IfflÉB SZABÓ CSABA BME Híradástechnikai Elektronika Intézet

Átírás

1 uu D LHILJU IfflÉB SZABÓ CSABA BME Híradástechnikai Elektronika Intézet A fáziszárt hurok, mint vivőszűrő ETO : Ebben a cikkben összefoglaljuk a fáziszárt hurkoknak azokat a tulajdonságait, amelyek koherens információközlő rendszerekben vivpszűrés, -helyreállítás és -szinkronizálás szempontjából lényegesek. Elsősorban az előállított vivő fáziszajának statisztikus jellemzésére szorítkozunk, az információközlő rendszerek tulajdonságainak meghatározása szempontjából lényeges követési üzemmódban, additív gaussi zaj esetén. Törekedni fogunk a linearizált modellekből kapható, a számításokban egyszerűen felhasználható eredmények összefoglalására, amelyek a gyakorlati esetek széles körében jól alkalmazhatók. Az elnyomott vivőt helyreállító hurkok egy típusára, a döntésvisszacsatolt hurokra, saját eredményt ismertetünk. A vivő fáziszajának hatását a demodulálás minőségére egy későbbi cikkben fogjuk megvizsgálni. Jelölések: Ai, A a Bi b E ll(t) fji(«), H(s] H(p) Ko. Ka K m(í) m(t) n(t) ripit), n (í) p = á/át R s(í) a bemenőjel, 111. a VCO (feszültség-vezérelt oszcillátor) jelének effektív értéke, a hurok jel zaj viszonya, a hurok ekvivalens zajsávszélessége, bemeneti sávszélesség, relatív hurok-sávszélesség: a bemeneti- és a 1 hurok-sávszélesség viszonya, E(ip)) a fázis varianciája, a statisztikus átlagolás jele, v súlyfüggvény, ) a hurok szűrő, Hl. a hurok transzfer függvénye, a hurok transzfer függvény operátoros alakban, a VCO állandója, a fázisdetektor állandója, a hurokerősítés, a moduláló jel, a moduláló jel becslése, a bemeneti additív zaj, a zaj kvadratúra-feldontásának összetevői, a Heaviside-operátor, a fázis valószínűség-sűrűségfüggvényé, hibavalószínűség, bemeneti jel zaj viszony digitális modulációnál: a jelteljesítmény és az \/T sávszélességben bejövő zajteljesítmény viszonya, a bemenőjel, &'i(t), &kt) a bemenőjel, ill. a VCO-jel fázisa, &i(f), ("MÓ a bemenőjel, ill. a VCO-jel fázisa a VCO frekvenciájára vonatkoztatva, Oy a Gauss-elosziás szórása. 1. Az egyszerű analóg fáziszárt hurok tulajdonságai Az 1. ábrán látható az analóg fáziszárt hurok alaptípusa, szorzó típusú fázisdetektor esetén. Erre az alaptípusra a gyakorlatban alkalmazott bonyolultabb, transzponálást, frekvencia-sokszorozást és -osztást tartalmazó rendszerek visszavezethetők. A közbenső frekvenciás szűrés hatása alapsávba transzponálással vehető figyelembe [1, ], s a transzponálást, frekvenciasokszorozást alkalmazó hurkok zaj szempontjából ugyanazokkal az egyenletekkel írhatók le [3], vagy ugyanazzal a matematikai apparátussal kezelhetők [4]. A működést leíró alapegyenlet egyszerűen felírható: vagy d& (0 dí K j sin[o^o)-0 (o)]h(t-o)do (1) dí dí - K j sin y( o)h(t - cr)d a () alakban, K = A 1 A K i K 0 a teljes hurokerősítés, 0 x (í) és 6> (í) a bemeneti és a VCO jel fázisa a VCO VCO K 0 m htt^h^s) Hurok szűrő Beérkezett: III ábra. Az analóg fáziszárt hurok alapmodellje 193

2 HÍRADÁSTECHNIKA XXVm. fivf. 7. s'z. nyugalmi frekvenciájára (cu 0 -ra) vonatkoztatva, azaz -co 0 t és 0 (t)=0' (t)-(o o t, 9.(0 = 0^)- 6> (f) a dinamikus fáziskülönbség. Az (1) vagy () összefüggés helyett gyakran célszerűbb a (3) szerinti, differenciálegyenletes felírási formát használni: d<k0 dt dds) dt -Jf..fiyp)«sin <p(t), (3) H^) formailag megegyezik a hurokszűrő H^s) transzfer függvényével, változója azonban a p = d/dt Heaviside-operátor. A fenti nemlineáris integro-differenciálegyenletek az ismert mordon linearjzálhatók, ha feltételezzük, hogy a (p(t) fázishiba minden időben jóval kisebb I rad-nál. A vizsgálatok alapját ilyenkor az (1) vagy () egyenlet Laplace-transzformáltjaí alkotják. Ha a bemenő zaj zérus várható értékű, stacionárius, fehér Gauss-zaj, NJ spektrális sűrűséggel, akkor a hurok alapegyenlete a sávhatárolt folyamatokra érvényes n(t)=n p (t) sin co 0 t n q (t) cos w 0 t (4) felbontás felhasználásával a következőképpen írható: d(9 (0 -=K d K^ j" {A 1 sin{6> 1 (<r)-0 (a)] + dí +n\a)}h{t-a)da, (5) 1 n'(f)r= -^" P (0 sin (0+^ ",(0 cos 0 (í), (6) és kimutatható, hogy a bemenetivel megegyező, NJ spektrálsűrűségű fehér zaj. Az egyenletből látható, hogy a VCO a szűrő által módosított rí(t) zaj hatására fázismodulált lesz. A fázist mint véletlen folyamatot a linearizált modellen belül egyszerűen a varianciájával jellemezhetjük: a = az ún. hurok jel zaj viszonyt, B L pedig az ekyivalens zaj sávszélességet jelöli: _1_ a (7) ( 8 ) dío. (9) Nemlineáris analízisnél három esetet különböztethetünk meg [5]: a) a bemenő zaj korrelációs ideje (azaz az autokorrelációs függvényből számitható t R = J* R(r) dt * o mennyiség) jóval kisebb a PLL időállandójánál, 194 b) a bemenő zaj korrelációs ideje jóval nagyobb a PLL időállandójánál, c) átmeneti állapot az a) és a b) eset között. A gyakorlatban legfontosabb a) esetben a fázis Markov-folyamat és a Fokker Planck-egyenlétekkel jellemezhetjük'[6 10]. (A matematikai apparátusra vonatkozóan lásd a Híradástechnikában Pap L. cikkét [11]). A b) esetben amely szinkronizálási feladatokban ritkábban fordul elő az ún. kvázistatikus módszerrel'kaphatjuk meg a fázis sűrűségfüggvényét, lényegében Gauss-folyamat nemlineáris transzformációjának alkalmazásával [1]. A c) határesetre nézve, az irodalomban nem találtunk részletes vizsgálatot. Visszatérve az a) esetre, viszonylag egyszerűen vizsgálható az elsőrendű, egyes típusú hurok (a terminológiát [13] szerint használjuk), nulla kezdeti frekvenciakülönbség esetén. Ekkor az (5) egyenlet átalakításával nyerhető df = sin <p(t)-k'n'(t), K f =Á t KJK 0 (10) ^egyenlet írja le a fáziszárt hurok működését zajban, és a cp{t) fázisfolyamat statisztikus jellemzése a feladatunk. A fázis valószínűség-sűrűségfüggvényét a Fokker -Planck-egyenletek megoldásával kaphatjuk meg (1. pl. []-ben), amely időfüggő és több módusú, n többszöröseinél kialakuló helyi maximumokkal. Viterbi [8] és Tihonov [6, 7] a problémát a fázis mod n szerinti értelmezésével tették kezelhetővé, a folyamat így már időfüggetlen, egydimenziós sűrűségfüggvénynyel jellemezhető. Ezt a teljességhez persze ki kell egészíteni, pl. a cikluscsúszások átlagos frekvenciájának a megadásával. Vivő-előállítási feladatokban legtöbbször megelégedhetünk azonban a fázis mod JI sűrűségfüggvényének megadásával. Mindezek alapján elsőrendű hurokra, nulla frekvenciakülönbség esetén adódik a legegyszerűbb eredmény: P(<P)-- exp (a»cos <p) (11) J 0 (a) az elsőfajú, módosított, nulladrendű Bessel-függvény. Véges kezdeti elhangolásnál a fázis nullától különböző várható értékű, és nullára nem szimmetrikus. Nagy a esetén közel szimmetrikussá válik a zajmentes esetben adódó állandósult fázishiba mint várható érték körül. A gyakorlatban fontos másodrendű, egyes típusú hurokra, véges kezdeti frekvenciakülönbség esetén [14]-ben találunk eredményeket, amelyek ábrázolására, származékainak (momentumainak) meghatározására és felhasználására zajos vivő esetén numerikus módszereket kell alkalmaznunk. Lindsey és Charles kísérleti úton is meghatározták a fázis sűrűségfüggvényét különböző hurok jel zaj viszony ésetén. A részletes vizsgálatokból az a fontos következtetés vonható le/, hogy elsőrendű és másodrendű, egyes típusú hurokra zérus elhangolás esetén a > 7-re a gaussi közelítés, a = l-re pedig a (11) szerinti sűrűségfüggvény- alkalmazható [9].

3 SZABÓ CS.: A FÁZISZÁRT HUROK, MINT VIVÖSZŰRÖ. Elnyomott vivőt követő hurok Ha a vivő helyén nincs diszkrét spektrumösszetevő, az egyszerű fáziszárt hurok nem alkalmas a vivő helyreállítására. A fázisszinkronizálási elvet ilyenkor valamilyen nemlineáris művelettel kell kombinálni* A leggyakrabban alkalmazott megoldások egyike a hurok előtt négyzetre emelő áramkört tartalmaz, a másik jól ismert megoldásnál pedig magában a hurokban van nemlineáris művelet. Végül felhasználhatjuk a modulációs tartalom előzetes becslését is a vivő helyreállítására. A három megoldás szokásos neve: a) négyzetre emelő hurok (squaring loop), b) Costas-hurok, c) döntésvisszacsátolt hurok (decision-directed feedback loop). Ezek a rendszerek és kombinációik számos, elnyomott vivőjű modulációs eljárás esetén alkalmazhatók, a továbbiakbán azonban Jkésőbbi céljainknak is megfelelően a bináris állapot-fázismoduláció esetét vesszük alapul, azaz, amikor a hurok bemenetére az jel jut, s(f)=ypm(t) cos a, 0 t m(í)=±l,haí i Sísí i +r 0, íj az í-edik váltási időpont, T 0 a szimbólum (bit) időtartama, P a jel teljesítménye..1 A négyzetre emelő és a Costas-hurok (1) A négyzetre emelő hurok egyik szokásos egyszerű felépítése a. ábr.án látható. A bemeneti sávszűrő után, a zaj már alkalmazott (4) felbontását felhasználva adódik, hogy y\t)=ypm(t) cos co o í+n p (0 cosro 0 f n q (f) sin co 0 í.' (13) A négyzetre emelést elvégezve^és a co 0 körüli komponenseket megtartva kapjuk, hogy z(t)= Pm (í) + "1(0 ^(0 + Az először [18]-ban javasolt Costas-hurok működésének lényege a 3. ábrán látható. A bemenőjelet itt egyrészt a VCO jelével (felső ág), másrészt a VCO -g-vel fázistolt jelével (alsó ág) szorozzuk meg. Az aluláteresztő szűrők a kétszeres vivőfrekvenciás komponenseket elnyomják, de a modulációs tartalmat még torzítás nélkül átengedik. A két jel összeszorzása jelenti itt a nemlineáris műveletet, s a hurokszűrőn keresztül mindkét ág a VCO-ra záródik. Kimutatható, hogy a Costas-hurok a leíró differenciál-egyenletet és a fázis statisztikus jellemzését tekintve teljesen azonos a négyzetre emelő hurokkal [19]. Megjegyezzük, hogy mind a négyzetre emelő, mind a Costas-hurok négyállapotú fázismoduláció esetén is alkalmas a vivő előállítására, természetesen bonyolultabb felépítésben.. A döntésvisszacsatolt hurok Az egyik lehetséges megvalósítás a 4. ábra szerinti, és egy kissé emlékeztet a Costas-hurokra [0]. Most y(t) y(t)= s(t)w(t) yv) z(t), ' *r\vco i L fy. ábra. A négyzetre emelő hurok "X>í VCO Hurok szűrő P.LL "1 7"o H 510-SG). z t (t) Hurok eíi) / x szűrő Min + ypm(on p (o cos o>^líwm(t)n <i {t)-fr + n p (t)n q (t)} sin a>j. (14) Esetünkben m (/) = l, s ez egy modulálatlan, co 0 frekvenciájú komponenát eredményez. Ezek után a fáziszárt hurok az egyszerű huroknál alkalmazható módszerekkel vizsgálható, bár a bemeneten jelentkező zaj leírása nem egyszerű [15]. A fázis sűrűségfüggvénye általános esetben nehezen kezelhető [16]. Linearizált modell alkalmazása esetén a fáziszaj varianciája a megelőző nemlinearitás hatása miatt várhatóan nagyobb lesz, mint az egyszerű huroké. Az eredmény ideális sávszűrő alkalmazása esetén [17]: a zárójelben levő második tag jelenti az egyszerű huroljhoz képesti növekedést. y(t)- %/ T zjf) 3. ábra. A Costas-hurok x VCO Hurok szuro r1 f (P) A. Demo dulátor H SW^SC 3} m(uto) VHSW-SCM 4. ábra. Döntésvisszacsatolt hurok, BPSIÍ 195

