Új típusú min-max tételek a kombinatorikus optimalizálásban

Átírás

1 Új típusú min-max tételek a kombinatorikus optimalizálásban Frank András (Egerváry Kutatócsoport, ELTE TTK) Budapest 2016 október 19 Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 1 / 45

2 Kombinatorikus optimalizálás Fő cél: olyan algoritmusok tervezése, melyek tengernyi lehetőség közül gyorsan választják ki a legkedvezőbbet Példa: GPS: hogyan lehet leghamarabb eljutni A-ból B-be A GPS matematikai alapja: Dijkstra algoritmusa legolcsóbb út megkeresésére gráfban Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 2 / 45

3 Hatékony (jó, gyors) algoritmusok az algoritmus legyen véges, de... gyakorlati alkalmazásokban ez kevés polinomiális algoritmus: a lépés-szám az input-méret egy hatványával korlátozható például: Dijkstra algoritmusa n pontú gráfon n 2 (holott az utak száma O(n!) is lehet!) lépést igényel kevés problémára van polinomiális algoritmus és sokra nincs Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 3 / 45

4 Hatékony algoritmusok Edmonds alapvető felismerése (1965): I am claiming, as a mathematical result, the existence of "a good" algorithm for finding... "good" = polinomiális lépés-számú fő célunk: polinomiális algoritmusok tervezése és matematikai hátterük feltárása Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 4 / 45

5 Két nagy probléma-osztály (A) NPC: NP-teljes [sejtés: nincs polinomiális algoritmus] (B) P: Polinom időben megoldható (A1) leghosszabb st-út (B1) legrövidebb st-út (Dijkstra) (A2) digráf legolcsóbb erősen összefüggő (=erős) részgráfja (B2) irányítatlan gráf legolcsóbb összefüggő részgráfja (Kruskal) (A3) digráf erőssé tevése min-költségű új élek hozzáadásával (B3) digráf erőssé tevése min-költségű régi élek megfordításával (Fr.: How to make a digraph strongly connected, 1981) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 5 / 45

6 Erősen összefüggő digráfok NEM erősen összefüggő ===================================================== erősen összefüggő Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 6 / 45

7 Erősen összefüggő digráfok Z NEM erősen összefüggő Z-be nem lehet bejutni ===================================================== erősen összefüggő Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 6 / 45

8 I. RÉSZ "régi" típusú kombinatorikus min-max és megengedettségi tételek amikor a költséges/súlyozott változat is kezelhető Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 7 / 45

9 Korai min-max tételek Tétel (Kőnig, 1931) Páros gráfban (=bigráf) a diszjunkt élek max száma = az éleket lefogó pontok min száma. Tétel (Menger változat, 1927) Irányított gráfban (=digráf) az élidegen st-utak max száma = az st-utakat lefogó élek min száma. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 8 / 45

10 Súlyozott min-max tételek Tétel (Egerváry változat, 1931) Élsúlyozott bigráfban a párosítások max w-súlya = w-t lefogó nem-negatív pont-súlyozások min összértéke. Tétel (Ford + Fulkerson, 1962) Digráfban k élidegen st-út min összköltsége = max{kπ(t) uv A [π(v) π(u) c(uv)]+ : π : V R, π(s) = 0}. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 9 / 45

11 Min-max kontra megengedettség Kőnig másképp: páros gráfban nem létezik µ élű párosítás az éleket le lehet fogni µ-nél kevesebb ponttal megengedettségi tétel (jó karakterizáció, szükséges és elegendő feltétel) a min-max tétel ekvivalens átfogalmazása mire jók a min-max vagy megengedettségi tételek??? mi közük az algoritmusokhoz??? Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 10 / 45

12 Algoritmushoz megállási szabály (amikor mohó algoritmus vagy dinamikus programmozás nem segít) könnyen ellenőrizhető igazolványt ad a végeredmény helyességére egy algoritmus konstruálását megelőzi a megállási szabály (=min-max vagy megengedettségi tétel) megtalálása Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 11 / 45

13 Háttér: hálózati folyamok alapok: Ford és Fulkerson (1956) max-folyam min-vágás tétele Hoffman (1960) tétele megengedett áram létezéséről a költséges/súlyozott változatok is kezelhetők bigráfok és digráfok fokszám-korlátos részgráfjai (pl. Kőnig tétele) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 12 / 45

14 Háttér: lineáris programmozás + teljes unimodularitás (TU) a Q mátrix TU: aldetermináns (0, ±1)-értékű Tétel (Lp dualitás TU mátrixokra) max{cx : Qx b, x 0} = min{by : yq c, y 0} Ha Q TU és b, c egészértékű, akkor az optimumok egész vektoron is felvétetnek. ez a poliéderes kombinatorika kiinduló pontja hálózati folyamos min-max tétel (pl. Egerváry tétele) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 13 / 45

15 Amikor a hálózati folyamok nem segítenek irányítatlan gráfban: 1 k élidegen feszítő fa... [jó karakterizálás: Tutte, 1961] 2 feszítő fa, mely egy stabil halmaz pontjaiban előírt fokú... [jó karakterizálás: Lovász, 1970]??? algoritmus??? matroidok segítenek Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 14 / 45

16 Súlyozatlan matroid optimalizálás alapok: Edmonds + Fulkerson (1965) min-max tétele k matroid esetén k független halmaz uniójának maximális elemszámáról Edmonds (1970) min-max tétele 2 matroid közös függetlenjeinek maximális elemszámáról mindkét bizonyítás polinomiális algoritmust ad... és ezek használhatók az előbbi (és egyéb) gráf problémákban fő mozgató erő: a matroid r rangfüggvénye szubmoduláris r(x) + r(y ) r(x Y ) + r(x Y ) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 15 / 45

17 Súlyozott matroid optimalizálás 1 matroid bázisainak max ˆr(w) súlya kereshető mohó algoritmussal 2 matroid max súlyú közös bázisa? Poliéderes kombinatorikai megközelítés: Qx b rendszer teljesen duálisan egészértékű (TDI): ha a max {cx : Qx b} primál program duálisának egész c-re egész optimális megoldása. Tétel (Hoffman 1974, Edmonds + Giles 1976) TDI rendszer esetén a primál lineáris program optimuma is egész vektoron felvétetik. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 16 / 45

18 Súlyozott matroid optimalizálás Tétel (Edmonds, 1979) Az {x 0, x(z ) min{r 1 (Z ), r 2 (Z ) : Z S} lineáris rendszer TDI. Edmonds: min-max tétel + polinomiális algoritmus egyszerűbb min-max tétel: Tétel Két matroid közös bázisainak max w-súlya = min{ˆr 1 (w 1 ) + ˆr 2 (w 2 ) : w 1 + w 2 = w}. egyszerűbb algoritmust eredményez: (Fr.: A weighted matroid intersection algorithm, (1981)) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 17 / 45

19 Két aspektus szub- és szupermoduláris függvényekhez, matroidokhoz új tételek, algoritmusok létrehozása alkalmazásokhoz: matroidok + szubmoduláris függvények konstrukciója, felismerése például: digráfban keressünk legolcsóbb gyökeresen k-összefüggő részgráfot (k = 1-re: Chu és Liu (1965), Fulkerson (1974)) Tétel (Fr. 2009) Egy digráf minimális gyökeresen k-összefüggő részgráfjai két matroid közös bázisait alkotják. alkalmazható a súlyozott matroid metszet algoritmus Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 18 / 45

20 Amikor a matroidok sem segítenek D = (V, A) digráfban F A kötés, ha megfordítása erős digráfot ad Tétel (Lucchesi + Younger, 1978) Kötés min elemszáma = élidegen egyirányú vágások max száma. Tétel (Nash-Williams, 1960) G gráfnak k-élösszefüggő irányítása G 2k-élösszefüggő. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 19 / 45

21 Szubmoduláris áramok: hálózat + matroid optimalizálás D = (V, A): digráf, b: keresztező szubmoduláris x : A R a szubmoduláris áram: ϱ x (Z ) δ x (Z ) b(z ) Z V f x g Tétel [Edmonds + Giles, 1977)] Ez a rendszer TDI. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 20 / 45

22 Szubmoduláris áramok Tétel (Edmonds + Giles, 1977) Az egészértékű szubmoduláris áramok min c-költsége = a duális lineáris program maximuma. algoritmus: Cunningham + Fr. (1985) Tétel (Fr. 1982) egész szubmoduláris áram ϱ f (Z ) δ g (Z ) b(f) minden Z V -re és Z F fa-kompozíciójára. a bizonyítás algoritmikus az összes eddigi min-max és megengedettségi tétel következmény Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 21 / 45

23 A poliéderes kombinatorika előnye és hátránya a poliéderes kombinatorika előnye: ahol az elemszám optimalizálást tudja kezelni, ott a költséges optimalizálást is tudja a poliéderes kombinatorika hátránya: ahol az elemszám optimalizálást tudja kezelni, ott a költséges optimalizálást is tudja??? van amikor az elemszám optimalizálásra van min-max tétel és algoritmus, míg a költséges változat NP-teljes Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 22 / 45

24 II. RÉSZ új típusú kombinatorikus min-max és megengedettségi tételek amikor a költséges/súlyozott változat NP-teljes Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 23 / 45

25 Egyszerű páros gráfok Tétel (Gale + Ryser, 1957) (m S, m T ) fokszám előíráshoz [ m S (S) = m T (T ) = γ] egyszerű bigráf m S (X) + m T (Z ) X Z γ, ha X S, Z T. folyamokból (is) következik (a fokszám-korlátos és a költséges alak is) ====================================================== Tétel (Ryser: max tag-rang (term-rank) tétel, 1958) (m S, m T ) fokszám-sorozatú egyszerű bigráf µ élű párosítással m S (X) + m T (Z ) X Z + (µ X Z ) + γ, ha X S, Z T. (eredetileg (0, 1)-mátrixokra fogalmazva) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 24 / 45

26 Ford + Fulkerson: Flows in Networks (1962), 89. oldal: "Neither term rank problem appears amenable to flow approach" magyarázat 50 év után: a max tag-rang probléma költséges változata NP-teljes (Dürr, Guinez, Matamala, 2012) így folyamokból NEM következhet probléma: fokszám-korlátos max tag-rang?? Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 25 / 45

27 Erősen összefüggővé növelés Tétel (Eswaran + Tarjan, 1976) D 0 = (V, A 0 ) digráf γ új éllel erősen összefüggővé növelhető mind a forrás-, mind a nyelő-komponensek száma γ. A költséges változat NP-teljes, még üres A 0 -ra is probléma: D 0 növelése egyszerű, erős, fokszám-előírt digráffá?? Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 26 / 45

28 Irányítatlan k-él-összefüggővé növelés Tétel (Watanabe és Nakamura, 1987) G 0 gráf γ új éllel k-él-összefüggővé növelhető (k 2) q [k d 0 (V i )] 2γ i=1 a csúcsok minden {V 1,..., V q } rész-partíciójára. a cikk 50 oldalas, a bizonyítás nem algoritmikus Fr.: Augmenting graphs to meet edge-connectivity requirements, 1992 szupermoduláris függvényeket használ: rövid, algoritmikus bizonyítás + általánosítás lokális él-összefüggőség növelésre +... Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 27 / 45

29 Irányított k-él-összefüggővé növelés Eswaran + Tarjan általánosítása tetszőleges k 1-re: Tétel (Fr. 1992) D 0 digráf γ új éllel k-él-összefüggővé növelhető q [k ϱ 0 (V i )] γ és i=1 q [k δ 0 (V i )] γ i=1 a csúcsok minden {V 1,..., V q } rész-partíciójára. a valódi probléma a háttérben: szupermoduláris függvények fedése digráffal Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 28 / 45

30 Szupermoduláris függvény fedése digráffal a D digráf fedi a p halmazfüggvényt, ha ϱ D (X) p(x) X V -re Tétel (Fr. 1994, szupermoduláris élfedés, gyenge alak) A p keresztező szupermoduláris függvény fedhető γ irányított éllel q p(v i ) γ és i=1 q p(v V i ) γ i=1 minden {V 1,..., V q } részpartícióra. legelső szupermoduláris függvényekre vonatkozó jó karakterizáció, amelynek költséges verziója NP-nehéz Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 29 / 45

31 Szupermoduláris függvény fedése mire jó ez az absztrakt alak? fokszám-korlátos él-összefüggőség növelés él-összefüggőség növelés egy terminál halmazon belül fő érdem: beindított egy teljesen új kutatási irányt Fr. + Király, A survey on covering supermodular functions in: Research Trends in Combinatorial Optimization, (2009) Springer pp Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 30 / 45

32 Szupermoduláris függvény fedése irányítatlan gráffal és hipergráffal p: szimmetrikus keresztező szupermoduláris függvény Watanabe-Nakamura absztrakt alakja és kiterjesztései: Benczúr + Fr. (1999): p fedése min élszámú irányítatlan gráffal Fleiner + Jordán (1999): (0, 1)-értékű p fedése min élszámú uniform hipergráffal Király T. (2004): p fedése min élszámú uniform hipergráffal Szigeti (1999): p fedése min össz-méretű hiperéllel Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 31 / 45

33 A szupermoduláris élfedési tétel erős alakja p: ST -keresztező szupermoduláris halmaz-függvény Tétel (Frank + Jordán, 1995, szupermoduláris él-fedés, erős alak) A p-t fedő ST -élek min száma = max{ [p(z ) : Z I] : I ST -él-független halmazrendszer}. motiváció: irányított pont-összefüggőség növelés kiderült: számos egyéb alkalmazás Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 32 / 45

34 Irányított k-pont-összefüggővé növelés Tétel (Fr. + Jordán, 1995) A D 0 digráf k-összefüggővé tevéséhez kellő új élek min száma = max{ [p(x) : X I] : I él-független pár-halmaz rendszer}. pár-halmaz: X = (X K, X B ), X B X K V, "hiánya": p(x) := { k ( X K X B ) ha ϱ 0 (X) = 0 0 ha ϱ 0 (X) > 0 algoritmus: Fr. és Végh (2008) eggyel növelés, Benczúr és Végh (2008) általános növelés Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 33 / 45

