3. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek

Átírás

1 3. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek Dr. Kallós Gábor Tartalom A prímek száma és elhelyezkedése A nagy prímszámtétel Reciprokösszegek Eratoszthenész szitája Próbaosztásos algoritmus Tökéletes számok Mersenne-prímek Fermat-teszt Pszeudoprímek Euler tétele Feladatok Történeti áttekintés A GIMPS projekt Irodalom 2

2 A prímek száma Ha véges sok prím van/lenne: közzétehetnénk egy könyvet/listát, amiben az összeset felsoroljuk, és így bármely számról könnyen eldönthető lenne a prímtulajdonság Azonban már Euklidesz is tudta a következőt: Állítás: A prímek száma végtelen Bizonyítás: Soroljuk fel őket, képezzük a szorzatukat (P), vegyük az eggyel nagyobb számot Másik bizonyítás: Euler (lásd később: 1/n sorozat összege ) Megjegyzések Ez az igazolás sajnos nem használható a prímek előállítására Kapunk új prímet (P + 1 hoz be új prímfaktort), de általában nem a következőt, pl.: ( ) + 1 = = Kérdés: Van egyáltalán olyan eset, amikor a következő prímet kapjuk? Feladatok Az euklideszi állítás nyomán szerezzünk tapasztalatokat, hogy milyen új prímek jönnek be P + 1 bevetésével ill. faktorizációval! *Ki tudjuk így tölteni a prímpalettát? (Programmal célszerű vizsgálódni.) Változat: Részszorzatokat is felhasználhatunk! Pl. (2 3) + 1, (2 5) + 1 stb. Vizsgáljuk meg a prímek eloszlását! Hány prímet találunk n-ig? Mekkora az n. prím? (Maple: isprime és ithprime függvények) (*Látunk valami szabályosságot?) 3 A prímek száma Egyszerű prímtesztelő VBA függvény 4

3 A prímek száma és elhelyezkedése A prímszámok n növekedésével egyre ritkábban fordulnak elő, eloszlásuk azonban alapvetően szabálytalan Fontos kérdés: Milyen sűrűn helyezkednek el az egészek között? Erre (a nehéz) kérdésre sokáig keresték a választ, a 18. sz. végén megsejtett eredményt (Legendre, Gauss) végül Hadamard és de la Vallée-Poussin bizonyította (1899) Jelölje p(n) a prímek számát n-ig (valós függvényként is értelmezhető, p(x), π(x)) Jelöljük p n -nel az n. prímet Tétel ( nagy prímszámtétel): π ( x) A prímek száma n-ig aszimptotikusan egyenlő n/(ln n)-nel, azaz lim = 1 x / ln x És: p n n ln n Tétel (változat 1.)*: π ( x) x = 2 dt + Ο( xe ln t A log x ) x x 2! x n! x Ebből parciális integrálással: π ( x) = n+ 1 ln x (ln x) (ln x) (ln x) Tétel (változat 2.)*: x 1 x < π ( x) < 1 + ha x > 58 és ln x 2ln x ln x 2ln x ha n > n ln n + ln ln n < pn < n ln n + ln ln n 2 2 Szemléletes jelentés: (nagyon) sok prím van Ez jó akkor, ha véletlenül akarunk igen nagy prímet találni (pl. RSA algoritmus) x 5 A prímek száma és elhelyezkedése A nagy prímszámtétel eredménye azért zseniális, mert a formula maga egyszerű, és mégis meglepően pontos Látható, hogy a különbség a két függvény között nagy, de a hányados ráközelít 1-re (az ábrán: logaritmikus skálák) Feladatok Ellenőrizzük saját programmal a közölt adatokat! Készítsünk %-os statisztikát is a prímekről! (Maple: pi(x) függvény) *Készítsünk szép ábrát a két függvényről! 6

