A multikollinearitás vizsgálata lineáris regressziós modellekben A PETRES-féle Red-mutató vizsgálata

Átírás

1 Szeged Tudoányegyete Gazdaságtudoány Kar Közgazdaságtudoány Doktor Iskola A ultkollneartás vzsgálata lneárs regresszós odellekben A PETRES-féle Red-utató vzsgálata Doktor értekezés Készítette: Kovács Péter Téavezető: Dr. Petres Tbor egyete docens Szeged 008

2 Tartalojegyzék ELŐSZÓ... I. AZ ÉRTEKEZÉS PROBLÉMÁJÁNAK DEFINIÁLÁSA, CÉLJAI, HIPOTÉZISEI... 3 I.. A PROBLÉMA MEGFOGALMAZÁSA... 3 I.. REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS... 3 I. 3. A MULTIKOLLINEARITÁS FOGALMA... 5 I. 4. A PETRES-FÉLE RED-MUTATÓ... 8 I. 5. A DISSZERTÁCIÓ CÉLJA ÉS A KUTATÁSI HIPOTÉZISEK... 9 II. A MULTIKOLLINEARITÁS SZAKIRODALMÁNAK ÁTTEKINTÉSE...3 II.. A MULTIKOLLINEARITÁS KÖVETKEZMÉNYEI...3 II.. A MULTIKOLLINEARITÁS FELISMERÉSE, MÉRÉSE, ILLETVE MÉRŐSZÁMAINAK BÍRÁLATA...5 II. 3. A MULTIKOLLINEARITÁS NEGATÍV KÖVETKEZMÉNYEINEK CSÖKKENTÉSE...33 II. 4. AZ ISMERTETETT MUTATÓK ÉS ELJÁRÁSOK EMPIRIKUS SZEMLÉLTETÉSE...40 III. A PETRES-FÉLE RED-MUTATÓ VIZSGÁLATA...54 IV. III.. A RED-MUTATÓ SZÁMSZERŰSÍTÉSE A SAJÁTÉRTÉKEK ISMERETE NÉLKÜL...54 III.. A MULTIKOLLINEARITÁS ELLIPTIKUS MODELLJE...58 III. 3. A RED-MUTATÓ ÉS A REGRESSZIÓS PARAMÉTEREK VARIANCIÁI...67 III. 4. A RED-MUTATÓ ELOSZLÁSÁNAK VIZSGÁLATA...74 III. 5. A RED-MUTATÓ ÉS A KMO-MUTATÓ KAPCSOLATA...78 III. 6. A MULTIKOLLINEARITÁS EGY MÁSIK MÉRÉSI LEHETŐSÉGE...8 A KUTATÁS EREDMÉNYEINEK ÉRTÉKELÉSE, TOVÁBBI KUTATÁSI IRÁNYOK...86 IV.. ÉRTÉKELÉS, TÉZISEK...86 IV.. KUTATÁSI IRÁNYOK A JÖVŐRE VONATKOZÓAN...89 V. IRODALOMJEGYZÉK...9 VI. MELLÉKLETEK...96 VI.. ÁBRAJEGYZÉK...96 VI.. TÁBLAJEGYZÉK...97 VI. 3. PÉLDA A DEF-MUTATÓ HIÁNYOSSÁGÁRA...98 VI. 4. A II. 4. ALFEJEZET EMPIRIKUS PÉLDÁJÁNAK DEFLÁLT ADATAI 004-ES ÁRSZÍNVONALON, ILLETVE A SZÁMÍTÓGÉPES ELEMZÉS NÉHÁNY KIMENETE...00 VI. 5. A MULTIKOLLINEARITÁS ELLIPTIKUS MODELLJE HÁROM TÉNYEZŐVÁLTOZÓ ESETÉN... VI. 6. A TÉNYEZŐVÁLTOZÓK KORRELÁCIÓS MÁTRIXA SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS RECIPROKÖSSZEGÜKNEK A VISELKEDÉSE HÁROM TÉNYEZŐVÁLTOZÓ ESETÉN, RÖGZÍTETT RED ÉRTÉK MELLETT...3 VI. 7. A RED-MUTATÓ EMPIRIKUS ELOSZLÁSFÜGGVÉNYÉNEK MEGHATÁROZÁSÁHOZ HASZNÁLT ALGORITMUS...8 VI. 8. PUBLIKÁCIÓIM, KONFERENCIA-ELŐADÁSAIM...9

3 Előszó Jelen dsszertácó a Szeged Tudoányegyete Statsztka és Deográfa Tanszékén készült. A Tanszék oktató-kutató unkájába először 000-ben kapcsolódta be, akkor ég deonstrátorként. A Tanszéken folyó szaka unka jelentősen bővítette látóköröet. Az értekezés elkészítése során nagyon sok segítséget és táogatást kapta. Ezért, elsőként köszönettel tartozo téavezetőnek, dr. Petres Tbornak a Statsztka és Deográfa Tanszék egyete docensének. Az ő által vezetett kutatások, együttgondolkodások és a közös szaka unka jelentősen hozzájárult az értekezés téaválasztásához, lletve elkészítéséhez, valant a szaka fejlődésehez. Köszönet llet dr. Lukovcs Mklóst, ak többször s gondosan átolvasta unká és hasznos tanácsaval, észrevételevel sokat segített. Köszönettel tartozo az elő-opponensenek s, dr. Rappa Gábornak és dr. Král Andrásnak, akk egyrészt nagyon jó és hasznos ötletekkel elősegítették az értekezés végső forátuának elérését, ásrészt ötletek rendkívül gondolatébresztők voltak a később kutatásara nézve. Továbbá hálás vagyok nden kollegának, akk ötletekkel, tanácsakkal segítettek. Ne utolsó sorban szeretné egköszönn családonak a ktartást és a táogatást.

4 I. Az értekezés probléájának defnálása, célja, hpotézse I.. A probléa egfogalazása A a vlágban nagyértékben növekszk a döntéshozók nforácógénye. Az adatok ennységének nagyértékű növekedése ne jár együtt autoatkusan a egfelelő értékű nforácónövekedéssel. Igazából a döntéshozóknak a ár ne az adatok hányával, hane azok bőségével kell szebenéznük. Éppen ezért, eprkus elezéseknél lényeges kérdés a etrkus adatok nforácótartala, vel a nagyon nagy ennységű adat gyakran kevés nforácót hordoz, azaz nagyértékű a redundanca. Ez utóbb alatt a vzsgálat szepontjából újabb nforácót, érdeleges közlést ár ne tartalazó, felesleges adatokat értjük (PETRES TÓTH, [006]). Különösen gaz ez a lneárs regresszós odellek alkalazásakor. Ahhoz, hogy ezekben a odellekben eg tudjuk ragadn a redundanca egjelenés foráját, a következő alfejezetben rövden összefoglalo a regresszószáítás a továbbak egértéséhez feltétlenül szükséges alapseretet. I.. Regresszószáítás Többváltozós eprkus elezéseknél a statsztka ódszerek közül talán leggyakrabban a regresszós odell kerül alkalazásra, elynek legsertebb típusa a standard lneárs regresszós odell. Ez átrxalgebra jelöléssel az () ~ y Xβ ~ ~ + ~ ε forában s felírható, ahol y~ : az eredényváltozó n koponensű oszlopvektora; X ~ : a tényezőváltozók n sorból és (+) oszlopból álló átrxa, ahol az első oszlop ndg egy ~ x 0 összegező vektor; ~ β : a odell száunkra seretlen paraéterenek (+) koponensű oszlopvektora; : a agyarázóváltozók (tényezőváltozók) száa; 3

5 ε~ : a hbatag n koponensű oszlopvektora. A odellben szereplő seretlen paraéterek n egfgyelésből álló nta alapján történő becslőfüggvénye a legksebb négyzetek ódszere (LNM, a szokásos angol rövdítése OLS) szernt az alább. () ˆ~ ~ ~ ~ β ( X X) X ~ y A β ~ funkconáls operátor olyan hpersíkot eredényez, aely a legjobban lleszkedk a egfgyelések n-denzós pontfelhőjéhez. Az eredényváltozó értékenek becslését az y ˆ~ ~ ˆ~ Xβ átrxegyenlet adja, ahol ~ X M ~ x ~ x ~ x n L ~ x ~ x ~ x n ˆ~ β 0 ˆ~ ˆ~ β β. M ˆ~ β A standard lneárs regresszós odell egy olyan fekete dobozként képzelhető el, aelynél a beenetet a agyarázóváltozók alkotják, a kenet pedg az eredényváltozó. A odell feltételrendszerének fontos részét alkotják többek között az alábbakban sertetett feltételek s (PETRES TÓTH, [006]): a agyarázóváltozók lneársan függetlenek. A feltétel ne teljesülése esetén az X ~ X ~ átrx ne nvertálható, így a regresszós paraéterek eghatározása a () képlet alapján ne lehetséges. A hbatag nulla várható értékű, konstans ~σ varancájú, értéke páronként korrelálatlan valószínűség változók, aelyek együttes eloszlása n-denzós noráls eloszlás. A regresszószáítás gyakorlat alkalazásakor ügyelnünk kell arra, hogy a standard lneárs regresszós odellt ne használjuk, ha valaelyk feltétele szgnfkánsan ne Ilyenkor a regresszós paraéterek valalyen specáls lneárs kobnácója egbecsülhető, ég ha az egyes paraéterek értéke ne s (THEIL, [97]). 4

6 teljesül! Közgazdaság elezéseknél ennek leggyakrabban háro oka lehet (PETRES TÓTH, [006]): ultkollneartás: a agyarázóváltozók lneársan ne függetlenek, vagy az együttozgásuk statsztkalag jelentős, azaz szgnfkáns; autokorrelácó: a hbatag különböző egfgyelésekhez tartozó értéke együttozognak; heteroszkedasztctás: a hbatag szórásnégyzete ne állandó. A standard lneárs regresszós odellben a becsült paraéterek varancát a (3) ˆ~ Var( β) ~ σ ~ ~ ) ( X X alapján tudjuk kszáítan. A továbbakban, a ultkollneartás jelenségére fókuszálok, ugyans lneárs regresszós odellek esetén ez a jelenség a redundanca egy fajtájaként értelezhető. I. 3. A ultkollneartás fogala A ultkollneartás fogala a szakrodaloban látszólag egységes. Az egyes defnícók általában egy-egy szóban térnek el egyástól, de nt látn fogjuk ez jelentős tartal változást jelent. A ultkollneartás fogalát RAGNAR FRISCH vezette be. Olyan esetek leírására használta, akor egy változó több összefüggésben szerepel. Ezekben a vzsgálataban ne különböztette eg az eredényváltozót a agyarázóváltozóktól. Feltételezése szernt, nden változó érése hbás, ez alapján kell egbecsüln a változók tényleges értéke között korrelácót (MADDALA, [004]). Nagyon felületes eghatározás az, hogy a ultkollneartás a tényezőváltozók függetlenségének a hánya. Ezzel a eghatározással az a probléa, hogy ne derül k egyértelűen az, hogy t értünk a agyarázóváltozók függetlensége alatt. Netán ezek lneárs függetlenségét, netán statsztka érteleben vett függetlenségét. Az. táblázat adata és ezen tényezőváltozók korrelácós átrxa (. táblázat) alapján látható, hogy ne 5

7 szgnfkáns korrelácós kapcsolatok esetén s lehetnek a tényezőváltozók lneársan összefüggőek.. táblázat: Lneársan függő tényezőváltozók ne szgnfkáns korrelácós kapcsolatokkal z x +y y x z x +y y x (forrás: saját szerkesztés). táblázat: Lneárs korrelácós együtthatók z x +y y x r Szgnfkanca n r Szgnfkanca n r Szgnfkanca n (forrás: saját szerkesztés) Továbbá, nagyon erős korrelácós kapcsolatok esetén se feltétlen lehet lneársan összefüggő változókról beszéln. Vszont, az bztos, hogy bárhogyan s értk a függetlenséget, ennek hánya esetén ne lesz nden korrelácós együttható nulla, azaz valalyen értékű együttozgás létezk a tényezőváltozók között. A standard lneárs regresszós odell egyk alapfeltétele a agyarázóváltozók lneárs függetlensége. Ezért, egyes forrásokban ultkollneartás alatt a tényezőváltozók lneárs függetlenségének hányát értk (HERMAN PINTÉR RAPPAI RÉDEI, [994]). Ez gyakorlatlag azt jelent, hogy valaelyk tényezőváltozó kfejezhető a több tényezőváltozó ne trváls lneárs kobnácójaként. Ennek következtében az X ~ X ~ 6

8 átrx ne nvertálható, így a regresszós együtthatók () képlet szernt becslése ne lehetséges. A továbbakban ezt a egközelítést a ultkollneartás egy specáls esetének teknte, elyet extré ultkollneartásnak nevezünk. Ez az eset a gyakorlatban ne okoz különösebb probléát, vel könnyen kezelhető. Az eprkus elezések során nagyon gyakran találkozhatunk az extré ultkollneartáshoz közel esetekkel, akor s az X ~ X ~ átrx ugyan nvertálható, de egyes becsült paraéterek varancá nagyértékben növekednek a hbatag szórásnégyzetéhez képest. A ultkollneartással foglalkozó szakrodalak döntő többsége ezzel az esettel foglalkozk. Azonban, elöljáróban egjegyze, hogy ultkollneartás alatt sokkal általánosabb jelenséget s lehetne érten, égpedg a tényezőváltozók együttozgását. Terészetesen ennek a eghatározásnak a specáls esete ndenk száára vsszaadnák azt a fogalat, at a ultkollneartás alatt ért. Ha a odell specfkácója egfelelő, akkor a ultkollneartás csak a egfelelő nforácó hányának következénye (KŐRÖSI MÁTYÁS SZÉKELY, [990]). Eprkus vzsgálatoknál gyakran kooly probléát jelent a ultkollneartás felserése és okának egtalálása, hszen egyrészt a ultkollneartás negatív következénye ne ndg lépnek fel, ásrészt a ultkollneartást ne csak egy változó, hane egy változócsoport s okozhatja. Így sejthető, hogy a ultkollneartás érőszáa ne nden esetben jellezk egfelelően ezt a jelenséget. A ultkollneartás érőszáanak értelezése sokszor eglehetősen szubjektív. Ugyans a érőszáok többsége arra ad választ, hogy a vzsgált adatálloány ennyre ne deáls, azaz lyen értékben térünk el az deáls esettől, akor s nden tényezőváltozó lneársan független egyástól. Néhány érőszá esetén nncs egyértelű határ az eltérés káros értékű jelzésére. A ultkollneartás negatív hatásanak csökkentésére, lletve kküszöbölésére gyakrabban használt ódszerek skeressége nagyértékben függhet a ultkollneartás pontos felserésétől. Ezen ódszerek többségének alkalazása ugyan csökkent, pontosabban nt látn fogjuk csökkenthet a ultkollneartás negatív következényenek értékét, de ez ás negatív következényekkel például jelentős nforácóveszteséggel, az eredények ne egfelelő értelezhetőségével járhat. A redundanca egy új, lehetséges érőszáa a PETRES-féle Red-utató (PETRES TÓTH, [004]). 7

