Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár

Átírás

1 Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár Matematika 5. PROGRAM általános iskola 5. osztály nyolcosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

2 Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR Szerkesztette: ZANKÓ ISTVÁNNÉ Az 1. kiadást bírálta: DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2001 Mûszaki Könyvkiadó, 2001 OM-engedélyszám: XXVIII/1408-S/2000 ISBN Azonosító szám: CAE 039 Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Abonyi Ferenc Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Ihász Viktória Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 10,01 (A/5) ív 4. kiadás Nyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft. Felelôs vezetô: Oláh Miklós

3 Tartalom ltal nos m dszertani javaslatok... 5 raterv... 6 A tanul si folyamatr l A taneszk z kr l A tananyag-feldolgoz s ltal nos szerkezete A tud spr b k feladata Szeml ltet s, eszk zhaszn lat A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l Halmazok, logika, kombinatorika Sz mtan, algebra Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok M r s, geometria Val sz n s g, statisztika A tananyag feldolgoz sa A term szetes sz mok A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslat A tananyag-feldolgoz s ttekint se Ker let, ter let, felsz n, t rfogat A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslatok A tananyag-feldolgoz s ttekint se Az eg sz sz mok A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Javasolt eszk z k s modellek Tanmenetjavaslat A tananyag-feldolgoz s ttekint se A sz gek m r se Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslat A tananyag-feldolgoz s ttekint se T rtek A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslat A tananyag-feldolgoz s ttekint se Adott tulajdons g ponthalmazok A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslat

4 A tananyag-feldolgoz s ttekint se A tizedest rtek A tananyag-feldolgoz s csom pontjai Kapcsol d si lehet s gek Tanmenetjavaslat A tananyag-feldolgoz s ttekint se sszefoglal Tanmenetjavaslat

5 LTAL NOS M DSZERTANI JAVASLATOK Az elm lt f l vsz zadban alapvet en megv ltozott a tud sr l, a m velts gr l s a k pess gr l alkotott elk pzel s nk. A tudom ny s a technika robban sszer fejl d se, a t rsadalom talakul sa a j v (s t m r a jelen) ember t l megk veteli, hogy a tanultakt l elt r en is tudjon l tni s dolgozni, n ll s konstrukt v legyen, k pes legyen folyamatosan meg julni. A korszer matematikatan t s nemcsak ( s nem els sorban) a tananyag b v t s vel, j t m k feldolgoz s val, hanem a nevel si c lrendszer jragondol s val alkalmazkodhat ezekhez a v ltoz sokhoz. Nem a matematikai gondolatok elsaj t ttat sa az els dleges c lunk, hanem a matematikai gondolkod s fejleszt se. Ez rt nagy hangs lyt kell fektetn nk a kreativit s s az alkot k pess g fejleszt s re. Megjegyezz k, hogy a kreativit sra nevel s az rt is neh z feladat, mert a pedag giai be ll totts g, amelyet megk v n, nincs sszhangban az ltal nosan elterjedt tan t si elj r sokkal, a tan r k legk nyelmesebbnek s tal n leghat konyabbnak t n fel p t si m dj val. Ugyanakkor az elm lt vek csal d sai, balsikerei arra is gyelmeztetnek benn nket, hogy nem hanyagolhatjuk el a szil rd s alkalmaz sk pes ismeretrendszer fel p t s t, a fegyelmezett gondolkod sra nevel st sem. A vizsg latok egy rtelm en bizony tott k, hogy ebben az letkorban ink bb valamivel kevesebbet kell tan tanunk, de azt alaposabban meg kell tan tanunk, be kell gyakoroltatnunk. A nevel si c lrendszer talakul sa megv ltoztatta a tan t sr l vallott felfog sunkat, a matematika r kon a tan t sr l a tanul sra tev d tt t a hangs ly. Ez a kor bbin l sokkal v ltozatosabb ravezet st, m s id beoszt st k v n. A konkr t fejleszt si feladatoknak megfelel en kell vari lnunk m dszereinket, a tanul si folyamat megszervez s t. Ebben a r szben n h ny ezzel kapcsolatos ltal nos javaslatot, gondolatot v zolunk fel. A konkr t m dszertani megold sok aj nl s val a tananyag-feldolgoz s foglalkozik. A matematikatan t s meg j t s ra val t rekv sek az elm lt vtizedekben egym st l igen k l nb z utakat, sokszor sz ls s gesen egyoldal megold sokat jel ltek ki. A pedag giai gyakorlat { az adott k r lm nyekhez igazodva { transzform lta, csiszolta, tov bbfejlesztette ezeket az elk pzel seket, sokszor az egym st l elt r ket is tv zve. Az ltalunk aj nlott program nem k t dik valamelyik speci lis pszichol giai vagy tant rgypedag giai ir nyzathoz, nem r asztal mellett sz letett, hanem a pedag giai gyakorlat t k rk pe, az 1978-as tanterv olyan jra rtelmez se, amely gyelembe veszi a gyerekek teherb r k pess g t, az orsz gos (Monitor) s nemzetk zi (IEA) felm r sek eredm nyeit, az s tantervi korrekci tapasztalatait, valamint a gyakorl pedag gusok v lem ny t (p ld ul az 1990-t l 1994-ig foly NAT-vita tanuls gait). Ez a tan t si program s a hozz kapcsol d taneszk zrendszer a Nemzeti alaptanterv gyelembev tel vel kidolgozott kerettantervre p l, annak egy lehets ges didaktikai kifejt se. A kerettanterv sokf le elt r programmal, helyi tantervvel megval s that, ez rt az ebben a k nyvben le rtak csup n m dszertani aj nl soknak tekinthet k. 5

6 raterv A matematika heti rasz ma a kerettanterv szerint minimum 4 ra. A t nyleges rasz mot az iskol k a helyi tanterv kben r gz tik. Az ssz rasz m k t r szb l tev dik ssze, a k telez rakeretb l" s a kieg sz t rakeretb l". gy 5. oszt lyban a k telez rakeretb l vi 148 ra jut a matematik ra. A kieg sz t rakeret terh re legal bb heti 1 r t ford tsunk a matematikatanul ssal kapcsolatos speci lis feladatok megold s ra, a felz rk ztat sra, a kieg sz t anyagr szek megtan t s ra, a tehets ggondoz sra, a versenyre val felk sz t sre. A Hajdu S ndor ltal szerkesztett als s fels tagozatos program, illetve taneszk z k egys ges koncepci alapj n p lnek fel. Ha az als tagozaton is ebb l a tank nyvcsal db l tanultak a tanul k, akkor l nyeg ben z kken mentes lehet a tagozatv lt s. M s als tagozatos tank nyvek eset n jelent s h zag" lehet az als s a fels tagozat tananyaga s k vetelm nyrendszere k z tt, amelyet csak gondos tervez ssel s t bb h napig tart munk val tudunk megsz ntetni. A felm r sek szerint a k vetkez gondokat tapasztalhatjuk: fejletlen a sz veg rtelmez k pess g, nem tudj k n ll an megoldani az egyszer sz veges feladatokat a tanul k bizonytalan sz mfogalom, nem k pesek a nagyobb sz mokat rtelmezni, nem tudj k br zolni a sz mokat a sz megyenesen gyakorlatlanul s pontatlanul sz molnak fejben" s r sban nem ismerik kell en a m r eszk z ket s m rt kegys geket. Als tagozatban a heti 4 ra, ak r a magyar k zoktat s m ltj t, ak r a fejlett orsz gok gyakorlat t tekintj k, olyan minimum, amelyn l kevesebb rasz mmal m r nem oldhat k meg a matematikai nevel s feladatai. Ha az als tagozatban v lasztott tank nyvek vagy a kev s rasz m miatt az als s a fels tagozatos tank nyvek nincsenek kell en sszehangolva, akkor legal bb az els f l vben szervezz nk heti 1 ra felz rk ztat foglalkoz st a kieg sz t rakeret terh re. Ennyi id f lt tlen l sz ks ges ahhoz, hogy p toljuk az als tagozatban felhalmoz dott esetleges hi nyoss gokat, hozz szoktassuk a tanul t a fels tagozat munkatemp j hoz s k vetelm nyeihez, feldolgozzuk s megnyugtat m don begyakoroltassuk az 5. oszt lyra id ar nyosan jut tananyagot. Ha nem biztos tunk kieg sz t r t az als tagozatos hi nyok p tl s ra, akkor ppen az ismeretek megalapoz s ra s begyakorl s ra nem jut id, ez rt a tanul k tud s ban mutatkoz hi nyoss gok nagyobbak lesznek, mint azt az elmaradt rasz m alapj n gondoln nk. Teh t, ha gondokat szlel nk, akkor a kieg sz t r kat ne j ismeretek tan t s ra ford tsuk, hanem felz rk ztat sra, az alapvet ismeretek begyakorl s ra, elm ly t s re. Az ratervet k t v ltozatban k sz tett k el. A v ltozat: Azoknak az oszt lyoknak k sz lt, amelyek a fent r szletezett okok miatt csak a kerettantervi minimumot k pesek feldolgozni. B v ltozat: A megfelel als tagozatos alapoz sra p tve az els k t fejezetet intenz vebben, magasabb szinten dolgozhatjuk fel, gy elegend id jut a t bbi anyagr sz alaposabb megtan t s ra. 6

