1 A Kepler - problémáról Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó. 1. ábra forrása: https://hu.wikipedia.org/wiki/kepler-probl%c3%a9ma Az 1. ábra forrása szerint a Kepler - probléma lényege: a Nap körül keringő bolygó moz - gását leíró egyenlet megadása. Ez tehát egy kéttest - probléma, amely azonban visszave - zethető egyetlen pont mozgásának feladatára [ 1 ]. A Kepler - probléma feladata dinami - kai értelemben: meghatározni a távolság négyzetével fordítottan arányos vonzóerő hatá - sára létrejövő mozgást. A vizsgálat eredménye: a bolygó / tömegpont a vonzó - centrum ( a Nap ) körül egy kúpszelet alakú pályán mozog, melynek egyenlete: ( 1 )
2 A kúpszelet fókusza a koordináta - rendszer O kezdőpontjában van, p a pálya paramétere, e a pálya numerikus excentricitása. A pálya e értékétől függően lehet [ 2 ] : ~ kör: e = 0; ~ ellipszis: 0 < e < 1; ~ parabola: e = 1; ~ hiperbola: e > 1. A további vizsgálatokat főleg [ 1 ] és [ 3 ] alapján végezzük. Mi itt az ellipszispálya esetével foglalkozunk. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra A feladat: meghatározni a tömegpont / bolygó helyzetét, az idő függvényében, vagyis az ( 2 ) típusú összefüggéseket. A szakirodalom szerint ez pontos / zárt explicit alakban nem megy, ezért is kíváncsiak vagyunk, hogy mit is tehetünk ekkor. A 2. ábrán [ 1 ] szerint bevezettünk egy ξ szögparamétert, mellyel a P pont koordinátái az Oxy k. r. - ben: ( 3 ) ( 4 )
3 Itt felhasználtuk, hogy az ellipszis jellemző adatai között fennállnak az alábbiak: ( 5 ) Most írjuk fel a t = t ( ξ ) kapcsolatot! Ehhez felhasználjuk, hogy centrális mozgásnál a területi sebesség C = konst. A területi sebesség ellipszispálya esetén: ( 6 ) Itt T a teljes pálya ( egyszeri ) befutásához szükséges idő: a periódusidő. Az S esz szektorterületet a 2. ábra segítségével az alábbi módon is meghatározhatjuk. Az ellipszis az a sugarú kör merőleges vetülete egy a kör síkjával β szöget bezáró síkra, így területe: ( 7 ) Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Innen: ( 8 )
4 így ( 7 ) és ( 8 ) szerint: ( 9 ) Hasonló, ( 7 ) szerinti kapcsolat áll fenn a körszektor és az ellipszis - szektor területe között: ( 10 ) Az OP 0 Q a körszektor területe a 2. ábra alapján: Részletezve: ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) Most ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: innen ( 5 / 2 ) - vel is: tehát: ( 15 ) majd ( 10 ) és ( 15 ) - tel az ellipszis - szektor területe: tehát: ( 16 ) Most ( 6 ) - ból: ( 17 ) így ( 16 ) és ( 17 ) - tel:
5 ( 18 ) Most egy másik szög - adatot is bevezetünk: ( 19 ) szerint; ekkor ( 18 ) és ( 19 ) - ből: majd ( 19 ) és ( 20 ) - szal: ( 20 ) ( 21 ) Az eddigi szögparaméterek elnevezése v.ö.: 1. ábra! : ~ φ: valódi anomália; ~ ξ: excentrikus anomália; ~ ζ: közepes anomália. Ha animációt készítenénk ( amint az 1. ábra forrásánál látható ), azt látnánk, hogy amíg a ζ közepes anomália ( 19 ) szerint a t idővel egyenesen arányosan növekszik, addig a ξ ex - centrikus anomália ( 21 ) szerint már nem: hol lemarad, hol előresiet ζ - hoz képest. Ha képezni tudnánk a ξ = ξ ( t ) kifejezést, akkor ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) már a megoldást is adná. Azonban ( 21 ) - ből a ξ = ξ ( t ) kapcsolat nem fejezhető ki zárt alakú függvénnyel, így más utat kell keresnünk a mozgás időfüggvényeinek előállításához. Úgy látszik, hogy a ξ paraméter közvetítésével oldható meg a feladat: az x( t ), y( t ) összefüggések előállítása; ( 3 ), ( 4 ) és ( 18 ) szerint: ~ ( 22 / 1 ) ~ ( 22 / 2 ) ~ ( 22 / 3 ) Egy viszonylag egyszerű grafikus megoldás lehet az alábbi 4. ábra. Itt azt látjuk, hogy ( 22 / 1 ) - ből egyenletes időközökre grafikusan meghatároztuk a t( ξ i ) adatokat, amivel rögtön előálltak a ξ( t i ) adatok is. Az alkalmazott bemenő paraméterek: a = 5( cm ); b = 3 ( cm ); c = 4 (cm ) ; e = 0,8 ; T = 10 ( s ). ( A ) Ezután alkalmaztuk a ( 22 / 2 ) és ( 22 / 3 ) képleteket, a pályagörbe megrajzolásához.