9 I. 4. A PETRES-féle Red-utató A Red-utató defnálásakor a tényezőváltozók R korrelácós átrxának (j,,,) sajátértéket alkalazzuk. Mvel a korrelácós átrx poztív szedefnt átrx, ezért ennek sajátértéke nenegatívak. A korrelácós átrx sajátértékenek száa és összege s egegyezk a agyarázóváltozók száával. Ebből következően sajátértékenek szátan átlaga egy. A Red-utató az alább gondolateneten alapszk. Ha a agyarázóváltozók forrásául szolgáló adatálloány a βˆ~ becslőfüggvény szepontjából redundáns, azaz nagyértékű az adatok együttozgása, akkor ne ndegyk adat hordoz hasznos tartalat. Mnél ksebb a hasznos tartalat hordozó adatok aránya, annál nagyobb a redundanca értéke. Mnél nagyobb értékben szóródnak a sajátértékek, annál nagyobb értékű az adatálloányban szereplő agyarázóváltozók együttozgása. Két szélsőséges eset létezk: nden sajátérték egyenlő egyással (azaz értékük egy), lletve egy sajátérték kvételével ndegyk sajátérték nullával egyenlő. A dszperzó értékét szászerűsíthetjük a sajátértékek relatív szórásával vagy (ebben az esetben az ezzel egyenlő) szórásával. j (4) σ v ( j ) j j j ( j ) j ( j ) j σ Különböző adatálloányok redundancájának összevethetősége végett a fent utatót noráln kell. Mvel a sajátértékek nenegatívak, ezért a relatív szórásra vonatkozó 0 v összefüggés att, a norálás értékével történk. A relatív szórás két szélső korlátjára (ha x 0 ) felírhatjuk a 0 v N összefüggést. Az alsó korlát v 0 nden esetben fennáll, ha x x (,,,N ). A felső korlát v N csak akkor áll fenn, ha x 0 (,,,N ) és N x. x N 8

10 Az így kapott utatót a redundanca értékének szászerűsítésére használhatjuk, és segítségével a Red-utatót az alábbak szernt defnáljuk. v Red (5) A redundanca hánya esetén a fent utató értéke nulla, lletve nulla százalék, íg axáls redundanca esetén egy, lletve száz százalék. A Red-utató a vzsgált, adott éretű adatálloány redundancáját ér. Két vagy több különböző éretű adatálloány redundancájának összevetésekor a Red-utatók alapján csak anny állítható, hogy az egyes adatálloányok ennyre redundánsak, de arra vonatkozó közvetlen kjelentés ne tehető, hogy ezek közül elyknek van több hasznosítható adata. I. 5. A dsszertácó célja és a kutatás hpotézsek A dsszertácó céljának egfogalazása végett rövden összefoglalo az eddg sertetett probléákat. Eprkus elezéseknél gyakor eset, hogy a vzsgálat szepontjából ne nden adat hordoz hasznos tartalat, azaz az adatálloány redundáns. Ez az eset a többváltozós lneárs regresszószáításnál a ultkollneartással agyarázható. Ezért a regresszószáítás során fontos tudn a () becslőfüggvény szepontjából hasznos tartalat hordozó adatok arányát, de probléa ennek a egfelelő érése. Erre egy lehetőség a PETRES-féle Red-utató. Kérdéses, hogy t jeleznek a ultkollneartás érőszáa, lletve az, hogy a ultkollneartás jelenlétének negatív következénye hogyan csökkenthetőek. A téa aktualtását az adja, hogy ezek a probléák a gazdaság elezések során sznte kvétel nélkül jelentkeznek. Különösen gaz ez, ha a agyarázóváltozókban erős trend van, vagy ha túlságosan kevés nforácó áll rendelkezésre ahhoz, hogy a tényezőváltozóknak az eredényváltozóra gyakorolt hatását vzsgáljuk (KENNEDY, [003]). 9

11 Ezért dsszertácó célja a Red-utató tulajdonságanak vzsgálata, valant ás érőszáokkal történő összehasonlítása, a többváltozós, lneárs regresszós odellen beutatva. Ennek egfelelően értekezése az alább felépítést követ. A II. fejezetben a ultkollneartással kapcsolatos szakrodalat utato be. Ebben a fejezetben áttekntésre kerül a ultkollneartás száos sert, lletve kevésbé sert érőszáa, detektálás ódja, lehetséges következénye, valant ezek negatív hatásának csökkentés lehetősége. A III. fejezetben sertete a kutatása során alkalazott ódszereket, lletve ezek eredényet. Megvzsgálo a Red-utató főbb tulajdonságat. Itt sertete ás, hasonló vzsgálat ódszerek eredényet, összevetve az általa kapott eredényekkel. A IV. fejezetben a kutatás tevékenysége és eredénye értékelése következk. Az V. fejezetben sertete a felhasznált rodalak jegyzékét. A VI. fejezetben találhatóak a dsszertácó elléklete. Az ábrák, a táblázatok jegyzéke, a hosszabb száítógépes elezések kenete, és a publkácó felsorolása. A dsszertácó céljának eléréséhez az alábbakban sertetett probléaköröket vzsgálo, lletve feladatokat hajto végre.. A ultkollneartás szakrodalának áttekntése. A szakrodal áttekntést a dolgozat II. fejezete tartalazza. A ultkollneartás fogalának előzetes tárgyalása után a fejezetben először a ultkollneartás gyakran elegetett negatív következényet foglalo össze. Majd áttekntésre kerül a ultkollneartás 8 sert, lletve kevésbé sert érőszáa, detektálás, lokalzálás ódja. A ultkollneartás felserése és lokalzálása után 8 olyan ódszert sertetek, aelyek alkalasak lehetnek a jelenség negatív hatásanak csökkentésére. A fejezet zárásaként egy eprkus példán szeléltete a fejezetben beutatott ódszereket, eljárásokat.. A Red-utató ás ódon történő kszáítása. A Red-utató defnícója szernt a korrelácós átrx sajátértéke alapján száítható k. Felerülhet a kérdés, hogy a sajátértékek serete nélkül kszáítható-e a utató 0

12 értéke, pusztán a tényezőváltozók korrelácós átrxának elee alapján. A III.. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást.. Állítás: A Red-utató kfejezhető a tényezőváltozók korrelácós átrxa sajátértékenek serete nélkül, pusztán a páronként korrelácós együtthatók négyzetes átlagaként. 3. A ultkollneartás vzsgálat ódszerének általánosítása Úgy gondolo, hogy a ultkollneartás vzsgálatakor ne csak változópárok együttozgása, hane változócsoportok együttozgása s probléát jelenthet. Ennek azonban ég nncs részletesen kdolgozott szakrodala. Úgy láto, hogy a probléára egoldást jelenthet a kanonkus korrelácóelezés használata, elnynek egy specáls helyzete vzsgálható a Red-utató segítségével. A III.. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást.. Állítás: Tényezőváltozók két csoportja együttozgásának vzsgálata egy egy eleű csoportok esetén a Red-utatóval, íg egy ( ) eleű csoportok esetén a VIF j utatók haronkus átlagának segítségével lehetséges. 4. A ultkollneartás új odellezés lehetőségének vzsgálata. A ultkollneartás odellezésének egy ódja a tényezőváltozók ortogonaltásának, azaz a tényezőváltozók tere kfeszítettségének vzsgálata. Jogos kérdés, hogy lehet-e ásképpen odellezn a ultkollneartást. A III.. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást. 3. Állítás: Új egközelítésként egalkotható a ultkollneartás ellptkus odellje a Red-utató alapján. 5. Valalyen kapcsolat keresése a becsült regresszós paraéterek varancá és a Red-utató között. Mvel a ultkollneartás egyk leggyakrabban elített negatív következénye a becsült regresszós paraéterek varancának, lletve ezek felfújódásának növekedése,

13 ezért célszerű egvzsgáln a Red-utató és a becsült regresszós paraéterek varancának kapcsolatát. A III.3. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást. 4. Állítás: Megadható a Red-utató egy olyan krtkus értéke, aely szükséges feltétele annak, hogy a becsült paraéterek varancá ne legyenek végtelenek. 6. A Red-utató eloszlásának vzsgálata. A III.4. fejezetben egpróbálo a Red-utató eprkus eloszlásfüggvényét elkészíten, lletve az elélet eloszlását eghatározn. 7. A Red-utató alkalazás lehetőségenek vzsgálata. Érdékes kérdés, hogy a Red-utató lyen területeken alkalazható. A III.5. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást. 5. Állítás: A Red-utató alapján kfejezhető a faktoranalízs során használt KMOutató. 8. A Red-utatóhoz hasonló érőszá egadása. Mvel a Red-utató a tényezőváltozók korrelácós átrxának sajátértéke alapján száított norált relatív szórás, ezért úgy gondolo, hogy a ultkollneartás érhető a sajátértékek ás szóródás érőszáával s, elynek alapgondolata egegyezk a Red-utató alapötletével. A III.6. fejezetben be fogo bzonyítan az alább állítást. 6. Állítás: A Red-utató defnálásának gondolatenetén alapuló hasonló ultkollneartás érőszá a tényezőváltozók korrelácós átrxa sajátértékenek GINI-együtthatója. A továbbakban, a könnyebb egértés kedvéért az értekezésben szereplő nagyszáú képlet közül csak azok kerülnek száozásra, aelyekre hvatkozás történk.

