Gyenizse Gergő. Matematika és Számítástudományok Doktori Iskola. Algebra és Számelmélet Tanszék, Bolyai Intézet, SZTE TTIK. Szeged, 2018.

Átírás

1 Univerzális algebrák kvázirendezés-hálói Ph.D. értekezés tézisfüzete Gyenizse Gergő Témavezető: Maróti Miklós Matematika és Számítástudományok Doktori Iskola Algebra és Számelmélet Tanszék, Bolyai Intézet, SZTE TTIK Szeged, 208.

2 . Bevezető A modern algebra talán leglényegesebb fogalma a kongruencia reláció. Amennyiben egy algebrai struktúra rendelkezik nemtriviális kongruenciával, a vizsgálata kezdhető a tipikusan egyszerűbb faktorának vizsgálatával. A klasszikus algebrai struktúrák esetén ráadásul a kongruenciát egy részalgebra határozza meg, ami ismét csak általában egy egyszerűbb struktúra. Egy algebra kongruenciái természetes módon egy hálót (illetve végtelen sok kongruencia esetén egy algebrai hálót) alkotnak. Másrészről, bizonyos struktúraosztályok többek között maguk a hálók esetén a kongruenciák nincsenek részalgebrák (vagy egy konkrét kongruenciaosztály) által meghatározva. Az ilyen struktúrák kongruenciái ennek ellenére nagy jelentőséggel bírnak, de különösen hálók és félhálók esetén, egy másfajta binér relációt szokás elsődlegesen az algebrával asszociálni: az úgynevezett természetes rendezést. Nincs általános definíció arra, hogy egy rendezést mikor tekintünk természetesnek, de egy gyakori feltétel, hogy a rendezés kompatibilis legyen a műveletekkel. A reguláris félcsoportokon adott természetes rendezés (lásd a 6. fejezetet [7]-ben) kivételt képez. A természetes közös általánosítása a kongruenciáknak (kompatibilis, reflexív, tranzitív, szimmetrikus binér relációk) és a kompatibilis rendezéseknek (ugyanaz, csak szimmetria helyett antiszimmetriával) a kvázirendezések (ugyanaz, szimmetria nélkül). Egy A algebra kvázirendezései (a kompatibilis rendezésekkel ellentétben) hálót alkotnak, amit Quo A-val jelölünk. Ez a kongruenciahálót (jelölés: Con A) részhálóként tartalmazza. Az értekezés célja a kvázirendezés-hálók vizsgálata, különös tekintettel a kongruenciahálókkal való kapcsolatra. Többnyire véges, vagy legalábbis lokálisan véges varietásban lévő algebrákkal fogunk foglalkozni. Az értekezés a [9, 0, 2] cikkeken és a [] kéziraton alapul, illetve használja a [3] cikket. Quo A természetes módon tekinthető involutív hálónak a δ δ involucióval, ahol δ a következő módon definiált: (a, b) δ (b, a) δ.

3 2 Habár a természetes involúciót rendszeresen használjuk, meg kell jegyezni, hogy a kvázirendezés-hálók a disszertációban hálókként és nem involutív hálókként vannak tanulmányozva. Minden δ Quo A-hoz tartozik két kongruencia: δ := δ δ és δ δ, valamint egy rendezett halmaz: δ faktora δ -gal. Ennek a rendezett halmaznak az alaphalmaza A/δ, és (u, v) δ/δ akkor teljesül, ha az a/δ = u és b/δ = v feltételeket teljesítő (a, b) párok teljesítik (a, b) δ-t. (Ha legalább egy ilyen pár teljesíti, akkor az összes teljesíti.) 2. Alulról korlátos hálók Ebben az összefoglalóban a alulról korlátosság ekvivalens feltételei közül csak egyet adunk meg (lásd [4]-t a többiért). Egy L háló egy l eleme egyesítés irreducibilis, ha nem léteznek l, l 2 < l elemek, melyekre l l 2 = l. Az elem teljesen egyesítés irreducibilis, ha vagy a háló legkisebb eleme, vagy létezik egy l L, mely a legnagyobb az l- nél kisebb elemek között. Ha egy elem teljesen egyesítés irreducibilis, akkor egyesítés irreducibilis, és véges hálók esetén a fordított állítás is igaz. D egy binér reláció L egyesítés irreducibilis elemeinek halmazán. A következőképpen van definiálva: adb a b, ( c : a b c, d < b : a d c). Amennyiben b teljesen egyesítés irreducibilis, akkor ez a definíció egyszerűsödik: adb a b, ( c : a b c, a b c). Egy háló alulról korlátos, ha végesen generált, és a D reláció által meghatározott gráf nem tartalmaz végtelen (irányított) utat. A háló felülről korlátos, ha a duálisa alulról korlátos, és korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Fontos tény, hogy az alulról korlátos hálók egyesítés szemidisztributívak, vagyis teljesítik az x y = x z x y = x (y z)

