Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van szállítás. Vizsgáljuk meg, hogy ekkor mit jelentenek a következő események: A + B, A B, B A, A,, A + B, A B, A + B, AB, AB + AB, AB + AB 2) Két helység között 3 távbeszélőn folyhat beszélgetés. Jelentse A esemény azt, hogy az első vonal hibás, a B: a második, C: a harmadik hibás. Fejezzük ki az A, B, C segítségével a következő eseményeket! csak az első vonal hibás, az első kettő hibás, a harmadik nem, legalább az egyik hibás, legalább 2 vonal hibás, pontosan egy vonal hibás, pontosan két vonal hibás, egyik vonal sem hibás, 3) Egy kockát kétszer egymás után feldobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a) mindkettő dobásnál azonos pontszámot dobunk, b) különböző pontszámot dobunk, c) a pontszámok összege 9, d) a pontszámok összege 10, e) a pontszámok összege legfeljebb 10? 4) Egy kockát feldobva mi annak a valószínűsége, hogy 4-est dobunk? nem 4-est dobunk? 4-esnél nagyobbat dobunk? 4-esnél nem kisebbet dobunk? 4-esnél kisebbet dobunk? legalább 4-est dobunk? páratlan számot dobunk? 5) Két kockát feldobva mi a valószínűsége annak, hogy mindkettőn hármast dobunk? az egyiken hármast dobunk? legalább az egyiken hármast dobunk? egyiken sem dobunk hármast? a dobott számok összege 5? a dobott számok összege 7? 1
a dobott számok összege 10, és az egyik dobás eredménye 4-es? 8-nál több a dobott számok összege? 8-nál nem több a dobott számok összege? 6) Ha tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben egy könyvespolcon és három könyvet előre megjelölünk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy az elhelyezés során a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? 7) Tíz telefonvezeték közül négy beázás miatt használhatatlanná válik. Ezután 4 vonalon hívást kísérelnek meg. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a hívások fele a beágyazások miatt nem lesz sikeres. 8) Egy 12 tagú diákcsoportban 10 fiú és 2 lány van. Két színházjegyet sorsolnak ki egymás között. A sorsolást úgy végzik, hogy az összes nevet tartalmazó dobozból két nevet kihúznak. Mi a valószínűsége annak, hogy a két lány kapja a jegyeket? 9) Egy csomag magyar kártyából kiveszünk egy lapot, megnézzük a színét, majd visszatesszük. Ezután megkeverjük a csomagot, és ismét választunk egy lapot. Mi a valószínűsége annak, hogy ez utóbbi lap nem azonos színű az előzővel? 10) Tíz lapra felírjuk a tíz számjegyet. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy két lapot találomra kiválasztva és egymás mellé téve, a kapott szám osztható 18-cal. 11) Nyolc azonos lapra egyenként felírjuk a következő számokat: 2, 4, 6, 7, 10, 11 12, 13. Közülük két lapot találomra kiválasztunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott lapokon levő számokat egy tört számlálójának, ill. nevezőjének véve, a tört egyszerűsíthető lesz? 12) Tíz golyó van egy dobozba. Közülük kettő fehér, a többi fekete. Kiveszünk találomra öt golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy éppen egy fehér golyó lesz köztük? 13) 32 lapos magyar kártyából egyszerre 3 lapot húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között legalább egy zöld van? 14) Egyszerre dobunk 6 szabályos dobókockával. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két kockán azonos pontszám lesz felül? 15) Egy 52 lapos kártyacsomagból 13 lapot találomra kihúzunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kör ász a 13 lap között lesz? 16) Egy sötét helyiségben 4 egyforma pár cipő össze van keverve. Kiválasztunk ezekből 4 darab cipőt. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy összetartozó pár lesz a kivettek között? 17) Öt darab egyforintost feldobva, mi annak a valószínűsége, hogy mindegyiken írás lesz felül? 2