14 II. A ultkollneartás szakrodalának áttekntése A ktűzött feladatoknak egfelelően először a ultkollneartás szakrodalát foglalo össze. Ebben a fejezetben áttekntésre kerül a ultkollneartás száos sert, lletve kevésbé sert érőszáa, detektálás ódja, lehetséges következénye, valant ezek negatív hatásának csökkentés lehetősége. II.. A ultkollneartás következénye Sok helyen olvasható, hogy a ultkollneartásnak száos negatív következénye van. Mnt a későbbekben rávlágítok, a sokszor elegetett negatív következények ne ndg, csak bzonyos esetekben (near ultcollnearty) jelentkeznek. A ultkollneartás gyakran elegetett következénye az alábbak (KENNEDY, [003]): a becslés és az előrejelzés torzítatlan arad. A regresszós együtthatók (3) képlettel adott standard hbá nőnek. Az egyes agyarázóváltozók szeparált hatásának vzsgálata érteletlenné válk. Ugyans, a becsült paraéterek szórásnégyzete (3) szernt nagy értékben növekszk, elynek következtében a parcáls F-próbák (vagy t-próbák) értelüket vesztk, hszen ezen próbafüggvényeknek az értéke nagyon alacsonyak lesznek. A regresszós paraéterek () képlettel adott becslése bzonytalanná, nstabllá válk. Ezt szeléltet két tényezőváltozó esetén az. ábra és a. ábra. Az. ábra azt utatja, hogy a agyarázóváltozók statsztkalag jelentéktelen együttozgása esetén a becsült paraéterek varancá, a jelentős együttozgás esetén kszáított szórásnégyzetekhez vszonyítva jóval ksebbek. Ez azért van, ert az első esetben az adatálloánynak a pontfelhője az x -x síkvetületben nden denzóban szóródk és így az llesztett regresszós sík stabl. Míg a. ábra pontfelhője ne ndegyk denzóban szóródk az x -x síkvetületben, így a rállesztett sík könnyen kbllen, azaz nstabllá válk az llesztés. Magasabb denzószá esetén az ábrák vzsgálata nden x -x j síkvetületben szükséges. 3

15 . ábra: Stabl regresszós sík a agyarázóváltozók ne szgnfkáns együttozgása esetén (). ábra: Instabl regresszós sík szgnfkáns ultkollneartás esetén () (Mndkét ábra forrása: TRIČKOVIĆ, [976]) 4

16 Az eddgek szernt, ha a használt odellel kzárólag előrejelzést szeretnénk készíten, akkor ne jelent túlságosan nagy probléát a ultkollneartás jelenléte. Azonban a tényezőváltozók parcáls hatásanak a vzsgálata érteletlenné válk. A következények között találjuk azt, hogy a becsült regresszós paraéterek varancá növekednek, lletve ezeknek agas értékük lesz. Ezzel az állítással kapcsolatosan két probléát lehet egfogalazn. Egyrészt ne ndegyk varanca fog nővekedn, ásrészt pedg, t értünk az alatt, hogy ezeknek agas értékük lesz. Erre utatott rá MADDALA (004). Olyan ellenpéldát adott, aelyben a agyarázóváltozók nagyon erős kapcsolata ellenére a becsült paraéterek varancá a korább vzsgálat eredényekhez képest alacsony értékűnek tűnnek. A látszólagos ellentondás abban rejlk, hogy száos rodalo elfelejt feltűntetn, hogy a varancák növekedését ceters parbus értjük. Ugyans, ha egvzsgáljuk a (3) összefüggést, akkor láthatjuk, hogy a becsült paraéterek varancá két tényezőtől ~ ~ függnek. Egyrészt, a hbatag varancájától, ásrészt a képletben szereplő ( X X) átrx dagonáls eleetől. A MADDALA által adott ellenpéldában azért ne lesznek nagyok a becsült paraéterek varancá, ert alacsony a hbatag varancájának becsült értéke, azaz a rezduáls szórásnégyzet. Ezért, gyakorlatlag a becsült paraéterek varancának ne az abszolút nagyságát kell nézn, hane azt, hogy ekkora ezeknek (6) ˆ~ Var ~ σ ( β ) ~ ~ ( X X) felfújódása a hbatag varancájához képest. II.. A ultkollneartás felserése, érése, lletve érőszáanak bírálata A ultkollneartás detektálásának és érésének száos ódja sert, azonban ezek közül kevés a széles körben elfogadott vel, egyrészt a ultkollneartás detektálása sokszor nagyon nehéz feladat, ásrészt a utatók többségének értelezése eglehetősen szubjektív. A érőszáok, eljárások egy része általában csak detektálják a ultkollneartást, de általában szntetkus jellegük att ne lokalzálják a probléát. 5

17 Ezzel szeben a érőszáoknak és eljárásoknak egy csoportja több kevesebb skerrel egpróbálja lokalzáln (általában egy változóhoz kötn) a ultkollneartás jelenségét (például a tényezőváltozók korrelácós átrxának vzsgálata, a KLEIN-féle hüvelykujjszabály, MASON és PERREAULT vzsgálata, WILKS F-tesztje, FRISCH sugárkéve-térképek ódszere, a VIF j -utató, a toleranca-utató, BELSLEY varanca-dekopzícós eljárása). Ezen ódszerekkel a legfőbb probléa az, hogy a ultkollneartás lokalzálása vagy változópárok, vagy k eleű változócsoportok együttozgása alapján történk, azonban a ultkollneartást két tetszőleges száú tényezőváltozóból álló csoport együttozgása s okozhatja. Egy utató hasznos tulajdonsága az alábbak.. A utató norált legyen, azaz értéke 0 és közé essen.. A utató szntetkus (átfogó) legyen. 3. A utató értelezése objektív legyen. A továbbakban e szepontok szernt s jelleze a ultkollneartás néhány utatóját. A ultkollneartás felserésének egy egyszerű ódszere az, hogy a tényezőváltozók korrelácós átrxát vzsgálva, nagyobbnak tekntjük a ultkollneartás értékét, ha a főátlón kívül eleek abszolút értéke esszebb esnek nullától. A ódszerrel több probléa van. A ódszer ne határozza eg egyértelűen azt, hogy hány korrelácós együttható szgnfkáns eltérése jelez ultkollneartást. Az. példában szereplő háro tényezőváltozó lneársan ne független egyástól, azaz a odellben extré ultkollneartás van ennek ellenére a tényezőváltozók korrelácós átrxában a korrelácós együtthatók nullától való különbözőségeről ne tudjuk egállapítan, hogy azok jelentősek-e, vagy se. Így az eljárás a ultkollneartás skeres lokalzálására ne teljesen alkalas. A KLEIN-féle hüvelykujjszabály szernt akkor kell szgnfkáns ultkollneartással száoln, ha a agyarázóváltozók korrelácós átrxában létezk olyan korrelácós együttható, aelynek értéke közel van a többszörös korrelácós 6

