6. JELDIGITALIZÁLÁS ÉS JELREKONSTRUKCIÓ: KVANTÁLÁS, KÓDOLÁS 2

Átírás

1 Kvantálás, kóolás / 6. JELDIGITALIZÁLÁS ÉS JELREKONSTRUKCIÓ: KVANTÁLÁS, KÓDOLÁS 6. Memória mentes kvantálás 6.. A kvantálás efiníciója, fogalmai 6.. Kvantálók kvantálási- és a hiba-karakterisztikái Kvantálók üzemmójai, műköési tartományai Kvantálók nevezetes típusai, osztályai Egyenletes és szimmetrikus kvantáló Memória mentes, stacionárius forrás kvantálása Jel-zaj viszony, optimális kvantálás, illesztett kvantálás Nem egyenletes kvantáló A logaritmikus kvantáló Ma-Lloy kvantáló Normalizált kvantáló, optimális kvantáló illesztésének ekomponálása Aaptív kvantálás 7 verzió: 05. április

2 Kvantálás, kóolás / 6. Jeligitalizálás és jelrekonstrukció: kvantálás, kóolás 6. Memória mentes kvantálás 6.. A kvantálás efiníciója, fogalmai A kvantálást legegyszerűbben az alábbiak szerint efiniálhatjuk: Definíció: n Q y n Az L szintű Q= Q kvantáló olyan iszkrét iejű input-output renszer, melyre az alábbi tulajonságok igazak: valós (be- és kimenetű), memóriamentes: y n = Q (n, n ), invariáns: y n = Q ( n ) minen mintára, azaz n-től függetlenül, véges kimeneti értékkészletű (L elemű halmaz): y n [Y, Y,... Y L ] monoton y = Q ( ) karakterisztikájú. A fenti efiníciónak megfelelően, a kvantáló úgy műköik, hogy a bemeneti értelmezési tartomány az [-, X, X,... X L-, + ] intervallum határok monoton növekvő renszerével L arab intervallumra van felosztva, ha az bemeneti érték az [ i-, i ) intervallumba esik, akkor a kimeneti érték az i-eik Y i, [Y, Y,... Y L ] öntött (rekonstruált, kerekített, kvantált) érték. A fentiek szerint efiniált Q kvantálót felfoghatjuk az alábbiakban efiniálanó Q kvantáló és Q - inverz kvantáló párból álló összetett renszerként is: Definíció: Kvantáló és inverz kvantáló Q : n i n y n - Q Q verzió: 05. április

3 Kvantálás, kóolás 3/ A Q kvantáló, ez esetben, egy öntést végző eszköz (elönti, hogy az aktuális bemeneti minta melyik, hányaik intervallumba esett), azaz a bemeneti valós n sorozat alapján egy egész értékű i n (i ) intervallum-inesorozatot állít elő a kimenetén, ahol i n : Q( n ) = y n. Az y n kimeneti valós kvantált sorozatot, a rekonstruált jelet, a Q - inverz kvantáló állítja elő az egész értékű i n inesorozatból. Analóg, valós n mintasorozatnak - térbeli (távközlés) vagy iőbeli (pl. CD-re írás) - igitális átviteli csatornán való továbbításához a cím sorozatnak további igitális szimbólum sorozattá történő kóolására is szükség lehet. (Láthatjuk, hogy ebben az esetben a kóoló és ekóoló fogalmai is több értelműek, van, az ábrán látható szűkebb és tágabb értelmezése is.) Q : i n c n c n i n y n n i i - Q Kóoló csatorna Dekóoló Q Kóoló Dekóoló A továbbiakban kvantáló alatt alap értelmezésként az. efiníció szerinti (valós bemenetű, valós kimenetű) kvantálót értjük, e gyakran előforul, hogy. efinícióban szereplő kvantálóinverzkvantáló ekomponálással kell élnünk azaz, a kóolóbeli öntési funkciót (valós bemenethez intervallum cím meghatározása) szétválasztjuk a ekóolóbeli rekonstrukciós funkciótól (címből valós kimeneti minta előállítása). Ha, az ábrán vagy a szövegben inverz kvantálóról is szó van, akkor kvantálóról a. efiníció szerint van szó, egyébként peig az első efiníció az érvényes. 6.. Kvantálók kvantálási- és a hiba-karakterisztikái Az előző pontban efiniált kvantálók az {L, X, X,... X L-, Y, Y,... Y L } struktúrával (a szintek száma, az L- arab valós, a végesben lévő intervallum határ és az L arab valós kimeneti érték) egyértelműen meghatározott. A kvantálók leírhatók az y = Q() függvénnyel az ún. kvantáló karakterisztikával, amely minig az intervallumok felett konstans értékű lépcsős függvény : y Y, ha (, X ) Q() = Y, ha [ X i, X L ), i =,..., L YL, ha [ X L-, ) = i : verzió: 05. április

4 Kvantálás, kóolás 4/ A kvantáló karakterisztikák általában minig olyanok, hogy a lehetséges Y i kimeneti értékek az i-eik, q i =X i -X i- szélességű [X i-, X i ] intervallumokon belülre esik. A két szélső, nem korlátos intervallumot leszámítva, a kimeneti Y i értékek gyakran a megfelelő intervallumhatárok számtani közepe (kerekítéses kvantálás). Ebből következik, hogy a lehetséges kimeneti értékek lépésköze is a q i intervallumszélességek nagyságrenjébe esik (vagy gyakran azokkal egyenlő). A q i értékeket a kvantáló felbontásának is nevezhetjük. Finom kvantálásról sok, kis értékű q i esetén van szó, ezzel szemben urva kvantálásról kevés és nagy értékű q i k esetén van szó. Kvantálási hiba, kvantálási torzítás: Kvantálók bemeneti n és kimenet y n számsorozatai mellett bevezethetjük az e n = y n - n hibajel sorozatot is. Ezt a jelet gyakran torzításnak is nevezik. A kvantálók az u.n. hibakarakterisztikával is teljesen leírhatóak, amely az alábbi E() = Q() szerint származik a Q() kvantálási karakterisztikából. Amíg a Q() minig szakaszonként konstans, azaz lépcsős függvény, aig az E() karakterisztika minig egy fűrész jellegű függvény, azaz szakaszonként (kvantálási intervallumokként) - mereekségű egyenesek: verzió: 05. április

5 Kvantálás, kóolás 5/ A kvantálók műköése úgy is felfogható, hogy a kvantálók a bemenethez a hibajelet hozzáava aják a kimenetüket: y n = n + e n A kantálóknak aze() hibakarakterisztikával leírt moelljét aitív hiba (torzítás) moellnek nevezzük Kvantálók üzemmójai, műköési tartományai A Q() kvantálási illetve az E() hiba-karakterisztikák alapján a kvantálók műköésének a kvantálanó értéktől (vagy értékektől) függően - három üzemmóját különböztetjük meg: Kisjelű (speciálisan nulla bemenetű) üzemmó, tartomány: Az kvantálanó értékek, vagy annak megváltozásai a kvantáló q i felbontásának nagyságrenjébe esnek, vagy azoknál kisebbek. (Speciális eset: nulla bemenetű kvantáló) Normál, kerekítéses, granuláris üzemmó, tartomány: Az e hiba értékek korlátosak, a kvantáló q i felbontásának nagyságrenjébe esnek, vagy azoknál kisebbek. (Speciális eset: kerekítés esetén e < q/) Az értékek azon tartományát, melyeknél a kvantáló normál üzemmóban műköik, a kvantáló inamika tartományának nevezzük. Nagyjelű, túlvezérléses, túlterhelt, telítéses üzemmó, tartomány: Az kvantálanó értékek, a szélső, nem korlátos intervallumokba esnek, az e hibajel nagyobb, mint a kerekítéses üzemmó felső határa Kvantálók nevezetes típusai, osztályai. Szimmetrikus kvantáló: Q( ) = Q(). Egyenletes kvantáló: y i+ y i = y = q = = i+ i i=...(l-) 3. Egyenletes és szimmetrikus kvantáló: 4. Nem egyenletes kvantáló verzió: 05. április

6 Kvantálás, kóolás 6/ 5. Logaritmikus kvantáló 6. Ma Lloy kvantáló: Egyenletes és szimmetrikus kvantáló Egyenletes és szimmetrikus kvantálót egyértelműen meghatározza a szintek L száma és a kvantáló q felbontása (lépes nagysága, intervallum szélessége). Az ábrán L=8 és L=7 szintű, q= felbontású egyenletes és szimmetrikus kvantálók kvantálásiés hiba-karakterisztikáit látjuk. A kvantáló inamika tartománya a [+ ] intervallum: ezen belül igaz az e hibára, hogy korlátos, nevezetesen e q/. Az L, q és paraméterek közötti összefüggések: verzió: 05. április

7 Kvantálás, kóolás 7/ q = /L illetve = Lq/. Normál üzemmóban a hiba imum: e = q/ = /L. Az intervallum határok: X i = - + iq = (-L/+i)q, i=,,... (L-). A kimeneti lehetséges értékek: Y i = - +q/+ (i-)q = (-L/+i-/)q, i=,,... L. A kvantálók intervallum ineeit gyakran r bites szimbólumokkal kóolják. Ekkor a szintek imális száma: L= r. Ebben az esetben az r, q és, e paraméterek közötti összefüggések: q = / (r-) illetve = (r-) q. Normál üzemmóban a hiba imum: e = q/ = / r. A szimmetrikus, egyenletes kvantálók kisjelű műköésében lényeges különbség van attól függően, hogy L páros vagy páratlan. a, Páratlan L esetén: Ekkor az = 0 pont egy intervallum közepe, a 0 érték lehetséges öntési szint, e nem komparálási szint (nem intervallum határ). Nulla bemenetre a kvantáló (hibamentes) nulla értéket a a kimenetén. b, Páros L esetén: Ekkor az = 0 pont öntési határ, e nem lehetséges kimeneti érték. Nulla bemenetre a kvantáló kimenetén ekkor ±q/ lehetséges értékű, 0.5 valószínűség szerinti eloszlású, kétállapotú, memóriamentes, stacioner véletlen (fehér) zaj jelenik meg, melynek várható értéke nulla, átlagteljesítménye (=szórása) q / Memória mentes, stacionárius forrás kvantálása Ha a kvantáló bemenetén ξ n memória mentes, stacionárius, F ξ () valószínűség eloszlású, f ξ () valószínűség sűrűségű (pf) véletlen jel van, akkor a kvantáló kimenetén kapott verzió: 05. április

8 Kvantálás, kóolás 8/ ζ n = Q (ξ n ) véletlen jel is memória mentes, stacionárius sorozat lesz mely iszkrét eloszlású: p ζi = p i = Pr {ζ n = Y i }= Pr {ξ n [X i-, X i ] } = X X i f (), i =,,...L. (Az f ζ () sűrűség függvény p i területű Dirac-eltákat tartalmaz = Y i helyeken.) i ξ A kvantáló ε n = ζ n - ξ n = E( ξ n ) hibajele is véletlen jel, folytonos eloszlású stacioner folyamat (mint maj később megállapítjuk, tipikus esetekben korrelálatlan, tehát fehér zaj). A hibajel, egyrészt a kimeneti és a bemeneti stacioner eloszlású valószínűségi változók különbsége, tehát ezért stacionárius, másrészt a ξ valószínűségi változó E() szerinti függvénye. Ezen utóbbi alapján, az ε n hiba jel f ε () valószínűség sűrűségét a ξ n f ξ () sűrűségéből az f ξ () sűrűségnek a kvantálási intervallumok feletti ( X,X ] fξ () ha i- i f ξi () = 0 egyébként szegmenseinek a Q() szakaszonként - mereekségű részei szerinti belapolóások összegeként kapjuk: f ε () = fξ,i (Yi ). i Stacionárius forrás kvantálásakor (feltételezve, hogy nem kisjelű műköésről van szó) a kvantáló karakterisztika paramétereiből (pélául és + intervallum felett kerekítéses üzemmó) és a forrás f ξ () valószínűség sűrűségéből kiszámítható a normál (kerekítéses) és a túlvezérléses üzemmóok valószínűségei: a normál műköés valószínűsége: a túlvezérlés valószínűsége: P Pnormal = fξ () - overloa = fξ () + fξ () = fξ (). Vizsgáljuk meg az egyenletes kvantáló és normális üzemmóú kvantálás esetén mit monhatunk részletesebbet a hibajel statisztikájáról! A normális üzemmó azt jelenti, hogy nulla a túlvezérlés valószínűsége, azaz p overloa = 0 ami ekvivalens azzal, hogy az f ξ () sűrűség tartója nem lóg le a kvantáló [ min,,, ] inamika tartományáról, e ugyanakkor nem kisjelű üzemmóról van szó, azaz elég sok q szélességű öntési intervallumot lefe (elég finom a kvantálás). Ekkor nyilvánvaló, hogy az ε hibajel f ε () sűrűségének a tartója a [-q/, +q/] intervallum, mely felett a bemeneti sűrűség q szélességű szegmenseinek összege, tehát igen jó közelítéssel egyenletes valószínűség sűrűséget ereményez. verzió: 05. április

9 Kvantálás, kóolás 9/ A [-q/, +q/] intervallum felett egyenletes eloszlású, memória mentes, stacionárius folyamat várhatóértéke E{ε n } = 0, átlagteljesítménye E{ε n } = P ε = σ ε = q /, autokorrelációja r ε (n) = σ ε δ(n), teljesítmény sűrűsége: S ε (z) = S ε (f) = σ ε További plauzibilis feltevéssel élhetünk: a kvantálási zajt a kvantálanó jeltől is függetlennek tekinthetjük. Összefoglalva, tehát egyenletes kvantáló normál üzemmójában a kvantálási ε n hibát a kvantálanó ξ n jeltől független, egyenletes eloszlású, nulla várható értékű, σ ε = q / szórásnégyzetű (átlagteljesítményű) fehér zajnak tekinthetjük, azaz használhatjuk a lineáris aitív zajhelyettesítő képet: ε n, σ = q / ξ n ζ n ξ n Q = + ζ n verzió: 05. április

10 Kvantálás, kóolás 0/ Jel-zaj viszony, optimális kvantálás, illesztett kvantálás Stacioner forrás kvantálása esetén az általánosan használt minőségjellemző a kvantálás jel-zaj viszonya (SNR), melynek efiniciója: SNR = átlagos jelteljesítmény / átlagos hibateljesítmény, azaz SNR P = P ξ ε = E E { ξ } { ε } = E E{ ξ } {(ξ ζ) } A jel-zaj viszonyt gyakran logaritmikus egységben, B-ben mérik: SNR B = 0 log 0 (SNR) A kvantálás annál jobb, minél nagyobb a jel-zaj viszonya. Vizsgáljuk meg először nulla várható értékű, [-, + ] felett egyenletes eloszlású stacionárius forrásnak r-bites, [-,] inamika tartományú, egyenletes kvantálóval kapott jel-zaj viszonyát. A ξ n jel teljesítménye: P Eξ { } ξ = = fξ () = = 3 tehát a jel eloszlásának tartójától, azaz a lehetséges legnagyobb előforuló értéktől négyzetesen függ., A túlvezérlés mentesség feltétele ebben az esetben:.normál műköési tartományban a kvantáló kerekítési zajának teljesítménye mint azt az előző pontban láttuk - a jeltől függetlenül P ε = σ ε = q /. Ezek után, tehát aott kvantáló esetén az SNR B ( ) függvény - logaritmikusan ábrázolva 0B/eká mereekségű egyenes, azaz annál nagyobb az SNR minél nagyobb a jel teljesítmény azaz minél nagyobb a imális értéke. Ez a megállapítás természetesen csak a normál műköési tartományban, ( q << ) érvényes. A imális SNR értéket tehát akkor kapjuk, ha a forrás és a kvantáló viszonyára fennáll, hogy =. Ebben az esetben beszélhetünk illesztett kvantálásról és ekkor az r-bites (L= r szintű) kvantáló imális jel-zaj viszonya: verzió: 05. április

11 Kvantálás, kóolás / SNR Pξ 3 L r = = = 4 = 4 = Pε normal q q és ezt ecibellben kifejezve kapjuk az alábbi jól ismert szabályt: B r SNR = 0 log0 ( ) = 0 log0 () r = 6 r [B] azaz a kvantáló jel-zaj viszonya bitekként 6 ecibellel növekszik. Ha kilépünk a normál műköési tartományból, azaz >, akkor már p overloa = -/ valószínűséggel a túlvezérléses tartományban vagyunk. Ekkor a kvantálási hiba átlagteljesítménye: P ε overloa = E ( y ) f ( ) + min ξ ξ { ε ξ > } =, f ξ ( ) + ( y f ξ ) ( ) f ( ) ahol a kvantálási torzítás átlagteljesítménye már nem független a jel teljesítménytől, hanem tól négyzetesen függ, ez azt jelenti, hogy túlvezérlés valószínűségének, azaz nak a növelésével a jel-zaj viszony rasztikusan lecsökken. Ennek illusztrálására nézzünk egy konkrét számpélát! Péla: Mekkora lesz egy 8 bites szimmetrikus, egyenletes kvantáló jel-zaj viszony 0B-es túlvezérlés esetén? (A bemenő jelet egyenletes eloszlásúnak tekintjük.) σ ξ 0lg = 0B σ σ ξ = 0 ξ σ = 0, ahol a kvantáló inamikatartománya. 3 ξ A zajteljesítményt külön kell számolni, abban az esetben, amikor nincs túlvezérlés és abban, amikor van, maj az alábbiak szerint vegyük a két eremény átlagát: σ = P σ + ( P ) σ, ahol σ ε a túlvezérléskor kapott kvantálási zaj teljesítmény ε n ε n n ε t t (szórásnégyzete), σ a normál műköésnél mért zaj szórása, P ε n n a normál műköés valószínűsége. P n =? Mivel egyenletes eloszlást tételeztünk föl, Pn = fξ ( ) = =, ahol : σ ξ = = 3σ ξ = 3 0 = Pn = = 0 verzió: 05. április

12 Kvantálás, kóolás / σ ε n =? σ ξ n σ ε t =? q 3 3 R = = = 6 σ ε = t = Mivel σ ε ( ) 0 e e e + = ( ) ( ) ( 0 ) 3 e = e e e = << σ σ σ 0 σ n ε t ε ( P ) ε = t ε t 0 4, n = 3. 0 SNR = = 5 (0,6B) σ ε 9 0, Látható, hogy a túlvezérlés megjelenésével mereeken csökken a jel-zaj viszony. Egyenletes kvantálók jel-zaj viszonyával kapcsolatban oljuk meg az alábbi számpélát! Hány bites lineáris kvantáló kell ahhoz, hogy legalább 40B-es jel-zaj viszonyt kapjunk 40B-es inamikatartomány felett? Megolás: A 40B-es bemeneti inamikatartomány azt jelenti, hogy a bemeneti jel legkisebb és legnagyobb teljesítményű része között 40B a különbség P /P min = 0 4. Ha a legkisebb jelszintnél is 40B-es jel-zaj viszonyt kell biztosítanunk, akkor a legnagyobb jelszintnél 80B a jel-zaj viszony: Tehát SNR = 80B R = [80/6] =4 (bit). verzió: 05. április

13 Kvantálás, kóolás 3/ Nem egyenletes kvantáló Ha a kvantáló öntési (kerekítési) intervallumai nem egyforma szélességűek (és így, persze a lehetséges kimeneti kerekített étékek távolságai sem egyenlők), akkor nem egyenletes kvantálóról van szó. Pélául, okunk lehet a kvantálási karakterisztikát úgy megtervezni, hogy kisebb értékeket kisebb kerekítési hibával, finomabban, nagyobb értékeket nagyobb kerekítési hibával, urvábban kvantáljon. Ezen gonolat részletesebb vizsgálata vezet a következő pontban tárgyalanó logaritmikus kvantáláshoz. Egy másik meggonolás szerint a gyakrabban előforuló mintanagyságokat éremes lehet kisebb hibával kvantálni, mint a ritkábban előforuló minta-nagyságokat, annak érekében, hogy az ereő jel-zaj viszonyt imalizáljuk. Ez az ötlet vezet a stacioner forrás valószínűség sűrűsége alapján optimalizált nem egyenletes kvantálóhoz, az u.n. Ma-Lloy kvantálóhoz (lás pont) A nem egyenletes kvantálók anlízisénél, tervezésénél és aott esetben az implementációjánál is felhasználható az alábbi tétel: Minen nem egyenletes Q() kvantáló, egy megfelelő g() nemlineáris függvénny segítségével visszavezethető egy Q 0 () egyenletes kvantálásra: Q y = g( ) u Q 0 z g - ( ) y A g() nemlineáris függvényt kompanálási karakterisztikának, a g - () inverz függvényt epaner karakterisztikának nevezik. Nem egyenletes kvantálóra egy pélát az alábbi ábrán látunk: q u, z: egyenletes kvantálás, y: nem egyenletes kvantálás u=g() y=g - (z) i verzió: 05. április

14 Kvantálás, kóolás 4/ A logaritmikus kvantáló Szimmetrikus kvantálás esetén a kvantálást két részre lehet bontani: előjel meghatározás és abszolút érték kvantálás. A teljesítmény csak az abszolút értéktől függ. A továbbiakban abszolút érték kvantálását vizsgáljuk. Az pontban láttuk, hogy az egyenletes kvantálóknál, ha csökken a bemenő jel szintje, akkor csökken a jel-zaj viszony. Sok esetben kevezőbb megolás lenne, ha a bemeneti jelteljesítménytől (bizonyos inamika tartományon belül) független lenne a kvantálás jelzaj viszonya. Ehhez az kell, hogy alacsonyabb jelszinteknél kisebb kvantálási lépésközt alkalmazzunk, a kisebb kvantálási hiba érekében (nem egyenletes kvantáló). Osszuk fel a bemeneti jeltartományt L intervallumra: X, X,...,X L. Ha ξ n X i, akkor η n = y i. Jelöljük annak a valószínűségét p i -vel, hogy a bemenet az i-eik intervallumba kerül: p i = Pr{ξ n X i }. A bemeneti jel és a kvantálási zaj teljesítményét írjuk fel a az egyes halmazokra vonatkozó feltételes szórásnégyzetek segítségével: L L { ξ } = E { ξ i ξ X i } és E{ ε } = E{ ε i ε X i } E p i= p i= Ezek alapján efiniálható a feltételes jel-zaj viszony is: L i= i i SNR i E = E { ξ ξ X i } { ε ξ X i } Figyeljük meg, hogy SNR'= p SNR SNR (!). Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha minen SNR i megegyezik, azaz a jel-zaj viszony független attól, hogy melyik intervallumba esik a bemeneti jel. Ezt a tulajonságot a logaritmikus kvantáló teljesíti. Tegyük fel, hogy min < ξ <. A Q() kvantáló kvantálási határait az min és között válasszuk meg. Vegyünk fel egy logaritmikus függvényt a kvantáló tengelye fölött,.. és osszuk fel a függőleges tengelyt ln( min ) és ln( ) között L egyenlő () közű részre: ln ln( ) ln( ) = L =. Vetítsük vissza a logaritmikus skálán egyenletesen L elhelyezkeő intervallumhatárokat az tengelyre. Az így meghatározott öntési küszöbökkel műköő kvantáló jel-zaj viszonya állanó lesz, amely pélául az környezetében az alábbi móon számítható: verzió: 05. április

15 Kvantálás, kóolás 5/ SNR = q, ahol q az alábbi egyenlettel határozható meg: q + q q = = = ln + + ln ln ln q min q Nézzük az alábbi számpélát: Hány bites logaritmikus kvantálót kell alkalmaznunk, ha a bemeneti inamikatartomány 40B és 40B-es állanó jel-zaj viszonyt kell biztosítanunk? Megolás: 4 00 SNR = = 0 = = ln + = 0, 0346 q q Mivel a bemeneti inamikatartomány 40B, ln L = min = ln00 3, 9 R = log L + = 9. Azért kellett még -et hozzáani a log L-hez, mert a logaritmikus kvantálóval csak az ξ - et kvantáljuk, ezért még szükség van egy előjelbitre is. Látható, hogy a lineáris kvantálónál kapott 4 bit helyett logaritmikus kvantálót alkalmazva már 9bit is elegenő ugyanolyan minőségi paraméterek biztosításához. Megjegyzés: A PCM beszéátvitelnél (f c = 8kHz) 8 bites logaritmikus kvantálást alkalmaznak. Ez kb. 40B-es inamikatartománynál 36B-es jel-zaj viszonyt bisztosít, amely jó beszéérthetőséget ereményez Ma-Lloy kvantáló Egy memória mentes, stacioner forrást teljesen leír a forrás mintáinak f ξ () valószínűség sűrűség függvénye. Ezen forráshoz optimálisan illeszkeő (azaz a jel-zaj viszonyt imalizáló) L- szintű kvantálót nyílván meghatározza a forrás f ξ () valószínűség sűrűség függvénye. A felaat tehát: aott f ξ () és L, meghatározanó a jel-zaj viszonyt imalizáló kvantáló karakterisztika, azaz az X, X,... X (L-) intervallum határok és az Y, Y,... Y L, rekonstruált értékek. A felaat egy bonyolult, nemlineáris, optimalizálási probléma, melyre általános érvényű, zárt alakú megolás nem ismert. Egy iteratív eljárásról bizonyos, gyakran fennálló feltételek esetén bebizonyítható, hogy a kitűzött felaat megolásához konvergál. Ezt az iterációt nevezzük Ma-Lloy iterációnak: verzió: 05. április

16 Kvantálás, kóolás 6/ Az iteráció algoritmusa: Vegyünk fel egy kiinulási karakterisztikát: ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0),,..., ; y,..., y L L Az új rekonstrukciós értékek legyenek az előző intervalllumokbeli várható értékek: i i { ξ k ξ k } ( i ) ( ) ( ) y = E < < k =... L k Az új intervallum határok a szomszéos rekonstrukciós értékek számtani közepe legyen: ( i) ( i ) ( i ) k = ( yk + yk + ) k =... L Ha még van változás GOTO. Ez az iteráció egy nemlineáris kvantálót ereményez, mely optimálisan illeszkeik a forrás valószínűség sűrűségéhez, azaz pf optimalizált nem egyenletes kvantálónak is nevezik Normalizált kvantáló, optimális kvantáló illesztésének ekomponálása A nulla várható értékű és egységnyi szórású eloszlást stanar vagy normalizált eloszlásnak nevezzük. Egy m ξ vártható értékű és σ ξ szórású ξ valószínűségi változóból a (ξ- m ξ )/σ ξ normalizálással kapunk stanar eloszlású valószínűségi változót. Stanar eloszláshoz optimalizált L-szintű kvantáló (egyenletes vagy eponenciális vagy esetleg Ma-Lloy típusú kvantálót) normalizált Q 0 kvantálónak nevezzük, mely nem függ a forrás várhatóértékétől és teljesítményétől (inamikájától) sem, csak az eloszlás típusától. Egy m ξ vártható értékű és σ ξ szórású stacioner ξ n forráshoz az optimális normalizált kvantálót az ábrán látható móon illesztve kapunk optimális kvantálást: Q: Q - : ξ n + m ξ - σ ξ Q 0 PDF csatorna Q 0 - PDF σ ξ + m ξ η n verzió: 05. április

17 Kvantálás, kóolás 7/ Létható, hogy a kvantáló optimalizálása az optimális normalizált kvantálón túl egy aitív vagy centrális és egy multiplikatív vagy inamika tartomány optimalizált illesztést igényel. A centrális illesztéshez a forrás várhatóértékét kell ismerni, vagy becsülni, a kvantáló bemenetére egy ifferenciális jel kerül. A inamika tartomány illesztéshez szükséges skálázó faktort a (már nulla várhatóértékű) forrás átlag teljesítménye határozza meg, azt kell ismerni vagy becsülni. 6.. Aaptív kvantálás Ha a kvantáló statisztikája iőben változó (nem stacioner forrás), vagy állanó e ereetileg ismeretlen paraméterű, akkor az optimális, azaz illesztett kvantáló iőben változó paraméterű, un. aaptív kvantáló lesz. Az aaptív kvantálók iőben változó paramétereit egy külön alrenszer állítja elő. Q CHAN Q - ADAPTÁLÁS Az aaptációs részrenszer az optimális paraméterek becsléséhez szükséges információt vagy a kvantálanó jelből, vagy a már kvantált jelből szerezheti, azaz vagy előrecsatolt, vagy hátracsatolt aaptációról beszélhetünk. Előre csatolt aaptáció Q CHAN Q - ADAPTÁLÁS se info. Pl: igitásis TV, mpeg kóoló kóolóban koncentrált intelligenciájú kóoló egyszerű ekóoló rosszabb csatornakihasználtság (a kóolanó jelből határozzuk meg a kóolási algoritmus paramétereit, amelyet a csatornán viszünk át) verzió: 05. április

18 Kvantálás, kóolás 8/ a forrás statisztikáira blokkos becslést állít elő (pufferelés kell), e így aott blokkra jól optimalizált kvantáló, valamint nagy a kóolási késleltetés tipikusan nagy kóolási késleltetés Hátracsatolt aaptáció Q CHAN Q - ADAPTÁLÁS ADAPTÁLÁS csak hullámforma információ átvitel kell, a paraméterek a ekóerben is kiszámolhatóak (jobb a csatornakihasználtság) elosztott intelligenciájú, szimmetrikus kóoló (emiatt bonyolult a ekóoló) rekurzív becslések, nem blokkonként, hanem a bejövő aatra azonnal reagál. Emiatt nincs nagy késleltetés, ez real-time információknál előnyös Aaptáció inamikus és statikus jellemzői Dinamikus szempontból A változásokat kell követni minél gyorsabban Jó inamikájú aaptáció Statikus szempontból Ha nincs változás, akkor nagyon jó minőségű beállás az optimumra Jó statikus aaptáció (rövis távon nem mozul a változásokra, azaz, meg tuja különböztetni a gyors változásokat Stacioner jelekre szuboptimális Gyorsan változó jelekre szuboptimális Pl.: Távközlő hálózatban: beszéjel nem stacioner, aatjel stacioner Az aaptív kónak minkettőre jónak kell lennie, így kompromisszum kell. ADAPTÁLÁS ADAPTÁSCIÓ VEZÉRLÕ : beállítja a inamikus/statikus optimalizálást verzió: 05. április

19 Kvantálás, kóolás 9/ Skálázó faktor ( inamikatartomány ) aaptív kvantáló Ha E{ ξ } n = 0 és a inamikatartományra illesztünk: Q 0 CHAN Q 0 - $δ ξ $ δ ξ A jel P σ = E{ ξ } = E{ g( ξ )} = átlag teljesítményét kell megbecsülni, ebből számítható az egység teljesítményre skálázó szorzó faktor, / P, mellyel a jelet a stanar kvantálóhoz illesztjük. A statisztikai becslésekről általában: Az E { g( )} = a ξ számot akarjuk becsülni. ($a ) Aott a forrás minták sorozata ˆ n n n N ξ, ξ,..., ξ és belőlük az n n a = S( ξ, ξ,..., ξ ) statisztika szerint számítjuk a becslést (ez is valószínűségi változó). Becslés torzítása: = a E{ a$ } Aszimptotikusan torzítatlan becslés: lim E{ a$ } N n N = a A becslés hatákonysága, a szórásnényzete minél kisebb: var { â} Konzisztens becslés: lim var { a$ } N = 0 Várható árték becslés: vagy blokkos, vagy rekurzív Blokkos becslés FIR (MA) szűrő Becslés véges hosszú blokk egyenletes súlyozású számtani közepével: a$ [ ( ) ( )... ( )] N g g g n = ξ n + ξ n + + ξ n N+ : ˆ ξ A becslés tozítatlan: E{ a n } = E{ g( )} = a szórásnégyzete, korrelálatlan mintákra: var{ aˆ n } = var{ g( ξ )} N verzió: 05. április

20 Kvantálás, kóolás 0/ ξ n g( ) $a n T T + T Jó inamikus tulajonság: rövi blokk hossz, nagyobb szórás Jó statikus tulajonság: hosszú blokk, kis szórás, gyosr vátozást nem követ. Rekurzív becslés IIR (AR) szűrő Eponenciális súlyozású, nem véges memóriájú becslés: [ g( ξ ) + wg( ξ ) + w g( ξ )...] aˆ n+ = ( w) n n n becsléssel: â + n+ = ( w) g( ξ n ) + w â A becslés torzítatlan: E{ a n } = E{ g( )} = a n ˆ ξ szórásnégyzete, korrelálatlan mintákra: var{ ˆ } = var{ g( ξ )}, mely ekvivalens az alábbi rekurzív w a n + w -w ξ n g( ) + T $a n w w â n w H( z) = wz verzió: 05. április

21 Kvantálás, kóolás / ha w~ nagy súllyal veszi figyelembe a régebbi mintát, jó statikus tulajonságú ha w< az aktuális mintát veszi nagy súllyal, gyorsan felejt, jó inamika Péla egy hátracsatolt aaptív kvantálóra: Q 0 CHAN Q 0 - $δ ξ Q 0 - δ ˆξ X X T + -w -w + T w w verzió: 05. április