1 Profilmetsződésekről, avagy tórusz és körhenger áthatásáról Megesik, hogy nem értjük, amit olvasunk. Ez történt az [ 1 ] szakmai segédkönyv eseté - ben is. Ennek oka lehet ismereteink hiánya, a pontatlan fogalmazás / fordítás, illetve szak - mai hiányosság. Most egy ilyen esetnek járunk utána, kicsit alaposabban. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra forrása: [ 1 ] A hozzá tartozó, nem egészen jól érthető szöveget értelmezve itt egyenes és köríves ten - gelyvonalú, kör keresztmetszetű, azonos sugarú pálcák metszésvonala felülnézeti képének megszerkesztését ismertetik. Valójában három ponton átmenő körív szerkesztését mutatják meg, ahol a három pont a két profil szélenek és középvonalának metszéspontjai. Ez felvet néhány kérdést, még akkor is, ha ez a szöveg egy szakmunkástanulóknak szánt tananyag része. Az első kérdés az, hogy az áthatási görbe / görbék felülnézeti képe valóban kör - e. Gyanakodtunk, hogy nem, így a pontos görbét körívvel közelítik, melynek középpontja a pontokat összekötő szakaszfelező merőlegesek metszéspontja. Gyanúnk bizonyossággá vált, ahogyan azt hamarosan részletezzük. A második kérdés az lenne, hogy a körív kellően pontosan közelíti - e a tényleges görbét. Most ezekről lesz szó. Az elvi vizsgálódás első lépése, hogy felismerjük: kör keresztmetszetű gyűrűfelület, azaz tórusz és egyenes körhenger áthatási eseteit kell megvizsgálnunk, ha az összemetsződő két rúd azonos sugarú és alakú köríves profilú. Most nézzük a 2. ábrát! Ennek alapján a tórusz egy tetszőleges P felületi pontjának koordinátái:
2 2. ábra forrása: [ 2 ] ( 1 / 1 ) ( 1 / 2 ) ( 1 / 3 ) Mi a továbbiakban u φ, v ϕ cserével élünk. Így készült a 3. ábra is, ahol a jelöléseken kívül még más dolgok is felismerhetők. 3. ábra
3 Látható az egyenes körhenger is felülnézetben, melynek implicit egyenlete itt: A tórusz egyenletei a megváltoztatott jelölésekkel: ( 2 ) ( 3 / 1 ) ( 3 / 2 ) ( 3 / 3 ) A ( 2 ) és ( 3 ) felületek áthatási görbéit keressük. A matematikai műveletek első lépése, hogy a ( 3 ) paraméteres alakot f( x, y, z ) = 0 alakra hozzuk. Ennek érdekében képezzük ( 3 / 1 ) és ( 3 / 2 ) négyzetösszegét: ( 4 ) majd képezzük ( 3 / 3 ) és ( 4 ) - gyel az alábbi négyzetösszeget: ( 5 ) most ( 5 ) jobb oldalát kifejtve: / + R 2 : / r 2 : átalakítva: / 2 : ( 6 ) ( 4 ) - gyel is: rendezve:. ( 7 ) A ( 7 ) egyenlet a tóruszfelület derékszögű koordinátás kifejezése. Most ( 2 ) - ből: majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal az áthatási görbék implicit egyenlete: ( 8 ) ( 9 ) Adatok az ábrázoláshoz: R = 6 cm; r = 1,5 cm; y 01 = 0 cm; y 02 = 3 cm; y 03 = 6 cm. ( A )
4 A ( 9 ) és ( A ) szerinti függvények grafikonjait a 4. ábra szemlélteti. a) y 01 = 0 cm b) y 02 = 3 cm c) y 03 = 6 cm 4. ábra Az előbbiak alapján megállapíthatjuk, hogy ( 9 ) nem kör egyenlete, így az elején vázolt profilmetsződés szerkesztése csak közelítés lehet. Meglehet, hogy ez a közelítés a gyakor - lati igényeket többnyire kielégíti. Már akkor, ha a szerkesztés egyáltalán kivitelezhető, azaz van metszéspontja a végesben a mondott szakaszfelező merőlegeseknek. A következő feladat a mondott körívek kellő simulásának vizsgálata lenne. Ezt most kihagyjuk, hiszen a lényeg: szükség esetén a pontos görbéket is meg tudjuk rajzoltatni a számítógéppel. Nem feledkezhetünk meg a szerkesztés lehetőségéről sem. A 3. ábra felső részén a 4 / c ábra kézi megfelelője látható. Ez a [ 3 ] - ban leírtak szerint készült. Megjegyezzük, hogy a ( 7 ) egyenlet felállításához a [ 4 ] munka segítségét is igénybe vettük. Sajnálatos, bár nem annyira zavaró tény, hogy a 4 / b ábra felesleges vonalszakaszait nem tudtuk szépen eltüntetni. Ennek az az oka, hogy a Graph szoftver az implicit függvény
