Béri Balogh Ádám Gimnázium, Posta- és Bankforgalmi Szakközépiskola, Vasvár. matematika helyi tanterve a kompetencia alapú oktatáshoz

Átírás

1 TÁMOP / A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Béri Balogh Ádám Gimnázium, Posta- és Bankforgalmi Szakközépiskola, Vasvár matematika helyi tanterve a kompetencia alapú oktatáshoz Vasvár, május Összeállította: Nagy András

2 Béri Balogh Ádám Gimnázium, Posta- és Bankforgalmi Szakközépiskola matematika helyi tanterve BEVEZETÉS A helyi tanterv a kompetencia alapú nevelés és oktatás feladatainak figyelembe vételével ( A típus: a matematikai kompetencia matematikai műveltségterületen történő fejlesztése matematikai kötelező tanóra keretében) és a középszintű érettségi követelményei alapján készült (40/2002. (V. 24.) OM rendelet). A tananyag témakörökre történő felosztása igazodik az érettségi követelmények felosztásához, így az öt témakör: Gondolkodási módszerek; Számtan, algebra; Geometria; Függvények, sorozatok; Valószínűség, statisztika. A táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során átcsoportosíthatók. Nappali tagozat 9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Geometria Függvények, sorozatok Valószínűség, statisztika Év végi ismétlés Összesen ALAPELVEK, CÉLOK, FELADATOK A matematikatanítás célja és feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók kreatív gondolkodását, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, az emberi kultúrában betöltött szerepét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez, a gazdasági, pénzügyi kérdések 2

3 áttekintéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Szükséges, hogy a matematikatanítás során felvetett problémák kapcsolódjanak a környezeti neveléshez, a családi életre neveléshez, egészségneveléshez és a helyes fogyasztói magatartás kialakításához, továbbá, hogy a tanulók ismerkedjenek meg a matematika kultúrtörténeti vonatkozásaival is. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek a várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére, ugyanakkor képesek legyenek a problémák közös megoldására is. Ennek érdekében fontos a tanulókat a kooperatív munkaformához szoktatása, az erre alkalmas tananyagok egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozásával, a feladatmegoldások megbeszélése. A csoportmunkában elvégzett feladatok értelmezése és bemutatása közben a tanulók kommunikációs képessége is fejlődik. Differenciált munkaformákkal biztosítható a tehetséggondozás, és az elmaradók felzárkóztatása. Fokozatosan kialakítandó a matematika szaknyelvének pontos használata és jelölésrendszerének alkalmazása. Nagy hangsúlyt kell fektetni a szemléltetésre, a tanulók önálló tevékenykedtetésére annak ellenére, hogy általános iskolai tanításhoz képest a deduktív módszerek is előtérbe kerülnek. A helyi tanterven alapuló tananyag egy sikeres középszintű érettségi vizsgára készíti fel a tanulókat. A helyi tanterv a évfolyamokon folyó kompetencia alapú matematikai nevelés fejlesztési feladatait a következő területeken jeleníti meg: a követelmények teljesítéséhez javasolt időkeret, fejlesztendő képességek, kompetenciák, javasolt tevékenységek átfogó rendszere, tartalmak (témakörök), ismeretrendszer, évfolyamonkénti középszintű érettségi követelmények, értékelési szempontok, módszerek. A matematikai kompetencia a matematikai gondolkodás fejlesztésének és alkalmazásának képessége, felkészítve ezzel az egyént a mindennapok problémáinak megoldására is. A kompetenciában és annak alakulásában a folyamatok és a tevékenységek éppúgy fontosak, mint az ismeretek. A matematikai kompetencia felöleli a matematikai gondolkodásmódhoz kapcsolódó képességek alakulását, használatát, matematikai modellek alkalmazását (képletek, modellek, grafikonok és táblázatok), valamint a törekvést ezek alkalmazására. A matematika terén szükséges ismeretek magukban foglalják a számok, mértékek és struktúrák, az alapműveletek és alapvető reprezentációk fejlődő ismeretét, a matematikai fogalmak, összefüggések, koncepciók és azon kérdések megértését, melyekre a matematika választ adhat. A matematikai kompetencia birtokában az egyén rendelkezik azzal a képességgel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat az ismeretszerzésben és a problémák megoldásában, a mindennapokban, otthon és a munkahelyen. Követni és értékelni tudja az érvek láncolatát, matematikai úton képes indokolni eredményeket, megérti a 3

4 matematikai bizonyítást, a matematika nyelvén kommunikál, valamint alkalmazza a megfelelő segédeszközöket. A matematika terén a pozitív attitűd az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok logikus okát és érvényességét keressük. 4

5 A helyi tanterv hangsúlyai elsősorban a matematikai kompetencia következő készség-és képesség-komponensei köré szerveződtek: Készségek Gondolkodási képességek Kommunikációs képességek Tudásszerző képességek Tanulási képességek Számlálás, rendszerezés relációszókincs problémaérzékenység figyelem számolás, kombinativitás szövegértés, probléma-reprezentáció rész egész észlelés mennyiségi következtetés, deduktív következtetés szövegértelmezés eredetiség, kreativitás emlékezet becslés, mérés, induktív következtetés térlátás, térbeli viszonyok problémamegoldás feladattartás mértékegységváltás, valószínűségi következtetés ábrázolás, prezentáció metakogníció feladatmegoldási sebesség szövegesfeladat- érvelés, bizonyítás megoldás A táblázat dőlt betűvel írt részei a matematika tanulása, a matematikai kompetencia szempontjából különösen meghatározó jelentőségűek, ezek közül valók a kiemelt fejlesztési területek, amelyek kitüntetett figyelmet kapnak. 5

6 FEJLESZTÉSI FELADATOK ÉS KOMPETENCIÁK A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. 6

7 Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. Alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése, a matematikatanulás szokásainak, képességének kialakítása A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. 7

8 A TANANYAG BEOSZTÁSA (nappali tagozatos képzés) 8

9 9. évfolyam 37 tanítási hét, heti 3,5 óra, összesen 130 óra Témakörök Óraszám I. Gondolkodási módszerek 7 II. Algebra 45 III. Geometria 45 IV. Függvények 18 V. Valószínűség, statisztika 6 VI. Év végi ismétlés 9 Összesen: 130 9

10 9. évfolyam: Gondolkodási módszerek (7 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Halmaz elemeinek száma, végtelen elemszámú halmazok, számosság. Halmazok közös részének és egyesítésének elemszáma logikai szitával. Kombinatorikus gondolkodás segítségével fejlesztjük a valószínűségi szemléletet. Pontos szövegértés, szövegelemzés, a szöveges feladatokban megfogalmazott hétköznapi problémák átemelése a matematika logikai rendszerébe, a metakogníció fejlesztése. Különböző dolgok, tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosítása, rendezése, összefüggések keresése. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végű probléma megoldása során. Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésektől az általános esetre, az induktív gondolkodás fejlesztése. Tevékenységek Konkrét dolgok csoportosítása adott, vagy a tanulók által javasolt szempontok szerint. Szituációs játék, barkochba játék egy-egy halmaz, vagy egy-egy elem kitalálására. Kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása, egyéni illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlődő elemek esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Adott síkbeli alakzatok, térformák csoportosítása, egyénileg. Játék számkártyákkal, dobókockával, kártyával. Ismeretek, tananyag 10

11 A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozódás a számegyenesen. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Kombinatorikai feladatok megoldása, az összes eset áttekintése, sorba rendezés, kiválasztás, ismétlődő elemek esetén is. Az akkor és csak akkor használata. Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése, az és illetve a vagy műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége. Tétel és megfordítása. Középszintű érettségi követelmények Legyen képes a tanuló adott szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, szükség esetén matematikai modellt alkotni, a modell alapján számításokat végezni, és a kapott eredményeket értelmezni. Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat. Véges halmazok elemeinek száma. Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az és, a (megengedő) vagy logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltétel fogalmát. Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. 11

12 9. évfolyam: Számtan, algebra (45 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a számfogalom elmélyítése, egy szám többféle felírása, hatványozás, nagyságrendi viszonyok. A folytonosság érzékeltetése. Ismerkedés az irracionális számok tulajdonságaival, azok racionális számmal való szorzásával és osztásával, egyenes, fordított és egyéb arányossági következtetési szemlélet fejlesztése a valós számkörben. Az arányossági feladatok eredményének becslése. A becsült eredmények valószínű, valószínűtlen voltának eldöntése (szemléletfejlesztés). Mennyiségek mérése, azonos mértékrendszer használata, összetett mennyiségek ismerete ( Pl. sebesség, sűrűség, Ft/db, népsűrűség : db/m 2 stb.) A mennyiségfogalom fejlesztése. A szövegértés tudatos fejlesztése, hétköznapi szöveg lefordítása a matematika nyelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése (a metakogníció fejlesztése). A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A korábbi matematikai ismeretek beépítése, a lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése, a rendszerező szemlélet alakítása. Számok felépítése prímszámokból, számok osztóinak és többszöröseinek kapcsolata. Azonosságok, igaz, hamis egyenlőségek, konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése). Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése). 12

13 Tevékenységek Számolási feladatok írásban, fejben, önállóan, programozott lépések szerint. Elemi számelméleti összefüggések, prímszámok, összetett számok keresése. Oszthatósági szabályok, osztók, többszörösök meghatározása. Egyszerű szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel, hallás és olvasás alapján. Szöveges feladatok értelmezését szolgáló nyelvi játékok. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények közös becslése, a megoldott egyenletek eredményének ellenőrzése, értelmezése, szöveges válasz a felvetett szöveges problémára. Egyéni, csoportos munkában arányosságok felfedezése sík és térbeli alakzatok tulajdonságai között, képletek, összefüggések elemzése. Gyűjtőmunka (egyéni, csoportos): szakácskönyvek, gépjármű katalógusok, stb. tanulmányozása, arányosságok keresése. Kutatási projektek (előadás, vagy írásbeli feldolgozás): matematikatörténeti témában, (pl.: a negatív számok, az irracionális számok kialakulása), az arányosságok vizsgálata más tudományokban, az aranymetszési arány a művészetekben, stb. Ismeretek, tananyag Betűk használata a matematikában, műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél. (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. Abszolútértékes egyenletek. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság), a prímszámok száma. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre. 13

14 Középszintű érettségi követelmények Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani, tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban. Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. Tudjon más számrendszerek létezéséről. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód. Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q*, R) valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal. A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. Tudjon arányossági feladatokat megoldani. Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása. Százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját. Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b) 2, (a b) 2, a 2 b 2 ; Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenlet megoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új ismeretlen bevezetése stb. 14

15 Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket megoldani. Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok megoldásában. Tudjon ax + b = c típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint ax + b = cx + d típusú egyenleteket megoldani. Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. Egyszerű abszolútértékes egyenletek megoldása. 15

16 9. évfolyam: Geometria (45 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Geometriai alakzatok mennyiségi jellemzői, csúcsok, élek, lapok száma, kerület, terület, élváz hossza, felület, térfogat nagysági viszonyai, mérőszámok összehasonlítása, rendezése, a számolási készség alkalmazása a valóság tárgyain, illetve azok geometriai modelljein. A sík- és térbeli alakzatok építése, következtetések megfogalmazása mennyiségi jellemzőik között. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése. Síkidomok kerületének, területének, térbeli alakzatok élvázának, felületének, térfogatának becslése. Valóságos tárgyak, modellek elkészítéséhez felhasználandó anyagok mennyiségének közelítő meghatározása, az ehhez szükséges képességek fejlesztése. Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek, a térlátás fejlesztése. Síkbeli és térbeli analógiák felfedezése. A valóság tárgyainak jellemzése a geometriai fogalmak segítségével, absztrakciós képesség fejlesztése. Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben. 16

