Fejezetek a merevségelméletb l
|
|
- György Dobos
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fejezetek a merevségelméletb l Szakdolgozat Készítette: Kleizer Eszter Matematika BSc, Matematika tanári szakirány Témavezet : Naszódi Márton adjunktus Geometriai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest 2014
2 Tartalomjegyzék Bevezetés 3 1. Rúd-csukló szerkezetek merevsége Alapfogalmak Példák globális és lokális merevségre Innitezimális merevség A merevségi mátrix A merevség szükséges feltétele Cauchy-féle merevségi tétel Az Euler-formula következménye Cauchy-féle karlemma Cauchy tétele merev poliéderekr l Befejezés 21 Köszönetnyilvánítás 23 Irodalomjegyzék 24 Nyilatkozat 26 2
3 Bevezetés A szakdolgozatom témájául választott geometriai rész tárgyalása során a síkbeli rúd-csuklós szerkezetek merevségét l a Cauchy-féle merevségi tételig fogok eljutni. Ahogy haladtam el re az anyag feldolgozásában és megértésében a következ fogalmazódott meg bennem: egy kicsit olyan ez, mint az a rajzos játék, ahol a megszámozott pontok összekötése eredményeképpen egy kép rajzolódik elénk. A megszámozott pontokat ez esetben a csuklók, az összeköt vonalakat pedig a rudak helyettesítik. Ezen rudak és csuklók megfelel módon történ megválasztásából adódnak a különböz merevség szerkezeteket. Az els fejezetben kimondásra kerülnek a téma megértését el segít, gráfmerevségre vonatkozó alapfogalmak. Továbbá bevezetésre kerül az innitezimális mozgás deníciója, valamint megtörténik a szemléletes leírása is. A negyedik alfejezetben a már deniált innitezimális mozgások alkalmazásával készítek egy együttható mátrixot, amely felhasználásával eljutok az innitezimális merevség fogalmáig. A továbbiakban pár példát mutatok ezen merevségi típusra. Végül az utolsó alfejezetben a merevség szükséges feltételét boncolgatom. A második fejezetben kimondásra és bizonyításra kerül A Könyv" [3] alapján Cauchy háromdimenziós poliéderekre vonatkozó merevségi problémája, valamint olvasható ezen tétel bizonyítását el segít karlemma is. 3
4 1. fejezet Rúd-csukló szerkezetek merevsége Ebben a fejezetben bevezetem a gráfmeregségre vonatkozó alapfogalamakat, valamint ismertetem a témához kapcsolódó alapvet tételeket, állításokat Alapfogalmak Deníció (Realizáció). Adott egy G = (V, E) gráf, h : E R + leképezés, ahol V a csúcsok halmazát, E pedig az élek halmazát jelöli. A (G, h) egy realizációja egy f : V R d leképezés (d = 2 esetben síkbeli, d = 3 esetben térbeli realizációt ( ) értünk), amelyre ha {i, j} E, ekkor d f(i), f(j) = h({i, j}) Deníció. Adott egy G = (V, E) gráf, h : E R + leképezés. Ekkor a (G, h) pár f realizációját rúd-csuklós szerkezet nek nevezzük Deníció. A (G, h) szerkezet f és g realizációja kongruensek, ha minden i, j V csúcsra f(i) f(j) = g(i) g(j) teljesül. Az Deníció feltételeit felhasználva kimondhatjuk az alábbiakat Deníció (Globális merevség). (G, h) globálisan merev, ha bármely két f, g realizációjához létezik ϕ : R d R d izometria, hogy g = ϕ f. Tehát mondhatjuk, hogy itt a globális arra mutat rá, hogy bármilyen másik realizációt veszünk, az egybevágó marad az eredetivel. 4
5 Deníció. Adott (G, h) pár két realizációja: f és g. A két realizáció távolságán a következ t értjük: d(f, g) = max j V { f(j) g(j) } Deníció (Lokális merevség). Adott (G, h) párnak egy f realizációja. Ezt lokálisan merev nek nevezünk, ha létezik ε > 0, hogy minden g realizációra, melyre d(f, g) < ε, létezik ϕ : R d R d izometria, hogy g = ϕ f. Ennél a merevségi típúsnál a szerkezet csúcsainak megengedett egy minimális mérték elmozdulása, de ebben az esetben csak egy kongruens szerkezetet kapunk az eredetihez képest Példák globális és lokális merevségre Az els ábrán jól látható, hogy a kiindulási alakzatunk egy négyzet, amely 4 csuklóból és 4 rúdból tev dik össze, azaz nincs az átlói mentén merevítve. Ebb l kifolyólag a négyzet könnyen deformálható. Mivel az esetleges alakváltoztatás során megváltozik a csuklók távolsága, ezért a kiindulási négyzetünk nem volt merev. A második ábra már merev, de csak lokálisan, erre a harmadik ábra szolgál bizonyítékul, mivel jelen esetben ha a fels háromszöget tükrözzük, akkor a kapott ábránk ugyanannak a (G, h) párnak egy másik realizációja lesz, tehát nem kongruens szerkezetet kapunk. Az utolsó ábra pedig egy globálisan merev szerkezetre példa. 5
6 1.3. Innitezimális merevség Deníció (Innitezimális mozgás). Egy (G, h) pár f síkbeli realizációjának innitezimális mozgásán egy olyan X : V R d hozzárendelést értünk, melyre teljesül a következ összefüggés: minden i, j E esetén. ( )( ) f(i) f(j) X(i) X(j) = 0 (1.1) A mozgást jelen esetben olyan függvénynek tekinthetjük, amely adott t id pillanatban megadja a gráf csúcsainak pillanatnyi sebességét. Szemléletesebben az imént említett deníciót a következ képpen értelmezhetjük. Legyen adott f(v ) = {p 1,..., p n } R d. A p i pályája egy deformáció során legyen γ i : ( ε, ε) R d dierenciálható leképezés, ahol γ i (0) = p i és γ i(0) = X i. Tegyük fel, hogy {i, j} E. Ekkor a következ ket tekintve: γ i (t) γ j (t) állandó γ i (t) γ j (t) 2 állandó, ezt kifejtve γ i (t) γ j (t) 2 = γ i (t) 2 + γ j (t) 2 2γ i (t)γ j (t). A kompozíció függvény deriváltjára vonatkozó tétel miatt a következ adódik: d = 0 dt t=0 ( ) 2γ i (t)γ i(t) + 2γ j (t)γ j(t) 2γ i (t)γ j(t) 2γ i(t)γ j (t) = 0 t=0 ( ) ( ) γ i (0) γ j (0) γ i(0) γ j(0) = 0. } ( {{ ) }} ( {{ ) } f(i) f(j) X(i) X(j) Bevezetjük a triviális innitezimális mozgásokat, amelyek a sík (illetve a tér) in- nitezimális izometriáinak felelnek meg. 6
7 Deníció. Legyen ϕ : ( ε, ε) R d R d folytonos leképezés, ahol ε > 0 és amelyre az alábbiak teljesülnek: ϕ(0,.) = id R d ϕ(t,.) : R d R d izometria, tetsz leges t ( ε, ε)-re ϕ(., p) : ( ε, ε) R d dierenciálható pályán fut végig, tetsz leges p R d -re. Ekkor ϕ-t egyparaméteres izometria seregnek hívjuk. Ez esetben ϕ meghatároz egy v : R d R d vektormez t az alábbi módon: v(p) = d dt t=0 ϕ(t, p). (1.2) Ezt a v-t egy innitezimális izometriának hívjuk Deníció. Legyen a (G, h) párnak f : V R d egy realizációja. Egy in- nitezimális izometria megszorítását a (véges) f(v ) halmazra, triviális innitezimális mozgásnak nevezzük. A következ tétel eddigi tanulmányainkól [9] már ismert Tétel. Legyen ϕ : R d R d egy izometria. Ekkor ϕ x 1 x 2. = A x 1 x 2 x d x d. + b, (1.3) ahol A ortogonális mátrix és b egy R d -beli vektor Tétel. A sík minden v : R 2 R 2 innitezimális izometriája az alábbi módon írható fel: v(p) = M(p) + w, ahol M egy ferdén szimmetrikus mátrixot jelöl, vagyis a következ képpen írható fel: M = 0 ω ω 0. 7
8 Bizonyítás: Mivel ϕ(t) egy irányítástartó izometria minden t-re, ezért az (1.3)-as egyenlet alapján felírhatjuk a következ ket: ϕ(t, p) = A(t)p + b(t) = cos β(t) sin β(t) sin β(t) cos β(t) p + b(t). Ez esetben az A(0) = id R 2 és b(0) = 0, mivel ϕ(0) = id R 2 akkor β(0) = 0 is teljesül. Majd keressük az (1.3)-as megfeleltetés alapján a v(p) vektort. v(p) = d dt t=0 ϕ(t, p) sin β(t) cos β(t) = β (0) p + b (0) = cos β(t) sin β(t) t=0 = β (0) 0 1 p + w. 1 0 β (0)-t innent l jelölje ω. Ekkor a következ adódik: 0 ω ω 0 p + w. Tehát ezzel a tételt beláttuk, mivel megkapjuk az állításban szerepl ferdén szimmetrikus mátrixot Következmény. A síkbeli triviális innitezimális mozgások egy három dimenziós vektorteret alkotnak. 8
9 1.4. A merevségi mátrix A már deniált innitezimális mozgások felhasználásával készítünk egy mátrixot, amely felhasználásával eljutunk az innitezimális merevség fogalmáig. [6] Deníció. Ha úgy gondolunk az innitezimális mozgásokra, mint nd dimenziós vektorokra, akkor egy (G, h) pár f realizációjának innitezimális mozgásai egy lineáris alteret alkotnak R nd -ben, amelyet E darab (1.1) alakú homogén lineáris egyenlet határoz meg. Ennek a homogén lineáris egyenletrendszernek az együttható mátrixát nevezzük a szerkezet merevségi mátriának Deníció. Egy (G, h) pár d-dimenziós f realizációjának merevségi mátrixát jelölje: R(G, h, f). Az R(G, h, f)-nak E sora és d V oszlopa van. A mátrix e = {i, j} élének megfelel k-adik sora az alábbi módon néz ki: ( 0... (f 1i f 1j ) (f 2i f 2j ) (f 1j f 1i ) (f 2j f 2i )... 0 A (G, h) pár f realizációjának az X, az (1.1) alapján, pontosan akkor innitezimális mozgása a síknak, ha teljesül az alábbi egyenl ség: R(G, h, f)x = 0, ). ahol X = (v 1, v 2,..., v n ) alakú nd 1-es oszlopvektort jelöl. Azaz X egy innitezimális mozgása a szerkezetnek, ha X KerR Deníció. A (G, h) pár f realizációját innitezimálisan merev nek nevezzük, ha az összes innitezimális mozgása a szerkezetnek triviális innitezimális mozgás Állítás. A síkbeli (G, h) szerkezet f realizációja innitezimálisan merev akkor és csak akkor, ha a merevségi mátrixának rangjára igaz a következ : ( ) r R(G, h, f) = 2 V 3. Bizonyítás: Az deníció alapján: egy szerkezet innitezimálisan merev, ha az összes innitezimális mozgása triviális innitezimális mozgás. Ebb l következik, hogy ( dim Ker ( R(G, h, f) )) = 3. 9
10 ( dim Ker ( R(G, h, f) )) ( ) = 2 V r R(G, h, f) ( ) 3 = 2 V r R(G, h, f). Ez az egyenletet átrendezve: ( ) r R(G, h, f) = 2 V 3 egyenl séget kapjuk, ami megegyezik az állításban szerepl összefüggéssel. A következ tétel bizonyítás nélkül kerül kimondásra Tétel (Merevség és az innitezimális merevség kapcsolata). Ha egy (G, h) szerkezet innitezimálisan merev, akkor lokálisan merev. A tétel megfordítása ugyanakkor nem igaz, mert léteznek olyan szerkezetek, amelyek lokálisan merevek, de nem innitezimálisan merevek Példa. Vegyük azt a három csúcsból és három élb l álló rúd-csuklós szerkezetet, melyet a következ vektorok határoznak meg: (0, 0), (2, 3), (3, 0). Ekkor: R(G, h) = Megnézve a kapott mátrix sorait, láthatjuk, hogy lineárisan függetlenek, tehát a sorrangja 3-mal egyenl. Ebb l az következik, hogy dim(ker) = 6 3 = 3, ami megegyezik a triviális innitezimális mozgások dimenziójával. Vagyis az általunk megadott gráf innitezimálisan merev, és az tétel alapján lokálisan merev Példa. Most úgy adjuk meg a rúd-csuklós szerkezet három csúcsát, hogy azok kollineárisak legyenek egymással, mégpedig a következ koordinátázással: (0, 0), (1, 1), (2, 2). Ekkor: R(G, h) =
11 Ez esetben könnyen látható, hogy ha a mátrix els és harmadik sorát összeadjuk, majd megszorozzuk kett vel, akkor a második sorát kapjuk. A merevségi mátrix sorrangja: 2, mivel sorai lineárisan összefügg ek, dim(ker) = 6 2 = 4, ami nem egyezik meg a triviális innitezimális mozgások dimenziójával. Tehát az R(G, h) mátrix in- nitezimálisan nem merev, de nyílván lokálisan merev A merevség szükséges feltétele Tétel. Egy R 2 -beli, e rudat és n csuklót tartalmazó szerkezet merevségének szükséges feltétele, hogy e 2 V 3 egyenl tlenség teljesüljön. ( ) Bizonyítás: Egy szerkezet innitezimálisan merev, ha r R(G, h, f) teljesül. A szerkezet R(G, h, f) merevségi mátrixának e sora van, ezért ( ) r R(G, h, f) e. = 2 V 3 A Tétel nem ad elégséges feltételt egy (G, h) szerkezet merevségi voltára ábra. 9 csuklóból álló szerkezet Példa. Az (1.1.ábra) bal oldala globálisan merev, s t még ha elveszünk bel le egy rudat, akkor is az marad. A jobb oldalán viszont láthatjuk, hogy könnyen deformálható. Ha teljes egészébe tekintünk az ábrára: 9 csuklóból és 16 rúdból áll, vagyis teljesül rá a szükséges feltétel, de ez ennél az ábránál nem elégséges a szerkezet merevségéhez. 11
12 2. fejezet Cauchy-féle merevségi tétel 2.1. Az Euler-formula következménye Deníció. G gráf összefügg, ha G bármely két pontja között vezet út Deníció. Ha egy G gráf lerajzolható R 2 -be úgy, hogy az élei nem metszik egymást, akkor a gráf síkbarajzolható. Síkbeli gráfról akkor beszélhetünk, ha már adott és rögzített a gráfnak egy síkba rajzolása. Egy síkgráf a síkot tartományokra bontja, beleértve a nem korlátos küls tartományt is. A következ kben bizonyítás nélkül kimondásra kerül formula a síkgráfok tartományai, élei és csúcsai számára mutat összefüggést Tétel (Euler-formula). Ha egy összefügg síkbeli gráfnak n csúcsa, e éle és t tartománya van, akkor teljesül rá a következ : n e + t = Állítás. Legyen adva egy G nemüres, egyszer síkbeli gráf. Ekkor 1. G-nek van maximum ötödfokú csúcsa. 2. G-nek maximum 3n 6 éle van, ahol n a gráf csúcsainak a számát jelöli. 3. ha G éleit kiszínezzük két színnel, akkor lesz olyan csúcs, amelyb l kiinduló élek ciklikus sorrendjében maximum kétszer van színváltás. 12
13 Bizonyítás: A bizonyításhoz szükséges a következ paraméterek ismerete. Számoljuk meg a gráf tartományait aszerint, hogy hány él határolja (azt az élt, aminek mindkét oldalán ugyazaz a tartomány van, kétszer kell számolni). Jelölje t k a k-tartományok számát. t = t 2 + t 3 + t (2.1) Az éleket megszámolhatjuk aszerint is, hogy mely tartományokat határolják: 2e = 2t 2 + 3t 3 + 4t (2.2) Jelölje G-ben n i az i-fokú pontok számát. Ha fokszámuk szerint megszámozzuk a csúcsokat, ahol egy csúcs foka a bel le kiinduló élek számával egyenl, akkor a következ adódik: n = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + n (2.3) Másrészt minden élnek két végponja van, ezért kett vel járul hozzá a fokszámok összegéhez, tehát 2e = n 1 + n 2 + n 3 + n (2.4) Mindhárom állítás belátásához feltehet, hogy G összefügg gráf. 1. Abból kiindulva, hogy G egyszer gráf, mondhatjuk, hogy minden tartományának minimum három oldala van. Ezt gyelembe véve a (2.1) és a (2.2) a következ képpen írható fel: t = t 3 + t 4 + t e = 3t 3 + 4t 4 + 5t , ebb l a 2e 3t 0 összefüggést kapjuk. Ha minden csúcs foka minimum hat lenne, akkor a (2.3) és (2.4) felhasználásával n = n 6 + n 7 + n e = 6n 6 + 7n 7 + 8n
14 Tehát 2e 6n 0 adódik. A két egyenl tlenséget összegezve (2e 6n) + 2(2e 3t) 0 6e 6n 6t 0 6(e n t) 0 e n + t adódik, ami viszont ellentmond az Euler-formulának. 2. Az Euler-formula és a 2e 3t 0 összefüggés alapján látható, hogy 3n 6 = 3(e t + 2) = 3e 3t e. 3. Legyen c azoknak a szögeknek a száma, amelyeknél színváltás van. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor c 4n színváltás van, mivel minden csúcsnál páros sok a váltás. Minden 2k vagy 2k + 1 oldalú tartománynak maximum 2k ilyen szöge van, amib l a (2.3)-at és (2.4)-et felhasználva, arra következtethetünk, hogy 4n c 2t 3 + 4t 4 + 4t 5 + 6t 6 + 6t 7 + 8t t 3 + 4t 4 + 6t 5 + 8t t = 2(3t 3 + 4t 4 + 5t 5 + 6t 6 + 7t ) 4(t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t ) = 4e 4t. Leegyszer sítve újfent az e n + t összefüggést kapjuk, ami még mindig ellentmond az Euler formulának. 14
15 2.2. Cauchy-féle karlemma Deníció. Az olyan térbeli, korlátos alakzatokat, amelyeknek van bels pontjuk és el állnak véges sok féltér metszeteként, konvex poliéder eknek nevezzük Deníció. Két konvex poliéder akkor kombinatorikusan ekvivalens, ha laphálóik izomorfak, tehát ha tudunk létesíteni egy tartalmazástartó hármas bijekciót a két poliéder lapjai, élei, illetve csúcsai között Lemma (Oldalakra vonatkozó koszinusztétel). [1] A szférán adott egy háromszög, melynek oldalai a, b, c legyenek. A c oldallal szemközti szögét jelölje γ. Ekkor a következ egyenl ség teljesül: cos c = cos a + cos b + sin a sin b cos γ. Bizonyítás: A (2.1. ábra) alapján használt jelöléseket tekintve: Az a, b, c vektorok 2.1. ábra. Gömbháromszög hajlásszögeit tekintsük a gömbháromszög oldalainak: a = (b, c), b = (c, a), c = (a, b). A b c, c a, a b mer legesek a gömbháromszög oldalainak síkjára. Hajlásszögeik a gömbháromszög szögeinek kiegészít szögei: π α = (c a, a b), π β = (a b, b c), π γ = (b c, c a). 15
16 Az a, b, c vektorok jobbrendszert alkotnak. Tekintsük például az a vektort, ami az b, c vektorok síkjának ugyanarra az oldalára mutat, mint b c. Ezekszerint b c és c a egy α szög lapszög lapjaira mer leges. Majd az el bb bevezetett vektorokkal képezzük a (b c)(c a) szorzatot. Ezt követ en a kifejtési és a felcserélési tétel alkalmazásával a következ ket kapjuk: (b c)(c a) = b[c (c a)] = b[(ac)c (cc)a] = (ac)(bc) (cc)(ba) = = cos b cos a cos c cos b cos a cos c = b c c a cos(π γ) = sin a sin b cos γ Az egyenletet rendezve: cos b cos a cos c = sin a sin b cos γ cos c = cos a + cos b + sin a sin b cos γ összefügés adódik, amely éppen a kiindulási egyenletünk volt. A térbeli esetben az a, b, c hosszakat az egységsugarú gömb felszínén mérjük, így a [0, π] intervallumba esnek az értékeik Lemma (Cauchy-féle karlemma). Ha Q és Q olyan konvex n-szögek az euklédeszi síkon vagy a gömbön (az alábbi jelöléseket használva), melyekre q i q i+1 = q i q i+1 teljesül minden 1 i n 1-re, továbbá α i α i a minden 2 i n 1-re, akkor a hiányzó" élhossz eleget tesz a következ egyenl tlenségnek: q 1 q n q 1q n, és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha minden i-re α i = α i. 16
17 Bizonyítás: A bizonyítás menete n-szerinti indukció felhasználásával történik. n = 3 esetre nézve: ha egy háromszög rögzített a és b oldala által bezárt γ szögét növeljük, akkor a harmadik, azaz c oldal hossza is n. Analitikus meggondolással ez a c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ koszinusz tételb l következik a síkbeli esetben. Ezzel analóg módon tekinthetjük a szférán a lemmában kimondott egyenl ség következményét. Vegyük a n 4 esetet. Ha valamely i {2,..., n 1}-re α i = α i, akkor levághatjuk a megfelel csúcsot és helyette a q i 1, q i+1 -et, illetve a q i 1, q i+1-et összeköt átlót húzzuk be, melyekre a q i 1 q i+1 = q i 1 q i+1 teljesül. Ezzel a lépéssel az indukciót befejeztük, mostantól feltehetjük, hogy α i < α i minden 2 i n 1-re. Ezt követ en Q-ból készítünk egy új Q sokszöget, még pedig a következ képpen: α n 1 - et a lehet legnagyobb olyan αn 1 α n 1 szögre cseréljük ki, amelyre Q konvex marad. Ehhez q n -et qn-nel helyettesítjük, viszont megtartjuk az összes többi q i -t, az oldalhosszakat és a szögeket. 1. Abban az esetben, ha tudunk olyan az α n 1 = α n 1 szöget választani, amelyre Q konvex marad, akkor a q 1 q n < q 1 q n q 1q n (2.5) összefüggést kapjuk, az els egyenl tlenséghez n = 3 esetet, a másodikhoz pedig az el bb említett indukciót felhasználva. 17
18 2. Máskülönben ha α n 1 < α n 1, akkor a konvexitás feltétele miatt nem tudjuk továbbnyitni ezt a kart, ami csak úgy lehetséges, ha q 2, q 1 és q n kollineáris, azaz egy egyenesre es pontok. Ez esetben a következ t kapjuk: q 2 q 1 + q 1 q n = q 2 q n. (2.6) Ezt a Q -ot a Q -vel összehasonlítva, n-szerinti indukcióval q 2 q n q 2q n (2.7) adódik. Vagyis összegezve az eddigieket: (2.5) (2.6) (2.7) ( ) q 1 q n < q 1 qn = q 2 qn q 1 q 2 q 2q n q 1q 2 q 1q n, ahol ( )-gal jelölt egyenl tlenség a háromszög-egyenl tlenségre utal. Ezzel az állítást beláttuk Cauchy tétele merev poliéderekr l Tétel (Cauchy tétele merev poliéderekr l). Ha két R 3 -beli konvex poliéder P és P kombinatorikusan ekvivalens, és megfelel lapjaik egybevágóak, akkor megfelel élszomszédos lappárok szögei is megegyeznek, és így P és P egybevágóak. Szemléletesen, ha veszünk egy poliédert és azt a lapjai mentén darabjaira szedjük, majd újra összerakjuk a megfelel élek mentén, akkor csak egyféleképpen tudjunk ezt megtenni. 18
19 Bizonyítás: Tegyük fel, hogy adott két konvex poliéder,melyeknek lapjaik páronként egybevágóak: P és P. P éleit színezzük a következ képpen: legyen egy él fekete, ha az adott élben találkozó két lap bels szöge P -ben nagyonbb mint P -ben; és zöld, ha az el bb említett szög kisebb P -ben, mint P -ben. P felszínén a fekete és zöld élek egy kétszín síkbeli gráfot határoznak meg, amelyet sugárirányú vetítéssel az S 2 felületre vetíthetünk. Vagyis veszünk egy vetítési középpontot P belsejében, majd ebb l a kiválasztott pontból P minden pontjára félegyenest illesztünk. Ezt követ en ha az egyeneseket elmetszük egy gömbbel, akkor a P poliéder egy centrális vetítés képét, vagyis a gráf egy lerajzolását kapjuk S 2 -n. A szóban forgó gráf nem üres, ha P -nek és P -nek léteznek megfelel lappárjaik, amelyek lapszöge nem egyenl. A állítás 3. részét felhasználva található olyan p csúcs, amely illeszkedik minimum egy fekete vagy egy zöld élre, és maximum két színváltás van a bel le kiinduló élek ciklikus sorrendjében. Messük el P -t egy kicsi, p középpontú, ε sugarú S ε, valamint P -t egy szintén ε sugarú, a p-nek megfelel p középpontú S ε gömbbel. A metszés során keletkezett két konvex gömbi sokszög, Q és Q, S ε -ban, illetve S ε-ban, amellyeknek megfelel ívei egyenl hosszúak, mivel a két gömb sugárhossza megegyezik, illetve P és P megfelel lapjai egybevágóak voltak. Jelöljük Q valamely szögét +-szal, ha a neki megfelel Q -beli szögnél kisebb, és -szal, ha Q -beli megfelel jénél nagyobb. Vagyis, Q-ról Q -re áttérve a + szögek kinyílnak", a -ak bezárulnak"', míg az oldalhosszak és a jelöletlen szögek nem változnak. A p csúcs választásából tudjuk, hogy vannak vagy + vagy jelölés szögek,de el fordulhat az is, hogy mindkét jelöléstípus megtalálható, és ciklikus sorrendjükben maximum két +/ váltás van. Ha csak egyféle jel fordul el, akkor a lemma segítségével rögtön ellentmondásra jutunk, hiszen ez esetben a valamelyik él hossza megváltozik és így nem teljesül a kívánt távolságtartás. 19
20 Ha mindkét el jel el fordul, van olyan elosztóvonal, mely két él felez pontját köti össze, és elválasztja a +-okat a -októl. Az alábbi lemma ez esetben is ellentmondásra vezet, hiszen ez az elválasztóvonal nem lehet egyszerre hosszabb és rövidebb is Q -ben, mint Q-ban Példa. Az itt látható két alakzat kombinatorikusan ekvivalensek, és a megfelel lapjaik egybevágók, viszont az alakzatok nem egybevágók, és szemmel láthatóan csak az els ábra konvex. Tehát ebb l a példából az sz rhet le, hogy a konvexitás szükséges feltétele a Cauchy tételnek. 20
21 Befejezés A dolgozatom áttekintésének végéhez érve, az olvasóban felmerülhet néhány igencsak jogosnak mondható kérdés. Van az említett dolgoknak hétköznapibb alkalmazásuk? Felhasználhatók az elhangzottak a tudomány más területein is? A válaszok természetesen igenl ek. A rúd-csuklós szerkezetek felhasználásának jellegzetes, illetve leginkább ismeretes példái a távvezeték-tartóoszlopok, adótornyok, t ztornyok, kilátótornyok, magaslesek, darugémek és daruhidak, szalaghidak. Természetesen ezen magasépítészeti szerkezetek megtervezésük során nem tekinthet ek teljesen merevnek. Figyelembe kell venni a rácsszerkezet (a mérnöki szakzsargon egymáshoz kapcsolt rudakból összeálló mérnöki szerkezeteket ért) alakváltoztatásainak vizsgálati eredményeit. A vizsgálat során egy-egy kiválasztott csúcsponton m köd küls er ket kísérik gyelemmel. Ezek az er k nemcsak az adott csuklóval közvetlenül érintkez rudakat befolyásolják, hanem képesek akár deformációt okozni a szomszédos rudaknál,vagy akár a rácssíkoknál is. A csúcspontok elmozdulása során általában a rácssíkok által közrefogott térrész keresztmetszetének alakja változik meg. Konkretizálva: ilyen rúd-csuklós szerkezet építmény többek között a párizsi Eiel-torony és a Tokyo-torony.[10] Tensegrity szerkezetek, olyan rácsszerkezetek, amelyeknek minden egyes rúdja a terhelést l függetlenül csak nyomott vagy húzott lehet. A tensegrity mind elnevezésében, mind felépítési elvében R. B. Fuller nevéhez f z dik. A legegyszer bb tensegrity rácsot az innitezimálisan exibilis térbeli szerkezetek között kell keresnünk, amit egy oktaéder-hálózatú rácsból származtathatunk. 21
22 2.2. ábra. Oktaéderb l származtatott tensegrity rács Tekintve a (2.2.ábrát), ha az oktaéderben a kék vonallal jelölt rudakat sorra kiemeljük, és ket a konjugált rúdjaikkal helyettesítjük, egy elfajult" konkáv szerkezetet kapunk. Az új rudak hosszát azonos mértékben növelni kezdjük, ez a metódus egyre magasabb rácsszerkezetet eredményez, miközben a fels vízszintes rácssík egyre inkább elfordul az alsóhoz képest. Azonban tetsz leges mértékben nem növelhetjük a rudak hosszát, mivel bizonyos hossz elérésekor a szerkezet megfeszül. Összegezve: a kék rudakban mind húzás, a zöldekben pedig nyomás lép fel (a tensegrity tulajdonságainak megfelel en). Mivel a rácsszerkezet helybentartásához nem elegend a rendelkezésünkre álló rudakszáma, ezért a rács statikailag határozatlan. Ennek következtében egy innitezimálisan exibilis szerkezetet kapunk. [11] A nanocsöveket is rúdszer viselkedés rácsos tartóként modellezik, amelyek jelenleg az anyagszerkezeti kutatások kedvenc objektumai. [10] Remélem, dolgozatom során sikerült átadni mindazt, amit a merevség elmélet általam feldolgozott részéb l fontosnak és érdekesnek találtam. 22
23 Köszönetnyilvánítás Köszönettel tartozom témavezet mnek, Naszódi Mártonnak, aki érthet magyarázataival, a konzultációkon adott bíztató szavaival, türelmével el segítette a szakdolgozatom elkészülését. 23