18 együttható értékéhez. Ez a ódszer eglehetősen szubjektíven értelez a közelség fogalát (HERMAN PINTÉR RAPPAI RÉDEY, [994]). MASON és PERREAULT azt javasolta, hogy a vzsgálatba vont eredényváltozó és darab tényezőváltozó felhasználásával, a változók egkülönböztetése nélkül készítsük el az összes lehetséges (+)-denzós regresszós odellt úgy, hogy ndegyk odellben az eredényváltozó eredetleg egy-egy agyarázóváltozó volt. Aennyben ezen odelleknek a többszörös deternácós együttható ksebbek az eredet szereposztású odell többszörös deternácós együtthatójánál, akkor a ultkollneartás ne jelent probléát a vzsgálat szepontjából (MASON PERREAULT, [99]). Az M szntetkus utató a agyarázóváltozók és az eredényváltozó között korrelácós átrxot használja. Ha a agyarázóváltozók egyástól függetlenek, akkor a többszörös deternácós együttható értéke egegyezk az eredényváltozó és a agyarázóváltozók között páronként korrelácós együtthatók négyzetösszegével. Ennek az összegnek az r K többszörös deternácós együttható tényleges értékétől való ~ y. ~ x, ~,, ~ x x eltérése a ultkollneartás jelenlétére utal. M r ~ y~ x r~. ~, ~,, ~ y x x K x A fő kérdés az, hogy ekkora eltérés jelez erős ultkollneartást (HERMAN PINTÉR RAPPAI RÉDEY, [994])? Egy ásk szntetkus utató az M r~ y. ~ x, ~,, ~ ( ~. ~, ~,, ~ ~. ~, ~,, ~, ~,, ~ ) x K x ry x x K x r y x x K x j x j+ K x, j anek a többszörös deternácós együtthatóhoz közel értéke jelentős ultkollneartást jelez (FÖRSTER EGERMAYER, [966]). Hátránya, hogy a tényezőváltozók száának növekedésével étékének eghatározása a több utató kszáításához vszonyítva aránytalanul több száítást gényel. A közelség értelezése szubjektív, ráadásul az M 7

19 értéke negatív s lehet, így seképp se teknthető noráltnak. A képlet agyarázatának látszólag két egközelítést adhatunk. Az egyk szernt, a képletet átrendezve láthatjuk, hogy az összefüggés a többszörös deternácós együtthatót bontja fel a tényezőváltozók közvetlen hatásara, lletve az M által ért közvetett hatásra, tehát az eredényváltozó szórásnégyzetének a agyarázóváltozók által együttesen egagyarázott hányadát bontjuk fel a tényezőváltozók által külön-külön és egy közösen eghatározott részre. Két agyarázóváltozó esetén a fent összefüggés szerkezete gyakorlatlag a szta-forula analógája, az együttesen egagyarázott részre, nt halazra alkalazva. Márpedg a szta-forula végeredénye ne lehet negatív előjelű. Tehát a képletnek az e fajta nterpretácója félrevezető, ugyans a agyarázóváltozók közvetlen hatásanak értéke ne egyezk eg a képletben szereplő értékkel. A képletben közvetlen hatásként azt érjük, hogy ha egy adott agyarázóváltozót utoljára kapcsolunk be a odellbe, akkor az ennyvel növel eg a többszörös deternácós együttható értékét. THEIL ezeket a tényezőket, azaz a képlet összeadandó részet az adott változónak a többszörös deternácós együtthatóhoz tartozó növekény hozzájárulásának nevezte. Pontosan ezek a növekények jelentk a képlet ásk agyarázatát. Ha az összes tényezőváltozó páronként független, akkor a többszörös deternácós együttható értéke pontosan egegyezk a növekények összegével, tehát ekkor a utató értéke nulla. Egy újabb lehetséges vzsgálat ódszer a agyarázóváltozók ortogonaltásának vzsgálata. Ha a agyarázóváltozók lneársan függetlenek egyástól, akkor a odellben szereplő tényezőváltozók ortogonálsnak teknthetőek, ekkor a tényezőváltozók korrelácós átrxának deternánsa egy. Mnél jobban távolodunk ettől az esettől, a korrelácós átrx deternánsának abszolút értéke egyre nkább nullához közelít. A korrelácós átrx deternánsa egegyezk a átrx sajátértékenek szorzatával. Ez a ódszer csak alacsony denzószá esetén használható egfelelően (FELLMAN, [98]). A kérdés egnt csak az, hogy t jelent a nullához való közelség? A FARRAR GLAUBER-féle vzsgálat (FARRAR GLAUBER, [967]) szernt a korrelácós átrx deternánsa egközelítőleg transzforálásával az alább próbafüggvényt kapjuk. χ - (kh-négyzet) eloszlásúvá 8

20 χ ( n ( + 5) lg det R 6 A hpotézsvzsgálat nullhpotézse a agyarázóváltozók lneárs függetlensége, vagys az, hogy a deternáns abszolút értéke egy. Ennek a próbafüggvénynek a szabadságfoka ( ). A nullhpotézs elfogadása ne jelent autoatkusan azt, hogy a ultkollneartás nncs jelen a odellben (HULYÁK, [969]). A agyarázóváltozók korrelácós átrxának nverzét vzsgálva egállapítható, hogy a átrx dagonáls elee egynél ne lehetnek ksebbek. Mnél nagyobb az együttozgás egy változó és a több változó között, annál jobban eltérnek egytől a egfelelő dagonáls eleek. Ez alapján egy parcáls próbát lehet alkalazn a ultkollneartás tesztelésére. WILKS kutatta, hogy a dagonáls eleek egközelítőleg n és szabadságfokú F-eloszlásúvá transzforálhatóak, a az alább próbafüggvényt eredényez. n ω ( R ) A próba nullhpotézsének elvetése azt jelent, hogy a vzsgált agyarázóváltozó és a több tényezőváltozó között adott szgnfkancasznt ellett a ultkollneartás szgnfkánsnak teknthető (HULYÁK, [969]). A ultkollneartás jelenlétére gondolhatunk akkor s, akor két tényezőváltozó között parcáls korrelácós együttható értéke jelentősen eltér a két változó között korrelácós együttható értékétől. A parcáls korrelácós együtthatók szgnfkancájának t- próba segítségével történő tesztelését s alkalazhatjuk. FRISCH sugárkéve-térképek ódszere (bunch aps) a norált regresszós együtthatók ábrá alapján következtet a ultkollneartás jelenlétére. Az eljárás egfelelő rutn nélkül nagyon nehézkesen alkalazható. A ódszer ne különböztet eg a agyarázóváltozókat az eredényváltozótól, tehát beenetként adott + darab változó. Ezután ndegyk változónak az átlagától való eltérésere először (+)-denzós lneárs regresszós odellt llesztünk úgy, hogy nden változó szerepeljen eredényváltozóként 9

21 s. Így kapunk + darab + változós lneárs regresszóegyenletet. Ezek ndegykéből kfejezzük külön-külön az összes változót. Gyakorlatlag így ndegyk változó + darab egyenlettel van felírva a több változó segítségével. Ezek után teráljuk az eljárást, vesszük az összes lehetséges -denzós odellt, stb. Az terácós eljárást két denzóg sételjük. A kapott parcáls regresszós együtthatókat az összehasonlíthatóság kedvéért norálnunk kell. A sugárkéve-térképekben ezeket a noralzált együtthatókat ábrázoljuk. A noralzált parcáls regresszós együtthatók kfejezhetőek a egfelelő korrelácós együtthatók adjungált átrxának egy-egy egfelelő eleének hányadosaként. Ezen hányadosok száláló, lletve nevező lesznek a sugárkéve-térképeken ábrázolandó koordnáták. Egy sugárkéve ne ás, nt egy-egy változópár között, összes kapott adott denzójú együtthatóknak az ábrája. A kévék zártságából, eredekségéből és a sugarak hosszából kutatható a ultkollneartás, lletve egállapítható, ely agyarázóváltozók lesznek hasznosak, károsak, lletve feleslegesek az eredényváltozó egagyarázásának szepontjából. A kéve zártsága azt utatja, hogy a két változó között lyen szoros kapcsolat van. Mnél rövdebb egy sugár, annál szorosabb a kapcsolat a több változó között, ezért azok lesznek a legfontosabb változók, aelyekhez a leghosszabb sugarak tartoznak (CORRADI, [967]). A VIF j (CHATTERJEE PRICE, [977]) ne szntetkus utató, hszen nden agyarázóváltozóra külön-külön kszáítjuk, azaz ez a utató valaelyk változóhoz próbálja kötn a ultkollneartást. Ez azért ne túl szerencsés, ert sok esetben a ultkollneartást ne egy változó okozza. (7) VIFj r ~ x. ~, ~ ~ ~,, ~ j x x, K, x j, x j+ K x Ha a j-edk tényezőváltozó lneársan független a több agyarázóváltozótól, akkor e utató értéke eggyel egyenlő. Extré ultkollneartás esetén a utató értéke végtelen. Az (8) x j ~ x ~ j x j nσ j 0