5 ábrázolását nem támogatja annyira, mint az explicit függvényét. Érdekes az is, hogy a 4 / c ábra felső részén vastagabb kék szakasszal jelzett r sugarú kör - kör érintkezést külön meg kellett rajzolni, ugyanis azt az ábrázoló program nem kezelte. Azt már tudjuk, hogy ( 9 ) nem kör egyenlete. Felvetődik a kérdés, hogy a megrajzolt görbék nem valami egyszerűbb, pl. másodrendű görbék. Ennek kiderítéséhez először térjünk vissza a 4 / c ábra piros görbéjéhez! Erre: ( 10 ) Most kényelmi okok miatt átírjuk ( 9 ) - et így: Majd ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ezután műveleteket végzünk ( 12 ) bal oldalával: ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) átalakításokkal: ( 14 ) most ( 13 / 1 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) mivel ( 12 ) jobb oldala: ( 16 ) így J = B miatt ( 15 ) és ( 16 ) - tal: átalakítva: innen: ( 17 ) 1. eset: x = 0 : ekkor előáll a 4 / c ábra kék köre. 2. eset: x 0 : ekkor ( 17 ) - ből: innen:
6 tehát: ( 18 ) Ez egy másodfokú parabola egyenlete. A korábbi adatokkal ennek grafikonját az 5. ábrán mutatjuk meg. A parabolát zöld színnel rárajzoltuk a korábbi piros görbére. Látjuk, hogy az egyezés tökéletes. 5. ábra Eszerint azt kaptuk, hogy a 4 / c), illetve az 5. ábrák szerinti piros / zöld parabola egy széteső áthatás egyik görbéje, illetve annak vetülete. ( A másik a kék kör, illetve annak egyenes szakaszként megjelenő vetülete. ) Ezután rátérünk a 4 / a) szerinti görbékre. Most: ( 19 ) Most ( 11 ) és ( 19 ) szerint: átalakításokkal: innen: gyökvonással:
7 rendezve: azaz: ( 20 ) A ( 20 ) függvények grafikonját zöld színnel rárajzoltuk a 4 / a) ábra grafikonjára 6. ábra. Látható, hogy teljes az egyezés. Ezek szerint a széteső áthatási vetület - görbék itt is másodfokú parabolák. Fentiek alapján mondhatjuk, hogy a vizsgált feladatbeli áthatási vetület - görbék másodfokú parabolák és körök, azaz másodrendű görbék. Azonban nem felejthetjük el, hogy a feladat felvetésének alaphelyzete az, hogy az 1. ábra szerinti profil - metsződések vetületi görbéi nem körök, hanem a fentiek szerint másodfokú parabolák. Ezzel feladatunkat megoldottuk. Köszönjük Hajdu Endrének a feladattal kapcsolatos értékes észrevételeit, segítségét. 6. ábra
8 Előző dolgozat - sorozatunkban melynek címe: Képkeret ~ projekt arról is szó volt, hogyan lehet elkészíteni fizikailag az összemetsződő rudak illesztését. Ezt egy az áthatási görbék vízszintes vetületi görbéjének / görbéinek megfelelő sablon melletti vágással kép - zeltük megvalósítani. Az itteni feladatban ezen sablonok az előbb meghatározott parabola alakúak. A vágás vonalát ezek mentén vezetve a profillécek egy a sablonnak megfelelő vezérgörbéjű hengerfelület - rész mentén érintkeznének. Itt a hengerfelület alkotói a z ten - gellyel párhuzamosak. A sablon elég egyszerűen elkészíthető. Még a szóhasználatról: itt legtöbbször áthatási görbéről, metszetgörbéről beszéltünk. Ez általában egy térgörbe, melynek többnyire egy síkra itt a vízszintes Oxy síkra vett ve - tületeit állítjuk elő. Ha ez a vetületi görbe ismert, akkor e mentén a z - vel párhuzamos, előbb említett hengeralkotók az áthatási térgörbe mentén döfik, illetve érintik az össze - metsződő felületeket. A figyelmes Olvasónak feltűnhet, hogy az áthatások vetületi görbéi derékszögben met - szik egymást. Ez az észrevétel egyszerű számítással igazolható. A 7. ábrán a ( 20 / 1 ) vetületi görbéhez tartozó térgörbét ábrázolt(att)uk axonometrikusan. Látható, hogy a görbe kilép az átlós síkból. 7. ábra
9 Irodalom: [ 1 ] Florian Breis ~ Erich Drabek ~ Herwig Hauke ~ Josef Ottenschlaeger ~ Wilfried Rottmar ~ Walter Scholz ~ Peter Schwarz: Az asztalos 2. B + V Lap - és Könyvkiadó Kft., Budapest, 1994., 8. oldal [ 2 ] http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001- 526_thomas_kalkulus_3/figures/ch16/4100ex16-06-53.png [ 3 ] Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995., 229. oldal [ 4 ] Pjotr Szergejevics Mogyenov: Analityicseszkaja geometrija Izd. MGU, Moszkva, 1966., 79 ~ 80. oldalak Sződliget, 2018. 03. 28. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár