Paraméteres problémák a kombinatorikus optimalizálásban és ezek távközlési alkalmazásai. Alpár Jüttner. A doktori értekezés tézisei

Átírás

1 Paraméteres problémák a kombinatorikus optimalizálásban és ezek távközlési alkalmazásai A doktori értekezés tézisei Alpár Jüttner Matematika Doktori Iskola vezet je: Laczkovich Miklós akadémikus Alkalmazott Matematika Doktori Program vezet je: Prékopa András akadémikus Témavezet : Frank András tanszékvezet egyetemi tanár, a metemetikai tudomány doktora Eötvös Loránd Tudományegyetem 2006.

2 1. Célkit zések Az értekezés gyakorlati alkalmazásokkal bíró matematikai problémákat vizsgál a kombinatorikus optimalizálás területér l. Ami összekapcsolja ezeket a feladatokat, az az, hogy a diszkrét kombinatorikus problémákat egy- vagy többváltozós paraméteres problémák vagyis folytonos optimalizálási feladatok megoldására vezetjük vissza. A megfelel folytonos optimalizálási feladatok megoldására több megközelítést is bemutatunk. Az els alkalmazott módszer a N. Megiddo által kifejlesztett paraméteres keresés. Ezt az elegáns módszert az értekezés részletesen ismerteti, hisszük ugyanis, hogy e módszer még sok új alkalmazásra találhat a kombinatorikus optimalizálás terülétén. Ezen kívül több példát is mutatunk arra, hogy a folytonos optimalizásió alapvet közelít eljárásai mint például a Newton approximáció vagy a szubgradiens módszer segítségével hogyan kaphatunk diszkrét optimalizációs feladatok optimális vagy közel optimális megoldását véges vagy akár er sen polinomiális id ben. Mint már említettük, az értekezés nagy hangsúlyt fektet a gyakorlati alkalmazásokra. Fontos célunk bemutatni valós alkalmazásokból származó olyan összetett optimalizálási feladatokat, amelyekre nemtriviális matematikai módszerek és megfontolások segítségével tudunk gyakorlatban is használható megoldást adni. A bemutatott alkalmazott kutatások legnagyobb részét az Ericsson magyarországi kutatóintézete, a Trac Analysis and Network Performance Laboratory keretein belül végeztük, így az alkalmazott problémak nagy része a távközlés területér l származik. A kapott megoldások gyakorlati felhasználhatóságát a problémák kísérleti elemzésével is demonstráljuk. 2. Eredmények 2.1. Költségkorlátos optimalizáció 1. Deníció. Legyen az alapproblémának nevezett kombinatorikus optimalizálási feladat az E alaphalmazon a következ formában megadva: max{wx : x X}, (1) ahol X R E a megengedett megoldások halmaza és w R E a célfüggvény. Feltesszük még, hogy a megengedett megoldások P konvex burka egy (nem feltétlen korlátos) poliéder. Ekkor egy adott c : E R költségfüggvény és B > 0 költégkorlát mellett az alapproblémához 2

3 tartozó költségkorlátos optimalizálási feladaton a következ érték (és az y optimumhely) kiszámítását értjük: α := min{max{(w y)x : x X} : y R E, y 0, cy B} (2) Az értekezésben bebizonyítjuk a következ tételt. 2. Tétel. Tegyük fel, hogy létezik egy T id ben futó algoritmus, amely tetsz leges u R E vektorra megadja a max{wx : x P : x u} (3) feladat primál és duál megoldását, emellett az algoritmus kielégíti az úgynevezett linearitási feltételt az u-ban (lásd kés bb), akkor a (2) probléma megoldására létezik egy O(T 2 ) id ben futó algoritmus. A fenti tételben megkonstruált algoritmus Megiddo paraméteres keresés nev eljárásán alapul [Meg79]. Ezen eljárás alkalmazásához az alapfeladatot megoldó algoritmusra megkötéseket kell tennünk, ez az úgynevezett linearitási feltétel. Az elnevezés talán némileg félrevezet : a megkötés nem a futásid re vonatkozik, hanem arra, hogy az algoritmus milyen m veleteket végezhet a bemenetével. Érdekes módon, bár a paraméteres keresést számos feladat megoldására felhasználták, a linearitási feltételt mindeddig csak intuitív módon deniálták. Mi az értekezésben megadjuk e feltétel formális denícóját, és a paraméteres keresés egy általános (absztrakt) formáját is bemutatjuk. Maga a 2. Tétel sok ismert költségkorlátos feladatra azonnal megoldást szogláltat, így a [Ful59, AO95, Har77, FH75, FSO99, FSO98] cikkekben vizsgált feladatokra is. Ezek mellett az értekezés olyan új alkalmazásokat is bemutat, amelyekre eddig nem volt ismeretes er sen polynomiális algoritmus. Az els ilyen alkalmazás a költségkorlátos minimális költég áramfeladat. 3. Probléma (Költségkorlátos minimális súlyú áramfeladat). Adott egy G = (V, E) irányított gráf, egy w : E R súlyfüggvény, valamint l, u : E R alsó és fels korlátok. Ezen kívül adott még az élsúlyok változtatásának költségét leíró c : E R függvény és egy B > 0 költségkorlát. Feladat a minimális súlyú áram súlyát élek súlyának megnövelésével minél jobban megnövelni az adott B költségkorlát betartása mellett. 4. Tétel. A költségkorlátos minimális súlyú áramfeladat er sen polinomiális id ben megoldható. 3

4 A következ költségkorlátos matroid metszet probléma Frederickson és Solis-Oba maximális súlyú matroidokra vonatkozó eredményének [FSO98] kiterjesztése matroid metszetekre. Ez a probléma volt a fejezeben bemutatott kutatási eredmények f motivációja. 5. Probléma (Költségkorlátos matroid metszet feladat). Legyen adott az M 1 = (E, I 1 ) és az M 2 = (E, I 2 ) matroid a közös E alaphalmaz felett, a w : E R súly-, a c : E R költégfüggvény és a B > 0 költségkorlát. Feladat az M 1 és M 2 maximális súlyú közös bázisának súlyát az E elemeinek tetsz leges csökkentésével jobban lecsökkenteni. Egy e E elem súlya α(e)-vel való csökkentésének költsége α(e)c(e), a csökkentések összköltsége a B költségkorlátot nem haladhatja meg. 6. Tétel. A költségkorlátos matroid metszet probléma er sen polinomiális id ben megoldható. A 3. és az 5. feladatok közös általánosítása a következ költségkorlátos szubmoduláris folyamfeladat. 7. Deníció (pl. [Fuj91]). Az F 2 V halmazrendszert keresztez rendszernek hívjuk a V felett, ha minden keresztez X, Y F párra (azaz ha X, Y F, X Y, X\Y, Y \X, és X Y V teljesül) X Y, X Y F teljesül. Egy b : F R függvény keresztez n szubmoduláris az F keresztez rendszer felett, ha minden keresztez X, Y F párra b(x) + b(y ) b(x Y ) + b(x Y ) (4) teljesül. 8. Deníció (pl. [Fuj91]). Legyen adott a G = (V, E) irányított gráf, f, g : E R {± } alsó és fels capacitások az éleken és a w : E R súlyfüggvény. Legyen F 2 V egy keresztez rendszer, amire, V F teljesül és legyen b : F R egy keresztez szubmoduláris függvény. Tegyük még fel, hogy b( ) = b(v ) = 0. Ekkor a szubmoduláris folyamproblémán a következ optimalizálási feladatot értjük. max wx (5a) f x g (5b) ϱ x (X) δ x (X) b(x) minden X V -re, (5c) ahol ϱ x (X) illetve δ x (X) az x komponenseinek az X-be be- illetve az X-b l kilép éleken vett összege. 4

5 9. Probléma (Költségkorlátos szubmoduláris folyamfeladat). Legyen adott egy szubmoduláris folyamfeladat a 8. Deníció szerint, egy c : E R költségfüggvény, és egy B költségkorlát. Ekkor a költségkorlátos szubmoduláris folyamfeladat a következ : min{max{(w y)x : x P} : y 0, cy B}, (6) ahol P := {x R E : f x g, ϱ x (X) δ x (X) b(x) minden X V -re}. (7) 10. Tétel. A költségkorlátos szubmoduláris folyamfeladat er sen polinomiális id ben megoldható. A fejezetben közölt eredmények [Jüt03]-ban és [Jüt05a]-ban kerültek publikálásra LP optimalizálás plusz változókkal és feltételekkel Norton, Plotkin és Tardos [NPT92] bizonyította be a következ két tételt. 11. Tétel ([NPT92]). Tegyük fel, hogy adott egy T id ben futó algoritmus, ami legfeljebb q összehasonlítást végez, lineáris b-ben és tetsz leges b-re megoldja a max{ax : Ax b} lineáris programozási feladatot. Ekkor minden rögzített d-re létezik egy O(T q d+1 ) id ben futó algoritmus, ami tetsz leges d oszlopú C mátrixra megoldja a max{ax+cz : Ax+Cz b} feladatot. 12. Tétel ([NPT92]). Tegyük fel, hogy adott egy T id ben futó algoritmus, ami legfeljebb q összehasonlítást végez, lineáris a-ban és tetsz leges a-ra megoldja a max{ax : Ax b} lineáris programozási feladatot. Ekkor minden rögzített d-re létezik egy O(T q d+1 ) id ben futó algoritmus, ami tetsz leges d sorú C mátrixra és c vektorra megoldja a max{ax : Ax b, Cx c} feladatot. Az értekezésben a fenti algotimusok futásidejét O(T q d )-re javítjuk. Egészen pontosan a következ általánosabb tétel kerül bizonyításra: 13. Tétel. Tegyük fel, hogy adott egy T id ben futó algoritmus, ami legfeljebb q összehasonlítást végez, lineáris b-ben és tetsz leges b-re megoldja a max{ax : Ax b} lineáris programozási feladatot. Tekintsük a következ lineáris programozási feladatot: max cx + dy (8a) 5

6 Ax + By b, Ly l, Ey = e. (8b) Ekkor a (8a)-(8b) feladat O ( (T + L + E ) q dim R) id ben megoldható, ahol R := {y R k : Ly l, Ey = e} és L illetve E az L és E mátrixok méretét jelöli. A fenti tétel [Jüt05c]-ben került publikálásra Er forráskorlátos optimalizálási feladatok Tekintsünk egy E alaphalmazt, egy c : E R + költségfüggvényt és a következ absztrakt optimalizálási feladatot: min{ c(e) : P P}, (9) e P ahol P 2 E jelöli a megengedett megoldások halmazát. Legyen adott még a d : E R + függvény ennek értékeit késleltetésnek nevezzük és a R + késleltetés korlát. E jelölésekkel a (9) feladathoz tartozó er forráskorlátos optimalizálási feladat a következ : min{ c(e) : P P, d(e) }. (10) e P e P Az ilyen típusú problémák még olyan egyszer en megoldható alapproblémák esetén is N P-teljesek, mint például a legrövidebb út probléma vagy a minimális párosítás probléma páros gráfban (lásd pl. [GJ79]). Az e problémaosztályhoz tartozó feladatok közelít megoldásának az egyik szokásos útja, hogy Lagrange relaxáció segítségével megszabadulunk a plusz feltételt l. Így a feladat egy egyváltozós konkáv függvény maximalizálására redukálódik. A relaxált feladat megoldására több szerz ([HZ80, BG96, JSMR01]) egymástól függetlenül kifejlesztett egy egyszer módszert amit mi [HZ80] után Handler-Zang eljárásnak nevezzük. Habár az eljárás a gyakorlatban rendkívül hatékonynak bizonyult, az algoritmus pontos futásideje sokáig nem volt ismert. Az értekezésben a következ két tételt bizonyítjuk be. 14. Tétel. A Handler-Zang algoritmus O( E 2 log E ) iteráció után véget ér. 15. Tétel. Az er forráskorlátos legrövidebb út probléma esetén a Handler-Zang algoritmus O(m log 2 m) iteráció után véget ér, így az algoritmus teljes futásideje O(m 2 log 2 m + mn log 3 m), ahol n illetve m a gráf pontjainak illetve éleinek a száma. 6

7 Az er forráskorlátos legrövidebb út probléma fontos szerepet játszik útvonalválasztási problémák, különösen távközlési hálózatok szolgáltatásmin ség-biztosítási ( Quality of Service, QoS ) feladatainak megoldásakor. Ezekben az alkalmazásokban az algoritmusok gyakorlati futásidejével szemben nagyon szigorú elvárások fogalmazódnak meg. Az értekezésben ezért bemutatunk két módszert a Handler-Zang eljárás gyakorlati futásidejének csökkentésére. Végül empírikus módszerekkel bemutatjuk az eljárás és a javasolt javítások alkalmazhatóságát egy valós útvonalválasztási problémára és összevetjük a legfontosabb mások által javasolt eljárásokkal. A fenti algoritmus QoS útvonalválasztási feladatokra való adaptációját [JSMR01]-ben közöltük. Erre a cikkre számos, a távközlés területén publikáló szerz hivatkozott és a témakörrel foglalkozó több áttekint írás is idézi. Az algoritmus elméleti futásidejének analízise [Jüt05b]-ben található Hányados-optimalizálási feladatok Legyen X megengedett megoldások egy (véges) halmaza, c : X R és w : X R adott függvények. Tegyük fel, hogy minden x X-re w(x) > 0 teljesül és létezik x X, amire c(x) > 0. E jelölésekkel a hányados-optimalizálási feladat a következ. 16. Probléma. Keressük az { } c(x) α := max w(x) : x X (11) értéket és egy maximalizáló x X megoldást. E problémaosztály megoldására T. Radzik javasolta a Newton-Dinkelbach eljárást [Rad98], ami a függvények egy zérushelyének megkeresésére szolgáló Newton-eljárás egy adaptációja. Ez az algoritmus mind elméletileg, mint a gyakorlatban nagyon hatékonynak bizonyult. Az értekezésben bizonyított következ tétel az algoritmus Radzik által bizonyított futásid becslését [Rad98] javítja meg egy O(log n)-es faktorral. 17. Tétel. Legyen E egy véges alaphalmaz n := E és X {0, 1} E. Tegyük fel, hogy c és w lineáris függvények, azaz a következ alakban állnak el : c(x) := c e x e e E (12) 7

8 és w(x) := e E w e x e. (13) Ekkor a Newton-Dinkelbach ejárás O( E 2 log E ) iteráció után véget ér. A következ tétel a szintén Radziktól származó, az irányított aciklikus gráfokban való hányados-legrövidebb út problémára vonatkozó futásid -becslés [Rad98] általánosítása. 18. Tétel. Legyen E egy véges alaphalmaz n := E és tegyük fel, hogy X {0, 1} E éppen a Q := {x R E : Ax = b, x 0} poliéder csúcsainak halmaza, továbbá c és w a 17. Tételbeli alakú. Ekkor a Newton-Dinkelbach eljárás O(n log n) lépésben véget ér. A fenti eredmények Tomasz Radzikkal közösek, publikálásuk folyamatban van UMTS hozzáférési hálózatok tervezése Tekintsük az UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) hozzáférési hálózatok tervezése során felmerül következ tervezési problémát. 19. Probléma. Adott a hálózati csomópontok egy N halmaza, és a következ technológiaspecikus paraméterek: az l tree, d RBS, d RNC N és a cost RNC R + konstansok, az R R N és az R P N csúcshalmazok úgy, hogy R R R P, továbbá a c link : N N {1,..., l tree } R + költségfüggvény. E bemenet mellett a tervezési feladat egy minimális költség irányított G = (N, E) gráf keresése az N csúcshalmazon, úgy, hogy E pontdiszjunkt gyökeres irányított fákból áll, amelyek összességében lefedik az N minden pontját. Minden él a megfelel gyökér irányába mutat, minden pont távolsága a hozzá tartozó gyökért l legfeljebb l tree, a gyökérpontok fokszáma legfeljebb d RNC, a többi pont be-foka legfeljebb d RBS, R R R R P, ahol R a gyökérpontok halmaza. 8

9 A minimalizálandó költségfüggvény a következ : R cost RNC + ) c link (u, v, l E (u), (14) (uv) E ahol l E (u) az u N pont szintje, azaz az u-nak a hozzá tartozó gyökért l való távolsága. Az értekezés több algoritmust is bemutat ennek a feladatnak a megoldására. El ször egy heurisztikus eljárást ismertetünk, ami a Szimulált leh tés nev metaheurisztikus eljárás és egy speciális b-párosítást megoldó szubrutin ötvözése. Bemutatunk továbbá egy technikát az algoritmus felgyorsítására, amivel már valóban képessé válik nagyméret feladatok kezelésére. Ezután azt a speciális esetet vizsgáljuk, amikor egyetlen, rögzített gyöker fa tervezése a feladat, vagyis amikor R R = R P = {r}. Erre az esetre ismertetünk egy algoritmust, ami közepes méret feladatok esetén képes az optimális megoldás megtalálására. Az algorithmus a branch-and-bound eljáráson alapul, az eljáráshoz szükséges alsó becslést az egészérték programozási feladatként történ felírás egy nemtriviális Lagrange relaxációjával kapjuk. Bemutatunk egy heurisztikus eljárást is, ami a Lagrange relaxáció segítségével nagyobb méret feladatokra is képes közel optimális megoldást szolgáltatni. Az el z speciális esetre adott egzakt algoritmus segítségével adunk egy lokális javító algoritmust is az általános esetre. Fontos jellemz je ennek az eljárásnak, hogy más lokális keresést alkalmazó algoritmusokkal ellentétben az egyes iterációkban meglehet sen bonyolult javításokat is lehet vé tesz. Ezután, a javasolt algoritmusokat gyakorlati példákon teszteljük és bemutatjuk, hogy az eljárások valós méret tervezési feladatokra közel optimális megoldásokat szolgáltatnak elfogadható futási id mellett. Végül a teljesség kedvéért bebizonyítjuk a probléma N P-teljességét a rögzített csúcsú egyetlen fa keresésének speciális esetében, a valós eszközöknek megfelel technológiaspeci- kus paraméterek mellett: 20. Tétel. Legyen G(V, E) egy irányítatlan teljes gráf, r V egy adott csúcs és d RNC N +. Ezen felül legyen adott egy c : E R + költségfüggvény az éleken. Ekkor a következ feltételekkel rendelkez és azon belül minimális költség feszít fa megtalálása N P-nehéz feladat: Minden csúcs r-t l való távolsága legfeljebb 3, 9

10 r-t l eltekintve minden pont foka legfeljebb 3, az r foka legfeljebb d RNC. Az e fejezetben bemutatott eredmények [JOF05]-ben kerültek publikálásra. Hivatkozások [AO95] [BG96] [FH75] [FSO98] [FSO99] [Fuj91] [Ful59] [GJ79] [Har77] [HZ80] R.K. Ahuja and J.B. Orlin. A capacity scaling algorithm for the constrained maximum ow problem. Networks, 25:8998, David Blokh and George Gutin. An approximation algorithm for combinatorial optimization problems with two parameters. Australasian J. Combin., 14: , D.R. Fulkerson and G.C. Harding. Maximizing the minimum source-sink path subject to a budget constraint. Mathematical Programming, 13:116118, G.N. Frederickson and R. Solis-Oba. Algorithms for measuring perturbability in matroid optimization. Combinatorica, 18:503518, G.N. Frederickson and R. Solis-Oba. Increasing the weight of minimum spanning trees. Journal of Algorithms, 33:244266, S. Fujishige. Submodular Functions and Optimization. Elsevier Science Publishers B.V., D.R. Fulkerson. Increasing the capacity of a network: the parametric budget problem. Management Science, pages , M.R. Garey and D.S. Johnson. Computers and Intractability A Guide to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman and Company, New York, G.C. Harding. Some budgeted optimization problems and the edge disjoint branchings problem. PhD thesis, Cornell University, G. Handler and I. Zang. A dual algorithm for the constrained shortest path problem. Networks, 10:293310,

11 [JOF05] Alpár Jüttner, András Orbán, and Zoltán Fiala. Two new algorithms for UMTS access network topology design. European Journal of Operational Research, 164(2):456474, July [JSMR01] Alpár Jüttner, Balázs Szviatovszki, Ildikó Mécs, and Zsolt Rajkó. Lagrange relaxation based method for the QoS routing problem. In Infocom. IEEE, April [Jüt01] [Jüt03] [Jüt05a] [Jüt05b] [Jüt05c] [Meg79] [NPT92] [Rad98] Alpár Jüttner. Optimization with additional variables and constraints. EGRES report TR , Egerváry Research Group, Hungary, Alpár Jüttner. On budgeted optimization ploblems. In 3th Hungarian-Japanese Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, Tokyo, Japan, January Alpár Jüttner. On budgeted optimization ploblems. SIAM Journal on Discrete Matemathics, to appear. Alpár Jüttner. On resource constrained optimization problems. In 4th Japanese- Hungarian Symposium on Discrete Mathematics and Its Applications, Budapest, Hungary, June Alpár Jüttner. Optimization with additional variables and constraints. Operations Research Letters, 33(3):305311, May N. Megiddo. Combinatorial optimization with rational objective functions. Mathematics of Operations Research, 4:414424, Carolyn H. Norton, S.A. Plotkin, and Éva Tardos. Using separation algorithms in xed dimension. Journal of Algorithms, 13(1):7998, Tomasz Radzik. Fractional combinatorial optimization. In DingZhu Du and Panos Pardalos, editors, Handbook of Combinatorial Optimization. Kluwer Academic Publishers, dec