7 1. Term szetes sz mok. Az als tagozatos sz mtan, algebra, illetve m r s, m rt kegys gek (kiv ve a ter let- s t rfogatsz m t st) tananyag ism tl se, rendszerez se, kieg sz t se. A B ra Felz rk ztat s a kieg sz t rakeret terh re. (+12) { ra 2. Ker let, ter let, felsz n, t rfogat. Az als tagozatos geometria ra tananyag ism tl se, rendszerez se, kieg sz t se. Felz rk ztat s a kieg sz t rakeret terh re. (+5) { ra 3. Az eg sz sz mok ra 4. A sz gek m r se. 8 8 ra Az ir nyt haszn lata. { (+2) ra 5. T rtek ra A negat v t rtek rtelmez s vel, rendez s vel, sszead s val, kivon s val csak a B v ltozatban tal lkozunk. 6. Adott tulajdons g ponthalmazok ra T vols g, mer legess g, p rhuzamoss g testek p t se, br zol sa. Szerkeszt sek. 7. A tizedest rtek. Val sz n s g, statisztika ra A negat v tizedest rtekkel csak a B v ltozatban tal lkozunk. 8. v v gi sszefoglal s ra Felm r sek, rt kel sek ra Tartal k. Az el re nem l tott didaktikai, nevel si feladatok megold s ra. 6 { ra sszesen a k telez rakeretb l: ra A fenti k t v ltozat alapj n az oszt ly tud sszintj nek s a helyi tantervnek a gyelembev tel vel alak tsuk ki saj t raterv nket. Vigy zzunk arra, hogy a m r s, geometria t mak rre legal bb 36{44 ra jusson (a koncentr ci t, a folyamatos ism tl st s az v v gi sszefoglal st is gyelembe v ve). A dolgozatokban is legal bb 25{30%-os s llyal szerepeljenek a m r ssel, illetve geometri val kapcsolatos feladatok. rdemes n h ny r t el re nem l that didaktikai, nevel si feladatok megold s ra tartal kolnunk. Az rakeret betartat sa els sorban az igazgat feladata, de sok m lhat a matematika munkak z ss g odagyel s n is. V lem ny nk szerint, a matematika fejleszt hat s r l semmilyen tetszet s indokkal nem mondhatunk le ebben az letkorban. Nem csak a k s bbi matematika s term szettudom nyos tant rgyak sikeres tanul s nak egyik el felt tele, hogy kell szintre emelj k a gyermek matematikai tud s t s k pess geit. A logikus gondolkod sra, a probl mamegold k pess gre, a kreativit sra az let minden ter let n sz ks g nk van. Az ltal nos iskol ban nem feledkezhet nk meg arr l sem, hogy a k z piskol k a matematik t olyan kulcstant rgynak tekintik, amelyre f lt tlen l odagyelnek a felv teliz gyermekek k pess geit vizsg lva. 7

8 A tanul si folyamatr l A tanul si folyamat megtervez se, a felt telek biztos t sa, a munka ir ny t sa, az el rt eredm nyek diagnosztiz l sa, rt kel se, a tapasztalt hi nyoss gok felsz mol sa igen sszetett pedag giai tev kenys g. Ez rt c lszer ttekinten nk s r szletesen elemezn nk e folyamat f zisait. Term szetesen az egyes szakaszok nem elk l n lten jelennek meg, hanem sokszor egym sba mos dnak, egym st elfedik, de mindegyiknek van valamilyen, a t bbit l k l nb z domin ns szerepe, amit az elnevez se is t kr z. A tanul snak ezt a le r s t olyan modellnek tekinthetj k, amely b r leegyszer s ti a val s gos folyamatot, m gis seg thet e folyamat megszervez s ben s ir ny t s ban. 1. El k sz t szakasz T rekedj nk arra, hogy a tanul ne k szen { k z lve { kapja az ismereteket, hanem a val s gb l, esetleg k s rletb l, t rgyi tev kenys gb l kiindulva, vagy feladatsorok feldolgoz sa sor n l ssa meg, fedezze fel azokat. A fogalom meg rt s t, az ismeretek elsaj t t s t sok s sokf le tapasztalatszerz s el zze meg. A k vetkez kben megvizsg ljuk a tapasztalatszerz s sszetev it: A tanul k el z ismeretei Egy-egy j, meg rtend fogalom, elsaj t tand ismeret el k sz t se ltal ban m r az als tagozatban elkezd dik. Gy z dj nk meg arr l, hogy az ott szerzett tapasztalatokb l mennyire eml keznek, mennyi p lt be eddigi ismereteikbe. Ezt a gy k rk pz d st" gyerekenk nt kell felt rnunk. Ne t vesszen meg benn nket az, hogy a jobbak a tapasztalatszerz s folyamat ban is el bbre vannak, mert lehet, hogy a gyeng knek nincsenek meg az alapismereteik sem. Ez a hi ny okozza sokszor a tov bbi lemarad sukat. P ld ul a t rtek rtelmez s nek, sszehasonl t s nak, rendez s nek el k sz t sekor gy z dj nk meg arr l, hogy a gyerekek megfelelnek-e az als tagozatos elv r soknak: rtik-e a t rteket kifejez f l, harmad,, 2 harmad, 3 harmad, kifejez seket el tudj k-e ll tani adott egys g eset n az egys gt rteknek s t bbsz r seiknek megfelel mennyis geket hajtogat ssal, rajzzal, sz nez ssel le tudj k-e olvasni konkr tan megjelen tett t rtek t bbf le nev t" a konkr tan el ll tott, megjelen tett t rteket tudj k-e nagys g szerint rendezni? N zz nk egy feladatot! a) M sold le a t glalapot! Sz nezd ki a fel t, 2 negyed t, 3 negyed t, harmad t, 2 harmad t, 3 harmad t, hatod t, 2 hatod t, 3 hatod t, 4 hatod t, 5 hatod t! b) A besz nezett t glalapr szek k z tt van-e azonos nagys g? c) Melyik a legkisebb, melyik a legnagyobb sz nezett r sz? A sz nez s alapj n rd fel a t rteket nagys grendben! Amelyik gyerek nem tudja az ilyen s ehhez hasonl konkr t feladatokat megoldani, annak most 5. oszt lyban kell biztos tani a sokoldal tapasztalatszerz st eszk zzel, rajzzal stb., p tolni kell a le rt elv r sokat. De ne ess nk abba a hib ba, hogy az eredm ny- 8