4 A prímek száma és elhelyezkedése Fontos alkalmazás: Mekkora eséllyel lesz egy véletlenül választott nagy szám prím? Pl. 2 jegyre: 1/ln10 2 = 1/(2 ln10) 1/4,6 100 jegyre: 1/ln = 1/(100 ln10) 1/230 (Persze az esélyeink könnyen javíthatók: kizárjuk a 2-vel, 3-mal és 5-tel osztható számokat) Továbbá: A prímek között nagyon nagy távolság is lehet (példa: n! után) De: n és 2n között mindig van prím (Bertrand, Csebisev) Ugyanakkor ismertek igen nagy ikerprímek is Sejtés: Végtelen sok ikerprím van (Tudjuk: a természetes számok és a négyzetszámok is végtelen sokan vannak, de ) A poz. egészek reciprokösszege végtelen, a négyzetszámoké ellenben véges (és az 2 π összeg 2-nél kisebb, *pontosan: ) 6 Feladat: Igazoljuk ezeket az állításokat! Tétel (Euler): A prímszámok reciprokösszege végtelen Azaz: A prímszámok sűrűbben helyezkednek el, mint a négyzetszámok Feladatok Becsüljük meg a poz. egészek köbeinek reciprokösszegét! Számoltassuk ki az eredményt Maple-ben (vagy Matlabban)! *Értelmezzük! 7 A prímek száma és elhelyezkedése A számítások Maple-ben és Matlabban (Symbolic Math Toolbox) 8

5 Eratoszthenész szitája Cél: Meg kell találnunk az összes prímet n-ig Algoritmus (vázlat): lista (inicializálás), karikázás, törlés Állítás: Elég csak n -ig elmenni, mert akkor már csak prímek maradnak a listán Egyszerűsítés pl.: 2 többszöröseit már eleve nem is írjuk fel Feladat: Írjunk programot a feladat megoldására! (*Szép ábra!) Komoly probléma: nagyobb n-ekre igen nagy memóriaigényű az eljárás (!) Továbbá: n prímtulajdonságának igazolásához kb. n ciklust kell végrehajtani Nagy előny (más eljárásban még felhasználjuk): nincs az eljárásban osztás (!), és lényegében nincs benne szorzás 9 Eratoszthenész szitája Egyszerű megvalósítás Maple-ben 10

6 Próbaosztásos algoritmus Cél: Le kell választanunk egy n számból a nem túl nagy prímosztókat Ha n maga nem túl nagy, akkor ez teljes felbontást jelent, különben részleges felbontást Példa Tfh. a számunk max. egymillió (25 millió) Ha nem prím, akkor n 1000-ig lesz prímosztója (5000-ig) Szükségünk van tehát egy listára, amely 1000-ig (5000-ig) tartalmazza a prímeket, és ezekkel osztunk 168 ilyen van (669) ez könnyen tárolható Ha találunk valódi osztót, elosztjuk vele a n-t, és folytatjuk az eljárást (amíg szükséges, azaz a felbontatlan rész még nagyobb n -nél) Egyszerűsítési lehetőség Nem tároljuk el a prímeket, csak a 2-vel és 3-mal osztható számokat zárjuk ki a vizsgálatból 1000-ig ez 334 osztást jelent a 168 helyett (5000-ig: 1668 a 669 helyett) Ha egy nagy összetett szám esetében 5000-ig (néhány tízezerig) nem találunk prímosztót, akkor már nem érdemes tovább ezzel a módszerrel keresni Átlagosan kicsi az esély arra, hogy éppen csak kicsivel nagyobb legyen az első prímosztó (Nagyobb számok esetén a prímosztók vsz. eloszlását lásd később, ill. Knuth) 11 Próbaosztásos algoritmus 12

7 Próbaosztásos algoritmus Egy egyszerű megvalósítás Nézzük meg az ifactor függvényt az easy opcióval! 13 Próbaosztásos algoritmus A Matlab S. M. T. factor függvénye 14