4 HÍRADÁSTECHNIKA XXVIII. fivp. 7. SZ. azonban az alsó ágban egy adat-demodulátor- van elhelyezve, s a demodulált adatjelet szorozzuk össze a felső ág egy szimbólumidőre késleltetett jelével (erre nyilvánvalóan azért van szükség, hogy ugyanahhoz a szimbólumidőhöz tartozó m(í)-t és m(í)-t szorozzunk össze). Ha a bemeneti jel-zaj az előzőek szerint a VCO v(t) jelét pedig y(t)=ypm(t) cos co 0 f+n(f), (16) y(t) B L a szokásos módon értelmezett hurok-zajsávszélesség. Adatelem. írn (t- Tp) I I facos(cú 0 t-í+f) Wi 1L h\ p>h f i A s i n ( ^ f ) m v(t) = fa sin (w 0 í+cp) (17) alakúra vesszük fel, és feltételezzük, hogy a szimbólum-frekvencia jóval nagyobb a PLL sávszélességénél,' a hurok alapegyenlete a következő alakban írható [19]: dtfo _ d!(0 df dí -K'HjjCp){fP[l-P e (9>)] sin 9>(í)+m(0n'(í)}- (18) Itt K'=^K i K Q K m A,n'(t) a (6) összefüggés szerinti, m(t) a moduláló jel becslése és P e (<p)= erfc (]/j? cos 95), a hibavalószínűség bináris PSK esetéib PT R =, r 0 bemeneti jel zaj viszony jellegű mennyiség. Az egyenlet formailag megegyezik a fáziszárt hurok alapegyenletével, a szinuszos nemlinearitás megfelelő helyettesítésével. Analízise megtalálható pl. [19]-ben. A fázis sűrűségfüggvénye zárt alakban nem kapható meg, s az eredmények numerikus módszerekkel is nehezen kezelhetők. Linearizált modell alkalmazása esetén (amelyre nézve az irodalomban nem találtunk utalást) viszonylag egyszerűen meghatározható a fázis varianciája. A számítás részleteit a függelék tartalmazza. Az eredmény: D = (19) P(Í PJ, > -Eqzakt vizsgálati [/5J:,8 ábra i.násn m (t-t 0) \ dem.'\ H 510-SC61 6. ábra. Négyszintű döntésvisszacsatolt hurok A kapott eredmény azt mutatja, hogy nagy R esetén (P e «:l) a döntésvisszacsatolt hurokban a fázis varianciája akkora, amekkora az egyszerű hurokra adódna, ha annak bemenetére a PSK jel effektív értékével megegyező folyamatos vivő jutna. A nemlineáris 1 vizsgálat eredményével való összevetés céljából felhasználhatjuk [15]-ből a.8. ábrát. A fázis varianciáját B L = Í/Í0T 0 esetére az 5. ábrán tüntettük fel. Rs? esetén a linearizált modell az egzakt vizsgálattal azonos eredményt ad. Négyállapotú fázismodulációnál annak az elvnek a felhasználásával konstruálható döntésvisszacsatolt hurok, hogy az s(t)=fp sinft) 0 í+^(i-l) ; f=l,, 3,4 (0). összefüggéssel leírt QPSK jel felírható két BPSK jel összegeként: s(0=fp/n 1 (Osin(ft) 0 f-^-j + + yp/n (í)cos^ 0í-^j, (1) m 1 (í)=m (f) = ±1 bináris jelek, amelyek a négyszintű modulálójel állapotainak megfelelően a következő értékeket veszik fel: k m A négyszintű, döntésvisszacsatolt hurok eszerint a 6. ábrán látható módon konstruálható meg [15]. Az alapegyenletből kiindulva, a fáziszaj varianciája az előzővel azonos módon határozható meg (1. a függeléket). Az eredmény: H 510-SC 5] $. ábra, A fázis varianciája a döntésvisszacsatolt hurokban B h N 0 Dl * P(I-P;) ' '4 erfc Ff' () (3) 196

