Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D.

Átírás

1 Rádiófrekvenciás Induktivitás Végeselemes Analízise és Fejlesztési Lehetőségei Készítette: Pólik Zoltán Villamosmérnöki (B.Sc.) szakos hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. Egyetemi docens A dolgozat az Országos Tudományos Diákköri Tanács által szervezett XXIX. Országos Tudományos Diákköri Konferencia Műszaki Tudományi Szekciójában való részvételre készült Távközlési Tanszék Elektromágneses Terek Laboratórium Széchenyi István Egyetem Győr 2009

2 A zsenialitás - vagyis az a képesség, hogy valami újat felfedezzünk - mindig azt jelenti, hogy valakinek elsőként jut eszébe egy teljesen magától értetődő dolog. /Gustav Ludwig Hertz/ I

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A dolgozat áttekintése Köszönetnyilvánítás Irodalmi áttekintés Az induktivitások fontosabb jellemzői A rádióamatőrök munkássága Induktivitások analitikus modellezése A végeselem-módszer Elméleti háttér A Maxwell-egyenletek Az Maxwell-egyenletek integrális és differenciális alakja A Maxwell-egyenletek osztályozása Határ- és peremfeltételek Potenciálformalizmus A gyenge alak Szimuláció COMSOL Multiphysics környezetben A feladat áttekintése Teendők A kétdimenziós modell A feladat megoldása A modell berajzolása Preprocesszálás PDE megadása Rácsgenerálás és szimuláció A modell optimalizálása A szimulációk eredményei, posztprocesszálás Új anyagok a gyártásban Konklúzió és jövőbeli tervek 47 II

4 1. fejezet Bevezetés Az elekronikában három passszív komponens ismert, az ellenállás, a kapacitás és az induktivitás. Az induktivitás, másnéven tekercs olyan passzív alkatrész, amely képes a rajta átfolyó áram által létrehozott mágneses energiát tárolni [1]. Felépítését tekintve az induktivitás egy feltekercselt vezető, mely állhat egyetlen áramhurokból vagy több ezer menetből is. A feltekercselt vezető általában szolenoid vagy toroid alakú, ferromágneses vagy dielektromos tulajdonságokkal rendelkező hordozó anyagra kerül, de léteznek bonyolultabb formájú és légmagos tekercsek is. Méretük nagyban függ felhasználási területüktől, a legkisebbek a milliméternél is kisebbek, a legnagyobbak akár méteres nagyságrendűek is lehetnek. Elméleti ismereteink szerint az induktivitás egy tisztán reaktáns, lineáris, időinvariáns elem, amelyen az átfolyó, időben változó i L = i L (t) áram és a rajta eső időben változó u L = u L (t) feszültség kapcsolata a következő differenciálegyenlettel írható le [2]: u L (t) = L di L(t). (1.1) dt Az induktivitás, mint mennyiség jele: L, amelyet legelőször Oliver Heaviside használt 1886 februárjában [3]. Joseph Henry tiszteletére az induktivitás dimenziója henry [H]. 1 H= 1Wb kgm2. SI alapú mértékegységekben kifejezve a weber mértékegysége, amely 1A s 2 A egyszerűsítve volt-szekundum (Vs). Másszóval 1 H jelenti azt a mennyiséget, amely 1 A s áramváltozás esetén 1 V feszültésget hoz létre. Egy alkatrész öninduktivitása a Φ mágneses fluxus és az eszközön átfolyó i L áram hányadosával adható meg, amelyet egyszerűbben az alkatrész induktivitásának nevezünk: L = N Φ i L, (1.2) ahol N a menetek száma. Egy ideális induktivitás tisztán reaktív komponens, tehát csak induktivitása van, ellenállása és kapacitása nincs, nem disszipál energiát, azonban a valóságban nem megvalósítható. Egy valódi induktivitás ezzel szemben rendelkezik ellenállással a tekercselő huzal ellenállásának köszönhetően, van némi kapacitása, amely a menetek közötti szórt kapacitásokból adódik, továbbá energiát is disszipál a huzal ellenállásának következtében létrejövő hőmérséklet-növekedés által. A ferromágneses anyagból készült maggal rendelkező tekercsek energiát disszipálnak még az anyag hiszterézis- és örvényáramveszteségének köszönhetően is. Ez az oka annak, hogy az induktivitás a legkevésbé ideális, tehát legnehezebben modellezhető és tervezhető passzív alkatrész. 1

5 Az elektronikai alkatrészgyártók tetemes időt és pénzt fektetnek induktivitásaik fejlesztésébe, ide értve új alkatrészek tervezését a piaci igényeknek megfeleően, valamint a már gyártásban lévők paramétereinek fejlesztését, mely paraméterek közül a legfontosabbak az induktivitás értéke, az impedancia nagysága, a jósági tényező értéke, az alkatrész méretei, stb. Napjainkban a legelterjedtebb módszer a fejlesztési fázisban még mindig az analitikus számítások eredményein és a tapasztalatokon alapul. A gyártók rengeteg próbaalkatrészt gyártanak le és vizsgálnak meg, mire kialakul a végleges, gyártásra is alkalmas továbbfejlesztett komponens. A fejlesztések alapjául gyakran szolgálnak a XX. század elején tevékenykedő un. rádió amatőrök, így Nagaoka, Medhurst, Lundin, Wheeler, stb. [4 8] munkái, akik bár rengeteg törvényszerűséget figyeltek meg és írtak le induktivitásokkal kapcsolatban, munkáik mégsem nevezhetőek teljesen átfogónak, így gyakorlati alkalmazásuk is csak speciális esetekben lehetséges. Nem alkalmazhatók például tetszőleges alakú tekercsek számolására, ami azonban napjaink elektronikai világát ismerve mindenképpen szükségszerű volna. Eredményeik jól használhatók azonban ellenőrzésére és különböző folyamatok megértésére. Mindezeket figyelembe véve, új, hatékonyabb módszerek alkalmazásának létjogosultsága megkérdőjelezhetetlen induktivitások tervezésében és fejlesztésében. Számos mérnöki kutatási és fejlesztési területen egyre népszerűbb a számítógéppel támogatott tervezés, azaz a CAD (Computer Aided Design), gyorsaságának és jó alkalmazhatóságának köszönhetően. Egy új eszközről például végeselem-módszerrel történő szimuláció segítségével még a gyártósor beállítása, az új anyagok megrendelése és további költséges lépések előtt eldönthető, hogy érdemes-e gyártani, vagy sem. Munkám célja ezek alapján az EPCOS Elektronikai Alkatrész Kft. meghatározott típusú induktivitásainak vizsgálata és feljesztési lehetőségeinek meghatározása végeselemmódszer segítségével A dolgozat áttekintése Munkám elsődleges célkitűzése SMT (Surface Mount Technology) induktivitások szimulációjának elvégzése végeselem-módszer alkalmazásával, valamint a szimulációk e- redményeinek értékelése, a következtetések levonása, végül az alkatrészek néhány meghatározott paraméterének továbfejlesztése. Személyes nézőpontból a legfontosabb célom az induktivitások belső működésének és legfontosabb tulajdonságainak megértése és megtanulása, beleértve számos fizikai jelenséget és azok hatásait az alkatrészek paramétereire. Célom továbá rájönni hogyan lehetséges az egyes paraméterek módosítása, más tulajdonságok változtatásával, ezen keresztül pedig az alkatrészek továbbfejlesztési, javítási lehetőségeinek meghatározása. Mérnöki szemszögből nézve a kutatás célja egy olyan végeselemes modell létrehozása, amely képes tetszőleges induktivitások pontos szimulációjára és azok fontos paramétereinek (induktivitás, impedancia, ellenállás, jósági tényező) kiszámítására, előrejelzésére a teljes frekvenciatartományban. Ezen ismeretek birtokában képesek lennénk jobb induktivitások kifejlesztésére, gyártására. A kitűzött célok megvalósítása érdekében munkám során először egy végeselemes modell felépítését végeztem el, amely képes tetszőleges méretű, formájú és anyagú induktivitás szimulációjára. A modellt a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag segítségével és vektor végeselemek alkalmazásával készítettem el. A feladat megoldásához szükséges potenciálformalizmus kidolgozását A mágneses vektorpotenciál és V elektromos skalár- 2

6 potenciál alkalmazásával végeztem el. A vizsgált induktivitás jósági tényezőjének növelése érdekében számos tekercselési képet vizsgáltam a felépített végeselemes modellel történő szimulációkon és a gyártósoron elkészített kísérleti alkatrészeken végzett méréseken keresztül egyaránt. A kísérleti alkatrészek legyártását és mérését az EPCOS AG magyarországi telephelyén, Szombathelyen végeztem. A mérési eredményeket összevetettem a szimulációs eredményekkel a végeselemes modell pontos működésének ellenőrzése céljából. A feladat lezárásaként javaslatot tettem a gyártónak az eszköz lehetséges fejlesztési lehetőségeiről. Munkám felépítése a következő: A második fejezet egy rövid irodalmi áttekintést nyújt a dolgozatom által érintett témákban született eredményekről, néhány konkrét, kiemelt példán keresztül. Megemlítésre kerülnek az induktivitások fontosabb paraméterei, a XX. század elején tevékenykedő rádióamatőrök munkájának néhány részlete, az induktivitások analitikus modellezésével kapcsolatban született fontosabb eredmények, valamint a végeselem-módszerrel kapcsolatos néhány alapfogalom. A harmadik fejezet a végeselemes szimulációk elméleti hátterét mutatja be. A Maxwellegyenletekből kiindulva a feladat megoldása során használt potenciálformalizmus, valamint gyenge alakjának levezetése kerül leírásra. A negyedik fejezet mutatja be munkám gyakorlati részét, amely a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag segítségével végzett modellezés. Itt a probléma áttekintésére, a végeselemes modell felépítésére, a szimulációra, a szimulációs és mérési eredmények összehasonlítására és az ezekből levont konklúzióra térek ki bővebben. Végül a munka értékelése és a jövőbeli terveim olvashatóak az ötödik fejezetben. A felhasznált irodalom felsorolása a dolgozat végén található. A dolgozat elkészítéséhez L A TEX szövegszerkesztőt használtam Köszönetnyilvánítás Dolgozatom elkészítését a Széchenyi István Egyetem ( ), az EPCOS Elektronikai Alkatrész Kft. és az Országos Tudományos Kutatási Alap (OTKA PD 73242) támogatta. Ezúton szeretnék köszönetet mondani konzulensemnek, Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D.- nek a munkám és tanulmányaim során nyújtott támogatásért, bátorításért és szakmai segítségnyújtásért. Köszönetemet szeretném kifejezni továbbá Novotny Györgynek és Csurgai Péternek a támogatásért és az induktivitások gyártásával és fejlesztésével kapcsolatban való segítségnyújtásért. Szeretnék még köszönetet mondani az Elektromágneses Terek Laboratórium tagjainak és végül, de nem utolsósorban szeretném megköszönni családomnak és barátnőmnek a mindennapi megértést és támogatást. 3

7 2. fejezet Irodalmi áttekintés 2.1. Az induktivitások fontosabb jellemzői Induktivitások tervezése során számos jellemzőt figyelembe kell venni az alkatrész felhasználási területétől függően. Tekercsek esetében természetesen a legfontosabb tényező az induktivitás értéke, amelyet az első fejezetben már meghatároztunk. Ez a formula (1.2) azonban csak addig igaz, ameddig az eszköz ideálisnak tekinthető. Sok esetben elhanyagolhatjuk a huzal miatt jelenlévő ellenállást és az eszköz saját kapacitását, azonban a pontos modellezéshez és kalkulációkhoz szükséges ezek figyelembe vétele. Ha egy valódi induktivitással egyenértékű elektromos hálózatoi modellt szeretnénk készíteni, az eszköz ellenállását egy az L induktivitással sorba kötött R rezisztancia, a saját kapacitást pedig e kettővel párhuzamosan kapcsolt ideális C kondenzátor jelentené. Ezzel eljutottunk az induktivitások viselkedésének valósághű leírására alkalmas legegyszerűbb elméleti modellig, amely a 2.1. ábrán látható ábra. A legegyszerűbb háromkomponensű induktivitásmodell Egy valódi tekercs induktivitása például az alkatrésszel egyenértékű Z L impedanciából határozható meg, amely Ohm törvényének váltakozó áramú esetre történő kiterjesztése. Másszóval az alkatrész impedanciája egyenlő a komponensen eső szinuszos lefutású feszültség ˆŪ = Ûej(ωt+ϕ U) (2.1) 4

8 komplex csúcsértéke osztva az átfolyó áram ˆĪ = Îej(ωt+ϕ I) (2.2) komplex csúcsértékével, ahol ω a körfrekvencia és ω = 2πf, ahol f a frekvencia, továbbá Û a feszültség csúcsértéke, Î az áram csúcsértéke, t az idő, ϕ U a feszültség fázisa, ϕ I pedig az áram fázisa, tehát Z L = Z L e jθ = ˆŪ ˆĪ, (2.3) ahol ZL a komplex impedancia és θ = ϕ U ϕ I. Dimenzióját tekintve az impedancia megegyezik az ellenállással, tehát SI mértékegysége [Ω]. A fenti egyenlet eredményeként komplex számot kapunk, amiből látható, hogy a komplex impedancia értéke nemcsak a feszültség és az áram amplitúdójától függ, hanem azok egymáshoz viszonyított fáziskülönbségétől is. Az impedancia leírható a következő összefüggéssel is: Z L = R + jx, (2.4) ahol az impedancia valós része az R ellenállás, valamint az impedancia képzetes része az X reaktancia. Az induktivitás és a kapacitás reaktanciája a következő összefüggésekkel számítható: X L = 2πfL (2.5) és X C = 1 2πfC. (2.6) Végül az egyenértékű soros induktivitás meghatározása egy eszköz impedanciájából a (2.4) egyenletből származtatható. A mérések és a szimulációk során a mérőműszer és a felépített modell tehát a következő egyenlettel számítja az induktivitás értékét: L s = Im{ Z L }. (2.7) 2πf Az egyenletből létszik, hogy L s tartalmazza az eszköz reaktanciájának induktív (2.5) és kapacitív (2.6) részét is, azonban induktivitások esetében a kapacitív rész csak magas frekvenciákon, az eszköz saját f 0 rezonanciafrekvenciája, közelében válik számottevővé. A saját rezonanciafrekvenciát néhány helyen az angol szaknyelv alapján szokás SRF-nek (self resonant frequency) is jelölni. A SRF az a frekvencia, ahol az induktív reaktancia és a kapacitív reaktancia értéke megegyezik, ezáltal az elektromos energia oszcillálni kezd az induktív rész mágneses tere és a kapacitív rész elektromos tere között. Ha sorosan kapcsolunk egymással egy induktivitást és egy kondenzátort, rezonanciafrekvencián azt tapasztaljuk, hogy a komponensek eredő impedanciája nulla lesz, a párhuzamosan kapcsolt komponensek eredő impedanciája pedig végtelen nagy lesz rezonanciafrekvencián. Induktivitások vizsgálata során azt tapasztaljuk, hogy saját rezonanciafrekvenciáján az impedancia végtelen nagy, tehát helyes az induktivitás modelljében alkalmazott párhuzamosan kapcsolt induktiv és kapacitív elem. Amikor az induktív és kapacitív reaktancia egyenlő, tehát ωl = 1, akkor [2,9,11] ωc ω 0 = 1 LC, (2.8) 5

9 amelyet Thomson-képletnek is nevezünk, ahol ω 0 = 2πf 0, és f 0 a rezonanciafrekvencia. Rádiófrekvencián működő induktivitások egyik legfontosabb jellemzője a Q jósági tényező. A fizikában és a mérnöki tudományokban a jósági tényező egy mértékegység nélküli paraméter, mely általánosan a következő képlettel írható le [11]: Q = ω E S P L, (2.9) ahol E S az eszköz által tárolt energia és P L a veszteségi teljesítmény. A jósági tényező megmutatja egy adott körfrekvencián az eszköz által tárolt energia és a veszteségi teljesítmény hányadosát. Ha P L = W C T, ahol W C a periódusonként disszipált energia, akkor (2.9) leírható Q = 2π E S W C (2.10) alakban is. Nagyobb jósági tényező tehát kisebb disszipált energiát jelent, tehát egy magára hagyott oszcilláló rendszer amplitúdójának lecsengése lassabb lesz. Rezonátorokban és különböző frekvenciákra hangolt áramkörökben például pont ezért fontos nagy jósági tényezőjű reaktáns komponensek alkalmazása. Komplex impedanciával rendelkező alkatrészek esetében, mint amilyen egy tekercs vagy egy kondenzátor, Q a reaktancia és a rezisztancia hányadosából határozható meg. Q = Im{ Z}. (2.11) Re{ Z} A jósági tényező meghatározható még kizárólag a teljesítménytényező cos φ ismeretében is, ahol φ a komplex impedancia fázisszöge. cosφ = P S, (2.12) ahol P a valós teljesítmény, S pedig a látszólagos teljesítmény. A jósági tényező a teljesítménytényező ismeretében a következő összefüggéssel határozható meg: Q = 1 cos2 φ cosφ = 1 1. (2.13) cos 2 φ Q meghatározható továbbá a következő fomulával is: Q = sin φ cos φ 2.2. A rádióamatőrök munkássága = tanφ. (2.14) A XX. század elején a vezeték néklüli kommuniáció egyre inkább elterjedt, majd elkezdett világméretű hobbivá, szabadidős tevékenységgé válni. Azokat az embereket, akik különböző rádiókommunikácós eszközöket használtak más emberekkel történő kommunikációra, kapcsolattartásra, rádióamatőröknek nevezzük. Esetükben az amatőr szó nem pejoratíve értendő, gyakran ezek az emberek kimagasló tudással rendelkeztek a telekommunikáció és az elektronika területén. Az amatőr szó itt azt jelenti, hogy a rádióamatőrök 6

10 kommunikációja leggyakrabban tanulási, szórakozási és közszolgálati célokat szolgált, tehát nem bevételi forrásként szolgált. Számos rádióamatőr érdeklődött az akkoriban használt kommunikációs eszközök és azok alkatrészeinek fejlesztése iránt. Rengeteg általuk írott publikáció jelent meg akkoriban antennákról, induktvitásokról és mindenfajta vezeték nélküli eszközről és ezek viselkedéséről [4 7]. Induktivitások esetében több cikket olvashatunk magas frekvenciás ellenállás, saját kapacitás, valamint ön- és kölcsönös indukció kalkulációjára alkalmas módszerekről. Számos tanulmány készült továbbá a szkinhatással, vagy kis- és nagy menetemelkedésű tekercsekkel kapcsolatban [7,8]. Az egyik első és legfontosabb kiadvány a H. Nagaoka által írt The Inductance Coefficients of Solenoids, azaz A szolenoidok induktivitás-koefficiense című munkája [5]. Ebben az időben számtalan bonyolultabbnál bonyolultabb képletet és módszert használtak különféle méretű tekercsek induktivitásának számolására. Nagaoka munkájának legfőbb célja az volt, hogy egy olyan szabványos módszert hozzon létre, amellyel tetszőleges méretű szolenoidok induktivitásának pontos számolása egyszerűbben lehetséges. Fontos megjegyezni, hogy ezek a számolások csak szolenoidokra vonatkoztatva adnak pontos eredményt, azonban más alakú tekercsek viselkedésére is lehet következtetni az eredményekből. Nagaoka egy új, a tekercs méreteitől függő koefficienst vezetett be, amelyet L betűvel jelölt. Napjainkban ezt a számot leggyakrabban K-val jelöljük és Nagaoka-konstansnak vagy Nagaoka-koefficiensnek nevezzük [5]. Ismeretes, hogy egy végtelen hosszú szolenoid induktivitása a következő képlettel számolható: L = µ 0N 2 A, (2.15) l ahol µ 0 = 4π 10 7 H, amely a vákuum permeabilitása, N a menetek száma, A a tekercs m keresztmetszete, l pedig a tekercs hossza. Egytetszőleges hosszúságú szolenoid induktivitása a következő formulával számolható [5]: L = µ 0N 2 A K, (2.16) l ahol K a Nagaoka konstans, amely a tekercs átmérőjének és hosszának függvényében változik [5]. Munkájában számos táblázatot készített, melyekből K értéke meghatározható, mind közül a leghasznosabb a konstans értékét a tekercs átmérőjének és hosszúságának hányadosából megadó táblázat. Ebből a táblázatból látható egy részlet a 2.2 ábrán. A Nagaoka koefficiens szükségessége azzal magyarázható, hogy az induktivitások belsejében a mágneses tér nem egyenletes ez leginkább a tekercsek végeinél jelentős. Minél rövidebb egy induktivitás a tekercsátmérőhöz képest, ez a hatás annál jobban érvényesül, így a konstans értéke kisebb lesz, minél hosszabb az induktivitás K annál jobban tart egyhez, tehát visszakapjuk a (2.16) egyenletet ben Edward B. Rosa és Frederick W. Grover a Formulas and Tables for the Calculation of Mutual and Self-induction, azaz Formulák és táblázatok az ön- és kölcsönös indukció meghatározásához c. művében összegezték Maxwell, Nagaoka, Havelock, Rayleigh, Lorenz és sok más neves mérnök és fizikus ebben a témakörben kidolgozott eredményét [8]. A későbbi évek során a fejlesztési irányok egyre inkább átterjedtek az alkatrészek, így az induktivitások fejlesztésének irányába is. Ez érthető, mivel jobb minőségű alkatrészekből jobb eszközöket lehet építeni. Az induktivitások szemszögéből nézve a 7

11 2.2. ábra. Táblázat K értékének meghatározására [5] mérnökök, fizikusok Medhurst és Butterworth [10] munkái a legjelentősebbek célja az volt, hogy minél jobban megismerjék az induktivitások belső működését és a bennük lejátszódó komplex folyamatokat. Ennek köszönhetően a XX. század közepén jónéhány cikk jelent meg a tekercsek ellenállásának, kapacitásának, rezonanciafrekvenciájának, a szkinhatásnak, a szomszédos menetek közötti kölcsönhatásnak tulajdonságairól és viselkedéséről [7]. Fontos gyakorlati eredmények például, hogy ha egy tekercs készítésénél vastagabb huzalt használunk, annak kapacitása is nőni fog, induktivitása csökken, továbbá 8

12 ha a menetek közötti távolság, tehát a menetemelkedés növekszik, a kapacitás és az induktivitás is csökkenni fog [7]. Rájöttek arra is, hogy miért változik egy sok menetből álló alkatrész ellenállása a frekvencia, a huzalátmérő és a menetemelkedés függvényében. Kiindulási pontnak tekintsünk egyetlen végtelen hosszú egyenes vezetőt, amelyben alacsony frekvencián az áram a rendelkezésre álló keresztmetszetet egyenletesen kitöltve folyik keresztül. Magas frekvencián a vezetőben létrejövő örvényáramok hatására az áram a vezető felületére szorul ki, a vezető belsejében pedig nem folyik áram. Ez a szkinhatás [12]. A szkinhatás a δ behatolási mélység fogalmával számszerűsíthető, amely egy bizonyos frekvencián megadja azt vezető felületétől számított távolságot, ahol a vezetőben folyó áram amplitúdója az e 1 -szeresére csökken, 1 δ =, (2.17) πfµσ ahol f a frekvencia, µ az vezető permeabilitása, σ pedig az anyag elektromos vezetése. A szkinhatás következtében a csökkenő keresztmetszet okán a huzal ellenállása megnő. Tekercsekben, ahol sok menet áll egymás mellett a szkinhatás ezáltal az ellenállás nem csak az örvényáramoktól függ, hanem az egyes menetek által létrehozott mágneses mezők egymásra hatásától is. Ennek eredményeképp a szomszédos menetekben az áram még jobban kiszorul a vezető felületére. A szaknyelv ezt a jelenséget proximity hatásnak nevezi. Ez az oka annak, hogy egy kis menetemelkedésű tekercs ellenállása nagyobb, mint egy nagyobb menetemelkedésűé, mivel az egymáshoz közelebbi menetek hatására az áram kiszorulása jelentősebb lesz [7,13]. A szomszédos menetek egymásra hatása a 2.3 ábrán figyelhető meg. Az ábrán a teljes áramsűrűség látható egy végeselem-módszerrel történő szimuláció eredményeképp ábra. Proximity hatás egy tekercsben 2.3. Induktivitások analitikus modellezése Az elektronikai alkatrészpiacon megfigyelhető egyre nagyobb versenynek köszönhetően a gyártóknak egyre jobb minőségű komponenseket kell készíteniük. Az alkatrészek fejlesztése során fontos szempont azok pontos működésének megismerése és megértése, ennek érdekében a gyártók méréseik alapján modelleket készítenek alkatrészeikhez [11,14, 15]. Ezek segítségével leírható az eszköz pontos működése, továbbá viselkedése modellezhető bonyolultabb áramkörökben is. A három passzív alkatrész közül az induktivitás a legösszetettebb, ezért ennek modellezése a legbonyolultabb feladat. Az alkatrész komplexitása két részből tevődik össze, az egyik a tekercstest, a másik pedig a mag. A tekercstest anyaga leggyakrabban réz, amely huzal vagy vékony réteg formájában kerül a hordozóra. Magas frekvencián a szkinhatás eredményeképp a vezető ellenállása 9

13 a frekvenciával négyzetesen arányosan növekszik [11], a proximity hatás miatt az áram kiszorulása viszont bonyolódik kis menetemelkedésű tekercsek esetében [13]. Az induktivitás, a kapacitás és ezeken keresztül a rezonanciafrekvencia pedig a huzal vastagságának és a menetemelkedés változásának hatására módosul. A másik oldal az induktivitás magja [11]. Légmagos, kerámiamagos, vagy más mágneses tulajdonságokat nem mutató maggal rendelkező induktivitások esetében az itt lejátszódó folyamatok, jelentéktelenek, elhagyagolhatók. Ferromágneses anyagokból készült magok esetén azonban az örvényáramú veszteség és a hiszterézisveszteség jelentősek lehetnek [11]. A közelmúltban számos modell született az induktivitások működésének szimulációjára, így a kapott tudásbázissal jelenleg már nem nehéz feladat modellt létrehozni egy ismert induktivitás paramétereinek leírására. Az RF-inductor modeling for the 21st century, azaz az RF induktivitás modellezés a XXI. századnak c. munkájában Leslie Green egy új elméleti modell felépítését mutatja be, amely magas frekvenciákon is pontosan modellezi az induktivitások működését. A mű a már jól ismert három elemű induktivitásmodellből indul ki, amely a 2.1 ábrán látható. E modellben L reprezentálja az induktivitás DC értékét. A C kapacitás könnyen számolható az alkatrész rezonanciafrekvenciájának ismeretében a következő módon: C = 1 ω 2 L, (2.18) amely a (2.8) Thomson-képletből származtatható. Az R elenállás értéke nem kapcsolható fizikai jellemzőhöz, mint az előző két paraméter, ez sokkal inkább csak egy paraméter, amely segítségével a modell pontosabban szimulálja a komponens viselkedését a működési frekvenciatartományban. Green rámutat, hogy ez az alapvető modell pontosan számolja az alkatrész induktivitását és impedanciáját széles frekvenciatartományban, azonban a jósági tényező modellezésében nem elég egzakt. A pontos modellezés érdekében Green két újabb paraméter-ellenállást adott az előző típushoz. Ezen paraméterek segítségével a modell jósági tényezőjének csúcsértéke és maximum helye már pontosan beállítható. Az új matematikai modellel tehát az induktivitás paraméterei egészen jó közelítéssel szimulálhatók [11]. A hálózat impedanciája a következő összefüggéssel számolható [11]: Z = f R S ( SRF )η +j2πfl R HF + 1 j2πfc, (2.19) ahol R S a soros ellenállás, η egy paraméter, melynek értéke 0.5 és 1 között változhat, R HF pedig egy olyan paraméter, amely a Q maximumhelyét módosítja. L és C meghatározása itt is ugyanúgy történik, mint az előző modell esetében. A jósági tényező számítása (2.11) használatával történik. A paraméterek beállítása után a modell és a referenciaként használt, későbbiekben bemutatásra kerülő induktivitás jósági tényezője a 2.4 ábrán látható. A modell jósági tényezője a következő paraméterértékek használatával szimulálta legpontosabban a valódi induktivitás jósági tényézőjét: L = 180 nh, C = 85 ff, R HF = 15 Ω, η = 0.54, R S = 6.5 mω, SRF = 1030 MHz. Az utolsó két alfejezetben bemutatott munkák az induktivitások pontos működésének, valamint a különböző paraméterek (induktivitás, impedancia, jósági tényező, rezonanciafrekvencia) változásának és változtathatóságának megértését szolgálták, továbbá segítettek a következőkben bemutatásra kerülő végeselem-módszerrel történő szimulációk és a felépített végeselemes modellek helyességének ellenőrzésében. 10

14 70 60 Predicted Q Measured Q Q Frequency [Hz] 2.4. ábra. A mért és a Green modellje által becsült jósági tényező a frekvencia függvényében 2.4. A végeselem-módszer Gyakran felmerülnek olyan lényegesen összetettebb problémák is, amelyek megoldása nem lehetséges analitikus módon. Ez lehet egy nemlineáris tekercs induktivitásának meghatározása vagy két tetszőleges formájú vezető közötti kapacitás kiszámítása, de például lehetetlen analitikus megoldást találni az örvényáramok hatására egy orsó formájú lágymágneses maggal rendelkező teljesítmény-induktivitás esetében is. Az ilyen általános problémák megoldásához parciális nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldására van szükség. A végeselem-módszer (FEM Finite Element Method) egy olyan matematikai eljárás, amely tetszőleges geometriájú tartományok kisebb tartományokra, véges méretű elemekre osztásán és az ezekben lejátszódó folyamatokat leíró egyenleteken keresztül azok vizsgálatán alapul. A FEM egy olyan numerikus technika, amely parciális differenciálegyenletek (PDE) közelítő megoldását adja, amelynek pontossága a felépített végeselemes modelltől nagyban függ. A 2.5 ábrán láthatóak egy végeselem-módszerrel történő szimuláció lépései [16 21]. Az első lépés a specifikációs fázis, amikor a valós életből merített probléma geometriai megfogalmazása történik egy CAD (Computer Aided Design) tervező környezetben. A következő lépés a feladat megoldásához szükséges differenciálegyenletek és a peremfeltételek megfogalmazása, amelyek leírják a vizsgált jelenségek tulajdonságait. A következő feladat a preprocesszálás, azaz a modell előkészítése. Itt a különböző paraméterek, úgy mint az anyagjellemzők, a gerjesztés, stb. értékeinek beállítását, továbbá a geometria egyszerűsítését végezhetjük el a szimmetriatengelyek figyelembevételével. A végeselem-módszer, ahogy a neve is mutatja véges számú geometriai elem megoldásán alapul, amelyek összegzése vezet a probléma végső megoldásához. A vizsgált geometria kisebb részekre osztásához azt diszkretizálni kell oly módon, hogy egy végeselemrácsot hozunk létre [16,20]. A rács egy eleme kétdimenziós modell esetén lehet háromszög vagy négyszög, ahogy a 2.6 ábrán látható, háromdimenziós modell esetében pedig lehet 11

15 2.5. ábra. A végeselemes szimuláció lépései tetraéder vagy hexaéder alakú, ahogy a 2.7 ábrán látható. Egy háromszög alakú elem 2.6. ábra. 2D végeselemek három csomóponttal és három éllel, egy négyszög alakú elem pedig négy csomóponttal és négy éllel rendelkezik. Egy tetraéder alakú háromdimenziós végeselem 4 csomóponttal és hat éllel, egy hexaéder alakú pedig nyolc csomóponttal és tizenkét éllel rendelkezik [16,20]. Végeselemes szimuláció során két lehetőségünk van. Amennyiben csomóponti 12

16 2.7. ábra. 3D végeselemek elemeket alkalmazunk, akkor a felírt egyenletek megoldását az elemek csomópontjaiban keressük, vektor- vagy élelemek esetén pedig az elemek élein keressük az ismeretlen potenciálok megoldását [16,26]. Rácsgeneráláskor néhány fontos szabály megtartása szükséges, így például nem lehet átfedés vagy lyuk a rács elemei között [16]. A 2.8 és a 2.9 ábrán a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag [22] által generált két- és háromdimenziós végeselemes rácsok láthatók. Az előbbi egy SMT (Surface Mount Technology) induktivitás háromszög alakú elemekre bontott kétdimenziós végeselemes rácsát ábrázolja, a második pedig egy SMT teljesítmény-induktivitás árnyékolt típusának tetraéder alakú elemekre bontott rácsát mutatja be. A végeselem-rács a levegőben, e második esetben nem került megjelenítésre ábra. Egy induktivitás 2D végeselemes rácsa A geometria diszkretizálása után a probléma megoldása következik. Egy végeselemes modell egyenletei a vizsgált fizikai jelenséget leíró potenciálformalizmusok gyenge alakján alapulnak, amelyek a villamosmérnöki gyakorlatban a Maxwell-egyenletekből vezethetők le [16]. Az egyenletek megoldása az egyes elemek szintjén történik. Ezen egyenletek végeselemes rácson keresztüli összegzése adja a konkrét probléma teljes egyenlet- 13

17 2.9. ábra. Egy SMT teljesítmény induktivitás 3D végeselemes rácsa rendszerét, amelyek megoldása az ismeretlen potenciálok közelítő megoldásához vezet. A vizsgált jelenség egyenletrendszere a problémától függően lehet lineáris vagy nemlineáris. Az egyenletrendszer felépítése után annak megoldása következik, amelyet egy megoldóalgoritmus segítségével végezhetünk el. Ha a konstitutív egyenletek nemlineárisak, például ferromágneses anyagok szimulációja esetén, akkor a megoldás iterációt tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszer felépítése és megoldása lépésről lépésre történik, mindaddig ameddig az eredmény a kívánt hibahatáron belülre nem kerül. Amennyiben a szimuláció időben nem állandó, az egyenletrendszert minden diszkrét időpillanatban meg kell oldani [17]. A következő lépés a posztprocesszálás. A számolások eredményeiként a keresett potenciálok közelítő megoldását kapjuk a végeselemek csomópontjaiban vagy azok élein. Ezek összegzése adja a konkrét probléma megoldását. Ezek után, a potenciálok ismeretében bármely elektromágneses térjellemző, úgy mint a mágneses térerősség, a mágneses fluxussűrűség, stb. vagy bármely elektromágneses mennyiség, úgy mint az induktivitás, a kapacitás, a mágneses- vagy elektromos energia, stb. kiszámítható. Ebben a fázisban lehetőség van a geometria, az anyagjellemzők, vagy a végeselem-rács módosítására a jobb eredmények elérése érdekében. A 2.10 ábrán egy rádiófrekvencián vizsgált SMT induktivitás kétdimeziós szimulációja során kapott eredményt láthatunk. A nyilak és a felület színei a szkin- és proximity hatás által módosított mágneses fluxussűrűséget ábrázolják. Szinén a mágneses fluxussűrűséget ábrázolják a nyilak egy SMT teljesítmény-induktivitás belsejében a 2.11 ábrán. 14

18 2.10. ábra. Mágneses indukció egy SMT induktivitás belsejében ábra. Mágneses indukcióvektorok egy SMT teljesítmény induktivitás belsejében 15

19 3. fejezet Elméleti háttér 3.1. A Maxwell-egyenletek Az Maxwell-egyenletek integrális és differenciális alakja Minden elektromágneses jelenség leírható egy parciális differenciálegyenlet-rendszerrel, amelyet Maxwell-egyenleteknek nevezünk [24]. Ezek az egyenletek kapcsolatot teremtenek az elektromágneses térjellemzők, az E elektromos térerősség, a H mágneses térerősség, a D elektromos fluxussűrűség, a B mágneses fluxussűrűség másnéven mágneses indukció és a forrás jellegű mennyiségek, a J áramsűrűség és a ρ elektromos töltéssűrűség között. Egy elektromágneses térszámítást igénylő probléma numerikus analízise vagy valamely CAD szoftverrel történő tervezése a Maxwell-egyenletekből kiindulva végezhető el. A Maxwell-egyenletek közismertebb és kifejezőbb alakja, amelyet integrális alaknak is nevezünk a következő [25]: l H dl = l Γ E dl = Γ Γ ( J + D ) t Γ B t dγ, (3.1) dγ, (3.2) B dγ = 0, (3.3) D dγ = Ω ρ dω. (3.4) Elektromágneses térszámítási feladatok megoldása potenciálformalizmusok alkalmazásával lehetséges, amelyek levezetéséhez a Maxwell-egyenletek differenciális alakjából célszerű kiindulni. Ezek a következők [19]: H = J + D t, (3.5) E = B t, (3.6) B = 0, (3.7) D = ρ. (3.8) 16

20 A (3.1) vagy (3.5) összefüggést, azaz első Maxwell-egyenletet közismert néven Ampere törvényének is nevezzük. Ez az összefüggés megmutatja, hogy a J áramsűrűség, amely a forrásáramsűrűség és az örvényáramsűrűség összege, és a D eltolási áram, amelyet az t időben változó elektromos tér hoz létre, H mágneses térerősséget generál. A törvény klasszikus alakja kimondja, hogy a mágneses térerősségvektorok zárt l görbén számított vonalmenti integrálja egyenlő az l görbe által határolt Γ felületen átfolyó áramsűrűségek összegének felületi integráljával. Ampere törvényének személtetése a 3.1 ábrán látható ábra. Ampere törvénye A (3.2) vagy (3.6) egyenletet Faraday törvényének nevezzük. Faraday törvénye leírja, hogy az időben változó mágneses tér, elektromos teret hoz létre. Amikor a mágneses tér időben változik, akkor az elektromos és a mágneses tér, vagyis az első és második Maxwell-egyenlet csatolódik. A mágneses mező időbeli változása vele ellentétes irányú elektromos mezőt generál, amely örvényáramokat hoz létre a vezető anyagokban, amelyek mágneses tere módosítja a kezdeti mágneses teret. Az egyenlet integrális alakja megmutatja, hogy az elektromos térerősség vektorok l zárt görbén számolt vonalmenti integrálja egyenlő az l görbe által határolt Γ felületen vett mágneses indukció időbeli változásának felületi integráljával. Faraday törvényének szemléltetése a 3.2 ábrán látható. A harmadik Maxwell-egyenletet másnéven mágneses Gauss-törvénynek is nevezzük, amely kimondja, hogy a mágneses mező divergenciamentes. Másszóval ez azt jelenti, hogy a mágneses fluxusvonalak önmagukban záródnak. Az egyenlet klasszikus alakja megmutatja, hogy a mágneses indukcióvektorok egy Γ zárt felületen vett felületi integrálja egyenlő nullával. A (3.4) vagy (3.8) által definiált Gauss-törvény azt mondja ki, hogy az elektromos mező forrása az elektromos töltés, továbbá, hogy az elektromos fluxusvonalak a töltésből indulnak ki és ott is végződnek. Az egyenlet integrális alakja azt fejezi ki, hogy az elektromos fluxussűrűség Γ zárt felületen vett integrálja egyenlő a töltéssűrűség Ω térben vett térfogati integráljával, ahol Ω teret Γ felület határolja. A vizsgált anyag tulajdonságait, azaz az anyagjellemző karakterisztikákat az úgyne- 17

21 3.2. ábra. Faraday törvénye vezett konstitutív egyenletek definiálják, melyek a következők [16,17,24]: B = µ 0 H, (3.9) D = ε 0 ε r E, (3.10) J = σ(e + E k ), (3.11) ahol E k a külső elektromos mező, µ 0 a vákuum permeabilitása, ε 0 a vákuum permittivitása, ε r az anyag relatív permittivitása és σ a vizsgált anyag elektromos vezetése. Levegőben ǫ r eggyel egyenlő, mágnesesen lineáris anyagban B = µ 0 µ r H A Maxwell-egyenletek osztályozása A Maxwell-egyenletek számos kritérium alapján osztályozhatók [16]. E fejezetben kizárólag a szimulációk során használt formula levezetéséhez szükséges eseteket mutatjuk be. A legegyszerűbb esetben az elektromágneses tér időben állandó, tehát az áramok mágnesező hatását figyelembe vesszük, de t = 0. Ekkor az időben állandó J 0 áramsűrűség időben állandó H mágneses teret és B mágneses fluxust hoz létre. Ebben az esetben a Maxwell-egyenletek a következő alakra egyszerűsödnek: H = J 0, (3.12) B = 0, (3.13) kiegészítve a konstitutív egyenletekkel. (3.12) divergenciáját képezve a következő egyenletet kapjuk: J 0 = 0, (3.14) amely előírja, hogy az áramsűrűség vonalak önmagukban záródjanak, vagy a végtelenből a végtelenbe tartsanak. Időben változó esetben az elektromos és a mágneses tér összefügg, azaz mindegyik hatással van a másikra. Ekkor az időben változó áramsűrűség mágneses teret hoz 18

22 létre, amelynek időbeli változása elektromos teret generál. A létrejött elektromos tér örvényáramokat indít el a vezető anyagokban, amelyek mágneses tere módosítja az eredeti mágneses teret. Amennyiben J >> D, az eltolási áramok elhanyagolhatóan t kicsik. Ekkor örvényáramú térről beszélünk, amelynek egyenletei H = J, (3.15) E = B t, (3.16) B = 0, (3.17) J = σe, (3.18) kiegészítve a megfelelő konstitutív egyenletekkel. (3.15) divergenciáját képezve az örvényáramsűrűség forrásmentes tulajdonságát kapjuk, vagyis J = 0. (3.19) Nagyon magas frekvenciákon az eltolási áramok hatása már nem elhanyagolható. Ezekben az esetekben a Maxwell-egyenletek teljes formáját kell használnunk Határ- és peremfeltételek Fontos megjegyezni, hogy ha két anyag, Ω 1 és Ω 2 van a vizsgált tartományban, amelyek más anyagjellemzőkkel, így más permeabilitással, permittivitással és vezetéssel rendelkezik, akkor különböző határfeltételeknek kell eleget tennünk a két anyag Γ-val jelölt határán. Másszóval a Maxwell-egyenletek megoldása során határ- és peremfeltételeknek kell eleget tennünk a különböző anyagok és a vizsgált régió határán. A 3.3 ábrán láthatóak az anyagjellemzőket reprezentáló változók a különböző anyagokban. Az n normál egységvektor a közeg kifelé mutató egységvektorát jelenti ábra. Elektromégneses térjellemzők különböző anyagok határfelületénél Statikus és örvényáramú problémák esetében a nyitott tér, amelyben egy problémát vizsgálunk egy olyan gömbbel modellezhető, amelynek sugara a végtelenhez tart. Értelemszerűen a végtelenben található gömbfelületen energia nem haladhat keresztül, mivel 19

23 a tanulmányozott jelenség ennek a belsejében a gömbfelülettől kellően nagy távolságban megy végbe. Ez a feltétel a következő egyenlettel elégíthető ki [16]: azaz lim r r2 (E H) n = 0, (3.20) lim r E = 0, és lim r H = 0. (3.21) r r Ez azt jelenti, hogy az elektromos és mágneses tér a végtelenben zérus. Elektromos és mágneses térerősség A határfeltételek előírják az elektromos tér tangenciális komponensének folytonosságát, n (E 2 E 1 ) = 0. (3.22) Ha a felületen nem folyik áram, akkor a mágneses mező tangenciális komponense folytonos, n (H 2 H 1 ) = 0. (3.23) Ha a Γ felület az Ω 1 vizsgált tartomány határa, azaz E 2 = 0 és H 2 = 0, továbbá E = E 1 és H = H 1, akkor a peremfeltételek a következőként írhatók: n E = 0, vagy E n = 0, (3.24) és n H = 0, vagy H n = 0. (3.25) Elektromos és mágneses fluxussűrűség Különböző anyagok találkozásánál az elektromos fluxussűrűség normál komponense folytonos, ha a felületen nem található töltés, n (D 2 D 1 ) = 0. (3.26) Különböző anyagok határfelületén a mágneses fluxussűrűség normál komponense folytonos, n (B 2 B 1 ) = 0. (3.27) Az örvényáramsűrűség normál irányú komponensének folyamatosnak kell lennie örvényáramú terek esetében, n (J 2 J 1 ) = 0, (3.28) vagy általánosan a ( D2 n (J 2 J 1 ) + n t D ) 1 = 0, (3.29) t egyenlet érvényesül a határfelületen. Ha a Γ felület az Ω 1 vizsgált tartomány határa, azaz D 2 = 0, B 2 = 0, J 2 = 0 és D 2 / t = 0, továbbá D = D 1, B = B 1 és J = J 1, akkor a peremfeltételek a következő alakban írhatók fel: n D = 0, vagy D n = 0, (3.30) 20

24 és és vagy általánosan n B = 0, vagy B n = 0, (3.31) n J = 0, vagy J n = 0, (3.32) n J n D t Elnyelő peremfeltétel = 0, vagy J n + D t n = 0. (3.33) Néhány esetben, főleg magas frekvenciákon fontos kritérium, hogy az elektromágneses hullámok ne verődjenek vissza a távoli peremekről. Ennek érdekében az úgynevezett elnyelő peremfeltételt vezettük le és alkalmaztuk a feladat megvalósítása során. A feltétel általános formái a következők [19]: vagy 1 n ( E) jk 0 n (n E) = 0, (3.34) µ r2 η 1 ε r2 n ( H) jk 0 ηn (n H) = 0, (3.35) ahol η = µ r1 /ε r1 az 1. számú anyag azaz amelyikben a hullám terjed normalizált belső impedanciája, amely levegőben eggyel egyenlő, k 0 = ω ε 0 µ 0, ε r2 = 1 és µ r2 = 1. Helyettesítsük be a (3.34) egyenletbe η-t, k 0 -t és µ r2 -t, így eredményül n ( E) jω ε 0 µ 0 n (n E) = 0 (3.36) egyenletet kapjuk, ahol E = jωµ 0 H. Egyszerűsítés után az elnyelő peremfeltétel a következőképp írható: µ0 ε 0 n H + n (n E) = 0. (3.37) Fontos megjegyezni, hogy a fenti peremfeltétel csak szinuszos lefutású gerjesztés esetén alkalmazható Potenciálformalizmus Egy elektromágneses térszámítást igénylő probléma megoldásához, a jelenséget leíró parciális differenciálegyenlet-rendszert célszerű potenciálformalizmussá egyszerűsítenünk. A potenciálformalizmus egy vagy több olyan parciális differenciálegyenlet, amelyben valamely potenciál jelenti az ismeretlen változót. A későbbiekben bemutatásra kerülő feladat potenciálformalizmusának leírására ebben a részben kerítünk sort [33 36]. A feladatban alkalmazott potenciálformalizmus meghatározásához legelőször be kell vezetnünk az A mágneses vektorpotenciált [16,18,27], B = A, (3.38) 21

25 3.4. ábra. Structure of a wave propagation problem amely a A 0 matematikai azonosság miatt kielégíti a mágneses Gauss-törvényt (3.7). Az elektromos skalárpotenciál a következőképp határozható meg. Helyettesítsük (3.38) egyenletet Faraday-törvényébe (3.6) [16], E = A A = t t ( E + A ) = 0, (3.39) t mivel az időbeli és térbeli deriválás felcserélhető. A E + A tagból a V elektromos t skalárpotenciál levezethető, mivel v = 0 minden skalárfüggvényre nézve. Tehát E + A t = V, (3.40) végül az elektromos skalárpotenciál a következő egyenlettel írható le: E = A t V, (3.41) ahol belátható, hogy kétdimenzióban V = 0 [17]. (3.38) egyenletet az első Maxwell-egyenlet (3.5) megfelelő formájába helyettesítve, a H = νb linearizált konstitutív egyenletet használva, továbbá figyelembe véve, hogy szinuszos gerjesztés esetén σe = σ A jωσa, valamint D = ε E = ε 2 A t t t 2 t ω 2 εa, a potenciálformalizmus különböző anyagokban érvényes egyenleteit kapjuk: (ν A) ω 2 εa = 0, Ω n tartományban, (3.42) (ν A) + jωσa = J 0, Ω c tartományban, (3.43) (ν A) ω 2 εa = 0, Ω D tartományban. (3.44) A potenciálformalizmus peremfeltételei a következők: ν A = 0, Γ Hn peremen, (3.45) 22

26 n A = 0, Γ B peremen, (3.46) n D A + n n A = 0, Γ nd peremen, (3.47) (ν A) n D + (ν A) n n = 0, Γ nd peremen, (3.48) n c A + n D A = 0, Γ cd peremen, (3.49) (ν A) n c + (ν A) n D = 0, Γ cd peremen, (3.50) n A = 0, Γ E peremen, (3.51) ν A = 0, Γ HD peremen, (3.52) (ν A) n D + (ν A) n n = 0, Γ nd peremen, (3.53) ahol (3.47) és (3.49) automatikusan teljesül. A Γ a távoli peremen az úgynevezett elnyelő peremfeltételt alkalmaztuk. Helyettesítsük a H = ν 0 A és a E = jωa egyenletet a (3.37) összefüggésbe: ν 0 n ( A) + jω ε0 amely a peremfeltétel alkalmazott alakja [33 36] A gyenge alak µ 0 n (n A) = 0, Γ a peremen, (3.54) A végeselemes szimulációk a potenciálformalizmusok gyenge alakján alapszanak. Egy parciális differenciálegyenlet gyenge alakját a súlyozott maradék elv segítségével határozhatjuk meg [16], amely egy olyan módszercsalád, aminek segítségével parciális differenciálegyenletek közelítő megoldását kapjuk. Ebben a részben a bemutaott potenciálformalizmus gyenge alakjának levezetését írjuk le [20,21,28]. A gyenge alak a potenciálformalizmus parciális differenciálegyenleteinek és peremfeltételeinek segítségével építhető fel [16]. Az egyenletekben használt A mágneses vektorpotenciált egy à függvénnyel közelítjük, tehát A = Ã. A súlyozott maradék elv egy parciális differenciálegyenlet és egy W súlyfüggvény szorzatán alapul [16]. A példában alkalmazott potenciálformalizmus gyenge alakja a (3.42), (3.43), (3.44) parciális differenciálegyenletek, valamint a (3.45), (3.48), (3.50) és (3.52)-(3.54) Neumann-típusú peremfeltételek segítségével építhető fel [35]: W k [ (ν Ã) ω 2 εã]dω + W k [ (ν Ã) + jωσã]dω Ω n Ω c + W k [ (ν Ã) ω 2 εã]dω + W k [(ν Ã) n]dγ Ω D Γ Hn + W k [(ν Ã) n D + (ν Ã) n n ]dγ Γ nd + W k [(ν Ã) n D + (ν Ã) n n ]dγ Γ nd + W k [(ν Ã) n c + (ν Ã) n D ]dγ + W k [(ν Ã) n]dγ Γ cd Γ HD ε0 + W k [ ν 0 n à + jω n (n A)]dΓ = 0. Γ a µ 0 23 (3.55)

27 A (u v) = v u u v matematikai azonosságot felhasználva és a Gauss tételt alkalmazve az egyenlet átírható a következő alakra: ν( W k ) ( Ã)dΩ + [(ν Ã) W k ]n dγ Ω n Ω D Γ Hn Γ a Γ B Γ nd W k ω 2 εã dω + ν W k à dω Ω n Ω D Ω c + [(ν Ã) W k ]n dγ + W k jωσã dω Ω cd Ω c + [(ν Ã) W k ]n dγ + W k [(ν Ã) n]dγ Γ E Γ HD Γ nd Γ cd Γ Hn + W k [(ν Ã) n D + (ν Ã) n n ]dγ Γ nd + W k [(ν Ã) n D + (ν Ã) n n ]dγ Γ nd + W k [(ν Ã) n c + (ν Ã) n D ]dγ + W k [(ν Ã) n]dγ Γ cd Γ HD ε0 + W k [ ν 0 n à + jω n (n A)]dΓ = 0, Γ a µ 0 (3.56) ahol minden felületi integrálnak megvan a párja, amellyel kiejtik egymást, továbbá n W = 0 a Γ B és Γ E peremeken. Matematikai egyszerűsítések után a következő fejezetben bemutatásra kerülő kétdimenziós problémára a Maxwell-egyenletek teljes alakjából levezetett, elnyelő peremfeltételt is tartalmazó potenciálformalizmus a következő: [ν( W k ) ( Ã) ω 2 εã]dω Ω n Ω D + [ν( W k ) ( Ã) + jωσãw k ]dω (3.57) Ω c ε0 + jω W k à dγ = 0. Γ a µ 0 ahol k = 1,...,J. 24

28 4. fejezet Szimuláció COMSOL Multiphysics környezetben 4.1. A feladat áttekintése Az EPCOS AG Európa vezető autóipari elektronikai alkatrész-beszállítójaként, passzív elektronikai alkatrészek fejlesztésével, gyártásával és kereskedelmével foglalkozik. Az autóiparon kívül legfontosabb felvásárlóik az információtechnológia, a telekommunikáció és a szórakoztató elektronika köréből kerülnek ki. Néhány esetben sajátos igényeket is ki kell elégíteni, mint például a katalógusadatokhoz képest más méretet, nagyobb áramterhelhetőséget, vagy egyéb paraméterek módosítását. Az ilyen, módosított vevői igényeknek megfelelő alkatrészek kifejleszését tapasztalt mérnökökből álló csapatok végzik. Számos munka és kutatás van jelenleg is folyamatban különböző induktivitások tulajdonságainak fejleszésével, új geometriák és új anyagok kifejlesztésével kapcsolatban a cég magyarországi telephelyén, Szombathelyen [29]. A jelenlegi kutatási projektek egyike egy rádiófrekvenciás SMT induktivitás jósági tényezőjének növelése. A nagy jósági tényezőjű induktivitások alkalmazása a vele felépített áramkörök rezgéseinek lassabb lecsengése miatt sok esetben rendkívül fontos, így például oszcillátorokban, vagy bizonyos frekvenciákra hangolt áramkörökben. Ezért egy ilyen induktivitás-sorozat megjelenése az alkatrészpiacon jelentős előnyöket és számos új megrendelést hozhatna a gyártónak. A szóban forgó induktivitás jósági tényezőjének kitűzött értéke legalább 60 a 85 és 110 MHz közötti frekvenciatartományban. Ezt a specifikációt SHQ-nak (Super High Q) nevezték el. A jelenleg gyártott alkatrész jósági tényezője ebben a frekvenciatartományban körülbelül 30, ahogy ez a 4.1 ábrán is látható. A 80 és 110 MHz közötti tartomány az ábrán kiemelésre került. Megfigyelhető, hogy az elérendő jósági tényező értéke elég messze van a jelenlegi értéktől, ezért a legelső lépés a jósági tényező akkora mértékben való növelése, amekkora maximálisan realizálható. Ennek érdekében, a módszer előnyeit figyelembe véve, a lehetséges fejlesztési lehetőségek vizsgálatára és az alkatrész működésének pontos szimulációjára végeselem-módszert alkalmaztunk és egy végeselemes modellt építettünk fel. A jósági tényező növelésének első lépéseként a felépített modell segítségével a tekercselési kép jósági tényezőre gyakorolt hatásának vizsgálatát végeztük el. Számos új induktivitást készítettünk el az üzemben kis és nagy menetemelkedéssel, több huzalátmérővel, majd elvégeztük ezek mérését, valamit az elkészült próbadarabok alapján végeselemes modelleket készítettünk, majd elvégeztük ezek szimulációját. A mérési és a szimulációs eredmények összevetése után a cél a lehető legjobb tekercselési kép meg- 25

29 80 Range of SHQ 60 Q [Hz] Frequency ábra. A jósági tényező jelenlegi értéke határozása a legnagyobb jósági tényező növekedés érdekében. Az induktivitás magjának módosítása egyenlőre nem szerepelt a tervek között, mivel ez egy nemzetközileg szabványosított magfajta, így az új geometriára való áttérésnek költségei magasra rúgnának. Az említett induktivitáscsalád típusjelzése SIMID 0805-F, amelynek gyártása és fejlesztése az EPCOS Elektronikai Alkatrész Kft. szombathelyi üzemében folyik. A típusjelzésben 0805 egy nemzetközi méretszabvány, amely SMT alkatrészek méreteit írja le, fontos, hogy nem kizárólag induktivitásokra vonatkozik. A projekt tárgya tehát egy rádiófrekvencián működő SMT induktivitás. Az alkatrész méretei 1.24±0.04 mm 1.22±0.04 mm 2.03±0.04 mm. Az induktivitás ferrit-, vagy kerámiamaggal készül 2.7 nh-től 820 nh névleges értékig kerámia, 1 µh-től 6.8 µh-ig ferrit, amelyen tekercselés négyzet alapú hasáb formájában helyezkedik el. A gyártás során lakkréteggel szigetelt réz tekercselőhuzalt az alkatrész kivezetéseire felvitt vékony fémborításra hegesztik. A fémborítás készülhet egymásra hordott ezüst, palládium és platina együtteséből, egyes esetekben azonban wolfram, nikkel és arany borítást is alkalmaznak. A gyártás utolsó fázisaként epoxy gyantából készült sima fedelet kap az alkatrész, hogy vákuumcsővel felemelhető és áramkörbe illeszthető legyen. Az induktivitás legfőbb sajátossága a magas rezonanciafrekvencia (300 MHz és 9 GHz között, fajtától függően), valamint az alacsony tolerancia, amely bizonyos fajták esetében ±2% is lehet. Az eszközt leggyakrabban rezonátorokban, antenna erősítőkben, mobiltelefonokban, DECT (Digital enhanced cordless telecommunication) Digitális továbbfejlesztett vezetéknélküli telekommunikáció rendszerekben, autók biztonsági rendszerében, guminyomásmérő rendszerekben TPMS (tire pressure monitoring system), vezetékélküli távközlési rendszerekben és GPS vevőkben találhatjuk meg. Az alkatrész mikroszkópos képe a 4.2 ábrán látható. Fontos megjegyezni, hogy az eszköz különböző célokra való felhasználásra az induktivitás, az ellenállás, a jósági tényező és sok más paraméter különböző értékeire van szükség. A legtöbb paraméter egyszerűen módosítható a tekercselés vagy a mag anyagának módosításával, azonban egy paraméter módosítása a többi paraméter válto- 26

30 4.2. ábra. Az induktivitás mikroszkópos fényképe zását is eredményezi. Például ha az induktivitás értékének növelését a menetek számának növelésével, vagy a menetemelkedés csökkentésével szeretnénk elérni, akkor nőni fog az alkatrész ellenállása, ennek hatására a jósági tényező csökken, továbbá a rezonanciafrekvencia is csökkenni fog. Mind a két fajta módosítás esetében ugyanazt tapasztaljuk, de más-más jelenség miatt. Az első esetben az ellenállás a több menet, ezen keresztül a hosszabb huzal miatt növekszik, a Q értéke a jósági tényező kifejezéséből adódóan (2.11) csökken, a rezonanciafrekvencia pedig a több menet között fellépő nagyobb kapacitás miatt fog csökkenni. A második esetben az ellenállás a közelebb kerülő menetekben jobban jelentkező proximity hatás miatt csökken, Q értéke emiatt csökken, végül a rezonanciafrekvencia a közelebb kerülő menetek között fellépő nagyobb szórt kapacitások miatt fog csökkenni. Bármely paraméter módosítása esetén hasonló komplex folyamatokat kell figyelembe venni. Látszik tehát, hogy nem egyszerű feladat anélkül javítani valamely tulajdonságot, hogy egy másikat ne módosítsunk rossz irányba eközben. A 4.3 és a 4.4 ábrán látható az alkatrészcsalád adatlapja, ahol megfigyelhetőek a fent említett változások az ellenállás, a rezonanciafrekvencia és a jósági tényező értékeinek változásában. Fontos, hogy a jósági tényező függ a tekercstest hosszától is, így lehetséges az ábrán megfigyelhető értéknövekedés a kis értékű induktivitások esetében. Ezt a gyártó a nagyobb menetemelkedéssel éri el. Nagyobb menetszámok esetén, a 100 nh értékű alkatrésztől kezdve a fenti gondolatkísérlet helyessége már látszik a táblázat értékeiből is. 1 µh névleges érték fölött az alkatrészek ferritmaggal készülnek, mivel a gyártó tapasztalatai szerint ekkora induktivitásértékek már csak nagy permeabilitással érhetők el. Ezeknek a magoknak azonban nagy hátrányuk, hogy a bennük fellépő hiszterézis- és örvényáramveszteségeknek köszönhetően a jósági tényező jelentősen leromlik. A mérések és a szimulációk realizálásához a 0805 típuscsaládból kiválasztottunk egyet. A terv szerint az erre kapott eredmények birtokában az egész alkatrészcsaládra érvényes módosítási javaslatokat tudunk majd adni. A kiválasztott alkatrész a 180 nh névleges értékkel rendelkező darab, mely kerámiamaggal és 14 menetes tekerccsel készül. A magként használt kerámia elnevezése Rubalit 710, amelyet a Ceramtec gyárt. Anyaga 99,6%-ban alumínim-oxid. A Rubalit 710 felszínének mikroszkópos képe a 4.5 ábrán látható. Az anyag jó szigetelő, ε r relatív permittivitása 10, permeabilitása egyezik 27

31 4.3. ábra. A 0805 típusú induktivitás adatlapja I [29] 28

32 4.4. ábra. A 0805 típusú induktivitás adatlapja II [29] 4.5. ábra. A Rubalit 710 felszínének mikroszkópos fotója [31] a levegőével. Az elektronikai iparban nagy népszerűségnek örvend nagy mechanikus, hőmérsékleti és elektromos töltésekkel szembeni tűrőképessége és alacsony veszteségei miatt. Fontos szempont még alacsony hővezető képessége is, melynek több abyaggal való összehasonlítása a 4.6 ábrán látható. A 4.6 ábrán három alumínium-oxidból készülő anyag összehasonlítása látható. A vizsgált alkatrész tekercse 50 µm átmérőjű lakkszigetelésű rézhuzalból készül. A végeselemes szimuláció során a huzal elektromos vezetését (σ = S ) és a szigetelés m relatív permittivitását (ε r = 5) is figyelembe kell vennünk [32,34] Teendők A munka két részből áll. Az egyik a szimulációs fázis, ahol a COMSOL Multiphysics szoftvercsomag [22] segítségével az induktivitás végeselemes modelljét építettük fel, majd a szükséges szimulációkat végeztük el az eszköz belső működésének megfigyelése, valamint a tekercselés jósági tényezőre gyakorolt hatásának vizsgálata céljából. A cél 29

33 4.6. ábra. Az Al 2 O 3 hőmérsékleti vezetőképessége [31] a lehető legmagasabb Q-érték elérése a tekercselés módosításával és a névleges induktivitásérték megtartásával. A munka másik része a kísérleti darabok legyártása melyek ugyanazokkal a beállításokkal készültek, mint a végeselemes modellek, majd azok paramétereinek mérése volt. Ez a szimulációs eredmények alátámasztása és a felépített modell helyességének működése miatt volt létfontosságú. A kísérleti alkatrészek mérésére az Agilent E4991A RF impedancia- és anyaganalizátorát használtuk, amely a 4.8 ábrán látható. Ez az berendezés SMT eszközök és mágneses vagy dielektromos tulajdonságokkal rendelkező anyagok vizsgálatának elvégzésére alkalmazható egy megahertz és három gigahertz közötti frekvenciatartományban. Kezelői felülete felhasználóbarát, a hardveren egy Windows 2000 alapú vezérlőszoftver fut, melynek beépített programozói felülete (VBA Visual Basic for Applications) nagy segítséget nyújthat különböző fajta mérések elvégzéséhez. A berendezés LAN interfészen keresztül képes kapcsolatot létesíteni más eszközökkel. Számos mérőfejjel rendelkezik az apról eszközök és különböző anyagok rögzítéséhez [30]. A kísérleti alkatrészek méréséhez az Agilent 16197A típusú rögzítő fejet használtuk, amelynek fotója a 4.9 ábrán látható. Az alkatrészek legyártását és mérését az EPCOS AG magyarországi telephelyén, Szombathelyen végeztük el [32,34]. A fenti probléma szimulációjához a COMSOL Multiphysics szoftvercsomagot [22] használtuk. a COMSOL Multiphysics egy végeselemes modellező és megoldó szoftver, amely számos fizikai és mérnöki feladat elvégzésére, valamint összetett fizikai jelenségek szimulációjára alkalmas. Ezen felül egy könnyen kezelhető MATLAB [23] interfésszel rendelkezik, így lehetőség nyílik a MATLAB eszközeinek és programozási technikáinak felhasználására is. A COMSOL rendelkezik még egy hasonló programozási felülettel is, ezt COMSOL Scriptnek nevezik [22]. A szoftvercsomag Windows, Mac/OS, Linux és Unix felületen működőképes. Szimulációk felhasználóbarát elkészítésén kívül, amely összetett fizikai jelenségek leírásán alapul, a COMSOL-ban lehetőség van a fizikai jelenségeket leíró parciális differenciálegyenletek (PDE) manuális megadására is. A PDE-k közvetlenül beírhatók a megfelelő helyre, vagy magadhatjuk őket gyenge alakjukkal is. 30

34 4.7. ábra. Kerámia szubsztrátok összehasonlítása [31] Számos beépített modullal rendelkezik, amelyek különböző problémák egyenleteit foglalják magukba: AC/DC Module, Acoustics Module, CAD Import Module, Chemical Engineering Module, Earth Science Module, Heat Transfer Module, Material Library, MEMS Module, RF Module and Structural Mechanics Module. Az AC/DC modul ad lehetőséget elektronikai alkatrészek és eszközök, valamint minden olyan jelenség szimulációjára, amelyek elektrosztatikus, magnetosztatikus és kvázistacionárius elektromágneses terektől függenek, így ez a legalkalmasabb rész induktivitások, kondenzátorok, motorok, hullámterjedési problémák és minden elektromágneses jelenség 31

35 4.8. ábra. Agilent E4991A RF impedancia- és anyaganalizátor 4.9. ábra. Agilent 16197A típusú SMD rögzítőfej szimulációjának elvégzésére. A végeselemes szimuláció célja egy olyan valósághű modell felépítése, amely vizualizálja az induktivitások belső működését, valamint pontos megoldást ad az induktivitások fontosabb paramétereinek (induktivitás, impedancia, jósági tényező, rezonanciafrekvencia) értékeire a működési frekvenciatartományban. További cél annak kiderítése, hogy lehetséges-e a jósági tényező növelése a tekercstest módosításával A kétdimenziós modell A modell felépítése során az első nehézséget az eszköz komplexitása okozta. A legnagyobb probléma a tekercstest négyzet alapú mivolta, ugyanis a COMSOL-ban a tekercsben folyó áramok leírása matematikai formulával lehetséges. Például egy spirál alakú tekercsben (szolenoid) folyó áramok megadása a kör egyenletéből kiindulva határozható meg. Emiatt, első megközelítésben a mag és a tekercselés geometriai tulajdonságait elhanyagoltuk és egy forgásszimmetrikus modellt hoztunk létre. Mérnöki szempontból nézve 32

36 egy modell fontos tulajdonsága a hatékonysága, a gyorsasága és az egyszerűsége, ezért a háromdimenziós modell tovább egyszerűsítettük egy kétdimenziós forgásszimmetrikus modellé. Ez a módosítás nem jelent adatvesztést az előző egyszerűsítéssel ellentétben, mivel a használt szoftver képes forgásszimmetrikus modellek kezelésére. Az egyszerűsítés folyamata a 4.10 ábrán látható. A 2D szimuláció során kétfajta modellt hoztunk létre, az egyik esetében a gerjesztés feszültséggel, a másik esetében árammal történik ábra. Az egyszerűsítés folyamata 4.4. A feladat megoldása A modell berajzolása A modell felépítésének első lépése a probléma geometriai megfogalmazásának realizációja, tehát a berajzolás. A COMSOL Multiphysics tartalmaz egy CAD modellező részt, amellyel lehetőség nyílik egyszerűbb rajzolási metódusok elvégzésére, így például kétdimenzióban pont, vonal, görbe, kör, négyzet rajzolására, tükrözésre, átméretezésre, kerekítésre, únió-, metszet- és különbségképzésre, forgatásra, extrudálásra, stb [22,47,48], tehát jó megoldást ad kétdimenziós problémák berajzolására. A szoftver rendelkezik egy olyan modullal, amely segítségével más tervezőprogramokkal, például AutoCAD-del vagy Solid Works-szel készített geometriákat is tudunk importálni. A fent bemutatott kétdimenziós modell berajzolásához legelőször válasszuk a 2D axial symmetry opciót a New model ablakban. Ezután az induktivitás berajzolásához készítsünk egy téglalapot, melynek sarkai a 0 ; m, m; m pontokban helyezkedjenek el. A következő lépés a tekercs berajzolása, amely 50 µm átmérűjű menetekből áll, valamint szigeteléssel rendelkezik. Ezzel együtt átlagos átmérője 57.5 µm. A 14 menetet tehát 14 darab m középpontú körből állíthatjuk össze, mivel a mag széle m-nél helyezkedik el, ehhez hozzá kell még adnunk a huzal sugarát 57.5/ m-t, ahol a kordináták a középponti szimmetriatengelytől számított távolságot jelentik. A szigetelés a menetekre azonos középponttal, de 57.5 µm-es átmérővel kerül, végül a huzal és a szigetelésként berajzolt kör különbségét kell képeznünk. A menetemelkedés, tehát a menetek közötti távolság megegyezik a gyártásban lévő alkatrésszel, tehát 30 µm. Az utolsó lépés a problémát körülvevő terület berajzolása, amelyben levegő található. Ezt egy 0 ; 0 m középpontú körrel realizálhatjuk, amelynek a szimmetriatengelytől negatív irányba eső felét levágjuk. Az elkészült geometria a 4.11 képen látható. 33

37 4.11. ábra. Az induktivitás kétdimenziós geometriája COMSOL Multiphysics környezetben Preprocesszálás A következő lépés a preprocesszálás fázisa, amikor a feladat megoldásához szükséges változókat, konstansokat és egyenleteket tudjuk megadni. A konstansok magadása a Options/Constants... menüben lehetséges, ahol definiáltuk az N menetek számát, a réz σ elektromos vezetését, amit sigma-val jelöltünk, a réz fajlagos ellenállását, amit ro-val jelöltünk, a huzal rc átmérőjét, a tekercs A keresztmetszetét, a modell analitikusan számolt Rdc DC ellenállását, valamint a C kapacitás- és az R0 ellenállásparaméter értékét. Az utóbbi két konstansra később még visszatérünk. A konstansok beállítására szolgáló ablak a 4.12 ábrán látható. A gerjesztő feszültség vagy a gerjesztő áram a Options/Expressions/Global Expressions... menüben adható meg. A feszültséggel gerjesztett modell esetében a gerjesztés értéke 1 V, az árammal gerjesztett esetben a gerjesztés értéke 1 A. A különböző mennyiségek kiszámolásához szükséges integrálokat is tartalmazó egyenleteket a Options/Integration Coupling Variables/Subdomain Variables... menüpontban írhatjuk be [22, 47, 48]. Például esetünkben a legtöbb mennyiség meghatározása az alkatrész impedanciájából származtatható, tehát legelőször a rajta eső feszültség és a rajta átfolyó áram hányadosát kell kiszámolnunk. Ehhez esetektől függően az áram vagy a feszültség értékét kell meghatároznunk. Amikor a feszültség ismert, az áram a következő felületi integrállal számolható [48]: I tot = J ϕ dγ, (4.1) Γ coil ahol Γ coil a huzal keresztmetszetének felülete, J ϕ az áramsűrűség ϕ irányú komponense, ami egyenlő a feszültséggel való gerjesztés által létrehozott áram, az örvényáramok és az eltolási áramok összegével. Amikor az áram értéke ismert, a komponensen eső feszültség a következő formulával 34

38 4.12. ábra. A modellben használt konstansok és skaláris kifejezések számolható [34]: Γ V 0 = 2πr coil ( E ϕ + J ϕ /σ)dγ, (4.2) S ahol E ϕ az elektromos térerősség ϕ irányú komponense, σ a huzal elektromos vezetése, valamint S a huzal keresztmetszete. A különböző mennyiségek kalkulációjához szükséges egyenleteket a Options/Expressions/Scalar Expressions... menüben adhatjuk meg. Ebben az esetben ide került a Z impedancia, a Q jósági tényező, az impedanciából származtatott L induktivitás, a mágneses energiából származtatott L w induktivitás, az R ellenállás, a módosított Iv átfolyó áram és a modell Z0 impedanciája. Az omega emqa a gerjesztés körfrekvenciája, Wm pedig a mágneses energia. Iv és Z0 változókra később még kitréünk. A megoldáshoz felhasznált egyenletek szintén a 4.12 ábrán láthatók PDE megadása Egy fizikai jelenség matematikai leírásához ismernünk kell a jelenséget leíró egyenleteket. A COMSOL Multiphysics szoftvercsomagban több lehetőség is nyílik az egyenletek megadására. Az egyik az egyenletek gyenge alakjának begépelése a megfelelő ablakba, a második az egyenletek direkt megadása parciális differenciálegyenletekkel. A harmadik lehetőség a COMSOL beépített formulációinak alkalmazása. A 2D szimuláció során a beépített Azimuthal Induction Currents, Vector Potential, formalizmust alkalmaztuk, amely levezethető a (3.42)-(3.44) egyenletekből azzal a megjegyzéssel, hogy a V elektromos skalárpotenciál kétdimenzióban nullával egyenlő [16] és a T 0 helyett J 0 változót használunk. Továbbá fontos, hogy a feszültséggel való gerjesztés hatására létrejövő áram a következő képlettel számolható [48]: J p = σ V loop 2πr, (4.3) ahol V loop egy zárt hurkon eső feszültség, σ a huzal elektromos vezetése és r a tekercs közepes sugara. Ezeket a tényeket figyelembe véve, helyére jω-át helyettesítve és (4.3) t definícióját hozzáadva a következő egyenletet kapjuk [48]: (jωσ + ω 2 ε)a + (ν A) = J 0 + σ V loop 2πr. (4.4) 35

39 Az egyenletrendszer meghatározása után a Physics/Subdomain Settings... menüben az anyagok fizikai tulajdonságait állíthatjuk be, így a relatív permeabilitást, a relatív permittivitást és az elektromos vezetést, továbbá megadhatjuk a konstitutív egyenletek formáját és azt is, hogy a gerjesztés árammal vagy feszültséggel történjen, ahogy ez a 4.13 ábrán látható [22,47,48] ábra. Az anyagjellemzők beállítása Ezután a peremfeltételek beállítása következik a Physics/Boundary Settings... menüpontban. Ebben a példában két peremfeltételt alkalmaztunk, az egyik r = 0 a modell szimmetriatengelyén érvényes, a másik pedig a távoli peremen, azaz a levegőt reprezentáló kör szélső peremén. Itt az un. elnyelő peremfeltételt alkalmaztuk, amely a következő módon írható le [19,22,34]: µ ε jσω n H + E ϕ = E sϕ, (4.5) ahol ebben az esetben E sϕ = 0, mivel nincs felületi elektromos mező és σ = 0, mivel a levegő vezetése nulla. Ezeket figyelembe véve a (3.37) egyenletet kapjuk, amely az elnyelő peremfeltétel általános alakja. A peremfeltételek beállítására szolgáló ablak a 4.14 ábrán látható Rácsgenerálás és szimuláció A feladat megoldási fázisában a következő folyamat a rácsgenerálás, amikor a geometriát véges számú elemre bontjuk. A COMSOL Multiphysics rácsgenerátora számos beállítást tesz lehetővé az elemek formájától kezdve az elemek méretéig. Kétdimenzióban háromszög és négyszög alakú elemeket használhatunk, továbbá több rácsméret közül választhatunk. A 4.15 ábrán a 2D forgásszimmetrikus modell végeselemes rácsa látható, amely háromszög alakú elemet tartalmaz. 36

40 4.14. ábra. A peremfeltételek beállítása ábra. A forgásszimmetrikus 2D modell végeselemes rácsa Végül a probléma megoldása következik. A Solver/Solver Parameters... menüpontban sok beállítási lehetőségünk van. Mivel esetünkben a gerjesztés időben változó szinuszos lefutású függvény, ezért a time-harmonic, tehát harmonikus analízist választjuk ki az ablak bal felső sarkában [22, 47, 48]. A probléma megoldását a frekvencia széles tartományában keressük, tehát a példát számos frekvenciaérték esetében ki kell számolnunk, ezért a paraméteres megoldót választjuk. A paramétert f req névvel jelöltük, amely a kívánt frekvenciatartományból a kívánt lépésközzel vehet fel értéket. A f req paramétert be kell írnunk még a Physics/Salar Variables... ablak nu emqa mezőjébe is. 37

41 A példa megoldására ezesetben direkt megoldót használhatunk, például UMFPACKot vagy SPOOLES-t [46], mivel az ismeretlenek száma nem túl nagy, itt darab. A megoldási paraméterek beállításáért felelős ablakot a 4.16 ábrán láthatjuk. A parameter values sorban a logspace(0,10,20) jelenti azt, hogy a probléma a 10 0 Hz és Hz közötti frekvenciatartomány 20 pontjában kerül megoldásra, valamint, hogy a pontok eloszlása logaritmikus ábra. A megoldó paramétereinek beállítása A modell optimalizálása A fenti probléma megoldása a jelenséget leíró parciális differenciálegyenlet rendszer ismeretlen potenciáljainak megoldását adja, amelyekből a kívánt elektromágneses térjellemzők és mennyiségek kiszámolhatók. Ez az első lehetőség, hogy a kapott eredményeket ellenőrizzük és ha szükséges módosításokat hajtsunk végre a modellen. Az első szimulációkat követően esetünkben is felmerültek kisebb problémák. Túl nagy volt a rács elemszáma, számszerint darab, amelynek hatására a megoldandó egyenletrendszer ismeretlenjeinek száma lett. Ez viszonylag lassú szimulációhoz vezetett. A megoldás ideje 406 másodperc volt egy 4 GB rammal és két AMD processzorral rendelkező számítógépen. A végeselemes rács elemszámának csökkentése érdekében megpróbáltunk olyan egyszerűsítési lehetőségeket keresni, amelyek alkalmazásával a kapott eredmények nem változnak. A tapasztalati eredmények azt mutatták, hogy a huzalon elhelyezkedő lakk szigetelés elhagyásával az eredmények gyakorlatilag semmit sem változnak, ahogy az a 4.17 ábrán is látható az induktivitás-frekvencia grafikon esetében. 38

42 Az egyszerűsítés hatására a megoldandó ismeretlenek száma re csökkent a megoldáshoz szükséges idő pedig 230 másodpercre ábra. Az induktivitás összehasonlítása a szigetelés figyelembevételével és anélkül Sokkal jelentősebb probléma volt, hogy az elkészített kétdimenziós modell, amely a valódi induktivitáshoz képest lényegesen egyszerűsítve lett, nem képes a valódi alkatrész néhány tulajdonságának figyelembe vételére. A valódi induktivitás kivezetései között például kapacitás jön létre. A másik probléma, hogy a tekercselő huzal végeit hozzáhegesztik a kivezetésekhez, aminek hatására a huzal végeinek átmérője csökken, ami ellenállásnövekedést okoz. A kezdeti szimulációkban a kisebb ellenállás és a kisebb kapacitás a mért eredményeknél magasabb rezonanciafrekvenciát és nagyobb jósági tényező értékeket eredményezett. A többletkapacitás és ellenállás figyelembe vételére egy hálózati modellt illesztettünk a szimulációhoz, amely egy kapacitást és egy ellenállást tartalmaz a modellezett induktvitással párhuzamosan [34]. Az áramkör a 4.18 ábrán látható. Tapasztalataink azt ábra. A többletkapacitás és a többletellenállás modellezésére használt hálózati modell mutatták, hogy a kapacitás és az ellenállás optimális értéke 0.09 pf és 40 kω az aktuális 39

43 induktivitástípus esetében. A kapacitást C-vel az ellenállást pedig R0-val jelöltük az ábrán és a modellben egyaránt. Az áramkör modellhez való illesztését az alkatrészen átfolyó áram módosításának segítségével értük el. A módosított áramot Iv-vel jelöltük a modellben. Az áramkörön átfolyó áram adja a valódi alkatrészen átfolyó áramot, amely segítségével az impedanciát, majd a többi mennyiséget kiszámolva a valódi induktivitás mérési eredményeihez jól közelíő eredméyeket kapunk. Az áramkörön átfolyó áram a következő egyenlettel számolható: I v = I tot + V 0 jωc + V 0 R 0. (4.6) Fontos megjegyezni, hogy az áramkör komponensei csak paraméterek, fizikai jelentésük nem egyezik a gyártásban lévő alkatrészek kivezetésein mérhető kapacitással és ellenállással, kizárólag a mérési és szimulációs eredmények egymáshoz illesztéséhez alkalmaztuk őket A szimulációk eredményei, posztprocesszálás A példa megoldása után az eredmények kiértékelése és vizuális megjelenítése következik, amit idegen szóval posztprocesszálásnak is nevezünk. A kapott eredményeket legelőször analitikus számításokkal és mérési eredményekkel ellenőriztük a modell helyes alacsonyfrekvenciás működésének igazolására. Az egyenáramú ellenállás analitikus számolása az ismert képlettel lehetséges, R DC = N 2r 0π A, (4.7) ahol r 0 = 0.62 mm, N = 14 és A = r 2 cπ = m 2, ahol r c a huzal sugara. Az adatok behelyettesítése után Ω ellenállást kapunk. A DC rezisztancia mért értéke 0.47 Ω. A végeselemes modell ellenállása az impedancia valós részéből kapható meg, azaz R DC = Re{ Z DC }, ahol Z DC a az impedancia értéke egyenáramú esetben. A szimuláció eredményeként Ω egyenáramú ellenállást kapunk. Az induktivitás gyártó által megadott alacsony frekvenciás induktivitása 180 nh. A mérések során kiválasztott mintadarabok induktivitása 179 nh és 183 nh közé esett. A szimuláció során az induktivitás értékét a következő összefüggéssel számítottuk, L = Im{ Z} 2πf, (4.8) eredményül 185 nh induktivitást kaptunk. Az analitikus számoláshoz a Nagaoka által meghatározott összefüggést (2.16) használtuk [5]. Ebben a konkrét esetben a tekercs hossza 1.1 mm, sugarának középértéke pedig 0.62 mm. Nagaoka coefficiens táblázatából az ezekre a méretekre kapott állandó értéke K = Behelyettesítve K, A és l értékét a (2.16) képletbe, nh-t kapunk eredményül [34]. Mivel a három módszerrel kapott értékek elég közel vannak egymáshoz, kijelenthetjük, hogy a felépített végeselemes modell kitűnően működik alacsony frekvencián. Az alkatrész teljes működési frekvenciatartományára nézve is végeztünk összehasonlításokat. A 4.19 és a 4.20 ábrán a mért és a modellezett eszköz induktivitásának és jósági tényezőjének összehasonlítását láthatjuk a frekvencia függévényében 10 MHz és 3GHz között. Látható, hogy az eredmények az induktivitás értékeinek esetében gya- 40

44 x Simulated Measured L [H] Frequency [Hz] 5 x 10 6 Simulated Measured L [H] Frequency [MHz] ábra. A mért és a szimulált induktivitás korlatiag megegyeznek, tehát megállapítható, hogy a végeselemes modell jól működik az egész frekvenciatartományban. A szimulált jósági tényező is jó közelítéssel tart a mérési eredményekhez, az itt látható eltérések a geometria néhány tulajdonságának elhanyagolásából adódnak. A modell működésének ellenőrzése után, elkezdhető az induktivitás tekercselésének vizsgálata a jósági tényező szempontjából legideálisabbnak tekinthető elrendezés megtalálására. Ennek során számos tekercselési kép szimulációját végeztük el. Kipróbáltunk a jelenleginél vékonyabb és vastagabb huzalokat, kisebb és nagyobb menetemelkedést, valamint egy és többrétegű tekercselést. A 4.21 ábrán három különböző tekercseléssel ellátott modell végeselemes rácsa látható. A szimulációk eredményeként kapott adatokat végül összevetettük a kísérleti alkatrészek mérési eredményeivel. Számos kritérium van, amit egy induktivitás tervezésekor figyelembe kell vennünk. Az első és legfontosabb, hogy bármilyen módosítást hajtunk végre az alkatrészen, az induktivitás értéke nem térhet el az alkatrész névleges értékétől, ami ezesetben 180 nh. 41

45 Measured Simulated Q [U] Frequency [Hz] ábra. A mért és a szimulált jósági tényező ábra. Három különböző tekercselési kép végeselemes rácsa További fontos dolog, hogy a tekercselési kamra szélessége, tehát az a hely ahová a menetek tekercselhetők 1130 µm, így ebbe a szélességbe kell, hogy beleférjen a tekercs. A gyártási folyamat pontatlansága miatt a menetek közötti távolságnak legalább µm-nek kell lennie, különben keresztbe tekercselések jöhetnek létre a menetek között, amik lerontják az induktivitás legtöbb paraméterét. A 4.22 ábrán egy példa látható a keresztbe tekercselésre. Számos érdekes jelenséget figyeltünk meg a vizsgálatok során, amelyek felfedezhetőek voltak mind a mérések, mind a szimulációk során. Az egyik ilyen törvényszerűség a menetemelkedés, tehát a menetek közötti távolság változtatásakor jelentkezik. E paraméter növelésének hatására az induktivitás értéke csökken, a rezonanciafrekvencia nő a menetek közt fellépő kisebb szórt kapacitásoknak köszönhetően, valamint a jósági tényező maximális értéke nagyobb frekvencián lesz mérhető, azonban nagysága nem változik. Ha csökkentjük a menetemelkedést ellenkező eredményeket kapunk. A másik hasonló törvényszerűség a huzal vastagságának módosításokor figyelhető meg. Vastagabb huzalt 42

46 4.22. ábra. Keresztbe tekercselés egy kísérleti alkatrész esetében használva az induktivitás értéke csökken, vékonyabb huzalt használva növekszik. Ezeket a jelenségeket már a rádióamatőrök is említik munkáikban [4,7,13]; az induktivitás változása mindegyik említett esetben a fluxussűrűség változására vezethetők vissza. Az alkatrészek vizsgálata során szerzett tapasztalatok a következők. A (2.11) képletből kiindulva egyértelmű, hogy a jósági tényező akkor növelhető, ha az impedancia képzetes részét növeljük vagy az impedancia valós részét csökkentjük. Mivel az induktivitásoknak névleges értéke van, aminek nem szabad változnia, az egyik megoldás a jósági tényező növelésére az ellenállás csökkentése. Erre a legegyszerűbb a vastagabb huzal használata. Ezért egy kísérleti alkatrészsorozatot, valamint egy végeselemes modellt készítettünk 60 µm átmérőjű huzallal. A szimulációban az eredmények a jósági tényező néhány százalékos növekedését mutatták. Sajnálatos módon a gyakorlatban felmerültek problémák. A mérések során azt tapasztaltuk, hogy a jósági tényező kisebb mértékben csökkent, mint azt a szimulációk előrejelezték és csak az alacsonyabb frekvenciatartományban. Magas frekvencián a Q kisebb értékeket vett fel, mint az eredeti tekercselés esetében. Ez azonban nem probléma, mert az SHQ minősítés frekvenciatartománya ennél jóval alacsonyabb frekvencián helyezkedik el. A legnagyobb hátránya a vastagabb huzal használatának, hogy a keresztbe tekercselések elkerülése végett nagyobb menetemelkedést kellett alkalmaznunk, ami az induktivitás értékének 170 nh-re való csökkenését eredményezte. A tekercselési kamra véges szélessége miatt a csökkenés kompenzálására több menetet alkalmazni nem lehet. A konklúzió, hogy vastagabb huzal használatával nem növelhető e konkrét alkatrész jósági tényezője [34]. Ezután vékonyabb, 40 µm átmérőjű huzalt alkalmaztunk a végeselemes szimulációban és a kísérleti alkatrészek elkészítése során is. Vékonyabb huzal használatával az induktivitás értéke megugrik, ezért elegendő kevesebb menet is a névleges érték eléréséhez, így nagyobb tér áll rendelkezésünkre a tekercselési képpel való játékra. Már a szimulációk során kiderült azonban, hogy az induktivitás növekedése nem olyan mértékű, hogy meneteket elhagyhassunk, így a 180 nh beállítására a menetemelkedés növelése szolgál megoldásként. Ezekben az esetekben a mérések és a szimulációk azt mutatták, hogy a rezonanciafrekvencia megnő a menetek közötti kisebb szórt kapacitásoknak köszönhetően, emiatt a Q maximum értéke is magasabb frekvenciára kerül. A Q maximuma is észrevehetően növekszik, továbbá a jósági tényező-frekvencia görbe felfutása is gyorsabb lesz. 43