9 t l f ggetlen l teljesen el lr l kezdj k a t rtfogalom el k sz t s t. p ts nk a megl v tapasztalatokra, ne vesszen k rba az als tagozatban v gzett sokoldal tev kenys g. Gy z dj nk meg arr l is, hogy az el k sz t st szolg l ismeretek mennyire m k d k pesek". Konkr t feladatunkkal kapcsolatban p ld ul vizsg ljuk meg, hogy el tudj k-e ll tani adott szakasznak mint egys gnek a fel t, negyed t, harmad t, 2 harmad t stb. Ennek seg ts g vel meg tudj k-e jel lni a sz megyenesen a szakasszal el ll tott t rtek hely t? A k rnyezet k, a mindennapi let k Ebben a f zisban is ford tsunk gondot a matematika s a gyakorlat kapcsolat nak alak t s ra. rezz k azt a gyerekek, hogy az elsaj t tott ismeretekre sz ks g k van, azok j l hasznos that k a mindennapi let kben. P ld nkkal kapcsolatban felvethetj k: H ny perc alatt r haza az, akinek negyed ra, f l ra stb. kell az utaz sra? Ki r haza leghamarabb, legk s bb? Mennyi az ra f l kg, negyed kg, h romnegyed kg, m sf l kg stb. keny rnek? Tapasztalatszerz s eszk z kkel, modellekkel v gzett k s rletek sor n A munkaeszk z-haszn latr l pszichol giai s didaktikai szempontb l a m dszerek k z tt k l n is sz lesz. Most csak r viden. A munkaeszk z kkel ebben a f zisban a felfedez ismeretszerz st akarjuk szeml letileg megalapozni. Sz ks ges-e, hogy minden gyerek manipul ljon? Biztosan vannak olyan gyerekek, akiknek az el z vekben s a k rnyezet kben szerzett tapasztalataik elegend ek az j ismeretek maradand befogad s hoz. De sz mukra is hasznos lehet olyan { mindenki ltal v gzett { tev kenys g, amelyre sz ks g eset n k s bb is hivatkozni lehet. Az fejl d s ket is kedvez en befoly solhatja az sszef gg sek tudatos meggyel se, gondolati feldolgoz sa. Vigy zzunk arra, hogy az eszk zhaszn lat ne v ljon nc l v minden gyerek gondolkodva dolgozzon munk juk eredm ny r l, a fogalom, ismeret el k sz t s nek szintj r l legyen megfelel inform ci nk a lassabban gondolkod kat, a gyeng ket eszk zhaszn lat k zben is seg ts k k zbevetett k rd ssel, jabb utas t ssal. Lehet leg jussunk el od ig, hogy a gyerekek az eszk zzel el ll tott matematikai modellen felismerj k az sszef gg seket, s a maguk nyelv n fogalmazz k is meg a felfedez s ket. A megfogalmaz sukat esetleg pontos thatjuk, p ld t mutatva a logikus, szabatos, az ltal nos iskol s sz m ra is rthet matematikanyelv haszn lat ra. K l nb z vizsg latok azt mutatj k, hogy ha az el k sz t szakasz nem kell en alapos, nem adunk elegend id t a szeml leti megalapoz sra, akkor a k s bbi ismeretelsaj t t s hat sfoka alacsony lesz, a tanul k ismeretei bizonytalanok s nehezen alkalmazhat k lesznek. Ebben a szakaszban a tanul p rokban, kiscsoportokban szervezett k z s munk t javasolhatjuk. (A t rtek nagys grendj nek eszk zzel val k zvetlen el k sz t s t a tananyag le r s ban tal ljuk.) 9

10 2. Intenz v szakasz Ebben a szakaszban a tan t si ra gerinc t a kit z tt oktat si c l, a fogalom, ismeret hat rozza meg. A megoldott feladatok a matematikai modellen meggyelt sszef gg seket tartalmazz k. Az ra eleji folyamatos ism tl s, gyakorl s sor n az eddig tanultakb l tudatosan azokat az elemeket szedj k ssze, hozzuk a gyerekekben felsz nre, amelyek felt telei az j befogad s nak. Arra t rekedj nk, hogy a feladatok a tanterv k l nb z t mak reib l tartalmazz k a m r ismert legfontosabb k vetelm nyeket. Az term szetes, hogy ez a bels koncentr ci a t rgyalt t mak rrel a leger sebb. Ebben a szakaszban fogadtatjuk el, gyakoroltatjuk be a fogalommal, ismerettel kapcsolatos sz haszn latot, jel l si m dot, meg llapod sokat. Itt besz lj k meg az alapfogalmakat s alapfelt teleket, amelyeket meghat roz s, illetve bizony t s n lk l felhaszn lhatunk. A tanul si folyamat eredm nyess g t ez a szakasz befoly solja a legjobban. T rekedj nk arra, hogy lehet leg minden gyerek a maga szintj n magas intenzit ssal dolgozzon. A k l nb z m dszerek seg ts g vel tudatosan vonjuk be a gyeng bbeket is a munk ba, tegy k ket rdekeltt k pess geikre szabott megb z sokkal. Min l t bb tanul t aktiviz ljunk. gy mi is visszajelz st kapunk, s egym s tud s b l, t ved s b l is tanulhatnak. Alakuljon ki vita, aminek eredm nyek nt kitisztulhat, megfogalmaz dhat pontosan s rthet en a c lul kit z tt ismeret. Ebben a szakaszban a visszajelz s, az egyes gyerekek tud sszintj nek ismerete nagyon fontos. Ez rt alkalmazzuk a visszajelz s sokf le m dj t. Egy-egy meg rt st t kr z egyszer feladat megold sa, vagy csak egy-egy sz m, kapcsolat le r sa a kapcsolat, sszef gg s eszk zzel val megjelen t se, a matematika nyelv n val le r sa m r inform ci t jelenthet a sz munkra. Ne f lj nk a tan ri p ldamutat st l sem. Ebben a szakaszban a t bbi f zishoz k pest nagyobb szerepet kaphat a tan r k zvetlen ir ny t sa, a front lis munka". Amikor hasznosnak l tjuk, fogalmazzuk meg mi is az ismereteket, sszef gg seket. A t blai munk nk sor n mutassunk mint t az ttekinthet, rendezett feladatmegold shoz. 3. Er s t szakasz Ezt a szakaszt a mindennapi sz haszn lattal gyakorl snak is nevezhetn nk. De ez a gyakorl s nem csak a tanult matematikai elem rutinfeladatokon val egyszer alkalmaz sa, sokkal ink bb jellemz r az a t rekv s, hogy az j elem be p lj n a gyerek matematikai m velts g be. Ez rt oldassunk meg olyan feladatsorokat, amelyek visszahatnak a t bbi t mak rb l tanultakra, ugyanakkor pedig az j elem er s t s t is szolg lj k. Ebben a szakaszban jellemz a tanul k n ll, egy ni munk ja. Ezzel kapcsolatban P lya Gy rgy ezt rja A gondolkod s iskol ja c m k nyv ben: A feladatmegold s ppen olyan gyakorlati k szs g, mint mondjuk az sz s. Gyakorlati k szs geket ut nz ssal s gyakorl ssal saj t thatunk el. Ha szni szeretn nk megtanulni, ut nozzuk azokat a mozdulatokat, amelyeket m sok v geznek kez kkel l bukkal, hogy fenntarts k magukat a v z sz n n de v g l is gy tanulunk meg szni, hogy szunk. Ha feladatmegold k szs get szeretn nk szerezni, ut noznunk kell azt, ahogyan m sok oldanak meg feladatokat, de v g l is gy tanulunk meg feladatot megoldani, hogy feladatokat oldunk meg." 10