4 3 kváziazonosságot. A felülről korlátos hálók természetesen a duális azonosságot, a metszet szemidisztributivitást teljesítik. 3. DCC-t teljesítő rendezett halmazok részrendezéshálói Amint láttuk, egy kvázirendezés egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus részre bontható (δ, illetve δ/δ ). Először a kvázirendezés-hálók olyan részeit vizsgáljuk, melyek csak kompatibilis rendezéseket tartalmaznak. Ezek rendezéshálók, ami alatt egy rendezett halmaz részrendezéshálójának egy részhálóját értjük. Achein bebizonyította, hogy minden háló izomorf egy rendezéshálóval []. Viszont véges háló esetén is megtörténhet, hogy a rendezett halmazokat végtelen alaphalmazon kelljen megadni. Sivak karakterizálta azokat a hálókat, ahol a rendezésháló véges halmazon is megadható [8]. Másképp fogalmazva, karakterizálta a véges rendezett halmazok részrendezéshálóiba beágyazható hálókat. Ez a karakterizáció pontosan a véges alulról korlátos hálók osztályát adja [2]. Semenova egy általánosabb állítást bizonyít: egy végtelen láncot nem tartalmazó rendezett halmaz részrendezéshálójának bármely véges részhálója alulról korlátos [7]. Tehát a végességi feltétel relaxációja ( a rendezett halmaz véges -ről a rendezett halmaz nem tartalmaz végtelen láncot -ra) nem tesz új véges hálókat beágyazhatóvá. (Végtelen hálókkal természetesen más a helyzet: nagyon könynyű konstruálni egy végtelen láncot nem tartalmazó rendezett halmazt, melynek végtelen a részrendezéshálója, például a kételemű lánc végtelen sok példányának diszjunkt összege ilyen.) Ha ellenben tovább relaxáljuk a végességi feltételt a rendezett halmaz nem tartalmaz végtelen láncot -ról a rendezett halmaz nem tartalmaz végtelen leszálló láncot -ra, akkor több véges háló válik beágyazhatóvá. Ez a következő tétel következménye: Tétel. Legyen L véges háló. Jelöljük C L -vel a hálóban előforduló egyesítés irreducibilisek közötti nemtriviális fedések halmazát, vagyis

5 4. Ábra: Az M 3, D, és D 2 hálók a következő halmazt: {(l, l,..., l k ) J(L) k+ : l l l 2 l k, l (l ) l 2 l k, l l (l 2 ) l k,..., l l l 2 (l k ) }. L akkor és csak akkor ágyazható be egy végtelen leszálló láncot nem tartalmazó rendezett halmaz részrendezéshálójába, amennyiben létezik egy s : C L L leképezés, ami teljesíti a következő tulajdonságokat: minden (l, l,..., l k ) C L esetén s(l, l,..., l k ) {l,..., l k }, s szimmetrikus az elsőt leszámítva az összes változójában, vagyis minden π S k permutáció esetén: a s(l, l,..., l k ) = s(l, l π(),..., l π(k) ), T L := {(l, l i ) : (l, l,..., l k ) C L, s(l, l,..., l k ) l i } és U L := Tr({(l, l) : l L} {(l, l i ) : (l, l,..., l k ) C L, s(l, l,..., l k ) = l i }), binér relációkra az U L T L reláció nem tartalmaz kört. Ez a tétel egy algoritmust ad arra, hogy eldöntsük, hogy egy véges L háló beágyazható-e végtelen leszálló láncot nem tartalmazó háló részrendezéshálójába. Az algoritmus EX PT IME-beli.