8 Próbaosztásos algoritmus Egy egyszerű megvalósítás Excel 15 Erathoszthenész szitája és próbaosztásos algoritmus További feladatok Állítsuk elő egy saját (próbaosztásos) programunkkal a prímeket ig/10 5 -ig! Elemezzük a megtalált prímeket! Hányat találunk köztük, amelyek 4k + 1 alakúak, és hányat, amelyek 4k 1 alakúak? Milyen következtetésre jutunk ebből? (Állítás a): Végtelen sok 4k + 1 alakú prím van. Állítás b): Végtelen sok 4k 1 alakú prím van.) *Találunk/észreveszünk bármilyen mintázatot/szabályosságot az előállított prímek eloszlásában? Használjuk fel a próbaosztásos programunkat egy-egy véletlenszerűen választott 8, és 14-jegyű szám felbontására, ill. prímtulajdonságának igazolására! Próbaosztásos programunkkal bontsuk fel 100 darab egymás utáni 10-jegyű számot! Készítsünk listát a faktorokról! Hány prímet találunk a listában? (Megfelel ez az elvárt értéknek?) Hány teljes négyzetet találunk a listában? (*Megfelel ez az elvárt értéknek?) Mekkora számot tudunk teljesen faktorizálni általában a próbaosztásos algoritmussal? (Általában: pl. legalább 80% az esély) *Milyen a megtalált a prímosztók méretének az eloszlása? Hány n-nek van n 3/4 -nél, n 1/2 -nél, n 1/3 -nál nagyobb prímfaktora? *Minden n-nél vegyük a legnagyobb prímosztót (n_p_max). Írjuk le az ln(n_p_max)/ln(n) eloszlását, átlagát, szórását! [Általános eredmény (Knuth): egy n szám legnagyobb prímfaktora átlagosan n 0,63 ] 16

9 Tökéletes számok Az előzőekben megismert két (ókori) algoritmus nagy számokra lassú és nem hatékony A gyorsításhoz mélyebb számelméleti ismereteket kell szereznünk Definíció: Egy pozitív egész számot tökéletesnek nevezünk, ha egyenlő a valódi osztói összegével Az első néhány tökéletes szám: 6 = = = = Feladat: Ellenőrizzük az utolsó két egyenlőséget! (Maple: divisors függvény a numtheory csomagban) *Próbáljuk megkeresni a következő tökéletes számot! Fontos kérdések Végtelen sok tökéletes szám van? (Sejtés: igen) Van-e páratlan tökéletes szám? (Sejtés: nincs) Van-e egyszerű lehetőség a (páros) tökéletes számok generálására? (Igen) A páros tökéletes számok vajon mindig 6-ra vagy 8-ra végződnek? (Igen) 17 Tökéletes számok Az első négy tökéletes szám felbontása: 6 = 2 3; 28 = = = = = = Definíció: Legyen M(n) = 2 n 1. Mersenne-prímeknek nevezzük azokat az M(n) számokat, amelyek prímek. Így az első négy Mersenne-prím: 3, 7, 31, 127 Állítás: Ha M(n) Mersenne-prím, akkor m = 2 n 1 M(n) = 2 n 1 (2 n 1) tökéletes szám Feladatok Állítsunk elő néhány Mersenne-számot, és nézzük meg, hogy prímek-e! (Maple: mersenne fv., numtheory csomag) Mi romlik el abban az esetben az osztóknál (a tökéletes szám képletben), ha a Mersenne-szám nem prím? 18

10 Tökéletes számok Állítás (eml.): Ha M(n) Mersenne-prím, akkor m = 2 n 1 M(n) = 2 n 1 (2 n 1) tökéletes szám Bizonyítás: Ha M(n) prím, akkor m valódi osztói a következők: 1, 2, 4,, 2 n 1, M(n), 2 M(n), 2 2 M(n),, 2 n 2 M(n). A valódi osztók összege így ( n 1 ) + ( n 2 ) M(n) = (2 n 1) + (2 n 1 1) (2 n 1) = 2 n 1 (2 n 1) Így tehát minden Mersenne-prímhez tartozik egy páros tökéletes szám Ezen felül az is igaz, hogy nincs más páros tökéletes szám Állítás: Ha m páros tökéletes szám, akkor található olyan egész n, hogy m = 2 n 1 (2 n 1), és 2 n 1 prím Bizonyítás: lásd Bressoud könyv Tétel (következm.): A páros tökéletes számok pontosan azok a 2 n 1 (2 n 1) alakú számok, ahol 2 n 1 (Mersenne-)prím Feladatok Mű-tökéletes számnak nevezzük (csak házilag ) azokat a számokat, amelyek valódi osztóinak összegére valamely egyszerű szabály teljesül (pl. valódi osztói összege = önmaga 1 vagy 2) Keressünk ilyen számokat! *Milyen alakúak a megtalált számok? (Észreveszünk valamilyen szabályszerűséget?) 19 Tökéletes számok, Mersenne-prímek Kérdés: Mikor lesz M(n) prím? Állítás: Ha n összetett, akkor M(n) is összetett Bizonyítás: Legyen n = a b, ahol a és b egyaránt 1-nél nagyobb egészek. Ekkor M(n) = 2 a b 1 = (2 a ) b 1 = (2 a 1) (1 + 2 a + 2 2a (b 1) a ). Itt mindkét faktor nagyobb 1-nél. Így a problémánk arra redukálódott, hogy a prím M(p)-ket megkeressük M(2) = 3, M(3) = 7, M(5) = 31, M(7) = 127 mind prímek De: M(11) = 2047 = nem prím! M(13) = 8191, M(17) = , M(19) = mind prímek Az ezutáni Mersenne-prímeket a következő p értékekre találjuk: 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423 (1332 jegyű szám) Nagyon nagy Mersenne-számok prímtulajdonsága is hatékonyan igazolható a Lucas- Lehmer teszt segítségével 20

11 Mersenne-prímek A Lucas-Lehmer teszt (Egyelőre magyarázat nélkül) Példa: q = 3 Ekkor m = 2 q 1 = 7 A teszt lefutása: (4 2 2) mod 7 vizsgálata, ez pedig 0 Így a 7 prím Bináris számítógépeknek ez a teszt nagyon jól fekszik, mert a mod (2 q 1) számítások egyszerűen megvalósíthatók (lásd még: Knuth) A modern kor legnagyobb ismert prímszámai szinte mindig Mersenne-prímek 21 Fermat észrevétele Fermat az összetett M(p) Mersenne-számokat vizsgálta (ahol p prím), p = 23-ig Észrevette, hogy ha q M(p), akkor q mod p = 1 is teljesül! Feladat: Nézzük meg ezt M(11)-re és M(23)-ra! Nem prím p-re ez gyakran nem érvényes pl. M(4) = 15 = 3 5, M(6) = 63 = Bevezetjük a kongruenciát a b (mod m) jelentése: m (a b) vagy a mod m = b mod m (a és b ugyanahhoz a maradékosztályhoz tartoznak modulo m, a legkisebb maradék a kitüntetett) Lehet: egyszerű feladat a maradékosztályokról, pl. mod 5 A kongruencia egyszerű tulajdonságai (áll.) Ha a x (mod m) és b y (mod m) akkor a + b x + y (mod m) és a b x y (mod m) Ha lnko(x, m) = 1 és a x b x (mod m) akkor a b (mod m) Fermat észrevétele így: ha d M(p) azaz d prímek szorzata, amelyek osztják M(p)-t akkor d 1 (mod p) Sőt, d = M(p) is lehet, így 2 p 1 1 (mod p) És itt, ha p nem 2, hanem páratlan prím, akkor kapjuk: 2 p 1 1 (mod p) Ez Fermat (kis) tételének 1. változata (biz. később, egyelőre fogadjuk el) 22

12 Pszeudoprímek Eml. páratlan prímekre: 2 p 1 1 (mod p), azaz a prímekre nagyon speciális egyenlőség teljesül! És a többi számra nem Példák (Fermat-teszt): = 4 1 (mod 3), = 8 0 (mod 4), = 16 1 (mod 5), = 32 2 (mod 6), = (mod 8), = (mod 14) Feladat: Próbáljuk ki több más (kisebb) számra is! Remény: Van egy igen jó eszközünk, amellyel megkülönböztethetjük a prímeket az összetett számoktól! A hatványozás számítógéppel nagyon gyorsan elvégezhető Sajnos vannak azonban olyan összetett számok, amelyek úgy viselkednek, mint a prímek: (mod 341), ugyanakkor 341 = Definíció: Ha n páratlan összetett szám, és ugyanakkor 2 n 1 1 (mod n), akkor n-et pszeudoprímnek nevezzük Szerencsére a pszeudoprímek ritkák, így a Fermat-teszt a gyakorlatban elég magas megbízhatóságot nyújt 1000-ig csak három pszeudoprím van: 341, 561, ig pedig 245 (a prímek száma 78498) 23 Pszeudoprímek Fermat azt is észrevette, hogy nemcsak 2 lehet alap (Tétel, vált.): Ha p olyan prím, amire p b, akkor: b p 1 1 (mod p) Hasonlóan (def.): Ha n ptlan összetett szám, amire lnko(n, b) = 1, és b n 1 1 (mod n), akkor n-et b-alapú pszeudoprímnek nevezzük Így erősíthetjük az előző tesztet: Ha pl. n átmegy a 2 alapú teszten, akkor megnézzük 3, 5, alappal is A 341 pl. így már lebukik Sajnos vannak azonban olyan durván pszeudoprím összetett számok is, amelyek minden tesztet becsapnak, ha az alap relatív prím Ezeket Carmichael-féle számoknak nevezzük A legkisebb az 561 = Feladat: Próbáljuk ki, hogy az 561 átmegy a 2, 5, 7, 13 alapú teszteken! Persze nyilván a 3, 11 és 17 alapú teszten nem A Carmichael-számok nagyon (extrém) ritkák 25 milliárdig csak 2163 van belőlük *Knuth: a Carmichael-számok mindig legalább 3 kül. prím szorzatából állnak (azaz -ig biztosan találunk osztót) 3 n 24

13 Pszeudoprímek Feladatok Írjunk programot a (2, 3, alapú) pszeudoprímek meghatározására megadott határig! Keressünk a Fermat-teszt segítségével 20, 50, 100 és 200 jegyű valószínű prímeket! Írjunk programot a Carmichael-számok meghatározására megadott határig! Készítsünk statisztikákat: Mennyi a pszeudoprímek aránya a prímekhez viszonyítva adott határig? Mennyi a Carmichaelszámok aránya a prímekhez és a pszeudoprímekhez viszonyítva adott határig? Keressünk minél több 3 p q és 5 p q alakú Carmichael-számot! *Keressünk olyan (nem kicsi) Carmichael-számokat, amelyekre a próbaosztásos algoritmus nem tud könnyen osztót találni (nincs kicsi prímosztójuk)! 25 Euler tétele Definíció (Euler-féle φ függvény): Jelölje φ(n) az n-hez relatív prím pozitív egészek számát n-ig Például: φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2 Tétel: Legyenek n és b pozitív, relatív prím egészek. Ekkor b φ(n) 1 (mod n). Ha n prím, akkor φ(n) = n 1, azaz a kis Fermat tételt kapjuk Példa: 2 φ(15) = 2 8 = (mod 15) Bizonyítás: Legyen t = φ(n) és legyenek a 1, a 2,, a t azok az n-nél kisebb (különböző) poz. egészek, amelyek rel. prímek n-hez. A b a 1, b a 2,, b a t mod n maradékokat jelöljük r 1, r 2,, r t -vel. (Itt b a i r i (mod n).) Ha i és j különböző, akkor r i és r j is különböző. (Ha nem így lenne, akkor b a i b a j (mod n)-ből lnko(b, n) = 1 miatt következne a i a j (mod n), de ez nem lehet.) Az is igaz, hogy lnko(r i, n) = 1, mert valódi osztójuk a i -t is osztaná (ez szintén nem lehet). Így r 1, r 2,, r t pontosan φ(n) darab 0 és n közötti egész, amelyek rel. prímek n-hez. Eszerint ezek pontosan ugyanazok, mint a 1, a 2,, a t, csak esetleg más sorrendben. Így r 1 r 2 r t b a 1 b a 2 b a t (mod n) b r 1 b r 2 b r t (mod n) b t r 1 r 2 r t (mod n). Osztással: 1 b φ(n) (mod n). Alkalmazás: RSA titkosítás 26