11 Mivel az j befogad s t d nt en befoly solja a r gi ismeretek mennyis ge s alkalmaz si szintje, ez rt lehet s g nk s sz ks g nk van a dierenci l sra. A tank nyv s a Matematika gyakorl feladatrendszerei lehet s get ny jtanak az j fogalmak kialak t s hoz, az ismeretek be p t s hez, dierenci lt begyakorl s hoz. 4. Alkalmaz szakasz Ebben a szakaszban m r a fogalmak, ismeretek automatikusan mozg s that k. A fogalomrendszer szil rd, gy a gyelmet nem az egyes elemek felid z se k ti le, hanem a feladatokban rejl probl ma. Az alkalmaz si szint gyerekenk nt igen k l nb z. A feladatok sokf les g vel, j l megv lasztott dierenci l m dszerrel ebben a szakaszban lehet a legjobban gyelembe venni a tanul k sz les k pess g- s tud ssk l j t. Az alkalmaz s k l nb z szintjei a tanul si folyamat el z szakaszaiban is m k dtek, hiszen mind az ismeretek befogad sa, mind a bev s se, gyakorl sa feladatok megold s n kereszt l t rt nt. A taneszk z kr l Az 5. oszt ly sz m ra a k vetkez taneszk z ket dolgoztuk ki: Matematika 1{8. Mintatanterv A kerettanterv k vetelm nyrendszer n alapul tantervi minta 1. oszt lyt l 8. oszt lyig vekre bontva, tartalmilag s pedag giailag egys ges koncepci szerint p ti fel a matematika-tananyagot. A szerz k gyelembe vett k matematikatan t sunk hagyom nyait, a fels tagozatba l p tanul k tud sszintj nek saj toss gait, az iskol k helyi tanterveinek sokf les g t (elt r rasz m, k pess g szerinti csoportbont s, gimn ziumi tagozat stb.), az orsz gos s a nemzetk zi felm r sek eredm nyeit, t bb eur pai orsz g tanterv t s tank nyveit. Ezt a tantervet a M szaki K nyvkiad k nyv form j ban vagy lemezen t r t smentesen biztos tja az iskol k sz m ra. Matematika 5. A tank nyv (alapszint) A kerettanterv ltal el rt minden olyan tananyagr szt tartalmaz, amely a tov bbtanul shoz n lk l zhetetlen, s az ltal nos matematikatud s alapja. Ezek az ismeretek nem el gs gesek ahhoz, hogy a tanul k a k z piskol ban sikeresen folytathass k tanulm nyaikat. Matematika 5. B tank nyv (b v tett v ltozat) A b v tett v ltozatot javasoljuk, ha az alapszint ismeretekn l t bbet k v nunk megta- 11

12 n tani tan tv nyainknak. Ez a v ltozat kiss b vebben s magasabb szinten t rgyalja a tananyagot, mint amit a kerettanterv el r, a k vetkez okok miatt is: A kerettanterv nem alkot egys ges, logikailag s didaktikailag h zagmentes rendszert, csup n a tananyag k z s magj t tartalmazza, amelyet mindenki sz m ra tan tanunk kell. Ez a mag" 5. oszt lyban a tananyag 80%-a. A tank nyvnek s a hozz csatlakoz taneszk z knek tartalmazniuk kell azokat az anyagr szeket, feladatt pusokat is, amelyekkel teljess tehet a tananyag. Az oszt ly k pess g nek s a matematikai tartalom egym sra p l s nek gyelembev tel vel, a helyi tanterv alapj n a szaktan r d nti el, hogy melyik tanul csoportnak hogyan eg sz ti ki a kerettanterv ltal el rt tananyagot. A tank nyv sz les s vban" dolgozza fel a tananyagot. A szerz k egyar nt gyelembe vett k a halmozottan h tr nyos helyzetben l v, az tlagos k pess g, illetve az emelt szint " program alapj n dolgoz (p ld ul gimn ziumi) oszt lyok lehet s geit, ig nyeit. Ebb l k vetkezik, hogy a k l nb z oszt lyokban nem f lt tlen l kell s lehet a teljes tank nyvet megtan tani, az sszes feladatot megoldatni. A tanul k k pess geit l f gg, hogy melyik oszt lyban mit s milyen m lys gben tan tunk meg, illetve hogy mit hagyunk ki. Matematika 4. Gyakorl Ha a tanul k az als tagozatban nem a Hajdu S ndor ltal szerkesztett tank nyvekb l tanultak, akkor a k t k l nb z koncepci szerint fel p l program sszehangol s hoz a tapasztalatok szerint legal bb 20 r val t bbet kell ford tani az v eleji ism tl sre, mint amennyit az raterv el r. Ehhez biztos t nagyon sok feladatot ez a kiadv ny. (Hasznosabb lenne, ha ezeket a feladatokat a tanul k 4. oszt lyban oldan k meg!) Matematika 5. Gyakorl Els sorban a tanultak gyakorl s t, az esetleges hi nyok p tl s t szolg lja. A tank nyvben jel lj k, hogy ezek a feladatsorok hogyan illeszkednek a tank nyv egyes alfejezeteihez. Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny Ezzel a feladatgy jtem nnyel a tehets ggondoz st k v nj k seg teni a szerz k. A j k pess g tanul inkt l fokozatosan v rjuk el az intenz vebb, magasabb szint munk t. Ez az ltal nos iskolai tagozaton az rt fontos, hogy a tanul k a nyolcoszt lyos gimn ziumba j r t rsaikkal azonos sz nvonalra juthassanak. Eszk zt r, Matematika 3{5. T bbs g ben kartonpap rb l k sz lt eszk z ket tartalmaz a 3{5. oszt lyos tank nyv anyag nak tanul s hoz. Ezeknek az eszk z knek a felhaszn l s val megszervezhet a t rgyi tev kenys gb l kiindul, ir ny tott felfedeztet tanul s, az elvont fogalmak szeml leti megalapoz sa, valamint a tanultak gyakorlati jelleg alkalmaz sa. Ehhez seg ts get ny jt az eszk zt rban megtal lhat tmutat. 12

13 T maz r felm r feladatsorok, matematika 5. oszt ly (A, B, C, D v ltozat) A Kerettantervben, illetve a Mintatantervben szerepl k vetelm nyeket fedik le ezek a feladatsorok. A felm r feladatsorok c lja, hogy a k l nb z helyi tantervek k vetelm nyei sszevethet k legyenek a Program k vetelm nyeivel ( s egym ssal). A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a t maz r feladatsorokat. Ehhez a f zethez k sz tett tan ri p ld nyok a feladatsorokon k v l a jav t si tmutat kat s az rt kel si norm kat is tartalmazz k. Olcs bb kivitelben ker lt kiad sra a C s k l n f zetben a D v ltozat. Ezekben a f zetekben a t maz r felm r sek mellett t j koz d felm r sek is tal lhat k. Ezek a v ltozatok a kereskedelmi forgalomban nem v s rolhat k meg, hivatalos megrendel sre az iskol knak k ldi meg a M szaki K nyvkiad. gy alkalmasak a t nyleges min s t dolgozatok meg rat s ra. Ezekhez a v ltozatokhoz egy tan ri p ld ny tartozik. Matematika 5. tank nyv feladatainak megold sa A tanul k otthoni munk j nak nellen rz s t seg t kiadv ny. Tanuljunk egy tt! Azoknak a sz l knek k sz lt, akik seg teni szeretn nek a fels tagozatba l p gyermekeiknek a matematikatanul sban. Tanulm nyoz s val a sz l k (m r az als tagozatosok i is!) t j koz dhatnak arr l, mit, hogyan s mi rt tanulnak ebben a tan vben gyermekeik, s mi lehet a seg ts g hat kony m dja. A pedag gusok sz m ra az egyes anyagr szek tan t s hoz tant rgy-pedag giai s pszichol giai indokl st is tartalmaz. A tananyag-feldolgoz s ltal nos szerkezete Tekints k t, hogy az el z r szben bemutatott tanul si modell hogyan t kr z dik a tank nyv fel p t s ben. 1. Az ismeretelsaj t t s el k sz t se A tank nyv a legt bb t mak rben az als tagozatban tanultakb l indul ki. Az ott megoldottakhoz hasonl feladatokkal eleven tj k f l a kor bbi ismereteket, k sz tj k el az j ismeretek tanul s t. Mivel ebben a szakaszban f szerepet kaphat a tapasztalatszerz, felfedez tev kenys g, ilyen jelleg feladatsorok is tartoznak ezekhez a bevezet r szekhez. Az als tagozatos alapokt l f gg en ez a szakasz 1{4 ra tananyag t foglalhatja mag ban. Ha ezt a tapasztalatszerz st valamilyen okb l elnagyoljuk, akkor az nemcsak a k vetkez r k siker t vesz lyezteti, hanem vekre g tolhatja az eredm nyes munk t. Vizsg lataink egy rtelm en kimutatt k ezt p ld ul a negat v sz mokkal v gzett m veletek s a t rgeometria tan t s n l. El fordulhat, hogy a tulajdonk ppeni el k sz t s t bb t mak r n kereszt l, hossz ideig 13

