Egy kis rugalmasság a merevségelméletben Gáspár Merse El d Jubileumi Fazekas nap 2012. március 12. Mottó Az élet er i állandó mozgásban vannak, jaj annak, aki merev és nem enged. [ Eric Van Lustbader ]
Srukturális merevségelmélet Általános tulajdonságok szerkezet elemei térbeli objektumok elemek közötti összeköttetések geometriai kényszerfeltételek kapcsolati hálózat topológiája dominál Merevségelmélet klasszikus matematikai modelljei rúd-csukló szerkezetek test-zsanér szerkezetek tensegrity szerkezetek Felhasználási területek biológia: molekulák/fehérjék, sejtváz, váz-izomzat modellezés építészet: vázszerkezetes épületek/állványzatok/vasbeton merevítése anyagtudomány: üvegek, granuláris anyagok, zselék, gélek, ragasztók egyéb: hálózat lokalizáció, csomagolástechnika, m vészetek 2/22
Rúd-csukló szerkezetek Denició A minden irányú elfordulást megenged csuklókkal összekapcsolt merev rudakat rúd-csukló szerkezet névvel illetjük. Denició Egy rúd-csukló szerkezet merev, ha folytonos deformáció során egybevágó marad, azaz a csuklóknak a rudak által korlátozott folytonos mozgásai során bármely két csukló távolsága állandó. A merevség szempontjából természetesen fontos tényez a dimenzió. Példa 1 Példa 2 síkban és térben is deformálható síkban merev, térben nem merev 3/22
Merevség szükséges feltétele Tétel c darab csuklót tartalmazó szerkezet merevségének szükséges feltétele, hogy a rudak száma legalább 2c 3 legyen síkban, illetve legalább 3c 6 legyen térben. Útmutató a bizonyításhoz Egy merev szerkezethez egy új csuklónak a merev csatlakoztatása síkban legalább kett, térben pedig legalább három új rúd hozzávételét igényli. Ez nem bizonyító erej, ugyanis nem minden szerkezethez juthatunk el ilyen módon, lásd a mellékelt példát. Azonban a tétel bizonyítható a szabadsági fokok összeszámolásának módszerével. Rudak nélküli szerkezetnek d-dimenzióban c d, egy merev szerkezetnek pedig síkban 2 + 1 = 3, térben 3 + 3 = 6 szabadsági foka van (eltolások és forgatások). 4/22
Minimális merev szerkezetek Állítás Ha egy szerkezet merev, és rúdjainak száma síkban több, mint 2c 3, illetve térben több, mint 3c 6, akkor található olyan rúd, amelyet elhagyva a szerkezetb l, az továbbra is merev marad. Az ilyen szerkezeteket túlmerevített szerkezetnek nevezzük. Denició Az olyan merev szerkezetet, amelyb l nem hagyható el rúd úgy, hogy merev maradjon, minimális merev szerkezetnek nevezzük. Egy minimális merev szerkezet élszáma tehát 2c 3 síkban és 3c 6 térben. Példa síkban túlmerevített térben minimálisan merev 5/22
Innitezimális merevség Innitezimális mozgás Ha egy merev rúd-csukló szerkezet eszményi min ség rudakból állna, akkor egy picit sem lehetne deformálni. El fordulhat azonban, hogy a szerkezetnek vannak olyan deformációi, amelynek során a rudak nem tudnak er t kifejteni a csuklókra (mert a csuklók a kapcsolódó rudakra mer legesen mozognak), ezért a szerkezet védtelen a kicsiny deformációkkal szemben. Geometriai szempontból ezek elfajult speciális esetek. Denició Ha a szerkezetnek nincsen nem-triviális innitezimális deformációja, akkor innitezimálisan merev szerkezetr l beszélünk, amely tehát a korábbi merevségnél er sebb tulajdonság. 6/22
Generikus merevség Állítás Ha tekintjük egy gráfnak megfelel összes szerkezetet egy adott dimenzióba ágyazva, akkor azok közül vagy majdnem mindegyik in- nitezimálisan merev, vagy egyik sem az. Denició Egy szerkezet generikusan merev, ha gráfjának megfelel szerkezetek közül majdnem mindegyik innitezimálisan merev. Másképpen: ha rúdjainak hosszát kissé megváltoztatva (vagy csuklóinak koordinátáit a racionális számtest felett algebrailag független számokkal helyettesítve) innitezimálisan merev szerkezethez juthatunk. Denició Egy gráf merev, ha van legalább egy generikusan merev realizációja. Ekkor az összes realizáció generikusan merev szerkezet. 7/22
Merevségi fogalmak /síkbeli rúd-csukló szerkezetekkel illusztrálva/ 8/22
Gráfok merevségének szükséges és elégséges feltétele (2D) Laman tétel Egy gráf pontosan akkor generikusan merev 2-dimenzióban minimális élszámmal, ha (2,3)-kritikus, azaz e = 2c 3 élt tartalmaz és minden részgráfjára e 2c 3. Polinomiális algoritmus /Lovász László és Y. Yemini eredménye/ Egy 2c-3 élt tartalmazó gráf pontosan akkor merev síkban, ha bármely élét megduplázva, az így kapott gráfnak van két éldiszjunkt feszít fája. 9/22