22 szernt standardzált agyarázóváltozók esetén X jj VIF j. 3 A j ( X) VIF utató egutatja a becsült regresszós együttható varancája felfújódásának értékét a hbatag varancájához vszonyítva. Ennek értelezése eglehetősen szubjektív abból a szepontból, hogy nncs egyértelű küszöbszá a ultkollneartás káros voltának jelzésére. Egyes szerzők szernt a utató öt és e felett értéke jelez erős ultkollneartást. A VIF j -utató recprokát toleranca-utatónak nevezzük. A T j toleranca-utató egutatja, hogy a j-edk agyarázóváltozó szórásnégyzetének ekkora része ne agyarázható együttesen a több tényezőváltozóval. Ennek értéke nulla és egy közé esk. Mnél nagyobb a ultkollneartás értéke annál közelebb van a utató értéke a nullához (KOVÁCS PETRES TÓTH, [004]). A VIF j -utató öthöz képest nagyon agas értéke att érdekes BOWERMAN példája. Az aerka hadflotta kórházanak 979-es vzsgálatakor 7 kórház adata alapján a hav unkaórák száára llesztett regresszós odell eredénye a 3. táblázatban látható (FENG-JENQ, [006]). 3. táblázat: Példa a VIF j agas értékére A hav unkaórák becslése lneárs regresszós odellel Változók Becsült regresszós paraéterek t-statsztka VIF j Tengelyetszet 96,48,83 Az ellátandó pácensek nap átlagos száa 5,85 0,6 9597,57 A havonta elvégzett röntgenvzsgálatok száa 0,056,63 7,94 Az ápolás napok száa egy hónapban,590 0, ,09 A körzethez tartozók száa (ezer fő) 4,9 0,588 3,9 Az ápolás átlagos dőtartaa (nap) 394,34,88 4,8 (forrás: FENG-JENQ, [006]) 3 Ugyans, a agyarázóváltozók korrelácós átrxa alapján felírható a VIF R összefüggés. Ekkor a kzárólag az x j j j jj ~ x ~ j x j szernt standardzált változókra érvényes ( X X) R nσ egyenlet fgyelebevételével az jj ( X X) VIF összefüggést kapjuk. j

23 A táblázat adataból egállapítható, hogy a VIF j -utató értéke az ápolás átlagos dőtartaát leszáítva nden változó esetén nagyobb ötnél, azonban az értékek nagyságrendje között jelentős különbség utatkozk. A ultkollneartásért elsősorban valószínűleg vagy az ellátandó pácensek nap átlagos száa, vagy az ápolás napok száa egy hónapban, vagy ndkét változó felelős. Ennek eldöntésére tovább vzsgálatokra lenne szükség. Most csak annyt állíthatunk, hogy ne tűnk célszerűnek ezt a két tényezőváltozót egyszerre ugyanabban a odellben szerepeltetn. Egyébként e két változó esetében a t-statsztka értéke s gen alacsony, azonban ezt a ultkollneartás jelenléte att ne értelezhetjük egfelelően. A ultkollneartás egyk legújabb érőszáa a CURTO és PINTO által 007-ben publkált DEF-utató (CURTO PINTO, [007]). Aennyben az ~ ˆ~ ˆ~ ˆ~ ˆ~ y β ~ ~ K β ~ e~ 0 + βx, + β x, + + x, + regresszós odellt standardzált változókra írjuk fel, akkor ez az egyenlet y ˆ β ˆ β K ˆ β ˆ β x, + x, + + x, + ee y + ˆ ˆ β e e alakban írható fel, ahol a βˆ a standardzált regresszós együtthatókat 4 jelent. Ekkor Var ( y) Var(ˆ y + ˆ e e) Var( yˆ ) + ˆ β evar( e) + Cov(ˆ; y e) Var(ˆ) y + ˆ βe + ˆ β ˆ βe rx e β. A standardzált változók és a standardzált hbatag függetlenségének feltételezése ellett Var ˆ ( ) Var(ˆ) y + β e y. Ekkor az eredényváltozó eggyel egyenlő varancáját két részre bonthatjuk fel: a tényezőváltozók által együttesen egagyarázott Var (yˆ ) hányad, at a többszörös deternácós együtthatóval érünk; 4 Ez a ternológa azért félrevezető, ert a szakrodalo kvétel nélkül ne a regresszós együtthatók standardzált voltára utal, hane arra, hogy standardzált változók szerepelnek a odellben.

24 a tényezőváltozók által együttesen eg ne agyarázott hányad, a gyakorlatlag Var y. ( ) r y. x, x, K, x r y. x, x, K, x Mvel a standardzált eredényváltozó a standardzált változók egy lneárs kobnácója, ezért j j Var( y ˆ) Var( ˆ β ) ˆ β + ˆ β r ˆ β. j x j j j j Ezek szernt, a tényezőváltozók által együttesen egagyarázott Var (yˆ ) varancahányad, és így specálsan a többszörös deternácós együttható s két részből tevődk össze: a tényezőváltozók drekt hatásanak összege: ˆβ ; a tényezőváltozók együttes hatása: ˆ β r ˆ j β j. Ezért, a j j x x j j DEF ˆ β r ˆ β j j j + ˆ β j j j ˆ β r ˆ β j j utató a szerzők szernt egutatja, hogy a többszörös deternácós együttható hány százalékát tesz k a tényezőváltozók együttes hatása. A szntetkus utató egyhez közel értéke erős ultkollneartást jelez. Vzsgálata szernt, a utatóval kapcsolatban több hányosság s felsorolható. A képletben a tényezőváltozók drekt hatásanak összege, és így a képlet szálálója negatív s lehet, így aellett, hogy százalékban se fejezhető k, gondot jelent az értelezése s (VI. 3. elléklet). A ultkollneartás érőszáának egy családját alkotják az X ~ ' X ~ átrx sajátértékere épülő utatók. A sajátértékek alkalazásának alapötlete az, hogy a tényezőváltozók együttozgását jelzk az X ~ ' X ~ kcs sajátértéke (KENDALL, [957]; 3

25 SILVEY, [969]). Az X ~ ' X ~ átrx spektrálfelbontása alapján a becsült regresszós paraéterek varanca-kovaranca átrxa felírható a ˆ~ ~ ~ Var ( β) ~ σ ( X X) ~ ~ ~ σ UΛ ~ U forában, ahol Λ ~ az X ~ ' X ~ átrx sajátértékenek dagonáls átrxa, U ~ pedg a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok átrxa (THEIL, [97]). Tehát a becsült regresszós együtthatók varancá függnek az X ~ ' X ~ átrx sajátértéketől: (9) ˆ~ Var( β ) ~ σ j l 0 u~ jl ~. l A kondícószá 5 négyzetgyökeként defnált γ ax n gaa-utató 6 értéke egy, aennyben a tényezőváltozók lneársan függetlenek. Mnél erőteljesebb a ultkollneartás jelenléte, a utató értéke annál nagyobb lesz. Azonban a szgnfkáns ultkollneartásnak nncs egyértelű küszöbértéke, így értelezése ne objektív. A utató kszáítása ne egységes, ugyans használatos nd a norált X ) X ) (BELSLEY KUH WELSCH, [980]), nd pedg a standardzált X X átrx, azaz a korrelácós átrx (WICHERN CHURCHILL, [978]; CASELLA, [980]) legnagyobb és legksebb sajátértékének hányadosa s. Egyes szerzők szernt e utató 30, íg ások szernt 5 felett értéke jelez erős ultkollneartást. 5 A kondícószá értéke azt jelz, hogy a átrx eleenek kcsny (például tzedny, századny) egváltozására hogyan változnak eg az nverz átrx elee. Ha ez a változás nagyságrendekkel nagyobb a átrx eleenek kcsny egváltozásához képest, akkor a átrx rosszul kondconált. 6 Ezt a utatót, lletve a négyzetét a különböző szakrodalak ás és ás szerzők nevéhez kötk. Például WICHERN és CHURCHILL, CASELLA, BELSLEY. 4

26 A kondícószához tartallag hasonló, azonban ne szntetkus érőszá a CI ax j kondícós ndex. Adott átrx esetében a legnagyobb kondícós ndex egegyezk a gaa-utató értékével. Egyes szerzők szernt e utatók 30, íg ások szernt 5 felett értéke jelez erős ultkollneartást. Ez a küszöbérték elég szubjektív, ráadásul, nt az alább példa (4. táblázat) s utatja ne ndegy, hogy ely átrx alapján száítjuk a sajátértékeket. 4. táblázat: Eltérő sajátértékek és kondícós ndexek az X X különböző alakja alapján X ~ X ~ X X ) Kondícós Kondícós Sajátértéke Sajátértéke ) X X Sajátértéke Kondícós ndex ndex ndex (forrás: saját szerkesztés) A kondícós ndex és a (9) alapján BELSLEY és szerzőtársa (980) egy eljárás adtak a ultkollneartás lokalzálására. A (9) képletet átrendezve ˆ~ Var( β j ) u~ jl ~ σ ~ l 0 l látható, hogy az összefüggés a j-edk becsült regresszós paraéter varancájának a hbatag szórásnégyzetéhez vszonyított felfújódását bontja tényezőkre. A képlet jobb oldalán szereplő kfejezés l-edk tagja azt utatja eg, hogy a j-edk becsült regresszós paraéter varancájának felfújódásából ekkora az l-edk sajátérték részesedése. A varancák felfújódásának ezen részesedések szernt egoszlását az 5. táblázat tartalazza. A szerzők szernt noralzált átrxra alkalazva az eljárást lneársan független tényezőváltozók esetén a fent elrendezés egy egységátrx, továbbá ha valaely kcsny 5

27 6 sajátérték legalább két varancából agas (legalább 0,8) részesedés arányú, akkor egállapítható, hogy a tényezőváltozók ely csoportja() okolhatóak a ultkollneartásért. 5. táblázat: A varancák felfújódásának felbontása Sajátérték ) ˆ~ ( 0 β Var ) ˆ~ ( β Var K ) ˆ~ ( β Var 0 ~ l l l u u ~ ~ ~ ~ l l u l u ~ ~ ~ ~ K l l l u u ~ ~ ~ ~ ~ l l l u u ~ ~ ~ ~ l l u l u 0 ~ ~ ~ ~ K l l l u u 0 ~ ~ ~ ~ M M M M ~ l l l u u ~ ~ ~ ~ l l l u u 0 ~ ~ ~ ~ K l l l u u 0 ~ ~ ~ ~ (forrás: BELSLEY KUH WELSCH, [980]) Egy sajátértéket akkor tekntenek a szerzők alacsonynak, ha a hozzátartozó kondícós ndex legalább 0. A 3. táblázatban szereplő norált X X ) ) átrx alapján végrehajtva az eljárást (6. táblázat) egállapíthatjuk, hogy a két legksebb sajátértékhez tartozó kondícós ndex nagyobb, nt a szerzők által egadott határ. Mvel a legksebb sajátérték (0,00) a haradk és a negyedk becsült regresszós együttható varancájának felfújódásából s több nt 99 százalékban részesedk, ezért a haradk és a negyedk tényezőváltozó ne teknthetőek egyástól függetlennek. Mvel a ásodk legksebb sajátérték (0,08) az első és a ásodk becsült regresszós együttható varancájának felfújódásából s több nt 8 százalékban részesedk, ezért az első és a ásodk tényezőváltozó ne teknthetőek egyástól függetlennek.

28 6. táblázat: Varanca-dekopozícó az X ) X ) átrx alapján Kondícós Varanca-hányad Sajátérték ndex ˆ~ ˆ~ Var ( β 0 ) Var ( β ) Var ( β ˆ~ ) ˆ~ Var ( β 3 ) Var ( β 4 ) E (forrás: saját szerkesztés) A sajátértékekre épülő ultkollneartás érőszáok egy specáls csoportját alkotják a tényezőváltozók korrelácós átrxának, azaz a standardzált sajátértékere épülő utatók. Mvel egy X' X R kxk korrelácós átrx négyzetes, szetrkus, poztív szedefnt, ezért a sajátértékere általánosan az alább tulajdonságok érvényesek (RÓZSA, [99]). 7. A sajátértékek száa és összege s egegyezk a változók száával. Tehát, ha csak a tényezőváltozók száa és összege s. R x korrelácós átrxát tekntjük, akkor a sajátértékek. A korrelácós átrx sajátértéke ne negatívak. Az első két tulajdonságból és a átrx típusából következk, hogy a korrelácós átrxok sajátértéke a [0 ; ] ntervalluba esnek, továbbá a legksebb sajátérték legfeljebb, íg a legnagyobb legalább. 3. Az R x átrx nyoa egegyezk a sajátértékenek összegével, azaz tr( R ). 4. Az R x sajátértékenek szorzata egegyezk a átrx deternánsával. 5. Ha az R x átrx sajátértéke, akkor az N R x sajátértéke N ( N Z ). Tehát a korrelácós átrx nverzének sajátértéke a korrelácós átrx sajátértékenek recproka. 7 Terészetesen a tulajdonságok egy része általánosabb átrxokra s érvényes. Itt csak a kutatás szepontjából fontos tulajdonságokat elíte eg. 7

29 Ha a (8) szernt standardzált változókat vzsgálunk, akkor a standardzált változókhoz tartozó becsült paraéterek varanca-kovaranca átrxa felírható az ( X X) σ R UΛ U E [( β ˆ β)(ˆ β β) ] Var(ˆ) β σ σ forában s a korrelácós átrx spektrálfelbontása alapján, ahol Λ a korrelácós átrx sajátértékenek dagonáls átrxa, U pedg a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok átrxa. Ez utóbb, lletve a loadng változókat tartalazó A főkoponenssúly-átrx tulajdonságanak 8 fgyelebevételével a j-edk standardzált agyarázóváltozóhoz tartozó paraéter becslésének szórásnégyzete az alább. Var( βˆ ) σ j l u jl l σ l a jl l Ebből a varancák összegére a következő összefüggést 9 kapjuk: (0) j Var( ˆ β j ) σ l l. Ezek szernt a varancák összegének a hbatag szórásnégyzetéhez vszonyított felfújódásának értékét végső soron a sajátértékek befolyásolják: ha legalább egy túl közel van nullához, akkor nagy értékben növekszk a becsült paraéterek szórásnégyzetenek átlaga. Az, hogy legalább egy közel esk-e nullához, egyértelűen az adatálloány adatanak együttozgásától, azaz a ultkollneartás értékétől függ (KOVÁCS PETRES TÓTH, [004]). A továbbakban részletesen átteknte a sajátértékekre épülő utatókat. 8 Az akl u kl l főkoponenssúlyok egadják a agyarázóváltozók és a főkoponensek között lneárs korrelácós együtthatót: a kl r x r. A főkoponenssúlyok oszloponként ~ c k l x c k l négyzetösszege j, a soronként négyzetösszege egy. Oszloppáronként szorzatösszegük nulla, sorpáronként szorzatösszegük a egfelelő két agyarázóváltozó lneárs korrelácós együtthatója (PETRES TÓTH, [006]). 9 Az összefüggés egyszerűbben s egkapható az alább ódon. j Var( βˆ ) j j σ ( X X) jj σ tr( X X) σ tr( R ) σ l l 8