6 5 Példának okáért, könnyű ellenőrizni, hogy M 3 nem lesz beágyazható, de D és D 2 igen. Amíg D alulról korlátos háló, tehát még véges rendezett halmaz részrendezéshálójába is beágyazható, D 2 még csak nem is egyesítés szemidisztributív. Ez mutatja, hogy a végtelen leszálló láncot nem tartalmazó rendezett halmazok részrendezéshálóiba beágyazható hálók osztálya szigorúan nagyobb, mint a véges rendezett halmazok részrendezéshálóiba beágyazható hálók osztálya, de nem tartalmazza az összes véges hálót. Egy tetszőleges L háló esetén CY L -lel jelöljük a D reláció teljesen egyesítés irreducibilis elemekre való megszorításával kapott reláció által tartalmazott körök halmazát. Bevezetünk egy binér relációt CY L -en: E L := {((β,..., β l ), (α,..., α k )) : i : j : α j+ β i α j, α j+ β i α j, α j+ β i α j }, ahol a j indexet modulo k, az i indexet modulo l értjük. Tétel 2. Amennyiben L beágyazható egy végtelen leszálló láncot nem tartalmazó rendezett halmaz részrendezéshálójába, akkor E L nem tartalmaz kört. 4. Félhálók kvázirendezés-hálói A véges félhálók kongruenciahálói meglehetősen gazdag osztályt alkotnak, tekintve, hogy nem elégítenek ki semmilyen nemtriviális hálóazonosságot [6]. A félhálók kvázirendezés-hálói még gazdagabb osztályt alkotnak: amíg a kongruenciahálók metszet szemidisztributívak, ez nem teljesül a kvázirendezés-hálókra. Tétel 3. FS(3) (a 3 elem által szabadon generált félháló) kvázirendezés-hálója nem metszet szemidisztributív. A kongruencia metszet szemidisztributivitás egy következménye, hogy félháló kongruenciahálója nem tartalmazhat M 3 -mal izomorf részhálót. Magával a metszet szemidisztibutivitással ellentétben, ez

7 6 a b c a b c a b c a b a c b c a b a c b c a b a c b c a b c a b c a b c α β γ 2. Ábra: FS(3) három kvázirendezése, melyekre α γ = β γ < (α β) γ a tulajdonság átmegy a kvázirendezés-hálókra de csak véges félhálók esetében. Tétel 4. Ha a véges A algebra kongruencia metszet szemidisztributív varietást generál, és M egy egyszerű részhálója Quo A-nak, akkor M vagy triviális, vagy kételemű háló. Következésképpen ha S véges félháló, Quo S nem tartalmaz M 3 -mal izomorf részhálót. Még a második állításhoz is kell a végességi feltevés. Hogy ezt lássuk, tekintsünk először egy M 3 -mal izomorf rendezéshálót. A 3. Ábra mutat erre egy lehetőséget (γ,, γ 3 a háló középső elemei). Jelölje C a rendezett halmazok alaphalmazát, és tekintsük az FS(C) szabad félhálót. A γ i által generált kvázirendezést γ (0) i fogja jelölni. A γ (0) i -k páronkénti egyesítései megegyeznek, de ez nem mondható el a páronkénti metszeteikről. Ezért definiáljuk rekurzíven a γ (k) i k > 0-ra a következő módon: γ (k) i = γ (0) i (γ (k ) i γ (k ) i+ ), -ket és tekintjük a γ i = k γ(k) i kvázirendezéseket. Lényegében az történik, hogy ha egy él benne van a kvázirendezések közül kettőben, akkor beletesszük a harmadikba is. Ezután a γ i -k páronkénti metszete fog megegyezni. Az új élek beletétele közben a páronkénti egyesítések nem változnak, ezért ezek is meg fognak egyezni.

8 7 γ γ 3 γ 3 γ γ 3 γ γ γ 3 γ γ 3 γ γ γ Ábra: Három részbenrendezett halmaz, melyek M 3 -mal izomorf hálót generálnak Bizonyítható, hogy γ. Ennek következménye a következő tétel. Tétel 5. Quo(FS(ω)) tartalmaz egy M 3 -mal izomorf részhálót. 5. Szelíd kongruencia elmélet Hogy kapcsolatokat állapíthassunk meg a kongruencia és a kvázirendezés-hálók között, elsősorban szelíd kongruencia elméletet fogunk használni (lásd [5]). Ennek sok habár nem minden része használható kvázirendezésekre. Legyen A véges algebra, és tételezzük fel, hogy α β teljesül vagy Con A-ban vagy Quo A-ban. A (α, β)-minimális, ha minden nem bijektív egyváltozós polinomja A-nak az összes β-élét α-élbe viszi. Mégha A nem is (α, β)-minimális, akkor is tartozik hozzá egy (lényegében) egyértelmű (α, β)-minimális algebra.

9 8 A kongruencia esetben, minden (α, β)-minimális algebrához tartozik egy minimális algebra, vagyis egy olyan algebra, melynek nem bijektív egyváltozós polinomjai konstansok. Pálfy tétele szerint [6] egy minimális algebra polinomklónja a következők polinomklónjának egyikével izomorf: () egy unáris algebra, (2) egy vektortér, (3) egy kételemű Boole-algebra, (4) egy kételemű háló, (5) egy kételemű félháló. Az (α, β) pár típusa egy és 5 közötti szám, attól függően, hogy a fenti kategóriák közül melyikbe esik bele a hozzá tartozó minimális algebra polinomklónja. A kvázirendezés esetben nem tartozik minimális algebra egy (α, β)- minimális algebrához, mégis lehetséges definiálni (α, β) típusát. Ezt kongruencia típusokra való visszavezetéssel tudjuk megtenni. Definíció 6. Legyen A véges (α, β)-minimális algebra, ahol α β teljesül Quo A-ban. Ha α β teljesül Con A-ban, akkor (α, β) kvázirendezés típusa ugyanaz lesz, mint (α, β ) kongruencia típusa. Ha α β, de α β nem teljesül Con A-ban, akkor (α, β) kvázirendezés típusa lesz. Ha α = β, akkor tekintjük az A + := {(a, b, c) A 3 : (a, b), (b, c) β} algebrát, és tetszőleges δ Quo A esetén definiáljuk a δ + kongruenciát A + -on a következő módon: δ + := Tr({((a, b, c), (a, b, c)) A 2 + : (b, b ) δ δ }). Ezután megnézzük, hogy a Con A + -beli [α +, β + ] intervallumban milyen típusok fordulnak elő. Ha van ezek között 4-es, akkor (α, β) típusa is 4 lesz. Ha nincs, 4-es, de van 5-ös, akkor a típus 5 lesz, egyébként pedig.

10 9 A kvázirendezés típusoknak az úgynevezett pszeudo-műveletekkel vannak kapcsolataik. Ezekre az egyszerűség kedvéért a szokásosnál megengedőbb definíciót alkalmazunk. Egy A algebra kétváltozós p polinomja pszeudo-metszet művelet az a A elemre, amennyiben p(a, x) = p(x, a) = p(x, x) = x teljesül minden x A-ra. A polinom pszeudo-metszet művelet (α, β)-ra, amennyiben létezik egy (a, b) (β\α) (β\α) él úgy, hogy p pszeudo-metszet művelet a-ra. Végül, a kétváltozós p és q polinomok pszeudo-metszet pszeudo-egyesítés párt alkotnak (α, β)-ra, ha létezik egy (a, b) β\α él úgy, hogy p pszeudo-metszet művelet a-ra, q pedig pszeudo-metszet művelet b-re. A következő tétel mutatja a kapcsolatokat a kvázirendezés típusok és a pszeudo-műveletek között. Azt is mutatja ez a tétel, hogy lehetséges lenne a kvázirendezés-típusokat pszeudo-műveletek segítségével definiálni. Tétel 7. Ha A véges, minimális (α, β)-ra, és α β teljesül Quo A- ban, akkor (α, β) típusa 3, amennyiben β\α egyetlen dupla élből áll, és létezik hozzá egy pszeudo-metszet pszeudo-egyesítés pár (ez az eset csak akkor lehetséges, ha α β ), 4, amennyiben β\α egyetlen (irányított) élből áll, és létezik hozzá egy pszeudo-metszet pszeudo-egyesítés pár, 5, amennyiben létezik hozzá egy pszeudo-metszet művelet, de nem létezik hozzá pszeudo-metszet pszeudo-egyesítés pár (ebben az esetben a pszeudo-metszet művelet vagy az összes β\α-él közös kezdő-, vagy a közös végpontjához tartozik), 2, amennyiben α β teljesül Con A-ban, és (α, β ) kongruncia típusa 2, minden más esetben. Két fontos feltétel teljesül a kongruenciahálók különböző fedő párjainak (más szóval prímkvócienseinek) típusaira. Az első az, hogy ha (α, β) és (γ, δ) prím perspektívak, vagyis α β, γ δ, és α, β, γ, δ egy olyan részhálót alkot, amely izomorf a kételemű háló

11 0 direkt négyzetével, akkor a két pár típusa megegyezik. Ez teljesül a kvázirendezés-hálókra is. Tétel 8. Tegyük fel, hogy (α, β) és (γ, δ) perspektív prímkvóciensek Quo A-ban. Ekkor (α, β) és (γ, δ) típusa megegyezik. A második feltétel az, hogy a feloldhatósági és az erős feloldhatósági relációk egy véges algebra kongruenciahálóján kongruenciák. Ha µ és ν kongruenciák, akkor (µ, ν) definíció szerint akkor lesz benne a feloldhatósági relációban, ha a [µ ν, µ ν] intervallum csak -es és/vagy 2-es típusokat tartalmaz. A pár akkor lesz benne az erős feloldhatósági relációban, ha az intervallum csak -es típust tartalmaz. Ez a feltétel nem terjed át a kvázirendezés-hálóra (a feloldhatósági és erős feloldhatósági relációkat ott analóg módon definiáljuk). Tekintsük azt az S félcsoportot, melyet a következő művelettábla ad meg: Állítás 9. Léteznek α, β, γ, δ Quo S kvázirendezések, melyekre α β, γ δ < β γ, de (α, β) típusa és (γ, δ) típusa 5. Így sem a feloldhatósági, sem az erős feloldhatósági reláció nem kongruencia a kvázirendezés-hálón. Emellett Quo S-nek nincsen olyan kongruenciája, amelynek a megszorítása Con S-re megegyezne az ottani feloldhatósági relációval. Másrészről viszont van olyan algebraosztály, ahol a feloldhatósági reláció kongruencia a kvázirendezés-hálón, és jól is viselkedik. Tétel 0. Legyen A véges algebra egy kongruencia moduláris varietásban. Ekkor Quo A-n a feloldhatósági és erős feloldhatósági reláció egyaránt a kongruencia feloldhatósági reláció által generált

12 kongruencia. Ezenfelül, Quo A-nak a feloldhatósági relációval vett faktora disztributív háló. 6. Kapcsolatok a kongruencia és kvázirendezés-hálók között Nagy általánosságban, egy feltétel teljesülése egy algebra kongruenciahálójára nem mond túl sokat az algebráról. Más a helyzet, amennyiben a feltételt a generált varietás összes algebrájának kongruenciahálója teljesíti. Ennek megfelelően, amikor kongruencia és kvázirendezés-hálók kapcsolatát vizsgáljuk, általában az egész varietást tekintetbe fogjuk venni. A következő tétel miatt ez különösen igaz akkor, ha a szelíd kongruenciák elméletét használjuk. Tétel. Minden i {, 2, 3, 4, 5} és minden V varietás esetén, V kongruencia típusai között akkor és csak akkor nem szerepel i, ha kvázirendezés típusai között sem szerepel. Közismert tény, hogy ha egy algebra egy kongruencia permutábilis varietásban van, vagyis van benne Mal tsev-kifejezés (olyan háromváltozós kifejezés, ami kielégíti a m(x, x, y) m(y, x, x) y azonosságokat), akkor az algebra minden kvázirendezése kongruencia. Ez a feltétel teljesül az összes klasszikus algebrai struktúrára. Egyébként a Mal tsev-kifejezés létezése helyett elegendő feltenni Hagemann- Mitchke-kifejezések létezését (lásd [4]). Czédli és Szabó bebizonyították, hogy ha L háló, akkor Quo L izomorf Con L direkt négyzetével [3]. A szerző és témavezetője bebizonyították, hogy egy lokálisan véges kongruencia disztributív/moduláris varietásban a kvázirendezés-hálók is disztributívak/modulárisak [2]. A disztributív esetben ez azt jelenti, hogy a kvázirendezésháló benne van a kongruenciaháló által generált varietásban. Gumm szerint [8] a kongruencia modularitás a kongruencia permutábilitás és a kongruencia disztributivitás kompozíciója. Ez sugallja a következő tételt:

