Marcsa Dániel. III. éves Villamosmérnök B.Sc. hallgató. Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi adjunktus
|
|
- Vilmos Szekeres
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Stacionárius mágneses és örvényáramú tér szimulációja végeselem-módszerrel Írta: Marcsa Dániel III. éves Villamosmérnök B.Sc. hallgató (Automatizálási szakirány) Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi adjunktus Elektromágneses Terek Laboratórium Széchenyi István Egyetem november Győr
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezető Geometriai elrendezés Stacionárius mágneses tér Általánosságban a stacionárius mágneses térről Próbatest a stacionárius mágneses térben Stacionárious feladat Stacionárius mágneses tér potenciálformalizmusai A mértékkel ellátott A-formalizmus A mértékkel el nem látott A-formalizmus A Φ-formalizmus A különböző formalizmusok eredményei Összehasonlítás a számítási paraméterek alapján Összehasonlítás a kapott eredmények alapján Örvényáramú tér Általánosságban az örvényáramú térről Az örvényáramú tér feladata Örvényáramú tér potenciálformalizmusai A mértékkel ellátott A, V A-formalizmus A mértékkel ellátott T,Φ Φ-formalizmus A különböző formalizmusok eredményei Összehasonlítás a számítási paraméterek alapján Összehasonlítás a kapott eredmények alapján
3 1. fejezet Bevezető Az utóbbi években hihetetlen gyors fejlődésen ment át a számítástechnika, mely a számítógépes tervezés eszközeinek hatalmas erőforrást biztosított, és biztosít mind a mai napig. Ugyanilyen haladás ment végbe a CAD (Computer Aided Design) szoftverek terén is, itt is kihasználva amennyire csak lehet a fejlődését. A CAD szoftverek számítástechnikai megjelenése forradalmasította a tervezési folyamatokat, melyek megváltoztatták a különféle szimulációkat, köztük az elektromágneses tér szimulációját, vizsgálatát is. A két dimenziós szimuláció alapvető a beszerezhető CAD szoftvercsomagoknál. Ez amiatt van, mert a háromdimenziós modellek szimulációja kevésbé elterjedt. Ennek oka a meglehetősen nagy memóriaigény és a hosszú futási idő, bár napjainkban ez már nem lényeges, hiszen az olcsó memória és gyors számítógépek korában vagyunk. Ezen a téren a fő probléma egy szilárd és megbízható numerikus tér szimulációs eljárás hiánya. Napjainkban sokan foglalkoznak ezen hiányosság pótlásával. Az elektromos és mágneses terek matematikai leírását a Maxwell-egyenletek adják, amelyek az E elektromos térerősség, H mágneses térerősség, D eltolási áramsűsűség, és a B mágneses indukció parciális differenciálegyenleteinek gyűjteménye. Az elektromágneses tér forrása lehet a J forrásáram sűrűség, ρ töltéssűrűség, vagy D eltolási áramsűrűség időbeni változása. Számos eljárást kidolgoztak az elektromágneses tér parciális differenciálegyenleteinek megoldására, alapvetően a súlyozott maradék elve. Én a súlyozott maradék elv gyenge alakját használom [8] fel a különböző potenciálformalizmusoknál [1]. A parciális differenciálegyenleteket alkalmas súlyfüggvénnyel szorozzuk, majd az így kapott mennyiséget teljes tartományon integráljuk. Ez az úgynevezett súlyozott maradék. A súlyozott maradékot átalakítva kapjuk meg az úgynevezett gyenge alakot. A dolgozat első részében a stacionárius mágneses tér kerül bemutatásra, ezen belül is az, hogy hogyan néz ki egy stacionárius mágneses feladat. Ezután bemutatásra kerül három, a stacionárius tereknél használatos potenciálformalizmus, egyenleteik, és a határfeltételek. A végén pedig a megoldott feladatokra kapott eredmények összehasonlítását mutatom be. Továbbá a kapott eredményeken keresztül összehasonlítom a különböző potenciálformalizmusokat. A második részben az örvényáramú tér lesz bemutatva, hogy néz ki egy feladat, milyen egyenleteket használunk. Utána két potenciálformalizmust, melyet az örvényáramú fela- 2
4 datmegoldásoknál használunk. Itt is bemutatásra kerülnek a megoldott feladat végeredményei, és ezen eredmények összehasonlítása. A végén a végeredményeken keresztül összehasonlítom a potenciálformalizmusokat Geometriai elrendezés Az 1.1.-es képen az általam vizsgált példa geometriai elrendezése látható. A bal oldalon a példám a J 0 forrás áramsűrűséggel, a jobb oldalon pedig végeselem ráccsal. A vizsgált 1.1. ábra. A vizsgált példa közelről feladat a elfektetett nyolcas, vagy általam csak hídnak nevezett rész vasból van. A példában lévő karika a tekercs, amibe a példák során vagy állandó amplitúdójú, vagy szinuszosan változó áramot táplálok. A 1.2.-es ábrán pedig az egész példa látható végeselem ráccsal. A vasdarab körül lévő, a végeselem-módszernél lezárásnak nevezett gömb a levegőt jelképezi. A gömbön belül levegő van, ott ahol a másik két alakzat nem tölti ki a teret ábra. Az egész feladat 3
5 2. fejezet Stacionárius mágneses tér 2.1. Általánosságban a stacionárius mágneses térről A stacionárius tér feltételezés akkor használatható, amikor az időben semmi sem változik / t 0. Ebben az esetben a villamos és mágneses jelenségek között van kapcsolat. A magnetosztatikus térben az időtől független áramsűrűség J 0 = J 0 (r) időtől független mágneses térerősséget H = H(r) és mágneses indukciót B = B(r) hoz létre. A stacionárius mágneses tér alapegyenletei [4]: H = J 0, (2.1) B = 0, (2.2) µ 0 H, levegőben, B = µ 0 µ r H, lineáris mágneses anyagban, (2.3) µ 0 (H + M), nemlineáris mágneses anyagban. A nemlineáris mágneses anyagnál az M = M(r) az anyag mágnesezettségének vektora, fizikai értelemben az egységnyi térfogat mágneses momentumát jelenti, amely nemlineáris. Az áramot a vezető anyagban a mozgó töltések hozzák létre. A vezető anyagban lévő áramot az időfüggetlen egyenletekkel írhatunk le: E = 0, (2.4) J = 0, (2.5) J = σe, vagy J = σ(e + E b ). (2.6) A (2.5)-ös egyenlet annyit jelent, hogy zárt az áramkör, vagyis az áramsűrűség vonalai sehol sem erednek, és nem végződnek, hanem zártak. Az E b = E b (r) a idegen erőkből származó úgynevezett beiktatott térerősség. A σe b tag egyenlő a forrás áramsűrűséggel J 0 = σe b, és ezt az összefüggés behelyettesítve a (2.6)-os egyenletbe felírható a következő: J = J 0 + σe. (2.7) Ezt az egyenletet akkor használjuk amikor tekercs árameloszlása nem egyenletes. 4
6 Próbatest a stacionárius mágneses térben Az előző fejezetben bemutatásra kerültek a stacionárius mágneses térre vonatkozó egyenletek, az első (2.1), a harmadik (2.2) és az ötödik (2.3) Maxwell-egyenlet. Itt ezeket az egyenleteket mutatom be, egy példán keresztül. Az első Maxwell-egyenlet (2.1) ugyanaz, mint a gerjesztési törvény (2.8) differenciális alakban, H dl = J 0 da. (2.8) L A gerjesztési törvény fizikai tartalma : a vezetési áram mágneses teret hoz létre, ez látható a 2.1.-es ábrán, bal oldalon. A 2.1.-es ábra bal oldalán az első Maxwell-egyenletet láthatjuk, vagy a középiskolában tanultak alapján a jobb-kéz szabályt, ami annyit jelent, hogy ahol vezetési áram van ott örvénylő H mágneses térerősség jön létre. A 2.1.-es ábra jobb oldalán szintén az első Maxwell-egyenlet látható, az általam szimulált példán keresztül. A kék nyilak a J 0 vezetési áramsűrűséget jelképezik, a piros nyilak pedig az örvénylő H mégneses térerősséget jelképezik. A 2.1.-es ábrán jobb oldalon jól látható, hogy teljesül az első Maxwell-egyenlet. A 2.1. ábra. Az I. Maxwell-egyenlet 2.2. ábra. A mágneses indukció 5
7 A 2.2.-es ábrán a piros nyilak a vasban létrejövő B mágneses indukciót mutatják, a kék nyilak pedig a már előbb említett forrás áramsűrűséget. A 2.2.-es ábrából az is kitűnik, hogy mind a (2.2)-es egyenlet, mind pedig a (2.5)-ös egyenlet teljesül, azaz sem a B mágneses indukció sem pedig a J 0 forrás áramsűrűség sehol nem ered, és sehol nem végződik, hanem zártak. A 2.1.-es ábrán a felületen áthaladó indukcióvonalakat láthatjuk. A B mágneses indukció jelenti az egységnyi felületen áthaladó mágneses indukcióvonalak számát, az A felületen tehát BA indukcióvonal halad át. Innen a mágneses fluxus (Ψ) képlete [6]: Ψ = B A. (2.9) De a (2.9)-es képlet csak akkor igaz ha a felület merőleges az indukcióvonalakra, és az erőtér homogén. Az 2.2.-es ábrán teljesülnie kell annak is, ami jól látható, hogy a két irányból bejövő mágneses indukciónak egyenlőnek kell lennie a kimenő mágneses indukcióval. Ennek a bizonyítása is nagyon egyszerű. Az A 2 felület kétszerakkora mint a A 1 felület, és a mágneses indukció pedig mindenhol ugyanakkora. Ezek alapján és a (2.9)-es egyenletből jön az, hogy a kimenő mágneses fluxus (Ψ 2 ) egyenlő a két irányból bejövő mágneses fluxussal (Ψ 1 ). Az elöbbiek képletek formájában: Ψ 2 = A 2 B, Ψ 1 = A 1 B, A 2 = 2A 1, Ψ 2 = 2Ψ 1. (2.10) 2.3. ábra. A mágneses fluxus alakulása a T szárban 6
8 2.2. Stacionárious feladat Az elöbbi példán keresztül egy általános stacionárius tér feladat elrendezése látható a 2.4.-es ábrán. A példa áll egy mágneses anyagból (vas), amit levegő vesz körül. A geometriáról bővebben az 1.1.-es alfejezetben lehet olvasni. A sztatikus mágneses térnél a gerjesztést a tekercsben folyó J 0 áramsűrűség adja, és ez hozza létre a vezető anyagban az elektromos térerősséget és mágneses térerősséget. Ebben az esetben a Maxwell-egyenletek a következők lesznek [4]: H = J 0, Ω 0 Ω m tartományokban, (2.11) B = 0, Ω 0 Ω m tartományokban, (2.12) µ 0 H, levegőben, Ω 0, B = µ 0 µ r H, lineáris mágneses anyagban, Ω m, µ 0 (H + M), nemlineáris mágneses anyagban, Ω m. (2.13) A J 0 áramsűrűség csak a levegőben (Ω 0 ) van. Az áramsűrűség a következő képlettel számolható: J 0 = N i A, (2.14) ahol N a tekercs menetszáma, i a vezetékben folyó áramerősség, és A a vezető keresztmetszete. Ezt a képletet lehet használni például motorok tekercselésénél, mert a fázistekercseknél számos vezető van együtt, és teljesen kezelhetetlen modellt kapnánk a hornyokban lévő vékony vezetők magas száma miatt. Igaz ilyen esetben elhanyagoljuk az elotolási áram mágnesező hatását, de így is egy kielégítően pontos eredményt fogunk kapni ábra. Stacionárius mágneses tér feladat elrendezése 7
9 2.3. Stacionárius mágneses tér potenciálformalizmusai Számos potenciálformalizmus létezik melyek alkalmasak a térmennyiségek számítására, de alapvetően skalárponetciálokat és vektorpotenciálokat használunk [1] [3]. A stacionárius mágneses tér leírására is létezik számos potenciálformalizmus,vagy ezen formalizmusok kombinációja. Itt két potenciálformalizmust mutatok be, melyekkel megoldottam az adott feladatot. A Φ redukált mágneses skalárpotenciált és az A mágneses vektorpotenciált. A mágneses vektorpotenciált kétféleképpen is használtam, használtam a csomópotni elemes (kötött formalizmus), és használtam a vektorosan (élelemes, vagy szabad formalizmus) A mértékkel ellátott A-formalizmus A mágneses vektorpotenciál definíciója: B = A. (2.15) Ez az egyenlet kielégíti a (2.12)-es egyenletet a következő matematikai azonosságból kifolyólag v 0, ahol v = v(r). Helyettesítsük a (2.15)-ös egyenletet a (2.11)-es egyenletbe a lineáris anyagra jellemző állandó inverz alakjának segítségével. Ezekután a következő egyenlethez jutunk: (ν A) = J 0. (2.16) Mivel ez egy háromdimenziós feladat, így itt nem teljesül autómatikusan a Coulombmérték, azaz a A = 0 (2.17) formula, mint a kétdimenziós feladatnál, ezért elő kell írni a Coulomb-mérték implicit alakját, és azt belevenni a (2.16)-os egyenletbe. A (2.16)-os egyenlet az egész Ω = Ω 0 Ω m tartományra vonatkozik. Ehhez jönnek hozzá még a folytonossági egyenletekből eredő határfeltételek, és peremfeltételek. Ω perem két részből áll egy Γ H -ből és egy Γ B -ből, azaz Ω = Γ H Γ B. A Γ H peremen pedig a mágneses térerősség tangenciális koponensére írjuk elő a peremfeltételt. A Γ B peremen a mágneses indukció normális koponensére írjuk elő a peremfeltételt. Továbbá még ezen két peremfeltételhez jön két másik peremfeltétel [1] [3]. Végezetül levezetés nélkül a parciális differenciálegyenlet a Coulomb-mérték implicit alakjával és a peremfeltételekkel az alábbiak (ν A) (ν A) = J 0, Ω tartományban, (2.18) (ν A) n = K, Γ H peremen, (2.19) A n = 0, Γ H peremen, (2.20) n A = α, Γ B peremen, (2.21) ν A = 0, Γ B peremen. (2.22) 8
10 Az A-formalizmus gyenge alakja a (2.18)-es egyneletből és a (2.19)-as és a (2.22)-es peremfeltételekből épül fel. A gyenge alak a következőképpen néz ki: [( W) (ν 0 A) + ν 0 W A]dΩ = W J 0 dω + Ω Ω W KdΓ. (2.23) Γ H A mértékkel el nem látott A-formalizmus Már a potenciálformalizmus nevéből is lehet következtetni, hogy ennél a formalizmusnál nem kell előírni a Coulomb-mértéket, mert vektorelemekkel oldjuk meg. Ezt azért tehetjük meg, mert a J 0 forrás áramsűrűséget előírhatjuk a T 0 vektor rotációjaként, hiszen a ( v) 0 matematikai azonosság által kielégíti továbbra is a (2.5)-ös egyenletet. A T 0 nem más, mint a J 0 forrás áramsűrűségnek megfelelő mágneses tér szabad térben, azaz levegőben, azt reprezentáló tér. J 0 = T 0. (2.24) Egy feladat megoldásánál, ha lehetséges válasszuk a T 0 -t J 0 helyett, és megoldjuk a feladatot egy numerikus térszámítási eljárással, ami ilyenkor nem lesz érzékeny a Coulomb mértékre, és jó eredményt ad. T 0 megoldásához használt egyenlet és peremfeltételek: T 0 = J 0, Ω tartományban, (2.25) T 0 n = 0, Γ H peremen, (2.26) T 0 n = 0, Γ B peremen. (2.27) Az egyenletek úgyanúgy jönnek ki, mint a mértékkel ellátott A-formalizmusnál. A mértekkel el nem látott A-formalizmus parciális differenciálegyenletei, és peremfeltételei: (ν A) = T 0, Ω tartományban, (2.28) (ν A) n = K, Γ H peremen, (2.29) n A = α, Γ B peremen. (2.30) A következő egyenlet pedig a mértékkel ellátott A-formalizmus gyenge alakja, amely a (2.28)-es egyenletből és (2.29)-as peremfeltételből áll. A mértékkel ellátott A-formalizmus gyenge alakja: Ω ( W) (ν 0 A) = Ω ( W) T 0 dω (2.31) 9
11 A Φ-formalizmus A Φ-formalizmusnál a stacionárius mágneses térerősség két részre oszlik, H = T 0 + H m, (2.32) ahol az első tag rotációja egyenlő J 0 -val, és H m -nek a rotációja pedig nulla, továbbá a T 0 divergenciája nulla a Coulomb mértéknek megfelelően, T 0 = J 0, és H m = 0, és T 0 = 0. (2.33) Ennél a formalizmusnál is T 0 -val írjuk le a J 0 forrás áramsűsűrséget, amely meghatározható a (2.25), (2.26), (2.27) egyenletek szerint. A mágneses térerősség örvénymentes részét H m -et felírhatjuk a Φ mágneses skalárpotenciál negatív gradienseként, azaz H m = Φ, (2.34) itt Φ egy skalár mennyiség, ϕ = ϕ(r), és azért írható fel a fenti összefüggés, mert ( ϕ) 0, és ezen matematikai azonosság általa eleget tesz a H m = 0 egyenletnek. A (2.34)-es egyenletet visszahelyettesítve a (2.32)-es egyenletbe a következőt kapjuk H = T 0 Φ, (2.35) ami eleget tesz a (2.1)-es egyenletnek is. A J 0 forrás áramsűrűséget úgyanúgy írjuk le T 0 -val, mint az előző, a mértékkel el nem látott A-formalizmusnál. Az egyenlete (2.25)- es egyenlet, és peremfeltételek a (2.26)-ös, (2.27)-os egyenlet. Végül a parciális differenciál egyenlete és a peremfeltételek az alábbiak: (µ Φ) = (µt 0 ), Ω tartományban, (2.36) Φ = Φ 0, Γ H peremen, (2.37) (µ Φ) n = b + (T 0 ) n, Γ B peremen. (2.38) A (2.36)-os egyenletből és a (2.38)-es Neumann tipusú peremfeltételből jön ki a Φ- formalizmus gyenge alakja amely a következőkép néz ki: Ω µ 0 N ΦdΩ = Ω µ 0 N T 0 dω + Nb dγ. (2.39) Γ B 10
12 2.4. A különböző formalizmusok eredményei Ebben a fejezetben a kiszámított eredményeket, a számítási paramétereket fogom összehasonlítani. A számítási paraméterek terén az a várt eredmény, hogy a mágneses skalárpotenciál a leggazdaságosabb, ezalatt azt értem, memória igénye alacsony, és gyorsan megoldja az adott feladatot. A mágneses vektorpotenciálnál magasabbnak kell lennie az ismeretlenek számának, és lassabbnak kell lennie, mint a mágneses skalárpotenciál. Továbbá az alapján is csoportósíthatjuk ezen potenciálformalizmusokat, hogy élelemes, vagy csomóponti elemes a formalizmus. Ezen szempont szerint annak kell kijönnie, hogy a élelemes gyorsabban megoldja az adott problémát, de itt csak a kétféle A-formalizmust tudom összehasonlítani Összehasonlítás a számítási paraméterek alapján 2.5. ábra. Számítási paraméterek A 2.5. első oszlopában az adott potenciálformalizmus neve található. A második oszlopból jól kitűnik hogy mindhárom formalizmusnál ugyanannyi lett a rácselemek száma, ami annyit jelent, az adott feladatot, a geometriát ennyi tetraéderre osztottam fel. A harmadik oszlopban az ismeretlenek száma látható. Azért van ilyen különbség a két A-formalizmus ismeretlenszáma között, mert a mértékkel ellátott A-formalizmus csomóponti elemes, és egy tetraédernek 4 csomópotja van, P 1, P 2, P 3, P 4, míg a mértékkel el nem látott A-formalizmus élelemes, és egy tetraédernek 6 éle van, l 1, l 2, l 3, l 4, l 5, l 6, ez látható a 2.6.-os ábrán. A Φ-formalizmusnál pedig azért ilyen alacsony 2.6. ábra. A tetraéder felépítése 11
13 az ismeretlenek száma, mivel az skalár, és csak egy ismeretlen van egy csomópontban. Az iteráció száma azt jelenti hogy mennyiszer futtatta újra le az adott megoldót a feladaton, míg egy bizonyos hibahatárt el nem érte. Ennél az látszik hogy az élelemes A-formalizmus megoldásánál többször kellett iterálni, de a következő oszlopból viszont az látszik hogy ennek ellenére is gyorsabb volt mint a csomóponti elemes A-formalizmus. Tehát a táblázatból jól látszik, hogy a várt eredmények kijöttek, mert a Φ-formalizmus eredményeiből látszik hogy mennyire gyors, és a másik két A-formalizmusnál is kijöttek a várt eredmények, az hogy az élelemes gyorsabb mint a csomóponti elemes Összehasonlítás a kapott eredmények alapján A 2.7. ábrán a három különböző potenciálformalizmus segítségével kapott mágneses térerősség z-komponensét lehet látni. Az ábrákon a vonalak a következő formalizmushoz tartoznak: A fekete pontvonal a mértékkel ellátott A-formalizmus, A fekete vonal a mértékkel el nem látott A-formalizmus, A kék vonal a mértékkel el nem látott Φ-formalizmus. 4 x x B z [T] 0 1 B z [T] x [mm] x [mm] 2.7. ábra. A mágneses indukciók alakulása a próbatestben A 2.7.-es ábra jobb oldali képén a bal oldali kép egy része van kinagyítva, hogy lehessen a kicsi különbséget a két formalizmus eredménye között látni hogy van a két formalizmus között különbség. A jobb oldali ábránál helyesen jött ki a végeredmény, mert elméletben a Φ-formalizmusnak kicsivel a mértékkel el nem látott A-formalizmus felett kell lennie [2]. A bal oldali ábrán a mértékkel ellátott A-formalizmus végeredménye rossznak tűnhet, mivel kisebb mint a másik két eredmény. Az igazság az hogy egyik sem a tökéletes megoldás, hanem közelítő megoldások, és ehhez még hozzájön hogy nem a lehető legjobb rácsot használtam a szimulációk során. Elméletben mind a mértékkel el nem látott A-formalizmusnál, mind a Φ-formalizmusnál minél jobb rácsot használok, (nagyobb az ismeretlenek száma) annál jobban megközelíti a helyes eredményt, és ezen két formalizmus esetében ez az eredmény csökkenését jelenti. Ez látható a 2.8.-as ábrán a Φ-formalizmus esetére. Az ábrán feltüntetettem az ismeretlene számát. Míg a mértékkel 12
14 4 x B z [T] 0 B z [T] x [mm] x [mm] 2.8. ábra. A Φ-formalizmus megoldásai ellátott A-formalizmusnál minél jobb rácsot használok, minél több ismeretlennel, ez is annál jobban közelít a jó megoldáshoz, de itt a végeredmény nőni fog. Ez látható a 2.9.-es ábrán. 4 x x B z [T] 0 B z [T] x [mm] x [mm] 2.9. ábra. Mértékkel ellátott A-formalizmus megoldásai Az ábrán az ismeretlenek száma is látható, és jól kitűnik hogy tényleg nő a B z értéke minél több az ismeretlen, vagyis minél jobban berácsozom a szimulált geometriát annál magasabb értéke lesz a B térerösségnek. A jobb oldali ábrán, ez látható kinagyítva. Elvileg a mértékkel el nem látott A-formalizmus megoldásai és a Φ-formalizmus megoldásai egyszer találkoznak, de az elméletileg a végtelen jó rácshoz közeledve történne meg, ami nem lehetséges, már a bevezőben is említett hihetetlen gépigény miatt. A következőkben pedig a szimulált eredmények láthatók, a vasban létrejött B mágneses indukció. A jobb oldali kép, a vasdarab középső részének kinagyítása, hogy jobban lehessen látni az eltérést, mert nagy eltérések nincsenek a kijött eredmények között, csak egy-egy apróság, ami normális mert a feladat ugyanaz, csak a formalizmus más. Ilyen apróság a mértékkel ellátott A-formalizmusnál a es ábrán, hogy ahol kanyarodnak a mágneses indukcióvonalak, ott nem egészen jó a megoldás. De ezen kívül szinte különbséget nem lehet észrevenni. Meg természetesen a mágneses indukció nagyságánál kijött eredménykülönbség, de az képen keresztül nem okoz jelentős, látható külömbséget. Esetleg annyi külömbséget, hogy a mértékkel ellátott A-formalizmusnál a es ábrán, 13
15 2.10. ábra. A mértékkel ellátott A-formalizmus megoldása ábra. A mértékkel el nem látott A-formalizmus megoldása ábra. A Φ-formalizmus megoldása a kép tetejénél megritkulnak a mágneses indukcióvonalak, de ez a már ismertetett okok miatt van, amely egy jó számítógéppel korrigálható. A Φ-formalizmusnál, a es ábrán, meg majdnem ugyanzt látjuk mint a mértékkel el nem látott A-formalizmusnál es ábra, bár a Φ-formalizmusnál is lehet látni hogy ahol az erővonalak kanyarodnak van ott némi hiba, de ennél a formalizmusnál, nem jelent nagy problémát jobb rácsot használni. Szerintem a három formalizmus közül a mértékkel el nem látott Φ-formalizmus adja a legjobb megoldást, vagy legalábbis a gyorsaságával, és alacsony gépigényével a legjobbnak mondható a másik kettővel szemben. 14
16 3. fejezet Örvényáramú tér 3.1. Általánosságban az örvényáramú térről Az örvényáramú térnél a mágneses és elektromos jelenségek már kapcsolatban vannak, mert figyelembe vesszük az időbeni változást, / t 0, és az időben változó mágneses térerősség elektromos teret hoz létre, de az eltolási áramsűrűséget még elhanyagoljuk a használt frekvenciatartomány miatt J D/ t. Az kvázistacionárius tér egyenletei a következők: B = H = J, (3.1) E = B t, (3.2) B = 0, (3.3) µ 0 H, levegőben, µ 0 µ r H, lineáris mágneses anyagban, µ 0 (H + M), nemlineáris mágneses anyagban, (3.4) J = σe. (3.5) Az örvényáramú térnél már függ az időtől a forrás áramsűrűség J 0 = J 0 (r, t), ami időtől függő mágneses térerősséget H = H(r, t) és időtől függő mágneses indukciót B = B(r, t) hoz létre, ami a (3.2)-es egyenlet alapján elektromos teret hoz létre. Az örvényáramú tér egyenleteit megközelítőleg az összes frekvencitartományban lehet használni, amiben van fém vagy fémes szerkezet. Ezeket az egyenleteket használjuk akkor is, mikor villamos gépek veszteségeit számoljuk [7], vagy bizonyos roncsolásmentes anyagvizsgálatoknál alkalmazzák Az örvényáramú tér feladata Amikor van időbeni változás az elektromos és mágneses terek csatoltak, mert az időben változó mágneses tér elektromos teret hoz létre, és ez okozza az örvényáram áramlását a vezető anyagban. A 3.1.-es ábrán az örvényáramú feladatom felépítése látható. A levegő része, amit Ω n - 15
17 3.1. ábra. Örvényáramú tér feladat elrendezése nel jelöltem az örvényáramtól mentes rész, ebben a részben van a tekercs is, ahol a stacionárius mágneses tér egyenleteit használjuk: H = J 0, Ω n tartományban, (3.6) B = 0, Ω n tartományban, (3.7) B = µ 0 H, vagy H = ν 0 B, Ω n tartományban. (3.8) Alacsony frekvencián, közönséges vezető anyagnál az eltolási áramsűrűség változásából származó áram D/ t nagyságrendekkel kisebb lesz, mint a vezetési áramsűrűség J, ezért elhanyagoljuk. J D/ t. (3.9) A 3.1.-es ábrán az Ω c -vel jelöltem a vezető anyagot. A vezető anyagra alkalmazzuk a kvázistacionárius Maxwell-egyenleteket: B = H = J, Ω c tartományban, (3.10) E = B t, Ω c tartományban, (3.11) B = 0, Ω c tartományban, (3.12) { µ0 µ r H, lineáris mágneses anyagban, Ω c, (3.13) µ 0 (H + M), nemlineáris mágneses anyagban, Ω c, J = σe, Ω c tartományban. (3.14) Ha vesszük a es egyenlet divergenciáját, a létrejövő áramsűrűség azon tulajdonságát kapjuk meg, hogy önmagában záródik, vagyis az örvényáramnak nincs forrása, J = 0. (3.15) 16
18 3.3. Örvényáramú tér potenciálformalizmusai Az örvényáramú rész leírására alapvetően két potenciálfüggvényt használunk, az egyik az T áramvektorpotenciál, a másik a A mágneses vektorpotenciál. A következőkben bemutatok két potenciálformalizmust, amely nemcsak az örvényáramú részre vonatkozik, hanem a komplett örvényáramú feladatra, tehát ezek olyan potenciálformalizmusok, ahol párosítjuk a stacionárius és örvényáramú tér potenciálformalizmusait. Az egyik ilyen potenciálformalizmus a mértékkel ellátott A, V A-formalizmus, a másik a mértékkel ellátott T, Φ Φ-formalizmus A mértékkel ellátott A,V A-formalizmus A A mágneses vektorpotenciált, mindkét részben, az örvényáramúban, és az örvényárammentes részben is használjuk. Ezért a mágneses vektorpotenciálnak folytonosnak kell lennie az érintkező Γ nc felületen, a örvényáramú, és örvényárammentes rész között. A mágneses vektorpotenciál tangenciális komponense akkor lesz folytonos, amint a mágneses indukció normális komponense folytonos lesz. A mágneses térerősség tangenciális koponense, hogy folytonos legyen, elő kell írni egy határfeltételt Γ nc -re. A (2.17) Coulomb mértékek itt is előkell írni imlicit alakjában. A mértékkel ellátott A, V A-formalizmus egyenletei a következők: (ν A) (ν A) + σ A t + σ V = 0, Ω c tartományban, (3.16) (σ A t + σ V) = 0, Ω c tartományban, (3.17) (ν A) (ν A) = J 0, Ω c tartományban. (3.18) Az egyenleteken kívül szükség van még peremfeltételekre is. A Γ B peremfeltétel a külső lezásáráshoz kell, ami körülfogja a feladatot, úgymond ez a levegő széle. A Γ nc pedig az örvényáramú és örvényárammentes rész közötti határfelületre vonatkozik. A mértékkel ellátott A, V A-formalizmus itt használt peremfeltételeli a következők: n A = α, Γ B peremen, (3.19) ν A = 0, Γ nc peremen, (3.20) (ν A) n c + (ν A) n n = 0, Γ nc peremen, (3.21) n c A + n n A = 0, Γ nc peremen, (3.22) A n c + A n n = 0, Γ nc peremen, (3.23) ν An c + ν An n = 0, Γ nc peremen, (3.24) (σ A t + σ V) n = 0, Γ nc peremen. (3.25) 17
19 Végezetül az A, V A-formalizmus gyenge alakja, ami eleget tesz a Coulomb-mértéknek a következőképpen néz ki: ( [ν( W) ( A) + ν W A] dω + W σ A ) Ω c Ω c t + σ v dω t + [ν( W) ( A) + ν W A] dω (3.26) Ω n = W J 0 dω + W KdΓ, Ω n Γ Hn N (σ A Ω c t + σ v )dω = 0. (3.27) t A mértékkel ellátott T, Φ Φ-formalizmus Ennél a potenciálformalizmusnál is T 0 rotációjaként reprezentáljuk a J 0 forrás áramsűrűséget. A T 0 Coulomb-mértéket itt sem kell előírni a mértékkel el nem látott A-formalizmusnál leírt dolgok miatt. Az ide vonatkozó egyenletek a (2.25)-ös, a (2.26)-os és a (2.27)-es. A Φ redukált mágneses skalárpotenciált használjuk a örvényárammentes Ω n és az örvényáramú Ω c résznél is. A mágneses skalárpotenciál folytonos a Γ nc peremen, a két tartomány között. A mágneses térerősséget Ω n az örvényárammentes részben és az Ω c örvényáramú résznél a következő egyenletekből kapjuk H = T 0 Φ, Ω c ben, (3.28) H = T 0 + T Φ, Ω c ben. (3.29) A mágneses térerősség tangenciális komponense folytonos, azért mert skalárpotenciált használunk, ami folytonos a két tartomány között, és azért, mert az áramvektorpotenciál T tangenciális komponense egyenlő nullával, ami azért lesz nulla mert előírunk rá egy Dirichlet tipusú határfeltételt. A mértékkel el nem látott T,Φ Φ-formalizmus egyenletei a következők: ( 1 σ T) (1 T T) + σ t Φ t = µ T 0 t, Ω c tartományban, (3.30) (µt µ Φ) = (µt 0 ), Ω c tartományban, (3.31) (µ Φ) = (µt 0 ), Ω n tartományban. (3.32) Mint már említettem kell néhány peremfeltétel a Γ nc peremre, hogy a folytonossági egyenletek teljesüljenek, és még ehhez jönnek a külső peremere felírt Γ B peremfeltételek, µ Φ = b + µt 0 n, Γ B peremen, (3.33) Φ folytonos a Γ nc peremen, (3.34) T n = 0, Γ nc peremen, (3.35) (µt 0 µ Φ) n n + (µt 0 + µt µ Φ) n c = 0, Γ nc peremen. (3.36) 18
20 Végezetül a T, Φ Φ-formalizmus gyenge alakja, ami az egyenletekből és a Neumann típusú peremfeltételekből áll a következő: [ 1 T ] ( W ( T) + µw µw Φ dω = µw Φ dω, (3.37) Ω c σ t t Ω c t ( ( N) µ T ) ( dω + ( N) µ Φ ) ( dω + ( N) µ Φ ) dω Ω c t Ω c t Ω n t ( = ( N) µ T ) ( 0 dω + ( N) µ T ) dω + N b Ω c t Ω n t Γ B t dγ. (3.38) 3.4. A különböző formalizmusok eredményei Ebben a fejezetben az előzőleg bemutatott két potenciálformalizmus, az A, V A- formalizmus, és a T, Φ Φ-formalizmus eredményeit mutatom be. Itt is annak kell kijönnie, hogy a T, Φ Φ-formalizmus a gyorsabb, és kisebb gépigényű. Sajnos itt is jelentkezik az a probléma, hogy az A, V A-formalizmus alulról közelíti a jó eredményt, míg a T, Φ Φ-formalizmus felülről, és az örvényáramú feladatnál már igen nagy gépigény szükséges a feladatot úgy megoldani, hogy a két eredmény megközelítse egymást, mint a stacionárius példánál Összehasonlítás a számítási paraméterek alapján 3.2. ábra. Számítási paraméterek A 3.2. első oszlopában látható a tetraéder rácselemek száma. Itt azért kevesebb a rácselemek száma, mint a stacionárius példánál, mert a feladatok sokkal robusztusabbak. Mindkét feladatnál ugyanazt a rácsot használtam. Az ismeretlenek számánál jól kitűnik, hogy az A, V A-formalizmusnál több ismeretlen van, annak ellenére is hogy a T,Φ Φformalizmusnál több a rácselem. Az iterációk száma önmagért beszél, nagyságrendi különbség van közöttük. A megoldás időnél is jól látszik mennyivel gyorsabb T, Φ Φ-formalizmus, még annak ellenére is hogy az ismeretlenek számában nincs hatalmas eltérés. Itt is a várt eredményeket kaptuk, vagyis a T, Φ Φ-formalizmus jobb a számítási paraméterek alapján Összehasonlítás a kapott eredmények alapján A továbbiakban a két képen az időben változó B(r, t) mágneses térerősség z-komponensét lehet látni. Itt látható a kijött eredményeknél, hogy a A, V A-formalizmus alulról 19
21 közelíti a jó megoldást, minél jobb rácsot használunk, a T,Φ Φ-formalizmus pedig felülről közelíti, fokozatosan csökken minél jobb rácsot használunk. Az ábrák a következő formalizmushoz tartoznak: A bal oldali a A, V A-formalizmusnál kijött mágneses indukció ábrája A jobb oldali a T,Φ Φ-formalizmusnál kijött mágneses indukció ábrája 2 x x B z [T] 0 B z [T] x [mm] x [mm] 3.3. ábra. Az A, V A-formalizmusnál és a T, Φ Φ-formalizmusnál a mágneses indukció De a 3.3.-as ábra jól mutatja hogy ilyen rácsnál az A, V A-formalizmus milyen messze van a jó megoldáshoz, közel fele akkora, mint amekkorának lennie kellene. Ez is jól reprezentálja azt hogy a T, Φ Φ-formalizmus gépigény szempontjából sokkal jobb, mivel az A, V A-formalizmusnál csak igen magas rácselem, és ismeretlenszám esetén kaphatunk jó megoldást. A 3.4.-es ábrán egy másik megoldás látható az A, V A- formalizmussal, viszont ennél messze magasabb volt az ismeretlenek száma, hosszabb a szimuláció ideje. 3 x B z [T] x [mm] 3.4. ábra. Az A, V A-formalizmussal a mágneses indukció, jobb rács alkalmazásával A 3.3.-as ábrán a szinuszosan változó mágneses indukciót láthatjuk. A 3.5.-ös ábrán a szinuszosan változó forrásáramsűrűség egy periódusa látható, és ezen perióduson belül, mely 20
22 pontokra oldottam a feladatot. A 3.3.-as ábránál ezen tizenegy pontnál lévő időpillanatokban van megoldva a feladat. A méretük, és alakjuk is azért ilyen különböző, mert mindegyik pontnak mások a paraméteri, vagy az időben más, vagy az amplitúdója kisebbnagyobb. A következő nyolc ábrán a nyolc különböző időpillanat látható. A kék nyilak a 3.5. ábra. A szinuszosan változó forrásáramsűrűség egy periódusa szinuszosan változó örvényáramot mutatják, a piros nyilak pedig a szinuszosan változó mágneses indukciót. Ezeken a képeken már jobban lehet látni a két térmennyiség (B és J) változását, és hogy tényleg periódikusan változnak, mert az első négy pontnak 3.6.-os ábra és a 3.7.-es ábra, elméletileg a második négy pont 3.8.-as és a 3.9.-es ábra éppen az inverze lesz ábra. Az első (pont1), és a második (pont2) pont Ha jól megnézzük tényleg kijön jól az egy periódus, mert a pont1-nek inverze a pont6, a pont4-nek inverze a pont9, és a pont5-nek inverze a pont10. A másik két ábrának is megvan a párja, a pont2-nek a pont7, és a pont8-nak a pont3. 21
23 3.7. ábra. A negyedik (pont4), és az ötödik (pont5) pont 3.8. ábra. A hatodik (pont6), és a nyolcadik (pont8) pont 3.9. ábra. A kilencedik (pont9), és a tizedik (pont10) pont A es ábrán a két kép a két különböző potenciálformalizmusnál kijött örvényáramok y-komponensét mutatja, a próbatest közepében. Az ábrák a következő formalizmushoz tartoznak: A bal oldali a A, V A-formalizmusnál kijött örvényáramot ábrája. A jobb oldali a T,Φ Φ-formalizmusnál kijött örvényáramot ábrája. A es ábrán, a két kép között a lényeges különbség hogy az A, V A-formalizmusnál sokkal kisebb lesz az örvényáram. Ennek oka ugyanaz, mint a mágneses indukciónál. 22
24 3.10. ábra. A, V A-formalizmusnál és a T, Φ Φ-formalizmusnál az örvényáramok Ezen példán keresztül jól lehet látni, hogy mennyivel jobb megoldást ad gyenge rács esetén is a T,Φ Φ-formalizmus J y [A/m 2 ] 0 J y [A/m 2 ] x [mm] x [mm] ábra. Az A, V A-formalizmusnál és a T, Φ Φ-formalizmusnál a szkin-effektus Mint már más fejezetben említettem én egy vasdarabon szimuláltam, amelynek relatív permeabilitásnak µ r = µ et vettem. A vezetőképességet σ = 5, S -nek m vettem, a szimuláció frekvenciáját pedig f = 0.01H z -nek. Azért kellett ilyen alacsony frekvenciát választanom, hogy az áramsűrűség ne szoruljon ki nagyon a peremre. A skin-mélység, vagy behatolási-mélység pontos értékének meghatározásához a következő összefüggést használjuk [6]: 1 δ = πfµσ. (3.39) 23
25 Ezen képlet alapján nálam a behatolási-mélység δ = 0, 0149m. Én csakis a frekvenciát változtattam, addig amíg olyan nagy nem lett a behatolási-mélység, aminél már nem zavaró körülmény a szkinhatás. Változtathattam volna a relatív permeabilitást is, de én ragaszkodtam hozzá hogy vasat szimuláljak. De általában az ilyen szimulációkat alumíniummal szokták végezni, mert annak a relatív permeabilitása egy, és így lehet a frekvenciát egy bizonyos határig növelni, anélkül, hogy figyelembe kellene venni a szkinhatást. A es ábrán pont ez látható, az áramsűrűség változása a vezető anyag belsejében egyenletes árameloszlás esetén. A képeken jól látható, hogy az áramsűrűség a vezető tengelyében zérus, ettől kifelé az átmérővel lineárisan nő, és a vezető anyag felületén éri el a maximális értékét. Ez a jelenség a frekvencia növekedésével egyre hangsúlyozottabb, míg a végén elérünk olyan frekvenciatartományba ahol az áramsűrűség már a felületen halad, és a vezető belsejében az áramsűrűség zérus lesz. 24
26 Irodalomjegyzék [1] Bíró Oszkár és K.R. Richter, CAD in Electromagnetism, in P.W. Hawkes, ed., Advances in Electronics and Electric Physics, Vol. 82 (Academic Press, 1991) 1-96 [2] Bíró Oszkár, Edge Element Formulations of Eddy Current Problems, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., vol. 169, 1999, pp [3] Kuczmann Miklós, Iványi Amália, Neural network based hysteresis model in electromagnetic field computation, Akadémiai Kiadó, Budapest, Lektorálás alatt. [4] Simonyi Károly, Zombory László, Elméleti Villamosságtan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2000 [5] Simonyi Károly, Villamosságtan, Akadémiai Könyvkiadó, Budapest, 1964 [6] Simonyi Károly, Műszaki fizika. Villamosságtan. II. kötet. A makro- és mikrofizika kapcsolata. Gyakorlati villamosságtan, Akadémiai Könyvkiadó, Budapest, 1957 [7] Július Saitz, Magnetic Field Analysis of Electric Machines Taking Ferromagnetic Hysteresis Into Account, Electrical Engineering Series, No. 107, Acta Polytechnica Scandinavica, Helsinki University Of Technology, 2001 [8] Iványi Amália, Folytonos és diszkrét szimulációk az elektrodinamikában, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003 [9] Dr. Standeisky István, Elektrodinamika, Universitas-Győr Kht., Győr,
Elektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
A végeselem-módszer alkalmazása a villamos forgógépek
A végeselem-módszer alkalmazása a villamos forgógépek tervezésében és szimulációjában Írta: Marcsa Dániel B.Sc. szakos villamosmérnök hallgató (Automatizálási szakirány) Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós,
= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t
4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy
-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
Végeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Megjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine
Megjegyzés a villamos gép mágneses terét leíró kifejezéshez Comment on the Expression Describing the Magnetic Field of the Electrical Machine Dr. Tóth Ferenc, Dr. zabó Loránd 2 Miskolci Egyetem, Magyarország
Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
1 kérdés. Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés
Személyes kezdőlap Villamos Gelencsér Géza Simonyi teszt 2017. május 13. szombat Teszt feladatok 2017 Előzetes megtekintés Kezdés ideje 2017. május 9., kedd, 16:54 Állapot Befejezte Befejezés dátuma 2017.
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Pótlap nem használható!
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. november 29. Neptun kód:... Pótlap nem használható! g=10 m/s 2 ; εε 0 = 8.85 10 12 F/m; μμ 0 = 4ππ 10 7 Vs/Am; cc = 3
Az elektromágneses tér energiája
Az elektromágneses tér energiája Az elektromos tér energiasűrűsége korábbról: Hasonlóképpen, a mágneses tér energiája: A tér egy adott pontjában az elektromos és mágneses terek együttes energiasűrűsége
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
Marcsa Dániel. M.Sc. szakos mechatronikus hallgató. Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi docens. Elektromágneses Terek Laboratórium
Mágneses csapágy szimulációja végeselem-módszerrel Írta: Marcsa Dániel M.Sc. szakos mechatronikus hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi docens Elektromágneses Terek Laboratórium Távközlési
Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
Vezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
Az elektromágneses indukció jelensége
Az elektromágneses indukció jelensége Korábban láttuk, hogy az elektromos áram hatására mágneses tér keletkezik (Ampère-féle gerjesztési törvény) Kérdés, hogy vajon ez megfordítható-e, és a mágneses tér
III. éves villamosmérnök (B.Sc.) szakos hallgató. Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, PhD egyetemi adjunktus. Elektromágneses Terek Laboratórium
Rádiófrekvenciás Induktivitás Vizsgálata és Fejlesztése Végeselem-módszerrel Írta: Pólik Zoltán III. éves villamosmérnök (B.Sc.) szakos hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, PhD egyetemi adjunktus Elektromágneses
6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk
Elektromos áramerősség
Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.
Gyakorlat 34A-25. kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? I o = U o R = 156 V = 1, 56 A (3.1) ezekkel a pillanatnyi értékek:
3. Gyakorlat 34-5 Egy Ω ellenállású elektromos fűtőtestre 56 V amplitúdójú váltakozó feszültséget kapcsolunk. Mekkora a fűtőtest teljesítménye? Jelölések: R = Ω, U o = 56 V fűtőtestben folyó áram amplitudója
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések 1) Maxwell-egyenletek lokális (differenciális) alakja rot H = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ H D : mágneses térerősség : elektromos megosztás B : mágneses indukció
3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
1. fejezet. Gyakorlat C-41
1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Marcsa Dániel. Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D.
Radiális mágneses csapágy számítógéppel segített tervezése és vizsgálata Írta: Marcsa Dániel végzős M.Sc. szakos mechatronikus hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi docens Elektromágneses
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D.
Rádiófrekvenciás Induktivitás Végeselemes Analízise és Fejlesztési Lehetőségei Készítette: Pólik Zoltán Villamosmérnöki (B.Sc.) szakos hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. Egyetemi docens A dolgozat
MÁGNESES TÉR, INDUKCIÓ
Egy vezetéket 2 cm átmérőjű szigetelő testre 500 menettel tekercselünk fel, 25 cm hosszúságban. Mekkora térerősség lép fel a tekercs belsejében, ha a vezetékben 5 amperes áram folyik? Mekkora a mágneses
Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
FIZIKA II. Az áram és a mágneses tér kapcsolata
Az áram és a mágneses tér kapcsolata Mágneses tér jellemzése: Mágneses térerősség: H (A/m) Mágneses indukció: B (T = Vs/m 2 ) B = μ 0 μ r H 2Seres.Istvan@gek.szie.hu Sztatikus terek Elektrosztatikus tér:
1.feladat. Megoldás: r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. 0,03 0,04.
.feladat A derékszögű koordinátarendszer origójába elhelyezünk egy q töltést. Mekkora ennek a töltésnek a 4,32 0 nagysága, ha a töltés a koordinátarendszer P(0,03;0,04)[m] pontjában E(r ) = 5,76 0 nagyságú
Elektro- és magnetosztatika, áramkörök
1. fejezet Elektro- és magnetosztatika, áramkörök Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. Vezet k, szigetel k, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika. Stacionárius áram,
A mágneses szuszceptibilitás vizsgálata
Bán Marcell ETR atonosító BAMTACT.ELTE Beadási határidő: 2012.12.13 A mágneses szuszceptibilitás vizsgálata 1.1 Mérés elve Anyagokat mágneses térbe helyezve, a tér hatására az anygban mágneses dipólusmomentum
A Preisach-modell és alkalmazása a villamosmérnöki gyakorlatban
A Preisach-modell és alkalmazása a villamosmérnöki gyakorlatban Írta: Marcsa Dániel M.Sc. szakos mechatronikus hallgató Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D. egyetemi docens Elektromágneses Terek Laboratórium
Beugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Az elektromágneses indukció jelensége
Az elektromágneses indukció jelensége Korábban láttuk, hogy az elektromos áram hatására mágneses tér keletkezik (Ampère-féle gerjesztési törvény) Kérdés, hogy vajon ez megfordítható-e, és a mágneses tér
Geometriai és hullámoptika. Utolsó módosítás: május 10..
Geometriai és hullámoptika Utolsó módosítás: 2016. május 10.. 1 Mi a fény? Részecske vagy hullám? Isaac Newton (1642-1727) Pierre de Fermat (1601-1665) Christiaan Huygens (1629-1695) Thomas Young (1773-1829)
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Mágneses szuszceptibilitás mérése
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 7. MÉRÉS Mágneses szuszceptibilitás mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 5. Szerda délelőtti csoport 1. A mérés célja Az
ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA
ÁRAMKÖRÖK SZIMULÁCIÓJA Az áramkörök szimulációja révén betekintést nyerünk azok működésébe. Meg tudjuk határozni az áramkörök válaszát különböző gerjesztésekre, különböző üzemmódokra. Végezhetők analóg
7. Mágneses szuszceptibilitás mérése
7. Mágneses szuszceptibilitás mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Mérés időpontja: 2012. 10. 25. I. A mérés célja: Egy mágneses térerősségmérő műszer
A mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása
Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett
6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)
SZÉHNYI ISTVÁN GYT LKLZOTT HNIK TNSZÉK 6. HNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár) Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa gy létrát egy
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának
MŰSZAKI FIZIKA II. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak. 2017/18 II. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ
MŰSZAKI FIZIKA II. Földtudományi mérnöki MSc mesterszak 2017/18 II. félév TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ Miskolci Egyetem Műszaki Földtudományi Kar Geofizikai és Térinformatikai Intézet A tantárgy adatlapja
Jegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz
Jegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz 2016 05 06 Tartalomjegyzék 1 A legfontosabb elõismeretek összefoglalása 3 1.1 Főbb jelölések........................................... 3 1.2 Műveletek,
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
Időben változó elektromos erőtér, az eltolási áram
őben változó elektromos erőtér, az olási áram Ha az ábrán látható, konenzátort tartalmazó áramkörbe iőben változó feszültségű áramforrást kapcsolunk, akkor az árammérő áramot mutat, annak ellenére, hogy
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13
TARTALOMJEGYZÉK EL SZÓ... 13 1. A TÖLTÉS ÉS ELEKTROMOS TERE... 15 1.1. Az elektromos töltés... 15 1.2. Az elektromos térer sség... 16 1.3. A feszültség... 18 1.4. A potenciál és a potenciálfüggvény...
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
FIZIKA II. Az áram és a mágneses tér kapcsolata
Az áram és a mágneses tér kapcsolata Mágneses tér jellemzése: Mágneses térerősség: H (A/m) Mágneses indukció: B (T) B = μ 0 μ r H 2Seres.Istvan@gek.szie.hu Sztatikus terek Elektrosztatikus tér: forrásos
Mindkét oldal divergenciáját véve, és kihasználva a másik E térre vonatkozó egyenletet, Laplace-egyenletet kapunk:
1 / 6 A TételWiki wikiből 1 Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. [1] 2 Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, elektormos polarizáció, magnetosztatika. 2.1 Vezetők [3] 2.2 Dielektrikumok
Tekercsek. Induktivitás Tekercs: induktivitást megvalósító áramköri elem. Az induktivitás definíciója: Innen:
Tekercsek Induktivitás Tekercs: induktivitást megvalósító áramköri elem. Az induktivitás definíciója: u i =-N dφ/dt=-n dφ/di di/dt=-l di/dt Innen: L=N dφ/di Ezt integrálva: L=N Φ/I A tekercs induktivitása
DIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Marcsa Dániel. Dr. Kuczmann Miklós Ph.D.
Egyfázisú és háromfázisú indukciós gép vizsgálata Írta: Marcsa Dániel III. éves Villamosmérnök B.Sc. hallgató (Automatizálási szakirány) Konzulens: Dr. Kuczmann Miklós Ph.D. egyetemi adjunktus Elektromágneses
2.) Fajlagos ellenállásuk nagysága alapján állítsd sorrendbe a következő fémeket! Kezd a legjobban vezető fémmel!
1.) Hány Coulomb töltést tartalmaz a 72 Ah ás akkumulátor? 2.) Fajlagos ellenállásuk nagysága alapján állítsd sorrendbe a következő fémeket! Kezd a legjobban vezető fémmel! a.) alumínium b.) ezüst c.)
Fizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
Hőmérsékleti sugárzás
Ideális fekete test sugárzása Hőmérsékleti sugárzás Elméleti háttér Egy ideális fekete test leírható egy egyenletes hőmérsékletű falú üreggel. A fala nemcsak kibocsát, hanem el is nyel energiát, és spektrális
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 3. MÉRÉS Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 23. Szerda délelőtti csoport 1. A
a térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
Megoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne:
3. gyakorlat 3.. Feladat: (HN 27A-2) Becsüljük meg azt a legnagyo potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömöt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
A kísérlet, mérés megnevezése célkitűzései: Váltakozó áramú körök vizsgálata, induktív ellenállás mérése, induktivitás értelmezése.
A kísérlet, mérés megnevezése célkitűzései: Váltakozó áramú körök vizsgálata, induktív ellenállás mérése, induktivitás értelmezése. Eszközszükséglet: tanulói tápegység funkcionál generátor tekercsek digitális
HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Ugyanez igaz a 13. oldalon álló (2.17) és a 14. oldalon álló (2.20) összefüggésekre.
Válasz Bíró Oszkár Professzor Úr opponensi véleményére Köszönöm Bíró Oszkár Professzor Úr alapos és gondos szakértői munkáját, építő észrevételeit, megjegyzéseit! Nagy megtiszteltetésnek élem meg, hogy
Mágneses szuszceptibilitás mérése
Mágneses szuszceptibilitás mérése (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2006. március 12. (hétfő délelőtti csoport) 1. A mérés elmélete Az anyagok külső mágneses tér hatására polarizálódnak. Általában az
Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A
Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,
Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon
Érdekes geometriai számítások 7. Folytatjuk a sorozatot. 7. Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon Korábbi dolgozatainkban már többféle módon is bemutattuk
Egy nyíllövéses feladat
1 Egy nyíllövéses feladat Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 / 1 ] Igencsak tanulságos, ezért részletesen bemutatjuk a megoldását. A feladat Egy sportíjjal nyilat
1. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye?
.. Ellenőrző kérdések megoldásai Elméleti kérdések. Milyen módszerrel ábrázolhatók a váltakozó mennyiségek, és melyiknek mi az előnye? Az ábrázolás történhet vonaldiagramban. Előnye, hogy szemléletes.
Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Robotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Lemez- és gerendaalapok méretezése
Lemez- és gerendaalapok méretezése Az alapmerevség hatása az alap hajlékony merev a talpfeszültség egyenletes széleken nagyobb a süllyedés teknıszerő egyenletes Terhelés hatása hajlékony alapok esetén
FIZIKA. Váltóáramú hálózatok, elektromágneses hullámok
Váltóáramú hálózatok, elektromágneses Váltóáramú hálózatok Maxwell egyenletek Elektromágneses Váltófeszültség (t) = B A w sinwt = sinwt maximális feszültség w= pf körfrekvencia 4 3 - - -3-4,5,,5,,5,3,35
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként
1 Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként Most megint egyik kedvenc témánkat vesszük elő. Bízunk benne, hogy az itt előforduló ismétlések szükségesek, ámde nem feleslegesek. A más módon való megoldás
A gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban
ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban Mi az az ODE? ordinary differential equation Milyen ODE megoldók vannak a MATLAB-ban? ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, stb. A részletes leírásuk
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése
Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése Végeselem-módszer (rövid bevezető) Marcsa Dániel egyetemi tanársegéd E-mail: marcsad@sze.hu http://maxwell.sze.hu/~marcsa/targyak.html Széchenyi István
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
VILLAMOS FORGÓGÉPEK. Forgó mozgás létesítése
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM HTTP://UNI.SZE.HU VILLAMOS FORGÓGÉPEK Forgó mozgás létesítése Marcsa Dániel Villamos gépek és energetika 203/204 - őszi szemeszter Elektromechanikai átalakítás Villamos rendszer