14 folyik, s esetleg a tov bbi l pcs fokokra csak a k vetkez vekben l p a tanul. gy oldjuk meg p ld ul az egyenletek, a geometriai transzform ci k, a f ggv nyek tan t s t. 2. Az aktu lis tananyag feldolgoz sa A tan t si gyakorlat s az elm leti megfontol sok egyar nt azt t masztj k al, hogy a viszonylag k tetlen felfedez tev kenys get egy ir ny tottabb, c lrat r bb tanul si folyamatnak kell k vetnie, amelynek sor n a tanul tudatos tja a meggyelt sszef gg seket, elsaj t tja a fogalmakat, jel l seket, megtanulja p ld ul a szerkeszt si, sz mol si elj r sokat stb. Ehhez a tanul si szakaszhoz kapcsol dnak a tank nyv kidolgozott s magyar zatokkal ell tott mintap ld i. Ezek r gz tik azokat az ismereteket, amelyeket az el z tapasztalatszerz szakaszban a tanul k n ll an felismertek, s amelyeket minden tanul nak el kell saj t tania. Az elsaj t tand tananyagot a tank nyv t m ren, a fontoss gi fokozatokat nyomdatechnikailag megk l nb ztetve tartalmazza. 3. A tanultak megszil rd t sa, begyakoroltat sa Az elsaj t tott ismereteket nem el g meg rteni, azok gy p lhetnek be a tanul tud srendszer be, ha a legk l nb z bb feladathelyzetekben ism telten alkalmazza azokat. A tanul s s felejt s t rv nyei szerint a gyakorl st nem szabad k s bbi id pontra halasztani, mivel az els napokban a leggyorsabb a felejt s a gyakorl s kezdeti szakasz ban a tanult fogalomnak, sszef gg snek, elj r snak viszonylag szembet n en kell a feladatokban megjelenni k, s csak fokozatosan v lhatnak bonyolultabb a probl m k. Ez rt vannak a fejezetek v g n matematikailag rdektelen", de a tanultak megszil rd t s hoz n lk l zhetetlen gyakorlatok. 4. A tanultak be p t se a tanul matematikai m velts g be A tan r s a tanul sz m ra is nyomaszt, ha a tanultak begyakorl sa n lk l l p nk tov bb. A nem kell en szil rd ismereteket a k vetkez anyagr szek kis prik", de az j ismeretek megtanul sa is egyre rem nytelenebb v lik a bizonytalan alapoz s miatt. Ugyanakkor a tananyag el g nagy ahhoz, hogy ne id zhess nk tetsz leges ideig egyegy anyagr szn l. (Ez a tanul k sz m ra is el bb-ut bb rdektelenn v lna!) Ezt az ellentmond st a tanultak folyamatos ism tl s vel, sszesz v s vel", az anyagr szek k zti koncentr ci megteremt s vel pr b ljuk megoldani. A tanultak l nyeg ben minden k s bbi fejezetben jra s jra megjelennek, hol az rt, hogy az j ismerethez kapcsolva kieg sz ts k, ltal nos tsuk azokat, hol eszk zk nt alkalmazzuk ket az j ismeret, sszef gg s felt r s n l. Az alapvet c l a komplex, rugalmas s alkalmaz sk pes ismeretrendszer kialak t sa. A folyamatos ism tl s s a koncentr l s lehet s geire minden t mak r feldolgoz s n l 14

15 r szletesen kit r a program az rt, hogy a konkr t oszt lynak megfelel tartalommal s szinten tervezhess k meg azt. A tud spr b k feladata A pedag gia az rt kel s h rom funkci j t k l nb zteti meg: A diagnosztikus rt kel s sor n tud selemenk nt vizsg ljuk, hogy a kor bban tanultakb l mire p thet nk, milyen hi nyoss gokat kell p tolnunk, hogyan szervezz k meg az ism tl st, illetve felz rk ztat st. A diagnosztikus rt kel s eset n nem oszt lyozzuk a tanul t. A fejleszt rt kel s nemcsak motiv lja s ir ny tja a tanul si folyamatot, hanem a sikeres tanul s el felt tele. L nyege, hogy a tanul folyamatos visszajelz st kapjon munk j r l, eredm nyeir l. Az ir ny tott felfedeztet tanul s a tanul n ll munk j ra p l, ez rt a fejleszt rt kel sben is el t rbe ker l az n rt kel s. A tank nyvben ezt egyr szt gy oldjuk meg, hogy jel lj k a feladatok neh zs gi fok t, tud spr b kat iktattunk be, m sr szt k l n k nyvben megjelentetj k a tank nyv feladatainak megold s t. gy a tanul n ll an is ellen rizheti teljes tm ny t. A tank nyv tud spr b i, illetve a Matematika 5. Gyakorl 10. fejezet nek t maz r feladatsorai is fejleszt rt kel s c lj b l k sz ltek. A fejleszt rt kel s sor n ltal ban nem oszt lyozunk. A min s t rt kel s egy-egy anyagr sz lez r sa ut n ellen rzi s min s ti a tanul tud s t, teljes tm ny t. Ezt a c lt szolg lj k p ld ul a T maz r felm r feladatsorok c m f zetek. Szeml ltet s, eszk zhaszn lat A szeml ltet s, szeml letess g si pedag giai alapelv. A matematikatan t s fejl d s vel a szeml ltet s eszk zei s m dszerei is fejl dtek. 1. Az el re elk sz tett rajzokkal, eszk z kkel t rt n szeml ltet s Ha az elk sz t s folyamat t nem k v njuk szeml ltetni, akkor egyszer bb sszef gg sek bemutat s ra ez a m dszer a legalkalmasabb. (Gondoljunk p ld ul a tank nyvi br kra.) 2. A tanul el tt megszerkesztett, fel p tett br k s eszk z k Ide sorolhatjuk a t bb transzparensb l fel p thet, r svet t vel bemutathat br kat is. El ny k, hogy a tan r elk pzel sei szerint, a pillanatnyi pedag giai helyzetnek megfelel en alkalmazhat k. 3. Az oktat lm s a videoszeml ltet s modernebb v ltozatai Az el z m dszerek k z s fogyat koss ga, hogy a tanul viszonylag passz van vesz r szt az ismeretszerz folyamatban. Mindig arra gyel, amire gyelm t ir ny tj k, a tan r mutat r arra, amit szre kell vennie, nem akadhat fenn az esetleges buktat kon. Mivel az ismeretszerz s nem n ll munka eredm nye, az ismeretet nem rzi mag nak, 15

