A COMPTON-EFFEKTUS VIZSGÁLATA

Átírás

1 A COMPTON-EFFEKTUS VIZSGÁLATA. A Compton-effektus elméleti leírása A Compton-effektus során az elektromágneses sugárzás kvantuma részecskének tekinthető, és rugalmasan szóródik szabad (avagy a sugárzás energiájához képest gyengén kötött) elektronokon, vagy protonokon. A jelenséget először Arthur Compton figyelte meg 93-ban. A szóródás során az elektromágneses sugárzás részecskéjének (a fotonnak) energiája a meglökött elektronnak átadott energiával csökken így a foton hullámhossza megnövekszik, mivel a kvantummechanika szerint a foton energiája arányos a frekvenciájával, E = hν. Ez a fény klasszikus hullámelméletével nem magyarázható, ugyanis a klasszikus hullámoknak szóródásuk során nem változik a frekvenciája (ahogy a hang magassága sem függ attól, hogy a keletkezése után min szóródott). Ezért a Compton-effektus felismerése a kvantumelmélet egyik fontos bizonyítéka lett. A foton energiaváltozásának kiszámításához felírjuk a négyes- illetve hármasimpulzus, sebesség, illetve tömeg és energia közötti összefüggéseket: p = E c, p = mu ( ) ( γ, γ ) u = c v v =, =, E = mc β c γ β γ µ ( µ ) 4 m c = c p p = E p c mv p = β A Compton-szórásra felírható relativisztikus energia- és impulzusmegmaradási egyenletek (lásd. ábra): e e p = p p, továbbá () e + E + m c = E + E, beírva az impulzusokat pedig a 4 e e e p c + m c = p c + m c + p c ()

2 egyenletet kapjuk, ahol előtt, illetve után, p és p az elektron impulzusa az ütközés után, e p a foton (hármas)impulzusa az ütközés m e az elektron nyugalmi tömege, c a fénysebesség, az aláhúzás nélküli p mennyiségek pedig a megfelelő impulzusvektorok abszolút értékei. ábra. A szóródásban részt vevő részecskék impulzusai Az ()-ből következik: p e = p p, azaz p = p + p p p cos ϕ e Itt ϕ a foton szórási szögét jelenti. A () egyenletből adódik az alábbi (rendezés, négyzetre emelés és c -tel való osztás után): p = p + p + p m c p p p m c e e e Ezt az előbbivel összevetve és kifejezve belőle a szórt foton impulzusát a: p p = p + ( cos ϕ) mec összefüggésre jutunk. Ezt átírhatjuk energiára és impulzusra, bevezetve a foton p c = h ν energiáját (itt h a Planck állandó és ν a frekvencia):

3 h ν ahol γ = m c e hν ν = hν P + γ (3) h ( cosϕ) és bevezettük a P mennyiséget, amely a szóródott és az eredeti foton energiájának aránya (P függ a ϕ -től és ν -től). E folyamatnál tehát a tapasztalattal egyezésben a szóródás szögének függvényében a szórt foton energiája csökken, azaz a hullámhossza nő. A 6. ábrán 66 kev primer energia esetén a szórt fotonok energiáját mutatjuk be a szórási szög függvényében. A (3) egyenlet alapján látható, hogy kis foton-energiák esetén (γ << ) a primer és a szórt frekvencia majdnem megegyezik, míg extrém relativisztikus esetben (γ >> ) elég nagy szögekre a szórt frekvencia: ν h ( cos ϕ) me c illetve a szórt hullámhossz: λ = c h ( cos ) ν = me c ϕ (4) független a primer foton energiájától. ábra. A szórt foton energiájának és a beeső foton energiájának hányadosa a szórási szög függvényében, néhány különböző γ E /m e c értékre

4 Az () és () összefüggésekből könnyen megkapható a meglökött elektron energiája és a bejövő fotonhoz képest mért θ szórási szöge a szóródott foton ϕ szögének függvényében. A nagyenergiájú fotonok szóródására Compton és mások (így a magyar Bay Zoltán és Szepesi Zoltán) ellenőrző méréseket végeztek koincidencia berendezések segítségével. Megállapították, hogy a meglökött elektronok és a szórt fotonok energiája a szórási szög függvényében a fenti modellel teljes összhangban van, valamint hogy a szórási folyamat - másodpercnél rövidebb idő alatt lezajlik. A szórt fotonok szögeloszlását (azaz, hogy egy adott energiájú foton milyen valószínűséggel szóródik egy adott ϕ szögbe) O. Klein és Y. Nishina határozták meg elméleti úton. Eszerint egy foton ϕ szögbe történő szórásának valószínűsége: + cos ϕ d σ ( ϕ ) = π r sin ϕ d ϕ + γ ( co s ϕ ) ( co s ϕ ) ( cos ) γ + cos ϕ + + γ ϕ (5) e 5 Itt r,8 m 4 mec = = a klasszikus elektronsugár. Ez a képlet πε jóval egyszerűbb, ha felhasználjuk a (3) egyenletben bevezetett P arányt: 3 d σ ( ϕ) = π r sinϕ dϕ( P P sin ϕ + P ). dσ ( ϕ ) dσ ( ϕ ) A 3. ábrán a = mennyiséget ábrázoltuk r π sinϕ dϕ r dω néhány γ értéknél. 3 ábra. A Compton-szórás hatáskeresztmetszete a szórási szög függvényében.

5 Ahogy az (5) egyenletből és a 3. ábrából látható, γ esetén visszakapjuk a klasszikus Thomson képletet. Nagy γ értékeknél kis szögekre a szögeloszlás közelítőleg a klasszikus eredménnyel egyezik, nagy szögeknél azonban a visszaszórás valószínűsége egyre kisebb. Már γ=,5 esetben (kemény röntgen sugarak) jelentősek az eltérések a Thomson képlettől. A 3. ábrán jelölt pontok W. Friderich és G. Goldhaber mérési eredményeit mutatják. Hogyan tudjuk ezt az elméleti eredményt a mérésünkkel ellenőrizni? A hatáskeresztmetszet definíciója a következő: Nszórt = Ncéltárgy j σ, t ahol N szórt a t idő alatt szóródott részecskék száma, N céltárgy a céltárgyban lévő szórócentrumok száma, j a bejövő áramsűrűség, σ pedig a teljes hatáskeresztmetszet. Ezt átírva differenciális hatáskeresztmetszetre, és beírva a nyaláb és a minta közös keresztmetszetét (A), a minta vastagságát (dx) és a céltárgyban a szórócentrumok számsűrűségét (n), a következőt kapjuk: Nszórt dσ = j A dx n Ω t dω, ahol a detektorunk által lefedett térszög Ω. A j A szorzat a forrásból a céltárgyra irányuló (azon áthaladó vagy szóródó) fotonok száma másodpercenként. Végül megállapíthatjuk, hogy a szórócentrumok éppen a minta szabad elektronjai. Ennél az energiánál lényegében az összes elektron szabadnak tekinthető, azaz az elektronok számsűrűségét kell felhasználnunk: ρn AZ n =, M ahol ρ a minta tömegsűrűsége, Z a rendszáma, M a móltömege, és N A az Avogadro-szám. Így tehát az adott idő alatt szóródott fotonok számának mérésével a differenciális hatáskeresztmetszetet mérhetjük, és ellenőrizhetjük a Klein-Nishina formulát.. A mérés leírása A laboratóriumi gyakorlat során 37 Cs izotópot használunk forrásként, melynek aktivitása 963. április 9-én 486,55 MBq volt. A 37 Cs izotóp 3,7 év felezési idővel, negatív béta-bomlással gerjesztett állapotú 37 Ba atommagba bomlik, amelynek a felezési ideje,55 perc, és 9% valószínűséggel 66 kev energiájú gamma fotonokat bocsájt ki. Ezeknek a gamma-részecskéknek a Compton-szóródását fogjuk vizsgálni. A sugárforrás nagyon közelről káros hatásokat fejthet ki, ezért ne érjünk hozzá,