18) Egy 20 fős tanulócsoportban 3 lány van. 3 könyvet akarnak kisorsolni úgy, hogy az összes nevet egy kalapba teszik, s ebből kihúznak 3-at. Mi annak a valószínűsége, hogy a 3 lány kapja? 1 fiú és 2 lány kapja? 2 fiú és 1 lány kapja? 3 fiú kapja? 19) Mi a valószínűsége annak, hogy a LOTTO-n 5-ös találatot érünk el? 4-es találatot érünk el? 3-as találatot érünk el? 2-es találatot érünk el? 1-es találatot érünk el? 0-ás találatot érünk el? 20) Mi a valószínűsége annak, hogy egy egyhasábos totószelvényt kitöltve 13 találatunk lesz? 21) Három szabályos játékkockával kétszer dobunk egymás után. Mi a valószínűsége annak, hogy mind a három kockával négyest dobunk? 22) Dobjunk fel 2 szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott két szám összege legfeljebb 7 lesz? 23) Az 1,2,3,4,5 számjegyekből találomra írjunk fel egy négyjegyű számot. Ni a valószínűsége annak, hogy a) tartalmazza az egyest, b) osztható 5-tel, c) 3-ra végződik? 24) Írjunk fel találomra egy négyjegyű számot. Mi a valószínűsége annak, hogy minden számjegye páratlan lesz? 25) Egy csomag magyar kártyából húzzunk találomra 4 lapot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott 4 lap közül 3 hetes? 26) Az 1,2,3,...,20 számokat véletlen módon sorozatba rendezzük. Mi a valószínűsége annak, hogy a) az 1,2,3,...,10 számok, b) az 1,2,3,...,16 számok egymás mellé kerülnek, mégpedig növekvő sorrendben? 27) Dobjunk fel 2 kockát egyszerre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege éppen 10 lesz? 28) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 3 kockával éppen 17-et dobunk? 3
29) Egy ládában 100 alma van, amely között 10 darab férges található. Kiveszünk a ládából találomra, válogatás nélkül 5 almát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott almák között lesz férges? 30) Egy hallgató 40 tétel közül húszat úgy tanul meg, hogy abból jelesre tud vizsgázni, a másik húszból pedig csak jóra. A vizsgatételek kihúzásakor a hallgató 2 tételt húzhat úgy, hogy ezek közül eldöntheti, hogy melyikből felel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy jelest kap? 31) Egy szabályos játékkockát egymás után hatszor feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az 1,2,3,4,5,6 számok mindegyike egyszer fordul elő? 32) Egy pénzdarabot egymás után négyszer feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a) mind a négy alkalommal írásra, b) háromszor írásra, egyszer pedig fejre, c) kétszer fejre, kétszer írásra esik? 33) Egy futóverseny döntőjébe 1 lengyel, 2 magyar, 1 német és 2 olasz versenyző kerül. Mi a valószínűsége annak - ha a versenyzőket egyenlően esélyesnek tekintjük -, magyar versenyző kerül az élre? 34) Egy szabályos játékkockát tízszer feldobunk. Menyi a valószínűsége, hogy legalább egyszer egyest dobunk? 35) Egy urnában 20 cédula van 1-től 20-ig megszámozva. Kihúzunk 5 cédulát úgy, hogy a kihúzás után a cédulákat már nem tesszük vissza. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott legkisebb szám 6-nál nem kisebb? 36) Adja meg annak a valószínűségét, hogy négy szabályos játékkockával dobva, legalább egy egyest dobunk? 37) Száz izzó közül 20 hibás. Válogatás nélkül kiveszünk 10 körtét. Mi a valószínűsége annak, hogy a) nem lesz közte hibás, b) lesz közte legalább egy hibás? 38) Mi a valószínűsége annak, hogy szabályos pénzérmével dobva, 20 dobás közül pontosan 10 írás lesz? 39) A 32 lapos magyar kártyából találomra kihúzunk 10 lapot. (A kihúzás után nem tesszük vissza a lapokat). Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy piros színű lap lesz a kihúzott lapok között? 4
40) Nyolc dobozba elhelyezünk 44 golyót. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobozba 1, a másodikba 3, a harmadikba 4, a negyedikbe 5, a hatodikba 7, a hetedikbe 8, a nyolcadikba pedig 9 golyó kerül? 41) Egy ládában 200 alkatrész van. Közülük 10 selejtes. Vegyünk ki találomra 10 alkatrészt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a) nem lesz selejtes, b) kettő selejtes lesz, c) 5 selejtes lesz? 42) Egy csomag magyar kártyából találomra kihúzunk 12 lapot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között lesz a) mind a 8 zöld, b) legalább 5 zöld, c) legfeljebb 5 zöld? 43) Egy urnában 30 fehér és 30 fekete golyó van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az urnából találomra kiválasztott 10 golyó közül legalább 6 fehér és legfeljebb 4 fekete golyó lesz? 44) Egy sötét szobában 10 pár teljesen egyforma pár cipő van. Találomra kiveszünk ezek közül 10 cipőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem lesz köztük egyetlen pár cipő sem? 45) Az 1,3,5,7,9 számjegyeket írjuk fel egy-egy papírcetlire. Tegyük a cédulákat egy dobozba. Húzzunk ki egymás után 4 cédulát úgy, hogy minden húzás után a kihúzott cédulákat visszatesszük a dobozba. A kihúzott cédulákon lévő számjegyeket a kihúzás sorrendjében felírjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott ötjegyű számban legalább egy ismétlődik? 5