16 nem r lhet a saj t sikereinek, ez rt rzelmileg nem k t dik a tanultakhoz. Ha valamit nem rt meg, vagy rosszul gyel meg, ltal ban szre sem veszi, sem, sem a tan r. Az el z ekben felsorolt m dszereknek m sik hib ja az, hogy viszonylag r vid id alatt jut el a tan r a fogalom, elj r s, sszef gg s bemutat s t l, szeml ltet s t l az absztrakci ig. Ez rt a korszer matematikatan t s arra t rekszik, hogy a szeml ltet eszk z ket, modelleket a tanul kez be adja. Ez a m dszer olyankor is c lravezet, amikor az el z szeml ltet si m dok nem hat konyak. Az eszk z ket k l nb z didaktikai c llal adhatjuk a gyerekek kez be. j ismeretek szeml leti megalapoz sa Ennek a m dszernek a pszichol giai h tter t Piaget vizsg latai t rt k fel. Ezek szerint az absztrakt fogalmak a gyakorlati tev kenys gb l fokozatosan bels v v lva alakulnak ki. Piaget eredm nyeit Dienes Zolt n fejlesztette tov bb a matematikatan t sra, s Varga Tam s honos totta meg n lunk. A t rgyi tev kenys gb l, k s rletekb l kiindul felfedeztet tanul st els sorban az eg sz sz mok, a t rtek, a felsz n- s a t rfogatsz m t s, valamint az adott tulajdons g ponthalmazok tan t s n l javasoljuk. A k s rleteink s felm r seink szerint ezekben a t mak r kben t dik oszt lyban m s m dszerrel igen csek ly eredm nyre sz m thatunk. Vizsg latainkb l az is kit nt, hogy nmag ban a szabad j t kon" alapul manipul lgat s nem vezet el a matematikai fogalomalkot shoz. Didaktikailag l p sr l l p sre ki kell dolgoznunk ezt az utat. A tank nyvben ezt meg is tett k, s a program k s bbi fejezeteiben, a konkr t tananyag saj toss gait gyelembe v ve foglalkozunk az eszk zhaszn lat lehet s geivel. Ez rt itt csak v zlatosan tekintj k t a t rgyi tev kenys gb l kiindul felfedeztet tanul s ltal nos modellj t: 1. szakasz A tanul t bbf le eszk zzel (modellel) ismerkedik meg. Ezekkel j t kos feladatokat megoldva tev kenykedik. A k s rleteit s a meggyel seit l nyeg ben nem ir ny tjuk. Ehhez az alapoz szakaszhoz sorolhatjuk, hogy t bb t mak rben m r az anyag tan t s t megel z vekben elkezdik a meggyel seket, a tapasztalatgy jt st a gyerekek. Ebben a szakaszban j l bev lt a kiscsoportos foglalkoz s vagy a tanul p rban v gzett tev kenys g. gy a tanul k k zvetlen l elleshetik egym st l az eszk zhaszn lat fort lyait, seg thetnek egym snak, kicser lhetik tapasztalataikat, sejt seket fogalmazhatnak meg, azt megvitathatj k stb. 2. szakasz A k s rletek ir ny tott v lnak, s a meggyel seket rtelmezik a tanul k. A k l nb z modellekkel (p ld ul az ad ss gc dula{k szp nz modellel, illetve a kisaut s modellel) n ll an tev kenykedve szreveszik a k z s von sokat, felismerik az sszef gg seket. Ennek a szakasznak a lez r sak nt hasznos lehet a front lis tev kenys g. A tan ri demonstr ci val p rhuzamosan a tanul k is elv gzik a k s rleteket. K z sen elemzik a tapasztaltakat, meg llapodnak abban, hogy az eredm nyeket hogyan ford thatj k le a matematika nyelv re stb. 16

17 3. szakasz A tanul k nem az eszk zhaszn lathoz kapcsol dva kapj k a feladatokat. A matematikai probl m t sz ks g eset n konkretiz lj k, s seg deszk zk nt alkalmazz k azt a modellt, amelyre legink bb tudnak t maszkodni. A tev kenys g egyre ink bb bels v v lik, a t nyleges eszk zhaszn latot felv lthatja a rajzos modell, az eszk z elk pzel se stb. m semmik pp sem c lszer er ltetni az eszk zhaszn lat n lk li munk t. A tanul mag t l tolja f lre az eszk zt, ha m r an lk l is boldogul, de n veli a biztons g rzet t, ha tudja, hogy b rmikor ellen rizheti az eredm nyt az eszk zzel. Ebben a szakaszban a dierenci lt egy ni munk t javasoljuk. 4. szakasz A tanul kban kialakult az j ismeretrendszer. A tev kenys g teljesen bels v v lt. Az ismeretek alkalmaz s hoz, illetve a megold sok ellen rz s hez nem ig nyli az eszk z k haszn lat t. Az j fogalmak a tov bbi ismeretszerz folyamatban m r eszk zk nt szerepelhetnek. Elvont probl m k megk zel t se szeml letes modellel A m r megszil rdult ismeretrendszerhez kapcsol dva is megfogalmazhatunk olyan feladatokat, amelyek elvonts guk, bonyolults guk miatt modellez s n lk l megk zel thetetlenek a tanul k sz m ra. t dik oszt lyban a k vetkez t mak r kben tal lkozhatnak ilyen feladatokkal: Kombinatorika. A sz mk rty k, sz v sz ldarabok t nyleges rakosgat sa a tanul k mintegy fel nek seg ts get jelent a rajzzal szemben. S kidomok csoportos t sa k l nb z szempontok szerint. A s kgeometriai modellez k szletet c lszer kieg sz teni tov bbi s kidomokkal. A der ksz g koordin ta-rendszer modellez se lyukast bl val. Sokkal dinamikusabb s hat konyabb tehetj k a munk t, ha rajzolgat s helyett az eszk z ket haszn lj k a tanul k. Olyanok is n ll an tev kenykedve kapcsol dnak be a munk ba, akik a rajzzal csak nagyon lassan s bizonytalanul boldogulnak. T rgeometria. A t relemek egym shoz val viszony val, a testek h l j nak elk sz t s vel kapcsolatos feladatokat modellez s n lk l nem k pes megoldani a ves tanul. Ha a tan r kihagyja ezeket a foglalkoz sokat, akkor a k s bbi vekben egyre nehezebben tudja bep tolni az itt elszalasztott alkalmakat. T rszeml letet csak t nyleges t rbeli tev kenys ggel alak thatunk ki. (Ezt a k rd ses anyagr szekn l jra s jra hangs lyozni fogjuk!) Gyakorlati tev kenys g matematikai jellemz se A matematikatan t s fontos feladata a gyakorlatra nevel s, bele rtve a zika, technika, k mia stb. tanul s nak matematikai megalapoz s t. Ezzel kapcsolatban p ld ul a k vetkez t mak r kben sz ks ges k l nb z eszk z k haszn lata: M r sek. K l nb z t rgyak hossz s g nak, ter let nek, t rfogat nak, rtartalm nak m r se, meghat roz sa. T vols g- s sz gm r s terepen. Id m r s. 17

18 Testek br zol sa (el ln zete, fel ln zete, oldaln zete). Val sz n s gi k s rletek. Az ezekhez a t mak r kh z tartoz feladatokban az a k z s, hogy a tanul nak meg kell tal lnia a gyakorlati feladatnak megfelel matematikai eszk zt, azt alkalmazva megoldja a gyakorlati probl m t gy, hogy k zben a matematikai fogalomrendszere s eszk zt ra is jelent sen b v l s alkalmazhat bb v lik. Figyelj k meg a k l nbs get a tan ri magyar zattal k s rt bemutat ssal szemben: a tanul maga tervezi meg a k s rletet, m r, sszehasonl t, ellen rzi az eredm nyt. A k szen kapott magyar zattal szemben r h rul a probl ma megold sa. n ll an j n r arra, amit tan tani akarunk neki, ez rt siker lm nye van, mag nak rzi a felfedezett ismeretet. K zben az vek folyam n fokozatosan kialakul az a k pess ge, amelynek birtok ban n ll an is v gig tudja j rni az ismeretek felfedez s nek, a szokatlan probl m k megold s nak az tj t. 18

