Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2007/2008

Átírás

1 Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády 49 ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 007/008 Szlovákiai Fizikai Olimpiász Bizottság Fizikai Olimpiász 49 évfolyam 007/008-as tanév Az FO versenyzıinek azt ajánljuk, hogy vegyenek részt az FKS Fizikai levelezıs szemináriumában (wwwfkssk) Az B kategória 1 fordulójának feladatai (A feladatok és megoldásuk a Internet címen található meg) 1 Ülepítés az elválasztóban Ivo Čáp A szuszpenzió (apró szilárd részecskéket tartalmazó folyadék) vizsgálatához ülepítést (szedimentációt) alkalmaznak A szedimentációnál azok a szilárd részecskék, amelyeknek a sőrősége nagyobb, mint a folyadéké fokozatosan süllyednek a nehézségi erınek köszönhetıen Ha részecskék nagyon aprók, ez a folyamat igen lassú a) Vizsgáljuk meg egy olyan finom iszap részecskéit, amelyek gömb alakúak, átmérıjük d = 5,0 µm sőrőségük ρ =, 10 3 kg m 3, vízben úsznak amely sőrősége ρ v = 1, kg m 3 és dinamikus viszkozitása η v = 1,0 mpa s A részecskék relatív térfogata κ 1 = 10 %-a a szuszpenzió térfogatának A szuszpenzió kémcsıben van és h = 10 cm magas oszlopot képez Határozzák meg az ülepedés t 1 idıtartamát, amely alatt minden iszaprészecske leülepedik a kémcsı aljára Az ülepedés gyorsítására elválasztót (centrifugát) használnak Tételezzük fel, hogy a centrifuga forgástengelye függıleges és a fordulatszáma N 1 = 600 min 1 Az ülepítéskor a mintát tartalmazó kémcsı vízszintes helyzetbe kerül a centrifugális erınek köszönhetıen Ekkor a kémcsı alja a forgástengelytıl R = 5 cm távolságba kerül b) Határozzák meg az iszaprészecskék ülepedésének t idejét, ha az elızı részben leírt centrifugát használjuk! A szedimentáció olyan lassan megy végbe, hogy minden pillanatban feltételezhetjük, hogy a részecskék mozgása állandósultnak tekinthetı Sebességük megfelel az összes külsı erı egyensúly feltételének A sebesség változását az ülepítés folyamán vegyék figyelembe! Elválasztót használnak például a hematológiai laboratóriumban a vér kivizsgálásánál megállapítják a vér összetételét a vérsejtek számát Hasonló eljárást alkalmaznak a tej zsírtalanításánál is A továbbiakban ugyanolyan kémcsövet és ugyanazt a folyadékoszlopmagasságot fogjuk használni, mint az elızı estekben c) Mekkora t 3 idı szükséges a zsíradék kiválasztására tejbıl a centrifugában, amely fordulatszáma N = 1500 min 1? A zsír relatív térfogata κ 3 = 3,0 % a tej térfogatának A bázisfolyadék mechanikai tulajdonsága azonos a vízével A zsírrészecskék gömb alakúak, átmérıjük d = 5,0 µm sőrőségük ρ m = 0, kg m 3 A kémcsı melyik részében győlik össze a zsír és miért? d) Hematokrit (a vér szilárd részecskéi) relatív térfogata a vérben κ k = 45 % A fı összetevıjét a vörös vértestek (eritrociták) alkotják, amelyek átlagos sőrősége ρ k = 1,09 ρ v átmérıjük pedig d k = 7,0 µm Az bázisfolyadékot a plazma alkotja, amelynek sőrősége ρ p = 1,03 ρ v, viszkozitása pedig η p =,1 η v Mekkorának kell lennie a centrifuga N 3 fordulatszámának, hogy a hematológiai laboratóriumban a részecskék t k = min alatt szétváljanak? A vértestekrıl tételezzék fel az egyszerőség kedvéért, hogy gömb alakúak! A feladatot oldják meg általánosan, majd a megadott értékekre! A gravitációs gyorsulás g = 9,8 m s Az ülepítés alatt a centrifugában a nehézségi erıt elhanyagolhatóan kicsinek

2 tekinthetjük Egy gömb alakú, folyadékban lassan mozgó részecskére a Stokes-törvény által megadott F o = 3πη d v nagyságú közegellenállási erı hat, ahol v a részecske sebessége Őrtávcsı Milan Grendel A NASA 013-ban tervezi pályára állítani az új JWST (James Webb Space Telescope) őrtávcsövet, amely legalább 10 évre helyettesítené a Hubble őrtávcsövet (a Föld felszíne felett 575 km-es magasságban kering) Az új őrtávcsıvel távolabbi objektumokról és nagyobb felbontású képeket lehet majd készíteni A JWST fıtükrének átmérıje majdnem háromszor lesz nagyobb a Hubble fıtükrének átmérıjétıl, és fıleg az infravörös tartományban fog dolgozni Hogy a hızajt lecsökkentsék, a fı részeket nagyon alacsony és stabil hımérsékleten kell majd tartani Az őrtávcsövet az L pont közelében fogják üzemeltetni Ez a pont a Nap és Föld közepét összekötı egyenesen található Egy test ebben a pontban szinkronmozgást végez a Földel úgy, hogy a Föld a Nap körül keringve egész idı alatt a Nap és a test között van a) Számítsák ki az L pont közelítıleges r l távolságát a Földtıl feltételezve, hogy ez sokkal kisebb, mint a Föld és Nap középpontjának r S távolsága! b) Miért nem lehet az őrtávcsövet az L pont közelében úgy elhelyezni, hogy a helyzetét ne kelljen segédmotorokkal korrigálni? Mit lehet mondani az L pontban elhelyezett test helyzetének stabilitásáról, ha az kicsit kitér a Földet és Napot összekötı egyenes irányában, vagy az erre merıleges irányban? c) Számítással gyızıdjenek meg arról, hogy éri-e az L pontot közvetlenül napfény! d) Mekkora ϕ Z szög alatt lehet látni a Földet az L pontból, és mekkora a Nap átellenes széleinek ϕ szögtávolsága az L pontból? A feladat megoldásakor tételezzék fel, hogy a Föld pályája a Nap körül r S = 149,610 6 km sugarú körpálya A Föld tömege M Z = 5, kg, sugara r Z = km, a Nap tömege M S = 1, kg, sugara pedig R S = 6, m A feladatot oldják meg általánosan, majd a megadott értékekre! 3 Forgó henger a lejtın Juraj Tekel Egy R sugarú és m tömegő henger ω 0 szögsebességgel forog a szimmetriatengelye körül Ráhelyezzük egy α hajlásszögő lejtıre úgy, hogy a szimmetria tengelye merıleges a lejtés irányára A henger forgása olyan, hogy amikor ráhelyezzük a lejtıre a hengerre ható súrlódási erı a lejtı emelkedésének irányában mutat (lásd a B-1 ábrát) A henger és lejtı közötti súrlódási tényezı f a) Határozzák meg a feltételt, amely teljesítésekor a henger a közötte és a lejtı között fellépı súrlódás következményeként elkezd felfelé gurulni a lejtın! b) Határozzák meg a feltételt, amely mellett a henger csúszás nélkül gurulhat a lejtın! c) Határozzák meg, hogy mekkora h magasságkülönbséget képes a henger megtenni felfelé, ha teljesül az a) pontban meghatározott feltétel! A feladatot oldják meg általánosan, majd a c) részt a következı értékekre: ω 0 = 10 rad s 1, α = 0 és a súrlódási tényezı két értékére f 1 = 0,5 a f = 0,40! ω 0 B 1 ábra

3 4 A függesztési rendszer rezgése Ľubomír Konrád Egy m z tömegő teherhordozó rugalmas felfüggesztésen van elhelyezve (lásd a B ábrát) Egy vékony huzallal van hozzáerısítve egy M tömegő és R sugarú csigához A csiga kötélen van felfüggesztve és a kötelet az egyik oldalon egy k merevségő rúgón keresztül rögzítették a mennyezethez Kezdetben a teherhordozó nyugalomban van a) Mekkora frekvenciával fog rezegni a rendszer, ha a teherhordozóra egy m tömegő nehezéket teszünk? b) Mekkora lesz a rezgések amplitúdója, miután a terhet elhelyeztük a hordozón? M R k m z B ábra m 5 Elektrosztatikus szőrı Ivo Čáp Az iparban alkalmazott elektrosztatikus szőrık, amelyek a szennyezıdéseket szőrik ki gázokból, a nem homogén elektromos erıterek elektromos dipólusokra gyakorolt hatását hasznosítják A porszemek olyan részecskék, amelyek anyaga dielektrikum Elektrosztatikus térben polarizálódnak és kicsiny elektromos dipólust képviselnek Ezek vonzódnak az elektromos tér intenzitás-növekedésének irányában és ki vannak vonva a szőrın keresztül áramló gázból a) Mutassák meg, hogy egy homogén elektromos térben a dipólusra ható eredı elektromos erı nulla b) A szőrıt egy koaxiális csırendszer alkotja, ahol a rendszer tengelye egy r 1 = 5,0 mm sugarú vezetı tengelyével azonos és egy henger alakú elektróda veszi körül, amelynek sugara r = 0 cm A külsı elektródát és a tengelyben levı vezetıt egy U F feszültségő áramforrásra csatolják Vezessék le a a feszültség alatt lévı koaxiális rendszer belsejében keletkezı elektromos tér intenzitását a tengelytıl számított r távolság függvényében! c) Tételezzék fel, hogy a rendszer elektrosztatikus terében van egy részecske, amely dipólus momentuma p = qa (a dipólust úgy képzeljük el, mint két pontöltést, amelyek elektromos töltése ± q és a távolságban vannak egymástól) Határozzák meg a rendszer belsejében tartózkodó részecskére ható erıt, mint a tengelytıl számított r távolság függvényét! (A kis porszemekre érvényes, hogy a << r) d) Mekkora erıvel vonzódnak a p = 5, C m dipólus momentumú és m = 6,8 ng tömegő részecskék a tengelyen található vezetıhöz, ha közvetlenül a felszíne felett vannak, és a rendszer két elektródája közötti feszültség U F = 00 kv Hasonlítsák össze ezt az erıt a nehézségi erıvel! 6 Jumbo-Jet Ľubomír Mucha A Boing 747-Jumbo Jet repülıgép a vízszintes síkban v sebességgel repül A szárnyak fesztávolsága r, a repülıgép hossza d, magassága h A földrészek közötti útjain átrepül a Föld különbözı pontjai felett Határozzák meg a keletkezı elektromos feszültséget a szárnyak két vége, az orr és a farok, valamint az alsó és felsı része között, ha a) az Északi-pólus felett repül, b) északi irányban az Egyenlítı felett repül, c) keleti irányban az Egyenlítı mentén repül és

4 d) északi irányban Košice felett repül! A Föld mágneses terének indukciója az Egyenlítı felett B r = T és az Északi-pólus felett B s = T Košice felett B k = T, és a mágneses indukció vektora a vízszintes síkkal α = 66 -os szöget zár Az egyszerőség kedvéért tételezzék fel, hogy a Föld mágneses terének szimmetriatengelye megegyezik a Föld forgástengelyével, amelyek a földrajzi pólusokon mennek keresztül Magyarázzák meg, hogy miért nem folyik áram a repülıgép elektromosan vezetı részeiben annak ellenére, hogy a két végük között elektromos feszültség van! Meg lehet mérni a kapott feszültség értékeit a repülıgépben? A válaszukat indokoljátok meg! A feladatot oldják meg általánosan, majd a következı értékekre: v = 70 km h -1, r = 80 m, d = 60 m, h = 8,5 m! 7 A fizikai inga lengésének vizsgálata Ľubomír Mucha Egy tetszıleges szilárd testet, amely képes forgómozgást végezni a vízszintes tengely körül (amely nem halad át a test súlypontján) fizikai ingának nevezzük A test stabil egyensúlyi helyzetben van, ha a súlypontja a lehetı legalacsonyabb helyzetben található (tehát a súlyponton áthaladó függıleges egyenes metszi a forgástengelyt) Ha a testet kitérítjük ebbıl a helyzetbıl, lengeni kezd Ezt a mozgást a következı mozgásegyenlet írja le d ϕ Jε = m g asinϕ, ahol ε = a szöggyorsulás, d t φ a kitérés szöge, J a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez viszonyítva, a pedig a test súlypontjának (merıleges) távolsága a forgástengelytıl Amennyiben a test csak kicsit leng ki ( ϕ sinϕ ), a lengés harmonikus, és a mozgásegyenletbıl megkapható a T lengésidı J T = π mga A J tehetetlenségi nyomaték függését a forgástengely és a súlypont távolságától a Steiner-tétel adja meg J = J 0 + m a A fizikai inga egyszerő modellje, amely egy henger alakú rúdból és Z nehezékbıl áll, a B 3 ábrán látható A B 4 ábrán a lengésidı tipikus függése van ábrázolva, mint az O forgástengely-távolság függvénye A vízszintes tengelyen található T k pont a test súlypontjának helyzetét mutatja, l az inga úgynevezett redukált hossza A redukált hossz az a távolság két lehetséges forgástengely között, amelyek körül az inga ugyanolyan lengésidıvel leng (ezek a forgástengelyek nem szükségszerő, hogy szimmetrikusan helyezkedjenek el a test súlypontjához viszonyítva) Ha egy egyszerő (matematikai) ingát használnánk, amelynek hossza az l redukált hossz, az szintén azonos lengésidıvel lengene Az ábrából nyilvánvaló, hogy a 1 + a = l A T 1 és T lengésidı azonosságából a megfelelı a 1 és a távolságokból kimutatható hogy J1 J l = =, ahol J 1 és J a tehetetlenségi nyomatékok a megfelelı tengelyhez viszonyítva ma ma 1 Mérési feladat 1 Vizsgálják meg a T lengésidı függését az x távolságtól! Szerkesszék meg ennek a T(x) függvénynek a grafikonját! Számítsák ki az adott paraméterekre a súlypont helyzetét az A ponthoz viszonyítva a következı képlet szerint

5 A T O x T x 1 a L T 1 a 1 a T k l T k Z a 1min a min a B 3 ábra B 4 ábra L mt + mz x1 x Tvyp = mt + mz Ellenırizzék a rúd egyensúlyát ehhez a ponthoz viszonyítva Határozzák meg a súlypont x Tnam helyzetét a T(x) függés grafikonjából, ha tudjuk, hogy a 1min = a min és l min = a1min + amin 3 Számítsák ki az inga J 0 tehetetlenségi nyomatékát (a képlet rúdra érvényes) a súlyponton áthaladó tengelyhez viszonyítva! 1 L J 0 = mt L + mt xt + mz 1 ( x x ) T 1 Megmérve a legkisebb lengésidıhöz tartozó tengely helyzetét, határozzák meg kísérletileg a súlyponton áthaladó tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékot! Használják a következı képletet ( ) ( l ) min m m J 0nam = T + z 4 Vezessék le a fenti összefüggést! 4 Határozzák meg a nehézségi gyorsulást a mért értékekbıl felhasználva a következı összefüggést lmin g = T1min + Tmin 4π Az összefüggést vezessék le! Hasonlítsák össze a mért és a táblázati értéket δ g = g nam g Segédeszközök g tab tab 100%

6 A rúd, ha lehet, legyen 60 cm hosszú kb 00 g tömegő alumíniumrúd A Z nehezék legyen legalább 50 g tömegő, 5 cm távolságban az egyik végétıl A nyílások a rúdon legyenek 1 cm távolságra egymástól A nyílások legyenek megfelelı nagyságú furatok, hogy átmenjen rajtuk egy szög, de legjobb mm átmérıjő acélrúd, amely nem hajlik meg A szöget, acélrudat erısítsük satuba, ez lesz a forgástengely Az alumíniumrúd helyett használhatunk farúdat is Ebben az esetben tartsák be az ajánlott tömegarányt! Fizikai Olimpiász 49 évfolyam az B kategória 1 fordulójának feladatai A feladatok szerzıi: Juraj Tekel, Milan Grendel, Ľubomír Konrád, Ivo Čáp, Ľubomír Mucha Bírálat: Margita Brezinová, Ivo Čáp Szerkesztı: Ľubomír Mucha, Mária Kladivová Slovenská komisia Fyzikálnej olympiády, 007 Translation Teleki Aba; 007