6 4. ábra 5. ábra Az 5. ábra adattáblázata az alábbi. Az adatokból jól látható, hogy a mozgás első felében a második felében pedig
7 i t i / T ζ i ( rad ) ξ i ( rad ) x i ( cm ) y i ( cm ) 0 0 0 0 1 0 1 0,1 0,62831853 1,41913578 3,244601 2,965565 2 0,2 1,25663706 1,98801325 6,026088 2,742661 3 0,3 1,88495559 2,4158866 7,740155 1,990991 4 0,4 2,51327412 2,78930832 8,692935 1,035128 5 0,5 3,14159265 3,14159265 9 0 6 0,6 3,76991118 3,49387698 8,692935 1,035128 7 0,7 4,39822972 3,86729871 7,740155 1,990991 8 0,8 5,02654825 4,29517206 6,026088 2,742661 9 0,9 5,65486678 4,86404952 3,244601 2,965565 10 1 6,28318531 6,28318531 1 0 Az 5. ábrán is jól érzékelhető, hogy a vonzó - centrum környezetében jóval nagyobb a tömegpont sebessége, mint attól távolabb. Ez a területi sebesség állandóságának a követ - kezménye. A sebességi viszonyokat a 6. ábra szemlélteti. 6. ábra A 6. ábra a
8 ( 23 / 1 ) képlettel készült [ 5 ], ahol ( 23 / 2 ) az a sugarú körpálya menti egyenletes haladás sebessége. Érdemes meghatározni a ξ és a φ szögek kapcsolatát. A 2. ábra szerint, ( 22 / 2 ) és ( 22 / 3 ) - mal: ( 24 / 1 ) innen a félszögek szögfüggvényeivel, azonos átalakítások után, v.ö.: [ 3 ]! :. ( 24 ) A φ = φ ( ξ ) függvény képét e = 0,8 - del a 7. ábrán szemlélhetjük. 7. ábra
9 Jól látszik, hogy a mozgás 1. felében: a mozgás 2. felében:. Úgy véljük, ezek után az animáció elkészítése egy programozónak már nem okozhat nehézséget. Más megközelítések is vannak. Már régi ismerős a [ 4 ] munkában látott megoldás. Itt a mozgás differenciálegyenlet - rendszerének közvetlen numerikus megoldását választot - ták. Ez a többtest - probléma esetén is működik, csak komolyabb erőforrásokat feltételez. Egy ilyen számítás végeredményét láthatjuk a 8. ábrán az orosz kiadásból. 8. ábra Megjegyzések: M1. Egy sima nem darabos mozgású animációhoz az itteninél több pontot kell felvenni; legalább a kétszeresét. Ez nem nehezebb, csak több munka, mint eddig. M2. Elsőre furcsa lehet a 6. ábra. Ne feledjük, hogy ott egy ellipszis pálya menti változó nagyságú, valamint egy körpálya menti állandó nagyságú sebességgel történő mozgást hasonlítunk össze, ahol a körpálya sugara az ellipszis fél nagytengelyével egyenlő! Bizonyára ezért van az, hogy az 1. ábra forrásának animációjában is a közép Föld így mozog: nem ellipszis, hanem kör mentén. M3. Meglepő lehet az a tény is, hogy miért volt szükség a ( 24 / 1 ) függvényről ( 24 ) - re áttérni. Ennek magyarázata a többértékű inverz trigonometriai függvények furcsaságaiban rejlik. Szerencse, hogy a Graph ingyenes szoftver implicit függvényt ábrázoló adottságai lehetővé teszik a számunkra legkedvezőbb alakú trigonometriai összefüggés kiválasztását. Nyilván nem véletlen, hogy a szakirodalomban is ( 24 ) terjedt el inkább.
10 M4. Most így utólag levezetjük a ( 23 ) összefüggést is. Kiindulunk a sebesség négyzetének kifejezéséből. Majd ( 22 / 2 ) és ( 22 / 3 ) idő szerinti differenciálásával: ( 25 ) ( 26 ) ( 27 ) Ezután ( 21 ) differenciálásából: ( 28 ) Most ( 25 ), ( 26 ), ( 27 ) - tel: ( 29 ) Majd ( 28 ) és ( 29 ) - cel: innen: ( 23 ) A ( 23 ) képlettel könnyen adódik a v P perihéliumbeli ( ξ = 0 ) és a v A aphéliumbeli ( ξ = π ) sebességek arányára e = 0,8 - del, hogy ( 23 * ) egyezésben a 6. ábrával. M5. Ezután így utólag levezetjük a ( 24 ) összefüggést is. Kiindulunk ( 24 / 1 ) - ből: ( 24 / 1* ) Most trigonometriai azonossággal [ 7 ] :
11 ( 30 ) majd hasonlóképpen: ( 31 ) ( 32 ) most ( 24 / 1* ), ( 31 ) és ( 32 ) - vel: tehát: ( 33 ) Majd ( 24 / 1* ), ( 30 ) és ( 33 ) - mal: innen pedig:. ( 24 )
12 M6. Érdemes az alkalmazott szögekre vonatkozó alábbi összefoglalást átgondolni: ~ a mozgás 1. felében: ~ a mozgás 2. felében:. Az 1. ábrán együtt ábrázolták a mozgás 1. felére jellemző helyzetet. M7. Nagyszerű ötlet, bárkié is! Mi is? Az, hogy vezessük be az ellipszis ξ paraméterét. Talán Kepleré az érdem. Annál is inkább vélhető ez, mert a nevét viselő ( 21 ) egyenlet közelítő megoldására is talált eljárást 9. ábra. 9. ábra forrása: [ 6 ] M8. Végül itt egy kép Róla 10. ábra. Megérdemli, hogy emlékezzünk Rá. 10. ábra forrása: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/johannes_kepler_161 0.jpg/800px-Johannes_Kepler_1610.jpg
13 Irodalom: [ 1 ] L. D. Landau ~ E. M: Lifsic: Elméleti fizika I.: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 46 ~ 61. o. [ 2 ] Nagy Károly: Elméleti mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, 1985., 60. o. [ 3 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki Tom 2: Gyinamika 6. kiadás, Nauka, Moszkva, 1983., 56 ~ 57. o. [ 4 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika 1. A modern természettudomány alapjai. A mechanika törvényei 5. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985., 121 ~ 125. o. [ 5 ] N. V. Butyenyin ~ Ja. L. Lunc ~ D. R. Merkin: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki Tom II.: Gyinamika 2. kiadás, Nauka, Moszkva, 1979., 115. o. [ 6 ] Sain Márton: Nincs királyi út! Matematikatörténet Gondolat, Budapest, 1986., 525 ~ 526. o. internet: http://mek.oszk.hu/05000/05052/pdf/06_sain_433-538.pdf [ 7 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 228. o. Sződliget, 2017. augusztus 16. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár