Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?

Átírás

1 Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek? Besenyei Ádám badam@cs.elte.hu Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest ELTE Matematikai Intézet Nyílt Nap

2 Gondolatébresztő

3 Wigner Jenő ( )... a matematika roppant hasznos volta a természettudományokban a titokzatossal határos, és kielégítő magyarázatot nem is tudunk rá adni.... a»természettörvények«létezése egyáltalán nem természetes, még kevésbé az, hogy az ember képes azokat felfedezni.... A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem érdemlünk meg. (Előadás a New York Egyetemen, 1959.)

4 Mi az előadás célja?

5 Miről lesz szó? kérdés: térben és időben lezajló természeti (fizikai, kémiai, biológiai... ) jelenségek hogyan modellezhetők matematikai eszközök segítségével cél: olyan egyszerűsített modell felállítása, amely matematikailag még kezelhető, de a jelenségről is mond valamit eszköz: differenciálegyenletek hol fordulnak elő: aki természettudományos szakra jön, biztosan találkozik vele, de nem csak a természettudományokban (műszaki tudomány, közgazdaságtan, orvostudomány... ) elmélet: sok eszközt igényel és gyakran bonyolult számolásokat gyakorlat: számítógépes szimulációk most: közérthető ízelítő a szépségből Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

6 Egy kis ízelítő...

7 Ízelítő Sherlock Holmes és a Coolbody eset Egy éjjel a nagy angol színész, Archibald Coolbody feleségét holtan találják otthonában. Mellette a férj, kezében a gyilkos fegyverrel. Lestrade felügyelő a Scotland Yardtól már-már lezártnak tekintené az ügyet, mikor hajnali 1 órakor beviharzik Sherlock Holmes és az alábbi beszélgetés zajlik le közöttük. Lestrade: Mr Holmes, önnek semmi keresnivalója itt, az ügy teljesen egyértelmű. A férj kezében volt a gyilkos fegyver, ő tette. Holmes: Csak ne olyan hevesen, Lestrade! Megmérte a halottkém a holttest hőmérsékletét? Lestrade: Természetesen. Pontban éjfélkor a test 33 -os volt. Ekkor Holmes előkapta kabátzsebéből a hőmérőjét és megvizsgálta a testet. Holmes: Hmm... Most 31 -os; és látja, a szoba hőmérője 20 -ot mutat. A halál fél 11 körül állt be, márpedig akkor Coolbody még Hamletet játszotta a Queen s Theatre-ben, ahogy minden este. Ő nem lehet a gyilkos. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

8 Ízelítő Sherlock Holmes és a Coolbody eset Hogyan állapította meg Sherlock Holmes, hogy mikor hunyt el az áldozat? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

9 Ízelítő A hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez? 1 cm s 1 m s Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

10 Ízelítő A fura Rómeó és a normális Júlia esete Rómeó és Júlia együtt járnak. Júlia normális : minél inkább/kevésbé szereti őt Rómeó, annál inkább/kevésbé szereti ő Rómeót. Rómeó kissé fura : minél inkább/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/inkább szereti ő Júliát. Hogyan alakul a kapcsolatuk? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

11 Kulcsfogalom: a változás sebessége Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

12 A változás sebessége x(t) egy időtől függő mennyiség: megtett út, hőmérséklet, szeretet/ellenszenv intenzitása stb. mit jelent x(t) változási sebessége? például: ha x(t) az autópályán haladó gépkocsi aktuális helyzete, akkor a gépkocsi pillanatnyi sebessége, amelyet a műszerfalon látunk mit is jelent? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

13 A változás sebessége x(t) mennyiség megváltozása a [t, t + t] intervallumon: megváltozás = x(t + t) x(t) ha x(t) az autó helyzete, akkor a megváltozás az (előjelesen) megtett út ha a megváltozás egyenletesen/lineárisan (azaz egyenlő időközök alatt egyenlő mértékben) történne, akkor a változás sebessége: megváltozás eltelt idő = x(t + t) x(t) t x(t + t) x(t) t ha a mozgás nem egyenletes, akkor ez csak átlagsebesség t + t ha viszont t piciny időintervallum, akkor a mozgás közelítőleg lineáris az átlagsebesség határértékben a változás pillanatnyi sebessége Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

14 A változás sebessége példák: a gépkocsi helyzetének változási üteme a pillanatnyi sebesség a gépkocsi sebességének változási üteme a pillanatnyi gyorsulás differenciálegyenletekben hagyományos jelölés (Newton): x(t) változási sebessége ẋ(t) ẋ(t) változási sebessége ẍ(t) stb. intuitív módon világos: ha ẋ = 0, akkor x(t) állandó (a gépkocsi sebessége 0 = egy helyben vagyunk) ha ẋ > 0, akkor x növekszik, minél nagyobb ẋ, annál gyorsabban (gépkocsi sebessége nagy = egyre jobban távolodunk a kiindulási ponttól) ha ẋ < 0, akkor x csökken, minél kisebb ẋ(t), annál gyorsabban (a gépkocsi tolat, a műszerfalon a sebesség nagyságát látjuk, az előjelét az ablakon kinézve) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

15 Sherlock Holmes

16 A hőmérséklet-csökkenés sebessége Newton lehűlési törvénye 1701-ből...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron. Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in a Geometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

17 A hőmérséklet-csökkenés sebessége Newton lehűlési törvénye 1701-ből...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron. Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in a Geometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms. Newton lehűlési törvénye a középiskolában A test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alatt ugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mért hőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak: T test (t) T közeg = q t (T test (0) T közeg ). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

18 A hőmérséklet-csökkenés sebessége Newton lehűlési törvénye 1701-ből...the Heat which the Iron loses in a given time, is as the whole Heat of the Iron. Therefore if the Times of cooling are taken equal, the Heats will be in a Geometrical Ratio, and therefore are easily found by a Table of Logarithms. Newton lehűlési törvénye a középiskolában A test és a közeg hőmérsékletének különbsége egyenlő időközök alatt ugyanannyiad részére csökken, vagyis az egyenlő időközökben mért hőmérséklet-különbségek mértani sorozatot alkotnak: T test (t) T közeg = q t (T test (0) T közeg ). Newton lehűlési törvénye differenciálegyenlettel A test közeghez képesti hőmérsékletének változása arányos a test és a közeg hőmérsékletének különbségével: (T test (t) T közeg ) = λ(t test (t) T közeg ). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

19 Newton lehűlési törvénye alkalmazás Sherlock Holmes és Newton T test T közeg kezdetben = T 0 (= 13 ) T test (t) T közeg egységnyi idő múlva = T 1 (= 11 ) T 1 = q T 0 = Megvan q! (q = 11/13) Mikor lesz/volt a különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz T 2 = q t T 0? ( T 2 = 16,5 = t 1,4 = kb. másfél órával éjfél előtt) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

20 Newton lehűlési törvénye alkalmazás Sherlock Holmes és Newton T test T közeg kezdetben = T 0 (= 13 ) T test (t) T közeg egységnyi idő múlva = T 1 (= 11 ) T 1 = q T 0 = Megvan q! (q = 11/13) Mikor lesz/volt a különbség egy adott érték? Milyen t-re lesz T 2 = q t T 0? ( T 2 = 16,5 = t 1,4 = kb. másfél órával éjfél előtt) További italos alkalmazások Mikor tegyük a tejet a kávéba, hogy minél lassabban hűljön ki? Mikorra józanodunk ki bizonyos mennyiségű alkohol elfogyasztása után? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

21 A hangya és a gonosz manó

22 A hangya és a gonosz manó a probléma A kis hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez? 1 cm s 1 m s Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

23 A hangya és a gonosz manó a probléma A kis hangya és a gonosz manó esete Eljut-e a hangya a (végtelenül nyújtható) gumiszalag végéhez? 1 cm s 1 m s Egy kis történelem december, Science et Vie folyóirat, Denys Wilquin (New Caledonia): small creature on an elastic rope Martin Gardner, Scientific American ( worm ) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

24 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás A manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m s A hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme = hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm s sebessége + gumi adott pontjának u távolodási sebessége t idő múlva távolodási ütem= u =? x(t) távolodási ütem= V d + V t Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

25 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás A manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m s A hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme = hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm s sebessége + gumi adott pontjának u távolodási sebessége t idő múlva távolodási ütem= u =? x(t) távolodási ütem= V d + V t u V = x(t) d + V t Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

26 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás A manó faltól való távolságának változási üteme V = 1 m s A hangya faltól való x(t) távolságának változási üteme = hangya gumihoz viszonyított v = 1 cm s sebessége + gumi adott pontjának u távolodási sebessége t idő múlva távolodási ütem= u =? x(t) távolodási ütem= V d + V t u V = x(t) d + V t ẋ(t) = v + V d + V t x(t) Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

27 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás Aki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy a hangya távolsága a faltól x(t) = (d + V t) v ( V log 1 + V t ) d (e V v 1, találkozási időpont T = d V találkozási hely x(t ) = d e V v. ), Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

28 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás Aki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy a hangya távolsága a faltól x(t) = (d + V t) v ( V log 1 + V t ) d (e V v 1, Mit is jelent ez? Ha d = 1m, v = 1 cm s, V = 1 m s, akkor találkozási időpont T = d V találkozási hely x(t ) = d e V v. találkozási időpont 2, s 8, év, találkozási hely 2, m 2, fényév. ), Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

29 A hangya és a gonosz manó megoldás A megoldás Aki tanult megoldani differenciálegyenleteket, az innen már tudja, hogy a hangya távolsága a faltól x(t) = (d + V t) v ( V log 1 + V t ) d (e V v 1, Mit is jelent ez? Ha d = 1m, v = 1 cm s, V = 1 m s, akkor találkozási időpont T = d V találkozási hely x(t ) = d e V v. találkozási időpont 2, s 8, év, találkozási hely 2, m 2, fényév. Összehasonlításképpen: az univerzum életkora = s év, az univerum átmérője = 8, m 9, fényév. ), Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

30 Rómeó és Júlia

31 Rómeó és Júlia a probléma Rómeó kissé fura (vagy inkább nehéz ember...) Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát: Ṙ(t) = J(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

32 Rómeó és Júlia a probléma Rómeó kissé fura (vagy inkább nehéz ember...) Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát: Ṙ(t) = J(t). Júlia normális Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót: J(t) = R(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

33 Rómeó és Júlia a probléma Rómeó kissé fura (vagy inkább nehéz ember...) Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát: Ṙ(t) = J(t). Júlia normális Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót: J(t) = R(t). Kérdés Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

34 Rómeó és Júlia a probléma Rómeó kissé fura (vagy inkább nehéz ember...) Minél jobban/kevésbé szereti őt Júlia, annál kevésbé/jobban szereti ő Júliát: Ṙ(t) = J(t). Júlia normális Minél jobban/kevésbé szereti őt Rómeó, annál jobban/kevésbé szereti ő Rómeót: J(t) = R(t). Kérdés Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata? Megoldás Célszerű t (R(t), J(t)) ábrázolása a síkon. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

35 Rómeó és Júlia megoldás Fura Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

36 Rómeó és Júlia megoldás Fura Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t). J R centrum Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

37 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Normális Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

38 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Normális Rómeó és normális Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t). J R nyereg Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

39 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t) + J(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

40 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t) + J(t). J R fókusz Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

41 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2. Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t) + 2J(t). Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

42 Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolatok Fura Rómeó és hangulatfüggő Júlia 2. Matematikailag (a legegyszerűbben): Ṙ(t) = J(t), J(t) = R(t) + 2J(t). J R csomó Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

43 Rómeó és Júlia történelem Rómeó és Júlia szerelme Steven Strogatz (1959 ), Love Affairs and Differential Equations, Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

44 Rómeó és Júlia Petrarca és Laura Petrarca és Laura Francesco Petrarca ( ) Laura de Noves ( )?? Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

45 Rómeó és Júlia Petrarca és Laura Petrarca érzései Laura iránt Sergio Rinaldi, Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

46 Hol fordulnak még elő differenciálegyenletek?

47 Differenciálegyenletek mindenütt fizika: elektromágnesség: Maxwell-egyenletek áramlástan: Navier Stokes-egyenletek (1 millió dollár) kvantummechanika: Schrödinger-egyenlet biológia: ragadozó zsákmány modellek: Lotka Volterra életkor függő populációs modellek kémia: reakciók leírása közgazdaságtan, pénzügy: opciók árazása: Black Scholes-egyenlet (Nobel-díj, 1997) betegségterjedés modellezése (nagy hálózatok) gyógyszeradagolási modell, követési modell, tanulási modell harci modellek (Lancester) az alkalmazások köre végeláthatatlan... Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

48 Érdemes-e tehát matematikával foglalkozni?

49 Miért foglalkozzunk matematikával? Siméon Denis Poisson ( ): Az élet csak két dologra jó: matematikával foglalkozni és matematikát tanítani. Dirk Jan Struik ( ) (106 évesen halt meg!) A matematikusok sokáig élnek; a matematika egy egészséges hivatás. Azért élünk sokáig, mert kellemes gondolataink vannak. Matematikával és fizikával foglalkozni nagyon kellemes dolog. De vigyázat! John Edensor Littlewood ( ) A matematikus hivatás veszélyes: egy jelentős részünk megőrül. Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

50 Olvasnivalók Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó avagy mire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás, július Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös Kollégium Természettudományos Tábor, július A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosok számára, a kurzus honlapja: Hatvani László Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában, Polygon, Szeged, Besenyei Ádám (ELTE) Differenciálegyenletek ELTE, / 29

51 Vége Köszönöm a figyelmet!