35 Kombinatorikus geometriai következmények Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 34 / 45

36 Kombinatorikus geometriai következmények Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 34 / 45

37 Kombinatorikus geometriai következmények Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 34 / 45

38 Kombinatorikus geometriai következmények Tétel (Győri, 1984) Egy P függőlegesen konvex síkbeli derékszögű poligont fedő téglalapok min száma = a P-beli független pontok max száma. általánosítás: P hengeren van (Fr. + Jordán 95) algoritmus: Fr. 99 Soto és Telha ( 14): min-max tétel diszjunkt téglalapok max számáról Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 35 / 45

39 Páros gráfok részgráfjai Tétel (Hartvigsen + Király, ) Bigráfban a négyszögmentes 2-párosítások max élszáma = min... Tétel (Fr. 2003) G = (S, T ; E)-ben a max K t,t -mentes t-párosítás élszáma = min{[t Z + i((s T ) Z ) c t (Z ) : Z S T }. i(x): az X által feszített élek száma c t (Z ): a G Z K t,t -komponenseinek száma algoritmus: Pap Gy. (2007) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 36 / 45

40 Egyéb korábbi következmények bigráf max "nagy" bi-klikk mentes részgráfja digráf k-összefüggővé növelése T -n belül fokszám-korlátos összefüggőség növelés k-összefüggő fokszám-előírt digráf létezése (lehet párhuzamos él!) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 37 / 45

41 Friss következmények kérdés: mikor egyszerű k-összefüggő fokszám-előírt digráf? (irányítatlan gráfra: Wang + Kleitman, 1972) általánosabban: mi van, ha egyszerű digráffal akarjuk p-t fedni? BAJ: p fedése NP-teljes problémákat tartalmaz JÓSZERENCSE: fontos speciális esetek kezelhetők Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 38 / 45

42 Fokszám-előírt egyszerű digráfok Hálózati folyamokból: Tétel (Gale + Ryser) Adott (m o, m i ) fokszám-előíráshoz egyszerű digráf m o (Z ) + m i (X) X Z + X Z γ, ha X, Z V. ( ) Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 39 / 45

43 Fokszám-előírt egyszerű k-összefüggő digráfok k = 1 Tétel (Hong, Liu, Lai, 2016) egyszerű erős digráf az (m o, m i ) fokszám-előíráshoz ( ) és m o (Z ) + m i (X) X Z + 1 γ, diszjunkt X, Z V -re. Tetszőleges k 1: Tétel (Bérczi + Fr. 2016) k-pont-összefüggő egyszerű digráf az (m o, m i ) fokszám-előíráshoz ( ) és m o (Z ) + m i (X) X Z + k γ, különböző X, Z V -re. Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 40 / 45

44 Előírt élszámú fenyvesek pakolása Tétel (Edmonds, 1973) Gyökeresen k-él-összefüggő digráfban k diszjunkt feszítő fenyő. általánosítás: Tétel (Bérczi + Fr. 2016) D digráfban diszjunkt B 1,..., B k fenyvesek, melyekre B j = µ j [ϱd (V i ) : i = 1,..., q] [(q (n µ j ) + : j = 1,..., k] a csúcsok {V 1,..., V q } rész-partíciójára Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 41 / 45

45 Ryser max tag-rang tételének általánosítása Tétel (Bérczi + Fr. 2016) egyszerű G = (S, T ; E) bigráf, melyre f d G g és G-ben van µ élű párosítás g S (S X) f T (Z ) + X Z + X + Z µ és g T (T Z ) f S (Z ) + X Z + X + Z µ minden X S, Z T -re algoritmikus bizonyítás is Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 42 / 45

46 Köszönetnyilvánítás egykori szakdolgozók és doktoranduszok, akik társ-szerzőim lettek Bárász Misi Benczúr Andris Becker Johanna Bérczi Kristóf Erdős Dóri Fleiner Tamás Jordán Tibi Király Csabi Király Tamás Kun Krisztián Miklós Zoli Pap Juli Szabó Jácint Szegő Laci Szigeti Zoli Tardos Éva Végh Laci Végh Zoli Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 43 / 45

47 Köszönetnyilvánítás további hazai társ-szerzők Erdős Péter Gyárfás Andris Király Zoli Sebő Andris Székely Laci akik a munkámat mindvégig figyelemmel kísérték Simonovits Miki és Sós Vera akik a körülményekhez alapvetően járultak hozzá Recski Andris és Bernhard Korte Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 44 / 45

48 Köszönetnyilvánítás akik az induláskor döntő lökést adtak Rábai Imre és Pósa Lajos de legfőképp Lovász Laci Frank András (ELTE, EGRES) Új típusú min-max tételek Akadémiai székfoglaló 45 / 45