14 Fermat észrevétele, feladatok Igazolások, amiket nem tanulunk (lásd Bressoud) A páros tökéletes számok utolsó jegye mindig 6 vagy 8 Fermat eredeti észrevétele Ez alapján ügyes teszt adódik a Mersenne-számokra (Eml.: Ha q M(p), akkor q mod p = 1 is teljesül) Példa: M(19) = , négyzetgyöke 724,07 Eddig kell nézni azon q prímeket, amelyekre q 1(mod 19) Ezek: 191, 229, 419, 571, 647 Ezek egyike sem osztja M(19)-et, ezért M(19) prím Feladatok Nézzük meg ugyanezt M(17)-re és M(23)-ra! Próbáljunk egy ismeretlen nagyobb Mersenne-számot is megvizsgálni! Feladatok Határozzuk meg Euler-féle φ függvény értékeit sok n-re! Milyen mintát/szabályosságokat tapasztalunk? *Igaz, hogy φ(n) mindig páros, ha n > 2? (Bizonyítsuk) A biz.-hoz: Lemma 1.: Ha lnko(m, n) = 1, akkor φ(m n) = φ(m) φ(n) Lemma 2.: Ha p prím, akkor φ(p a ) = p a 1 (p 1) Tétel: Ha n = p a1 1 p a2 2 p ar r, akkor φ(n) = p a1 1 1 (p 1 1) p a2 1 2 (p 2 1) p ar 1 r (p r 1) = = n (1 1/p 1 ) (1 1/p 2 ) (1 1/p r ) 27 Történeti áttekintés Eratoszthenész Kr. e. 3. században alkotó görög matematikus (Alexandria) Három nevezetes ókori probléma: a kör négyszögesítése, a szögharmadolás és a kockakettőzés (megoldások csak: Galois-elmélet, 1830-as évek) Elég pontosan kiszámította az egyenlítő hosszát! Marin Mersenne (17. század eleje) Prímlista: 2 p 1 prím, ha p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, a többi 257-nél kisebb értékre összetett (nem pontos! első hiba: 1870 k., Lucas) Híres idézete (1644): Ahhoz, hogy egy 15 vagy 20-jegyű számról eldöntsük, prím-e vagy sem, egy élet sem elég, akárhogy is használjuk minden tudásunkat. Fermat-prímek: 2 2 n +1 alakú prímek Fermat szerint minden n-re, de később kiderült, hogy nem (cáfolat: Euler, n = 5) Kapcsolat: szabályos sokszögek szerkeszthetősége (körosztás, nevezetes ókori probléma) Ötszög: Hippaszosz (Kr. e. 5. sz.), ekkor ismert tehát 3 2 n, 4 2 n, 5 2 n és ezek szorzatai is, tehát pl. a 15-szög Több évszázadon keresztül (csak): egyedi szerkesztések különböző sokszögekre Gauss (18. sz. vége): euklideszi szerkesztéssel a kör kerülete pontosan akkor osztható n egyenlő részre, ha n Fermat-féle prímszámok első hatványainak és a 2 hatványainak véges szorzata Megszerkeszthető tehát: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20-szög (n = 20-ig) 28

15 Történeti áttekintés Leonard Euler (18. század) A kor matematikájának minden szeletében maradandót alkotott (trigonometria, analízis, differenciál és integrálszámítás, harmad- és negyedfokú egyenletek elmélete) Tiszteletére nevezték el az e számot Mersenne-prímek Az újkortól/a modern korszakban a legnagyobb ismert prímek szinte mindig Mersenne-prímek voltak Egy-két kivételt találunk, de azok is hasonló spec. alakú számok Napjainkban is így van: jan. 25-én találták meg a 48. ilyen prímet, ez egy jegyű szám, értéke Eml.: Ezeket a számokat a CA rendszerek tudják Great internet Merssene prime search GIMPS 29 Történeti áttekintés 30

16 Történeti áttekintés Great internet Mersenne prime search 31 Ajánlott irodalom David M. Bressoud: Factorization and Primality Testing, Springer, New York, 1989 Geddes, Czapor, Labahn: Algorithms for Computer Algebra (6th pr./ed.), Kluwer Acad. Press, Boston, 1999 Joachim Gathen, Jürgen Gerhard: Modern Computer Algebra (3rd ed.), Cambridge Univ. Press, 2013 Donald E. Knuth: A számítógép-programozás művészete 2. (2. kiadás), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1994 Katona Gyula, Recski András, Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, Typotex Kiadó, Budapest, 2003 Sain Márton: Matematika-történeti ábécé, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974 Maple User Manual, Maplesoft, 2013 Matlab Symbolic Math Toolbox User s Guide, MathWorks, 2013 Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-atlas zur Mathematik, Deutscher Taschenbuch Verlag, München,