6 csak csipesszel fogjuk meg, mérés közben pedig mindig legyen köztünk és a sugárforrás között ólom árnyékolás (a gamma sugárzást az ólom leárnyékolja), az ALARA elv szerint: a sugárterhelést tartsuk a minimális, ésszerűen elérhető értéken. Becsüljük meg a forrás aktivitását (Becquerel, [Bq=/s]), illetve számítsuk ki a fotonnyaláb hasznos fluxusát az árnyékoló elemek geometriáját felhasználva. A sugárzás energiáját/teljesítményét ebből ki tudjuk számolni, hiszen minden bomlásnál egy 66 kev energiájú foton keletkezik. Ebből pedig az általunk elnyelhető dózis ([Gy=J/kg]) számolható ki: ez a sugárzás energiája osztva az azt elnyelő szövetek tömegével. Gamma-sugárzás esetén ez megegyezik az effektív dózissal, amit Sievert egységekben mérünk ([Sv=J/kg]). Az átlagos éves sugárterhelés 3 msv körül van, a fentiek alapján számítsuk ki, hogy a sugárforrás következtében a mérés ideje alatt kapható dózis ennek elhangyagolható töredéke-e. A Compton-effektus vizsgálatánál először ellenőrizzük a szórt fotonok energiájának szögfüggésére vonatkozó (3) képletet, valamint megvizsgáljuk, hogy a hatáskeresztmetszet szögfüggése leírható-e az (5) segítségével. Miután koincidencia módszerrel mérünk (azaz csak olyan eseményeket veszünk figyelembe, ahol elektront és fotont is detektáltunk), a meglökött elektron és a szórt foton kibocsátásának egyidejűségét is ellenőrizzük kb. -6 s pontossággal. A mérőberendezést a 4. ábra mutatja vázlatosan. 4 ábra. A mérőberendezés blokkvázlata A 37 Ba izotóp 66 kev energiájú gamma fotonjait egy ólom kollimátor irányítja a szórócentrumra. A szórás plasztik szcintillátoron történik, így a szóró anyag egyúttal a meglökött elektronok detektálására is szolgál (D detektor). E detektor jelei erősítés után megfelelően formálva szolgáltatják az analóg-digitál konverter kapujeleit. A ϕ szögben elhelyezett D gamma

7 detektor jelei erősítés után egy PC vezérelt sokcsatornás analizátor rendszerbe jutnak. A sokcsatornás analizátor kártya PCA-4KN amely a PCben van beépítve. A mérés során elegendő 5 csatornában mérve különböző szögekben felvenni a gamma spektrumokat. Ezután különböző szögekben ismert időtartamok alatt mérve a teljes energiás gamma csúcsok helyéből megállapítható a szórt sugárzás energiája. Az egyes fotócsúcsok területéből pedig a szórt intenzitás szögfüggése, azaz a szögeloszlás határozható meg. Ehhez fel kell használnunk a NaI(Tl) fotócsúcs hatásfokának energiafüggését, melyet az 5. ábrán láthatunk. Ezt egy konstans szorzó erejéig a (6) képlet írja le (E a mért fotonenergiát jelöli MeV-ben):. 955E η = e E (6) 5. ábra. NaI(Tl) fotócsúcs hatásfok energia függése relatív egységekben 3. Az eredmények értelmezése Az eredmények értelmezéséhez elengedhetetlen a hibáik pontos becslése. A mérés statisztikus hibája abból származik, hogy véges beütésszámokat mérünk, és nem folytonos eloszlást. A Poisson-eloszlás tulajdonságai miatt az egy csatornába történt beütések számának hibája (sok beütés esetén) jó közelítéssel az érték gyöke, N = N. Tehát ha a beütésszám egy intervallumon (a mérés eredményeként létrejövő hisztogram egy csatornájában) felett van, akkor lesz a hibája %-nál kisebb. Ez a hiba pontról pontra független, azaz nincs összefüggés az egyes pontok

8 hibájának előjele és nagysága (azaz hogy a valódi értéknél kisebbet vagy nagyobbat mértünk-e, és mennyivel) között. Ezeket felhasználva kiszámíthatjuk az elméleti görbe valószínűségét, vagyis hogy az a mérési pontokkal mennyire konzisztens. Ehhez az adatok és az elméleti görbe χ távolságát a következőképpen definiáljuk: χ f ( x i ) y = i, y i ahol f(x) az illesztett elméleti görbe, x i a mérési pontok helye (esetünkben a ϕ szög), y i a mérési eredmények (energia illetve hatáskeresztmetszet), és y i a mérési eredmények hibái. A kapott χ valószínűségsűrűségét ekkor a χ és a szabadsági fokok k száma (a mérési pontok száma mínusz az illesztett függvény paramétereinek száma) figyelembe vételével kaphatjuk meg, feltéve, hogy a hibák függetlenek, és eloszlásuk egyenként Gauss-eloszlású: k / χ / P( χ ) = χ e. k / k /! i ( ) ( ) ( ) (Páratlan k-ra értelmezzük a nevezőben levő faktoriálist! = π és n +! = n + n! segítségével, ahol n egész szám!) Mivel χ várható értéke k, szokásos definiálni a relatív χ -et: χ = χ k. Ugyancsak szokásos az illesztés jóságát a konkrétan mért χ M r / ~ χ M jellemezni, amelyet (adott k-ra) a P( χ M ) = P( χ ) érték valószínűségével dχ mennyiséggel definiálunk. Ha az illesztett függvény és az adatok eltérése nagy, akkor ez a szám kicsi lesz. Ezen kívül az eredményeknek lehet szisztematikus, pontról pontra összefüggő hibája is. Ilyen például a mérési berendezések hatásfokának becsléséből származó hiba, hiszen ha például a hatásfokot alulbecsültük, akkor minden mért pontot felfelé mozdítottunk el. Jelen mérésnél azonban a fő szisztematikus hibaforrás a kalibrációból adódik, amellyel a csatornaszámból az energiát számítjuk. A szisztematikus hibákat (δy i ) úgy vehetjük figyelembe, hogy a χ értékét módosítjuk: χ i i + αδ i yi f ( x ) y y =, i ahol α egy szám, amelyet és között változtathatunk. Akár úgy is felfoghatjuk ezt, hogy az illesztett függvényt módosítjuk egy intervallumonként meghatározott konstans eltolással, amelynek α együtthatója egy új paraméter. Ekkor természetesen a valószínűség

9 kiszámításánál figyelembe kell venni azt is, hogy ha α, akkor az csökkenti a végső eredmény valószínűségét. A hibákra különösen nagy figyelmet kell fordítanunk, hiszen egy mérés csak akkor cáfol vagy erősít meg egy elméletet, ha a mérési eredmény és az elméleti számítás különbsége többszöröse a hibáknak. Hiszen annak a valószínűsége, hogy egy mérési pont a valóstól legalább egy hibaegységnyit eltér, 3% körül van, és csak a mérés és az elmélet legalább három hibaegységnyi eltérését tekintik általánosan felfedezés (cáfolat) értékűnek (egy mérési pont esetén). Mérési feladatok:. Kalibráljuk az energiamérésnél használt sokcsatornás analizátort a forrás ϕ szögben, koincidencia nélkül mért gamma-energiájának (66 kev) és az ólom K α vonalának (75 kev) segítségével!. A 3 szögtartományban legalább 8 szögben és minimum cm elektron-detektor gamma-detektor távolságnál legalább %-os statisztikus pontossággal mérjük meg a szórt gamma fotonok intenzitását, és állapítsuk meg azok energiáját. A mérést az elektrondetektorral koincidenciában végezzük el! 3. A mérések alapján vizsgáljuk meg a (3) összefüggés teljesülését (ábrázoljuk a mért és a számított fotonenergiát a szög függvényében, mérési hibákkal, számítsunk χ -et), és elemezzük a statisztikus és szisztematikus hibaforrásokat, és hatásukat a mérési eredményre. 4. Mérjük meg (koincidencia használata nélkül) a fotonok energiáját ϕ szögnél, csatornaszámban kifejezve! Tegyük fel, hogy nem ismerjük ezt az energiát kev-ben, sem az energia-kalibrációs konstanst. Csak azt tételezzük fel, hogy az energiamérésnél kapott csatornaszám arányos a foton energiájával. Ábrázoljuk az E γ (ϕ )/E γ (ϕ) értéket (a csatornaszámok arányát használva) cosϕ függvényében, a hibákkal együtt! Erre illesszük az elméleti függvényt, a γ paramétert szabadon hagyva! Az illesztés eredményéből (γ) és az elektron ismert tömegéből számítsuk ki a céltárgyra érkező fotonok energiáját, és annak hibáját! 5. Felhasználva a NaI(Tl) detektor fotócsúcsának megadott hatásfokát (5. ábra), hasonlítsuk össze a mért szögeloszlás alakját a Klein-Nishina által levezetett függvényalakkal (5). Itt alkalmazzuk a súlyozott legkisebb négyzetek módszerét, és csak a K normálási állandót tekintsük szabad paraméternek: N mért / hatásfok=k * Klein-Nishina. Mekkora a K és χ?