13 2 Tétel 2. Legyen A véges algebra egy kongruencia moduláris varietásban. Ekkor Con A és Quo A ugyanazokat a hálóazonosságokat teljesítik. Következmény 3. Tegyük fel, hogy P egy hálóazonosság úgy, hogy amennyiben egy varietás kongruenciahálói kielégítik P-t, akkor a varietás kongruencia moduláris. Ekkor ha egy lokálisan véges varietás kongruenciahálói teljesítik P-t, akkor a kvázirendezés-hálói is. Hasonló állítás igaz az egyesítés szemidisztributivitásra (ami nem hálóazonosság, hanem csak háló-kváziazonosság). Lokálisan véges varietásokra a kongruencia egyesítés szemidisztributivitás úgy karakterizálható, hogy a varietásban nem szerepelhet -es, 2-es, illetve 5-ös típus, tehát a varietás minden véges algebrájának minden prímkvóciense 3-as vagy 4-es típusú ([5] 9.-es Tétele). A kongruencia szemidisztributivitás következménye, hogy a varietás véges algebráinak kongruenciahálói alulról korlátosak [5]. Tétel 4. Legyen A véges algebra kongruencia egyesítés szemidisztributív varietásban. Ekkor Quo A alulról korlátos háló (és így egyesítés szemidisztributív). Amint a 3. Tétel mutatja, az analóg állítás metszet szemidisztributivitásra nem igaz. A 4. Tétel szerint viszont egy gyengébb kapcsolat ebben az esetben is létezik. Egy másik ilyen gyengébb kapcsolat áll fenn akkor, ha a varietásban nincs -es típus (ez [5] 9.6 Tétele szerint ekvivalens egy kongruencia feltétellel). Tétel 5. Legyen A véges algebra egy olyan varietásban, amiben nincs -es típus. Ekkor Quo A nem tartalmaz nemmoduláris egyszerű részhálót. References [] B.M. Achein: A representation theorem for lattices, Algebra universalis 2 (972), pages [2] K.V. Adaricheva, V.A. Gurbunov and V.I. Tumanov: Join-semidistributive lattices and convex geometries, Advances in Mathematics, 73 () (2003), pages 49.

14 [3] G. Czédli and L. Szabó: Quasiorders of lattices versus pairs of congruences, Acta Sci. Math. (Szeged), 60 (995), pages [4] R. Freese, J. Je zek and J. B. Nation: Free Latices, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 42, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 995. [5] R. Freese, K. Kearnes and J. B. Nation: Congruence lattices of congruence semidistributive algebras, Lattice Theory and Applications, Research and Exposition in Mathematics, vol. 23, Heldermann, Lemgo, 995, pages [6] R. Freese and J.B. Nation: Congruence lattices of semilattices, Pacific Journal of Mathematics 49 () (973), pages [7] P.A. Grillet: Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Dekker, New York, 995. [8] H.-P. Gumm: Congruence modularity is permutability composed with distributivity, Archiv der Math. (Basel) 36 (98), [9] G. Gyenizse: On lattice representations with posets, submitted to Order. [0] G. Gyenizse: Quasiorder lattices in congruence modular varieties, submitted to Acta Sci. Math. (Szeged). [] G. Gyenizse: Types of quasiorders, draft. [2] G. Gyenizse and M. Maróti: Quasiorder lattices of varieties, to appear in Algebra Universalis. [3] G. Gyenizse, M. Maróti and L. Zádori: The structure of polynomial operations associated with smooth digraphs, Algebra Universalis 72 (4) (204), pages [4] J. Hagemann and A. Mitschke: On n-permutable congruences, Algebra Universalis 3 (973), pages 8 2. [5] D. Hobby and R. McKenzie: The Structure of Finite Algebras, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 76, American Mathematical Society, Providence, RI, 988. [6] P.P. Pálfy: Unary polynomials in algebras I, Algebra universalis 8 (984), pages [7] M. V. Semenova: Lattices that Are Embeddable in Suborder Lattices, Algebra and Logic, 44 (4) (2005), pages [8] B. Sivak: Representation of finite lattices by orders on finite sets, Mathematica Slovaca, 28 (2) (978), pages