19 A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l Ebben a r szben a tantervi t mak r ket k vetve fogalmazunk meg aj nl sokat a tananyaggal, illetve a k vetelm nyekkel kapcsolatosan. Els sorban azokkal az anyagr szekkel foglalkozunk r szletesebben, amelyeket a tank nyvben nem n ll fejezetk nt, hanem a t bbi anyagr sszel sszesz ve" dolgozunk fel (halmazok, logika rel ci k, f ggv nyek, sorozatok kombinatorika, val sz n s g, statisztika). Nagyon fontos, hogy eg sz vre el re tgondoljuk, hogyan oldhatjuk meg sikeresen ezeknek a t mak r knek a tan t s t gy, hogy k zben az aktu lis tananyag tan t s ra helyezz k a hangs lyt. Tananyag Kerettanterv ltal el rt tananyag K vetelm nyekhez kapcsol d anyag A tov bbhalad s felt telei Vegy k gyelembe, hogy tlagos vagy az tlagosn l jobb oszt lyban a tananyag ltal ban b vebb lehet, mint amit a k vetelm nyekben el runk. A t rzsanyaghoz tartozhatnak olyan anyagr szek, amelyekkel f lt tlen l c lszer foglalkoznunk, hogy kell en el k sz ts k a k s bbi munk t, de amelyeket m g nem k vetel nk meg tanul inkt l. M s, a t rzsanyaghoz nem tartoz anyagr szekkel csak sz nezz k" a tan t st. A helyi tantervben a 4., az 5. s a 6. oszt lyra vonatkoz k vetelm nyeket, az als tagozatos munkak z ss ggel k z sen, mint egys ges k vetelm nyrendszert c lszer kidolgoznunk. Egyr szt az als tagozatos koll g knak is vil gosan l tniuk kell, hogy 5. s 6. oszt lyban mire szeretn nk p teni, mivel nem k v nunk m r foglalkozni, melyek lesznek a fejleszt s f ir nyai stb. M sr szt a fels tagozatos szaktan rnak is tiszt ban kell lennie azzal, hogy mit, milyen m lys gben tan that meg az als tagozat. Csak gy ker lhet k el az tmenetb l fakad neh zs gek s ellentmond sok. Az egys ges koncepci szerint kidolgozott tananyagot s k vetelm nyrendszert a Matematika 1{8. Mintatanterv tartalmazza. Ezt a kiadv nyt k nyv alakban vagy lemezen minden iskol nak t r t smentesen biztos tja a M szaki K nyvkiad. Halmazok, logika, kombinatorika A Gondolkod si m dszerek" c men sszefoglalt k vetelm nyekhez kapcsol d anyagr szek. Fels tagozatban nem tan tunk halmazelm letet, hanem a tanul kban halmazszeml letet akarunk kialak tani, fejleszteni gy, hogy eszk zk nt haszn ljuk a t bbi t mak rrel kapcsolatos feladatok megold s hoz, az j ismeretek kialak t s hoz s a gondolkod si k pess gek fejleszt s hez. Erre a t mak rre k l n sen igaz az, hogy nem elszigetelten, nem k l n tan tjuk, hanem a t bbibe be p lve. P ldaanyaga kiterjed a teljes ltal nos iskolai matematik ra, seg t a t m k sszesz v s ben", az egys gesebb matematikai szeml let alak t s ban. Ez rt nem is lehet meghat rozni, hogy az egy-egy tan vre, 19

20 vfolyamra sz nt matematika r k h ny sz zal k t ford tjuk a halmaz, logika t mak r tan t s ra, a tanultak alkalmaz s ra. Lehet hogy f t mak nt, egyetlen r ban sem foglalkozunk vele, de alig van olyan anyagr sz, amely ne ig nyelne valamilyen szint halmazelm letet. K l n sen a folyamatos ism tl s s az ismeretek rendszerez se ad sok lehet s get a halmazelm leti s logikai ismeretek gyakorl s ra, alkalmaz s ra. Tan t si tapasztalatok, felm r si eredm nyek alapj n { e t mak r kapcs n { szeretn nk felh vni a gyelmet n h ny olyan gondolatra, amelyet a tanul k f lre rthetnek. A halmaz fogalm r l: M r als tagozatban is haszn ljuk a halmaz", az elem", az eleme" fogalmakat. Ezeket nem deni ljuk, alapfogalmak. A gyerekben a konkr t feladatok megold sa sor n alakulnak ki ezek a fogalmak. A halmaz" elnevez sr l: gyelj nk arra, hogy nem az elnevez sen van a hangs ly. A halmaz sz sok esetben el is hagyhat vagy m s sz val helyettes thet. P ld ul a 10-n l kisebb term szetes sz mok" megfogalmaz s a halmaz" sz n lk l is a 0, 1, 2,, 8, 9 sz mok sszess g t jelenti. A geometri ban sok esetben a halmaz helyett alakzatr l besz lhet nk. A jel l sekr l: A halmazokat nagybet vel szok s jel lni. A halmaz elemeit kapcsos z r jelbe tessz k. P ld ul: A = f g. Halmazok szeml ltet s re gyakran haszn lunk br kat. K rbe, t glalapba, egy b s kidomba rjuk, rajzoljuk a halmaz elemeit (Venn-diagram). P ld ul: H = f10-n l kisebb term szetes sz mg. Most H az alaphalmaz, vagyis a sz ba j het dolgok halmaza. A halmaz br n mindig jel lj k az alaphalmazt. Az alaphalmazon bel l egy z rt g rbe k t halmazt szeml ltet. P ld ul: B = ft rzssz mg s C = fnem t rzssz mg (a H alaphalmazon bel l). A B s a C egym snak kieg sz t (komplementer) halmazai. Az res halmaz jele:. Ezt a jel l st t dikben, hatodikban nem c lszer haszn lni. Ugyanis az res halmaz fogalm t legt bbsz r a nyitott mondatok igazs ghalmaz val kapcsolatosan alkalmazzuk, s a gyerek k nnyen keverheti azzal az esettel, amikor x = 0 a megold s. Vigy zzunk arra, hogy a gyerekek ne azonos ts k a jel l st a halmazzal. A felsorolt sz mok akkor is halmazt alkotnak, ha elhagyjuk a kapcsos z r jelet vagy nem diagramban br zoljuk. Ez rt fontos, hogy m s jel l st, illetve szeml ltet st is alkalmazzunk, p ld ul t bl zatot, sz megyenest: 20 T rzssz m Nem t rzssz m H B C

21 A halmaz megad s r l: Egy halmaz megad sa elemeinek a megad s t jelenti. A halmazt { egyszer esetben { megadhatjuk elemeinek felsorol s val. P ld ul: D = f g. (Minden elemet csak egyszer runk le.) A halmazt megadhatjuk olyan tulajdons ggal, k v nt elemeket jel li ki. P ld ul: D = fegyjegy n gyzetsz mg. amely egy alaphalmazb l pontosan a Nem minden halmaz adhat meg elemeinek felsorol s val s tulajdons g megfogalmaz s val. P ld ul: K = fn gyzetsz mg. Ez a halmaz v gtelen, az sszes elem felsorol s val nem adhat meg. Ha nem okoz f lre rt st, akkor elkezdhetj k az elemek felsorol s t, s pontoz ssal jel lhetj k azt, hogy v gtelen sok elem van: K = f g. Nehezen adhat meg tulajdons ggal p ld ul az F = fmagyarorsz g, Budapest, Margit h dg halmaz. Ha k t halmaznak ugyanazok az elemei, akkor azok egyenl k. A m sf le sorrend vagy m sf le alak nem teszi m ss a halmazt. A kombinatorikai feladatok megold sakor is alig l p nk t l az als tagozatos tananyagon s k vetelm nyeken. A tank nyvben nincs feldolgozva a kombinatorik val kapcsolatos ismeretanyag. Ennek oka, hogy 5. oszt lyban nem lehet c lunk a kombinatorikai feladatok megold si m dj nak mechanikus megad sa, m g kev sb, hogy az elm leti h tt rrel foglalkozzunk. Konkr t feladatokkal s a benn k rejl utas t sokkal szeretn nk el rni, hogy fejl dj n a gyerekek kombinatorikus szeml lete, merjenek belev gni olyan feladatok megold s ba is, amelyek sz mukra jszer ek, szokatlanok, esetleg nem is szorosan a matematika vil g b l val k. Fejl dj n benn k a t bb megold s keres s nek ig nye. A feladatok megold sa sor n bizonyosodjanak meg arr l, hogy valamennyi lehet s get megtal lt k. Ez az ig ny igen hasznos p ld ul a geometriai szerkeszt sek megold s ban. A kombinatorikus feladatokban a lehet s gek sz m t keress k adott felt telek mellett. Az els egy-k t lehet s g megtal l sa bizony thatja, hogy a gyerek meg rtette a feladatot, rti a felt teleket. Az sszes eset megkeres sekor c lszer valamilyen rend szerint dolgozni. gy k nnyebben tl that, hogy nem ism tl dik-e vagy nem hi nyzik-e valamelyik lehet s g. Rendez si forma lehet a fadiagram k sz t se. A k sz fadiagramr l gy olvassuk le a lehet s geket, hogy az gakon v gigmegy nk. Annyi eset van, ah ny gv gz d s. Rendez si forma lehet a lehet s gek t bl zatos elrendez se. A feladatok megold s nak le r sakor alkalmaztuk ezeket a form kat is. Egy-egy rendez si forma seg t abban is, hogy a gyerekek szrevegy k a k l nb z tartalm feladatokban a k z s matematikai gondolatot. A kombinatorikai feladatok megold sa sok lehet s get ad a t bbi t mak r tananyag nak 21

22 meg rt s hez, az ismeretek alkalmaz s nak sz nes t s hez, m ly t s hez, a t m k sszesz v s hez. K l n is megeml tj k a kombinatorika s a szorz s rtelmez s nek kapcsolat t. A szorz st legt bbsz r gy rtelmezz k, mint azonos tagok sszead s t. A szorz snak egy m sik rtelme k t halmaz elemeib l alkothat p rok sz m nak meghat roz sa. P ld ul a Tk feladatban az egyik halmaz h rom k l nb z szoknya, a m sik halmaz n gy k l nb z bl z. A p ros t s { a fel lt z s { lehet s g nek sz ma: 3 4 = 12. Lehet, hogy m r 5. oszt lyban is vannak olyan gyerekek, akiknek nincs sz ks g k az sszes lehet s g felsorol s ra, hanem az sszef gg st l tva szorz ssal is ki tudj k sz m tani az esetek sz m t. Arr l azonban m g gy z dj nk meg, rti-e, hogy mi rt oldhat meg a feladat egyszer en szorz ssal. A gyerek ltal elmondott indokl s a t bbiek sz m ra is hasznos, lehet hogy hasznosabb, mint a tan ri magyar zat. A k vetelm nyekr l: Term szetes, hogy az als tagozatos elv r sok 5. oszt lyban is rv nyesek. A t mak r szeml letform l szerepe s eszk zjellege miatt azok a csom pontok, tev kenys gek, feladatf les gek, amelyekkel a tanul k als tagozatban tal lkoztak, az 5. oszt lyos tanterv tananyag ban s k vetelm nyeiben is megfogalmaz dnak, esetleg egy-egy felt tellel b v tve. Ezek k z l a leggyakoribbakr l r szletesebben sz lunk. Az als tagozatos s az t dik oszt lyos k vetelm nyek k zti k l nbs g els sorban nem a halmazelm leti, logikai s kombinatorikai ismeretek kib v t s vel fogalmazhat meg, hanem azzal, hogy ezeknek a (kor bban tanult) ismereteknek a biztosabb tud s t, elvontabb, sszetettebb feladatokban t rt n alkalmaz s t v rjuk el. Amit kor bban csak a jobbakt l v rtunk el, az most m r minimumk vetelm ny, vagy amit k t halmaz eset ben vizsg ltunk, azt most t bb halmazra is megn zz k stb. B v l az alkalmaz s ter lete is. Sz mtan, algebra A sz mtan, algebra tananyagot a tank nyv 1., 3., 5. s 7. fejezete t rgyalja. A tananyaggal kapcsolatos r szletes aj nl sainkat ezen fejezetek m dszertani feldolgoz s ban ismertetj k. Ez a t mak r a tananyag gerinc t alkotja. F lt tlen l l tnunk kell, hogy mit v rhatunk tan tv nyainkt l ezen a ter leten, milyen el k pzetts ggel, mennyire begyakorolt ismeretekkel, milyen k pess gekkel rendelkeznek, milyen temben s milyen m lys gben dolgozhatjuk fel az j anyagot. Ehhez t rk pezz k fel, hogy milyen tank nyvb l (tank nyvekb l) mit, milyen k vetelm nyszinten tanultak tan tv nyaink. K rd sek lehetnek: 22 Mely sz mk rig jutottak el 4. oszt ly v g re a tanul k? A tanult sz mk rben mennyire teljes a kialakult sz mfogalom? (kerek t s, sz mszomsz dok, br zol s stb.) A tanult sz mk rben milyen a tanul k sz mol si rutinja? Tanult k-e a k tjegy oszt val val r sbeli oszt st? Mennyire gyakorolt k be a tanult r sbeli m veleteket?

23 Kell rutint szereztek-e az sszetett sz mfeladatok megold s ban? K pesek-e a sz veges feladatok rtelmez s re, megold s ra? Tudj k-e a tanultakat probl mahelyzetben alkalmazni? m rt kv lt s, grakonok rtelmez se stb.) (Ar nyos k vetkeztet sek, Ez rt fontosnak tartjuk, hogy v elej n (de ne az els h ten!) m rj k fel a sz m- s m veletfogalom, a sz mol si k pess g, valamint a sz veg rtelmez si s sz vegelemz si k pess g fejletts g t. B r a Hajdu S ndor ltal szerkesztett als s fels tagozatos tank nyvek egys ges koncepci s k vetelm nyrendszer alapj n dolgozz k fel a tananyagot, m g ebben az esetben is javasoljuk, hogy a helyi tanterv biztos tson tfed st, fokozatos tmenetet a 4. oszt lyos s az 5. oszt lyos k vetelm nyek k z tt. Ezt az tfed st tan t si tapasztalatokkal (a tanul k egyenl tlen fejl d s vel, a felejt ssel, a tagozatv lt ssal kapcsolatos probl m kkal stb.) s elm leti megfontol sokkal ( a hossz rlel s elv vel") egyar nt indokolhatjuk. Az t dik oszt lyos tank nyv els fejezete t kr zi ezt a t rekv st. Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok A tank nyvben nem foglalkozunk k l n ll fejezetben ezzel az anyagr sszel, mivel t dik oszt lyban nem c lunk a rel ci k, f ggv nyek s sorozatok elm leti h tter nek l nyeges b v t se. Az als tagozatban tanultakat eszk zszer en alkalmazzuk a sz mtan, algebra, a m r sek s a geometria, valamint a val sz n s g-sz m t s s a statisztika t mak r ben az ismeretek felt r sa s elm ly t se sor n. Az alkalmaz s k r nek kib v t s vel a tanul k tov bbi tapasztalatokat szereznek, amelyekkel el k sz thetj k a f ggv nyek 6. s 7. oszt lyos tan t s t. Rel ci k A rel ci sz kapcsolatot, sszef gg st jelent. A H halmazon rtelmezett sz kebb rtelemben vett biner rel ci n a H halmaz elemeib l k pzett (egym ssal kapcsolatban l v ) rendezett elemp rok egy halmaz t rtj k. (R viden a rel ci a H H Descartes-szorzat egy r szhalmaza.) B r alig van olyan matematikai t ma, amelyben ne lenne szerepe a rel ci knak, mag t a fogalmat az ltal nos iskol ban nem c lszer deni lnunk, s a kifejez st sem fontos haszn lnunk. gyelj nk arra, hogy ez a fogalom ne sz k lj n le a sz mok, mennyis gek nagys g szerinti sszehasonl t s ra, hiszen v gtelen sokf le kapcsolatot jelenthet. A rel ci t ltal ban nyitott mondattal, sz veggel, diagrammal, grakonnal s t bl zattal adhatjuk meg. A rel ci tulajdons gok tudatos t s t, megfogalmaz s t, rtelmez s t sem c lszer megk vetelni, de konkr t kapcsolatok elemz s n l sokszor foglalkozhatunk ezekkel az sszef gg sekkel an lk l, hogy a kifejez seket haszn ln nk. t dik oszt lyban is vizsg lhatjuk a rel ci k k vetkez tulajdons gait: Reexivit s: minden elem kapcsolatban van saj t mag val. 23