30 FELLMAN L-utatójának L nullához közel értéke jelentéktelen ultkollneartást jeleznek. Mnél nagyobb a utató értéke, annál erősebb a ultkollneartás értéke (FELLMAN, [98]). LAWLESS (978) a ultkollneartás érésére egy ásk M -utatót használt (FELLMAN, [98]). M Ennek a utatónak az előnye a gaa-utatóhoz képest az, hogy az összes sajátértéket fgyelebe vesz. THISTED (980) egyszerre két utatót s javasolt. Az egyk az c ultkollneartás-ndex, a ásk pedg a pc tervező ultkollneartás-ndex (FELLMAN, [98]). c pc THISTED az c ndexet becslések, íg a pc ndexet előrejelzések készítésekor ajánlotta használn. A két ndexről könnyen gazolható, hogy < c pc. A két ndex értéke pontosan akkor egyezk eg, ha nden sajátérték egegyezk, azaz ndegyk értéke, ekkor ndkét ndex értéke. Mnél jobban közelít a nullához a legksebb sajátérték, a utatók értéke annál jobban közelítenek egyhez. THISTED állítása szernt az ndexek egyhez közel értéke szgnfkáns ultkollneartást jeleznek. Azonban, n n 9

31 ez az állítás cáfolható. FELLMAN ráutatott arra, hogy ha egy olyan specáls korrelácós átrxot tekntünk, aben a tényezőváltozók korrelácós átrxának nden főátlón kívül elee a, akkor a két ndexre szgorúbb alsó határt adhatunk. 0 Ekkor < c pc. Például, háro agyarázóváltozó esetén ndkét ndex értéke kettőnél nagyobb lesz. Márpedg, például ha a0,9; akkor az erős ultkollneartás ellenére, a két ndex értéke eg se közelít az egyet. THISTED érőszáa csak akkor adnak egfelelő képet a ultkollneartás értékéről, ha legfeljebb egy darab nullához közel sajátérték van. FELLMAN példájával kapcsolatosan felerül az a kérdés, hogy tetszőleges 0 < a paraéter ellett egyáltalán léteznek-e lyen specáls korrelácós átrxok. A korrelácós átrx szerkezetére vonatkozóan nncsenek általános érvényű eredények. Azonban háro, négy és öt változó esetére gen. Ezeknek a feltételeknek a egadása négy és öt változó esetén nagyon bonyolult, íg háro változó esetén könnyen egadható: egy 3x3- as korrelácós átrxot az R cosα cos β alakban paraéterezünk, ahol, β, γ [ 0; ] cosα cosγ cos β cosγ α a változók, nt vektorok által bezárt szögek cosnus értéke. R pontosan akkor lesz korrelácós átrx, ha egyszerre teljesülnek az alább feltételek (BOLLA KRÁMLI, [005]). 0 Ekkor a korrelácós átrx sajátértéke: K ; + ( ) a. a A korrelácós átrx lyen típusú paraéterezésének alapja az, hogy standardzált változókat (zéróátlagú változókat), nt vektorokat tekntve, a változók által bezárt szög cosnusa egegyezk a lneárs korrelácós együttható értékével, a vektorok skalárs szorzatának kétféle felírásából következően. x y n x y x y cos( x ; y) cos( x ; y) n n x y x y n x y n x y r xy 30

32 α + β γ β + γ α α + γ β α + β + γ π Megjegyze, hogy a felvetett kérdés végül s lényegtelen, ugyans az ellenpéldában kzárólag a sajátértékek nagysága lényeges és ne a korrelácós átrx szerkezete. Mnt a későbbekben látn fogjuk, létezk lyen sajátérték-szett. Azt vszont ár ne állíthatjuk, hogy egy sajátérték-szetthez csak egy korrelácós átrx tartozk, hszen egy tetszőleges A négyzetes átrx és egy B AB transzforáltjának a sajátértéke egegyeznek. Egy később kutatás téája lehetne a korrelácós átrxok egyásba transzforálhatóságának vzsgálata. A VINOD (976), WICHERN és CHURCHILL (978) által adott ISRM ndex értéke 0 és ( ) közé esk. ISRM j j Az ndex kfejezhető az eddg utatók segítségével s. ISRM M c pc Mnél jobban távolodk a utató értéke a nullától, annál erősebb a ultkollneartás értéke. Azonban, az c ndexnél beutatott példával ezt az állítást s cáfolhatjuk. Mnél közelebb van az a paraéter értéke egyhez, annál nagyobb a ultkollneartás értéke, vszont az ISRM ndex értéke -hez tart (FELLMAN, [98]). Összefoglalva egállapítható, hogy a sajátértékek recprokat használó ndkátorok nagy hátránya, hogy értelezésük szubjektív, azaz nncs egy olyan egyértelű küszöbszá, a ár erős ultkollneartást jelez. Továbbá ezen utatók értéke főleg csak a legksebb sajátértéktől függnek. 3

33 Az eddg sertetett tesztek és utatók összefoglalását a 7. táblázat tartalazza. 7. táblázat: A ultkollneartás érőszáanak és tesztjenek összefoglaló táblázata Mutató Szntetkus-e? Norált-e? Eredényének értelezése objektív-e? Van-e egyértelű küszöbértéke a káros ultkollneartásnak? Cél DEF-utató Igen Igen Ne Ne Detektálás FELLMAN L- MAHAYAN és LAWLES M Igen Ne Ne Ne Detektálás utatója M-utató Igen Ne Ne Ne Detektálás Red-utató Igen Igen Igen Ne Detektálás THISTED c és pc utatója Igen Ne Ne Ne Detektálás VIF j -utató Ne Ne Igen Ne utatója Igen Ne Ne Ne Detektálás gaautató Igen Ne Ne Ne Detektálás ISRM-utató Igen Ne Ne Ne Detektálás CI kondícós ndex Igen Ne Ne Ne Detektálás M -utató Igen Ne Ne Ne Detektálás Tolerancautató FARRAR GLAUBER Ne Igen Igen Ne Detektálás Lokalzálás Detektálás Lokalzálás Igen Ne Detektálás teszt WILKS teszt Ne Ne lokalzálás (forrás: saját szerkesztés) 3

34 II. 3. A ultkollneartás negatív következényenek csökkentése A ultkollneartás jelenségének felserése után felerül az a kérdés, hogy hogyan szüntethetőek eg, lletve hogyan csökkenthetőek a ultkollneartás káros következénye. Abban az esetben, ha a ultkollneartás jelenléte ne jelent probléát az adott vzsgálat szepontjából például előrejelzések esetén akkor a ultkollneartás értéke csökkentésének érdekében set se kell tennünk, a odell használható arad. Ha a ultkollneartás probléát jelent, akkor egoldás lehet néhány tényezőváltozó elhagyása. Mvel a változók elhagyása után a regresszós paraétereket újra kell becsüln, ezért a paraéterek becsült értéke attól s függ, hogy ely változót, lletve változókat hagytuk el a odellből. A agyarázóváltozók elhagyásával kapcsolatosan több probléa fogalazható eg. Egyrészt, a változók elhagyása ndg nforácóvesztéssel jár. Előfordulhat, hogy bzonyos változók elhagyásával nagyértékű lesz ez a veszteség. Másrészt, a vzsgálat szepontjából releváns változók elhagyása ugyan csökkenthet a ultkollneartás negatív következényet, de fogyatékossá tesz az alkalazott odellt. Ekkor a regresszós együtthatók becsült értékenek értelezése ne lesz valósághű. Haradrészt, honnan tudjuk, hogy elyk agyarázóváltozót kell elhagyn? Ennek eghatározásához elengedhetetlen a ultkollneartás pontos lokalzálása. Ugyan bzonyos utatók a ultkollneartást agyarázóváltozókhoz próbálják kötn, de ahogyan ár korábban hangsúlyozta, ezért a jelenségért ne ndg egy változó okolható, így többnyre nehézkes a lokalzálás. Általában az abszolút értékben legksebb t-értékkel rendelkező paraéterhez tartozó tényezőváltozót hagyjuk el, de létezk olyan eljárás s, aelyben ndg a legnagyobb VIF j értékkel rendelkező változót vesszük k a odellből. A változók elhagyásának végrehajtásánál fgyeln kell arra, hogy a változókat kzárólag egyesével szelektáljuk. A statsztka szoftverek többsége tartalaz olyan odellépítés ódszereket, úgynevezett stepwse eljárásokat, aelyek a változók szelektálásánál fgyelebe veszk a t-értékeket, valant általában a toleranca-utató változónként értékét s (HUNYADI MUNDRUCZÓ VITA, [997]): 33