10 6. Értelmezzük a 5. pontban illesztéssel kapott K konstanst! Egyezik-e az a Klein-Nishina formulából, céltárgyvastagságból, elektronszámsűrűségből stb. számított konstanssal? Számítsuk ki azt is, hogy a fotonoknak összesen hány százaléka szenved Compton-szóródást a céltárgyon (tekintet nélkül a szórási szögre)! 7. Becsüljük meg, hogy a laborgyakorlat ideje alatt mekkora sugárdózist kaphattunk volna az ólomárnyékolás alkalmazása nélkül! (Használhatjuk a SUG mérésleírás elején található képletet és dózisállandó-táblázatot!) Irodalom:. W. Heitler: A sugárzás kvantumelmélete, Akadémiai Kiadó, (959), - oldal.. V.B. Bereszteckij, E. Lifsic, L.P. Pitajeszkij: Relativisztikus kvantumelmélet, Tankönyvkiadó, (979), oldal, (Landau-Lifsic, Elméleti Fizika sorozat, IV. kötet). Ellenőrző kérdések:. Milyen anyagok vagy részecskék közötti kölcsöhatást ír le a Comptoneffektus?. Rajzolja le a kölcsönhatást egyszerű diagramon (részecskék, impulzusok)! 3. Mi az összefüggés az energia és hullámhossz között, és mire vonatkozik? 4. Mi az összefüggés egy relativisztikus részecske energiája és négyesimpulzusa között? 5. Hogyan függ össze a hármasimpulzus és a négyessebesség? 6. Lehet-e a négyessebesség valamelyik komponense nagyobb, mint a fénysebesség, és ha igen, melyik? 7. Hogyan függ a Compton-szóródott részecske energiája a szórás szögétől? Rajzoljon fel egy vázlatos diagramot! 8. Milyen általános fizikai összefüggések felírása (és a következmények levonása) elégséges a Compton-effektus kvantitatív magyarázatához? 9. Melyik alapevető fizikai elmélet bizonyítékául szolgált a Comptoneffektus?. Mit tud a Compton-szórás szögének eloszlásáról?. Mi az a hatáskeresztmetszet?

11 . Milyen sugárforrást használunk a Compton mérésnél (milyen részecskéket sugároz ki)? 3. Mi az az ALARA elv? 4. Mi az a sugárzási aktivitás? 5. Hogyan változik egy forrásban az aktív (még el nem bomlott) magok száma az idővel? 6. Mi a Becquerel? 7. Mi a Sievert és mi a Gray? 8. Nagyságrendileg mennyi a természetes háttérsugárzásból származó éves sugárterhelés? 9. A Compton-effektus során használt sugárzás ellen milyen anyaggal lehet védekezni, és hogyan?. Mi az a plasztik szcintillátor?. Hány plasztik szcintillátor van a Compton mérésben, és mire használjuk ezt/ezeket?. Mi az az analóg-digitál konverter? 3. Milyen mennyiségek közötti összefüggést mérjük meg a mérés során? 4. Miért fontos egy mérés hibájának ismerete? 5. Ha a mérésünk eredménye az, hogy 4 eseményt észleltünk egy adott feltétellel (mondjuk 4 fotont egy adott energia-intervallumban), akkor ennek az eredménynek hány százalék a statisztikus hibája? 6. Egy mérési eredmény mennyire kell, hogy eltérjen egy elméleti számítás eredményétől ahhoz, hogy kizárja azt?