17 Tevékenységek Tárgyak, testek, síkidomok csoportosítása megadott, vagy egyéni szempontok szerint. Csoportmunka: a sík ill. a tér kitöltése különböző formákkal. A síkon és a gömbön felrajzolt alakzatok tulajdonságainak megfigyelése: hasonlóságok, különbségek. Kutatómunka: (előadás, vetítés számítógéppel, interaktív programok az internetről). Térformák, poliéderek, szimmetriák a síkban és a térben. Geometriai motívumok a képzőművészetben. Arányok a zenében, a természetben, stb. Ismeretek, tananyag Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt körre. Pitagorasz-tétel és alkalmazása. Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Négyszögek osztályozása, speciális négyszögek: trapéz, paralelogramma, deltoid, húr- és érintőnégyszög. Kerület- és területszámítás, szerkesztés. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma, jellemzése, alkalmazása. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. Kör és szabályos sokszögek. A kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe. A forgásszög fogalma, ívmérték. Egyszerű szerkesztési feladatok. 17

18 Középszintű érettségi követelmények Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát. Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát, használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint. Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Thalész-tétel alkalmazása. Ismerje a síkidomok csoportosítását különböző szempontok szerint. Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű feladatokban. Négyszögek osztályozása, speciális négyszögek: trapézok, paralelogrammák, deltoidok, kerület- és területszámítás, szerkesztési feladatok. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Tudja a szabályos sokszög definícióját. Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. 18

19 A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. A szög mérése fokban és radiánban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: vektor fogalma, abszolútértéke, nullvektor, ellentett vektor, vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, vektor felbontása összetevőkre. Vektorok alkalmazása feladatokban. 19

20 9. évfolyam: Függvények (18 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Az adott helyhez tartozó függvényértékek kiszámítása, a függvények tulajdonságainak (pl.: növekedési és fogyási viszonyainak) meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti. Mozgás-, hőingadozási- stb.- grafikonok, egyéb statisztikai adatokat szemléltető grafikonok segítségével tovább mélyíthető a mennyiségi következtetés képessége. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése. A grafikus ábrázolás közelítő képi megjelenítést biztosít. A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága. A valóságból merített szöveges faladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta- rendszerben, többsíkú gondolkodást igényel, az ehhez szükséges képességek fejlesztése. Kombinatív gondolkodást és az összefüggések felismerésének képességét feltételezik az alábbi műveletek: többféle grafikon együttes megfigyelése, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata. a geometriai transzformációk alkalmazása a függvény-transzformációk végrehajtásánál. a halmazszemlélet, az algebrai összefüggések és a geometriai tulajdonságok párhuzamos alkalmazása. Konkrét számokkal és összefüggésekkel megadott függvényekről, átlépés az általános képletekkel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. 20

21 Játék: tájékozódás térben, időben (csoportos), torpedó (páros). Tájékozódás térképen, földgömbön (párban). Adott tulajdonságú pontok keresése, pl. barkochba játékkal. Grafikonok készítése milliméterpapírra (egyéni), mágnestáblán (csoportokban), függvényábrázoló programokkal aktív táblára (tanári irányítással). Tevékenységek Ismeretek, tananyag Tájékozódás a koordináta-rendszerben, pontok, tartományok keresése. A valóság változó jelenségeinek megfigyelése, az adatok lejegyzése, azok ábrázolása. Arányosságok megállapítása. Tanult összefüggések, képletek alkalmazása, az összetartozó értékek ábrázolása. Ábrázolás geometriai, fizikai képletek alapján. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, a gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arány, xa. x A vizsgált függvények elemi tulajdonságai: értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, meredekség, monotonitás, szélsőértékek, tengelymetszet. Függvénytranszformációk. Egyszerű példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén). Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Középszintű érettségi követelmények Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat. Legyen képes a tanuló a körülötte lévő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására. Legyen képes a változó mennyiségek közötti kapcsolat felismerésére, az összefüggésfüggés értelmezésére. 21

22 Legyen képes a tanuló adott szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, szükség esetén matematikai modellt alkotni, a modell alapján számításokat végezni, és a kapott eredményeket értelmezni. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet.) Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f (x) = c alapján x-et meghatározni. Ismerje az egy-egy értelmű hozzárendelés fogalmát. Legyen képes a tanuló a körülötte lévő világ egyszerűbb összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására. Legyen képes a változó mennyiségek közötti kapcsolat felismerésére, a függés értelmezésére. Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték szempontjából. Tudja az egyenes arányosság definícióját, és grafikus ábrázolását. Tudjon arányossági feladatokat megoldani. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = ax + b függvényt. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = x függvényt. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni. [ f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx)]. A másodfokú függvény elemi tulajdonságainak ismerete, leolvasása grafikonról. Képlettel megadott egyszerű függvények ábrázolása értéktáblázattal és transzformációval. Egyszerű példák változó- és értéktranszformációkra. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása grafikusan. 22

23 9. évfolyam: Valószínűség, statisztika (6 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Statisztikai adatoknál számlálás, gyakoriság, relatív gyakoriság. Esetek leszámlálása. Egyszerű számítások relatív gyakoriságokkal. Gráfok és diagramok alkalmazása a szemléltetésre. Egy kísérlet kimenetelének relatív gyakorisága és valószínűsége közötti kapcsolat. Szubjektív valószínűségi becslések és ellenőrzésük tapasztalatok elemzésével. Olyan mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak szerepe van. Tömegjelenségek, újságcikkek olvasása és értelmezése. Egyszerű valószínűségi állítások jelentése a mindennapi életben. Adatok rendszerezése, táblázatok, diagramok értelmezése. A statisztikai kijelentéseknek és következtetéseknek a klasszikus logikától eltérő tulajdonságai. Tevékenységek Adatgyűjtés statisztikai zsebkönyvből, internetről, újságokból, szaklapokból, vagy saját felméréssel. Adatok feldolgozása, számológép és számítógép szerepe. Játékok és megfigyelések, adatgyűjtés. Vita különböző esélylatolgatásról, csoportos munka. 23

24 Ismeretek, tananyag Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, sáv és vonaldiagram, stb.). Statisztikai adatok jellemzői: számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Középszintű érettségi követelmények Tudjon adathalmazt szemléltetni. Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és a táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon az adott diagramról információt kiolvasni. Tudja, és alkalmazza a következő fogalmakat: gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), medián (rendezett minta közepe), módusz (leggyakoribb érték). Tudja az adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével. 24

25 9. évfolyam: Év végi ismétlés (9 óra) A tanév tapasztalatai alapján állítjuk össze az ismétlés tematikáját. Elvégezzük az esetlegesen szükséges pótlásokat. Rendszerezés, ismétlő feladatok. Ismeretek, tananyag Értékelési szempontok, módszerek Differenciált feladatmegoldás szóban, írásban. Számolás a racionális számkörben, polinomokkal, algebrai törtekkel. Egyszerű egyenletre vezető szöveges problémák megoldása; modellalkotás. Grafikonok, táblázatok, diagramok vizsgálata; ismert függvények ábrázolása. Szemléltető és szerkesztett ábrák készítése geometriai alakzatokról; tulajdonságok megállapítása, következtetések, bizonyítások. Definíció, tétel, bizonyítás fogalma; egyszerű bizonyítások szóban és írásban. 25

26 10. évfolyam 37 tanítási hét, heti 3,5 óra, összesen 130 óra Témakörök Óraszám I. Gondolkodási módszerek 7 II. Algebra 46 III. Geometria 45 IV. Függvények 14 V. Valószínűség, statisztika 9 VI. Év végi ismétlés 9 Összesen:

27 10. évfolyam: Gondolkodási módszerek (7 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Céltudatos módszerek kialakítása a lehetséges esetek összeszámlálásakor. Az elemek számának megváltozásából a lehetséges esetek számának változására való következtetés. Kombinatorikus gondolkodás segítségével a valószínűségi szemléletet fejlesztése. Pontos szövegértés, szövegelemzés, a szöveges feladatokban megfogalmazott hétköznapi problémák átemelése a matematika logikai rendszerébe, a metakogníció fejlesztése. Különböző dolgok, tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosítása, rendezése, összefüggések keresése. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végű probléma megoldása során. A modellezési képesség fejlesztése a felvetett problémák gráfokkal való szemléltetésével. Következtetés a speciális, a konkrét megfigyelésektől az általános esetre, az induktív gondolkodás fejlesztése. Tevékenységek Konkrét dolgok csoportosítása adott, vagy a tanulók által javasolt szempontok szerint. Kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása egyéni, illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlődő elemek esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Játék számkártyákkal, szabályos dobótestekkel, bármilyen általunk feliratozott kártyával. A felvetett problémákban megjelenő kapcsolatok modellezése gráfokkal, a megoldások adaptálása az eredeti szövegkörnyezetbe. 27

28 Ismeretek, tananyag Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése, az és ill. a vagy műveletek alkalmazása. Egyszerű következtetések, állítások és megfordításuk megfogalmazása. A definíció és a tétel különbözősége. Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv konkrét példákon keresztül). Kombinatorikai feladatok megoldása, sorba rendezés, kiválasztás, ismétlődő elemek esetén is. Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből. Középszintű érettségi követelmények Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az és, a (megengedő) vagy logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a minden, van olyan kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltétel fogalmát. Tudjon egyszerű sorba rendezési, kiválasztási feladatokat megoldani. 28

29 10. évfolyam: Számtan, algebra (46 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben Konkrét számolási feladatok a valós számkörben, a valós számok megszámlálhatatlansága, a valós szám fogalmának elmélyítése a négyzetgyökvonás bevezetésével. A racionális és az irracionális számokkal végzett műveletekkel a számolási készség továbbfejlesztése. A valós számok és a számegyenes pontjai közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, a folytonosság fogalmának előkészítése. Különböző mennyiségekkel megfogalmazott szöveges feladatokban az összefüggések algebrai jelekkel történő felírása, a következtetés képességének fejlesztése. Az irracionális számok racionális számokkal való közelítése, az irracionális számok értékének becslése. A becsült eredmények valószínű vagy valószínűtlen voltának eldöntése, a valóságos folyamatok megismerési képességének fejlesztése. A szélsőérték fogalmának kialakítása a számtani és a mértani közép közötti összefüggés segítségéve, az alulról, illetve a fölülről történő becslés képességének fejlesztése. A szövegértés tudatos fejlesztése, a hétköznapi szöveg lefordítása a matematika nyelvére, a valóságbeli problémák matematikai értelmezése. A kapott megoldások ellenőrzése és adaptációja az eredeti szövegkörnyezetbe, amely a magabiztosságot, az önértékelést fejleszti. A szükséges adatok kikeresése, a fölösleges adatok mellőzése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Szöveges, másodfokú egyenletek megoldásakor a felvetett problémának nem megfelelő hamis gyök kiszűrése, a diszkusszió igényének fejlesztése. A lehetséges alkalmazások megkeresése, a tanult új ismeret beillesztése a korábbi ismeretek rendszerébe, a rendszerező szemlélet alakítása. Azonosságok kimondása, konkrét számoktól az általános eset megfogalmazásáig (induktív gondolkodásmód fejlesztése). Azonosságok alkalmazása konkrét esetekben (deduktív gondolkodás fejlesztése). Konkrét másodfokú egyenletek megoldása után a megoldóképlet levezetése, és alkalmazása. 29

30 Tevékenységek Egyszerű szöveges összefüggések leírása matematikai jelekkel. Szöveges feladatok értelmezését szolgáló nyelvi játékok. Szöveges feladatok megoldása előtt a várható eredmények becslése, a megoldott egyenletek eredményének értelmezése, ellenőrzése. Szöveges válasz megfogalmazása a felvetett szöveges problémára. Egyéni, csoportos munkában azonosságok felfedezése, azok alkalmazása. Kutatási projektek (előadás, vagy írásbeli feldolgozás): matematikatörténeti témában, (az irracionális számok kialakulása, egyenlet-megoldási módszerek), az arányosságok vizsgálata más tudományokban, az aranymetszési arány a művészetekben, internet használat. Ismeretek, tananyag A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2, szakaszok összemérhetetlensége). A négyzetgyökvonás azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe). Gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál. 30

31 Egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása, a megoldások ábrázolása számegyenesen. Egyszerű másodfokú egyenletrendszerek. Középszintű érettségi követelmények Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja. Ismerje az irracionális szám fogalmát. Definiálja és használja a a fogalmát. Adott n (n N) esetén tudja eldönteni, hogy n irracionális szám-e. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a + b) 2, (a b) 2, (a + b) 3, (a b) 3, a 2 b 2, a 3 b 3. Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások, új ismeretlen bevezetése. Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát. Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Másodfokú függvényre vezető egyszerű szélsőérték- feladatok megoldása. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása. Tudjon a tanuló ax + b = cx+d típusú egyenleteket megoldani. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk. 31

32 10. évfolyam: Geometria (45 óra) Képességfejlesztés Képességfejlesztési fókuszok Számlálás, számolás Mennyiségi következtetés Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció Rendszerezés, kombinativitás Deduktív következtetés, induktív következtetés A képességfejlesztés megvalósulási lehetősége a témakörben A kör és részei közötti összefüggésekkel a hiányzó adatok kiszámolása, az irracionális számokkal való számolás a valós szám fogalom elmélyítését segíti. Zsebszámológép biztos használatának elsajátítása. Hasonló alakzatok adatai közötti összefüggések (lineáris, másodfokú és harmadfokú arányok) alkalmazása valóság-közeli feladatok megoldásánál az arányérzéket fejleszti. A valós mérőszámmal megadott mennyiségek, a folytonosság fogalmának továbbfejlesztése. Irracionális mértékű szakaszok és görbe vonalak hosszának közelítése racionális számokkal. A valóságos tárgyak méretei, és azok geometriai modellje közötti arány becslése. Síkidomok kerületének, területének, térbeli alakzatok felszínének becslése. Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek továbbfejlesztése. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldási képességének fejlesztése. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben, más tantárgyakban. Geometriai tételek bizonyítása során használt logikai műveletekkel, az induktív illetve a deduktív következtetés képességének fejlesztése. 32

33 Tevékenységek Körívekkel készíthető motívumok tervezése. Makettek, modellek készítése a hasonlóság felhasználásával. Csoportmunka: hasonló háromszögek megfelelő szögeinek összehasonlítása. parkettázás hasonló síkidomokkal. hasonló testek hálójának elkészítése Kutatómunka: matematikatörténeti érdekességek.(kör, hasonlóság) előadás, vetítés számítógéppel, aktív táblán, interaktív programok az internetről. geometriai motívumok a képzőművészetben. Ismeretek, tananyag A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma kerületi szögek tétele húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele érintőnégyszög fogalma Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Háromszög területe két oldalával és a bezárt szög segítségével. 33

34 Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben. Középszintű érettségi követelmények Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. A szög mérése fokban és radiánban. Kerületi és középponti szög fogalmának ismerete. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az egybevágósági transzformációkat (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés). Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket. Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. 34