Henneberg konstrukció Algoritmus Kiindulunk egy élb l és minden lépésben egy új csúcsot adunk a gráfhoz az alábbi lépések valamelyikével: I. az új csúcsot két éllel kapcsoljuk két régi csúcshoz II. az új csúcsot három éllel kapcsoljuk három régi csúcshoz, és egy (a három pont között men ) régi élt törlünk Állítás A Henneberg-konstrukció minden lépésben teljesíti a Laman-feltételt, és minden Laman-féle gráfnak létezik Henneberg-féle el állítása. 10/22
Négyzetrács merevítése egységátlókkal Bolker-Carpo tétel Négyzetrács pontosan akkor merev az átlós merevít kkel, ha a sorok és oszlopok alkotta merevítési gráf (páros gráf) összefügg. Példa 11/22
A merevségelmélet száz éves problémája Augustin Louis Cauchy tétele (1813) Ha egy konvex poliéder lapjai merevek, és azok az éleik mentén zsanérszer en vannak egymáshoz rögzítve, akkor a poliéder merev. Következmény A háromszöglapokból álló konvex poliéderek, mint rúd-csukló szerkezetek, merevek a térben. Merevségi sejtés Több mint 100 éven át senki nem tudta bebizonyítani, sem pedig alkalmas ellenpéldával megcáfolni, hogy elhagyható-e a konvexitás feltétele Cauchy tételéb l? Tipp! 12/22
Ellenpélda Connelly-Steen felület El sz r 1978-ban Robert Connelly (Cornell egyetem) hozott nyilvánosságra egy bonyolult ellenpéldát. Kés bb Klaus Steen egy egyszer bb példát talált: A felület deformáció során megtartja a térfogatát. Körülbelül 10 foknyit tud elmozdulni. 13/22
Rúd-csukló szerkezetek merevsége 3-dimenzióban Térben nem igaz a Laman-tétel általánosítása 3c 6 szükséges, de nem elégséges, lásd az alábbi példát: Eredmények 1979 Bolker és Carpo: egyszintes épületek átlós merevítése 1988 Recski: kockarács lapátlókkal való merevítése 14/22
Test-zsanér-rúd szerkezetek karakterizációja (3D) Állítás Test-zsanér-rúd szerkezet csakkor minimálisan generikusan merev, ha a hozzá asszociált multigráf (6,6)-kritikus. Polinomiális algoritmus (Tay és Whiteley, 1984) Egy gráfnak pontosan akkor van merev test-zsanér realizációja d- dimenzióban, ha minden élét d(d + 1)/2 1 párhuzamos éllel helyettesítve a kapott gráfban lesz d(d + 1)/2 él-diszjunkt feszít fa. 15/22
Molekula modellezés rúd-csukló modell / test-zsanér-rúd modell egyszeres kovalens kötés kétszeres kovalens kötés diszuldhíd kötés hidrogénhíd kötés rezonáns kötés hidrofób kölcsönhatás 1 zsanér 6 rúd 1 zsanér 1 zsanér 6 rúd 2 rúd Molekuláris "sejtés" Ha egy gráfnak van merev test-zsanér realizációja, akkor olyan is van, amelyben a zsanérok egyenesei egy ponton mennek át. 16/22
Fehérjék analízise Felhasználási területek termostabilitás /ipari alkalmazás, termol él lények/ allosztéria /merev összeköttetés/ molekula dinamika /kongurációs tér egyszer sítése/ 17/22
Általánosítás Kényszerfeltételek rúd: két végének távolsága állandó /rúd-csukló szerkezetek/ kábel/lánc/kötél/madzag: két végének távolsága nem n het: feszíteni lehet, de összenyomni nem /pókháló rögzített végpontokkal/ rugóstag két végének távolsága nem csökkenhet /d-dimenziós gömbök csomagolása, granuláris anyagok/ Lehetséges-e csak rudakból és kötelekb l nem elfajult merev szerkezetet létrehozni úgy, hogy a rudak ne találkozzanak egymással? 18/22
Tensegrity 19/22
Tensegrity II. Történet Karl Ioganson (orosz konstruktivista m vész) 1921-es kiállításon egy három rudas konstrukció David Georges Emmerich (debreceni származású építész) Ken Snelson: oating compression Buckminster Fuller: tensegrity (tension integrity) 20/22
Biotensegrity 21/22
Irodalomjegyzék Tudomány 1, 1991 júliusi szám: Matematikai észjáték c. rovat A. K. Dewdney: Merevségelmélet, avagy hogyan vértezzük fel magunkat valószín tlen balesetek ellen? KöMaL, 1998 februári szám Nagy Gyula és Recski András: Rúd-csukló szerkezetek M. F. Thorpe & P. M. Duxbury: Rigidity theory and applications http://people.cs.umass.edu/ lip/pdfs/ bibm2011analyzingproteinflexibility.pdf http://linkage.cs.umass.edu/pg/ http://www.tensegrityinbiology.co.uk/ 1 Scientic American c. folyóírat magyar fordítása 22/22