Térképismeret. A méter egységnél kisebb és nagyobb egységekre is szükség van, amelyet a tízes rendszernek megfelelıen képzünk (mm cm dm m hm km).

Átírás

1 Térképismeret Oktatási segédanyag a vadgazda MSc levelezı hallgatók számára az EG520 Geomatikai és térinformatikai ismeretek címő tárgyhoz Készítette: Bazsó Tamás Kiegészítette: Király Géza 1. A GEODÉZIAI MÉRÉSEK MATEMATIKÁJA A földmérés feladata a térben elhelyezkedı tereptárgyak pozíciójának méréssel történı meghatározása. A mérés során meg kell határozni azokat az adatokat, amelyek egyértelmően megadják a pont térbeli helyzetét. A geodéziai méréseink szög- és távolságmérések, amelyek megfelelı feldolgozásához egységes mértékegységrendszerre van szükség Mértékegységek A mértékegységeket az alábbi legfontosabb szempontok alapján választják meg: Az egész világon egységesek legyenek (SI rendszer). A mérések végzésére szolgáló mérıeszközök és mőszerek hitelesítettek (komparáltak) legyenek. A hitelesítéshez egyszerően megválasztható, s a hitelesítendı mérıeszközök megbízhatóságánál megbízhatóbb mértékegységekre, az ún. etalonokra van szükség. A mértékegységek természetes mértékegységek legyenek, vagyis valamely, a természet által kijelölhetı méretbıl egyértelmően levezethetık legyenek. A mérések megbízhatóságát behatárolja, hogy a mértékegységet milyen megbízhatósággal határoztuk meg. A geodéziában elsısorban a hosszak (távolságok), a szögek valamint a területek meghatározására van szükség. A következıkben ezek mértékegységeit foglaljuk össze A távolság egységei Különbözı egységek alakultak ki a történelem folyamán. Az ókorban, középkorban még nem volt egyértelmő a megadása, minden embernél különbözött. Ilyen volt például a lépés. Késıbb az európai államokban leggyakrabban a különbözı nagyságú öl mértékegységet használták. Mára a hosszmérés mértékegysége az SI rendszerben a méter, jelölése m. Kötelezı használatát hazánkban 1876-ban rendelték el. A méter hosszának megállapításakor abból indultak ki, hogy az a Föld egy délköre (meridiánja) negyedének, az ún. meridiánkvadránsnak od része legyen. A meridiánkvadráns meghatározása céljából az 1790-ben Párizsban megalakult Méterbizottság, ún. fokmérések segítségével vezette le a méter hosszát. A levezetett hosszat platinarúdon jelölték meg. Az 1870-ben Párizsban összeült nemzetközi bizottság e hosszat tekintette és fogadtatta el általánosan nemzetközi méternek. A méter egységének megırzésére a bizottság platina-irídium másolatokat készítetett és azokat a bizottság tagjainak megküldte. Ezek lettek az egyes országokban a hosszmérés etalonjai. A méterrúd ellen több kifogás merült fel, ezért más definiálási módszer után kutattak, amely már természetes mértékegységnek tekinthetı. Ezt késıbb az elektromágneses energiák sugárzási hullámhosszúságainak mérésével biztosították (a Kripton atom meghatározott sugárzásának hullámhosszával). A méter egységnél kisebb és nagyobb egységekre is szükség van, amelyet a tízes rendszernek megfelelıen képzünk (mm cm dm m hm km). A méterrendszer bevezetése elıtt a hazánkban alkalmazott mértékegység a bécsi ölrendszeren alapuló öl (a széttárt karok ujjvégei közötti távolság) volt, melyet még esetenként az 1950-es években is használtak. Olykor még manapság is találkozhatunk vele. Átszámítása a következı. 1 öl = 1, m 1 m = 0, öl. 1

2 A terület egységei A terület mértékegysége, a hosszegységbıl származóan a négyzetméter (m 2 ), a földterületek kifejezésére ennek ismert 100-as többszöröseit és törtrészeit használják. A leggyakoribbak: 1 ha (hektár) = m 2 1 km 2 = m 2. A bécsi ölrendszer használatos területmértékei: négyszögöl = 1 öl 2 kataszteri hold = 1600 négyszögöl A két területi rendszer közötti átszámítás összefüggései: 1 négyszögöl = 3, m 2 1 m 2 = 0, négyszögöl 1 kataszteri hold = 5754, 642 m 2 1 ha = 1, kataszteri hold A szögmérés egységei Magyarországon a 360-as fok-osztások használatosak, mint ahogy rendszerint a geodéziai szögmérımőszerek is azok. Itt a szög egysége az 1 fok, amely a teljes kör 360-ad része. teljes kör = (fok) = 60 (perc) 1 (perc) = 60 (másodperc) Írásmódja: vagy A másik gyakran használt osztás az újfok vagy grádus. Ekkor a teljes kört 400 részre osztják, továbbosztása a centigrád. Magyarországon ritka, de más országokban gyakran elıforduló beosztás. teljes kör = 400 g (grádus, vagy újfok) 1 g = 100 c Írásmódja: 23 g 05 c 12 cc = 23, c = 100 cc Fontos megemlítenünk a matematikában is használatos analitikus rendszert, amelynek egysége a radián. 1 radián az a szög, melynél a szöghöz tartozó ív hossza megegyezik az ív sugarával. A teljes kör 2 π radián, amely nem kerek érték, ezért közvetlenül mérésre nem használható. Számításnál azonban fontos szerepet játszik. s 2 r π = = 2 π r r g c cc A szög felírása ebben a rendszerben is kétféleképpen lehetséges: = 15,2889. Az analitikus szögegységrıl a fokrendszerre, vagy fordítva történı áttéréskor ismernünk kell az analitikus szögegység értékét a fokrendszerben. 1 radián = 180/π = 57, radián = /π = 3437,747 1 radián = /π =206264, Számítási alapok Ebben részben a síkbeli számítási feladatokhoz adunk néhány alapvetı ismeretet. A geodéziai számítások során a geometria egyszerő alkalmazásait használjuk. Természetesen a mai világban a geodéziai számításokat is automatizáltan, számítógépek segítségével végezhetjük, viszont az alapvetı megoldási folyamatok ismerete ezek használatához is elengedhetetlen. 2

3 Síkbeli koordináta-rendszerek A geodéziában kialakult koordináta-rendszer felvétele hasonló a matematikában használatoshoz, csupán a sodrásiránya eltérı. A matematikában az x tengelytıl az y tengely az óramutató járásával ellentétes irányban helyezkedik el 90 -ra. Ebben a rendszerben ez a pozitív forgásirány, és jobbsodrású koordinátarendszernek nevezzük. A geodéziai koordináta-rendszerben az óramutató járásával egyezı irányt értelmezzük pozitívnak, és ennek megfelelıen helyezkedik el az x tengelytıl pozitív forgási irányban az y tengely. A geodéziai koordináta-rendszer balsodrású. Értelemszerően a mért szögeket is mindig pozitív forgási irányban értelmezzük. A matematikai összefüggések mindkét rendszerben azonosan használhatók, mindkét rendszerben érvényesek. A derékszögő koordináták megadása is csak formailag különbözik a két rendszerben, matematikaiban Q(x, y), a geodéziaiban pedig Q(y, x). + x + y Geodéziai koordináta-rendszer + y Matematikai koordináta-rendszer 1. ábra. A derékszögő koordináták megadása Számolási szabályok A földmérés nagyon sok számítási feladattal jár, melyek kiindulási adatai a terepi mérési eredmények, illetve korábbi mérési eredményekbıl számított értékek. A cél határozza meg, hogy méréseinket, számításainkat milyen pontossággal végezzük. Méréseinket egy bizonyos élességgel határozzuk meg, ami azt jelenti, hogy leolvasáskor hány helyiértéket, illetve tizedest határoztunk meg. Például két pont távolságát mérıszalaggal lemérve kapjuk, hogy 12,25 m. Vagyis centiméter élességgel olvastuk le, vagy tudtuk leolvasni az értéket A geodézia fıfeladatai, poláris pont számítása, irányszög- és távolságszámítás A vetületi síkban, poláris pont számításakor, egy pont (Q) helyzetét szeretnénk meghatározni egy ismert (P) ponthoz képest. Ilyenkor ismernünk kell (a geodéziai méréseinkbıl nyerjük) a két pont (vízszintes) távolságát (t PQ ), valamint a PQ irány irányszögét (δ PQ ). A vetületi síkban a PQ pontok irányának a vetületi +x tengely irányával, az óra járásának megfelelıen, bezárt szögét irányszögnek nevezzük. Szerkesztéssel szögmérı és vonalzó segítségével könnyedén végrehajtható a feladat a térképen. A számítás is egyszerően elvégezhetı, szögfüggvények alkalmazásával egy derékszögő háromszögben. Elıször az adott poláris koordinátákat (t PQ, δ PQ ) derékszögő összetevıkké alakítjuk: x PQ = t PQ cosδ PQ y PQ = t PQ sinδ PQ majd az ismert P pont koordinátáihoz hozzáadva az összetevıket, kapjuk a keresett Q pont koordinátáit: x Q = x P + x PQ = x P + t PQ cosδ PQ y Q = y P + y PQ = y P + t PQ sinδ PQ + x 3

4 + x yp xpq yp P α ypq δ PQ xp α Q xq δ QP + y Ezt a feladatot a geodézia elsı fıfeladatának nevezzük. + x y P y PQ Q δ QP x PQ y P P α δ PQ x P α t PQ x Q 2. ábra. A geodézia fıfeladatai a vetületi síkban Az inverz feladatot második fıfeladatnak nevezzük, ahol a koordináták segítségével az irányszöget és távolságot kell meghatároznunk. Ha egy vetületi koordináta-rendszerben ismerjük a két pont (P és Q) helyzetét, akkor egy vonalzó segítségével könnyedén meg tudjuk mérni a két pont távolságát (t PQ ), valamint egy szögmérıvel az összekötı egyenesük és a +x tengely által bezárt szögüket, az irányszöget (δ PQ ). Számításkor a következı a helyzet, adott a két pont síkbeli koordinátája (x P, y P valamint x Q, y Q ), számítsuk ki a köztük lévı távolságot (t PQ ) és a PQ irány irányszögét (δ PQ ). A távolság egy derékszögő háromszög átfogója, amelynek befogói az adott pontok megfelelı koordinátáinak különbségei, tehát: képezzük a koordináta-különbségeket: x PQ = x Q x P y PQ = y Q y P így a távolság a Pitagorasz-tétel felhasználásával: t PQ = y 2 2 PQ + xpq Az irányszög számításakor a derékszögő háromszög egyik szögét kell kiszámítani, ami tangens szögfüggvénnyel lehetséges. ypq tg δ PQ = x PQ y δ PQ = arctg x Az arctg többértékő függvény, így mindenképp szükséges a x és y elıjelének vizsgálata, a δ PQ irányszög tényleges értékének megállapításához. 0 0 (+ x) Q IV IV. I. y=+ y= - x=+ PQ PQ x=+ Q I + y δ PQ (- y) 90 0 (+ y) II. Q II I y=+ y= - x= - x= - III. II. Q II (- x) 3. ábra: A különbözı síknegyedekben az irányszögek 4

5 Elsı szögnegyedben mindkét koordináta-különbség pozitív elıjelő, ekkor a fıértéket kapjuk. A többi szögnegyedben ahol valamelyik koordináta-különbség negatív figyelnünk kell, hogy a helyes irányultságú irányszöget kapjuk meg. Ilyenkor a kapott szögértékhez (segédszög, α) hozzáadjuk a megfelelı értéket, ehhez nyújt segítséget az alábbi táblázat. szögnegyed I. II. III. IV. x elıjele + + y elıjele + + δ = α α α α táblázat: Irányszögek számítása a különbözı szögnegyedekben 2. TÉRKÉPEK 2.1. A térkép fogalma A térkép a Föld felszínén (illetve a felszín alatt, pl. bányatérképek) lévı természetes és mesterséges tárgyak (általában) felülnézeti, valamilyen mértékő kicsinyítésben és generalizáltan történı ábrázolása. A generalizálás annyit jelent, hogy a valós információt olyan mértékben sőrítik, általánosítják a térképen, hogy az a felhasználó számára még kellı pontosságú helyre vonatkozó és hellyel kapcsolatos információt tartalmazzon. Tehát például egy turistatérképen felesleges lenne az erdı összes faegyedét ábrázolni. A kicsinyítés mértékét térképi méretaránynak nevezzük, amely megadja, hogy ugyanakkora térképlapon mekkora területet tudunk ábrázolni. Jelölése: M, amely valójában egy arányszám, a valódi és az ábrázolt méret között. A méretarányt törtszámmal 1:m formában adjuk meg, ahol m a méretarányszám. A méretarány és a méretarányszám egymással fordított arányban vannak, nagyobb méretarányszámhoz kisebb méretarány tartozik és fordítva. Az M = 1:50000 méretarány így kisebb, mint az M = 1:10000, vagyis az ötvenezres térkép kisebb méretarányú, mint a tízezres. Sajnos a térképezésnél ezt az arányszámot nem értelmezhetjük olyan egyszerően, mint például egy modellautónál, mivel a térkép síkban ábrázolja a Föld felszínét és azt nagy kiterjedésben, ezért ott különbözı torzulások léphetnek fel A térképek csoportosítása A térképeket legcélszerőbb méretarány szerint csoportosítani, mert ehhez szorosan kapcsolódik a más jellemzı tulajdonságuk is. Így megkülönböztethetünk: nagy méretarányú 1:500 1: közepes méretarányú 1: : kis méretarányú 1: :több millió térképeket. A nagy méretarányú térképek magas szintő geodéziai mérési és számítási munka rajzi eredményei, amelyek elıállítását szigorú szabványok írják elı. Magyarországon földmérési alaptérképeknek nevezik az 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:4000 méretarányú térképeket, amelyek az egész ország területére kiterjedı, ingatlan-nyilvántartáshoz, valamint a tervezések alapjához szolgáltatnak alapadatot. Ennek megfelelıen vízszintes értelemben tartalmazzák a határvonalakat, építményeket, mővelési ágakat (Magassági adatot régebben csak kivételes esetekben tüntettek fel, a mai szabványok már ezt is elıírják.). A földmérési térképek elıdjei, az ún. kataszteri térképek voltak, amelyek méretaránya 1:1440 és 1:2880 a régebben használatos öl mértékegységrendszer miatt. A könnyebb kezelést a földmérési alaptérképek 1:10000 méretarányú átnézeti térképei segítik, csökkentett információtartalommal. 5

6 4. ábra: Földmérési alaptérkép Közepes méretarányú térképeink a topográfiai térképek, amelyek Magyarországon 1:10 000, 1:25 000, 1: és 1: méretarányban fordulnak elı. A topográfia görög eredető elnevezése szó szerint helyleírást jelent. Az egész ország területérıl egységes rendszerben ábrázolják a síkrajzot és a domborzatrajzot. A topográfiai térképek alaptérképei 1: (1:25 000) méretarányban szintén eredeti felméréssel készülnek, az ennél kisebb méretarányúakat kicsinyítéssel készítik, amelyek az ún. levezetett térképek. Természetesen ezeket a térképeket át kell tervezni, hogy az eredeti információt, jellegzetességeket visszatükrözzék. A csökkenı méretarány miatt már nem tudunk a valós méretek arányában megrajzolni, így a fedettség és az épültek ábrázolásánál ezért a méretaránynak megfelelı összevonásokat, generalizálást kell alkalmazni. A mérethelyesen nem ábrázolható (pl. vonalas) létesítményeket, és az egyéb jelentıs, vagy a terepi tájékozódást elısegítı, objektumokat és tereptárgyakat egyezményes jelekkel ábrázolják. A jeleket és magyarázatukat a jelkulcstáblázat adja meg, amely az összes topográfiai térképre érvényes. A térképek használhatóságát különbözı színek alkalmazásával segítik elı. 5. ábra: Topográfiai térkép 6

7 A kis méretarányú térképek az ún. földrajzi térképek, a teljes földfelületet, vagy annak bizonyos részét (kontinens, ország, országrész) ábrázolják egyezményes térképjelekkel. Sokféle formában megjelenhetnek, de gondoljunk csak az iskolában is használatos atlaszokra, falitérképekre. A földrajzi térképek feladata, hogy megmutassák a különféle természeti és társadalmi jelenségek földrajzi elhelyezkedését, kapcsolatát. Méretarányuk az ábrázolt terület függvénye, általában 1: és ennél kisebbek. A méretarány csökkenésével a geodéziától már mind távolabb esı alkotások, egyre kevésbé fognak emlékeztetni az eredeti geodéziai alapra. Néha már szinte nem is tekinthetjük térképnek, annyira nélkülöznek minden pontosságot. 6. ábra: Földrajzi térkép Meg kell még említenünk a cél-, vagy tematikus térképeket, amelyek az alaptérképek átalakítása, összevonása, egyszerősítése és a célnak megfelelı kiegészítése útján jönnek létre, egy bizonyos felhasználás, vizsgálat érdekében. Ilyen tematikus térképek például a katonai térképek, vízrajzi térképek, mezıgazdasági térképek, autóstérképek és még hosszan sorolhatnánk, mert számtalan célja lehet egy felhasználásnak. Ezen térképek méretaránya igen változó, szintén célfüggı, például egy közmőtérképet egy nagy méretarányú alaptérkép felhasználásával arra rávezetve hozhatunk létre. Ma már nem hagyhatjuk figyelmen kívül, a régen még papírra, fóliára készült térképekkel szemben, az egyre gyakrabban használatos digitális térképeket. Ezek bárhol jelennek is meg ugyanazt a célt, információt szolgáltatják, mint a hagyományos formátum, tehát ugyanúgy térképnek kell tekintenünk. Ugyanúgy megadott szabványokkal készülnek, csak a megjelenítésük eltérı. Legszembetőnıbb változás, hogy a méretarányukat változtathatjuk ( belenagyíthatunk egy térképbe). Ez viszont nem jelenti azt, hogy egy digitális térképnek nincs méretaránya, mert az eddig elhangzottak alapján a méretarány tartalomfüggı. Tehát a digitális térkép méretaránya az, amely mellett történt a térképezés, vagyis az adatgyőjtés és szerkesztés. 7

8 2.3. Térképi ábrázolás A föld felszínén található természetes és mesterséges tárgyak ábrázolását a síkrajz, a földfelszín egyenetlenségeit, a hegységeket, dombokat, alföldeket a domborzatrajz, valamint a síkrajzi és domborzati elemek megkülönböztetı elnevezéseit a névrajz tartalmazza Síkrajzi ábrázolás Egy bizonyos méretarányig még megfelelı pontossággal tudjuk a térképeken ábrázolni a valós világot (pl. 1:1000 méretarányban), ilyenkor még pontosan fel tudjuk tüntetni a kisebb kiterjedéső létesítmények, járda, épületek, utak stb. széleit. Tehát minden objektumot arányosan kicsinyítve a valóságnak megfelelıen tudjuk ábrázolni, ezért ezt az ábrázolást alaprajzhő ábrázolásnak nevezzük. Ha csökkentjük a méretarányt, akkor ugyanakkora térképlapon nagyobb területet tudunk ábrázolni, viszont ilyenkor a tereptárgyak részletei annyira lecsökkennek, hogy a legvékonyabb vonalakkal sem tudnánk ábrázolni ıket. Az alaprajzhő ábrázolásról ekkor át kell térnünk az egyezményes jelekkel (szimbólumokkal) történı ábrázolásra. Az egyezményes jelek a földfelszín valamely tárgyának, vagy tárgycsoportjának bizonyos mértékben elvonatkoztatott ábrázolását értjük. A jelek helyzethően szemléltetik az ábrázolt tárgyakat, a tárgy helyét (egyedülálló fa), minıségét (lombos fa) és mennyiségét (magassága) is. A tárgyak tényleges helyzetét a jelek középpontja, vagy talppontja mutatja. Az ilyen ábrázolást helyzethő ábrázolásnak nevezzük. Olyannyira szemléletesek, hogy sok esetben még az alaprajzhő ábrázolásnál is használjuk ıket, mint például az alappontok, oszlopok stb. esetében, vagy a különbözı minıségő határokat megkülönböztetı vonaltípusok. Az egyezményes jelek kialakításánál törekedtek arra, hogy a jelek minél egyszerőbbek legyenek és a térkép használója az egyezményes jelben felismerje az ábrázolt objektum valamilyen jellemzı tulajdonságát. A különbözı típusú és méretarányú térképek jelkulcsai különbözhetnek, hiszen maguk a jelölendı tárgyak is változnak. A jelek magyarázatát mint már említettük a jelkulcstáblázatok tartalmazzák, amelyek sok esetben magán a térképlapon találhatók, de egyes térképtípusoknál külön kötetbe is foglalják az öszszes ismeretes jelkulcsot. pontszerő A jelek elrendezése vonalas felületi Képszerő alaprajzi oldalnézeti Málna Magyarázó jelkép mértani * 7. ábra: A jelek csoportosítása Alakjuk szerint a jelek lehetnek: képszerő jelek, amelyek a tárgy természetbeni képét idézik: alaprajzi jelek (forrás, híd, vasút, bokros gyümölcsös) oldalnézeti jelek (templom, egyedülálló fa, torony, fasor, rizs) magyarázó jelek, a tárgyra utaló jellemzı alakú jelek: jelkép vagy szimbólum (bánya, kikötı, vadászház, olajvezeték, temetı) mértani jelek (rézbánya, gyémántbánya, mozi, különbözı határvonalak, mocsár, gyümölcsös.) 8

9 Elrendezésük szerint a jelek lehetnek: pontszerő jelek (kereszt, barlang) vonalas jelek (út, határ) felületi jelek (bozótos, temetı). Nagyon fontos egyezményes jelként használt megkülönböztetı kulcs a szín. Alkalmas arra, hogy szemléletesen és általában a valósághoz hően el tudjuk különíteni a különbözı felszínborítási kategóriákat, úgymint a vizet kék, a növényzetet zöld színnel szemléltetve. A különbözı színkategóriák és szemléletesebbé tevı kiegészítı jelekkel használt színek magyarázatát a jelkulcstáblázat szintén tartalmazza A domborzat ábrázolása A domborzat ábrázolása mindig is a térképezés nehezen megfogható kérdésének számított. Már az ókori Egyiptomban is foglalkoztak a földfelszín egyenetlenségeinek megjelenítési módszerével. A kezdeti halomszerő ábrázolásmódtól a madártávlati ábrázoláson keresztül a pillacsíkos ábrázolásig nagyon hosszú idı eltelt és sokféle módszert, illetve azok finomítását alkalmazták, mire végül az 1700-as évek végén a szintvonalas ábrázolást, mint domborzatábrázolási módszert használni kezdték. Valójában már a XV. században ismert módszer volt, viszont csak a vízmélységek jelölésére. A szintvonalas ábrázolás elve, hogy kijelöljünk egy adott magasságra vonatkozó szintfelületet és azzal elmetsszük a domborzatot. A domborzat és a szintfelület metszésvonalának a vetületét, amit szintvonalnak nevezünk, ábrázoljuk az adott térképen. A szintvonalak tehát az azonos magasságú pontokat összekötı görbe vonalak vetületi képei. 10 m h szintköz 5 m 0 m ábra: A szintvonalas ábrázolás módszere A szintvonalak fı sajátosságai: egymást sohasem metszik; önmagukba visszatérnek; meredek terepen a szintvonalak sőrőbbek, lankás terepen ritkábbak; nem párhuzamosak egymással, de párhuzamosságot mutató görbék. A szintvonalak szintközeit (magasságát) az ábrázolandó domborzat változatosságainak és a térképi ábrázolás méretarányának megfelelıen választják meg. Például az 1: topográfiai alaptérképen. a síkvidéken 1.0 m, a dombvidéken 2.5 m és a hegyvidéken pedig 5.0 m alapszintközt alkalmaznak. Ezeket a szintvonalakat alapszintvonalnak nevezzük. Alkalmaznak még a szemléletesség kedvéért fıszintvonalakat, melyek az alapszintvonalak többszörösei (pl. minden negyedik), ezeket kivastagítva ábrázolják. Ha a domborzat pontos ábrázolása megkívánja, akkor a szükséges helyeken felezı, vagy negyedelı segédszintvonalakat is felhasználnak, amit szaggatott vonallal ábrázolnak. 9

10 A szintvonalak közötti magassági tájékozódást a magassági megírások iránya és az eséstüskék is elısegítik. A szintvonalat megszakító számok alja lefelé (völgyirányba), teteje pedig felfelé mutat. A szintvonalból kiinduló eséstüske (rövid vonal) szintén az esés irányába (lefelé) mutat. Számos természetes és mesterséges domborzati alakzat (pl. leszakadás, sziklafal, bevágás, töltés, horhos, bucka, víznyelı, töbör, szikla, stb.) nem ábrázolható pusztán szintvonalak segítségével. Ekkor a szintvonalak megszakíthatók, és az ábrázolást a térképen is megadott jelölésekkel és egyezményes jelekkel hajtják végre. 1,3 2,5 kisebb vízmosás nagyobb vízmosás horhos 2,1 1,0 1,0 suvadás sziklafal 9. ábra: Néhány domborzati alakzat és ábrázolása A domborzatábrázolás vázát a gerincvonalak (vízválasztó vonal) és a völgyvonalak (vízgyőjtı vonal) adják meg. Az egyes domborzati idomvonalakkal határolt területeket lejtıkre bonthatjuk, amelyeknek három fı típusát különböztetjük meg. Az egyenes lejtın az alapszintvonalak távolsága állandó, a homorú lejtın a szintvonalak a lejtı alján, a domború lejtın, pedig a domborulat tetején ritkulnak. egyenes homorú domború 109 m 108 m 107 m 106 m 105 m 10. ábra: Alapvetı lejtıtípusok A klasszikus topográfiai felmérésnél csak az idomvonalak jellegzetes pontjait határozták meg, a lejtésnek megfelelıen a szintvonalakat interpolálták és kézzel rajzolták meg ıket. Ez a munka nagyon nagy jártasságot és kézügyességet is igényelt. A mai modern eszközökkel nagyon sok részletpontot határozhatunk meg, és a szintvonalakat digitális úton, automatikusan is elıállhatjuk. Ahhoz, hogy az automatikus szintvonalak megfelelıen ábrázolják a domborzatot, gyakran manuális korrekciókat is alkalmazni kell, ezért a topográfiai ismeretek továbbra is nélkülözhetetlenek. 10

11 gödör borda pihenı Egyedülálló szikla (szirt) sziklák szakadékok hegyorr nyereg kúp teknı nyereg lejtıkúp eséstüske , fıszintvonal alapszintvonal kiegészítıfelezı szintvonal szintvonal megírás (abszolút mag.) relatív magasság horhos hordalékhant vízmosás völgypihenı metszıdés tereplépcsı oldal hegyhát kıtömb 11. ábra. Néhány domborzati idom szintvonalas ábrázolása 3. VETÜLETTANI ISMERETEK 3.1. A vetítés fogalma Térképezés során a geodéziai méréseket a Föld felületén végzik, majd a mérési eredményeket síkban kiterítve, egy térképlapon ábrázolják. Vagyis a mérések eredményeit, szögeket, távolságokat a síkra kell vetíteni, vagy matematikai összefüggésekkel síkra kell vonatkoztatni Vetületi torzulások Nem létezik olyan vetület, amely a Föld helyettesítı alakját, illetve annak pontjait a síkra torzulásmentesen képezné le. Vagy a szögek, vagy a hosszak, vagy a területek fognak torzulni. Ezeket moduluszaikkal jellemezzük. A moduluszok végtelen kicsi képfelületi elem és a neki megfelelı alapfelületi elem hányadosa. Ennek megfelelıen: szögtorzulási viszony vagy iránymodulusz; hossztorzulási viszony vagy lineármodulusz; területtorzulási viszony vagy területi modulusz. Fontos megjegyezni, hogy nem létezik olyan térképi vetület, amely minden pontjában szögtartó és területtartós is lenne. Ugyanúgy nincs olyan vetület, amely minden irányban hossztartó lenne. Olyan vetületek vannak csak, amelyeknek bizonyos irányai nem szenvednek hossztorzulást. Az a vetület, amely se nem szögtartó, se nem területtartó, általános torzulású vetületnek nevezzük. Bármely típusba is tartozik a vetület, létezik rajta egy olyan pont vagy egyenes, ahol semmiféle torzulás nincs. Onnan távolodva a torzulások egyre növekednek. A megengedett torzulás mértékét mindig meghatározzák Koordináta rendszerek A vetületi koordinátarendszerek x tengelye a vetület K kezdıpontján áthaladó alapfelületi meridián képe, az y tengely erre merıleges. Az x tengely pozitív ága a régebbi vetületeknél dél, az újabbaknál észak felé mutat. Dél felé mutató +x tengely esetén délnyugati tájékozású, észak felé mutató +x 11

12 tengely esetén északkeleti tájékozású vetületi koordinátarendszerrıl beszélünk (a +y tengely nyugat, ill. kelet felé mutat). A vetületi koordinátarendszerben a pont helyét y és x derékszögő koordinátáival adjuk meg. +y É f É t É f É t +y P K µ P A PQ Q µ Q δqp A QP A QP δ QP Q µ Q A PQ δ PQ µ P a) K δ PQ P +x b) D f D t D f D t +x 12. ábra: Délnyugati és északkeleti tájékozású koordinátarendszer. Az x tengely kivételével az összes alapfelületi meridián képe az x tengely északi ága felé hajló görbe vonal. Az alapfelületi meridián képéhez egy adott pontban (ábránkon P és Q) húzott érintıt földrajzi délnek (D f ), ill. földrajzi északnak (É f ), az x tengellyel párhuzamos egyeneseket térképi délnek (D t ), ill. térképi északnak (É t ) nevezzük, attól függıen, hogy délnyugati, vagy északkeleti koordinátarendszerben vagyunk. A két irány által bezárt szöget vetületi meridiánkonvergenciának nevezzük és µ-vel jelöljük. A vetületi koordinátarendszerben az y tengely mentén az x tengely felé haladva, a µ vetületi meridián-konvergencia értéke csökken. A délnyugati rendszerben az ábrán a meridiánkonvergenciát negatívnak, az északkeletin pedig pozitívnak tekintjük, vagyis, dél-nyugati tájékozású vetületi koordinátarendszerben a meridiánkonvergencia elıjele ellentétes az y koordináta elıjelével, észak-keleti tájékozású vetületi koordinátarendszerben viszont megegyezik. A földrajzi déltıl, illetve a földrajzi északtól az óramutató járásának megfelelı irányban a PQ, ill. a QP iránnyal bezárt szöget földrajzi azimutnak nevezzük és a továbbiakban A-val jelöljük. Szögtartó vetületeknél ez a szög megegyezik az alapfelületi megfelelıjével. A ábrából láthatóan a földrajzi azimut (A), az irányszög (δ) és a vetületi meridiánkonvergencia (µ) között az alábbi összefüggés érvényes: δ PQ = A PQ µ P Ha ismerjük vagy mérjük a földrajzi azimutot és ki tudjuk számolni a δ PQ irányszöget, akkor az összefüggés alapján adódik a vetületi meridiánkonvergencia meghatározásának egy módja: µ P = A PQ -δ PQ 3.4. A vetületek csoportosítása A gyakorlatban különbözı céloknak megfelelıen sokféle vetületet alkalmaznak. A geodéziai vetületeket csoportosíthatjuk: 1. A torzulás jellege szerint: szögtartó (konform) vetületek területtartó vetületek általános torzulású vetületek, ahol a szögek, a hosszak és a területek is torzulnak. A Magyarországon alkalmazott vetületek mindig szögtartóak, tehát hossz és területtorzulás lép fel. A valóságban hossztartó vetület nem hozható létre. Minden vetületen lehetnek hossztorzulás-mentes vonalak, de az nem lehetséges, hogy minden hossz változatlanul kerüljön át az alapfelületrıl a képfelületre. 12

13 Minden vetületnél létezik egy pont (vagy vonal), ahol semmilyen torzulás nem lép fel, a torzulások onnantól távolodva növekednek. 2. A képfelület tengelyének az Föld tengelyéhez viszonyított helyzete szerint: normális (poláris), amikor a képfelület tengelye a Föld forgástengelyébe esik transzverzális (ekvatoriális), amikor a képfelület tengelye az egyenlítı síkjában fekszik ferde tengelyő vetületeket. 3. A képfelület alapfelülethez viszonyított helyzete szerint: érintı metszı (redukált) 4. A képfelület geometriai alakja szerint: síkvetület (azimutális) kúpvetület hengervetület A kúp- és a hengervetület is síkba fejthetı felületek Magyarországi vetületek Magyarországi vetületek alatt a magyarországi földmérési és topográfiai térképekhez tartozó vetületeket értjük. A vetületek szögtartóak. Mindegyikük létrehozásánál törekedtek arra, hogy a hossztorzulás értéke az 1/10000 értéket ne haladja meg. Ezt a feltételt a vetületek többségénél nem sikerült teljesen megvalósítani. A képfelületek vagy érintik, vagy metszik az alapfelületet. Léteznek kifejezetten magyarországi térképezés céljára létrehozott vetületeket és a nemzetközi szinten alkalmazott, de Magyarországon is elfogadott vetületeket Sztereografikus vetület (Budapesti sztereografikus vetület) Egy új országos térképezés keretében vezették be az 1860-as években. Bevezetésekor még három rendszer volt érvényben, a marosvásárhelyi, az ivanicsi és a budapesti. A mai Magyarország területét a budapesti vetület foglalja be. A vetület kezdıpontja a Gellérthegy nevő felsırendő alappont. Kettıs vetítéssel jutunk el a síkig. Elıször a Bessel vonatkozási ellipszoidról az ellipszoidot helyettesítı Gauss-gömbre, majd utána a síkra vetítenek. A vetület érintı, ferdetengelyő, szögtartó síkvetület. Az x tengely, a kezdıponton átmenı meridián képe, amelynek pozitív ága déli irányba mutat, tehát a koordináta-rendszer DNY-i tájékozású. A vetület hossztorzulása a vetületi kezdıponttól 127 km-re éri el a megengedett 1/ értéket, tehát az ország határainál a megengedettnél nagyobb torzulás lép fel. É S +y K O +x C Gömbi egyenlítı Kezdıpont gömbi meridiánja D 13. ábra: Sztereografikus vetület 13

14 Ferdetengelyő hengervetületek ben három hengervetületi rendszert vezettek be, Fasching Antal javaslatára (Faschingféle hengervetületek). Ezek pedig: HÉR (Hengervetület Északi Rendszere), HKR (Hengervetület Középsı Rendszere), HDR (Hengervetület Déli Rendszere). A vetület szintén szögtartó, a sztereografikus vetülethez hasonlóan a vetítés kettıs, elıször az Bessel-féle ellipszoidról a Gauss-gömbre, majd a Ga- HKR HÉR uss-gömbrıl a gömböt egy legnagyobb gömbi kör mentén érintı hengerre történik a vetítés. Mivel a henger forgásten- HDR É gelye sem a Föld forgástengelyével, sem egy egyenlítıi átmérıvel nem egyezik meg, ferdetengelyő vetületnek is nevezik. A koordináta-rendszerek DNY-i tájolásúak. A hengervetületek érintı vetületek, hossztorzulásuk az y tengely mentén zérus (az y tengely az érintı gömbi kör képe), a megengedett 1/10000 értéket az y tengelytıl számítva az x tengelylyel párhuzamosan x = ± 90 km-nél éri el, ezért ábrázolták a történelmi Magyarország területét három hengervetületi 14. ábra: Fasching-féle hengervetületek sávban Az Egységes Országos Vetület (EOV) 1975-ben polgári célokra új vetületi rendszert vezettek be, az Egységes Országos Vetületet, rövidítve, EOV-t Részben a vetületi rendszerek egységesítése érdekében, részben pedig a miatt, hogy a hossztorzulás értéke az ország egész területén 1/10000 alatt maradjon. Kettıs vetítéssel, elsı lépésben az IUGG 67 ellipszoidról az új magyarországi Gauss-gömbre történt a vetítés, majd az ehhez tartozó vetületre, egy ferde tengelyő, szögtartó redukált hengervetületre történt a vetítés. Az EOV-ben egész Magyarország területe egy ferde tengelyő hengervetületi sávon ábrázolható anélkül, hogy a hossztorzulás értéke az x tengely mentén az 1/10000 értéket meghaladná. Ezt azzal érték el, hogy a képfelület metszı henger, amely 2 párhuzamos gömbi körben metszi a Gauss-gömböt. A két gömbi kör között a hossztorzulás negatív, a gömbi körökön kívül pozitív irányú, a körökön pedig zérus. Fentiek miatt nevezik az EOV-t redukált hengervetületnek. A henger elhelyezkedése megegyezik a HKR rendszer elhelyezkedésével. 37,76km Gellérthegy ~75km 15. ábra: Az Egységes Országos Vetület (EOV) 14

15 3.6. Nemzetközi vetületek Ezen vetületek a Föld egészének, vagy egy jelentıs részének ábrázolására alkalmasak. Ilyen vetületekkel találkozunk a középiskolai földrajzi atlasz térképein, esetleg világeseményeket bemutató média oldalakon. A sokféle módszer közül részleteiben csak a Magyarországhoz szorosan kötıdıeket vizsgálnánk, a világvetületekbıl csak szemléltetésképp a Mercator-féle vetületet ragadjuk ki. A Mercator vetület egy hengervetület, amely tengelye egybeesik a Föld forgástengelyével és az egyenlítı mentén érinti a göböt. Erre a hengerpalástra vetítünk, majd a hengert egy alkotója mentén kettévágjuk és kiterítjük. A vetület szögtartó, a hossztorzulás mértéke az egyenlítıtıl távolodva növekszik. 16. ábra: Mercator térkép A következıkben Magyarország szempontjából fontos Gauss-Krüger vetületet, illetve az UTM vetületet vizsgáljuk Gauss-Krüger vetület A Gauss-Krüger vetületnél a vetítés közvetlenül az Kraszovszkij-ellipszoidról történik egy henger képfelületre, amelynek a tengelye az egyenlítı síkjában van. Vagyis a vetület transzverzális, szögtartó ellipszoidi hengervetület. A vetületet Magyarországon az 1950-es évektıl használjuk az akkori katonai együttmőködések keretében. A hazánk területérıl rendelkezésre álló 1: és 1: méretarányú topográfiai térképek katonai térképek, amelyeket régen titkosítva kezeltek. A Gauss-Krüger és a hozzá hasonló nemzetközi vetületek (UTM vetület) igen hasznosak a határokon átnyúló együttmőködés szempontjából. A képfelülethez tartozó sík koordinátarendszer x tengelye a kezdımeridián (érintési meridián) képe, az y tengely pedig az Egyenlítı képe. A kezdımeridián mentén hossztorzulás nincs, a szegélymeridiánok felé haladva pedig fokozatosan növekszik. 15

16 +x +x +x É Egyenlítı Egyenlítı +y D szegélymeridián kezdımeridián 17. ábra: Gauss-Krüger vetület Az egymással szomszédos vetületi rendszerek alapját az egymáshoz képest Λ szögértékkel elforgatott helyzető hengerek alkotják. Az egyes rendszerek önálló vetületi sávot képeznek és a szegélymeridiánok mentén csatlakoznak egymáshoz. Az egyes vetületi sávokon belül a vetületek törvényszerőségei teljesen megegyeznek, ezért a vetület az egész földfelület egységes rendszerben történı ábrázolására alkalmas. Az egyes vetületi sávok szélessége a vetület alkalmazásának céljától, és a hossztorzulás megengedett mértékétıl függ. Magyarországon a topográfiai térképeknél a Λ = 6 0 -os, a nagyobb méretarányú térképezés céljára a Λ = 3 0 -os sávszélességet állapítottak meg. A vetületi sávok nemzetközi számozása a Greenwich-csel átellenes meridiánnal kezdıdik. A 6 0 -os nemzetközi sávbeosztásban Magyarország a 33. és 34. sorszámú sávokba esik. A kezdımeridiánok földrajzi hosszúságai: Λ 33 =15 0, és Λ 34 = UTM vetület A NATO tagállamok katonai térképeinek vetülete az UTM (Universal Transverse Mercator) vetület. Hazai jelentısége két okból is elıtérbe került, egyrészt, Magyarország 1999 márciusától a NATO teljes jogú tagja lett, másrészt, a korszerő, globális helymeghatározó rendszerek (GPS) egyes vevıi lehetıvé teszik, hogy az UTM-vetületre vonatkozó koordináták is közvetlenül kijelezhetık legyenek. 16

17 É ábra: UTM vetület Az UTM-vetület az ellipszoid egyenlítıi elhelyezéső (transzverzális), szögtartó hengervetület. A Gauss-Krüger vetülettıl csak abban különbözik, hogy az ellipszoidikus henger itt két torzulásmentes ellipszis (az ún. normálellipszis) mentén metszi az ellipszoidot. A hossztorzulás értéke ezért nem a kezdımeridián, hanem a két normálellipszis mentén zérus, a két normálellipszis között negatív, azokon kívül pozitív. 4. A TÉRKÉPEK HASZNÁLATA Ebben a fejezetben azokat az egyszerő eljárásokat mutatjuk be, amelyekkel a gyakorlatban, terepi körülmények között, a rendelkezésünkre álló papír alapú térkép segítségével tájékozódni tudunk. Tájékozódás annyit tesz, mint megállapítani, hogy egy vagy több ismert helytıl milyen távolságra és milyen irányban vagyunk, valamint azt sem árt tudnunk, milyen szintkülönbségek (magasságkülönbségek) várnak ránk. A térképen kívül szükségünk lehet kiegészítı eszközökre, amelyek a térkép használatát megkönnyítik, bár nem nélkülözhetetlenek a tájékozódáshoz. Egyik legfontosabb eszköz a tájoló, amely az északi irány kijelölése mellett szögmérésre is alkalmas, esetleg egy iránytő, amellyel viszont csak az égtájakat tudjuk meghatározni. Egy léptékvonalzó (fıként, ha nem található a térképünkön vonalas lépték), amely lehetıleg a térképünk méretarányát is tartalmazza. Továbbá célszerő a lépéshosszunkat is megmérni, amellyel távolságok terepi becslését végezhetjük el. Egyes tájolókon olyan számozott tárcsa is található, amelynek az értékét, például százlépésenként növelhetjük, ezzel megkönnyítjük a távolság megjegyzését. Könnyebben és gyorsabban tájékozódhatunk a terepen, illetve a térképen, ha egy ismertponttól folyamatosan követjük az útvonalat a térképen. A következıkben azonban olyan esetekre látunk példákat, amikor ismeretlen helyszínen kell a tájékozódást a térképen végrehajtani. Ehhez szükségünk lesz a terepalakulatok, tereptárgyak, mővi létesítmények térképen való felismerésére, illetve a felsorolt segédeszközök használatára Tájékozódás a térképen A térkép tájolása A térképet megfelelıen használni, csak tájolt helyzetben tudjuk. Ehhez valamely irány vagy égtáj megállapítása szükséges. Tehát a térkép tájolása kétféle módon történhet, terepi tárgyak irányának meghatározásával, valamint tájoló (iránytő) segítségével, az északi irány megállapításával. A tereptárgyak alapján történı tájékozáshoz szükséges mind a terepen, mind a térképen azonosítani azokat az alakulatokat, amelyek az adott irányt kijelölik. Erre legegyszerőbben vonalas létesítményeket (út, villanyvezeték stb.) használhatunk, de elvégezhetı a mővelet két pontszerő objektum (egyedülálló fa, templomtorony stb.) összekötı egyenese is. A vonalat figyelve (esetleg segítségül egy léptékvonalzót helyezve az egyenesre) addig forgatjuk a térképünket, amíg a terepen húzódó megfelelı vonallal párhuzamos nem lesz. Ekkor a térképünk már tájékozott. 17

18 Az iránytővel való tájékozásnál az iránytő 0 (északi) osztását a térképszelvény keretvonalához illesztjük, s a térképpel együtt addig forgatjuk el, míg az iránytő északi csúcsa a 0 osztásra nem esik. Általában az északi irány nincs jelölve a térképlapon, ekkor az északi irány mindig a térképlap tetején, a déli irány a térképlap alján található, amely a feliratok olvasási irányának felel meg. Ettıl eltérı esetekben az északi irányt jelölik a térképeken Az álláspont meghatározása a térképen Álláspontunk meghatározásához a terepen is és a térképen is jól azonosítható, azonos pontokra van szükségünk. Legegyszerőbb az az eset, amikor közvetlen közelünkben van az azonosított pont, ekkor a tárgy térképi jele lesz az álláspontunk. Egyéb esetekben legalább kettı, de jobb, ha három vagy négy terepi pontot használunk fel, ilyenkor a tájolt térképen megirányozzuk a tereptárgyakat és az irányvonalak metszéspontja lesz az álláspontunk. Ha az álláspontunkon vonalas létesítmény húzódik, akkor elegendı egy tereptárgyat keresnünk, ilyenkor a vonalas létesítmény alapján tájékozzuk a térképünket és szintén a térkép mögül szemlélve a tereptárgyat, irányvonala kimetszi az álláspontunkat a vonalas létesítmény térképi megfelelıjén. Az álláspontunk meghatározását pontosíthatjuk, ha az álláspontunk tereptárgyhoz viszonyított irányát tájolóval mérjük meg, illetve az álláspont és tereptárgy távolságát a terepen lelépjük és ezeket a mennyiségeket felrajzoljuk a térképre Tereptárgy megkeresése a térképen Ha egy fontos tereptárgyat nem találunk a térképen, akkor azt az álláspont meghatározás módszerével kereshetjük meg. Ha a tereptárgy helye nem alkalmas álláspont meghatározásra, akkor az álláspontot annak környezetében kell létesíteni. Az álláspontról tájolóval megmérjük az irányt, és lépéssel meghatározzuk a távolságot, majd felrajzoljuk a térképre. Ha a tárgyat a térképen most sem találjuk, úgy ellenırizzük a térkép tájékozását és az álláspontunk helyét. Ha a tárgy a térképen még mindig nem lelhetı fel, úgy a tárgy már a felmérés végrehajtása után került a terepre, vagy valamilyen okból a felmérés során nem ábrázolták A térképen ábrázolt tárgy megkeresése a terepen Ha egy terepalakulat vagy tereptárgy nem, vagy nehezen azonosítható a terepen, akkor meghatározzuk az álláspontunkat, majd az álláspontunk és a tárgy képét összekötı egyenes mentén megmérjük a távolságot és irányt. Így az álláspontból elindulva a tereptárgy már felkereshetı. Nagyobb távolság esetén célszerő tájolót használni Haladás a terepen, térkép alapján, térképi tájékozódás Úton, vagy más vonalas létesítmény mentén történı haladáskor elızetesen tanulmányozzuk a térképen a tervezett útvonalat. Jegyezzük fel az út mentén lévı, tájékozódás céljára alkalmas tereptárgyakat (hidak, útkeresztezıdés, kilométerkı, emelkedık, lejtık stb.), az útról látható egyéb kiemelkedı létesítményeket (jellegzetes házak, gyárkémények, templomtornyok stb.). A kiindulási pontban a térképet tájékozzuk, majd határozzuk meg az álláspontunkat. Ezt ismételjük meg minden következı azonosítható pontban és így az útvonalunkat a térkép alapján végig követhetjük. Ha a terepen vonalas létesítmény nincs, akkor a térképen jelöljük ki az útvonalunkat. A tájékozódás céljára a térképen útba esı minden jelentıs tárgyat felhasználhatunk. A térképen fel nem tüntetett útelágazáshoz érve, el kell döntenünk, hogy melyik úton menjünk tovább. E célból a térképen megjelöljük álláspontunkat, megállapítjuk haladási irányunk irányszögét, a terepen közelítıen meghatározzuk az elágazó utak irányszögeit, s azon az úton megyünk tovább, amelyiknek az irányszöge a térképi haladási irányhoz legközelebb esik. 18

19 4.2. Mérések a térképen Adott pont magasságának meghatározása A térképen a tengerszint feletti magasságok meghatározására a szintvonalak és az egyes magassági jelekhez írt számok adnak útbaigazítást. Megkeressük az adott pont (tereptárgy, álláspont) helyét közrefogó két szintvonalat és azok magasságát. Kijelöljük a ponton átmenı lejtıvonalat a két szintvonal között. A szintvonalak távolsága (a lejtıvonal hossza) és magasságkülönbsége úgy aránylik egymáshoz, mint az adott pontnak valamelyik szintvonalhoz tartozó távolsága és a keresett magasságkülönbsége. Ha például a keresett pont a 850 m és a 860 m szintvonalak között helyezkedik el a 850 m szintvonaltól 3 tizednyire (ha a két szintvonal közötti szakasz 10 tizedre osztottuk), akkor a pont magassága 853 m Távolság meghatározása a térképen Ha a térképünkön található vonalas lépték, akkor papírcsíkon megjelölve, vonalzóval, körzıvel, cérnával stb. lemérve a térképi távolságot, a vonalas léptéken meghatározhatjuk vele a terepi hosszt. Közvetlenül is meghatározhatjuk a távolságot léptékvonalzó vagy gördülı távolságmérı segítségével. Görbe vonal vagy megtört szakaszok esetén, még egyenesnek értelmezhetı részekre osztjuk a vonalat és ezeket lemérve végzünk összegzést A lejtésviszonyok és a lejtıszög meghatározása A lejtı elemei: a lejtı hossza, amely a terepi távolságot jelenti a lejtıalap (a), amely a lejtı hosszának vízszintes vetülete a lejtıszög (α), amelyet a lejtı hossza a lejtı alappal bezár a lejtı magassága (h), a lejtın meghatározott két pont magasságkülönbsége a lejtı hossza h α a 19. ábra: A lejtı adatainak meghatározás Ha a térképünk tartalmaz lejtıalapmértéket, akkor a térképrıl lemérve a lejtı alap hosszát, ezt a lejtıalapmértékrıl közvetlenül leolvashatjuk a lejtıszöget. Számolással is könnyedén meghatározhatjuk szögfüggvényekkel a lejtésviszonyokat, ismerve (megmérve) a magasságkülönbséget és a távolságot (lejtı alap), elıállítható a tgα = h/a képlettel Területek meghatározása a térképen A vetületi koordinátarendszerben készült térképeknél az adott idom térképen ábrázolt (vízszintes vetületi) területét értjük. A térképrıl ezt határozhatjuk meg, és ez nem egyezik meg pontosan a földfelszínen mérhetı területtel. Egyszerő grafikus meghatározás történhet elemi területrészekre bontásával, majd az elemi területek ezt követı összegzésével. Szabályos területeknél a háromszögre bontás, görbe vonalú területeknél a trapézra bontás lehet a kedvezı megoldás. A legkézenfekvıbb gyakorlati megoldás, mikor egy átlátszó milliméterpapírra átrajzoljuk a meghatározandó területet, megszámoljuk az egész és a tört négyzeteket, összegezzük, majd a térkép méretarányának megfelelıen átváltjuk a meghatározott területet négyzetméterbe. 19

20 Összeláthatóság, láthatóság és metszetszerkesztés Gyakori feladat két pont összeláthatóságának megszerkesztése, illetve a terepalakulatok oldalnézetben (metszetben) való ábrázolása, a terepviszonyok szemléletesebbé tételéhez. Ilyenkor a topográfiai térkép alapján metszetet készítünk. A metszı vonal és a szintvonalak metszéspontjait egy adott szintköző (esetünkben 5 m-es) beosztott papírra vetítjük át a szintvonalak magassági értékeinek megfelelıen. 20. ábra: Metszetkészítés szintvonalak alapján A metszet alapján megállapítható, hogy a két pont összelátszik-e vagy sem. Ábránkon az A és a B pontok nem látszanak össze. Ha a térkép ezeknek a tárgyaknak a magasságát is tartalmaz, a metszeten érdemes ezeket is feltüntetni (például az ábránkon az erdı feltüntetése) Néhány gyakorlati tudnivaló a tájékozódáshoz Az északi irány meghatározása tájoló nélkül Ha van nálunk egy mutatós óra, akkor a közelítı északi irányt meghatározhatjuk, ha vízszintes helyzetben magunk elıtt tartott órát úgy fordítjuk, hogy az óra kismutatója a Nap felé forduljon. Ekkor a kismutató és az óra számlapján lévı 12-es szám közötti szögfelezı egyenes meghosszabbításával megkapjuk az észak-déli irányt (déli irány a közbezárt szög felé menı irány). Néhány természetben elıforduló jellegzetesség is segítségünkre lehet egy közelítı északi irány megállapításához. A fák töve, kövek oldala északi irányban mohásabb. A kivágott fa tuskóján az évgyőrők északi irányban sőrőbben állnak. A magányos fa ágszerkezete, lombozata ritkább az északi irányban. Télen a déli lejtıkön gyorsabban elolvad a hó. Ha esetleg éjjel szeretnénk tájékozódni, akkor érdemes ismerni egy csillagképet, a Göncölszekeret. Ha a szekér két leghátsó csillagát képzeletben összekötjük, majd a két csillag távolságát ötszörösével meghosszabbítva a Sarkcsillaghoz jutunk. Ennek a vonalnak az iránya határozza meg az északi irányt A távolság meghatározása becsléssel Bizonyos dolgok, tereptárgyak távolságát a legkönnyebben látással és hallással tudjuk megbecsülni. A távolságbecslés sok gyakorlást igényel, ehhez lássunk néhány segítséget: közelebbinek tőnik, ha: világos és élénk színő, süti a Nap, alulról nézzük, síkságon. távolabbinak tőnik, ha: sötét színő, árnyékban, ködben, esıben van, felülrıl nézzük, hegyes-dombos vidéken (tagolt terepen) vagyunk. 20

21 A távolságbecsléshez jó, ha tudjuk, hogy milyen távolságból ismerhetık fel a következı tereptárgyak: Templom, magas torony km Falu, nagyobb épület 8-9 km Magányos ház 7-8 km Magányos fa 3-5 km Házkémény 3-4 km Autó 3 km Mozgó ember 1-2 km Álló ember 0,5-1 km Ablakok kerete 0,5 km Ruházat 0,25 km Arc részei 0,1 km Hallás alapján a szél és páratartalom figyelembe vételével a következıek mérvadóak: Autópálya Autó- és traktormotor Favágás Kalapálás és fejszehang Kiabálás Felismerhetı beszédhangok Szófoszlányok Érthetı beszéd 2-3 km 2 km 0,5-1 km 0,5 km 0,5 km 100 m 75 m m 21