24 Irodalomjegyzék [1] Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, [2] Jordán Tibor Recski András Szeszlér Dávid: Rendszeroptimalizálás, Typotex Kiadó, Budapest, [3] Martin Aigner Günter M. Ziegler: Bizonyítások a könyvb l, Typotex kiadó, Budapest, [4] Moussong Gábor: GEOMETRIA, Eötvös Loránd Tudományegyetem Geometriai Tanszék, Budapest, mg/tamop/geometria.pdf [5] R. Connelly: Tensegrities and Global Ridigity connelly/tensegrity-global.pdf [6] R. Connelly: The basics of rigidity connelly/basicsi.basicsii.pdf [7] Recski András: Matroid Theory and its Applications in Electric Network Theory and in Statics, Akadémia Kiadó, Budapest [8] Szabadka Zoltán: Rúdszerkezetek és tensegrity gráfok merevsége a síkban, Budapest,
25 [9] Verhóczki László: Euklideszi Geometria, ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék, Budapest, [10] rudszeru_racsok.pdf [11] 25
26 Nyilatkozat Név: Kleizer Eszter ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika Bsc Neptun kód: OVQK4Y Szakdolgozat címe: Fejezetek a merevségelméletb l A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, január 7. a hallgató aláírása 26
5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
11. előadás. Konvex poliéderek
11. előadás Konvex poliéderek Konvex poliéder 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát. 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos
Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
1. A Hilbert féle axiómarendszer
{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,
10. előadás. Konvex halmazok
10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Síkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Megoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
Analitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
A különböz lerajzolásokhoz különböz metszési szám tartozik: x(k 5, λ) = 5,
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok metszési paramétere és alkalmazásai 2013. El adó: Hajnal Péter 1. Gráfok metszési száma Az el adás a metszési szám nev gráfparaméterr l szól.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
A lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
Vektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
Analitikus geometria c. gyakorlat
matematikatanári szak (2016/2017-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (M veletek vektorokkal) 1) Az a vektor hossza kétszerese a b vektor hosszának. Mekkora a két vektor szöge, ha az a b vektor mer leges
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás
Gráfok színezése Diszkrét matematika 2009/10 sz, 9. el adás A jegyzetet készítette: Szabó Tamás 2009. november 9. 1. Alapfogalmak Egy gráf csúcsait vagy éleit bizonyos esetekben szeretnénk különböz osztályokba
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Analitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)
1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül) A tér egy σ síkjában vegyünk két egymásra mer leges egyenest, melyeket jelöljön x és y, a metszéspontjukat pedig jelölje O. A két
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
A derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
A gúla ~ projekthez 2. rész
1 A gúla ~ projekthez 2. rész Dolgozatunk 1. részében egy speciális esetre a négyzet alapú egyenes gúla esetére írtuk fel és alkalmaztuk képleteinket. Most a tetszőleges oldalszámú szabályos sokszög alakú
Érdekes geometriai számítások 10.
1 Érdekes geometriai számítások 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet [ 1 ], ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
GEOMETRIA 1, alapszint
GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:
9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával