1 A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról Az idők során már többször eszünkbe jutott, hogy foglalkozni kellene a címbeli témával. Különösen akkor, amikor olyan függvényábrákat találtunk, melyek emlékeztettek a kettős - belű törzs tényleges keresztmetszeti képére. Az 1. ábrán egy valóságos fatestről készült képet láthatunk. 1. ábra forrása: http://fahiba.fmk.nyme.hu/ Ezen is látható az évgyűrűk és a sugárirányú repedések különleges futása. A 2. ábrán egy matematikai weblapról begyűjtött képet mutatunk meg, a Cassini ~ oválisok - ról. 2. ábra forrása: http://mathworld.wolfram.com/cassiniovals.html
2 A 3. ábrán egy villamosságtani könyvből vett ábra látható [ 1 ]. 3. ábra forrása: [ 1 ] Ezen két függvény görbeserege szemlélhető, melyek közül az egyik erősen hasonlít a 2. ábrabelihez, de mindkét görbesereg emlékeztet az 1. ábrabeli képre. A két görbesereg egymást merőlegesen metszi, tehát egymás ortogonális trajektóriái. Minthogy igencsak megtetszett a 3. ábra, így megkíséreltük magunk is előállítani. Az eredmény a 4. ábrán szemlélhető meg. Bőven volt vele tennivaló. Az alábbiakban megmutatjuk, hogyan lehet e két görbesereg egyenleteire szert tenni. Mielőtt azonban ennek nekilátnánk, elmondjuk, hogy bizonyos fizikai elektrosztatikai, áramlástani, stb. problémák közelítő megoldását úgy adják meg, hogy megvizsgálnak sok függvényt, majd megnézik, hogy azok mely feladat közelítő megoldásának lehetnének esz közei, illetve eredményei. Ezt azért tartjuk lényegesnek, mert egy ikerbeles fatörzs kereszt metszeti rajzolatának leírásától sem várhatunk többet, mint amennyit egy egzakt fizikai probléma közelítő megoldásától. Valójában már az is szép eredmény, hogy egyáltalán találtunk két olyan görbesereget, melyek első pillantásra hasonló benyomást keltenek, mint egy valóságos ikerbeles fatest bütüje / keresztmetszete.
3 2 1.5 1 0.5 y r(t)=sqrt(tan(0.1*pi))/(sqrt(tan(0.1*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=sqrt(tan(0.2*pi))/(sqrt(tan(0.2*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=sqrt(tan(0.3*pi))/(sqrt(tan(0.3*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=sqrt(tan(0.4*pi))/(sqrt(tan(0.4*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=sqrt(tan(0.5*pi))/(sqrt(tan(0.5*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=(cos(2*t)-(sin(2*t))/tan(0.6*pi))^(-1/2) r(t)=(cos(2*t)-(sin(2*t))/tan(0.7*pi))^(-1/2) r(t)=(cos(2*t)-(sin(2*t))/tan(0.8*pi))^(-1/2) r(t)=(cos(2*t)-(sin(2*t))/tan(0.9*pi))^(-1/2) r(t)=(cos(2*t)-(sin(2*t))/tan(0.95*pi))^(-1/2) r(t)=sqrt(tan(0.05*pi))/(sqrt(tan(0.05*pi)*cos(2*t)-sin(2*t))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.01*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.05*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.10*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.15*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.20*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.25*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.30*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.40*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(0.50*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(-0.010*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(-0.10*pi))-sqr(sin(2*t)))) -3-2.5-2 -1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(-0.20*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(-0.3*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)+sqrt(exp(2*(-0.4*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)-sqrt(exp(2*(-0.4*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)-sqrt(exp(2*(-0.3*pi))-sqr(sin(2*t)))) -0.5 r(t)=sqrt(cos(2*t)-sqrt(exp(2*(-0.20*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)-sqrt(exp(2*(-0.10*pi))-sqr(sin(2*t)))) r(t)=sqrt(cos(2*t)-sqrt(exp(2*(-0.01*pi))-sqr(sin(2*t)))) -1-1.5-2 4. ábra A számítások onnan indultak, hogy [ 1 ] - ben a következő komplex függvényt találtuk: =ln. ( 1 ) Tudjuk, hogy =+j, ( 2 ) =+j, ( 3 ) ahol j a képzetes egység, melyre j = 1. ( 4 ) Most ( 1 ) - ből: = 1. ( 5 ) Majd ( 5 ) jobb oldalát ( 3 ) és ( 4 ) - gyel átalakítva: 1= 1= Ezután ( 5 ) bal oldalát ( 2 ) - vel átalakítva: 1= 1+j. ( 6 )
4 =! " =! " =! cos+j sin=! cos+j! sin, ( 7 ) ahol alkalmaztuk az Euler - féle relációt is. Most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) szerint:! cos+j! sin= 1+j, innen pedig 1=! cos, ( 8 ) =! sin. ( 9 ) A ( 8 ) és ( 9 ) egyenletek képezik az alapjait a további vizsgálódásoknak. Ugyanis a 3. ábra szerint is azokra a görbékre van szükségünk, amelyekre = ' =()*+,. és = ' =()*+,. ( 10 ) A Matematika, illetve a Fizika tan - és szakkönyveiben megmutatják, hogy a ( 8 ), ( 9 ), ( 10 ) szerinti görbeseregek ( is ) egymás ortogonális trajektóriái. Ehhez ld. pl.: [ 2 ]! Most felírjuk a mondott görbeseregek rajzi megjelenítésre leginkább alkalmas egyenleteit, polárkoordinátás alakban. Először foglakozzunk a alakot is tartalmazó görbékkel. Ekkor ( 8 ), ( 9 ) és ( 10 / 1) szerint: 1=! - cos, ( 11 ) =! - sin. ( 12 ) E két egyenletből kiküszöböljük a v változót, azok négyzetre emelésével és összeadásával, felhasználva a sin +cos =1 ( 13 ) ismert azonosságot is: 1 + =! -. ( 14 ) Kényelmi okok miatt bevezetjük a.=! - ( 15 ) rövidítő jelölést, így ( 14 ) és ( 15 ) - tel: 1 +2 =.. ( 16 )
5 Áttérve síkbeli polárkoordinátákra: =0 cos1, =0 sin1, ( 17 ) ( 16 ) és ( 17 ) - tel kapjuk: 2 cos 1 2 sin 1 1 +2 2 cos12 sin1 =. ; tovább alakítva: 4 2 cos 1 sin 1 15 +4 2 2 cos1 sin15 =. ; ( 18 ) most az ismert cos 1 sin 1=cos2 1, 2 cos1 sin1=sin2 1 ( 19 ) azonosságokkal ( 18 ) így írható: 6 2 cos2 1 17 +6 2 sin2 17 =. ; ( 20 ) elvégezve a négyzetre emeléseket: 2 8 cos 2 1 2 2 cos2 1+1+ 2 8 sin 2 1=. ; ( 21 ) kiemeléssel: 2 8 9cos 2 1+sin 2 1 : 2 2 cos2 1+1=. ; ( 22 ) ismét ( 13 ) - mal: 2 8 2 2 cos2 1+1=. ; rendezve: 2 8 2 2 cos2 1+1. =0. ( 23 ) Átmeneti jelöléssel: 2 =<, ( 24 ) majd ( 23 ) és ( 24 ) - gyel: < 2 cos2 1 <+1. =0. ( 25 ) Ezt a másodfokú egyenletet q - ra megoldva:
6 <= =>? @±B9 =>? @: 8 C CD C, vagy ( 13 ) miatt is: <=cos2 1±B. sin 2 1. ( 26 ) Most ( 24 ) és ( 26 ) szerint: 2 =cos2 1±B. sin 2 1 ; pozitív négyzetgyököt vonva és rendezve, ( 15 ) - tel is: 01, ', E =E Fcos2 1±B! - sin 2 1. ( 27 ) Ez a Cassini - oválisok görbeseregének polárkoordinátás egyenlete, ahogyan arról meggyő - ződhetünk a 2. ábra forrásának tanulmányozása során is. A ( 27 ) egyenlet az ikerbeles fatest évgyűrűit írja le, közelítőleg reményeink szerint. Most térjünk át a bélsugarak, vagyis a Cassini - oválisok ortogonális trajektóriái egyenle - tének levezetésére! Ekkor ( 8 ), ( 9 ) és ( 10 / 2 ) - vel: 1=! cos ', ( 28 ) =! sin '. ( 29 ) Az u változó kiküszöbölésére képezzük ( 28 ) és ( 29 ) hányadosát! Ekkor: G H I =tg G JH K L =>?" '. ( 30 ) - I C = KL?MN"- Most ( 17 ) - tel is: Q I =>?@?MN@ Q I =>? @?MN @C Majd ( 19 ) és ( 31 ) szerint: Q I?MN @ Q I =>? @C =tg ' ; rendezve: =tg '. ( 31 ) 2 sin2 1= 2 cos2 1 tg ' tg ' ; tovább alakítva:
7 tg ' = 2 9tg ' cos2 1 sin2 1: ; innen: 2 = 2 = [ RS" - RS" - =>? @?MN @ = TUV W =>? @ XYZ- C TUV W =>? @ XYZ- = C C TUV W F=>? @ XYZ-, ; ebből pozitív gyökvonással: végül: 01, ',E = TUV W F=>? @ XYZ-. ( 32 ) A (32 ) egyenlet írja le a Cassini - oválisok ortogonális trajektóriáit. A fenti képletekben a 2a mennyiség az ábrák tanúsága szerint is a fa - belek egymástól mért távolságát jelenti. A ( 27 ) és ( 32 ) képletek, valamint a Graph ingyenes rajzoló program alkalmazásával készültek a 4. ábra görbéi. Az egyes függvények értelezési tartományait, stb. tovább nem elemezzük, ugyanis a tévedéseket a Graph úgysem tolerálja: egyszerűen nem rajzol. Ez legyen minden felhasználó házi feladata! Utóirat: Már felkerült a honlapra e dolgozat, amikor ráeszméltünk, hogy a 3. és 4. ábra görbéi milyen töltésrendszer erő - és ekvipotenciális vonalait ábrázolják; ugyanis ezt [ 1 ] - ben nem közöl - ték az ( 1 ) függvény lelőhelyén; csak 11 oldallal később van szó hasonlóról. A szóban forgó töltéselrendezés nem más, mint két azonos nagyságú, egynemű, a rajz síkjára merőleges el - helyezkedésű, egyenes tengelyvonalú, párhuzamos vonaltöltések esete. Ennek kiderítésében segített a [ 3 ] munka is. Igaz, erre magunktól is rájöhettünk volna, abból, hogy a komplex potenciálokat kétdimenziós vektorterekre alkalmazzák, a két ponttöltés elektrosztatikus tere azonban háromdimenziós, így az nem lehet. A végső döfést az adta meg, hogy [ 3 ] - ban ki - mutatják, miszerint a tér ekvipotenciális vonalai lemniszkáták. Erre itt a Cassini - oválisok elnevezést használtuk. Mi pedig fentebb azt mutattuk meg, hogy a ( 27 ) képlet a Cassini - oválisok görbeseregének polárkoordinátás egyenlete. Ezzel a kör bezárult. Jobb későn, mint soha
8 Irodalom: [ 1 ] Fodor György ~ Simonyi Károly ~ Vágó István: Elméleti villamosságtan példatár Tankönyvkiadó, Budapest, 1967., 44 ~ 45. o. [ 2 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972., 338. o. [ 3 ] B. A. Fuksz ~ B. V. Sabat: Komplex változós függvények és alkalmazásuk Tankönyvkiadó, Budapest, 1976., 96. o. Sződliget, 2014. 08. 02. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár