ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET

Átírás

1 ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET

2

3 Perjés Zoltán ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLET I AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST

4 Megjelent a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával ISBN Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztôk Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u Elsô magyar nyelvû kiadás: 2006 Perjés Zoltán jogutódja, 2006 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános elôadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetôen is. Printed in Hungary

5 ELŐSZÓ Einstein általános relativitáselmélete egyben a gravitáció elmélete is, amely geometriai jellegéből fakadóan a tér és idő ötvözetéből kialakult téridő szerkezetét is meghatározza. Napjainkra az általános relativitáselmélet a legszélesebb körben elterjedt, mérésekkel az öszszes többi fizikai elméletnél nagyobb pontossággal megerősített gravitációelmélet, mely alkalmas nemcsak a Földünkön, vagy a Naprendszerben tapasztalt gravitációs jelenségek pontos megmagyarázására, de az univerzumunk történetének leírására, vagy mind térben, mind pedig időben nagyon távoli extrémen relativisztikus jellemzőkkel bíró rendszerekhez kapcsolódó gravitációs effektusok magyarázatára is. Mára már tudománytörténeti tény, hogy az általános relativitáselméleti kutatásokban a 60-as évek közepén intenzív megújulás kezdődött. Ennek előkészítésében fontos szerepe volt annak, hogy az ötvenes évek végén fedezték fel az első kvazárokat és pulzárokat, valamint annak, hogy 1965-ben találták meg a mikrohullámúháttérsugárzást. Mindezeknek köszönhetően egy minden korábbinál intenzívebb kutatási korszak vette kezdetét a 60-as évek közepétől, amely nagyon sok fontos fizikai kérdés megválaszolását tette lehetővé, illetve új, még érdekesebb problémák felvetéséhez vezetett el az azt követő évtizedek során. Perjés Zoltán ennek a felívelő korszaknak aktív résztvevőjeként nemzetközileg is nagyon jelentős kutatási eredményekkel járult hozzá az általános relativitáselmélet eme impresszív fejlődéséhez. Kutatói teljesítménye kiegészítéseként nagy gondot fordított oktatói feladatok ellátására is. Számos egyetemi kurzusa mellett sok diák diplomamunkájának, illetve doktori ösztöndíjas tevékenységének volt témavezetője. Kimagasló oktatói és kutatói utánpótlást nevelő tevékenysége elismeréseként az OTKA támogatásával gravitációelméleti tudományos iskolát is beindíthatott. Jelen kötet Perjés Zoltánnak a több évtizedre visszatekintő kutatói és oktatói tevékenysége során összegyűjtött tapasztalatokra épülő, az általános relativitáselmélet alapjainak megismerését biztosító munka. v

6 Bármely bevezető jellegűkönyv megírásakor a sikeresség fokmérője lehet az, hogy az ismeretek puszta átadásán kívül sikerül-e olyan egységes új rendezőelvet, szemléletmódot is átadni, amely iránytűként szolgálhat az ismeretek elsajátítására törekvő olvasó számára. Minden könyv írójának természetes törekvése az kell legyen, hogy a munkája által kínált egyedi megvilágítás a leírni kívánt tudományterületet teljességében, egyfajta egységben jelenítse meg az olvasó számára. Perjés Zoltánnak ez a kimondatlan célkitűzés az Általános relativitáselmélet című könyv megírásakor maradéktalanul sikerült. Ez egyrészt a kiváló oktatói képességének, másrészt nem elhanyagolható mértékben az általános relativitáselméletben évtizedekig végzett nemzetközi mércével is meghatározó kutatói tevékenységének köszönhető. A szakmai jártasság, valamint az ismertetett matematikai és fizikai módszerek napi használata érződik a könyv minden fejezetéből, biztosítva ezáltal akönyv szakmai hitelességét is. Perjés Zoltán 2004-ben váratlan gyorsasággal bekövetkezett korai halála törte ketté azt a folytonosan felfeléívelő szakmai pályát, amelynek egyfajta összegzését is nyújtja ez a munka. A könyv kiadásra történő előkészítése volt tanítványaira és Perjés Zoltán családjára maradt. Ezúton szeretnék külön köszönetet mondani Vasúth Mátyásnak akézirat nyomtatásra történő előkészítésében végzett odaadó munkájáért, valamint Perjés Ildikónak az ábrák gondos előkészítéséért. Budapest, február Rácz István vi

7 Tartalomjegyzék BEVEZETÉS 1 FIZIKAI MÉRÉSEK 3 1 A GRAVITÁCIÓ, A TÉRIDŐ GEOMETRIÁJA ÉS A SZABADESÉS Kis topológia Arisztotelészi téridő Galilei-féle téridő Newtoni téridő Minkowski-téridő Einsteini téridő Távolságok mérése Görbültség A gravitáció DIFFERENCIÁLGEOMETRIAI ALAPISMERETEK Tenzorok Kilépünk a sokaság p pontjából Sokaságok leképezései Kovariáns deriválás A görbületi tenzor Metrikus geometriák A téridő modellje A GRAVITÁCIÓS EGYENLETEK Az energiaimpulzus-tenzor Energiafeltételek Az Einstein-egyenletek A geodetikus mozgástörvény Gyenge tér-közelítés vii

8 4 LIE-CSOPORTOK Egyparaméteres diffeomorfizmus-csoport n-dimenziós Lie-csoportok Transzformáció-csoportok Killing-vektor SZIMMETRIÁK AZ ÁLTALÁNOS RELATIVITÁSELMÉLETBEN Killing-mozgások Mozgásállandók Gömbszimmetrikus terek STACIONÁRIUS TÉRIDŐK Sztatikus tér Stacionárius, tengelyszimmetrikus tér A Weyl-téridők A Geroch-csoport Triádok Sajátsugár Elektrovákuum RELATIVISZTIKUS OKSÁG Lokális okság Okság és időrend A múlt ésajövő tulajdonságai Globális oksági feltételek A konformis végtelen Horizontok A függőség tartományai A SCHWARZSCHILD-TÉRIDŐ ÉS NEWTONI HATÁRESETE A Schwarzschild-téridő végtelenhelyei Geodetikus mozgás Időszerű mozgás, ε = A fényelhajlás Vöröseltolódás viii

9 8.3 A belső Schwarzschild-megoldás A KERR-TÉRIDŐ. FEKETE LYUKAK Geodetikus mozgás a Kerr-téridőben A fekete lyukak fizikája A TOMIMATSU-SATO-TÉRIDŐK SPINOROK Spinor képe a téridőben Szimmetrikus spinor kanonikus felbontása A Petrov-osztályozás Spinormezők Spinegyütthatók SU(2) spinorok A TÉRIDŐ SZINGULARITÁSAI Miképpen értelmezhető atéridő szingularitása? Geodetikus teljesség Hawking és Penrose szingularitástételei RELATIVISZTIKUS KOZMOLÓGIA Az izotrópia bizonyítékai A térbeli homogenitás bizonyítékai A Robertson Walker-modell Levezethető-e a kozmológiai elv? Homogén terek A Kasner-univerzum A Mixmaster-univerzum Kasner-korok az egységintervallumon GRAVITÁCIÓS HULLÁMOK Gravitációs hullámok a relativitáselméletben Téridők perturbációi Egzakt perturbációk és síkfrontú hullámok A gravitációs sugárzás perturbatív elmélete A kvadrupól-formula ix

10 14.5 Megmaradási törvények Az energiaveszteség Az impulzusmomentum-veszteség A kétpont-rendszerek AMÁSODIK POST-NEWTONI KÖZELÍTÉS a) A belsőzóna b) A külsőzóna A távoli hullámzóna SUGÁRZÓ KETTŐS RENDSZEREK A Hulse Taylor pulzár Függelék: Geodetikus elhajlás Függelék: Kozmológiai perturbációk A kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás Függelék: Gravitációs kezdőértékprobléma 280 IRODALOM 285 TÁRGYMUTATÓ 299 x

11 BEVEZETÉS A könyv az általános relativitáselmélet iránt mélyebben érdeklődő olvasók számára íródott, így az olvasók köre egyetemi hallgatók és természettudományokkal aktívan foglalkozó személyek közül kerülhet ki. Az első rész bevezetést nyújt az elmélet alapjaiba. A második részben a relativisztikus okságot és az Einstein-féle gravitációs egyenletek analitikus módszerekkel kezelhető megoldásait ismerjük meg. A harmadik rész a relativisztikus folyamatokban keletkező gravitációs sugárzás elméletét tekinti át. E folyamatok asztrofizikai jellegűek, és a klasszikus fizika és nem a kvantumelmélet kereteiben érthetők meg. A szükséges elméleti anyag is a klasszikus fizika része, és ezen belül az általános relativitáselméletbe tartozik. Az általános relativitáselméletet Einstein 1915-ben alkotta meg. Átvette a speciális elméletből, hogy a fénysebesség a fizikai folyamatok felső határsebessége. Bevezette az inerciarendszerek (szabadon eső vonatkoztatási rendszerek) fogalmát. A szabadesés kitüntetett jelentőségű, mert a gravitációs kölcsönhatás az anyagi minőségtől független. (Ezt Eötvös, és később Dicke nagy pontosságú mérésekkel igazolták). Ebből Einstein felismerte, hogy a gravitációs jelenségeket a tér és az idő görbült geometriája hozza létre. A jelen kötetben megtalálható a relativitáselmélet néhány olyan, késői fejleménye, amelyet így együtt egyetlen más monográfia sem tárgyal. E fejlemények között említést érdemel a relativisztikus okság rendszeres elmélete és a gravitációs sugárzási folyamatok tárgyalása a második post-newtoni közelítésben. Előbbi a fekete lyukak elméletében, utóbbi pedig az immár méréseket végzőóriási gravitációs obszervatóriumok eredményeinek feldolgozásához szükséges. Ez a kötet az Eötvös kiadó gondozásában 1999-ben megjelent egyetemi jegyzet anyagának kibővített és tovább fejlesztett anyagát tartalmazza, és az ELTE Elméleti Fizikai Tanszékén között tartott speciális előadásaimra, a mátrafüredi relativitáselméleti iskolán, a Káosz című iskolán és az aberdeeni NATO iskolán tartott előadásaim anyagára épül. Hálásan köszönöm hallgatóim figyelmét, megjegyzéseit. 1

12 Néhány gyakorlat megoldásával ellenőrizheti az Olvasó azanyag megértését. Gondot fordítottam arra, hogy ezek a gyakorlatok nagyon könnyűek legyenek. Budapest, március 8. Perjés Zoltán 2