5 SZABÓ CS.: A FÁZISZÁRT HUROK, MINT VIVŐSZÜRŐ Eszerint nagy jel zaj viszonynál az eredmény ugyanaz, mint BPSK-nál, de P' e -t, a BPSK hibavalőszíníjséget most R/ értéknél kell behelyettesíteni. A 7. és 8. ábrákon a Costas-féle és a döntésvisszacsatolt hurok esetén adódó számítási eredményeket ábrázoltuk az R paraméter függvényében két-, ill. négyállapotú moduláció esetén. Látható, hogy bináris esetben a helyzet a két esetben közel azonos, csak kis jel zaj viszonynál van eltérés. Négyállapotú esetben nagyobb az eltérés, különösen kis jel zaj viszonyoknál (a b paraméter jelentése: áz 1 /T Q frekvencia kb. a bemeneti sávszélesség és- a hurok-zajsávszélesség viszonya). Összefoglalás Linearizált modellek alkalmazásával a fáziszárt elven működő szinkronizáló (vivőszűrő) rendszerek tulajdonságait követési üzemmódban igen egyszerűen jellemezhetjük. Az egyszerű fáziszárt hurok, amelyre a fázis varianciáját jól ismert módon a hurok jel, zaj viszony határozza meg [1. a (7) összefüggést] csak pilotvivős esetben alkalmazható. Az elnyomott vivőt követő hurkok közül a négyzetre emelő hurok (ill. a Costas-hurok) és a döntésvisszacsatolt hurok felépítésével, tulajdonságaival foglalkoztunk. A fázis varianciáját az előbbi típusú hurokra az irodalomból idéztük, az utóbbira nézve pedig az ismert alapegyenletekből kiindulva meghatároztuk, két- és négy állapotú fázismodulációra. Az eredmények, amelyeket a 7. és 8. ábrán illusztráltunk, digitális fázismodulált jelek vételekor alkalmazhatók a hibavalószínűség meghatározására, ha a szinkronizáló rendszer hibáját (az előállított vivő zajosságát) akarjuk figyelembe venni [0]. Függelék. A fázis varianciájának meghatározása a döntcsvisszaesatolt hurokban A (18) alapegyenletet (bináris fázismoduláció esete) felhasználva, linearizált modellhez jutunk q>(í)<scí feltételezésével, az alábbi helyettesítésekkel: sin^ság?; cos<psíl; PÁ<P)=\ erf c Q/R COS cp) i erfc fr = P E. A hurok alapegyenlete ekkor d<p(t) _ d<9,(í) ~K'H(p){C<p+n'(t)m(t)} (4) dí dí lesz, C=fP(l -P e ). A 9. ábrán látható rendszer most már a szokásos módszerrel vizsgálható. A zaj hatásának figyelembevételére alkalmazva a szuperpozíció elvét, az ábráról leolvashatóan a fázis spektrális sűrűségfüggvénye a következő lesz: s v (a))=s 0á ((o) = ^\H(fco)\ s ne (a)) (5) 10* ' 4 BPSK -. Costas-hurok Döntés- vcs. hurok , 0, R IH 510- SC 7] 7. ábra. Döntésvisszacsatolt hurok, linearizált modell QPSA Costas-hurok Döntés- vcs. hurok , R \H 510-SC8I 8. ábra. A Costas-féle és a döntésvisszacsatolt hurok összehasonlítása, bináris moduláció \H510-SC9] Q./ábra. A Costas-féle és a döntésvisszacsatolt hurok összehasonlítása, négyszintű moduláció es s (co) det), (6) H(jco) & H(s) = s + K'YPH^s) (7) 197

6 rtíkadastéchríjtka XXVHl. Évk 7. SZ. zárthurkú transzferfüggvénynek felel meg, továbbá Sn 0>) = Sn<0>) * Sm(co) = j S '(ft) - v)sm(v) áv = ^ J ^ W d ^ ^, (8) " felhasználva, hogy n'(f) a bemenetivel megegyező, iv 0 / spektrális sűrűségű fehér zaj. Ekkor a fázis varianciájára kapjuk: D B h N 0 = - - (9) * C ' P(l-P e ) a A négyállapotú fázismodulációra ismert, hogy az alapegyenlet (a 6. ábra felhasználásával) a következő alakban írható [15]: ^^m.^ l ( p ) { m -P e m sinw dr dí \j z + Ym 1 (t)n'(t)}- - ^ ÍT (p){]/p[l -Pe a (9p)] sin cp+][m (t).n"(t), H^H.ip), P ei (^)=Pe ^)=Í-erfc(/S 7 cos 9) ); i?'= -, n'(í) és n"(í) pedig N 0 / spektrálsűrűségű fehér zaj. Vezessük be a következő jelöléseket: (30) n^y^m^n'it), n^yén^tyxt). (31) A bináris esethez hasonlóan látható bé, hogy s n.i(ft>)=sneü(íw)=iv 0, továbbá mivel n el ésn e korrelálatlánok és nulla várható értékűek [15], s n a>)=n 0. Eszerint a hurok alapegyenlete: ^=^-- ^(p){mi-p(^sin, + +n ei (0+ne s (í)}- (3) Linearizált modellhez a fentiek szerinti helyettesítésekkel jutunk, s a fázis varianciája ezek után egyszerűen meghatározható: = 4= C' f \H(ico)\*s co) dco- V V J " ' B l N p(i-p;) (33)- IRODALOM * [1] Gardner, R. M.: Phaselock t.echniques. New York, Wiley, [] Viterbi, A. J.: Principles of Coherent Comjnunications. New York, McGraw-Hill, [3] Simon, M. K.: On the Equivalence of Several Phaselocked Loop Configurations. IEEE Trans. on Com. Tech., August, [4] Kal'nin, A. A.: Vozdejsztvie suihovna szisztemu FAPCS sz uszilitelem promezsutocsnoj csasztotü. Rádiótechnika, t. 5, No/9, [5] Sahgil'djan, B. B.: Ljahovkin, A. A.: Sziszteműfazovoj avtopodsztrojki csasztotü. Moszkva, Szovjetszkoe Radio, 197. f 6] Tihonov, V. I.: Vlijanie sumov na rabotu szhemü fazovoj avtopodsztrojki csasztotü. Avtomatika i Telemehanika, No. 9, [7] Tihónov, V. L.: Rabota fazovoj avtopodsztrojki csasztotü pri nalicsü sumov. Avtomatika i Telemehanika, No. 3, ' [8] Viterbi, A. J.: Phase-locked Loop Dynamics in the Presence of Nőise by Fokker-PlanckTeehniques. Proc. IEEE, Vol. 51. Dec [9] Lindsey, W. C.^-Charles, R. J.: Somé Analytical and Experimentál PLL Results for low SNR. Proc. IEEE, Vol. 54, Sept [10] Suzuki, K.~- Namekawa, T.: Dynamics of the Phaselocked Loop without a Limiter. IEEE Trans. on AES, Vol. 7. Sept [11] PapL.:A Fokker-Planck-Kolmogorov-egyenlet és alkalmazása a híradástechnikában. Híradástechnika, XXVII. évf. 8. sz aug. [1] Sahgil'djan, B. B.: Vlijanie uzkopolosznüh fluktuaciij na rabotu szisztemű fazovoj avtopodsztrojki csasztotü. Avtomatika i Telemehanika, No [13] Klapper, J. Frankié, J. T.: Phase-locked and Frequency-Feedback Systems. New York, Academic Press, 197. '[14] Lindsey, W. C: Nonlinear analysis of Generalized Tracking System. Proc. IEEE, Vol. 57. No. 10. Oct [15] Lindsey, W. C Simon, M. K.: Telecommunication Systems Engineering. Englewood Cliffs, N. J. Prentice HalL 197. [16] Lindsey, W. C Simon, M. K.: Nonlinear Analysis of Súpressed Carrier Tracking Loops in the Presence of Frequency Detuning. Proc. IEEE, Vol. 58. No. 9. Sept [17] Lindsey, W. C Simon, M. K.: Thé Effect of Loop Stress on the Performance of Phase-coherent Communication Systems. IEEE Trans. on Com. Tech. Vol. 18. No. 5. Oct [18] Costas, J. P.: Synchronous Communications. Proc. IRE» Vol. 44. Dec [19] Lindsey, W. C.: Synchronization Systems is Communicaiion and Control. Englewood Cliffs, N. J. Prentice-HalL [0] Natali, R. D.~ Walbesser, W. J.: Phase-locked Loop Dejection of Binary PSK Signals Utilizing Ltecision Feedback. IEEE Trans. on AES, Vol. 5. No. 1. [1] Szabó Cs.: Koherens demodulálás fáziszárt hurkok alkalkalmazásával. Egyetemi doktori értekezés,