pontosan kör - ív alakú Most már a ábra szerint a fél középponti szög: L ; R majd ( ) és ( ) szerint: L M ; EI ezután a nyílmagasság: f R cos, ( 5 ) majd ( ), ( ), ( 5 ) - tel: ( ) ( ) ( 4 )
5 EI L M f cos M E I A ( 6 ) képlet nagy alakváltozás esetén is fennáll Továbbá: l sin, R m cos, R l tg m ( 6 ) ( 7 ) E geometriai áttekintés után térjünk vissza a reális feladathoz! A ábra szerint: d h R t ; ( 8 ) de t l m, ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) - cel: d h R l m ( 0 ) Most határozzuk meg az M hajlítónyomaték egyéb kifejezéseit! Az és támaszok a vonalazóra F nagyságú erőt fejtenek ki, melynek nyomatéka az A pontra: M F k ( ) Most ( ) és ( ) összevetéséből: EI M F k ( ) R A ( ) képletből kiszámíthatjuk a támaszokat is terhelő F erőnagyságot: EI F R k ( ) Látjuk, hogy ( ) - hoz meg kell határozni a k kar nagyságát A ábra szerint:
6 k t sin ; ( 4 ) ámde t l m, ( 5 ) így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: k l m sin ( 6 ) Látjuk azt is, hogy ( 6 ) - hoz pedig β ismeretére is szükség van Meghatározását koszinusztétellel végezzük Ismét a ábra szerint: t t t t t cos, innen: t t t cos t t Megint a ábra alapján: ( 7 ) t l l m m ; ( 8 ) most ( 9 ),( 5 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cal: l m l m l l m m t t t cos t t l m l m l m l m l l m m l m l m l m l m l l l l m m m m l m l m l l m m l l m m l m l m l m l m tehát:, l l m m cos l m l m ( 9 )
7 Most ( 6 ) és ( 9 ) - cel: k l m sin l m cos l m l m l ml m l l m m l l m m l l m m l m l m l m részletszámítások: l m l m l m l l m m l m m l l l m m l m l m l l l m m l m m ; l l m m l l l l m m m m ; m l m l, tehát: l m l m l l m m m l m l m l m l k, l m l m l m azaz: m l m l k l m Mivel azonban a ábra választása szerint: m m, l l, ezért írhatjuk, hogy ; m l m l k l m ( 0 ) Most ( 0 ), ( ) és ( 0 ) - szal:
8 EI EI F ; R k d h m l m l l m l m ( ) de a téglalap alakú keresztmetszet másodrendű nyomatéka [ 4 ] : bh I, ( ) így ( ) és ( ) - vel a támaszokat terhelő erő nagysága: bh E F d h m l m l l m l m ( ) A vonalazó szükséges hossza ábra : L R ( 4 ) Továbbá ( 9 ) - cel is: l l sin ; t l m innen: arcsin l m l ( 5 ) ( 6 ) Ezután ( 9 ) - ből: l l m m arccos l m l m ( 7 ) Most ( 0 ), ( 4 ), ( 6 ), ( 7 ) - tel:
9 d h l l l m m L l m arcsin arccos, l m l m l m tehát: l l l m m L l m d h arcsin arccos l m l m l m feladat: Adott: R, α, γ, E, b, h, d Keresett: l, m, l, m, L, F Megoldás: ( 8 ) A ábra alapján: l t sin, m t cos ; hasonlóan: l t cos, m t sin Ámde d h t R, d h t R, ( 9 ) ( 0 ) ( ) így ( 9 ), ( 0 ) és ( ) szerint: d h l R sin, d h m R cos ; ( )
0 hasonlóképpen: d h l R cos, d h m R sin ( ) Mivel a ábráról leolvashatóan, ezért ( 4 ) Most ( 4 ) és ( 4 ) - gyel: L R ( 5 ) Majd ( 4 ), ( ), ( 4 ) képletekkel is: d h d h k t sin R sin R cos, tehát: d h k R cos ( 6 ) Ezután ( ) és ( 6 ) - tal: EI EI EI F, R k d h d h R R cos R cos R tehát: EI F d h R cos R ( 7 ) Végül ( ) és ( 7 ) - tel:
Ebh F d h R cos R ( 8 ) feladat: Adott: R, f, b, E, σ meg Keresett: α, h max, M max Megoldás: A megoldás feltétele, hogy az y = ± h / koordinátájú szélső szálakban ébredő hajlító - feszültség nagysága ne lépje túl a hajlításra megengedett feszültség értékét: ( 9 ) max meg Részletezve [ 4 ] : M h max ; I ( 40 ) ámde ( ) - ből: M E, ( 4 ) I R így ( 40 ) és ( 4 ) szerint: E h max ( 4 ) R Most ( 9 ) és ( 4 ) - vel: E h R meg ( 4 ) Rendezve: ( 44 ) E meg h R Határesetben az egyenlőséget véve ( 44 ) - ben: ( 45 ) E meg h max R
Most ( 4 ) - ből, ( ) - vel és ( 45 ) - tel is: br meg EI E R max E bhmax E E b meg max M 8 R R R R E R b meg, E tehát: R Mmax b meg E ( 46 ) Végül ( 5 ) átrendezésével: f arccos R ( 47 ) Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk Irodalom: [ ] A A Szamarszkij: Bevezetés a numerikus módszerek elméletébe Tankönyvkiadó, Budapest, 989 [ ] http://progmatuwhu/oktseg/numanal/numanal/numanalpdf [ ] http://wwwdvision7hu/cadvilag/006/splinehtml [ 4 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98 [ 5 ] Szerk M M Filonenko ~ Boroditsch: Festigkeitslehre, Band II Verlag Technik, Berlin, 95 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 0 augusztus